2020高考数学(理)二轮专题复习讲义《五 第1讲 直线与圆(小题)》

第1讲直线与圆(小题)

热点一直线的方程及应用

1.两条直线平行与垂直的判定

若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在.

2.求直线方程

要注意几种直线方程的局限性.点斜式、斜截式方程要求直线不能与x轴垂直，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线.

3.两个距离公式

(1)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝

|C 1－C 2|A 2

＋B

2

(A 2＋B 2≠0).

(2)点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B

2

(A 2

＋B 2≠0). 例1 (1)(2019·宝鸡模拟)若直线x ＋(1＋m )y －2＝0与直线mx ＋2y ＋4＝0平行，则m 的值是( )

A.1

B.－2

C.1或－2

D.－32

答案 A

解析 ①当m ＝－1时，两直线分别为x －2＝0和x －2y －4＝0，此时两直线相交，不合题意.

②当m ≠－1时，两直线的斜率都存在，由直线平行可得⎩⎨⎧

－11＋m ＝－m

2，

2

1＋m ≠－2

解得m ＝1.

综上可得m ＝1.

(2)我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长，这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就.现作出圆x 2＋y 2＝2的一个内接正八边形，使该正八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在直线的为( ) A.x ＋(2－1)y －2＝0 B.(1－2)x －y ＋2＝0 C.x －(2＋1)y ＋2＝0 D.(2－1)x －y ＋2＝0

答案 C

解析 如图所示可知A (2，0)，

B (1,1)，

C (0，2)，

D (－1,1)，

所以直线AB ，BC ，CD 的方程分别为y ＝1－0

1－2(x －2)，

y ＝(1－2)x ＋2， y ＝(2－1)x ＋ 2. 整理为一般式即 x ＋()2－1y －2＝0，

()1－2x －y ＋2＝0，

(

)2－1x －y ＋2＝0.

故选C.

跟踪演练1 (1)已知直线l 1：x ·sin α＋y －1＝0，直线l 2：x －3y ·cos α＋1＝0，若l 1⊥l 2，则sin 2α等于( ) A.23 B.±35 C.－35 D.35 答案 D

解析 因为l 1⊥l 2，所以sin α－3cos α＝0， 所以tan α＝3，

所以sin 2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α

＝

2tan α1＋tan 2α＝3

5

.

(2)已知直线l 经过直线l 1：x ＋y ＝2与l 2：2x －y ＝1的交点，且直线l 的斜率为－2

3，则直线l

的方程是( ) A.－3x ＋2y ＋1＝0 B.3x －2y ＋1＝0 C.2x ＋3y －5＝0 D.2x －3y ＋1＝0

答案 C

解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，2x －y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝1，

y ＝1，

所以两直线的交点为(1,1). 因为直线l 的斜率为－2

3

，

所以直线l 的方程为y －1＝－2

3(x －1)，

即2x ＋3y －5＝0. 热点二 圆的方程及应用 1.圆的标准方程

当圆心为(a ，b )，半径为r 时，其标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，特别地，当圆心在原点时，方程为x 2＋y 2＝r 2. 2.圆的一般方程

x 2

＋y 2

＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2

＋E 2

－4F >0，表示以⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2为圆心，D 2＋E 2－4F 2

为半

径的圆.

3.解决与圆有关的问题一般有两种方法

(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程. (2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.

例2 (1)(2018·天津)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为____________. 答案 x 2＋y 2－2x ＝0

解析 方法一 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. ∵圆经过点(0,0)，(1,1)，(2,0)， ∴⎩⎪⎨⎪

⎧

F ＝0，2＋D ＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0.

解得⎩⎪⎨⎪

⎧

D ＝－2，

E ＝0，

F ＝0.

∴圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0. 方法二 画出示意图如图所示，

则△OAB 为等腰直角三角形， 故所求圆的圆心为(1,0)，半径为1， ∴所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1， 即x 2＋y 2－2x ＝0.

(2)抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，当△FPM