第11章磁场作业解答磁场分解

11-1 求图中各种情况下O 点处的磁感应强度B 。

解：图a 的电流可以看成是由1、2两个电流合成的。故合场强为 直线电流，和矩形电流产生的磁感应强度的矢量和。 直线电流1在O 点产生的磁感应强度

)

2/(20a I

πμ，方向垂直纸

面向外。

矩形电流2由两条长度为a 、两条长度为b 的直线电流组成在O 点产生的磁感应强度为：

)]2/sin()2/[sin()

2/(42

)]2/sin()2/[sin()

2/(42

00ααπμϕϕπμ--+--b I

a I

2

2

02

2

00022)2/sin(2)2/sin(2b

a a b

I b

a b a I

b I a I ++

+=+=

πμπμαπμϕπμ

)(2220b a

a b b a I

++=

πμ方向垂直纸面向内。

O 点的磁感应强度为：220022002)(2b a ab

I a I b a

a b b a I a I B +-=++-=

πμπμπμπμ 这里利用了载流直导线外的磁感应强度公式：

]sin )[sin 4120ββπμ-=

r

I

B

电流b 由两条直线电流，和一个圆弧组成：

)0sin 90(sin 42

360

135

200-︒+=

R

I

R I B πμμ R

I

R I R I 00035.02163μπμμ=+=

电流c 中两条直线电流的延长线都过圆心，由毕-萨定律知道在圆心处产生的磁感应强度为0，圆弧产生的磁感应强度为

R

l

R I R l R I B πμπμ2222220110-=

由于两端的电压相同有2211I S

l

I S l V ρρ

==带入上式得到B=0 11-2．如图所示，一扇形薄片，半径为R ，张角为θ，其上均匀分布正电荷，电荷密度为σ

，

薄片绕过角顶O 点且垂直于薄片的轴转动，角速度为ω，求O 点处的磁感应强度。

解答1：将扇形薄片分割成半径为r 的圆弧形面积元，电荷量为：dr r dq θσ=

转动时相当于园电流，对应的电流强度为： rdr dr r T dq dI σωπ

θωπθσ2/2===

产生的磁场为 dr r

dI

dB σωμπ

θ

μ0042=

=

圆心处的磁场为R dr B R

σωμπθσωμπθ00

044==

⎰ 解答2：以o 为圆心，采用极坐标系将扇形薄片分割成小的面积元 dr rd ds dq θσσ==

利用运动电荷产生磁场的公式 dr d r

drr rd r dqv dB θσωπμωθσπμπμ4440

2

020===

对上式积分得：πσωθμθσωπμθσωπμθ44400

000R dr d dr d B R

===⎰⎰⎰⎰ 11-3 在半径cm 0.1=R 的无限长半圆柱形金属薄片中，自下而上地通有电流A I 0.5=，求圆柱轴线上任一点P 处的磁感应强度。（这里把自上而下改为自

下而上，求解时对应右图。如不改时方向相反。）

解：从电流的顶上看是个半圆形，在其上取一段圆弧（对应于

一无限长载流直导线）， 电流强度为：π

θ

θπId Rd R I dI ==

产生的磁场方向如图，由此可见合磁场方向沿水平向右为：

θπθμθππθμπμsin 2)2/cos(222

0200R

Id R Id R dI dB x =-==

磁感应强度为：

R I R I R

Id B B x 200200202sin 2πμπμθπθμπ

π

=-===⎰=6.37×10-5T

方向在x 轴正向。

11-4 图中所示为实验室中用来产生均匀磁场的亥姆霍兹圈。它

由两个完全相同的匝数为N 的共轴密绕短线圈组成（N 匝线圈可近似视为在同一平面内）。两线圈中心12O O ,间的距离等于线

圈半径R ，载有同向平行电流J 。以12O O ,连线中点为坐标原点，求轴线上在1O 和2O 之间、坐标为x 的任一点P 处的磁感应强度B 的大小，并算出02010B B B 、、进行比较。 解：由园电流在轴线上一点的磁感应强度公式：2

/322

2

0)

(2x R IR B +=

μ

用到上式 线圈1产生的磁感应强度2

/322

2

01)

)2/((2R x R NIR B ++=

μ

线圈2产生的磁感应强度2

/322

2

02))2/((2R x R NIR B -+=

μ

R

NI

R

NI

R R NIR B B x 02

/302

/322

2

00

1

0715

.0)4/5())2/((2μμμ==

+=

==

R

NI R NI R R NIR R

NI

B B 02

/302

/3222

000201678.0))2(21

21

()(22μμμμ=+=

++

=

= 两个圆环之间的磁场变化缓慢。

11-5 有一半径为R 的半圆形电流，求在过圆心O 垂直于圆面的轴线上离圆心距离为x 处P 点的磁感应强度。

解：如右图利用毕-萨定律分析可知z 方向的B 分量为0：

2

04r IRd dB πθ

μ=

x 轴分量为：απθ

μαππθμsin 4)2/cos(42

020r

IRd r IRd dB x =-=

3

2

0202

/2/204sin 4)2/cos(4r IR r IR r

IRd B x μαμαππθμππ==-=⎰- y 轴分量为：

θπθμθαπθμθαππθμcos 4cos cos 4cos )2/sin(42

02020r

x

r IRd r IRd r IRd dB y ==-= 302/2/302

/2/202cos 4cos 4r IRx

d r IRx r x r

IRd B y πμθθπμθπθμππππ===⎰⎰-- j r

IRx i r IR B

3

032024πμμ+= 这里 22x R r +=是圆环到轴线的距离。 11-6 半径为R 的均匀带电球面的电势为U ，圆球绕其直径以角速度ω转动，

求球心处的磁