高二数学提优讲义 第02讲 圆锥曲线选讲(1)——米勒定理、阿氏圆等
苏教版最新的高二数学苏教版选修2-1讲义：第1部分 第2章 2.1 圆锥曲线 Word版含解析
2．1圆_锥_曲_线[对应学生用书P18]椭圆的定义取一条定长的无弹性的细绳，把它的两端分别固定在图板的两点F1、F2处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖．问题1：若绳长等于两点F1、F2的距离，画出的轨迹是什么曲线？提示：线段F1F2.问题2：若绳长L大于两点F1、F2的距离．移动笔尖(动点M)满足的几何条件是什么？提示：MF1＋MF2＝L.平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆．(1)焦点：两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点．(2)焦距：两个焦点间的距离叫做椭圆的焦距.双曲线的定义2013年11月30日，中国海军第16批护航编队“盐城”导弹护卫舰，“洛阳”号导弹护卫舰在亚丁湾东部海域商船集结点附近正式会合，共同护航，某时，“洛阳”舰哨兵监听到附近海域有快艇的马达声，与“洛阳”舰哨兵相距1 600 m的“盐城”舰，3 s后也监听到了马达声(声速340 m/s)，用A、B分别表示“洛阳”舰和“盐城”舰所在的位置，点M表示快艇的位置．问题1：“盐城”舰比“洛阳”舰距离快艇远多少米？提示：MB－MA＝340×3＝1 020(m)．问题2：把快艇作为一个动点，它的轨迹是双曲线吗？提示：不是．平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线．(1)焦点：两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点．(2)焦距：两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.抛物线的定义如图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉锁D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线．问题1：画出的曲线是什么形状？提示：抛物线．问题2：DA是点D到直线EF的距离吗？为什么？提示：是．AB是Rt△的一条直角边．问题3：点D在移动过程中，满足什么条件？提示：DA＝DC.1．一般地，平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．2．椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线．1．圆锥曲线定义用集合语言可描述为：(1)椭圆P＝{M|MF1＋MF2＝2a,2a>F1F2}；(2)双曲线P＝{M||MF1－MF2|＝2a,2a<F1F2}；(3)抛物线P＝{M|MF＝d，d为M到直线l的距离}．2．在椭圆定义中，当2a＝F1F2时，M的轨迹为线段F1F2，在双曲线定义中，当2a＝F1F2时，M的轨迹为两条射线．3．过抛物线焦点向准线作垂线，垂足为N，则FN的中点为抛物线顶点，FN所在直线为抛物线对称轴．4．对于椭圆、双曲线，两焦点的中点是它们的对称中心，两焦点所在直线及线段F1F2的垂直平分线是它们的对称轴．[对应学生用书P19]圆锥曲线定义的理解[例1]平面内动点M到两点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离之和为3m，问m取何值时M的轨迹是椭圆？[思路点拨]若M的轨迹是椭圆，则MF1＋MF2为常数，但要注意这个常数大于F1F2.[精解详析]∵MF1＋MF2＝3m，∴M到两定点的距离之和为常数，当3m大于F1F2时，由椭圆定义知，M的轨迹为椭圆，∴3m>F1F2＝(3＋3)2＋(0－0)2＝6，∴m>2，∴当m>2时，M的轨迹是椭圆．[一点通]深刻理解圆锥曲线的定义是解决此类问题的前提，一定要注意定义中的约束条件：(1)在椭圆中，和为定值且大于F1F2；(2)在双曲线中，差的绝对值为定值且小于F1F2；(3)在抛物线中，点F不在定直线上．1．命题甲：动点P到两定点A、B的距离之和P A＋PB＝2a(a＞0，a为常数)；命题乙：P点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的________条件．解析：若P点轨迹是椭圆，则P A＋PB＝2a(a＞0，常数)，∴甲是乙的必要条件．反过来，若P A＋PB＝2a(a＞0，常数)是不能推出P点轨迹是椭圆的．这是因为：仅当2a＞AB时，P点轨迹才是椭圆；而当2a＝AB时，P点轨迹是线段AB；当2a ＜AB 时，P 点无轨迹，∴甲不是乙的充分条件．综上，甲是乙的必要而不充分条件． 答案：必要不充分2．动点P 到两个定点A (－2,0)，B (2,0)构成的三角形的周长是10，则点P 的轨迹是________．解析：由题意知：P A ＋PB ＋AB ＝10，又AB ＝4， ∴P A ＋PB ＝6>4.∴点P 的轨迹是椭圆． 答案：椭圆圆锥曲线的应用[例2] 设F 1，F 2是双曲线的两个焦点，Q 是双曲线上任一点，从某一焦点引∠F 1QF 2的平分线的垂线，垂足是P ，那么点P 的轨迹是什么曲线？[思路点拨] 利用双曲线的定义，结合平面图形的性质判断． [精解详析] 如图所示，点Q 在双曲线的右支上，有QF 1－QF 2＝2a .①延长F 1P 、QF 2交于L .∵∠F 1QP ＝∠LQP ，QP ⊥F 1P ， ∴F 1Q ＝QL ，代入①， 则QL －QF 2＝2a ，即F 2L ＝2a .取线段F 1F 2中点O ，则由P 是F 1L 中点有 PO ＝12F 2L ＝12·2a ＝a .∴P 的轨迹是以O 为圆心，以a 为半径的圆．[一点通] 当点在圆锥曲线上时，点一定满足圆锥曲线的定义，如本题中，点Q 在双曲线上，则有QF 1－QF 2＝2a ，这是定义的要求．另外利用平面图形的性质解题是解析几何中很常见的解题思想．3．平面内到两定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的和为3的点的轨迹是________． 解析：F 1F 2＝2＜3，∴点P 的轨迹是椭圆． 答案：椭圆4．已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1和圆C 2相外切，试判断动圆圆心M 的轨迹．解：设圆M的半径为r，由题意，得MC1＝1＋r，MC2＝3＋r.∵MC2－MC1＝2<C1C2，∴圆心M的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线的左支．5．已知定点P(0,3)和定直线l：y＋3＝0，动圆M过P点且与直线l相切．求证：圆心M的轨迹是一条抛物线．解：∵直线y＋3＝0与圆相切，∴圆心M到直线y＋3＝0的距离为圆的半径r.又圆过点P(0,3)，∴r＝MP，∴动点M到点P(0,3)的距离等于到定直线y＋3＝0的距离，∴动点M的轨迹是以点P(0,3)为焦点，以直线y＋3＝0为准线的抛物线．椭圆定义中常数为动点到两焦点的距离之和，由三角形中两边之和大于第三边知，应要求常数大于焦距．双曲线定义中常数为动点到两焦点的距离之差的绝对值，由三角形中两边之差小于第三边知，应要求常数小于焦距．[对应课时跟踪训练(七)]1．平面内到一定点F和到一定直线l(F在l上)的距离相等的点的轨迹是______________．答案：过点F且垂直于l的直线2．设F1、F2为定点，PF1－PF2＝5，F1F2＝8，则动点P的轨迹是________．解析：∵5＜8，满足双曲线的定义，∴轨迹是双曲线．答案：双曲线3．以F1、F2为焦点作椭圆，椭圆上一点P1到F1、F2的距离之和为10，椭圆上另一点P2满足P2F1＝P2F2，则P2F1＝________.解析：∵P2在椭圆上，∴P2F1＋P2F2＝10，又∵P2F1＝P2F2，∴P2F1＝5.答案：54．平面内动点P到两定点F1(－2,0)，F2(2,0)的距离之差为m，若动点P的轨迹是双曲线，则m 的取值范围是________．解析：由题意可知，|m |＜4，且m ≠0，∴－4<m <4，且m ≠0. 答案：(－4,0)∪(0,4)5．已知椭圆上一点P 到两焦点F 1、F 2的距离之和为20，则PF 1·PF 2的最大值为________． 解析：∵PF 1＋PF 2＝20，∴PF 1·PF 2≤(PF 1＋PF 22)2＝(202)2＝100.答案：1006．已知抛物线的焦点为F ，准线为l ，过F 作直线与抛物线相交于A 、B 两点，试判断以AB 为直径的圆与l 的位置关系．解： 如图，取AB 的中点O 2，过A 、B 、O 2分别作AA 1⊥l ，BB 1⊥l ，O 2O 1⊥l ，根据抛物线的定义，知AA 1＝AF ，BB 1＝BF ，∴O 2O 1＝AA 1＋BB 12＝AF ＋BF 2＝AB2＝R (R 为圆的半径)，∴以AB 为直径的圆与l 相切．7．动点P (x ，y )的坐标满足(x －2)2＋y 2＋(x ＋2)2＋y 2＝8.试确定点P 的轨迹． 解：设A (2,0)，B (－2,0)， 则(x －2)2＋y 2表示P A ，(x ＋2)2＋y 2表示PB ，又AB ＝4， ∴P A ＋PB ＝8＞4，∴点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆．8．在相距1 600 m 的两个哨所A ，B ，听远处传来的炮弹爆炸声，已知当时的声速是340 m/s ，在A 哨所听到爆炸声的时间比在B 哨所听到时间早3 s ．试判断爆炸点在怎样的曲线上？解：由题意可知点P 离B 比离A 远， 且PB －P A ＝340×3＝1 020 m ，而AB ＝1 600 m ＞1 020 m ，满足双曲线的定义，∴爆炸点应在以A ，B 为焦点的双曲线的靠近A 的一支上．。
高考数学二轮学习精品讲义学生版】第三部分_重点板块_专题五解析几何：第2讲圆锥曲线的定义、方程与性质
第2讲 圆锥曲线的定义、方程与性质[全国卷3年考情分析](1)圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容．以选择题、填空题的形式考查，常出现在第4～12或15～16题的位置，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程，难度中等．(2)圆锥曲线的综合问题多以解答题的形式考查，常作为压轴题出现在第19～20题的位置，一般难度较大．考点一 圆锥曲线的定义与标准方程[例1] (1)(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1(2)(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．8(3)(2019·郑州模拟)设F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( )A.2x ±y ＝0B.x ±2y ＝0 C ．x ±2y ＝0D.2x ±y ＝01．椭圆x 25＋y 24＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点M ，N ，当△FMN 的周长最大时，△FMN 的面积是( )A.55B.655C.855D.4552．(2019·福州模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，点B 是虚轴的一个端点，线段BF 与双曲线C 的右支交于点A ，若BA ―→＝2AF ―→，且|BF ―→|＝4，则双曲线C 的方程为( )A.x 26－y 25＝1 B.x 28－y 212＝1 C.x 28－y 24＝1 D.x 24－y 26＝13．若抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的标准方程为____________________．考点二 圆锥曲线的性质[例2] (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )A.23B.12C.13D.14(2)(2019·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A ―→＝AB ―→， F 1B ―→·F 2B ―→＝0，则C 的离心率为________．(3)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为5，△AOB 的面积为2，则p ＝________．1．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2x B.y ＝±3x C ．y ＝±22x D.y ＝±32x2．(2019·济南市模拟考试)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，且AF 1―→·AF 2―→＝0，AF 2―→＝2F 2B ―→，则椭圆E 的离心率为( )A.23B.34C.53D.743．(2019·广州市调研测试)已知抛物线y2＝2px(p>0)与双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为()A.2＋1B.3＋1C.5＋1D.2＋24．已知F1，F2是双曲线y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是________．考点三直线与圆锥曲线题型一直线与圆锥曲线的位置关系[例3]在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p ＞0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.(1)求|OH| |ON|；(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由．题型二 直线与圆锥曲线的弦长[例4] (2019·全国卷Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .(1)若|AF |＋|BF |＝4，求l 的方程； (2)若AP ―→＝3PB ―→，求|AB |.1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a ＞1)，F 1，F 2分别是其左、右焦点，以F 1F 2为直径的圆与椭圆C 有且仅有两个交点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点F 1且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点P ，点P 横坐标的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14，0，求线段AB 长度的取值范围．2．(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E ⎝⎛⎭⎫0，52为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．3.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为(3，0)，且经过点⎝⎛⎭⎫－1，32，点M 是x轴上的一点，过点M 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 在x 轴的上方)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若AM ―→＝2MB ―→，且直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝47相切于点N ，求|MN |.【课后专项练习】A 组一、选择题1．(2019·济南模拟)已知双曲线x 29－y 2m ＝1的一个焦点F 的坐标为(－5，0)，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±43xB.y ＝±34xC ．y ＝±53xD.y ＝±35x2．已知抛物线x 2＝4y 上一动点P 到x 轴的距离为d 1，到直线l ：x ＋y ＋4＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是( )A.552＋2B.522＋1C.522－2D.522－13．(2019·全国卷Ⅲ)双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O为坐标原点，若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( )A.324B.322C.22D.324．(2019·全国卷Ⅱ)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( )A. 2B.3 C ．2 D.55．(2019·昆明模拟)已知F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，B 为C 的短轴的一个端点，直线BF 1与C 的另一个交点为A ，若△BAF 2为等腰三角形，则|AF 1||AF 2|＝( )A.13B.12C.23D.36．(2019·广州调研)已知椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长是短轴长的2倍，过右焦点F 且斜率为k (k >0)的直线与Γ相交于A ，B 两点．若AF ―→＝3FB ―→，则k ＝( )A.1B.2C.3D.2二、填空题7．已知P (1，3)是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)渐近线上的点，则双曲线C 的离心率是________．8．若F 1，F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为________．9．(2019·洛阳尖子生第二次联考)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，且AF ―→＝3FB ―→，抛物线C 的准线l 与x 轴交于点E ，AA 1⊥l 于点A 1，若四边形AA 1EF 的面积为63，则p ＝________．三、解答题10．(2019·天津高考)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4，离心率为5 5.(1)求椭圆的方程；(2)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N 在y轴的负半轴上，若|ON|＝|OF|(O为原点)，且OP⊥MN，求直线PB的斜率．11．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)上一点M(m，9)到其焦点F的距离为10.(1)求抛物线C的方程；(2)设过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且抛物线在A，B两点处的切线分别交x轴于P，Q两点，求|AP|·|BQ|的取值范围．12．(2019·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2：(x －1)2＋y 2＝4a 2交于点A ，与椭圆C 交于点D .连接AF 1并延长交圆F 2于点B ，连接BF 2交椭圆C 于点E ，连接DF 1.已知DF 1＝52. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)求点E 的坐标．1．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，过焦点F的直线交C于A，B两点，D是抛物线的准线l与y轴的交点．(1)若AB∥l，且△ABD的面积为1，求抛物线的方程；(2)设M为AB的中点，过M作l的垂线，垂足为N.2．(2019·武汉市调研测试)已知椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点M (－2，1)，且右焦点F (3，0)．(1)求椭圆Γ的标准方程；(2)过N (1，0)且斜率存在的直线AB 交椭圆Γ于A ，B 两点，记t ＝MA ―→·MB ―→，若t 的最大值和最小值分别为t 1，t 2，求t 1＋t 2的值．3.如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，右顶点、上顶点分别为点A ，B ，且|AB |＝52|BF |. (1)求椭圆C 的离心率；(2)若点M ⎝⎛⎭⎫－1617，217在椭圆C 的内部，过点M 的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，M 为线段PQ 的中点，且OP ⊥OQ ，求直线l 的方程及椭圆C 的方程．4．(2019·福建省质量检查)在平面直角坐标系xOy中，圆F：(x－1)2＋y2＝1外的点P在y轴的右侧运动，且P到圆F上的点的最小距离等于它到y轴的距离．记P的轨迹为E.(1)求E的方程；(2)过点F的直线交E于A，B两点，以AB为直径的圆D与平行于y轴的直线相切于点M，线段DM交E于点N，证明：△AMB的面积是△AMN的面积的四倍．。
“高中数学课件-圆锥曲线”
抛物线
抛物线是另一种圆锥曲线形式，其特点是离焦点和准线的距离相等。它在物理学和工程学中常用于描述抛体的轨迹。
双曲线
双曲线是圆锥曲线的第三种形式，其特点是离焦点和准线的距离之差固定。它在物理、电子学和天文学中有广泛的 应用。
圆锥曲线的性质
对称性
圆锥曲线通常具有对称性，可 以通过某种轴或中心进行对称。
焦距与半径
焦距与半径是圆锥曲线的重要 性质，它们决定了曲线的形状 和特性。
离心率
离心率是描述曲线形状的重要 参数，在椭圆、抛物线和双曲 线中有不同的取值。
判定圆锥曲线的方法
1 焦点和准线
2 轨迹类型
根据给定的焦点和准线坐标， 可以确定圆锥曲线的形状和 方程。
圆锥曲线的轨迹类型（椭圆、 抛物线、双曲线）可以通过 经验判断或图形分析得出。
极坐标方程的抛物线
同样，抛物线也可以用极坐标方程来描述。通过极径和极角，我们可以方便地表示抛物线的形状和位置。
双曲线的性质
双曲线具有独特的性质，如焦点与准线的距离之差、离心率的关系、边缘的特点等。它在物理学和工程学中有广泛 的应用。
双曲线的方程
双曲线的方程可以通过焦点和准线的坐标来表示。这是描述双曲线形状和位 置的重要工具。
孤点椭圆
孤点椭圆是一种特殊的椭圆形状，它只有一个焦点，没有准线。它在天文学 和轨道动力学中有重要的应用。
抛物线的性质
抛物线具有许多有趣的性质，如焦点与准线的距离相等、对称性、方程的特 点等。
抛物线的方程
抛物线的方程可以通过焦点和准线的坐标，或者通过经验公式来表示。这是 描述抛物线形状和位置的重要工具。
高中数学课件——圆锥曲 线
让我们一起探索圆锥曲线吧！从基本形式到各种性质，以及判定方法和方程。 让数学变得有趣和令人着迷！
串讲02圆锥曲线(考点串讲)高二数学下学期期中考点大串讲(2020选修)
8.圆锥曲线中的证明与探索性问题
9.设椭圆 C：x2＋y2＝1 的右焦点为 F，过 F 的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，点 M
2 的坐标为(2，0)．
(1)当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程； (2)设 O 为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB.
解：(1)由已知得 F(1，0)，直线 l 的方程为 x＝1.
直线 MA，MB 的斜率之和为 kMA＋kMB＝x1y－1 2＋x2y－2 2，
由 y1＝kx1－k，y2＝kx2－k，得 kMA＋kMB＝2kx1（x2x－1－3k2（）（x1＋x2－x2）2）＋4k. 将 y＝k(x－1)代入x2＋y2＝1 得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0.Δ＝8(k2＋1)>0，
求椭圆中焦点三角形面积的方法： (1)方法一：①根据椭圆的定义求出|PF1|+|PF2|＝2a； ②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值； ④利用公式 S△PF1F2＝12×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2＝b2tan∠F1PF2 求得面积． (2)方法二：用公式 S△PF1F2＝12×|F1F2|×|yP|(yP 为 P 点的纵坐标)求得面积．
2
所以 x1＋x2＝2k42k＋2 1，x1x2＝22kk22－ ＋21， 则 2kx1x2－3k(x1＋x2)＋4k＝4k3－4k－21k22＋k3＋ 1 8k3＋4k＝0.
从而 kMA＋kMB＝0，故 MA，MB 的倾斜角互补．
所以∠OMA＝∠OMB. 综上所述，∠OMA＝∠OMB.
易错易混
5 解得r2＝6. 故所求圆的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝6.
高中数学选修21《圆锥曲线及方程》知识点讲义
第二章圆锥曲线与方程一、曲线与方程的定义：设曲线 C，方程 F x, y =0，知足以下两个条件：①曲线 C上一点的坐标x, y 知足 F x, y =0；②方程F x, y=0解x, y都在曲线C上 ..则曲线C 称是方程F x, y =0的曲线，方程F x, y =0是曲线C的方程二、求曲线方程的两种种类：1、已知曲线求方程；用待定系数法2、未知曲线求方程①设动点x, y ;②成立等量关系；③用含 x, y的式子取代等量关系；④化简；别出现不等价状况⑤证明；高中不要求椭圆一、椭圆及其标准方程1、画法2、定义： P PF 1 PF 22a, F 1 F 2 2a3、方程22或②y2 2①x2y 2 1 a b 0 2x 2 1 a b 0 abab二、几何性质：x 2+ y 21 a b 0a2b21、范围： x a, yb.2、对称性：对于 x 、 y 、原点 O 对称 .3、极点 A 1 a,0 , A 2 a,0 , B 1 0, b , B 2 0, b .4、a, b, c 之间的关系： a 2b 2c 2cb 25、离心率： ea1a 2e 1e 0越圆 , e 1越扁扩展：①与椭圆x2+ y 2 =1有同样焦点的椭圆方程为x 2 + y 2 =1 m b 2 a 2b 2a 2m b 2 m②有同样离心率的椭圆为x 2y 21 k0 或 y 2x 2 1 k 0ka 2kb 2ka 2kb 2③椭圆上的点到焦点的最小距离是 a c ，最大距离是 a c.④P 为椭圆上一动点，当点 P 为短轴端点时， F 1PF 2最大 .⑤AB 为过焦点 F 的弦，则 VABF 2的周长为 4a.⑥直线 y kx b 与圆锥曲线订交于 A x 1, y 1 , B x 2 , y 2 两点，则当直线的斜率存在时，弦长l 为 :l1 k 2 x 1 x 21 k 2x 1 x 2 24x 1 x 21 1y 1 y 22或当 k 存在且不为 0时， l12 y 1y 21k 24 y 1 y 2k⑥当椭圆的焦点地点不确准时，可设椭圆的方程为Ax 2 By 21A 0,B 0.1、画法2、定义： P PF 1 PF 2 2a, F 1F 22a3、方程：x 2y 2y 2 x 2① a 2 b21 a, b 0 或② a2b 21 a,b 0二、几何性质：x2 y 222 1 a,b 0 ab1、范围： x a, yR2、对称性：对于 x 轴、 y 轴、原点 O 对称 .3、极点： A 1 a,0 , A 2 a,0实轴 A 1 A 2 = 2a ，虚轴 B 1B 2 2b.4、 a 、 b 、 c 之间的关系： c 2 a 2 b 2 .c1b 2e1 5、离心率 : e2a ae 越大，张口越阔6、渐近线： yb x y 2 x 2 1的渐近线为 y a xaa 2b 2bx 2y 2x 2 y 2 m m 0 有同样离心率 .说明： 2b 21与 2 2 aa b1、定义： P PF且 F ld P l2、标准方程及几何性质标准方程y2 2 px p 0y2 2 px p 0x2 2 py p 0x2 2 py p 0简图焦点p,0p、p、p2,000222准线x p p p px2y y222范围x0x 0y 0y 0对称性x轴y 轴极点0, 0离心率 e 1说明：① P越大，张口越阔.②抛物线无穷向外延展，但它无渐进线.扩展：1、设 Q点分别位于抛物线张口之内，抛物线上，以及张口之外，问过Q点且和抛物线只有一个交点的直线有几条？答：①当 Q位于抛物线张口之内， 1个交点的直线只有一条主轴或其平行线.②当 Q位于抛物线上，1个交点的直线有两条，即主轴或其平行线，和切线.③当 Q位于抛物线外，1个交点的直线有3条，分别是主轴或其平行线，两条切线.2、过焦点的弦长如图，AB AF BFpx Ap 2x B2 p x A x B。
高中数学讲义圆锥曲线
高中数学讲义圆锥曲线【方法点拨】解析几何是高中数学的重要内容之一，也是衔接初等数学和高等数学的纽带。
而圆锥曲线是解析几何的重要内容，因而成为高考考查的重点。
研究圆锥曲线，无外乎抓住其方程和曲线两大特征。
它的方程形式具有代数的特性，而它的图像具有典型的几何特性，因此，它是代数与几何的完美结合。
高中阶段所学习和研究的圆锥曲线主要包括三类：椭圆、双曲线和抛物线。
圆锥曲线问题的基本特点是解题思路比较简单清晰，解题方法的规律性比较强，但是运算过程往往比较复杂，对学生运算能力，恒等变形能力，数形结合能力及综合运用各种数学知识和方法的能力要求较高。
1. 一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质.2.着力抓好运算关，提高运算与变形的能力，解析几何问题一般涉及的变量多，计算量大，解决问题的思路分析出来以后，往往因为运算不过关导致半途而废，因此要寻求合理的运算方案，探究简化运算的基本途径与方法，并在克服困难的过程中，增强解决复杂问题的信心，提高运算能力.3.突出主体内容，要紧紧围绕解析几何的两大任务来学习：一是根据已知条件求曲线方程，其中待定系数法是重要方法，二是通过方程研究圆锥曲线的性质，往往通过数形结合来体现，应引起重视.4.重视对数学思想如方程思想、函数思想、数形结合思想的归纳提炼，达到优化解题思维、简化解题过程第1课 椭圆A【考点导读】1. 掌握椭圆的第一定义和几何图形,掌握椭圆的标准方程,会求椭圆的标准方程,掌握椭圆简单的几何性质;2. 了解运用曲线方程研究曲线几何性质的思想方法；能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题. 【基础练习】1．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是______ 2.椭圆1422=+y x 的离心率为______3.已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是______4. 已知椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ，则k 的值为______ 【范例导析】例1.（1）求经过点35(,)22-，且229445x y +=与椭圆有共同焦点的椭圆方程。
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2双曲线的简单几何性质课件新人教A版选修1_1
[解析] 双曲线 C：x62－y32＝1 中，c2＝6＋3＝9，∴c＝3，则 C 的右焦点的坐
标为(3,0)，C 的渐近线方程为 y＝± 36x，即 y＝± 12x，即 x± 2y＝0，则 C 的焦点
到其渐近线的距离
d＝
3＝ 3
3.
6．已知中心在原点的双曲线的渐近线方程是 y＝± 3x，且双曲线过点( 2， 3)．
1．双曲线2x52 －y92＝1 的顶点坐标是( A )
A．(±5,0)
B．(±5,0)或(0，±3)
C．(±4,0)
D．(±4,0)或(0，±3)
[解析] ∵双曲线的顶点在x轴上，又a＝5，∴选A．
2．(2019·浙江卷，2)渐近线方程为 x±y＝0 的双曲线的离心率是( C )
A．
2 2
B．1
(1)求双曲线的方程； (2)求双曲线的焦点到渐近线的距离．
[解析] (1)设双曲线的方程为：3x2－y2＝λ(λ≠0)，点( 2， 3)代入得 λ＝3， 所以所求双曲线方程为 x2－y32＝1.
(2)由于双曲线的方程为 x2－y32＝1，所以它的焦点为(－2，0)、(2,0)，点(－ 2,0)到直线 y＝± 3x 的距离为 d＝ |21＋3|3＝ 3.则双曲线的焦点到渐近线的距离为
1．双曲线的简单几何性质
焦点位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
双曲线方程 _____ax_22_－__by_22_＝__1_(a_>_0_，__b_>__0_) ____ ______ay_22－__bx_22_＝__1_(_a_>_0_，__b_>_0_)____
范围
___x_≤_－__a_或__x_≥_a____
C． 2 [解析] 由题意可得ba＝1，∴ e＝
高二数学苏教版选修2-1精编讲义第1部分第2章25圆锥曲线的
高二数学苏教版选修2-1精编讲义第1部分第2章25圆锥曲线的……………………………………………………………名校名师推荐…………………………………………………1_2.5圆锥曲线的统一定义[对应学生用书P35]抛物线可以看成平面内的到定点(焦点)F的距离与到定直线(准线)l 的距离的比值等于1(离心率)的动点的轨迹．在坐标平面内有一定点F(c,0)，定直线某＝a2 c(a>0，c>0)．动点P(某，y)到定点F(c,0)的距离与到定直线某＝a2c 的距离的比为ca.问题1：求动点P(某，y)的轨迹方程．提示：由(某－c)2＋y2|a2c－某|＝ca，化简得：(a2－c2)某2＋a2y2＝a2(a2－c2)．问题2：当a>c，即0<ca<1时，轨迹是什么？提示：椭圆．问题3：当a<c，即ca>1时，轨迹是什么？提示：双曲线．圆锥曲线可以统一定义为：平面内到一个定点F和到一条定直线l(F 不在l上)的距离的比等于常数e的点的轨迹．当0＜e＜1时，它表示椭圆，当e＞1时，它表示双曲线，当e＝1时，它表示抛物线．其中e是离心率，定点F是圆锥曲线的焦点，定直线l是圆锥曲线的准线.……………………………………………………………名校名师推荐…………………………………………………2从抛物线的定义知，抛物线只有一个焦点和一条准线，那么椭圆、双曲线有几个焦点，几条准线？提示：椭圆、双曲线分别有两个焦点，两条准线．椭圆、双曲线和抛物线的准线方程圆锥曲线的第一定义与第二定义的区别椭圆、双曲线的第一定义突出了动点与两定点的距离关系，第二定义主要表现了动点与一定点和一条定直线的距离之比的关系，所以在选用两种定义时可根据题目条件的不同适当选择．利用第一定义可以把到一个定点的距离转化为到另一点的距离，利用第二定义可以把到定点与到定直线的距离互相转化，对于抛物线，第一定义与第二定义是一致的．[对应学生用书P36][例1]过圆锥曲线C的一个焦点F的直线l交曲线C于A，B两点，且以AB为直径的圆与F相应的准线相交，则曲线C为________．[思路点拨]利用圆锥曲线第二定义进行转化，由圆心到直线的距离和半径的大小关系，建立不等式求e的范围即可判断．[精解详析]设圆锥曲线的离心率为e，M为AB的中点，A，B和M到准线的距离分别为d1，d2和d，圆的半径为R，d＝d1＋d22，R＝AB2＝FA ＋FB2＝e(d1＋d2)2.由题意知R＞d，则e＞1，圆锥曲线为双曲线．[答案]双曲线……………………………………………………………名校名师推荐…………………………………………………3[一点通]解答这种类型的问题时，巧妙应用圆锥曲线的统一定义进行转化，即e＝PF1d1＝PF2d2.有时会应用到数形结合的思想方法，这种类型多为客观题，以考查统一定义的应用为主．1．方程(1＋某)2＋y2＝|某＋y－1|对应点P(某，y)的轨迹为________．解析：由(1＋某)2＋y2＝|某＋y－1|得[某－(－1)]2＋y2|某＋y－1|2＝2.可看作动点P(某，y)到定点(－1,0)的距离与到定直线某＋y－1＝0的距离比为2>1的轨迹方程，由圆锥曲线统一定义可知，轨迹为双曲线．答案：双曲线2．若将例1中“相交”二字改为“相离”，判断曲线的形状；把“相交”二字改为“相切”，再判断曲线的形状．解：设圆锥曲线的离心率为e，M是AB中点，A，B和M到准线的距离分别为d1，d2和d，圆的半径为R，则d＝d1＋d22，R＝AB2＝FA＋FB2＝e(d1＋d2)2.当圆与准线相离时，R＜d，即e(d1＋d2)2＜d1＋d22，∴0＜e＜1，圆锥曲线为椭圆．当圆与准线相切时，R＝d，∴e＝1，圆锥曲线为抛物线.[例2]已知动点P(某，y)到点A(0,3)与到定直线y＝9的距离之比为33，求动点P的轨迹．[思路点拨]此题解法有两种一是定义法，二是直译法．[精解详析]法一：由圆锥曲线的统一定义知：P点的轨迹是一椭圆，c＝3，a2c＝9，则……………………………………………………………名校名师推荐…………………………………………………4a2＝27，a＝33，∴e＝333＝33，与已知条件相符．∴椭圆中心在原点，焦点为(0，±3)，准线y＝±9.b2＝18，其方程为y227＋某218＝1.法二：由题意得某2＋(y－3)2|9－y|＝33.整理得y227＋某218＝1.P点的轨迹是以(0，±3)为焦点，以y＝±9为准线的椭圆．[一点通]解决此类题目有两种方法：①是直接列方程，代入后化简整理即得方程．②是根据定义判断轨迹是什么曲线，然后确定其几何性质，从而得出方程．3．平面内的动点P(某，y)(y>0)到点F(0,2)的距离与到某轴的距离之差为2，求动点P的轨迹．解：如图：作PM⊥某轴于M，延长PM交直线y＝－2于点N.∵PF－PM＝2，∴PF＝PM＋2.又∵PN＝PM＋2，∴PF＝PN.∴P到定点F与到定直线y＝－2的距离相等．由抛物线的定义知，P的轨迹是以F为焦点，以y＝－2为准线的抛物线，顶点在原点，p＝4.∴抛物线方程为某2＝8y(y>0)．∴动点P的轨迹是抛物线．4．在平面直角坐标系某Oy中，已知F1(－4,0)，直线l：某＝－2，动点M到F1的距离是它到定直线l距离d的2倍．设动点M的轨迹曲线为E.(1)求曲线E的轨迹方程；(2)设点F2(4,0)，若直线m为曲线E的任意一条切线，且点F1，F2到m的距离分别为d1，d2，试判断d1d2是否为常数，并说明理由．解：(1)由题意，设点M(某，y)，则有MF1＝(某＋4)2＋y2，点M(某，y)到直线l的距离d＝|某－(－2)|＝|某＋2|，……………………………………………………………名校名师推荐…………………………………………………5故(某＋4)2＋y2＝2|某＋2|，化简得某2－y2＝8.故动点M的轨迹方程为某2－y2＝8.(2)d1d2是常数，证明如下：若切线m斜率不存在，则切线方程为某＝±22，此时d1d2＝(c＋a)·(c－a)＝b2＝8.当切线m斜率存在时，设切线m：y＝k某＋t，代入某2－y2＝8，整理得：某2－(k某＋t)2＝8，即(1－k2)某2－2tk某－(t2＋8)＝0.Δ＝(－2tk)2＋4(1－k2)(t2＋8)＝0，化简得t2＝8k2－8.又由k某－y＋t＝0，d1＝|－4k＋t|k2＋1，d2＝|4k＋t|k2＋1，d1d2＝|16k2－t2|k2＋1＝|16k2－(8k2－8)|k2＋1＝8,8为常数．综上，对任意切线m，d1d2是常数.[例3]已知定点A(－2，3)，点F为椭圆某216＋y212＝1的右焦点，点M在椭圆上运动，求AM＋2MF的最小值，并求此时点M的坐标．[思路点拨]利用统一定义把MF转化为点M到相应准线的距离，数形结合便可迎刃而解．[精解详析]∵a＝4，b＝23，∴c＝a2－b2＝2.∴离心率e＝12.A点在椭圆内，设M到右准线的距离为d，则MFd＝e，即MF＝ed＝12d，右准线l：某＝8.∴AM＋2MF＝AM＋d.∵A点在椭圆内，∴过A作AK⊥l(l为右准线)于K，交椭圆于点M0.则A、M、K三点共线，即M与M0重合时，AM＋d最小为AK，其值为8－(－2)＝10.故AM＋2MF的最小值为10，此时M点坐标为(23，3)．[一点通]圆锥曲线的统一定义通常用来解决一些与距离有关的最值问题，利用定义，实现曲线上的点到焦点的距离与到相应准线的距离间的互化，互化时应注意焦点与准线的对。
高二圆锥曲线知识点讲解
高二圆锥曲线知识点讲解在高中数学课程中，圆锥曲线是一个重要的内容。
它们以其特殊的形状和性质而受到广泛的关注和研究。
本文将全面讲解高二年级学生所需了解的圆锥曲线知识点，包括椭圆、双曲线和抛物线。
1. 椭圆椭圆是一种平面上的曲线，其定义是到两个给定点的距离之和等于常数的点的集合。
这两个给定点称为焦点，而常数称为离心率。
在坐标系中，椭圆的方程通常写作(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)是椭圆的中心，a和b是椭圆的长半轴和短半轴。
2. 双曲线双曲线是平面上的另一类曲线，其定义是到两个给定点的距离之差等于常数的点的集合。
这两个给定点仍然称为焦点，而常数称为离心率。
双曲线的方程通常写作(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)是双曲线的中心，a和b是双曲线的长半轴和短半轴。
3. 抛物线抛物线是平面上的一种开口朝上或朝下的曲线，其定义是到一个给定点的距离等于到一个给定直线的距离的点的集合。
给定点称为焦点，给定直线称为准线。
在坐标系中，抛物线的方程通常写作y² = 4ax或x² = 4ay，其中a是抛物线的焦距。
以上是高二圆锥曲线的基本概念和方程形式。
接下来，我们将讨论它们的性质和应用。
4. 性质和应用椭圆的特点是所有点到两个焦点的距离之和等于常数，因此它在几何光学、力学和电磁学中有广泛的应用。
例如，椭圆的反射特性使其成为天体轨道和卫星通信的研究对象。
双曲线的特点是所有点到两个焦点的距离之差等于常数，因此它在物理光学、天体力学和导弹轨迹等领域具有重要的应用。
例如，双曲线形状的反射面可以聚焦光线，用于望远镜和抛物面反射天线的设计。
抛物线具有对称性和反射性质，因此它在物理光学、力学和电磁学中也有广泛的应用。
例如，抛物面的反射性质使其成为卫星天线、太阳能反射器和汽车头灯的设计选择。
高二圆锥曲线讲义
高二圆锥曲线讲义圆锥曲线一、定义 1 第一定义2 第二定义（抛物线是重点）二几何性质 1 标准方程 2 离心率 3 弦长问题4 点在曲线上、曲线内、曲线外5 焦点三角形6 焦半径7 准线三典型题1 动点的轨迹问题（直接法、定义法、相关点法、参数法）2 中点弦问题（点差法、韦达定理）3 面积问题（焦点三角形、弦长公式）4 定点、定值及最值问题（直线过定点、点在直线上、直线与曲线相切）5 取值范围（第一种是不等式求解 ; 第二种是函数的值域求解法)① 直曲联立判别式大于零；② 点在曲线内部或外部；③ 曲线本身a x a ≤≤-,b y b ≤≤-；④ 三角形俩边之和大于第三遍，俩边之差小于第三边；⑤ 向量钝角向量点积小于零，锐角大于零；中点弦问题例1已知椭圆E 经过点()2,3A ，对称轴为坐标轴，焦点12,F F 在x 轴上，离心率12e =. (Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)求12F AF ∠的角平分线所在直线l 的方程；(Ⅲ)在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由.变式1 过椭圆141622=+y x 内一点M （2，1）引一条弦，使弦被点M 平分，求这条弦所在的直线方程。
变式2 过椭圆1366422=+y x 上一点P （-8，0）作直线交椭圆于Q 点，求PQ 中点的轨迹方程。
变式3 求直线1-=x y 被抛物线x y 42=截得线段的中点坐标。
变式4 已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距离依次成等差数列，若直线l 与此椭圆相交于A 、B 两点，且AB 中点M 为(-2，1)，34=AB ，求直线l 的方程和椭圆方程。
动点的轨迹方程例1 已知椭圆方程为2214y x +=，过定点(0,1)M 的直线l 与椭圆交于,A B 两点，O 为坐标原点，()2OA OB OP +=, 求点P 的轨迹方程变式1 （2011 安徽）设λ>0，点A 的坐标为（1,1），点B 在抛物线2y x =上运动，点Q 满足BQ =QA λ，经过点Q 与x 轴垂直的直线交抛物线于点M,点P 满足QM =MP λ,求点P 轨迹方程变式2（2011天津理）在平面直角坐标系xOy 中，点(,)P a b (0)a b >>为动点，12,F F 分别为椭圆22221x y a b+=的左右焦点．已知12F PF ?为等腰三角形．（Ⅰ）求椭圆的离心率e ；（Ⅱ）设直线2PF 与椭圆相交于,A B 两点，M 是直线2PF 上的点，满足2AM BM ?=-，求点M 的轨迹方程．变式3、（1）)2 , 4(P 是⊙0362824:22=---+y x y x C 内的一个定点，圆上的动点A 、B 满足?=∠90APB ，求弦AB 中点Q 的轨迹方程；（2）已知定点)2 , 0(A 及⊙4:22=+y x O ．过A 作直线MA 切⊙O 于A ，M 为切线上一个动点，MQ 切⊙O 于Q 点（如图），求MAQ ?的垂心H 的轨迹方程．变式4、（江苏）如图圆1O 与圆2O 的半径都等于1，421=O O ．过动点P 分别作圆1O 、圆2O 的切线PM 、PN （M 、N 分别为切点），使得PN PM 2=．试建立平面直角坐标系，并求动点P 的轨迹方程．变式5 P 是椭圆22221x y a b+=上的任意一点，12,F F 是它的两焦点，O 为坐标原点，12OQ PF PF =+，则动点Q 的轨迹方程是 .变式4 动点P 到点A （0，8）的距离比到直线:7l y =-的距离大1，求动点P 的轨迹方程。
高二数学选修21第二章圆锥曲线
高二数学选修21第二章圆锥曲线篇一：高二数学选修2-1第二章圆锥曲线知识点+习题+答案第二章圆锥曲线与方程1、平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．3、设?是椭圆上任一点，点?到F1对应准线的距离为d1，点?到F2对应准线的距离为d2，则?F1d1??F2d2?e．4、平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数（小于F1F2）的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．第 1 页7、设?是双曲线上任一点，点?到F1对应准线的距离为d1，点?到F2对应准线的距离为d2，则?F1d1??F2d2?e．8、平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线． 9、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于?、?两点的线段??，称为抛物线的“通径”，即???2p． 10、焦半径公式：p； 2p若点??_0,y0?在抛物线y2??2p_?p?0?上，焦点为F，则?F??_0?；2p若点??_0,y0?在抛物线_2?2py?p?0?上，焦点为F，则?F?y0?；2p若点??_0,y0?在抛物线_2??2py?p?0?上，焦点为F，则?F??y0?．2若点??_0,y0?在抛物线y2?2p_?p?0?上，焦点为F，则?F?_0?第 2 页圆锥曲线测试题一、选择题：1．已知动点M的坐标满足方程13_2?y2?|12_?5y?12|，则动点M的轨迹是（）A. 抛物线 B.双曲线C. 椭圆D.以上都不对_2y2?1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3_?2y?0,F1、F2分别2．设P是双曲线2?9a是双曲线的左、右焦点，若|PF1|?5，则|PF2|?（）A. 1或5 B. 1或9C. 1D. 93、设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）.第 3 页A.?1 B. C. 21 224．过点(2,-1)引直线与抛物线y?_2只有一个公共点,这样的直线共有()条A. 1B.2C. 3D.45．已知点A(?2,0)、B(3,0)，动点P(_,y)满足PA?PB?y2，则点P的轨迹是 ( ) A．圆 B．椭圆C．双曲线D．抛物线_2y26．如果椭圆??1的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是（）369_?2y?0 _?2y?4?02_?3y?12?0 _?2y?8?0 7、无论?为何值，方程_2?2sin??y2?1所表示的曲线必不是（）A. 双曲线B.抛物线C. 椭圆D.以上都不对8．方程m_?ny2?0与m_2?ny2?1(m?n?0)的曲线在同一坐标系中的示意图应是（二、填空题：_2y2_2y2??1和双曲线??1有下列命题： 9．对于椭圆16979① 椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点; ②双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点; ③ 双曲线与椭圆共焦点;④椭圆与双曲线有两个顶点相同. 其中正确命题的序号是 .10．若直线(1?a)_?y?1?0与圆_2?y2?2_?0相切，则a的值为11、抛物线y??_2上的点到直线4_?3y?8?0的距离的最小值是12、抛物线C: y2=4_上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐第 4 页标。
沪教版高二数学讲义 圆锥曲线专题 第2讲 圆(一) 学生版
1、圆的方程：（1）圆的标准方程： ，圆心： ，半径： ；（2）圆的一般方程： ，圆心： ，半径： ；2、点和圆的位置关系：（1）已知圆()()222x a y b r -+-=，圆心(),C a b ，则 000000⇔⎧⎪⇔⎨⎪⇔⎩点P(x ,y )在点P(x ,y )在圆上圆外圆内点P(x ,y )在（2）若点P 是圆C 外一定点，则该点与圆上的点的最大距离为 ，最小距离为 .圆的方程2题型一 圆的标准方程【例题1】（1）求以点)2,1(-为圆心，并与y 轴相切的圆的方程；（2）求过点)0,3(),0,3(B A -的所有圆中面积最小的圆的方程.（3）求圆122=+y x 关于直线4=+y x 对称的圆的方程.（4）已知圆C 过点)2,3(),2,5(-B A ，且圆心C 在直线32=-y x 上，求圆C 的方程；（5）一个圆经过点)1,2(-A ,圆心在直线02=+y x 上，且和直线01=--y x 相切，求此圆的方程.（6）求经过点)2,6(),2,2(),5,3(--C B A 三点的圆的标准方程.【例题2】在南沙群岛上，A 岛与B 岛相距8海里，一艘军舰在海上巡逻，巡逻过程中，从军舰上看B A ,两岛保持视角为直角，试写出军舰巡逻路线的轨迹方程.题型二 一般方程【例题3】（1）方程052422=+-++m y mx y x 表示圆的充要条件是 ；（2）若方程012)32(222=+++++a ax y a x a 表示圆，则实数a 的范围为 ；（3）如果方程)04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x 所表示的曲线关于直线x y =对称，那么必有 ；（4）曲线0222222=-++y x y x 关于 对称；（5）与圆)04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x 关于原点对称的圆为 ；（6）如果圆022=++++F Ey Dx y x 与x 轴相切于原点，那么应满足 .【例题4】（1）圆C 过点)3,1(),2,4(--B A ,且在两坐标轴上的截距之和为14，求圆C 的方程；（2）求过三点(0,0)O 、1(1,1)M 、2(4,2)M 的圆的方程.【例题5】在圆422=+y x 上求一点P ，使得P 到直线634=+y x 的距离最大.题型四 点和圆的位置关系【例题6】若点)1,12(+-a a 在圆9)1()2(22=-+-y x 内部，求a 的范围.题型五 动圆【例题7】已知圆)(024210)1(26222R m m m y m mx y x ∈=--+---+，求证：不论m 为何值，圆心在同一直线l 上.【练习1】 圆096222=+--+y x y x 关于直线01=--y x 对称的圆的方程为 . 【练习2】若圆C 与圆0222=-+x y x 外切，并且与直线03=+y x 相切于点()3,3-，则圆C 的方程为 . 【练习3】经过两点)4,2(-P ，()1,3-Q ,并且在x 轴上截得的弦长等于6的圆的方程为 .【练习4】求过点)1,2(A 且与两坐标轴都相切的圆的方程.【练习5】已知)4,7(),8,3(--B A 为直径的两个端点，求该圆的标准方程；【练习1】若圆与y 轴相切，圆心在直线03=-y x 上，且被直线x y =截得的弦长为72，则此圆的方程为 .【练习2】圆2)4()3(22=++-y x 关于直线0=+y x 的对称圆的标准方程是 .【练习3】点)12,15(a a P +在圆1)1(22=+-y x 的内部，则实数a 的取值范围是 .【练习4】光线l 从点)1,1(-P 射出，经过y 轴反射后与圆1)4()4(:22=-+-y x C 相切，试求直线l 所在的直线方程.。
高中数学选修圆锥曲线讲义
1人教版高中数学选修一圆锥曲线及方程知识点精汇椭圆的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距注意:椭圆定义中容易遗漏的两处地方： （1）两个定点---两点间距离确定（2）绳长--轨迹上任意点到两定点距离和确定思考：在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（→线段）在同样的绳长下，两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（→圆）由此，椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关(为下面离心率概念作铺垫)由椭圆的定义可知它的基本特征，但对于这种曲线还具有哪些性质，我们几乎一无所知，因此需要建立椭圆的方程，以便于做进一步的认识。
2.根据定义推导椭圆标准方程：取过焦点21,F F 的直线为x 轴，线段21F F 的垂直平分线为y 轴),(y x P 为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是c 2（0>c ）.则)0,(),0,(21c F c F -，2又设M 与21,F F 距离之和等于a 2(c a 22>)（常数）{}a PF PF P P 221=+=∴221)(y c x PF ++= 又，a y c x y c x 2)()(2222=+-+++∴，化简，得 )()(22222222c a a y a x c a -=+-， 由定义c a 22>,022>-∴c a令222b c a =-∴代入，得 222222b a y a x b =+，两边同除22b a 得：12222=+by a x （a >b>0），此即为椭圆的标准方程它所表示的椭圆的焦点在x 轴上，焦点是)0,()0,(21c F c F -，中心在坐标原点的椭圆方程， 其中22b c a +=注意若坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同的方程如果椭圆的焦点在y 轴上（选取方式不同，调换y x ,轴）焦点则变成),0(),,0(21c F c F -,只要将方程12222=+b y a x 中的yx ,调换，即可得12222=+bx a y （a >b>0），也是椭圆的标准方程理解：(1)所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；(2)在12222=+b y a x 与12222=+bx a y 这两个标准方程中，都有0>>b a 的要求，椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1;3(3)椭圆的标准方程中三个参数a 、b 、c 满足a 2=b 2+c 2，a 最大；由椭圆的标准方程可以求出三个参数a 、b 、c 的值;(4)椭圆的标准方程中，x 2与y 2的分母哪一个大，分母即为a 2，则焦点在哪一个轴上。