计算综合(一)

同学们在计算时，除要熟练掌握好运算法则外，还要通过观察和分析，找出题目中数的特点，合理、有效地进行计算。

常规裂项公式： ()11+n n ＝n 1－11+n k n ⨯1＝(n 1－k 1)×n
k -1 （n ＜k ) ()()211++n n n ＝［()11+n n －()()211++n n ］×2
1 ()()()3211+++n n n n ＝［()()211++n n n －()()()3211+++n n n ］×3
1 循环小数化分数的方法：
（1）纯循环小数化分数：小数部分中，循环节有几位数字，所化成的分数的分母就有几个“9”；循环节的数字是几，所化成的分数的分子就是几。

（2）混循环小数化分数：小数部分中，循环节有几位数字，所化成的分数的分母中就有几个“9”；不循环的部分有几位数字，所化成的分数的分母中“9”的后面就有几个“0”。

将用小数部分的数减去不循环的部分所得的差作为分子。

等差数列的求和公式： （1）n S ＝()2
1
n a a n + （2）n a ＝1a ＋(n －1)d
（3）d ＝
1
1--n a a n
例1. 计算：99999×77778＋33333×66666
【分析与解】：解决本题的关键是将33333×66666变形为99999×22222。

99999×77778＋33333×66666
＝99999×(77778＋22222)
＝99999×100000
＝9999900000
例2. 计算：2006×20072007－2007×20062006
【分析与解】可以根据题目中数的特征解题，即
20072007＝2007×10001
20062006＝2006×10001
2006×20072007－2007×20062006
＝2006×2007×10001－2007×2006×10001
＝0
例3. 计算：211⨯＋321⨯＋431⨯＋Λ＋1091⨯ 【分析与解】利用裂项公式()11+n n ＝n 1－1
1+n 解题。

211⨯＋321⨯＋431⨯＋Λ＋10
91⨯ ＝(11－21)＋(21－31)＋(31－4
1)＋(41－51)＋Λ＋(91－101) ＝1－10
1 ＝10
9
例4. 计算：
13112⨯＋15132⨯＋17152⨯＋19172⨯＋19
1 【分析与解】利用裂项公式k n ⨯1＝(n 1－k 1)×n
k -1(n ＜k )解题。

13112⨯＝111－13
1 15132⨯＝131－15
1 17152⨯＝151－17
1 19172⨯＝171－19
1 原式＝(111－131)＋(131－151)＋(151－171)＋(171－191)＋19
1 ＝111－131＋131－151＋151－171＋171－191＋19
1 ＝111
例5. 一个含有60项的等差数列的各项之和为9450，数列中的每一项都是自然数，那么60
a 的最大值是多少？
【分析与解】根据等差数列的求和公式，可以得到(1a ＋60a )×60÷2＝9450， (1a ＋60a )＝9450×2÷60＝315，又因为各项均为自然数，所以1a 与60a 的奇偶性不同。

也因为这个等差数列的每一项都是自然数，所以公差d 也是自然数。

又因60a ＝1a ＋59d ，且60a 与1a 的奇偶性不同，所以公差d 是奇数。

在59的奇数倍中，小于315的最大的数是59×5，即59d ＝295时，60a 可以取到最大值，此时1a ＝(315－295)÷2＝10，60a ＝315－10＝305。

例6. 计算：2003÷200420032003 【分析与解】解决本题的关键是运用乘法结合律进行计算。

2003÷2004
20032003 ＝2003÷2004
200320042003+⨯ ＝2003×()
1200420032004+⨯ ＝20052004
例7. 规定a ◎b ＝a ×(a ＋b )，若2◎(3◎x )＝52，那么x ＝？
【分析与解】首先要明白符号◎在本题中的含义，根据已知条件可得
3◎x ＝3×(3＋x )＝9＋3x ，
再将这个结果代入2◎(3◎x )＝52中，
可以得到2◎(9＋3x )＝2×(2＋9＋3x )＝52，
即2×(11＋3x )＝52，
22＋6x ＝52，
解得x ＝5。

例8. 用x ⊙y 表示x 和y 的平均数，即x ⊙y ＝(x ＋y )÷2，则(3⊙9)⊙4等于多少？
【分析与解】因为x ⊙y 表示x 和y 的平均数，那么3⊙9＝(3＋9)÷2＝6，
(3⊙9)⊙4＝6⊙4＝(6＋4)÷2＝5。

（答题时间：30分钟） 一、91119172171521513213112+⨯+⨯+⨯+⨯
二、在10～34之间插入5个数，使这7个数成为等差数列。

10，（ ），（ ），（ ），（ ），（ ），34
三、?200420032003
2003=÷
四、计算：42433031202112136
723＋＋＋＋＋
五、等差数列第10项为20，公差为5，求第20项等于多少？
一、解：
11
111
122119
119117115113113111121＝＝）＋－＋＋－＋－（原式＝⨯⨯⨯⨯K 2
二、公差＝（34－10）÷6＝4
所以等差数列为10，14，18，22，26，30，34
三、解：
200520042005
200320042003120042003200420032004
2003
200420033＝＝）＋（＝＋原式＝⨯⨯⨯⨯⨯÷
200
四、解：
7
66)7
1(167
61651541431321211642
13012011216121642
130120112161216142
1130112011121161121142
433031************=+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯－＝＋＋＋＋＋＋＝＋＋＋＋＋＋＝）＋＋＋＋＋＋（＝）＋）＋（＋）＋（＋）＋（＋）＋（＋）＋（＋＝（＋＋＋＋＋
五、第20项为：20＋（20－10）×5＝70。