数学建模对公平的席位分配问题的一点补充

对公平的席位分配问题解法的一点补充

222008314011010 刘欢

08数统一班

为叙述简单，仍然采用书中的例子如下

一．提出问题：

某学校有3个系共200名学生,其中甲系100名,乙系60名,丙系40名。若学生代表会议设20个席位,公平而又简单的席位分配办法是按学生人数的比例分配,显然甲、乙、丙三系分别应占有10，6，4个席位。现在丙系有3名学生转入甲系， 3名学生转入乙系，仍按比例分配席位出现了小数，三系同意，在将取得整数的19席位分配完毕后，剩下的1席位参照所谓惯例分给比例中小数最大的丙系，于是三系仍分别占有10，6，4个席位。按比例并参照惯例的席位分配。

由于20个席位的代表会议在表决时可能出现10∶10的局面，会议决定下一届增加1席，按照上述方法重新分配席位，计算结果是甲、乙、丙三系分别应占有11，7，3个席位。显然这个结果对丙系太不公平了，因总席位增加1席，而丙系却由4席减为3席。

请问：如何分配才算是公平？

二．书中模型 用Q 值法求解如下

设A ，B 两方，人数分别为1p 和2p ，占有席位分别是1n 和2n ，当1122=p n p n 时席位的分配公平。但人数为整数，通常1122≠p n p n 。这时席位分配不公平，且

/p n 较大的一方吃亏。

当1122>p n p n 时，定义

1122

1222

-=

(,)A p n p n r n n p n （1）

为对A 的相对不公平值。

当1122

2211

1211

-=

(,)B p n p n r n n p n （2）

为对B 的相对不公平值。

要使分配方案尽可能公平，制定席位分配方案的原则是使12(,)A r n n 和12(,)B r n n 都尽可能小. 假设，A B 两方分别占有1n 和2n 席，利用相对不公平值A r 和B r 讨论，当总席位增加1席时，应该分配给A 还是B 。不妨设1122>p n p n ，即对A 不公平，当再分配一个席位时，有以下三种情况：

(1) 当

22

1>+11p p

n n 时，说明即使给A 增加1席，仍然对A 不公平，所以这一席显然应给A 方. (2)当

22

1<+11p p

n n 时，说明给A 增加1席后，变为对B 不公平，此时对B 的相对不公平值为 211212

11-1 ++=

()

(,)B p n r n n p n （3）

(3)当

221

>+11p p

n n 时，这说明给B 增加1席，将对A 不公平，此时对A 的相对不公平值为

121221

11-1 ++=

()

(,)A p n r n n p n （4）

因为公平分配席位的原则是使相对不公平值尽可能小，所以如果

121211 +<+(,)(,)B A r n n r n n （5）

则这1席给A 方，反之这1席给B 方.

由(3)(4)可知，(5)等价于

2

1222211<

11++()

()

p p n n n n （6）

不难证明上述的第(1)种情况

22

1>+11p p

n n 也与(6)式等价,于是我们的结论是当(6)式成立时,增加的1席应给A 方,反之给B 方。

若记

2, =1,2

1=

+()

i i i i p Q i n n

则增加的1席给Q 值大的一方.

上述方法可以推广到有m 方分配席位的情况.设第i 方人数为i p ，已占有i n 个席位。当总席位增加1席时，计算

2, =1,2

1=

+()

i i i i p Q i m n n ，，

则增加的1席应分配给Q 值大的一方.这种席位分配的方法称为Q 值法。

下面用Q 值法讨论甲乙丙三系分配21个席位的问题.先按照比例将整数部分的19席分配完毕,有1231063===n n n ，，。再用Q 值法分配第20席和第21席。

分配第20席，计算得

21103=96.41011=⨯Q ，2263=94.567=⨯Q ，2

334=96.334

=⨯Q

1Q 最大，于是这1席应分给甲系.

分配第21席，计算得

21103=80.41112=⨯Q ，2263=94.567=⨯Q ，2

334=96.334

=⨯Q

3Q 最大，于是这1席应分给丙系. 三．解法补充

1.S 值法

将

/p n 看做平均数，要求使

1

n

i i i p p S n n

==

-∑

的值最小。这种方法类似于求

方差最小的方法，计算起来也相对简单。下面来用这个方法解决上述问题。

现设三系分别得到了10,6,3个席位，先来分配第20个席位：

2001020

p n == 1110310.310p n ==；226310.56

p n ==；333411.333p n ==

(1)

若将第20个席位分给甲系，则

111039.3611

p n ==，S=0.64+0.5+1.33=2.47 (2)

若将第20个席位分给乙系，则

226397

p n ==，S=0.3+1+1.33=2.63 (3)

若将第20个席位分给丙系，则

33348.54

p n ==，S=0.3+0.5+1.5=2.3 所以第20席应分给丙系，这与前面的Q 值法是不同的。

下面分配第21个席位，方法同上

2009.5221

p n == 1110310.310p n ==；226310.56p n ==；33348.54

p n == （1） 若将第21个席位分给甲系，则

11103

9.3611

p n ==，S=0.16+0.98+1.02=2.16 （2） 若将第21个席位分给乙系，则

2263

97

p n ==，S=0.78+0.52+1.02=2.32 （3） 若将第21个席位分给丙系，则

3334 6.85

p n ==，S=0.78+0.98+2.72=4.48 所以第21席应该分给甲系，各系分别获得11,6,4席位，与之前的结果相同。

这种解法的优点是能够保证总体的上的一种平衡。

2.根据i

i

p n 的大小来分配

即将增加的一席分给

i i

p n 最大的一方，根据上面的计算，第20席应分给丙系，第21席则应分