经典高数函数的单调性与极值.ppt

f
(x)
2 arctan
x
1
2
x x
2
1
2
x x
2
2 arctan
x
对 f (x) 在 0 与 x 之间应用拉格朗日中值定理，有
2x arctan x ln(1 x2) 2arctan x
式中 在 0 与 x 之间，由于 arctan 与 x 同号，
则无论 x 为什么值，总有 f (x) 0
定理2告诉我们，可导函数的极值点必定是驻点， 但驻点未必是极值点。寻求函数的极值点首先要找
y f (x) 的驻点以及不可导的点，再判断其是否为
极值点。
演示课件
定理 3 (极值第一判别法)
设函数 f (x)在 x0 的某邻域内连续, 且在空心邻域 内有导数, 当x由小到大通过 x0 时,
(1) (2)
2 1
的单调减区间为(1, 2).
o 12 x
演示课件
说明: 1) 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.
例如,
y y 3 x2
2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如,
演示课件
o
x
y
y x3
o
x
例2 证明 tan x x 1 x3 0 x .
f 0 2 0
f 1 e 2 0
由零点定理， 0,1, 使 f 0
即 xex 2 的根存在。又
f x ex 1 x 0 f x 单调增加。
f x 的图形至多与 x轴有一个交点，
所以方程仅有唯一解。
演示课件
二、函数的极值及其求法
定义:
在其中当
时,
(1)
则称 为 的极大点 ,
称 为函数的极大值 ;
f f
( x) ( x)
“左正右负” “左负右正”
,则 f ,则 f
(x) 在 x0 (x) 在 x0
取极大值 . 取极小值 ;
(自证)
如：
x x x0 x0 x x0
f (x) － 0 ＋
f (x)
f (x0) 为极小值
点击图中任意处动画播放\暂停 x0 为极小点
演示课件
例1. 求函数
的极值 .
y
不存在的点.
x1 , x4 为极大点
x 2 , x5 为极小点
o a x1 x2 x3 x4
x3 不是极值点
x5 b x
演示课件
定理2（极值存在的必要条件）
如果 y f (x) 在x0处可导，且在x0处取得极值，则 f (x) 0. （证明略） 使 f (x0) 0 的点称为函数y f (x) 的驻点。
F(x) F(0) 0
从而 tan x x 1 x3 0 演示课件 x 成立
3
2
例3.
证明
ln(1 x) arctan x 1 x
(x 0).
证: 设(x) (1 x) ln(1 x) arctan x , 则(0) 0
( x)
1 ln(1
x)
1
1 x
2
0
(x 0)
故 x 0时, (x)单调增加 , 从而 (x) (0) 0
高等数学
第十八讲
主讲教师: 王升瑞
演示课件
第九节
第二章
函数的单调性与极值
一、函数的单调性 二、函数的极值及其求法
演示课件
一、 函数的单调性
定理 1. 设函数
在开区间 I 内可导, 若
( f (x) 0), 则 在 I 内单调递增 (递减) .
I 称为单调递增(递减) 区间。
证: 无妨设
任取
由拉格朗日中值定理得
0
故
这说明 在 I 内单调递增.
演示课件
证毕
例1. 确定函数
的单调区间.
解: f (x) 6x2 18x 12 6(x 1)(x 2)
令 f (x) 0 , 得 x 1, x 2 为驻点
x (,1) 1 (1, 2) 2 (2, )
f (x)
0 0
f (x)
2
1
y
故
的单调增区间为 (, 1), (2, );
即
ln(1 x) arctan x (x 0)
1 x
思考: 证明 1 x ln(1 x) (0 x 1) 时, 如何设辅助 1 x arcsin x
函数更好 ?
提示: (x) (1 x) ln(演1示课件x) 1 x2 arcsin x
例4 求证 2x arctan x ln(1 x2 )
(2)
则称 为 的极小点 ,
称 为函数的极小值 .
极大点与极小点统称为极值点 .
演示课件
例如 (P146例4)
y
f (x) 2x3 9x2 12x 3
2
为极大点 ,
是极大值; 1
为极小点 ,
是极小值 . o 1 2 x
注意: 1) 函数的极值是函数的局部性质.
2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或
则不等式 2x arctan x ln(1 x2 ) 成立
演示课件
例5 证明
在
内单调增加。
证明 此函数为幂指函数，两边取对数
令
在
上利用拉格朗日中值定理得
从而
故当
时，
在 演示课件 内单调增加。
例5 证明方程 xex 2 在区间(0,1)内有且仅有一个实根。
证明： 设 f x xex 2 在区间[0,1] 上连续，
当 x0时
f (x) 0
综上可知，无论 x 为什么值，总有 f (x) f (0) 0
则不等式 2x arctan x ln(1 x2 ) 成立。
演示课件
例4 求证 2x arctan x ln(1 x2 )
证法2：设 f (x) 2x arctan x ln(1 x2) f (0) 0
证：令
F
(
x)
tan
x
3
x
1
x3
2
3
F(x) sec2 x 1 x2 tan2 x x2
(tan x x)(tan x x)
令 g(x) tan x x g(x) sec2 x 1 tan2 x 0 0 x
2
g(x) tan x x g(0) 0 F(x) 0
证法一：设 f (x) 2x arctan x ln(1 x2) f (0) 2
2x 1 x2
2 arctan
x
当 x 0 时 f (x) 0 f (x)
f (x) f (0) 0
当 x 0 时 f (x) 0 f (x)
f (x) f (0) 0
解: 1) 求导数
f
(
x)
5
x
2 3
3
2) 求极值可疑点
2
1
x3
3
5 3
x
2 5
3x
令
f
(x)
0
,
得
x1
2 5
;
令 f (x) , 得 x2 0.
3) 列表判别
x (, 0) 0 (0 , 52)
2 5
(52 , )
f (x)
0
f (x)
0
0.33
是极大点，其极大值为