L=l1l2=01=1则总轨道角动量
第7章角动量资料
f z
在将算符 Lˆx 作用于上面所得函数，得：
Lˆx Lˆ y f
2
y
f x
yz
2 f zx
yx
2 f z 2
-
z2
2 f yx
zx
2 f yz
5
同样：
Lˆx f i
y
f z
z
f y
Lˆ y Lˆx f
2
zy
2 f xz
z2
2 f xy
xy
2 f z 2
x
f y
xz
2 f zy
这样： [Lˆx , Lˆ y ] f [Lˆx Lˆ y Lˆ y Lˆx ] f Lˆx Lˆ y f Lˆ y Lˆx f
2
y
f x
x
f y
2
y
x
x
y
f
所以： [Lˆx , Lˆ y ] i Lˆz
其中用了下列关系式：
2 f 2 f zx xz
(这对于品优波 函数总是成立的)
我们说角动量大小的平方l具有确定值并不是意味着角动量矢量完全确定因为是个矢量要完全确定之必须要知道其在各个方向上的分量这一点我们是做不到的因为角动量各个分量的量子力学算符间是不可对易的最多只能有一个具有确定的值
第七章 角动量
1
7.1 单粒子体系的角动量
经典力学中的角动量
在经典力学中角动量可以用一个矢量 L来表示。它定义为质点
电子自旋的取向
z
z
1 2
S
3 2 1
2
3 2
S
14
7.3 多电子原子的量子数和光谱项 R多电子原子的量子数 R光谱项及其应用
15
量子化学第五章 电子自旋和角动量
设
为一个体系中的任意两个角动量，
可能是两个轨道角动量或两个自旋角动量，或一个轨
道角动量一个自旋角动量。
46
量子化学 第五章
角动量量子数分别为 j1 和 j 2 ，
则
的本征值分别为:
其中
设
作用得到总角动量 ，即
47
量子化学 第五章
M 是一个向量，M＝ MxiMyjMzk
可以证明:
（i, j, k为单位矢量）
以 代表任一角动量,
、和
分别 代表 x, y, z 方向的分量.
则:
27
量子化学 第五章
上述算符间存在以下对易关系：
28
量子化学 第五章
假设： 是
共同的本征函数，
如果 j 和 mj 分别为标记 M 大小和方向的量子数。
则：
如果 M 指的是 M l ，则 j 和 mj 分别为l 和 m 。 如果 M 指的是 M s ，则 j 和 mj 分别为s 和 ms 。
量子化学 第五章
12
量子化学 第五章
(2)自旋算符的本征值
对电子而言，自旋量子数 s =1/2, 自旋磁量子 数为 ms=1/2, -1/2,
故 的本征值为
的本征值为 ms1 2 or1 2
(3)自旋算符的本征函数
用 和 分别表示向上自旋和向下自旋的状态。
13
量子化学 第五章
自旋波函数 是算符 的本征值为 的本征函数。 是算符 的本征值为 的本征函数。 是算符 的本征值为 的本征函数。
14
量子化学 第五章
(4)电子在中心力场中的运动 没有考虑电子自旋时，电子在中心力场中的运动的
定态波函数为： n ,l,m R n ,l(r)Y l,m (, )
角动量 角动量守恒定律
角动量与线动量关系
角动量与线动量的关系
角动量是线动量在物体绕某点或某轴 转动时的表现形式，二者之间存在密 切关系。
动量守恒定律
在不受外力作用的情况下，物体的总 动量（包括线动量和角动量）保持不 变，即动量守恒定律。
02
角动量守恒定律
守恒条件及适用范围
守恒条件
当系统不受外力矩作用时，系统的角动量守恒。即在没有外力矩的情况下，系统内部各部分之间的相 互作用力不会导致系统总角动量的改变。
06
总结与展望
课程内容回顾与总结
角动量的定义与性
质
角动量是物体绕某点或某轴转动 的动量，具有矢量性质，其大小 与物体的质量、速度和转动半径 有关。
角动量守恒定律的
表述
在没有外力矩作用的情况下，系 统内的角动量保持不变，即角动 量守恒。
角动量守恒定律的
应用
角动量守恒定律在天体物理、刚 体转动、分子运动等领域有广泛 应用，如行星运动、陀螺仪工作 原理等。
对未来研究方向的展望
角动量守恒定律在复 杂系统较成熟，但在复 杂系统中的应用还有待深入研究， 如多体问题、非线性问题等。
角动量与其他物理量 的关系研究
角动量与能量、动量等物理量之 间存在一定的联系，未来可以进 一步探讨它们之间的关系，以及 如何利用这些关系解决实际问题。
在机械工程中，飞轮储能系统被应用 于能量回收和节能领域。飞轮储能系 统利用刚体定轴转动的角动量守恒定 律，通过加速和减速飞轮来储存和释 放能量。这种储能方式具有高效率、 环保等优点，在电动汽车、风力发电 等领域具有广阔的应用前景。
04
质点和质点系相对于固定 点角动量守恒
质点相对于固定点角动量定义和性质
双星系统由两颗互相绕转的恒星组成。在双星系统中，两颗恒星的角动量守恒，因此它们的轨道周期、距离和质量之 间存在一定关系。
配合物的电子光谱
二、配体内部的电子光谱
配体内电子从低能级的分子轨道跃迁到高能级的分 子轨道，可以出现这种谱带。形成配合物后，这些 谱带仍保留在配合物光谱中, 但从原来的位置稍微 有一点移动。
1. 配体内部光谱的类型 ① n→* 处于非键轨道的孤对电子到最低未占据 的空轨道σ*反键轨道的跃迁。 水、醇、胺、卤化物等配体常发生这类跃迁。
分子中的价电子吸收了光源能量后，从低能级的分 子轨道跃迁到高能级分子轨道所需要的能量与波长 成反比。
E E2 E1 h h
一、电子光谱的特点
c
①为带状光谱。这是因为电子跃迁时伴随有不同 振动精细结构能级间的跃迁。 ②在可见光区有吸收，但强度不大。但在紫外区, 常有强度很大的配体内部吸收带。
取值：L的值总是0、正整数 作用：L反映多电子原子中电子间的排斥作用。 例如：对于2个p电子，由于l1=l2=1，计算L的值 可为：2，1，0。
例如：对于2个d电子，由于l1=l2=2，计算L的值 可为：4，3，2，1，0。
3. 总角动量量子数J L—S偶合 计算：J由L和S按下列规则计算：
J ( L S ), ( L S 1), ( L S 2), L S
d2组态45种可能的电子排布式
2 ×× 1 ml 0 -1 -2 ML 4 2 0 -2 -4 3 2 1 0 1 0 -1 -1 -2 -3 MS 0 0 0 0 0 1，0，0，-1 1，0，0，-1 1，0，0，-1 1，0，0，-1 1，0，0，-1 1，0，0，-1 1，0，0，-1 1，0，0，-1 1，0，0，-1 1，0，0，-1
+3 +2 +1 0 -1 -2 -3
1 1 1 1 1 1 1
光谱项综合解析
原子光谱项
整个原子的运动状态应是各个电子所处的轨道和自旋状 态的总和。但这些描述状态的量子数是近似处理得到的， 既不涉及电子间的相互作用，也不涉及轨道和自旋的相互 作用，不能表达原子整体的运动状态，故不能和原子光谱 直接联系。
与原子光谱联系的是原子的能态。每一个原子能态对 应一个光谱项，应由一套原子的量子数L、S、J来描述。
2
M LZ
mL
h
2
h
MS
S(S 1)
2
h M SZ mS 2
MJ
J (J 1) h 2
M JZ
mJ
h
2
2.6.3原子光谱项的推导
光谱项的概念：
给定一个组态（每个电子的n和l都确定）如C原子np2,可以产 生体系的若干种微观状态（np2有15种状态），把其中L和S相
同的微观状态，合称为一个 “谱项”，记为 2S＋1L。并且
自洽场模型
18．原子光谱选律
小结 基本计算和应用
1． 解氢原子及类氢离子的s态方程 2． 求本征态、本征值、平均值 3． 求电子出现在某个球内或球壳内的几率（只写公式） 4． 证明波函数的正交性 5． 求类氢离子某一轨道径向部分的极大、极小值 6． 某些原子（或离子）的薛定鄂方程 7． 原子的斯莱脱波函数 8． 斯莱脱法计算轨道能、电离能 9． 由原子组态推出光谱项、基谱支项 10．由光谱项判断电子排布
sssssss??szsmm?ms称为总自旋磁量子数szs1121???????isssmmsssssm共个s称为总自旋磁量子数maxmaxsms33总角动量mjj1jmjj?j称为总角动量量子数1jlslsls?mj称为总磁量子数jzjmm?11jmjjjj????原子的量子数符号角动量表达式原子的角量子数l原子的磁量子数ml原子的自旋量子数s2hmmllz1hssm21hllml原子的自旋量子数s原子的自旋磁量子数ms原子的总量子数j原子的总磁量子数mj21ssms21hjjmj2hmmssz2hmmjjz263原子光谱项的推导给定一个组态每个电子的n和l都确定如c原子np2可以产生体系的若干种微观状态np2有15种状态把其中l和s相同的微观状态合称为一个谱项记为2s1l并且光谱项的概念
自旋角动量轨道角动量总角动量关系
自旋角动量、轨道角动量和总角动量是量子力学中经常讨论的重要概念。
它们之间的关系不仅在物理学中有着重要的意义，也涉及到了许多其他领域的问题。
在本文中，我将就自旋角动量、轨道角动量和总角动量之间的关系展开一次深入的探讨。
1. 自旋角动量自旋是微观粒子特有的一种内禀角动量，它不同于经典物理学中的角动量，是一种全新的物理量。
自旋可以用量子数s来描述，通常s=1/2的被称为自旋1/2粒子。
自旋对应了一个新的角动量，即自旋角动量，它是粒子旋转所带来的一种内禀角动量。
自旋角动量与粒子的自旋状态有关，具有两个投影方向，即自旋向上和自旋向下。
自旋角动量的测量值只能为ħ/2或-ħ/2。
2. 轨道角动量在量子力学中，电子在原子内的运动可以用波函数来描述，其中的位置坐标和动量算符是对易的。
由此，我们可以得出一个非常重要的结论：轨道角动量和位置、动量算符对易。
轨道角动量的大小由量子数l 来描述，取值范围为0到n-1，其中n是主量子数。
轨道角动量与电子的轨道运动有关，它的取值是量子化的，即ħ*√(l(l+1))。
轨道角动量在经典力学中对应了电子围绕原子核运动时所具有的角动量。
3. 总角动量总角动量是自旋角动量和轨道角动量之和，它对应了量子力学中的角动量算符。
总角动量的大小和夹角与自旋角动量和轨道角动量的大小和夹角有关。
总角动量的量子数可以用j来描述，其取值范围是|l-s|到l+s。
总角动量量子数的取值是离散的，而且总角动量和自旋角动量的测量值之间有一些特殊的关系。
在量子力学中，自旋角动量、轨道角动量和总角动量之间存在着一些非常有趣的关系。
通常来说，总角动量算符的本征态是由自旋和轨道角动量算符的本征态进行耦合得到的。
而总角动量和自旋角动量（或轨道角动量）之间还存在着一些相互影响和制约的关系。
对于原子中的电子来说，总角动量可以影响到能级的分裂和跃迁等现象，从而导致原子的一些特殊性质。
自旋角动量、轨道角动量和总角动量是量子力学中非常重要的概念，它们之间的关系涉及到了许多量子系统的性质和行为。
定轴转动刚体的角动量定理和角动量守恒定律资料
（3） （4 ）
由匀减速直线运动的公式得 0 v 2 2as
v2 2 gs
由式（1）、（2）与（4）联合求解，即得
3gl 3 2 gs l
（5 ）
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当 取正值时，棒继续向左摆，其条件为
3gl 3 2 μgs 0
l 6 s
当 取负值时，棒被反弹向右摆，其条件为 l < 6s. 棒的质心 C 上升的最大高度，与第一阶段情 况相似，也可由机械能守恒定律求得：
解： 把演员视为质点， M 、
N和跷板作为一个系统，以通 过点C并垂直于平面的轴为转 轴。由于作用在系统上的合 外力矩为零，故系统的角动 量守恒。 B N m C M m
h
m A
l
l/2
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例题3-7 一匀质细棒长为l ，质量为m，可绕通过其 端点 O 的水平轴转动，如图所示。当棒从水平位置 自由释放后，它在竖直位置上与放在地面上的物体 相撞。该物体的质量也为 m ，它与地面的摩擦系数 为。相撞后物体沿地面滑行一段距离 s 而停止。求 相撞后棒的质心C能摆到的最大高度 h，并说明棒在 碰撞后将向左摆或向右摆的条件。 解：这个问题可分为三个阶段 进行分析。第一阶段是棒自由 摆落的过程。这时除重力外， 其余内力与外力都不作功，所 以机械能守恒。我们把棒在竖 直位置时质心所在处取为势能
1 1 2 Ek J A A J A J B 2 2 2 1.32 104 J
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例题 3-9 恒星晚期在一定条件下，会发生超新星爆 发，这时星体中有大量物质喷入星际空间，同时星 体的内核却向内坍缩，成为体积很小的中子星。中 子星是一种异常致密的星体，一汤匙中子星物质就 有几亿吨质量！设某恒星绕自转轴每 45 天转一周， 它的内核半径R0约为2107 m，后来内核坍缩成半径 R=6103 m的中子星。试求中子星的角速度。设坍缩 前后的星体内核均看作匀质圆球。 解：在星际空间中，恒星不会受到显著的外力矩， 因此恒星的角动量应该守恒，则它的内核在坍缩前 后的角动量J00和J应相等。由于
电动力学课后答案
第五章多电子原子1.选择题:(1)关于氦原子光谱下列说法错误的是：BA.第一激发态不能自发的跃迁到基态；B.1s2p 3P2,1,0能级是正常顺序；C.基态与第一激发态能量相差很大；D.三重态与单态之间没有跃迁(2)氦原子由状态1s2p 3P2,1,0向1s2s 3S1跃迁,可产生的谱线条数为：BA.0；B.3；C.2；D.1(3)氦原子由状态1s3d 3D3,2,1向1s2p3P2,1,0跃迁时可产生的谱线条数为：CA.3；B.4；C.6；D.5(4)氦原子有单态和三重态两套能级,从而它们产生的光谱特点是:DA.单能级各线系皆为单线,三重能级各线皆为三线；B.单重能级各线系皆为双线,三重能级各线系皆为三线；C.单重能级各线系皆为单线,三重能级各线系皆为双线;D.单重能级各线系皆为单线,三重能级各线系较为复杂,不一定是三线.(5)若某原子的两个价电子处于2s2p组态,利用L－S耦合可得到其原子态的个数是：CA.1；B.3;C.4;D.6.(6)设原子的两个价电子是p电子和d电子,在Ｌ－Ｓ耦合下可能的原子态有：CA.4个；B.9个；C.12个D.15个；(7)若镁原子处于基态,它的电子组态应为：CA．2s2s B.2s2p C.3s3s D.3s3p(8)有状态2p3d3P 2s3p3P的跃迁：DA.可产生9条谱线B.可产生7条谱线C 可产生6条谱线D.不能发生课后习题1．He 原子的两个电子处在2p3d态。
问可能组成哪几种原子态？（按LS耦合）解答：l1 = 1 l2 = 2 L = l1 + l2, l1 + l2−1, ……, | l1− l2| = 3, 2, 1 s1 =1/2 s2 =1/2 S = s1 + s2, s1 + s2−1, ……, |s1 − s2| = 1, 0 这样按J = L+S, L+S−1, ……, |L−S| 形成如下原子态：S = 0 S = 1L = 1 1P13P0,1,2L =2 1D23D1,2,3L = 3 1F33F2,3,43.Zn 原子(Z=30) 的最外层电子有两个。
全同粒子系统的总轨道角动量_理论说明
全同粒子系统的总轨道角动量理论说明1. 引言1.1 概述全同粒子系统的研究在现代物理学中具有重要意义。
全同粒子指的是在量子力学框架下，无法通过任何实验手段将它们区分开来的粒子。
例如，电子、质子和中子等都属于全同粒子系统。
对于这样的系统，我们需要借助特定的理论框架来描述它们的性质和行为。
其中一个重要概念是总轨道角动量，它涉及到粒子运动状态的量子数和空间排列方式。
总轨道角动量不仅与粒子间相互作用有关，而且与自旋角动量密切相关。
因此，对于全同粒子系统来说，探讨其总轨道角动量的性质和理论说明具有极大意义。
1.2 文章结构本文将围绕全同粒子系统的总轨道角动量展开论述，并以详细的理论说明为主线。
首先，在第2节中将介绍全同粒子系统的背景知识并明确总轨道角动量的定义及其一些基本性质。
接着，在第3节中将详细阐述该理论，并探讨波函数对称性与反对称性原理、总轨道角动量算符的定义与性质以及粒子组态与总轨道角动量量子数分析之间的关系。
1.3 目的本文旨在深入探究全同粒子系统的总轨道角动量，并通过理论说明为读者提供一个清晰的概念框架。
我们将详细解释相关概念和理论，引导读者理解全同粒子系统中总轨道角动量起到的作用，并希望能够帮助读者深入了解这一领域的研究进展和意义。
2. 全同粒子系统的总轨道角动量2.1 全同粒子系统介绍全同粒子系统是指由多个具有相同质量和性质的粒子组成的系统。
在这样的系统中，无法将其中一个粒子与其他粒子区分开来，因为它们具有相同的物理属性。
例如，电子对和质子对都是全同粒子系统的例子。
2.2 总轨道角动量的定义与性质总轨道角动量是描述全同粒子系统旋转运动的重要物理量。
它由每个粒子的轨道角动量向量之和构成。
对于一个包含N个全同粒子的系统，该系统的总轨道角动量L等于每个单独粒子轨道角动量l_i之和：L = l_1 + l_2 + ... + l_N总轨道角动量具有一些重要性质:- 总轨道角动量是矢量求和：各个单独轨道角动量遵循矢量相加规则。
角动量 角动量定理
d M (r P) dt
定义： L r P ——角动量
——角动量定理
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–5 角动量 角动量定理
3
作用在质点上的力矩等于质点角动量对时间的变化率。 此即质点对固定点的角动量定理。
t
t0
Mdt L L0
t
t0
Mdt
叫冲量矩
1
1
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–5 角动量 角动量定理 用绳系一质量为m小球使之在光滑的桌面上作圆周运动，球的速率
12
vo ，半径为ro 。问：当缓慢拉下绳的另一端，圆的半径变为 r 时 ，小球的速率v是多少？
解：因为通过转轴的合力矩为零，所以小球的角动量 守恒
Z
vo
ro
L
mr o vo mr v
ro v vo r
F
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–5 角动量 角动量定理
13
判断：匀速圆周运动的质点受到向心力的作用，所 以其角动量一定守恒。
L
mv
F
r
L
O
r
mv
F
O’
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–5 角动量 角动量定理
14
角动量守恒的情况: 匀速直线运动。 (1) 力 F等于零； (2) 力 F的作用线与通过固定点，即 r =0。 (3) 力 F 的作用线与矢径 r 共线即(sin=0)。
角动量
1. L r P
L 的方向符合右手法则.
L m vrsin
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
角动量 角动量守恒定律
解 小球受力 P 、FN 作用, FN 的力矩为
零，重力矩垂直纸面向里
M mgRcos
由质点的角动量定理
dL mgR cos dt dt d dL mgRcosdt mgR cos d 1 mgR cos d
dL m gRcosθdθ
dL m gRcosθdθ
z L
r
x
o
m y
v
L r p r mv 大小 L rmv sin L 的方向符合右手法则
角动量单位：kg· 2·-1 m s
L
v
r
质点以 作半径为 r 的圆运动，相对圆心
L
p
L mr J
2
o
y
r
o
l0
v
A
mv0l0 mvl sin 1 2 1 2 1 2 mv0 mv k (l l0 ) , v 4m / s 2 2 2 得 0 30
3-3-4 质点的角动量守恒定律
*例2 一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平 面内. 一质量为 m 的小 球穿在圆环上, 并可在 圆环上滑动. 小球开始 时静止于圆环上的点 A (该点在通过环心 O 的 水平面上)，然后从 A 点开始下滑．设小球与圆环间的摩擦略去 不计．求小球滑到点 B 时对环心 O 的角动 量和角速度．
2013-7-24
28 首 页 上 页 下 页退 出
[例2] :一半径为R、质量为 M 的转台，可绕通过其中 心的竖直轴转动, 质量为 m 的人站在转台边缘，最初 人和台都静止。若人沿转台边缘跑一周 (不计阻力)， 相对于地面，人和台各转了多少角度？
25所 轨道角动量
25所轨道角动量全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：轨道角动量是物理学中的一个重要概念，它在描述物体在运动中的旋转时扮演着至关重要的角色。
在许多物理学领域，如天体物理学、机械运动等方面，轨道角动量都被广泛地应用。
今天我们就来探讨下轨道角动量的概念以及与之相关的一些重要性质。
轨道角动量的概念最早是由古希腊物理学家阿基米德提出的。
他发现，当一个物体在运动时，它所具有的角动量并不只是由其自身的旋转决定的，还受到外部力矩的影响。
这就引入了轨道角动量的概念，它不仅包括了物体自身的旋转运动，还包括了它在外部力的作用下所产生的角动量。
在经典力学中，轨道角动量的定义可以用以下公式表示：L = r x p其中，L表示轨道角动量，r表示物体到转轴的距离，p表示物体的动量，x表示叉乘运算。
从这个公式可以看出，轨道角动量的大小取决于物体的动量和它距离转轴的距离。
在量子力学中，轨道角动量也具有重要的意义。
根据量子力学的理论，轨道角动量是一个量子数，它取离散值，分别对应于不同的轨道状态。
在原子物理学中，轨道角动量可以解释原子的电子轨道结构和化学性质。
此外，轨道角动量还与原子的光谱结构和磁性有着密切的联系。
轨道角动量在天体物理学中也扮演着重要的角色。
在行星运动、星际尘埃云的运动等现象中，轨道角动量的守恒性质发挥着关键作用。
通过研究天体的轨道角动量，科学家们可以更好地理解宇宙中各种物体之间的相互作用和运动规律。
除了以上提到的领域，轨道角动量还在许多其他物理学领域中得到应用，如机械运动中的角动量守恒定律、凝聚态物理学中的自旋角动量等等。
可以说，轨道角动量是一种普适性极强的物理量，它贯穿于整个物理学体系的方方面面。
在实际的物理实验中，如何测量和计算轨道角动量也是一个重要的课题。
通过观察物体运动的轨迹、测量其动量和距离等数据，科学家们可以得到物体的轨道角动量，并进一步探讨物体的运动规律和性质。
通过精确测量轨道角动量，科学家们可以验证理论模型的准确性，推动物理学知识的不断发展。
刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律
t
12v0 dr g 7lg v cos t cos( t) dt 2 24v0 7l
例：圆盘（R，M），人（m）开始静止，人
走一周，求盘相对地转动的角度.
1 I 2 MR 2 2
解： 系统对转轴 角动量守恒
M=0
I11 () I 22 0
I1 mR
I
i i
i
const.
但角动量可在内部传递。
3 刚体定轴转动的角动量守恒定律 若M 讨论
守 恒条件:
0 ，则
L I 常量
M 0
若 I 不变， 不变；若 I 变， 也变，但 L I 不变. 内力矩不改变系统的角动量. 在冲击等问题中
M M L 常量
解：在走动过程中,人－盘系统 L=const. 设任意时刻，人对盘: ；盘对地: 则有 mR2 ( ) 1 MR 2 0 2
2m 2m M
2m dt dt 2m M
0
2m d 2m M
2
0
d
y FN
FT
O 图(a)
W
x
FNx ma c x
FT mg FNy ma c y
根据转动定理
2 7 FT R mg R mR 2 z 3 9
起动时
ac x 0
ac y
2 zR 3
a z R
67 FT mg 90
FNx 0
FNy
29 mg 90
2、子弹和棒的总动量在水方向上是否守恒？ 3、若将杆换成软绳系一质量为 M 的重物，在 水平方向上动量是否守恒？
第5讲 晶体场理论1 原子轨道理论
2. 原子轨道量子数
角量子数l
决定原子轨道的角动量。在多电子原子中，原 子轨道的能量取决于主量子数n和角量子数l。 用于确定原子轨道（或电子云）的形状。轨道 角量子数l数值不同，轨道形状也不同； 也表示电子所在的亚层。与l对应的电子亚层 的符号如下： 0 s 1 p 2 d 3 f 4 g … …
主量子数n是确定电子能级的主要量子数（对 于氢原子和类氢离子，其能量E只与n有关）， n越大，电子能级越高。 主量子数n也代表电子离核的平均距离。n越大， 电子离核平均距离也越远。通常把具有相同n 的各原子轨道称为同一电子层。 与n对应的电子层符号如下： 主量子数n 电子层符号 1 K 2 L 3 M 4 N 5 O 6 P 7 Q …
3. 原子轨道与电子云的空间图像
总角动量L为：
l为轨道角量子数，决定了总角动量的大小 对于指定的n，l的取值：l=0,1,2,…,n-1
3. 原子轨道与电子云的空间图像
Z方向角动量Lz为：
m 为轨道磁量子数,一般都写成 ml 指定l时，取值范围为0,±1,±2,…, ± l
3. 原子轨道与电子云的空间图像
研究的对象是处于宝石晶体结构中的过渡金属 元素和某些镧系、锕系元素。 它把晶体场看成一种正负离子间的静电作用， 将带有正电荷的中心阳离子，把带负电荷的配 位阴离子或配位络阴离子（配位体）。将配位 体处理为一个点电荷，点电荷产生静电场称为 晶体场。 在晶体场作用下，过渡元素的d轨道和镧系元 素的f轨道原来简并的能级发生分裂。 晶体场跃迁包括d-d跃迁和f-f跃迁。
n2S+1LJ
内量子数 总角量子数
1 P 2 D 3 F 4 G 5 H … …
光泵磁共振实验报告
再慢慢调小电流直至在三角波的一个周期刚好出现两个共振信号，此时记录下电流为 I1。接
着重复述操作步骤，也分别记录下 87Rb 的两个电流。 分析：由实验过程可知 B共振 可以通过下面的计算得到：
1.当扫场为正，水平场为正时，总磁场、地磁场、水平场关系如图 4 所示：
实验研究的对象是 Rb 原子，其最外层有一个价电子，位于 5s 能级上，因此其电子轨道 角 动 量 量 子 数 L=0, 电 子 自 旋 轨 道 角 动 量 量 子 数 s=1/2. 其 总 角 动 量 量 子 数
J L S, L S 1, L s 。所以 Rb 原子的基态只有 J 1/ 2 ，标记为 52 S1/ 2 。5P 与基 态 5S 之间产生的跃迁是铷原子主线系的第一条谱线，谱线为双线。52 P1/ 2 到 52 S1/ 2 的跃迁 产生的谱线为 D1 线，波长是 794.8nm；52 P1/ 2 到 52 S1/ 2 的跃迁产生的谱线为 D2 线，波长是
现象：之前调光抽运信号时，我们已将扫场幅度调到一个最佳状态，所以观察磁共振信 号时扫场幅度保持不变，只要调节水平场的电流大小。对于扫场与水平场正或负的不同组合 下，测量电流与观察共振信号时的步骤大致相同。首先将水平电流调到一个比较大的值使共 振信号消失，即在示波器上表现为一条亮线，然后慢慢的调小水平方向的电流，直至在三角
(5)
在热平衡条件下，各能级的粒子数遵守玻尔兹曼分布，而超精细结构的塞曼子分裂能级 相差很小，导致各子能级上的粒子数基本上可认为是相等的，因此我们采用光抽运的方法， 使粒子数聚集分布在某一能级从而实现偏极化。
87 Rb 的 52 S1/ 2 态及 52 P1/ 2 态的磁量子数 mF 最大值都是+2，当入射光是 D1的 光 时， 由于只能产生Δ mF =+1 的跃迁，基态 mF ＝+2 子能级的粒子不能跃迁，如图 1 示：
结构化学课后答案第2章习题原子的结构与性质
1. 简要说明原子轨道量子数及它们的取值范围解：原子轨道有主量子数n ，角量子数l ，磁量子数m 与自旋量子数s ，对类氢原子（单电子原子）来说，原子轨道能级只与主量子数n 相关R n Z E n22-=。
对多电子原子，能级除了与n 相关，还要考虑电子间相互作用。
角量子数l 决定轨道角动量大小，磁量子数m 表示角动量在磁场方向（z 方向）分量的大小，自旋量子数s 则表示轨道自旋角动量大小。
n 取值为1、2、3……；l ＝0、1、2、……、n －1；m ＝0、±1、±2、……±l ；s 取值只有21±。
2. 在直角坐标系下，Li 2+ 的Schrödinger 方程为________________ 。
解：由于Li 2+属于单电子原子，在采取“B -O” 近似假定后，体系的动能只包括电子的动能，则体系的动能算符：2228ˆ∇-=mh T π；体系的势能算符：r e r Ze V 0202434ˆπεπε-=-= 故Li 2+ 的Schrödinger 方程为：ψψE r εe mh =⎥⎦⎤⎢⎣⎡π-∇π-20222438 式中：z yx∂∂+∂∂+∂∂=∇2222222，r = ( x 2+ y 2+ z 2)1/23. 对氢原子，131321122101-++=ψψψψc c c ，其中 131211210,,-ψψψψ和都是归一化的。
那么波函数所描述状态的（1）能量平均值为多少（2）角动量出现在 π22h 的概率是多少，角动量 z 分量的平均值为多少解： 由波函数131321122101-++=ψψψψc c c 得：n 1=2,l 1=1,m 1=0; n 2=2, l 2=1,m 2=1; n 3=3,l 3=1,m 3=-1;（1）由于131211210,,-ψψψψ和都是归一化的，且单电子原子)(6.1322eV nz E -=故(2) 由于 1)l(l M +=||, l 1=1，l 2=1，l 3=1，又131211210,,-ψψψψ和都是归一化的，()eVc eV c c eV c eV c eV c E c E c E c E cE ii i 232221223222221323222121299.1346.13316.13216.13216.13-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=++==∑故则角动量为π22h 出现的概率为：1232221=++c c c (3) 由于π2hm M Z ⨯=, m 1=0,m 2=1,m 3=-1; 又131211210,,-ψψψψ和都是归一化的， 故4. 已知类氢离子 He +的某一状态波函数为：()022-023021e 222241a r a r a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛π （1）此状态的能量为多少（2）此状态的角动量的平方值为多少 （3）此状态角动量在 z 方向的分量为多少 （4）此状态的 n ， l ， m 值分别为多少 （5）此状态角度分布的节面数为多少解：由He +的波函数()002302/1222241a 2r 2-e a r a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛π=ψ，可以得到：Z=2，则n =2, l =0, m =0 (1) He +为类氢离子，)(6.1322eV n z E -=，则eV eV eV n z E 6.13)(226.13)(6.132222-=⨯-=-=(2) 由l =0，21)l(l M+=2,得0)10(02=+=+=221)l(l M(3) 由|m |=0， m M Z =，得00=== m M Z(4) 此状态下n =2, l =0, m =0(5) 角度分布图中节面数= l ，又l =0 ，故此状态角度分布的节面数为0。
原子物理学第三次作业答案 (10)
第四章 复杂原子的能级结构及光谱复杂原子：除碱金属原子外，核外有两个和两个以上电子的原子。
以最简单的复杂原子He 原子（两个核外电子）为例，受力情况：电子1：库仑力 1f ,1,2f ；)()(1,211t f t f F+=磁场力。
电子2：库仑力2f , 2,1f ；)()(2,122t f t f F+=磁场力。
结论：复杂的受力使原子的相互作用能量计算非常复杂！无法精确求解, 必须采用近似计算方法。
§4.1 复杂原子中电子的本征函数和本征能量4.1.1 平均有心力场近似 回顾： 氢原子和类氢原子：022041r r Ze F n πε-=， ⇒ r Ze r V 2041)(πε-= 碱金属原子：022*041r r e Z F n πε-=，⇒ re Z r V 2*041)(πε-= 共同特点：（1）电子受有心力作用（指向核，属保守力），可以引入作用势能；（2）势能和时间无关，可用定态S. eq 求解；（3）磁场力远远小于库仑力，解定态S. eq 时不考虑磁场力（能量）。
对复杂原子计算的启示：（1）首先，忽略磁场力；（2）假定：每个电子都处于一个“平均有心力场”的作用，则可以引入作用势能，作用势能和时间无关。
电子1：)()(1,211t f t f F +=1112)(r r r F -=, ⇒ )(11r V12Ze 1l 1s2s 2l电子2：)()(2,122t f t f F +=2222)(r r r F -=, ⇒ )(22r V一般地，由N 个电子组成的原子，第i 个电子受力及势能为：iii i i r r r F F )(-=, ⇒ )(i i r V（1）设：u i (r, ϕ,θ) 和 εi 为此第i 个电子的本征波函数和能量本征值，其定态S. eq 为：[μ222i ∇- +V i (r i )] u i (r i , ϕi ,θi ) = εi u i (r i , ϕi ,θi )（2）(2) 式的解为：u i (r i , ϕi ,θi ) ＝R ni, li （r i ）Y li, mi （θi , ϕi ）（3）式中，Y li, mi （θ, ϕ）：球谐函数，同氢原子；R ni, li （r ）：径向函数，不同氢原子。
原子的量子数的物理意义和取值
原子整体的状态与原子光谱项描述原子中个别电子的运动状态用n、l、m、m S这四个量子数。
原子整体的状态，取决于核外所有电子的轨道和自旋状态。
然而由于原子中各电子间存在着相当复杂的作用，所以原子状态又不是所有电子运动状态的简单加和。
例：碳原子基态: 电子层结构1s22s22p2原子的组态（Configuration）1s22s2构成了闭壳层.2p轨道上的两个电子，共有六种可能性 m=0,±1, ms =±1/2,∴p2组态的微观状态数可能有C62=6*5/2=15种之多。
微观状态原子能量、角动量等物理量以及其中电子间静电相互作用，轨道及自旋相互作用，以及在外磁场存在下原子所表现的性质等，原子光谱从实验上研究了这些问题。
一、原子的量子数与角动量的耦合（1）原子的量子数①原子的轨道角量子数L（即原子的总轨道角动量量子数）在多电子原子中，各个电子的轨道角动量的矢量和就是原子的（总的）轨道角动量，其值由L量子数决定。
以两个电子的原子为例，L 取值为l1＋l2 , l1＋l2－1 , l1＋l2－2 , …,│l1－l2│。
（每步递减1，L只能取整数）（由量子力学得到）体系若有2个以上的电子，可先计算2个电子的总角动量，然后再将它和第三个电子的角动量相加，依此类推即可。
例对2p2组态l1 = l2 = 1，L12 =2，1，0 ；而2p3组态l3 = 1，L123 = L12+ l3，L12+ l3－1，L12+ l3－2，…, │L12+ l3│= 3，2，1，0相应的轨道运动——轨道角动量每个电子，把各电子的轨道角动量加起来得到原子的总轨道角动量。
②原子的（总）轨道磁量子数M L轨道角动量在Z方向的分量Z， Lz = M LM L取值：M L =∑m = L, L-1,....., 0,......,－L+1,－L （共2L+1）个例：2p2，l=1, m =1, 0, －1L=2，M L=2，1，0，－1，－2③自旋角动量与原子的自旋角量子数S与轨道角动量相似，由于电子的s 均等于1/2，故当电子数为2时，总自旋角量子数 S=1, 0; 当电子数等于3时，再用一次角动量耦合规则得S = 3/2, 1/2容易看出，电子数为偶数时，S 取0或正整数；电子数为奇数时， S 取正的半整数。
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作业7：
2.18 写出Be 原子的Schrödinger 方程，计算其激发态2s 12p 1的轨道角动量与磁矩。
解：1) Be 原子有四个核外电子(其基态电子组态为：1s 22s 2), 若不考虑核运动且采用原
子单位，则其Schrödinger 方程为：ψ=ψE H
ˆ 其中 ∑∑∑∑=>==+-∇-=414414121421ˆi i j ij
i i i i r r H 2) Be 的激发态2s 12p 1, 两个价电子的轨道角动量加合后总轨道角动量量子数为： L = l 1 + l 2 = 0 + 1 = 1 则总轨道角动量
2L M =
= 磁矩
e e μ==
2.20 根据Slater 规则, 计算Sc 原子4s 和3d 轨道能量。
解：Sc ： 1s 22s 22p 63s 23p 63d 14s 2
根据slater 近似方法: 其3d 轨道只有一个电子，屏蔽常数 18=σ )(6.13)3
1821()*(223eV R n Z R E d -=--=--=σ 4s 轨道有两个电子，屏蔽常数18101985.0135.0=⨯+⨯+⨯=σ )(94.8)7
.31821()*(224eV R n Z R E s -=--=--=σ
2.21 简要说明Li 原子1s 22s 1态与1s 22p 1态能量相差很大（14904cm -1），而Li 2+的2s 1与2p 1
态几近简并（只差2.4cm -1）的理由。
要点： 理解原子轨道的空间量子化以及单电子体系和多电子体系的根本区别在于电子-电子相互作用。
由于原子轨道的空间量子化，多电子体系的价电子处于不同的原子轨道时和内层电子之间的排斥作用会明显不同； 但对于单电子体系，不存在电子-电子相互作用，这种空间量子化不会导致同一主量子层内各原子轨道能级的不同。
答： 1） Li 2+为类氢离子，其核外仅有一个电子，其原子轨道能级仅由主量子数决定，即2)()(n
Z R E nlm -= , 因为其2s 与2p 轨道主量子数相同、轨道能级简并，因此，2s 1与2p 1
态几近简并。
2） Li 原子核外有三个电子，由于电子-电子的相互作用以及2s 和2p 轨道的空间量子化，当价电子分别在2s 轨道和2p 轨道时, 2p 轨道径向分布函数只有一个极大值点 （n-l 个局域极大值点）；2s 轨道的径向分布函数则有两个极大值点，其中一个靠近核，即2s 轨道比2p 受到更弱的内层电子排斥作用和更大的核-电子吸引力，因而其价层2s 和2p 轨道的能级分裂，且2s 轨道能量远低于2p 轨道， 1s 22s 1态与1s 22p 1态能量相差很大。
2.22 根据Slater 规则，求Ca 原子的第一、二电离能。
解：Ca 原子基态组态为： 1s 22s 22p 63s 23p 64s 2；
Ca +离子基态组态为： 1s 22s 22p 63s 23p 64s 1；
Ca 2+离子基态组态为：1s 22s 22p 63s 23p 64s 0；
因此有：)(2)(8)(8)(243,32,21Ca E Ca E Ca E Ca E E s p s p s s Ca +++=
)()(8)(8)(243,32,21+++++++=+Ca E Ca E Ca E Ca E E s p s p s s Ca
)(8)(8)(223,322,2212+++++=+Ca E Ca E Ca E E p s p s s Ca
而上述原子或离子的内层电子排布情形完全相同，因此其内层电子(1s--3p)的屏蔽常数和能量亦相同，即：
)
()()();()()();
()()(23,33,33,322,22,22,22111++++++======Ca E Ca E Ca E Ca E Ca E Ca E Ca E Ca E Ca E p s p s p s p s p s p s s s s
又有：
Ca 4s 电子的有效核电荷为: Z* = Z - σ = 20 - 10x1.0 - 0.85x8 -0.35 = 2.85 2
247.385.2**)(⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=R n Z R Ca E s Ca + 4s 电子的有效核电荷为：Z* = Z - σ = 20 - 10x1.0 - 0.85x8 = 3.2 2
247.32.3**)(⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+R n Z R Ca E s 因此，Ca 的第一和第二电离势分别为：
)(96.5]7.32.37.385.22[)(2)(2
2441eV R Ca E Ca E E E I s s Ca Ca =⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=-=-=++)(17.10]7.32.3[)(2422eV R Ca E E E I s Ca Ca =⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=-=++
+。