L=l1l2=01=1则总轨道角动量
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作业7：
2.18 写出Be 原子的Schrödinger 方程，计算其激发态2s 12p 1的轨道角动量与磁矩。
解：1) Be 原子有四个核外电子(其基态电子组态为：1s 22s 2), 若不考虑核运动且采用原
子单位，则其Schrödinger 方程为：ψ=ψE H
ˆ 其中 ∑∑∑∑=>==+-∇-=414414121421ˆi i j ij
i i i i r r H 2) Be 的激发态2s 12p 1, 两个价电子的轨道角动量加合后总轨道角动量量子数为： L = l 1 + l 2 = 0 + 1 = 1 则总轨道角动量
2L M =
= 磁矩
e e μ==
2.20 根据Slater 规则, 计算Sc 原子4s 和3d 轨道能量。
解：Sc ： 1s 22s 22p 63s 23p 63d 14s 2
根据slater 近似方法: 其3d 轨道只有一个电子，屏蔽常数 18=σ )(6.13)3
1821()*(223eV R n Z R E d -=--=--=σ 4s 轨道有两个电子，屏蔽常数18101985.0135.0=⨯+⨯+⨯=σ )(94.8)7
.31821()*(224eV R n Z R E s -=--=--=σ
2.21 简要说明Li 原子1s 22s 1态与1s 22p 1态能量相差很大（14904cm -1），而Li 2+的2s 1与2p 1
态几近简并（只差2.4cm -1）的理由。
要点： 理解原子轨道的空间量子化以及单电子体系和多电子体系的根本区别在于电子-电子相互作用。 由于原子轨道的空间量子化，多电子体系的价电子处于不同的原子轨道时和内层电子之间的排斥作用会明显不同； 但对于单电子体系，不存在电子-电子相互作用，这种空间量子化不会导致同一主量子层内各原子轨道能级的不同。
答： 1） Li 2+为类氢离子，其核外仅有一个电子，其原子轨道能级仅由主量子数决定，即2)()(n
Z R E nlm -= , 因为其2s 与2p 轨道主量子数相同、轨道能级简并，因此，2s 1与2p 1
态几近简并。
2） Li 原子核外有三个电子，由于电子-电子的相互作用以及2s 和2p 轨道的空间量子化，当价电子分别在2s 轨道和2p 轨道时, 2p 轨道径向分布函数只有一个极大值点 （n-l 个局域极大值点）；2s 轨道的径向分布函数则有两个极大值点，其中一个靠近核，即2s 轨道比2p 受到更弱的内层电子排斥作用和更大的核-电子吸引力，因而其价层2s 和2p 轨道的能级分裂，且2s 轨道能量远低于2p 轨道， 1s 22s 1态与1s 22p 1态能量相差很大。
2.22 根据Slater 规则，求Ca 原子的第一、二电离能。
解：Ca 原子基态组态为： 1s 22s 22p 63s 23p 64s 2；
Ca +离子基态组态为： 1s 22s 22p 63s 23p 64s 1；
Ca 2+离子基态组态为：1s 22s 22p 63s 23p 64s 0；
因此有：)(2)(8)(8)(243,32,21Ca E Ca E Ca E Ca E E s p s p s s Ca +++=
)()(8)(8)(243,32,21+++++++=+Ca E Ca E Ca E Ca E E s p s p s s Ca
)(8)(8)(223,322,2212+++++=+Ca E Ca E Ca E E p s p s s Ca
而上述原子或离子的内层电子排布情形完全相同，因此其内层电子(1s--3p)的屏蔽常数和能量亦相同，即：
)
()()();()()();
()()(23,33,33,322,22,22,22111++++++======Ca E Ca E Ca E Ca E Ca E Ca E Ca E Ca E Ca E p s p s p s p s p s p s s s s
又有：
Ca 4s 电子的有效核电荷为: Z* = Z - σ = 20 - 10x1.0 - 0.85x8 -0.35 = 2.85 2
247.385.2**)(⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=R n Z R Ca E s Ca + 4s 电子的有效核电荷为：Z* = Z - σ = 20 - 10x1.0 - 0.85x8 = 3.2 2
247.32.3**)(⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+R n Z R Ca E s 因此，Ca 的第一和第二电离势分别为：
)(96.5]7.32.37.385.22[)(2)(2
2441eV R Ca E Ca E E E I s s Ca Ca =⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=-=-=++)(17.10]7.32.3[)(2422eV R Ca E E E I s Ca Ca =⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=-=++
+