计算方法-5.1矩阵相似变换和范数分析
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2018/10/30 4
3.矩阵的除法没有意义
对方阵A，存在它的逆矩阵A1，使得 AA1 I 或 A1 A I
4.矩阵的转置
A的转置记为AT，只要用a ji替换aij就可得到AT， 若AT＝A，则A为正交的方阵
5.几种特殊矩阵
（1）方阵：矩阵的行数与列数相等； （2）单位矩阵：I n (n n)，I n A A； （3）上三角阵；（4）下三角阵； （5）对角阵；（6）带状矩阵
证明
A与B相似
可逆阵P, 使得P 1 AP B
B E P 1 AP P 1E P P1 A E P
P1 A E P A E
1 推论 若 n阶方阵A与对角阵 2 相似, 则1, 2 ,, n即是A的n个特征值 n
a1n a2n amn
称为m n阶矩阵 用记号(aij ) mn 表示
矩阵的基本术语及运算的基本性质
1.矩阵的加法和减法
A (aij ) mn ， B (bij ) mn
2018/10/30
要求相加减者有 相同行、列数
C A B D A B
2018/10/30 5
§ 5.1矩阵相似变化与范数
5.1.1 相似矩阵与相似变换的概念
定义1 设A, B都是n阶矩阵, 若有可逆矩阵P, 使 P -1 AP B, 则称B是A的相似矩阵, 或说矩阵A与B相似。对A 进行运算P -1 AP称为对A进行相似变换, 可逆矩阵 P称为把A变成B的相似变换矩阵。
P(a0 Bn a1Bn1 an1B an E) P1
2018/10/30
P ( B) P 1
10
特别地, 若可逆矩阵P使P1 AP 为对角矩阵,
则
Ak Pk P 1,
( A) P () P 1
, k n
又由于P可逆, 所以p1, p2 ,, pn线性无关
命题得证
2018/10/30 14
推论 如果 n 阶矩阵 A 的 n个特征值互不相等， 则 A 与对角阵相似 说明 如果 A 的特征方程有重根，此时不一定有 n 个线性无关的特征向量，从而矩阵 A 不一定能 对角化，但如果能找到 n 个线性无关的特征向量， A 还是能对角化
其中k1, k2是任意常数
2018/10/30 9
利用对角矩阵计算矩阵多项式
若A PBP , 则
1
k个
A
k
k 1 PBP 1PBP 1 PBP 1PBP 1 PB P
A的多项式
( A) a0 An a1An1 an1A an E
a0 PBn P 1 a1PBn 1P 1 an 1PBP1 an PEP1
对于对角矩阵, 有
k
k 1
k 2
(1 ) (1 ) () , ( ) 1 2018/10/30
利用上述结论 可以很方便地 计算矩阵A的 多项式 ( A)
11
5.1.3 利用相似变换将方阵对角化
1 p1, p2 ,, pn
于是有
2018/10/30
Api i pi
i 1,2,, n
13
可见i是A的特征值, 而P的列向量 pi 就是 A的对应于特征值i的特征向量
反之,由于A恰好有n个特征值, 并可对应地求 得n个特征向量, 这n个特征向量即可构成矩阵P, 使AP P
2018/10/30
6
5.1.2 相似矩阵与相似变换的性质
矩阵特征值在相似变换后不变：若A与B相似， 则A和B有相同的特征多项式，进而有相同的特 征值和特征向量。
可利用相似变换使矩阵简化成更简单的矩阵， 便于求解特征值。
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定理1 若n阶矩阵A与B相似, 则A与B的特征多项 式相同, 从而A与B的特征值亦相同
对 n 阶方阵 A , 若可找到可逆矩阵 P , 使 P 1 AP 为对角阵, 这就称为把方阵A对角化
定理2 n阶矩阵A与对角矩阵相似(即A能对角化) 的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.
1 假设存在可逆阵 P , 使 P AP 为对角阵, 证明
把 P 用其列向量表示为 P p1, p2 ,, pn
2018/10/30 8
1. 等价关系
（ 1 ）自返性 A与A本身相似.
（2）对称性 若A与B相似，则B与A相似 （3）传递性 若A与B相似，B与C相似，
则A与C相似
性质(3)在实际计算中非常有用
2. 若A与B相似, 则A 与B 相似m为正整数
m m
1 1 3. P1k1A k A P k P A P k P A2 P 1 2 2 1 1 2
元素Cij aij bij
3
2.矩阵的乘法
A (aij ) mn ， B (bij ) mn
C A B
cij
a
Βιβλιοθήκη Baiduk 1
n
ik bkj
( A的第i行与B的第j列相应元素的乘积之和)
（ 1 ）要求A的列数与B的行数相等； （2）矩阵相乘不可交换，但可结合 AB BA， ( AB)C A( BC )
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由P AP , 得AP P,
1
1 2 即 A p1, p2 ,, pn p1, p2 ,, pn n
1 p1, 2 p2 ,, n pn
A p1, p2 ,, pn Ap1, Ap2 ,, Apn
第五章 矩阵特征值和特征 向量的算法
2018/10/30
1
第五章矩阵特征值和特征 向量的算法
§ 5.1 矩阵相似变换与范数 § 5.2 幂法与反幂法 § 5.3 雅可比（Jacobi）方法 § 5.4 QR方法
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a11 a12 a21 a22 A a m1 am 2
3.矩阵的除法没有意义
对方阵A，存在它的逆矩阵A1，使得 AA1 I 或 A1 A I
4.矩阵的转置
A的转置记为AT，只要用a ji替换aij就可得到AT， 若AT＝A，则A为正交的方阵
5.几种特殊矩阵
（1）方阵：矩阵的行数与列数相等； （2）单位矩阵：I n (n n)，I n A A； （3）上三角阵；（4）下三角阵； （5）对角阵；（6）带状矩阵
证明
A与B相似
可逆阵P, 使得P 1 AP B
B E P 1 AP P 1E P P1 A E P
P1 A E P A E
1 推论 若 n阶方阵A与对角阵 2 相似, 则1, 2 ,, n即是A的n个特征值 n
a1n a2n amn
称为m n阶矩阵 用记号(aij ) mn 表示
矩阵的基本术语及运算的基本性质
1.矩阵的加法和减法
A (aij ) mn ， B (bij ) mn
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要求相加减者有 相同行、列数
C A B D A B
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§ 5.1矩阵相似变化与范数
5.1.1 相似矩阵与相似变换的概念
定义1 设A, B都是n阶矩阵, 若有可逆矩阵P, 使 P -1 AP B, 则称B是A的相似矩阵, 或说矩阵A与B相似。对A 进行运算P -1 AP称为对A进行相似变换, 可逆矩阵 P称为把A变成B的相似变换矩阵。
P(a0 Bn a1Bn1 an1B an E) P1
2018/10/30
P ( B) P 1
10
特别地, 若可逆矩阵P使P1 AP 为对角矩阵,
则
Ak Pk P 1,
( A) P () P 1
, k n
又由于P可逆, 所以p1, p2 ,, pn线性无关
命题得证
2018/10/30 14
推论 如果 n 阶矩阵 A 的 n个特征值互不相等， 则 A 与对角阵相似 说明 如果 A 的特征方程有重根，此时不一定有 n 个线性无关的特征向量，从而矩阵 A 不一定能 对角化，但如果能找到 n 个线性无关的特征向量， A 还是能对角化
其中k1, k2是任意常数
2018/10/30 9
利用对角矩阵计算矩阵多项式
若A PBP , 则
1
k个
A
k
k 1 PBP 1PBP 1 PBP 1PBP 1 PB P
A的多项式
( A) a0 An a1An1 an1A an E
a0 PBn P 1 a1PBn 1P 1 an 1PBP1 an PEP1
对于对角矩阵, 有
k
k 1
k 2
(1 ) (1 ) () , ( ) 1 2018/10/30
利用上述结论 可以很方便地 计算矩阵A的 多项式 ( A)
11
5.1.3 利用相似变换将方阵对角化
1 p1, p2 ,, pn
于是有
2018/10/30
Api i pi
i 1,2,, n
13
可见i是A的特征值, 而P的列向量 pi 就是 A的对应于特征值i的特征向量
反之,由于A恰好有n个特征值, 并可对应地求 得n个特征向量, 这n个特征向量即可构成矩阵P, 使AP P
2018/10/30
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5.1.2 相似矩阵与相似变换的性质
矩阵特征值在相似变换后不变：若A与B相似， 则A和B有相同的特征多项式，进而有相同的特 征值和特征向量。
可利用相似变换使矩阵简化成更简单的矩阵， 便于求解特征值。
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定理1 若n阶矩阵A与B相似, 则A与B的特征多项 式相同, 从而A与B的特征值亦相同
对 n 阶方阵 A , 若可找到可逆矩阵 P , 使 P 1 AP 为对角阵, 这就称为把方阵A对角化
定理2 n阶矩阵A与对角矩阵相似(即A能对角化) 的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.
1 假设存在可逆阵 P , 使 P AP 为对角阵, 证明
把 P 用其列向量表示为 P p1, p2 ,, pn
2018/10/30 8
1. 等价关系
（ 1 ）自返性 A与A本身相似.
（2）对称性 若A与B相似，则B与A相似 （3）传递性 若A与B相似，B与C相似，
则A与C相似
性质(3)在实际计算中非常有用
2. 若A与B相似, 则A 与B 相似m为正整数
m m
1 1 3. P1k1A k A P k P A P k P A2 P 1 2 2 1 1 2
元素Cij aij bij
3
2.矩阵的乘法
A (aij ) mn ， B (bij ) mn
C A B
cij
a
Βιβλιοθήκη Baiduk 1
n
ik bkj
( A的第i行与B的第j列相应元素的乘积之和)
（ 1 ）要求A的列数与B的行数相等； （2）矩阵相乘不可交换，但可结合 AB BA， ( AB)C A( BC )
2018/10/30 12
由P AP , 得AP P,
1
1 2 即 A p1, p2 ,, pn p1, p2 ,, pn n
1 p1, 2 p2 ,, n pn
A p1, p2 ,, pn Ap1, Ap2 ,, Apn
第五章 矩阵特征值和特征 向量的算法
2018/10/30
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第五章矩阵特征值和特征 向量的算法
§ 5.1 矩阵相似变换与范数 § 5.2 幂法与反幂法 § 5.3 雅可比（Jacobi）方法 § 5.4 QR方法
2018/10/30 2
a11 a12 a21 a22 A a m1 am 2