导数的定义.ppt

原油温度大约以5 C / h的速率上升.
例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,
需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单 位: C )为 f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计算第2h和第6h,
原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.
利用割线求切线
例2:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2) 处的切线方程.
解 : P(1, 2),Q(1 x, (1 x)2 1),则
kPQ
(1 x)2 1 (1 x) 1
2
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2
x
当x无限趋近于0时, kPQ无限趋近于常数2 所以点P(1, 2)处的切线斜率为2
因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.
1.1.2 瞬时变化率
导数 ——
一.复习 平均变化率
一般的，函数 f (x)在区间上 [ x1, x2 ] 的平均变化率为
y f (x2) f (x1) f (x1 x) f (x1)
x
x2 x1
x
如何求曲线上一点的切线?
(1)概念:曲线的割线和切线 y=f(x)
割 线
y
Q
T 切线
P
练习: 计算第3h和第5h时原油的瞬时变化率, 并说 明它们的意义.
练习：
课堂练习:
1、如果质点A按规律 s 2t3 则在t=3s
时的瞬时速度为（ ）
A.6
B.18
C.54 D.81
2 、
总结：
1、导数的定义： 2、求函数 y = f (x)的导数的一般方法:
f
( x0
)
lim
x0
f (x0 Δx) f (x0 ) x
.
(1). f (x0 )与x0的值有关，不同的x0其导数值一般也不相同;
f (x0 )与x的具体取值无关。 (2).瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称。
导数的定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
lim f (x0 Δx) f (x0 ) lim f
根据导数的定义,f
(2
x) x
f
(2)
4x (x)2 7x x 3 x
所以, f (2) lim f lim (x 3) 3.
x0 x x0
同理可得 f (6) 5.
在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为–3和5. 它说
明在第2h附近, 原油温度大约以3 C / h的速率下降; 在第6h附近,
2. 求平均变化率 f f (x0 x) f (x0 ) ;
3.
求值
f
( x0
)
x
lim
x0
f x
.
x
一差、二化、三极限
例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同 产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油 的温度(单位: C )为 f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计算 第2h和第6h, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意 义. 解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是 f (2)和 f (6).
v(t) t 2 3求t=5秒时轿车的
加速度. ( 10 )
小结:
(1)求曲线上一点切线的斜率时,先利用 平均变化率求出割线的斜率,再令 x 0 求出切线的斜率
(2)在求瞬时速度时,先利用平均变化率求
出平均速度,再令x 0,求出瞬时速度
(3)在求瞬时加速度时,先利用平均变化
率求出平均加速度,再令x 0 ,求出瞬
时加速度.
重要结论:
x 0
平均变化率
瞬时变化率
导数的定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
lim f (x0 Δx) f (x0 ) lim f
x 0
x
x0 x
称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f (x0 )
或 y |xx0 , 即
o
x
结论:当Q点无限逼近P点时,此时
直线PQ就是P点处的切线.
(2)如何求割线的斜率? y=f(x)
y
Q
o
P
x
f (x x) f (x) f (x x) f (x)
kPQ (x x) x
x
y=f(x)
(3)如何求切线的斜率?
割 线
y
Q
T 切线
o
P
x
kPQ
f (x x) x
f (x)
x 0
x
x0 x
称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f (x0 )
或 y |xx0 , 即
f
(x0 )
lim
x0
f
( x0
Δx) x
f
(x0 )
.
由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法:
1. 求函数的改变量 f f (x0 x) f (x0 );
计算出在第3秒时的速度,即t=3时的
瞬时速度呢?
s 1 gt 2(s表示位移,t表示时间) 2
解 : 先计算t 3到t 3 t时间内的平均速度,
v
s
1 2
g(3 t)2
1 2
g 32
1
g(6 t)
t
(3 t) 3
2
当t无限趋近于0时, v无限趋近于常数3g,
此即t 3秒时的瞬时时速
当 x无限趋近于0时，kPQ无限趋近点P处切线的斜率
例1:已知 f (x) x2,求曲线
y=f(x)在x=2处的切线的斜率.
解 : 先求过(2,4)点的任意一条割线入手
P(2,4),Q(2 x, (2 x)2 ),则
kPQ
(2 x)2 4 (2 x) 2
4
x
当x无限趋近于0时, kPQ无限趋近于常数4 所以点P(2,4)处的切线斜率为4
结论:
设物体作直线运动所经过的路程
为s=s(t). 以t0为起始时刻，物体在t
时间内的平均速度为
vvss ff ((tt00 t)t)f (ft0(t)0。) 。
tt
t t
当t0时， v 常数
这个常数就是物体在t0时刻
的瞬时速度.
二、物理意义——瞬时加速度
设一辆轿车在公路上做加速 直线运动,假设t秒时的速度为
拓展研究
已知曲线y x2 2x在 某点的切线斜率为2, 求此点坐标.
新课讲解
二、物理意义——瞬时速度
在物理学中，我们学过平均速度v s t
平均速度反映了在某一段时间内 运动的快慢程度,那么,如何刻画在 某一时刻运动的快慢程度呢?
实例:
某同学去蹦极,假设某同学下降的运动
符合方程 s 1 gt2 ,请同学们计算 某同学从3秒到2 5秒间的平均速度,如何
求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:
1、先利用直线斜率的定义求出割线的 斜率； 2.求出当△x趋近于0时切线的斜率 3、然后利用点斜式求切线方程.
课堂练习
1．已知曲线 y 2x2 上一点 A(1,2)，
求(1) 点 A 处的切线的斜率. (2)点 A 处的切线的方程.
2．求曲线 y x2 1在点 P(-2，5) 处的切线方程．