05006《近世代数》课程教学大纲

《近世代数》课程教学大纲

课程编号：05006

课程英文名称：Modern Algebra

学时数：72学分数：3.5

适应层次和专业：数学与应用数学本科专业

一、课程的性质和目的

《近世代数》又名《抽象代数》（Abstract Algebra），是数学与应用数学专业本科的一门重要专业基础课，也是学习代数数论、代数几何、代数拓扑等基础数学课程及计算代数、编码等应用数学课程所必需的一门基础课。《近世代数》的基本概念、理论和方法，是每一个数学工作者所必需具备的基本数学素养之一。理解和掌握《近世代数》的基本内容、理论和方法，对于学生加深理解数学的基本思想和方法，培养抽象思维能力和逻辑推理能力，提高数学修养都具有重要意义。

课程设置的目的主要为：使学生对抽象代数的思想和方法有较深刻的认识，提高抽象思维、逻辑推理和运算的能力；使学生获得一定的抽象代数的基础知识，受到代数方法的初步训练，为进一步学习代数后继课程打下基础；使学生能应用抽象代数的知识与方法去理解与处理有关的问题，培养与提高应用抽象代数的理论分析问题与解决问题的能力。二、课程教学内容及各章节学时分配

第一章、基本概念（14学时）

第一节集合

主要知识点：集合的基本概念，集合的运算

第二节映射与变换

主要知识点：映射、单射、满射、一一映射、映射的合成、变换、一一变换、恒等变换、n次置换

第三节代数运算

主要知识点：代数运算、二元运算

第四节运算律

主要知识点：结合律、交换律、左分配律、右分配律、结合律的性质、交换律的性质、分配律的性质

第五节同态与同构

主要知识点：同态映射、同态满射、同态、同构映射、自同态、自同构

第六节等价关系与集合的分类

主要知识点：关系、等价关系、集合分类、同余关系、模n的剩余类、等价关系与集

合分类的关系

第二章、群（20学时）

第一节群的定义和初步性质

主要知识点：群、群的阶、交换群、有限群、无限群、幺半群、加群、群的简单性质、几种常见的具体的群（非零有理数乘群、正有理数乘群、一般线性群、n次单位根群、四元数群、整数加群等）

第二节群中元素的阶

主要知识点：元素阶的定义及性质、周期群、无扭群、混合群、交换群中元素阶的性质

第三节子群

主要知识点：子群、平凡子群、非平凡子群、子群的判定方法、特殊线性群、中心元素、无中心群、中心

第四节循环群

主要知识点：生成系、生成元、循环群的定义和由生成元决定循环群的性质与特点

第五节变换群

主要知识点：变换群、双射变换群、非双射变换群、对称群、n次对称群、抽象群与变换群之间的关系

第六节置换群

主要知识点：置换与置换群的定义及性质、Klein四元群、置换阶的判别

第七节陪集、指数和Lagrange定理

主要知识点：左（右）陪集的定义及性质、群关于子群的左（右）陪集分解、左右陪集之间的关系、子群与陪集之间的映射关系、指数及相关性质、Lagrange定理

第三章正规子群和群的同态与同构（16学时）

第一节群同态与同构的简单性质

主要知识点：群同态、同构的定义及简单性质

第二节正规子群和商群

主要知识点：正规子群的定义及简单性质、商群及商群的一个应用、与正规子群密切相关的哈密顿群和单群

第三节群同态基本定理

主要知识点：正规子群、商群以及同态与同构映射之间的联系（含同态基本定理）、循环群的同态象、同态映射下两个群的子群之间的关系

第四节群的同构定理

主要知识点：第一同构定理、第二同构定理、第三同构定理

第五节群的自同构群

主要知识点：集合的自同构群、群的自同构群及性质

第六节共轭关系与正规化子

主要知识点：共轭元素、类等式、正规化子、共轭子集、共轭子群、共轭元素类与共轭子群类之间的关系

第四章环与域（22学时）

第一节环的定义

主要知识点：环的定义及简单性质、交换环、非交换环、有限环、无限环、左（右）单位元、环中元素的运算规则、子环、循环环

第二节环的零因子和特征

主要知识点：零因子、无零因子环及其性质、整环、特征及其性质

第三节除环和域

主要知识点：除环、域的定义及性质、子域、域中元素的运算法则

第四节环的同态与同构

主要知识点：环同态、同构的定义及简单性质、环的自同构

第五节模n剩余类环

主要知识点：模n剩余类环的定义及性质、循环环的性质

第六节理想

主要知识点：理想的定义及简单性质、平凡理想、非平凡理想、单环、由元素生成的理想及性质

第七节商环与环同态基本定理

主要知识点：陪集的乘法、环同态基本定理（环第一同构定理）、环第二同构定理、环第三同构定理

第八节素理想和极大理想

主要知识点：素理想定义及性质、极大理想定义及性质

第九节环与域上的多项式环

主要知识点：环上未定元的多项式环及简单判定

三、课程教学基本要求

近世代数课程的基本要求是：掌握运算律描写代数运算并从它出发推导其它性质的能力：学会把这种能力熟练地运用于中等及高等学校数学课程所涉及的一些最重要的代数系统；深刻领会这些代数系统的本质特征及它们之间的联系；由此来统率中学数学教材中的

代数部分。

具体地说就是通过本课程的学习，要求学生熟练掌握群、环、域的定义及其简单性质，子群、正规子群、子环、理想的概念与判别；掌握循环群的基本性质，Lagrange定理，极大理想与素理想、商群、商环、商域等概念，群、环同态的基本定理与性质；理解代数运算、等价关系等概念，凯莱定理的作用，同态基本定理对群、环的结构研究的重要意义；了解商域的构造与最小性，群对集合的作用，Sylow定理，同构、同态在群、环、域研究中的重要作用。

四、本课程与其它课程的关系

本课程是现代数学的一个十分重要组成部分，与其它数学课程有着密切联系。初等代数是研究数集上的运算，高等代数把数集扩展为向量空间、矩阵集与多项式集。抽象代数则以一般集合上的运算作为研究对象。因此，初等代数、高等代数是学习本课程的基础。由于Lie群、Lie代数的出现，使得几何与代数再次结合，给代数学带来了强大的发展动力，拓扑学因为有了抽象代数而得到突飞猛进的发展。本课程的基本知识和思想方法是学习近世代数选讲以及点集拓扑学的基础。

六、成绩考核方式

本课程的主要特点是抽象程度很高，概念很多，必须要求学生自主完成较多的题目才能较好地达到课程教学目的，一般每次课（2学时）由教师统一布置作业，总量达到30

余次，每次作业均会按系要求进行批改。

本课程的期末考试采用闭卷考试方式，考试题目的一般类型有：填充题、计算题、证明题。

本课程总评成绩由期末考试和平时学习情况两大部分构成，平时学习情况包括：平时作业完成情况、考勤情况。成绩的评定采用百分制，期末考试成绩占总评成绩的70%，平时学习情况占总评成绩的30%。

七、推荐教材与教学参考书