第三章(2)周期信号的频谱
第三章第二节离散信号频域分析
则 y (n ) IDFS [Y (k )] x1 (m) x2 (n m)
m 0
N 1
x2 (m) x1 (n m)
m 0
N 1
证： y(n) IDFS[ X 1 (k ) X 2 (k )]
j
2
j j e 2 e 2
e
3 j 2
sin 2 sin / 2
求x n 的8点DFT N 8
X k X e j
3 j k 2 4
2 k 8
e
2 sin 2 k 8 1 2 sin k 2 8 sin k 2 sin k 8
若 则有
2．周期序列的移位 设
则 如果m>N，则m=m1+Nm2
3．周期卷积 设 和 DFS系数分别为
都是周期为N的周期序列，它们的
令
则
上式表示的是两个周期序列的卷积，称为周期卷积。 周期为N的两个序列的周期卷积的离散傅里叶级数等于 它们各自离散傅里叶级数的乘积。
周期卷积的计算：
周期卷积中的序列 和 对m都是周 期为N的周期序列，它们的乘积对m也是以N为周期的， 周期卷积仅在 一个周期内求和。 相乘和相加运 算仅在m=0到N-1的区间内进行。计算出 n=0到N-1(一个周期)的结果后，再将其进行周期延拓， 就得到周期卷积 。 周期卷积满足交换律
j
2 nk N
一个域的离散造成另一个域的周期延拓， 因此离散傅里叶变换的时域和频域都是 离散的和周期的。
离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换
周期信号的频域分析
周期信号的频域分析周期信号是指在一定时间间隔内，信号的波形和幅度重复的一种信号。
频域分析是指将一个信号从时域（时间域）转换到频域（频率域），以便更好地理解信号的频率特性和频谱分布。
f(t) = a0 + ∑(an*cos(nω0t) + bn*sin(nω0t))其中，a0为直流分量，an和bn分别为傅里叶级数的系数，ω0 =2π/T为基础角频率。
要进行频域分析，首先需要计算出信号的傅里叶系数an和bn。
计算步骤如下：1.计算直流分量a0，即信号f(t)在一个周期内的平均值。
2. 计算余弦项的系数an，使用公式：an = (2/T) * ∫(f(t)*cos(nω0t)dt)其中，∫表示对t从0到T的积分。
3. 计算正弦项的系数bn，使用公式：bn = (2/T) * ∫(f(t)*sin(nω0t)dt)同样，∫表示对t从0到T的积分。
计算出所有的an和bn之后，可以得到信号f(t)的频谱分布。
频谱是指信号在频率域上的幅度分布，可以用幅度谱和相位谱来表示。
1. 幅度谱表示信号各个频率分量的幅度大小。
幅度谱可以通过计算an和bn的幅度来得到，即幅度谱A(f) = sqrt(an^2 + bn^2)。
2. 相位谱表示信号各个频率分量的相位差。
相位谱可以通过计算an 和bn的相位差来得到，即相位谱ϕ(f) = atan(bn/an)。
通过这些计算，我们可以获得信号在频域上的频谱分布，进一步分析信号的频率特性。
频域分析的应用十分广泛。
在通信系统中，频域分析可以用于分析信号的频率偏移、频率响应等问题，为系统的调试和优化提供依据。
在音频和视频信号处理中，频域分析可以用于音频信号的均衡和滤波，视频信号的去噪和增强等。
此外，频域分析还在图像处理、生物医学信号处理等领域得到广泛应用。
总之，周期信号的频域分析是一种将信号从时域转换到频域的方法，可以帮助我们更好地理解信号的频率特性和频谱分布。
通过计算傅里叶系数，可以得到信号的幅度谱和相位谱，从而分析信号在频域上的特性。
周期信号的频谱
第
1．三角形式的谱系数
f (t ) E
9 页
T1
f t 是个偶函数
bn 0, 只有a0 , an
O 2 2
T1
t
X
第
2．指数形式的谱系数
1 Fn T1
10 页
1 = T1
T1 2 T 1 2
f ( t )e jn1t d t
2
E 1 jn 1 t 2 Ee dt e jn1t 2 T1 jn 1
P5 n F 0 F 1 F 2 1 F 3 1 F 4 1
2 2 2 2
2
F 1 F 2 1 F 3 1 F 4 1
2 2 2
2
0.181E 2 1 T1 2 f ( t )dt 0.2 E 2 而总功率 T1 0 P5 n 二者比值 90.5% P
jn 1 jn1 2 e e 2
2
E jn 1T1
2E sin n 1 n 1T1 2 sin n 1 E 2 E Sa n 1 T1 T1 2 n 1
X
3．频谱及其特点
n)
E
f (t )
E 2E 1 f (t ) [sin(1 t ) sin(31 t ) 2 3 1 1 sin(51 t ) sin(n1 t ) ] 5 n
T1
T1 2
0
T1 2
T1
t
n 1,3,5,
E 2E 2E f (t ) cos(1 t ) cos(31 t ) 2 2 3 2 2E 2E cos(51 t ) cos(71 t ) 5 2 7 2
4.2周期信号的频谱
2A ( n 1, 3, 5,) n 90o ( n 1,3,5,) n o ( n 1, 3, 5,) 90 Fn
信号与系统
周期矩形脉冲信号的频谱
对于周期矩形脉冲，在一个周期内为
A t t
4.2-5
f (t )
0
2 2
4A (n 1,3,5,...) nπ
矩形波：
图1
n 90o (n 1,3,5,...)
谱 线
相位值 振幅 图2 角频率
信号与系统
4.2
周期信号的频谱
4.2-3
4.2.1 周期信号频谱的特点
频谱特点：
•
离散性：每根谱线代表一个谐波分量， 称为离散谱线。 谐波性：基波1的整数倍频率 收敛性：高次谐波幅度渐小，当谐波次 数无限增多时，谐波分量的振幅趋于无 穷小。
4.2 周期信号的频谱
信号与系统
4.2-1
4.2.1 周期信号频谱的特点
将周期信号分解为傅里叶级数(简称傅氏级数)，为在频域 中认识信号特征提供了重要的手段。由于在时域内给出的 不同信号，不易简明地比较它们各自的特征，而当周期信 号分解为傅氏级数后，得到的是直流分量和无穷多正弦分 量的和，从而可在频域内方便地予以比较。为了直观地反 映周期信号中各频率分量的分布情形，可将其各频率分量 的振幅和相位随频率变化的关系用图形表示出来，这就是 信号的“频谱图”。频谱图包括振幅频谱和相位频谱。前 者表示谐波分量的振幅An随频率变化的关系；后者表示谐 波分量的相位φn 随频率变化的关系。习惯上常将振幅频谱 简称为频谱。
奇谐函数
偶谐函数
注：指交流分量
信号与系统
周期信号的离散频谱
目
CONTENCT
录
• 引言 • 周期信号的离散频谱特性 • 离散频谱的生成方法 • 离散频谱的应用 • 离散频谱与连续频谱的比较 • 总结与展望
01
引言
背景介绍
周期信号在现实世界中广泛存在，如交流电、机械振动等。为了 更好地理解和分析这些信号，需要研究其离散频谱。
离散频谱是周期信号的频率成分的集合，表示信号在不同频率上 的分布情况。
计算过程
傅立叶变换法需要将时间域信 号进行无穷积分，计算过程较 为复杂，需要较高的数学水平 。
应用范围
适用于周期信号和非周期信号 ，是信号处理领域中非常重要 的工具之一。
离散时间傅立叶变换法
定义ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
离散时间傅立叶变换法是一种将离散时间序列转换为频域 信号的方法，通过将离散时间序列进行傅立叶变换，得到 离散频谱。
干扰抑制
在复杂电磁环境下，雷达系统可能受到各种干扰的影响，离散频谱分 析有助于识别和抑制这些干扰，提高雷达的抗干扰能力。
在图像处理中的应用
01
频域滤波
图像处理中，离散频谱分析用于频域滤波，通过改变图像信号在不同频
率段的权重实现图像的模糊、锐化、边缘检测等效果。
02
去噪与增强
离散频谱分析在图像去噪与增强方面具有广泛应用，通过滤除噪声成分
离散频谱的定义
01
离散频谱是指周期信号的频率成 分以离散的形式分布在频率轴上 。
02
与连续频谱相比，离散频谱的频 率分量是分离的，而不是连续分 布的。
02
周期信号的离散频谱特性
离散频谱的形状
正弦波形状
对于正弦波形状的离散频谱，其峰值出现在中心频 率处，随着频率的增加或减少，幅度逐渐减小。
信号与系统信号3-1
2
0
Fn 在 n 有值，称为谱线；
第三章第1讲
14
周期T不变，脉冲宽度变化 ②
情况
2：
T 8
,
Fn
T
Sa( n )
T
1 Sa( n
88
)，
第一个过零点为
n
=8
。
脉冲宽度缩小一倍
f (t)
1
T
2
0
2
T
t
谱线间隔不变 2
T
Fn
1 8
第三章第1讲
3
傅里叶系数间的关系
傅里叶系数：
an
2 T
T
2 f (t) cos ntdt
T 2
n 0, 1, 2,
bn
2 T
T
2 f (t)sin ntdt
T 2
n 1, 2,
An an2 bn2 复傅里叶系数。
n
arctg
bn an
An
bn
n
an
Fn
第三章第1讲
22
周期信号频谱的性质
时移特性：
若
f
(t)
Fn ，则
f (t ) Fne jn
Fn
1 T
证：设
f (t )e
f (t )
jn tdt
1 T
Fn
f (x)e
jn
( x
)dx
1 T
e
jn
f (x)e jn xdx Fne jn
第三章 信号与系统的频域分析
其中：
2 2 An a n bn
第n次谐波的振幅
bn n arctg( ) an
第n次谐波的初相角
三角频谱：余弦形式的傅氏级数的振幅An随n0变化的规律，称为振幅频
谱，习惯上简称频谱；相位n随n0变化的规律，称为相位频谱。
三角傅氏级数总有 n 0 ,谱线只出现在n0～An或者n0～n平 面的右半平面，故称作单边频谱。
直流系数
利用信号的对称性简化傅立叶系数的求解 偶函数fe(t)的傅立叶级数只含有直流分量和余弦分量；
奇函数fo(t)的傅立叶级数只含有正弦分量；
奇半波对称信号只含有奇次谐波，又称奇谐函数 偶半波对称信号只含有偶次谐波，又称偶谐函数
2、余弦形式的傅氏级数
三角函数变换公式
其中，
An a b
F n F n
*
总是成对出现
负频率的出现只是数学形式，实际并不存在
Fn Fn e j n
F n F n e j n Fn e j n
F n Fn
偶函数
n n
奇函数
(2) 与三角形式的傅氏级数的关系
a0 A0 F0 2 2 an jbn Fn 2 an jbn * F n Fn 2 An | Fn | 2
一般周期信号都满足这些条件余弦分量系数正弦分量系数称为傅里叶系数基波角频率直流系数直流分量基波分量n周期信号可以分解为各次谐波分量的代数和利用信号的对称性简化傅立叶系数的求解偶半波对称信号只含有偶次谐波又称偶谐函数2余弦形式的傅氏级数其中为第n次谐波的振幅为第n次谐波的初相角三角函数变换公式二指数型傅里叶级数在时间区间tt内基波角频率的正交虚指数函数集是完备的对于周期为t的周期信号ft当它在该时间区间内有定义时可以由上述虚指数函数的线性组合来表示即
信号与系统习题答案第三章
第三章习题基础题3.1 证明cos t , cos(2)t , …, cos()nt (n 为正整数)，在区间(0,2)π的正交集。
它是否是完备集? 解：(积分???)此含数集在(0,2)π为正交集。
又有sin()nt 不属于此含数集02sin()cos()0nt mt dt π=⎰，对于所有的m和n 。
由完备正交函数定义所以此函数集不完备。
3.2 上题的含数集在(0,)π是否为正交集？解：由此可知此含数集在区间(0,)π内是正交的。
3.3实周期信号()f t 在区间(,)22T T-内的能量定义为222()TT E f t dt -=⎰。
如有和信号12()()f t f t +(1)若1()f t 与2()f t 在区间(,)22T T-内相互正交，证明和信号的总能量等于各信号的能量之和;(2)若1()f t 与2()f t 不是相互正交的，求和信号的总能量。
解：(1)和信号f(t)的能量为[]222222222221212222()12()()()()()()T T T T T T T T T T E f t dt dtf t dt f t dt f t f t dtf t f t -----===+++⎰⎰⎰⎰⎰（少乘以2）由1()f t 与2()f t 在区间内正交可得2122()()0T T f t f t dt -=⎰则有 22221222()()T T T T E f t dt f t dt --=+⎰⎰即此时和信号的总能量等于各信号的能量之和。
和信号的能量为(2)[]222222222221212222()12()()()()()()T T T T T T T T T T E f t dt dtf t dt f t dt f t f t dtf t f t -----===+++⎰⎰⎰⎰⎰（少乘以2吧？）由1()f t 与2()f t 在区间(,)22T T-内不正交可得 2122()()0T T f t f t dt K -=≠⎰则有2222222212122222()()()()T T T T T T T T E f t dt f t dt K f t dt f t dt ----=++≠+⎰⎰⎰⎰即此时和信号的总能量不等于各信号的能量之和。
第三章：信号的频域分析
三.非周期信号的频谱
X(t)与│X(f)│之间存在：
三.非周期信号的频谱
∵许多时间函数（例如：正弦函数）的总能 量无限，但其功率有限。 ∴考虑在（－∞，＋∞）上的平均功率：
∫
∞
−∞
x2 (t)dt = ∫ X ( f ) df
2 −∞
∞
(巴赛伐等式）
(3－11)
T →∞
lim
上式为总能量的频谱表达式， 左边为X(t)在（－∞，＋∞）之间的总能量， 右边│X(f)│2称为X(t)的能谱密度。
∞ －∞
x (t ) = ∫
∞
−∞
X ( f ) e j (2π ft +φ ( f ) ) df
（3－10）
取实部
∫
+∞ −∞
X (ω ) e
dω
X ( f ) cos(2πft + ϕ ( f ))df
n
X ( f ) = 2 π X (ω )
称 X ( f ) 为 x (t ) 的连续频谱。一般
它的巴赛伐等式为:
四.平稳随机信号的频谱
∵平稳随机信号不是周期信号
(3－13)
2
∫
2 −∞ T
∞
x (t )dt = ∫ X ( f , T ) df
−∞
∞
∴其频谱应为连续谱 又∵样本曲线的波形各不相同 ∴幅值谱没有意义 ∴平稳随机信号的频谱是指功率谱密度。
lim 可得： T →∞
∞ 1 ∞ 2 1 2 xT (t )dt = ∫ lim X ( f , T ) df ∫ − ∞ − ∞ T →∞ 2T 2T
式（3－9）代入（3－5）得：
X (ω ) =
x (t) =
信号与系统第3章 傅里叶变换
P
f
2 (t) 1 T1
t0 T1 t0
f
2 (t)d t
a0 2
1 2
n1
(an
2
bn 2 )
2
Fn _____ 帕塞瓦尔定理
n
结论：周期信号的平均功率等于傅里叶级数展开 式中基波分量及各谐波分量有效值的平方 和，即时域和频域的能量守恒。
五. 周期信f号(t)的频c0 谱 （c三n c角os函(n数1t形 式n )） n1
(1) 偶函数 f (t) f (t)
4
an T1
T1
2 0
f (t) cos(n1t)dt
Fn
Fn
an 2
bn 0
傅里叶级数中不会含有正弦项， 只可能含有直流项和余弦项。
(2) 奇函数 f (t) f (t)
a0 0 , an 0
bn
4 T1
T1
2 0
f (t) sin(n1t)d t
e j n1t
T1 n 2
画频谱图：
c0
a0
E
T1
an
2E
T1
Sa
n1
2
, n
1,2,
cn an
1）令 m
2
得
2
m
即在
2
m，m为整数处有零点。
2）
2
2
T1
T1
零点间谱线个数
3) c n值为正，相位为0，值为负，相位为π
4)谱线间隔为 1 带宽
2
T1
，第一个过零点带宽定义为信号的
1 3
s in31t
1 4
sin41t
E
1 n1
周期信号的频谱
例题：O tf (t )T /31-TT如右图所示的周期性矩形脉冲信号（周期为T ）经过一个低通滤波器，求其响应及响应的平均功率。
已知该滤波器的传递函数为()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤<-≤=--时时时T T e T T e j H j j ωππωππωπωωωτωτ6,063,3/23,分析：周期信号可以分解成直流、基波、高次谐波等分量每个分量经过滤波器 复数解法解：求傅立叶系数：⎰-=3/001T tjn n dt eTC ωO tf (t )T /31-TT令ω0=2π/T3/0001T t jn eTjn ωω--=3/3sin 31ππjn e n c -⎪⎭⎫ ⎝⎛=3100==C A 2nj n n A eC ϕ=~基波和n 次谐波的复数表示低通滤波器只通过低于3ω0的信号，因此信号中只有直流、基波和二次谐波分量通过。
输出信号中的直流分量为：()3100==ωωj H A解：输出信号中的基波分量的复数表示为：()()τωπωωφπω0013/13sin 32+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=j j e c j H eA 输出信号中的二次谐波分量的复数表示为：()()τωπωωφπω00223/22232sin 94+-=⎪⎭⎫⎝⎛=j j e c j H e A 输出信号的时域表达式为：⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+τωπωπτωπωπ00002322cos 32sin 943cos 3sin 3231t c t c 输出信号的平均功率为：280.02sin 41sin 211222≈⎥⎤⎢⎡⎪⎫⎛+⎥⎤⎢⎡⎪⎫ ⎛+⎪⎫ ⎛=ππc c P out第三章：信号的频谱§3-1 周期信号的频谱§3-2 非周期信号的频谱密度 傅立叶变换与频谱密度信号的频谱分布与带宽基本信号的频谱密度§3-3 频谱分析的基本定理§3-4 采样定理傅立叶变换的引出如何从频域描述一个非周期信号？tf (t )傅立叶级数？——显然不行怎么办？退而求其次，先考虑描述函数在有限区间[a,b)上的一段吧tf a,b (t )a btf T (t )a b考虑有限区间周期扩展再扩展成周期T =b -a 的函数f T (t )f T (t ):周期函数~可以用傅立叶级数表示在区间[a,b)上与f (t ) 相同傅立叶变换的引出tf T (t )a b()(),1100dt et f Tdte tf T C tjn bat jn ba T n ωω--⎰⎰==()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++∈-++=∑∞-∞=b a t b f a f b a t t f t f eC n tjn n或,2)0(0,,2)0(00ω傅立叶级数只在区间(a,b ) 上收敛于f (t )，因此C n 并不是f (t ) 的复频谱如果f T (t ) 满足狄利克雷条件，则可以展开成傅立叶级数：定义：则：ω0=2π/T傅立叶变换的引出进一步，选取对称区间[-T /2,T /2)。
3.2.1 周期信号的频谱周期信号的频谱分析——傅里叶级数
4
狄利克雷（Dirichlet）条件 条件1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的 数目应是有限个。
条件2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有 限个；
条件3:在一周期内，信号绝对可积;
5
狄利克雷（Dirichlet）条件1:例1 不满足条件1的例子如下图所示，这个信号的周期 为8，它是这样组成的：后一个阶梯的高度和宽度是前一 个阶梯的一半。可见在一个周期内它的面积不会超过8， 但不连续点的数目是无穷多个。
0
1
1
0
1
2 1
2 1
指数形式的频谱图
F n 1
0.15
n
0.5
1.12
1
1.12
0.5
2 1
0.15 2 1
1
0.25
2 1 1
0
1
1
0
0.15
2 1
0.25
21
四．总结
（1）周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式
满足离散性，谐波性不满足收敛性，频带无限宽
26
一．频谱结构
f (t ) E
/ 2
脉宽为 脉冲高度为E 周期为T1
T1
/2
T1
t
1. 指数函数形式的谱系数
2. 频谱特点
27
1．指数形式的谱系数
1 F ( n 1 ) T1
1 = T1
jn 1 t
T1
T1
2 2
f ( t )e jn1t d t
bn n tg a n
1
关于的偶函数（实际 n 取正值） 关于的奇函数（实际 n 取正值） 关于的偶函数 关于 的奇函数
周期信号的频谱的特点
周期信号的频谱的特点对于周期信号，其频谱特点主要有以下几个方面：1.频谱呈现出离散的频率分量：周期信号的频谱是由一系列离散的频率分量组成的，这些频率分量可以看作是正弦波的谐波。
具体来说，周期信号的基波频率对应着信号的周期，而高次谐波频率对应着信号的周期的整数倍。
因此，周期信号的频谱呈现出离散的频率分量。
2.频率分量的幅值逐渐衰减：对于周期信号的频谱，随着频率的增大，各个频率分量的幅值逐渐衰减。
这是因为周期信号的频谱是由一系列频率为整数倍的正弦波叠加而成的，而高次谐波频率对应着幅度较小的频率分量。
因此，随着频率的增大，高次谐波频率分量的幅值逐渐变小，频谱呈现出幅度逐渐衰减的特点。
3.频谱具有对称性：对于实信号的周期信号，其频谱具有对称性。
具体来说，周期信号的频谱关于零频率轴对称。
这是因为周期信号的频谱是由实信号频谱叠加而成的，而实信号频谱及其傅里叶变换的共轭都是对称的，因此周期信号的频谱具有对称的特点。
4.频谱的带宽与周期信号的周期有关：对于周期信号，其频谱的带宽与信号的周期有关。
具体来说，频谱的带宽在理论上等于周期的倒数。
这是因为在频谱中，由于频率分量的间隔等于周期的倒数，频谱的带宽也等于周期的倒数。
5.频谱的相位对称性：对于周期信号，它的频谱在幅度谱的基础上还有相位谱。
频谱的相位是随着频率变化的，由于周期信号的频率分量是正弦波，而正弦波的相位是以周期为单位的，所以频谱的相位也具有周期性。
具体来说，频谱的相位存在对称性，即频率分量的相位和其对称频率分量的相位相差180度。
这是由于正弦波的周期性特点决定的。
综上所述，周期信号的频谱特点包括频谱呈现出离散的频率分量、频率分量的幅值逐渐衰减、频谱具有对称性、频谱的带宽与周期信号的周期有关，以及频谱的相位对称性等。
这些特点在信号处理和通信系统中具有重要的理论和实际意义，为信号的分析、处理和传输提供了基础。
信号与系统第三章(2)
F n ⋅ 2 πδ (ω − n ω
) )
= 2π
n = −∞
∑
∞
F n ⋅ δ (ω − n ω
0
即周期信号的傅里叶变换为
F (ω ) = 2π ∑ Fn ⋅ δ (ω − nω 0 )
−∞
∞
上式表明：周期信号的频谱函数，是由无限多个冲激组 上式表明：周期信号的频谱函数， 成，这些冲激位于基频整数倍的频率 nω0处，每一冲激的 强度即为 2π Fn 。
3.5.1 单位冲激 δ (t )
由根据傅里叶变换的定义式， 由根据傅里叶变换的定义式，并且考虑到冲激函 数的抽（取）样性质，得 数的抽（ 样性质，
F (ω ) = ∫ δ (t )e
−∞
∞
− jωt
dt = ∫ δ (t )dt = 1
−∞
∞
结论:
1、单位冲激信号在整个频率范围内具有恒定的频 、单位冲激信号在整个频率范围内具有恒定的频 恒定的 谱函数,为常数1,即冲激信号包含相对幅度相等的所 谱函数 为常数 即冲激信号包含相对幅度相等的所 有频率分量,相位都为 相位都为0. 有频率分量 相位都为 2、信号的持续时间与其频带宽度成反比。 反比。 、信号的持续时间与其频带宽度成反比
−∞ ∞ − jωt
dt = ∫ τ e
2 − 2
− jωt
dt =
e
−e − jω
j
ωτ
2
3.5.7 虚指数函数
利用傅里叶反变换定义和冲激函数的抽样性质， 利用傅里叶反变换定义和冲激函数的抽样性质，可得
1 F [δ (ω − ω 0 )] = 2π
−1
∫ δ (ω − ω )e
−∞ 0
∞
周期信号的频谱
(17-3)
2
实验原理与说明
2 T 2 bn = ∫ T f (t) sin nt dt T 2
∞
n = 1, 2,
(17-4)
若将(17-1)式中同频率项加以合并，可以写成另一种形式 式中同频率项加以合并， 若将 式中同频率项加以合并
周期信号的频谱
1
实验原理与说明
周期信号的分解与合成
周期为T的周期信号 f (t)，满足狄里赫利（Dirichlet）条 周期为 的周期信号 满足狄里赫利（ ） 实际中遇到的所有周期信号都符合该条件）， ），便可 件（实际中遇到的所有周期信号都符合该条件），便可 以展开为傅里叶级数的三角形式， 以展开为傅里叶级数的三角形式，即:
2 T2 2 T 2 cos nt bn = ∫ sin ndt ∫ sin ndt = T 0 T T2
1
T 2
T
t
图17-1
T2
cos nt + n 0
T2
T
将 = 2π 代入上式，并且对所有的n有 cos nπ =1 ，可得 T 2 bn = (1 cos nπ ) nπ
4
实验原理与说明
周期信号频谱和特点
1、周期信号的频谱由不连续的线条组成，每一条线代表一个正弦量， 周期信号的频谱由不连续的线条组成，每一条线代表一个正弦量， 故称为离散频谱； 故称为离散频谱； 2、周期信号频谱的每条谱线只能出现在基波频率的整数倍频率上。 周期信号频谱的每条谱线只能出现在基波频率的整数倍频率上。 这就是周期信号频谱的谐波性； 这就是周期信号频谱的谐波性； 3、各次谐波的振幅，总的趋势是随着谐波次数的增高而逐渐减小。 各次谐波的振幅，总的趋势是随着谐波次数的增高而逐渐减小。 所以，周期信号的频谱具有收敛性。 所以，周期信号的频谱具有收敛性。 以上就是周期信号频谱的三个特点：离散性、谐波性、收敛性。 以上就是周期信号频谱的三个特点：离散性、谐波性、收敛性。这 是所有周期信号共有的特点。 是所有周期信号共有的特点。 4、离散频谱与连续频谱 当周期信号的周期T增大，其频谱中的谱线也相应地渐趋密集， 当周期信号的周期T增大，其频谱中的谱线也相应地渐趋密集，频 谱的幅度也相应的渐趋减小。当 频谱线无限密集， 谱的幅度也相应的渐趋减小。T →∞ 时，频谱线无限密集，频谱 幅度无限趋小。这时，离散频谱就变成连续频谱。 幅度无限趋小。这时，离散频谱就变成连续频谱。
第三章周期信号的傅里叶级数表
2T1 T0
Sa k
2
T0
T1
谱线为离散的（谐波性），在
k0
k
2
T0
时取值，
脉冲周期越大，谱线间隔 0 越小，越密；
各点频谱大小与脉宽 T1 成正比，与周期 T0 成反比；
频谱包络线形状：抽样函数，过零点为最大值为 2T1
T0
主要能量在第一过零点内，第一个零点坐标为:
k 1, kω0T1
k
k
ak
1 T
x(t)e jk0tdt 1
T
T
x(t)e jk(2 T )tdt
T
28
29
解：方法一：直接利用公式进行求解
ak
1 T
x(t)e jk0t dt 1
T
T
x(t)e jk(2 T )t dt
T
方法二：
x(t)
a k e jk0t
a e jk(2 T )t k
k
46
47
48
这两组条件并不完全等价。它们都是傅里叶级 数收敛的充分条件。相当广泛的信号都能满足这 两组条件中的一组，因而用傅里叶级数表示周期 信号具有相当的普遍适用性。
49
50
三 、吉伯斯（Gibbs）现象 满足Dirichlet条件的信号，其傅里叶级数
是如何收敛于 的x。t 特别当 具有xt间
7
补充例题：
例:对单位冲激响应 h(t) 的 (LtT) I系统，其特征函数，
相应的特征值是什么?
解：Q h(t) (t) 的 LTI 系统是恒等系统，所以任何函 数都是它的特征函数，其特征值为 1。
例:如果一个LTI系统的单位冲激响应为， h(t) (t T)
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3 45 6 30
0 A n
o
2
3
(a )
4
5
6
An 3
3
4 5°
n
4 5°
2
2
3 0° 2 0° 1 0°
3 0°
1 0 .4 o
0 .8
1 5°
2
3
(a )
4
5
6
o
2
3
(b )
4
5
6
4 5°
n
4 5°
图 3.3-1
2
jnt F e n
将f ( t )展开为指数型傅里叶级数：
f (t )
n
T 1 0.2 Fn 0.2Sa(0.2n )
其频谱如下图所示，频谱的第一个零点在 n 5 ， 10 10 rad / s 这时 5
T
n Fn Sa( ) T 2
1 2
2m
3、周期相同，脉冲宽度不同时信号的频谱： 谱线间隔不变，但零点位置变化。 周期不同，脉冲宽度相同时信号的频谱： 零点位置不变，谱线间隔变化。 T 相邻谱线的间隔 零，周期信号的
离散频谱 非周期信号的连续频谱。
f (t) =T/4
1/ 4
Fn 2/
0
T
t
0 1/ 8
T
2T
t
图 3.3-3 周期矩形脉冲
1
f t
T
0 2 2
T
2T
t
1 Fn T
T 2 T 2
f ( t )e jnt dt
2
1 T
2 2
e jnt dt
1 e jnt T jn
2
n 1 j n j 2 e e 2 jTn
f t
E
t
T
0
T
三、 周期信号的功率
周期信号是功率信号，归一化平均功率为 :
1 P T
T 2 T 2
f ( t )dt
2
这是时域上的表达式。
下面我们来讨论频域上的表达式？ 将 f (t ) 的傅里叶级数展开式代入上式得：
A0 1 2 P [ An cos(nt n )] dt T 2 n1
上式等号右端的第一项为直流功率，第二项为各次谐波的 功率之和。因此，周期信号的功率等于直流功率与各次谐 波功率之和。
由于 Fn 是
n
2
1 的偶函数，且 Fn An ，上式可改写为： 2
2 2 2
1 P T
T 2 T 2
f (t )dt F0 2 Fn Fn
n 1 n
3 0° 2 0°
(a)振幅谱； (b) 相位谱
3 0°
|Fn | 2 1 .5 1 0 .4 1 1 .5 1 0 .4
4 5 6
0 .2
2
0 .2
3
－ 6－ 5 － 4 － 3－ 2 － o (a )
4 5° 3 0° 1 5° － 6－ 5 － 4－ 3 － 2 － o －1 0° －2 0° －3 0° －4 5° (b )
1 2 j si n n 2 jTn
T
sin
T
sa n 2
n 2 n 2
sin x n Fn Sa ---------取样函数 Sa( x ) T x 2
1.它是偶函数。 Sa( x ) 1 。 2. 当 x 0 时， 3.当 x k
0
3T
4T t
0
1/ 8
T f (t) T=16
0
2T
t
0 1/16
Fn
2/ Fn 2/ 4/ 4/
0
T
t
0
f (t) T /T
0 t 0
图3.3-5 周期与频谱的关系
思考：
1 1 1 t sin3t sin5t .... sinnt ...] f t [sin 3 5 n
f t
1 T 1
4
n 1,3,5,
T
0
t
看作是周期性矩形脉冲 时的情况，其偶次谐 波恰恰落在频谱包络线的零值点，所以它的频谱只 包含基波和奇次谐波分量。
T 2
周期锯齿脉冲信号的傅里叶级数:
E 1 1 1 f t sint sin2t sin3t sin4t 2 3 4
1
Fn
4
T
Sa 2
4
2
0
2
4
图4.3-4 周期矩形脉冲的频谱（T=4）
T 4
1
Fn
4
T
Sa 2
4
2
0
2
4
2 相邻谱线的间隔： T 零点的位置： n k n k 2 2 2 k 0 第一个零点的位置： n
A0 f (t ) An cos(nt n ) 2 n 1
可知，其基波频率Ω=π(rad/s)，基本周期T=2 s，ω=2π、3π、 6 π分别为二、 三、六次谐波频率。且有
A0 1 2
1 0 1 10 2 20
A1 3 A2 2 A3 0.4 A6 0.8
例 3.3-1
f (t ) 1 3 cos(t 10) 2 cos(2t 20) 0.4 cos(3t 45) 0.8 cos(6t 30),
试画出f(t)的振幅谱和相位谱。
解 f(t)为周期信号，题中所给的 f(t)表达式可视为 f(t) 的傅里 叶级数展开式。据
4/ Fn
8/
f (t) =T/ 8
16/
0
T
t
0
2/ Fn
4/
8/
f (t) =T/16
1/16
0
T
t
0
2/
4/
图3.3-4 脉冲宽度与频谱的关系
f (t) T=4
1/ 4
Fn 2/ Fn 2/ 4/ 4/
T 2T f (t) T=8
T
0.2
根据式
1 T 2 2 2 2 2 P T f (t )dt F0 2 Fn Fn T 2 n 1 n
在频谱第一个零点内的各分量的功率和为:
P10 F0 2 Fn
2 n 1
2
4
2
Fn 0.2Sa(0.2n )
P10 (0.2)2 20.2 [ Sa2 (0.2 ) Sa2 (0.4 ) Sa 2 (0.6 ) Sa 2 (0.8 )]
n ~ n 的关系绘成下面的线图， 如果将 An ~ n ， 便可清楚而直观地看出各频率分量的相对大小及各 分量的相位，分别称为幅度谱和相位谱（单边）。
如果将 Fn ~ n， n ~ n的关系绘成下面的线图， 同样可清楚而直观地看出各频率分量的相对大小及各 分量的相位，也分别称为幅度谱和相位谱（双边）。
周期性矩形脉冲信号的频谱还有自己的特点 : 1、各谱线的幅度按包络线 T
m ( m 1, 2,...)
Sa(
2
) 的规律变化。
在 2 各处，即 的各处， 包络为零，其相应的谱线，亦即相应的频谱分量也等 于零。 2、周期矩形脉冲信号包含无限多条谱线，也就是说， 它可分解为无限多个频率分量。 通常把频率范围 0 f (0 ) 称为周期矩形脉冲 信号的带宽，用符号 F 表示，即周期矩形脉冲信 1 号的频带宽度为 F 。
0.04 0.08(0.8751 0.5728 0.2546 0.05470 )
0.1806
P10 0.1806 90.3% P 0.2
即第一个零点以内各分量的功率占总功率的 90 .3% 。
本节小结
• 1、周期信号的频谱及其特点。
• 2、周期信号的功率。
k 0 时，函数值为0。
1
Sa x
3
2
0
2
3
x
它是无限拖尾的衰减振荡。
n Fn Sa( ) T 2
f (t )
n 0, 1, 2, .....
该周期性矩形脉冲的指数形式傅里叶级数展开式为：
n
F e
n
jnt
n jnt Sa( )e T n 2
n 1 1 1 sinnt n 1 n
E
f t
E 2
T
0
E 2
T
t
周期三角脉冲信号的傅里叶级数:
E 4E 1 1 f t 2 cost 2 cos3t 2 cos5t 2 3 5
T 2 T 2
A0 1 2 P [ An cos(nt n )] dt T 2 n1
将被积函数展开，在展开式中具有形式 cos(nt n ) 的余弦项，其在一个周期内的积分等于零；具有 Am cos(mt m ) • An cos(nt n ) 形式的项，当 m n 时，其积分值为零，对于 m n 的项，其积