点、线、面之间的位置关系知识易错点及例题合集
析高中数学中的易忘点分、易错、易混点分
高中数学中的易忘、易错、易混点梳理高三数学复习的策略非常重要，如果在复习中心浮气躁、东一榔头西一棒，或者不根据自己的实际情况，盲目地随大流，都难以取得良好的复习效果。
为了争取最佳的复习效果，在高三后期及时调整自己的复习方略是非常必要的。
确定复习策略的依据有两条，一是高考的考试大纲（或《考试说明》），二是自己的实际情况。
复习工作的目的，就是努力使自己的数学水平达到考试大纲的要求。
经常梳理自己的知识系统，结合自己的具体情况制定数学复习策略，及时调整数学复习方法，是每一位同学都需要重视的工作。
只有摸清自己的易忘、易错、易混点，才能完善学科知识和能力结构，明确复习重点，做到查漏补缺。
系统地梳理知识，需要用心体会，耐心地将平时含糊不清、似是而非的概念、公式彻底理清。
如：异面直线上两点间的距离公式EF =何确定；给定区间内，求二次函数的最值的讨论依据是什么；sin()y x ωφ=+的图形变换的顺序；应用导数确定函数极值点、单调区间的基本步骤等等，这一些易忘点、易错点、易混点，需要自己及时“回到课本”逐一弄懂，千万不能一带而过，也不要以为记住概念和公式就万事大吉了。
例如，梳理“数列求和”不但要求记住公式，还应该从公式的推导过程中去体会“倒序求和”、“错位相减求和”、“拆项求和”等方法和技巧，进而把握“归纳、递推” 、“化归、转化”等数学思想。
数学思想方法是更高层次的抽象和概括，它能够进行广泛的迁移，形成解决数学问题的通性通法。
又如整理“不等式的解法”时，如果只是机械地分类型罗列几种解法，那么遇到一个陌生的不等式，仍然没有办法。
只有当我们把握了解不等式的思想方法才能变化自如，融会贯通。
梳理知识还应该注意一题多解、一题多变，不断地比较和提炼，使方法最优化。
应《青年导报》栏目编辑的邀请，下面，根据今年高考的考试大纲（或《考试说明》），结合同学们平时数学学习时的易忘、易错、易混点，我和我的同事们一起对高中数学的一些知识点、技能点和一些重要的结论进行了一个比较全面的梳理，供同学们查漏补缺时参考。
立体几何中的典型错误及错因剖析
立体几何中的典型错误及错因剖析作者：殷高荣来源：《中学课程辅导·高考版》2017年第12期立体几何重点培养同学们的空间想象能力，高考中重点考查空间点、线、面的位置关系及空间几何体的表面积和体积.但不少同学常因概念不清晰，平行与垂直关系的判定和性质定理理解出现偏差等等导致概念辨析题出现错误，证明题条件不全面导致格式不规范等.故在高三复习中，要在这些易错点上，强化正误辨析意识，加强训练的针对性，提高复习效率.本文意在从剖析立体几何的常见错误出发，给同学们指引方向，养成良好的解题习惯.易错点一：概念不清导致错解例1给出以下四个命题：①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面.则以上命题正确的是（填序号）.错解：①②③错因分析：不理解确定一个平面的依据，思考问题时还停留在平面图形中，空间想象能力不够.①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面.这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确.②从条件看出两平面有三个公共点A，B，C，但是若A，B，C共线，则结论不正确；③不正确；④不正确，因為此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形.故④错误.正解：①例2如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，给出以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线.其中正确的结论为（填序号）.错解：①②③④错因分析：没有掌握空间几何体中两条直线位置关系的判断方法.其中异面直线的判定可以通过其判定定理，相交直线必须有一个公共点.A，M，C1三点共面，且在平面AD1C1B 中，但C平面AD1C1B，C1AM，因此直线AM与CC1是异面直线，同理AM与BN也是异面直线，AM与DD1也是异面直线，①②错，④正确；M，B，B1三点共面，且在平面MBB1中，但N平面MBB1，BMB1，因此直线BN与MB1是异面直线，③正确.正解：③④易错点二：定义理解不清导致错解例3若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是.错解：b与α相交或b∥α错因分析：直线与平面的位置关系的定义理解不清，在判断时最易忽视“线在面内”.直线b 与平面α的位置关系还有bα.所以b与α相交或bα或b∥α都可以.正解：b与α相交或bα或b∥α例4已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题：①若α，β垂直于同一平面，则α与β平行；②若m，n平行于同一平面，则m与n平行；③若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线；④若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面.其中正确的是（填序号）.错解：③④错因分析：没有真正理解线面平行、线面垂直的定义、判定定理和性质定理.对于①，α，β可能相交，故错误；对于②，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；对于③，若mα，α∩β=n，m∥n，则m∥β，故错误；对于④，假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n与已知m，n不平行矛盾，所以原命题正确，故④正确.正解：④总之，判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理.要善于结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断.特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情况，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确.易错点三：忽视判定定理中的条件导致解题格式不规范例5在四棱锥PABCD中，AD∥BC，AB=BC=12AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点.（1）求证：AP∥平面BEF；（2）求证：GH∥平面PAD.错解：证明：（1）连接EC，∵AD∥BC，BC=12AD，E为AD的中点，∴BC平行且等于AE，∴四边形ABCE是平行四边形，∴O为AC的中点，又∵F是PC的中点，∴FO∥AP，∴AP∥平面BEF.（2）连接FH，OH，∵F，H分别是PC，CD的中点，∴FH∥PD，又∵O是BE的中点，H是CD的中点，∴OH∥AD，又FH∩OH=H，∴平面OHF∥平面PAD.又∵GH平面OHF，∴GH∥平面PAD.错因分析：在第（1）问解题过程中的漏掉“FO平面BEF，AP平面BEF，”，缺一不可，应用判定定理时需把条件罗列完整.在第（2）问解题过程中直接从两相交直线平行证得两平面平行，跳步严重.正解：证明：（1）连接EC，∵AD∥BC，BC=12AD，E为AD的中点，∴BC平行且等于AE，∴四边形ABCE是平行四边形，∴O为AC的中点，又∵F是PC的中点，∴FO∥AP，又FO平面BEF，AP平面BEF，∴AP∥平面BEF.（2）连接FH，OH，∵F，H分别是PC，CD的中点，∴FH∥PD，又PD平面PAD，FH平面PAD，∴FH∥平面PAD.又∵O是BE的中点，H是CD的中点，∴OH∥AD，又∵AD平面PAD，OH平面PAD，∴OH∥平面PAD.又FH∩OH=H，∴平面OHF∥平面PAD.又∵GH平面OHF，∴GH∥平面PAD.总之，判断或证明线面平行的常用方法有：①利用反证法（线面平行的定义）；②利用线面平行的判定定理（aα，bα，a∥ba∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，aαa∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，aβ，a∥αa∥β）.利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线.常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.其中需要特别注意的是：在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件.如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交.运用性质定理，要遵从由“高维”到“低维”，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”.易错点四：空间几何体中一些结论直接应用导致解题不规范例6如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E.求证：（1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1.错解：（1）连接A1B，则点D为A1B的中点，又知AB1的中点为D，故DE∥A1C1；又因为DE平面AA1C1C，AC平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C.错因分析：在第（1）问解题过程中直接得到点D为A1B的中点，这是不规范的.要先利用三棱柱的性质证明得到其侧面是平行四边形，再由平行四边形的对角线互相平分得到点D 为A1B的中点.解题时可以避开这个易错点.正解：证明：（1）由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DE∥AC.又因为DE平面AA1C1C，AC平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C.（2）因为棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.因为AC平面ABC，所以AC⊥CC1.又因为AC⊥BC，CC1平面BCC1B1，BC平面BCC1B1，BC∩CC1=C，所以AC⊥平面BCC1B1.又因为BC1平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.因为BC=CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.因为AC，B1C平面B1AC，AC∩B1C=C，所以BC1⊥平面B1AC.又因为AB1平面B1AC，所以BC1⊥AB1.易错点五：盲目地套用性质定理导致错解例7如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱C1D1的中点，F为棱BC的中点.（1）求证：直线AE⊥直线DA1；（2）在线段AA1上求一点G，使得直线AE⊥平面DFG.错解：在平面ABCD内，过点D在平面ABCD内作平面AEH的垂线DF.错因分析：不能说作平面的垂线，在一个平面内作另一个平面的垂线，若两个平面不垂直，则不能作出，若两个平面垂直，只需作交线的垂线即可.正解：（1）连结AD1，BC1，由正方体的性质可知，DA1⊥AD1，DA1⊥AB，又AB∩AD1=A，∴DA1⊥平面ABC1D1，又AE平面ABC1D1，∴DA1⊥AE.（2）所示G点即为A1点，证明如下：由（1）可知AE⊥DA1，取CD的中点H，连结AH，EH，由DF⊥AH，DF⊥EH，AH∩EH=H，可证DF⊥平面AHE，∵AE平面AHE，∴DF⊥AE.又DF∩A1D=D，∴AE⊥平面DFA1，即AE⊥平面DFG.總之，（1）证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②垂直于平面的传递性（a∥b，a⊥αb⊥α）；③面面平行的性质（a⊥α，α∥βa⊥β）；④面面垂直的性质（α⊥β，α∩β=a，l⊥a，lβl⊥α）.（2）证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.（作者：殷高荣，如皋市教育局教研室）。
【高考数学易错专练】知识点 两条直线位置关系 易错点 2 忽视两条平行线距离公式的成立条件(学生版)
知识点：两条直线位置关系 易错点 2 忽视两条平行线距
离公式的成立条件
【易错诠释】计算两条平行线之间的距离，很多同学喜欢直接利用公式来计算，但往往会忽视直线方程系数的统一，从而导致距离计算出错，你会发生这样的错误吗？.
【典例1】已知直线()1:2230l x a y a +-+=，2:460l ax y ++=，a ∈R .
（1）若1l 恒过定点M ，求点M 的坐标；
（2）当12l l //时，求直线1l 与2l 之间的距离.
【针对练习】
1. 已知两平行直线1l ：220x y --=与2l ：250x ay -+=，直线1l 与圆
()()
()222120x y r r -+-=>相切，则下列说法正确的是（ ）
A. a 的值为4
B.
C. r
D. 直线2l 2. 已知点()1,2M 为圆228x y +=内一点，直线m 是以M 为中点的弦所在的直线，直线l 的方程为280x y ++=，则（ ）
A. l m ⊥
B. //l m
C. l 与圆相交
D. l 与圆相离 3. 已知直线1l ：10ax y ++=，2l ：10x ay ++=．若12l l ∥，则=
a ___________，此时1l 与2l 之间的距离为___________．。
工程图学基础习题集第五章答案
这道题考查了立体几何中关于点、线、面位置关系的判 断，但题目中没有给出足够的信息来确定点、线、面的 位置关系，因此无法判断答案是否正确。
习题3答案
正确 错误 不适用
这道题考查了工程图学中关于剖面图的概念，根据剖面 图的知识，剖面图可以用来表示物体的内部结构。因此 ，答案正确。
习题1答案
错误
这道题考查了平面几何中关于角度的概念，题目中的角度是锐角，但答案给出的是直角，因此答案错 误。
习题1答案
不适用
这道题考查了立体几何中关于点、线、面位置关系的判断，但题目中没有给出足够的信息来确定点、线、面的位置关系，因 此无法判断答案是否正确。
习题2答案
正确 错误 不适用
这道题考查了立体几何中关于三视图的概念，根据三视 图的知识，主视图、左视图和俯视图可以确定一个物体 的位置和方向。因此，答案正确。
该题考查了平面的投影特性，根据平面的投影特性，当平面垂直于投影面时， 其正面投影和侧面投影均与该平面重合，因此该题答案正确。
解题思路
首先判断平面与投影面的关系，然后根据平面的投影特性进行作答。
03
第五章习题易错点总结
习题1易错点总结
总结词
投影关系混淆
详细描述
部分学生在解答这道题时，容易将物 体的投影关系混淆，导致作答错误。 正确的做法是理解并掌握物体的投影 规律，根据题目给出的视图，正确判 断出物体的形状和尺寸。
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THANKS
这道题考查了工程图学中关于尺寸标注的概念，题目中 的尺寸标注是正确的，但答案给出的标注方式是错误的 ，因此答案错误。
这道题考查了工程图学中关于视图和剖面图的关系，但 题目中没有给出足够的信息来确定视图和剖面图的关系 ，因此无法判断答案是否
点 线 面之间的位置关系知识易错点及例题合集
点、线、面之间的位置关系知识易错点及例题合集最近许多高二的同学问必修二点线面之间的知识点，普遍感觉这块非常难学，小数老师今天整理了易错点和例题给大家，作为参考！[整合·网络构建][警示·易错提醒]1、不要随意推广平面几何中的结论平面几何中有些概念和性质，推广到空间中不一定成立．例如“过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直”、“垂直于同一条直线的两条直线平行”等性质在空间中就不成立．2、弄清楚空间点、线、面的位置关系解决这类问题的基本思路有两个：一是逐个寻找反例作出否定的判断或逐个进行逻辑证明作出肯定的判断；二是结合长方体模型或实际空间位置（如课桌、教室）作出判断，要注意定理应用准确、考虑问题全面细致。
3、不要忽略异面直线所成的角的范围求异面直线所成的角的时候，要注意它的取值范围是（0°，90°]。
两异面直线所成的角转化为一个三角形的内角时，容易忽略这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角．4、透彻理解直线与平面的关系直线与平面位置关系的分类要清晰，一种分法是直线在平面内与直线在平面外（包括直线与平面平行和相交）；另一种分法是直线与平面平行（无公共点）和直线与平面不平行（直线在平面内和直线与平面相交）。
5、使用判定定理时不要忽略条件应用直线与平面垂直的判定定理时，要熟记定理的应用条件，不能忽略“两条相交直线”这一关键点。
专题1共点、共线、共面问题（1）、证明共面问题证明共面问题，一般有两种证法：一是先由某些元素确定一个平面，再证明其余元素在这个平面内；二是先分别由不同元素确定若干个平面，再证明这些平面重合。
（2）、证明三点共线问题证明空间三点共线问题，通常证明这些点都在两个面的交线上，即先确定出某两点在某两个平面的交线上，再证明第三个点是两个平面的公共点，当然必在两个平面的交线上。
（3）、证明三线共点问题证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点，把问题转化为证明点在直线上的问题。
直线和网的易错点归纳剖析
ʏ湖北省襄阳市第三中学 宋勇林直线与圆的方程是解析几何的基础知识,它不仅涉及几何知识,也涉及广泛的代数知识,综合性较强,对同学们的能力要求较高,在高考题中多以小题的形式呈现,考查也较为全面,除考查直线与圆的位置关系㊁点到直线的距离㊁圆与圆的位置关系等问题外,还注重考查等价转化㊁数形结合㊁分类讨论等常见的数学思想,近几年对直线和圆的考查方式及题目难度变化不大,同学们由于对基本概念㊁思想方法㊁性质的掌握不准确,导致平时解题中经常出现错误,没有达到有效掌握的目的㊂笔者在本文中主要从以下角度对直线和圆的易错点进行剖析总结,供同学们复习时参考㊂一㊁设直线方程时忽略直线方程使用的前提条件致错例1 若过点A (1,4)的直线在两坐标轴上的截距之和为零,则该直线的方程为( )㊂A .x -y +3=0B .x +y -5=0C .4x -y =0或x +y -5=0D .4x -y =0或x -y +3=0错解:设直线的方程为x a +y-a=1(a ʂ0),因为直线过点A (1,4),所以1a -4a=1,解得a =-3,代入直线的方程得x -y +3=0㊂剖析:截距式方程不能表示截距为0和与坐标轴垂直的直线,过点A (1,4)且截距为0的直线符合题意,上述解答没有考虑截距为0的情况导致错误,设截距式方程时一定要单独考虑过原点的情况!正解:当直线过原点时,直线在两坐标轴上的截距均为0,满足题意,此时直线的方程为y =4x ,即4x -y =0;当直线不过原点时,如错解,可得直线的方程为x -y +3=0㊂综上所述,直线的方程为4x -y =0或x -y +3=0㊂故选D ㊂点评:不同形式的方程均有其适用条件,在解题时应注意截距式方程的使用前提是截距不为0㊂二㊁求含参数的直线的平行问题时忽视验证直线重合的情况致错例2 已知直线l 1:x +a y -a =0和直线l 2:a x -(2a -3)y +a -2=0,若l 1ʊl 2,求实数a 的值㊂错解:因为l 1ʊl 2,所以a 2=-2a +3,解得a =-3或1㊂剖析:A 1B 2-A 2B 1=0是直线平行的一个必要不充分条件,所以应用此结论解题时要注意验证充分性,上述错解中没有考虑这一点导致出错㊂正解:前面同错解,得a =-3或1㊂当a =-3时,l 1:x -3y +3=0,l 2:3x -9y +5=0,满足l 1ʊl 2;当a =1时,l 1:x +y -1=0,l 2:x +y -1=0,此时l 1与l 2重合,不合题意,舍去㊂所以a =-3㊂点评:一般地,设直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0(A 1,B 1不同时为0),l 2:A 2x +B 2y +C 2=0(A 2,B 2不同时为0),则l 1ʊl 2⇔A 1B 2-A 2B 1=0且B 1C 2-B 2C 1ʂ0或A 1C 2-A 2C 1ʂ0;l 1ʅl 2⇔A 1A 2+B 1B 2=0㊂由平行条件求参数的值时要验证两条直线是否重合㊂三㊁利用数形结合思想化简方程时忽视变量的范围致错例3 若方程1-x 2=k (x -1)+2有两个不等实根,求k 的取值范围㊂错解:方程1-x 2=k (x -1)+2有两72个不等实根,可转化为函数y =1-x 2的图像和直线y =k (x -1)+2有2个交点㊂y =1-x 2可变形为x 2+y 2=1,即以原点为圆心,1为半径的圆,直线y =k (x -1)+2的斜率为k ,且经过点M (1,2),当直线和圆相切时,由|2-k |1+k2=1,求得k =34,由数形结合可得k 的范围为34,+ɕ㊂剖析:做数学题都是在进行一系列的等价转化,直到解出答案㊂上述错解中式子y=1-x 2平方前后不等价,平方之前y 的范围非负,故函数y =1-x 2的图像是以原点为圆心,1为半径的圆的上半圆弧㊂图1正解:如图1,当直线和半圆相切时,由|2-k |1+k2=1,求得k =34;当直线经过点A (-1,0)时,则0=(-1-1)k +2,求得k =1㊂综上可得,k 的取值范围为34,1㊂四㊁求圆的一般方程时忽视圆存在的条件致错例4 若过点(2,1)可以作圆x 2+y 2-x +y +a =0的两条切线,则a 的取值范围为( )㊂A .12,+ɕB .(-4,+ɕ)C .-4,12D .(-ɕ,-4)ɣ12,+ɕ错解:由题意可知,点(2,1)在圆x 2+y 2-x +y +a =0的外部,故22+12-2+1+a >0,得a >-4㊂故选B ㊂剖析:错解中只考虑了点A 在圆的外部,而忽视了方程x 2+y 2-x +y +a =0表示圆的条件,需要求出r 2,由r 2>0得出a 的范围㊂正解:由点(2,1)在圆x 2+y 2-x +y +a =0的外部可求得a >-4,而方程x 2+y 2-x +y +a =0表示圆,则(-1)2+12-4a >0,得a <12,所以a 的取值范围为-4,12㊂故选C ㊂点评:方程x 2+y 2+D x +E y +F =0表示圆的前提条件是D 2+E 2-4F >0㊂五㊁圆与圆相切时忽视内切的情况致错例5 已知圆x 2+y 2=9与圆x 2+(y-6)2=r 2(r >0)相切,求半径r 的值㊂错解:由题意知,两圆的圆心分别为C 1(0,0),C 2(0,6),半径分别为r 1=3,r 2=r ,因为两圆相切,所以|C 1C 2|=6=3+r ,解得r =3㊂剖析:两圆相切时包括内切和外切,上述错解中将两圆相切理解为外切,导致漏解㊂正解:当两圆外切时,|C 1C 2|=6=3+r ,解得r =3;当两圆内切时,|C 1C 2|=6=|3-r |,解得r =9,负值舍去㊂综上所述,r=3或r =9㊂点评:设两圆的圆心分别为C 1,C 2,半径分别为r 1,r 2,若两圆外切,则C 1C 2=r 1+r 2;若两圆内切,则C 1C 2=|r 1-r 2|㊂六㊁求轨迹方程时忽略几何图形的存在性致错图2例6如图2,已知圆M :x 2+y 2-4x +3=0,点P (-1,t )为直线l :x =-1上的一个动点,过点P 引圆M 的两条切线,切点分别为A ,B ,求线段A B 的中点的轨迹方程㊂错解:圆M :x 2+y 2-4x +3=0,即(x -2)2+y 2=1,则圆心M (2,0),半径r =1㊂又P (-1,t ),则|P M |=9+t 2,|A M |=r =1,所以|P A |2=|P M |2-|A M |2=t 2+8,故以P 为圆心,|P A |为半径的圆P 的方程为(x +1)2+(y -t )2=t 2+8,则直线A B 的方程为(x +1)2-(x -2)2+(y -t )2-y 2=t 2+8-1,即3x -t y -5=0,易得直线A B 过定点H53,0㊂设A B 的中点为F ,A B 交x 82轴于点H ,如图2所示,当H ,F 不重合时,则H F 始终垂直于F M ,所以点F 的轨迹是以HM 为直径的圆㊂又H 53,0 ,M (2,0),故该圆的圆心为116,0,半径为12|HM |=2-116=16,故点F 的轨迹方程为x -1162+y 2=136,故线段A B 的中点的轨迹方程为x -1162+y 2=136㊂剖析:上述过程通过弦中点的性质得到垂直条件,然后得出中点F 在以HM 为直径的圆上,当F 与M 重合时,弦A B 就是直径,这是矛盾的,所以应该挖点㊂正解:前面的过程同错解,得点F 的轨迹方程为x -1162+y 2=136㊂当F 与M 重合时,弦A B 就是直径,此时不符合题意,故线段A B 的中点的轨迹方程为x -1162+y2=136(x ʂ2)㊂点评:在求轨迹方程时需要注意挖掘动点满足的隐含条件,比如与斜率有关时注意考虑分母不为零;与双曲线的定义有关时注意条件中有没有隐含绝对值,即双曲线的一支还是两支;遇到与三角形有关问题时注意考虑三角形的存在性,遇到弦的中点的轨迹问题时要考虑中点在曲线的内部等㊂七㊁求直线和圆相交的综合问题时忽略相交条件致错例7 已知圆C :(x -2)2+y 2=4,若过点(0,-3)的直线l 与圆C 交于不同的两点A ,B ,且O A ң㊃O B ң=3,O 为坐标原点,求直线l 的方程㊂错解:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),当直线l 的斜率不存在时,不符合题意,故可设直线l :y =k x -3,联立y =k x -3,(x -2)2+y 2=4,消去y 整理得(k 2+1)x 2-(4+6k )x +9=0,所以x 1x 2=9k 2+1,x 1+x 2=4+6kk 2+1,所以y 1y 2=(k x 1-3)(k x 2-3)=k 2x 1x 2-3k (x 1+x 2)+9=9-12k k 2+1㊂因为O A ң㊃O B ң=3,所以x 1x 2+y 1y 2=9k 2+1+9-12kk 2+1=3,解得k =1或-5,所以直线l 的方程为y =x -3或y =-5x -3㊂剖析:整个解答过程忽略直线和圆相交的条件,要注意验证Δ>0,也可以通过圆心到直线的距离d <r 来验证㊂正解:前面的过程同错解,得k =1或-5㊂因为直线和圆相交,所以Δ=(4+6k )2-36(k 2+1)=48k -20>0,解得k >512,所以k =1,从而直线l 的方程为y =x -3㊂八㊁解题习惯不好致错例8 已知圆C 1:x 2+(y +2)2=4与圆C 2:(x -4)2+y 2=4,是否存在点P ,满足经过点P 有无数对互相垂直的直线l 1和l 2,它们分别与圆C 1和圆C 2相交,并且直线l 1被圆C 1所截得的弦长等于直线l 2被圆C 2所截得的弦长?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由㊂错解:由题意知,圆C 1的圆心(0,-2),半径r 1=2,圆C 2的圆心(4,0),半径r 2=2㊂设P (a ,b ),显然直线l 1,l 2的斜率都存在,且均不为零,设直线l 1的方程为y -b =k (x -a )(k ʂ0),直线l 2的方程为y -b =-1k(x -a )(k ʂ0),因为直线l 1被圆C 1所截得的弦长等于直线l 2被圆C 2所截得的弦长,且r 1=r 2,则|2-a k +b |k 2+1=|4-b k -a |k 2+1,即|2-a k +b |=|4-b k -a |,也即2-a k +b=4-b k -a 对任意k 恒成立,所以2+b =4-a ,-a =-b ,解得a =1,b =1,所以存在点P (1,1)满足题意㊂剖析:本题将两弦长相等转化为对应圆心到直线的距离相等,再通过关于斜率k 的恒等式解出点P 的坐标,但是由于解题习惯不好导致方程|2-a k +b |=|4-b k -a |的根不完整㊂92正解:前面的过程同错解,得|2-a k +b |=|4-b k -a |,即2-a k +b =4-b k -a 或(2-a k +b )+(4-b k -a )=0对任意k 恒成立,所以2+b =4-a ,-a =-b ,或6+b -a =0,a =b ,解得a =1,b =1, 或a =3,b =-3,所以存在点P (1,1)或(3,-3)满足题意㊂(责任编辑 王福华)ʏ湖北省襄阳市第三中学 邹永生圆锥曲线是高中数学的重要内容之一,圆锥曲线的学习是同学们领悟用代数方法解决几何问题的关键过程,圆锥曲线的训练对提高逻辑推理㊁运算求解等能力有重要价值,圆锥曲线的图形优美,概念众多,结论繁杂,运算冗长,使得众多学子在高考中频繁丢分,下面总结一些学习过程中的常见错误,供同学们学习时参考㊂易错点一㊁使用 点差法 时忽视直线与曲线有交点的前提致错例1 已知双曲线2x 2-y 2=2,过点B (1,1)能否作直线l ,使得直线l 与所给双曲线交于点Q 1,Q 2,且B 是弦Q 1Q 2的中点?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,请说明理由㊂错解:设Q 1(x 1,y 1),Q 2(x 2,y 2)是双曲线上的两点,则x 1ʂx 2,且x 1+x 2=2,y 1+y 2=2,由2x 21-y 21=2,2x 22-y 22=2,两式相减并变形得y 1-y 2x 1-x 2=2,所以直线l 存在,且直线l 的方程为y -1=2(x -1),即2x -y -1=0㊂剖析:通过数形作图(图略),发现直线2x -y -1=0与双曲线没有交点,利用 点差法 解题不能保证方程有解,也就是说无法保证Δȡ0,因此对求得的直线方程的存在性进行验证是必不可少的㊂在解析几何中,凡是直线与圆锥曲线的相交问题,先考虑相交的前提,即先检验判别式Δȡ0是否成立,否则易产生错解㊂凡是在联立方程消元后得到一元二次方程时,都要注意讨论两个问题:一是讨论二次项的系数是否为零;二是讨论判别式Δȡ0是否成立㊂正解:由错解知,可能存在的直线l 的方程为y -1=2(x -1),即2x -y -1=0,与双曲线方程联立2x -y -1=0,2x 2-y 2=2,消去y 整理得2x 2-4x +3=0,而Δ=-8<0,则方程无实根,即直线与双曲线无交点,故不存在满足条件的直线㊂易错点二㊁忽视 焦点弦 的条件,将 焦点弦 与 非焦点弦 混淆致错例2 求顶点在原点,焦点在x 轴上,且截直线2x -y +1=0所得弦长为15的抛物线的方程㊂错解:设所求抛物线的方程为y 2=a x (a ʂ0)①,直线方程变形为y =2x +1②㊂设直线与抛物线交于A ,B 两点,将②代入①化简整理得4x 2+(4-a )x +1=0,因此|A B |=x 1+x 2+p =a -44+a2=15,解得a =4(1+15)3,故所求抛物线的方程为y 2=4(1+15)3x ㊂剖析:题目中没有条件说直线A B 过焦点,只有焦点弦才有|A B |=x 1+x 2+p ,因此不能用此性质㊂那么非焦点弦的弦长问题一般可以用弦长公式来求,所以在求抛物线的弦长时,要先确认直线是否通过焦点,如果过焦点就用焦点弦公式,否则只能用一般弦长公式㊂(1)一般弦长公式:|A B |=1+k 2㊃3。
空间点、直线、平面之间的位置关系
空间点、直线、平面之间的位置关系知识梳理1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．作用：可用来证明点、直线在平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．作用：①可用来确定一个平面；②证明点线共面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．作用：①可用来确定两个平面的交线；②判断或证明多点共线；③判断或证明多线共点．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．作用：判断空间两条直线平行的依据．2．空间直线的位置关系(1)位置关系的分类：⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩平行共面直线相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角：①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)． ②范围：0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦.(3)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．3．空间直线与平面，平面与平面之间的位置关系图形语言 符号语言 公共点 直线与平面 相交a ∩α＝A 1个平行a ∥α 0个 在平面内a ⊂α 无数个 平面与平面 平行α∥β 0个 相交α∩β＝l 无数个 易错点：1．异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交．2．直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”．[试一试]1．下列说法正确的是()A．若a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线B．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面C．若a，b不同在平面α内，则a与b异面D．若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面解析：选D由异面直线的定义可知选D.2．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是()A．b⊂αB．b∥αC．b⊂α或b∥αD．b与α相交或b⊂α或b∥α解析：选D b与α相交或b⊂α或b∥α都可以．3．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b()A．异面B．相交C．不可能平行D．不可能相交解析：选C由已知直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b∥c，则a∥b.与a，b是异面直线相矛盾．4．已知空间中有三条线段AB，BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是()A．AB∥CD B．AB与CD异面C．AB与CD相交D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交解析：选D若三条线段共面，如果AB，BC，CD构成等腰三角形，则直线AB与CD相交，否则直线AB与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线．5．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，求异面直线B1C与EF所成的角的大小．解析：连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求，又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C ＝60°.方法归纳：1．求异面直线所成角的方法(1)平移法：即选点平移其中一条或两条直线使其转化为平面角问题，这是求异面直线所成角的常用方法．(2)补形法：即采用补形法作出平面角．2．证明共面问题的两种途径(1)首先由条件中的部分线(或点)确定一个平面，再证其他线(或点)在此平面内；(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证明这两个平面重合．3．证明共线问题的两种途径(1)先由两点确定一条直线，再证其他点都在这条直线上；(2)直接证明这些点都在同一条特定直线上．4．证明共点问题的常用方法先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．[练一练]1．如图是正方体或四面体，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是( )解析：选D A ，B ，C 图中四点一定共面，D 中四点不共面．2.已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，E 为AA 1中点，求异面直线BE 与CD 1所成的角的余弦值．解析：如上图连接BA 1 ∵BA 1∥CD 1，∴∠A 1BE 为所求．在△A 1BE 中，设AB ＝1，则AA 1＝2，∴A 1B ＝5，A 1E ＝1，BE ＝ 2.∴cos ∠A 1BE ＝31010考点精讲考点一 平面的基本性质及应用1．在下列命题中，不是．．公理的是( )A ．平行于同一个平面的两个平面相互平行B ．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C ．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D ．如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么他们有且只有一条过该点的公共直线解析：选A 选项A 是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的．2．下列命题：①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 对于①，未强调三点不共线，故①错误；②正确；对于③，三条直线两两相交，如空间直角坐标系，能确定三个平面，故③正确；对于④，未强调三点共线，则两平面也可能相交，故④错误．3．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 的中点，F 为A 1A 的中点，求证：CE ，D 1F ，DA 三线共点．解析：∵112EF CD ，∴直线D 1F 和CE 必相交． 设D 1F ∩CE ＝P ，∵P ∈D 1F 且D 1F ⊂平面AA 1D 1D ，∴P ∈平面AA 1D 1D .又P ∈EC 且CE ⊂平面ABCD ，∴P ∈平面ABCD ，即P 是平面ABCD 与平面AA 1D 1D 的公共点．而平面ABCD ∩平面AA 1D 1D ＝AD .∴P ∈AD ，∴CE 、D 1F 、DA 三线共点．变式练习：本例条件不变试证明E ，C ，D 1，F 四点共面．证明：∵E ，F 分别是AB 和AA 1的中点，∴112EF A B ，又A 1D 1∥B 1C 1∥BC . ∴四边形A 1D 1CB 为平行四边形，∴A 1B ∥CD 1，从而EF ∥CD 1.∴EF 与CD 1确定一个平面，∴E ，C 1，F ，D 四点共面．[解题通法]1．证明线共点问题常用的方法是：先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直线上．2．证明点或线共面问题一般有以下两种途径：①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余线(或点)均在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证平面重合．考点二空间两直线的位置关系[典例]1、已知m，n，l为不同的直线，α，β为不同的平面，有下面四个命题：①m，n为异面直线，过空间任一点P，一定能作一条直线l与m，n都相交．②m，n为异面直线，过空间任一点P，一定存在一个与直线m，n都平行的平面．③α⊥β，α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，m，n与l都斜交，则m与n一定不垂直；④m，n是α内两相交直线，则α与β相交的充要条件是m，n至少有一条与β相交．则四个结论中正确的个数为()A．1B．2 C．3 D．4解析：选B①错误，因为过直线m存在一个与直线n平行的平面，当点P在这个平面内且不在直线m上时，就不满足结论；②错误，因为过直线m存在一个与直线n平行的平面，当点P在这个平面内时，就不满足结论；③正确，否则，若m⊥n，在直线m上取一点作直线a⊥l，由α⊥β，得a⊥n.从而有n⊥α，则n⊥l；④正确．2、已知空间四边形ABCD中，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边BC，CD的中点．①求证：BC与AD是异面直线；②求证：EG与FH相交．证明：①假设BC与AD共面，不妨设它们所共平面为α，则B，C，A，D∈α.所以四边形ABCD为平面图形，这与四边形ABCD为空间四边形相矛盾．所以BC与AD是异面直线．②如图，连接AC，BD，则EF∥AC，HG∥AC，因此EF∥HG；同理EH∥FG，则EFGH为平行四边形．又EG，FH是▱EFGH的对角线，所以EG与HF相交．[类题通法]1．异面直线的判定常用的是反证法，先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到．2．客观题中，也可用下述结论：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．[针对训练]若直线l 不平行于平面α，且l ⊄α，则( )A ．α内的所有直线与l 异面B ．α内不存在与l 平行的直线C ．α内存在唯一的直线与l 平行D ．α内的直线与l 都相交解析：选B 如图，设l ∩α＝A ，α内直线若经过A 点，则与直线l 相交；若不经过点A ，则与直线l 异面．考点三 异面直线所成的角[典例]1、如图在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，求异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值．[解析] 连接BC 1，易证BC 1∥AD 1，则∠A 1BC 1即为异面直线A 1B 与AD 1所成的角．连接A 1C 1，设AB ＝1，则AA 1＝2，A 1C 1＝2，A 1B ＝BC 1＝5，故cos ∠A 1BC 1＝5＋5－22×5×5＝45. 2、已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1，CC 1的中点，那么异面直线AE 与D 1F 所成角的余弦值为多少．解：连接DF ，则AE ∥DF ，∴∠D 1FD 即为异面直线AE 与D 1F 所成的角．设正方体棱长为a ，则D 1D ＝a ，DF ＝52a ，D 1F ＝52a ， ∴222155223cos 555222a a a D FD a a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∠==⋅⋅[类题通法]用平移法求异面直线所成的角的三步法(1)一作：即据定义作平行线，作出异面直线所成的角；(2)二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．[针对训练]1、如图所示，点A 是平面BCD 外一点，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，且EF ＝2，求异面直线AD 和BC 所成的角．解析：如图，设G 是AC 的中点，连接EG ，FG .因为E ，F 分别是AB ，CD 的中点，故EG ∥BC 且EG ＝12BC ＝1，FG ∥AD ，且FG ＝12AD ＝1.即∠EGF 为所求，又EF ＝2，由勾股定理逆定理可得∠EGF ＝90°.2、如图，三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC ＝60°，PA ＝AB ＝AC ＝2，E 是PC的中点．(1)求异面直线AE 和PB 所成角的余弦值．(2)求三棱锥A －EBC 的体积．解：（1）取BC 中点F ，连接EF 、AF ，则EF ∥PB ，所以∠AEF 或其补角就是异面直线AE和PB 所成的角。
2016届高考数学文命题猜想专题13点、线、面之间的位置关系(学生版)
【命题热点突破一】点、线、面位置关系的判断例1、(1)[2015·浙江卷] 设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β()A．若l⊥β，则α⊥β B．若α⊥β，则l⊥mC．若l∥β，则α∥β D．若α∥β，则l∥m (2)如图13-7所示，在直三棱柱ABC - A1B1C1中，BC＝AC，AC1⊥A1B，M，N分别为A1B1，AB的中点．给出下列结论：①C1M⊥平面A1ABB1；②A1B⊥AM；③平面AMC1∥平面CNB1.其中正确结论的个数为()图13-7A．0 B．1C．2 D．3【特别提醒】判断空间点、线、面的位置关系，主要依据四个公理、平行关系和垂直关系的定义及有关定理．解决具体问题时可以构建长方体或三棱锥等模型，把要考查的点、线、面融入模型中，判断会简洁明了．如要否定一个结论，只需找到一个反例即可．【变式探究】(1)如图13-8所示，在正方体ABCD - A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线()图13-8A．不存在B．有1条C．有2条D．有无数条(2)已知直线l，m，平面α，β，且满足l⊥α，m⊂β，则“l⊥m”是“α∥β”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【命题热点突破二】线、面位置关系例2、如图所示，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在的平面与圆O所在的平面互相垂直，且AB＝2，AD＝EF＝1.(1)设FC的中点为M，求证：OM∥平面DAF；(2)求证：AF⊥平面CBF.【特别提醒】(1)要证线面平行，主要有两个途径：一是证已知直线与平面内的某直线平行；二是证过已知直线的平面与已知平面平行．转化思想在证明平行关系上起着重要的作用，在寻求平行关系时，利用中位线、平行四边形等是常见的方法．(2)要证线面垂直，关键是在这个平面内能找出两条相交直线和已知直线垂直，即线线垂直⇒线面垂直．结合图形还要注意一些隐含的垂直关系，如等腰三角形的三线合一、菱形的对角线以及经计算得出的垂直关系等．【变式探究】在三棱柱ABC - A1B1C1中，AA1⊥BC，A1B⊥AC，D，E分别是BB1，A1C1的中点．(1)求证：DE∥平面A1BC；(2)若AB⊥BC，求证：A1B⊥平面ABC；(3)在(2)的条件下，若AB＝BC＝1，BB1＝2，求三棱锥A1BCC1的体积．【命题热点突破三】面面位置关系例3、[2015·湖南卷] 如图13-11，直三棱柱ABC - A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F 分别是BC，CC1的中点．(1)证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；(2)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F - AEC的体积．【特别提醒】面面存在两种特殊的位置关系：平行与垂直．要证面面垂直，需利用面面垂直的判断定理，转化为证线面垂直；要证面面平行，需在其中一个平面内找到两条相交直线都平行于另一个平面．【变式探究】如图所示，在正四棱台ABCD - A1B1C1D1中，A1B1＝a，AB＝2a，AA1＝2a，E，F分别是AD，AB的中点．(1)求证：平面EFB1D1∥平面BDC1；(2)求证：平面AA1C⊥平面BDC1.【命题热点突破四】空间中位置关系的证明与体积、距离问题例4、[2015·广东卷] 如图所示，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD ＝PC＝4，AB＝6，BC＝3.(1)证明：BC∥平面PDA；(2)证明：BC⊥PD；(3)求点C到平面PDA的距离．【易错提醒】(1)不能将点C到平面PDA的距离转化为某几何体的高；(2)期望通过直接作出点到面的距离求解；(3)不熟悉等积等价转化方法，将三棱锥C -PDA的体积转化为三棱锥P -ACD 的体积；(4)位置关系证明不到位影响点到面距离的计算．【变式探究】如图所示，在等腰梯形PDCB中，DC∥PB，PB＝3DC＝3，PD＝2，DA⊥PB，垂足为A.将△PAD沿AD折起，使得PA⊥AB，得到四棱锥P -ABCD.(1)证明：平面PAD⊥平面PCD；(2)点M在棱PB上，平面AMC把四棱锥P -ABCD分成两个几何体，当这两个几何体体积的比值V多面体PMACDV三棱锥M -ABC＝2时，求点B到平面AMC的距离．【高考真题解读】1.(2015·广东，6)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是()A.l与l1，l2都不相交B.l与l1，l2都相交C.l至多与l1，l2中的一条相交D.l至少与l1，l2中的一条相交2.(2015·湖北，5)l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线，q：l1，l2不相交，则()A.p是q的充分条件，但不是q的必要条件B.p是q的必要条件，但不是q的充分条件C.p是q的充分必要条件D.p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件3.(2015·浙江，4)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β()A.若l⊥β，则α⊥βB.若α⊥β，则l⊥mC.若l∥β，则α∥βD.若α∥β，则l∥m4.(2015·四川，18)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系.并证明你的结论.(3)证明：直线DF⊥平面BEG.5.(2014·陕西，17)四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB，BD，DC，CA于点E，F，G，H.(1)求四面体ABCD的体积；(2)证明：四边形EFGH是矩形.6.(2014·新课标全国Ⅱ，18)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E 为PD的中点.(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设AP＝1，AD＝3，三棱锥PABD的体积V＝34，求A到平面PBC的距离.7.(2015·新课标全国Ⅰ，18)如图，四边形ABCD为菱形，G是AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.(1)证明：平面AEC⊥平面BED；(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥EACD的体积为63，求该三棱锥的侧面积.8.(2015·安徽，19)如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝1，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°.(1)求三棱锥P-ABC的体积；(2)证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求PMMC的值.9.(2015·湖北，20)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马PABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD＝CD，点E是PC的中点，连接DE、BD 、BE .(1)证明：DE ⊥平面PBC .试判断四面体EBCD 是否为鳖臑.若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，请说明理由；(2)记阳马PABCD 的体积为V 1，四面体EBCD 的体积为V 2，求V 1V 2的值. 10.(2015·浙江，18)如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，A 1在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为B 1C 1的中点.(1)证明：A 1D ⊥平面A 1BC ；(2)求直线A 1B 和平面BB 1C 1C 所成的角的正弦值.11.(2015·天津，17)如图，已知AA 1⊥平面ABC ，BB 1∥AA 1，AB ＝AC ＝3，BC ＝25，AA 1＝7，BB 1＝27，点E 和F 分别为BC 和A 1C 的中点.(1)求证：EF ∥平面A 1B 1BA ； (2)求证：平面AEA 1⊥平面BCB 1；(3)求直线A 1B 1与平面BCB 1所成角的大小.。
专题四第2讲点、直线、平面之间的位置关系
考 点 核 心 突 破
训 练 高 效 提 能
菜
单
高考专题辅导与训练· 数学(理科)
第一部分 何
基 础 要 点 整 合
专题四
立体几
解 题 规 范 流 程
二、梳理基础知识
融会贯通两种位置关系的相互转化
(1)平行关系的转化
考 点 核 心 突 破
(2)垂直关系的转化
训 练 高 效 提 能
菜
单
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考 点 核 心 突 破
(1)求证：AB∥平面 DEG； (2)求证：EG⊥平面 BDF.
训 练 高 效 提 能
菜
单
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第一部分 何
基 础 要 点 整 合
专题四
立体几
解 题 规 范 流 程
证明 (1)∵AD∥EF，EF∥BC，∴AD∥BC. 又∵BC＝2AD，G 是 BC 的中点， ∴AD 綊 BG，∴四边形 ADGB 是平行四边形， ∴AB∥DG. ∵AB⊄平面 DEG，DG⊂平面 DEG， ∴AB∥平面 DEG.
答案 D
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菜
单
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第一部分 何
基 础 要 点 整 合
专题四
立体几
解 题 规 范 流 程
考点二：线线、线面的位置关系
转化与化归的思想方法 题型 考查 内容 解答题 难度 [考情一点通] 中档
考 点 核 心 突 破
此类问题以棱柱、棱锥、棱台或其组合体 为载体，考查线线、线面平行及线线、线 面垂直的相互转化.
ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD＝DE＝2AB，且
解 题 规 范 流 程
人教版必修二2.2.1空间中直线与直线之间的位置关系课件
习
标
• 探
与 GH 相交，CD 与 EF 平行．故异面直线有且仅有 3 对．
• 固
新
双
知
(2)如图①中，直线 GH∥MN；
基
合 作 探 究 • 攻 重
图②中，G，H，N 三点共面，但 M 平面 GHN，因此直线 GH 与 MN 异面；
课
图③中，连接 MG(图略)，GM∥HN，因此，GH 与 MN 共面；
知
基
合 作 探 究 • 攻 重
课 时 分 层 作 业
难
返
图 2-1-20
首
页
自
当
主
堂
预
达
习
标
•
•
探
固
新
双
知
(1)求证：四边形 BB1M1M 为平行四边形；
基
合
(2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1. 【导学号：07742100】
作
探
究
•
攻
重
课 时 分 层 作 业
难
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自 主
思路探究：(1)欲证四边形 BB1M1M 是平行四边形，可证其一组对边平行
合 作 探 究 • 攻 重
点)3.会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角 三角形中求简单异面直线所成的角．(难点、易错点)
课 时 分 层 作 业
难
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[自 主 预 习·探 新 知]
自 主
1．异面直线
当 堂
预
达
习 •
(1)定义：不同在__任__何__一__个__平_面__内____的两条直线．
(2)若 a∥b，a、c 是异面直线，那么 b 与 c 不可能平行，否则由公理 4 知 a∥c.]
立体几何(文)易错笔记
专题立体几何易错点1 对空间几何体的结构认识不准确致错例1.有一种骰子，每一面上都有一个英文字母，如图是从3个不同的角度看同一粒骰子的情形，请画出骰子的一个侧面展开图，并根据展开图说明字母H对面的字母是.易错点：1．对于平面图形折叠或空间图形展开的问题，空间想象能力是解题的关键，正确识图才能有效折叠平面图形、展开空间图形.而对于简单几何体的展开图，可以通过制作模型来解答.2．关于空间几何体的结构特征问题的注意事项：(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．(2)通过举反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可.即时巩固;1．一正方体内接于一个球,经过球心作一个截面,则截面的可能图形为_________(只填写序号).例2.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是易错点：1．当已知三视图去还原成几何体时，要充分关注图形中关键点的投影，先从俯视图来确定是多面体还是旋转体，再从正视图和侧视图想象出几何体的大致形状，然后通过已知的三视图验证几何体的正确性，最后检查轮廓线的实虚．2．三视图问题的常见类型及解题策略：(1)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．(2)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线，不能看到的部分用虚线表示．(3)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合.即时巩固：2．已知三棱锥的俯视图与侧视图如下图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为易错点3 空间几何体的直观图与原图面积之间的关系例3.如图是水平放置的平面图形的直观图，则原平面图形的面积为A．3 B．32 C．6 D．32易错点：“三变”y⎧⎪⎨⎪⎩坐标轴的夹角改变与轴平行的线段的长度变为原来的一半图形改变；“三不变”x z ⎧⎪⎨⎪⎩平行性不改变与,轴平行的线段的长度不改变相对位置不改变.2．原图形与直观图的面积比为S S ='. 即时巩固：3．如图所示，四边形OABC 是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，用斜二测画法画出这个梯形的直观图O ′A ′B ′C ′，在直观图中梯形的高为 ABD易错点4 空间几何体的表面积或体积计算不全致错例4.一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为A ．B ．．21 D ．18 易错点：1．柱体、锥体、台体的表面积（1）已知几何体的三视图求其表面积，一般是先根据三视图判断空间几何体的形状，再根据题目所给数据与几何体的表面积公式，求其表面积．（2）多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意重合部分的处理，以确保不重复、不遗漏.（3）求多面体的侧面积时，应对每一个侧面分别求解后再相加；求旋转体的侧面积时，一般要将旋转体展开为平面图形后再求面积. 2．柱体、锥体、台体的体积空间几何体的体积是每年高考的热点之一，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度较小，属容易题. 求柱体、锥体、台体体积的一般方法有：（1）若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解． （2）若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等体积法、割补法等方法进行求解． （3）若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解. 特别提醒： ①等体积法：一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的．如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解．等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积. ②割补法：运用割补法处理不规则的空间几何体或不易求解的空间几何体的体积计算问题，关键是能根据几何体中的线面关系合理选择截面进行切割或者补成规则的几何体.要弄清切割后或补形后的几何体的体积是否与原几何体的体积之间有明显的确定关系，如果是由几个规则的几何体堆积而成的，其体积就等于这几个规则的几何体的体积之和；如果是由一个规则的几何体挖去几个规则的几何体而形成的，其体积就等于这个规则的几何体的体积减去被挖去的几个几何体的体积．因此，从一定意义上说，用割补法求几何体的体积，就是求体积的“加、减”法．及时巩固：4．如图所示，已知等腰梯形ABCD 的上底AD ＝2 cm ，下底BC ＝10 cm ，底角∠ABC ＝60°，现绕腰AB 旋转一周，则所得的旋转体的体积是A ．246πB ．248πC ．249πD ．250π易错点5 问题考虑不全面致错例5.已知半径为10的球的两个平行截面圆的周长分别是12π和16π，则这两个截面圆间的距离为 易错点：1．球的有关问题（1）确定一个球的条件是球心和球的半径，已知球的半径可以利用公式求球的表面积和体积；反之，已知球的体积或表面积也可以求其半径. （2）球与几种特殊几何体的关系：①长方体内接于球，则球的直径是长方体的体对角线长；②正四面体的外接球与内切球的球心重合，且半径之比为3∶1；③直棱柱的外接球：找出直棱柱的外接圆柱，圆柱的外接球就是所求直棱柱的外接球.特别地，直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；④球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径； ⑤球与圆台的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台的高．（3）与球有关的实际应用题一般涉及水的容积问题，解题的关键是明确球的体积与水的容积之间的关系，正确建立等量关系.（4）有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将空间几何问题转化为平面中圆的有关问题解决.球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面圆的半径r 之间满足关系式：d =2．求解空间几何体表面积和体积的最值问题有两个思路：一是根据几何体的结构特征和体积、表面积的计算公式，将体积或表面积的最值转化为平面图形中的有关最值，根据平面图形的有关结论直接进行判断；二是利用基本不等式或是建立关于表面积和体积的函数关系式，然后利用函数的方法或者利用导数方法解决. 及时巩固：5．如图所示，在长方体中，14cm,2cm,3cm,AB AD AA ===则在长方体表面上连接1A C 、两点的所有曲线长度的最小值为__________．特别提醒：将空间几何体的表(侧)面展开，化折(曲)为直，使空间图形问题转化为平面图形问题，即空间问题平面化，是解决立体几何问题最基本的、最常用的方法，将空间图形展开成平面图形后，弄清几何中的有关点和线在展开图中的相应关系是解题的关键．该题考查的是几何体的表面距离的最值问题，结合平面内连接两点的直线段是最短的，所以将长方体的侧面沿着不同的方向展开，使得两个点落在同一平面内，利用勾股定理来求解，选出最小的那个就是，容易出错的地方在于考虑不全面，沿着一个方向展开求得结果，从而出现错误． 易错点6 应用公理或其推论时出错例6.已知A ，B ，C ，D ，E 五点中，A ，B ，C ，D 共面，B ，C ，D ，E 共面，则A ，B ，C ，D ，E 五点一定共面吗？易错点：1．证明点共线问题，就是证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是公理3.常用方法有：①首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3知这些点都在这两个平面的交线上； ②选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上.2．证明三线共点问题，一般先证明待证的三条直线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该点.常结合公理3，证明该点在不重合的两个平面内，故该点在它们的交线（第三条直线）上，从而证明三线共点. 3．证明点或线共面问题，主要有两种方法：①首先由所给条件中的部分线（或点）确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内； ②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合. 及时巩固：6．如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为D 1C 1，C 1B 1的中点，AC ∩BD ＝P ，A 1C 1∩EF ＝Q . 求证：（1）D ，B ，F ，E 四点共面；（2）若A 1C 交平面DBFE 于R 点，则P ，Q ，R 三点共线．易错点7 忽略空间角的范围或不能正确找出空间角致误例7.如图，已知空间四边形ABCD 中，AD =BC ，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，且直线BC 与MN 所成的角为30°，则BC 与AD 所成的角为 .易错点：1．求异面直线所成的角的常见策略：（1）求异面直线所成的角常用平移法．平移法有三种类型，利用图中已有的平行线平移，利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移，利用补形平移． （2）求异面直线所成角的步骤①一作：即根据定义作平行线，作出异面直线所成的角； ②二证：即证明作出的角是异面直线所成的角； ③三求：解三角形，求出作出的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角. （3）判定空间两条直线是异面直线的方法①判定定理：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过点B 的直线是异面直线． ②反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面． 2．求直线与平面所成的角的方法：（1）求直线和平面所成角的步骤①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角； ③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角． （2）求线面角的技巧在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等． 3．求二面角大小的步骤：简称为“一作二证三求”．作平面角时，一定要注意顶点的选择． 及时巩固;7．已知四面体ABCD 中，F E ,分别是BD AC ,的中点，若2AB =，4CD =，AB EF ⊥，则EF 与CD 所成角的度数为A ． 90B ．45 C ．60 D ．30易错点8 对线面位置关系不能正确应用定理作出判断 例8.如果两条平行直线a ，b 中的a ∥α，那么b ∥α.这个命题正确吗？为什么？易错点：1．点、线、面之间的位置关系可借助正方体为模型，以正方体为主线，直观感知并认识空间点、线、面的位置关系，准确判定线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直．2．熟练应用线面位置关系中的判定定理与性质定理即可顺利解决此类问题. 即时巩固：8．下列命题中，错误的是A ．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交B ．平行于同一直线的两个平面一定平行C ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD ．若直线l 不平行于平面α，且l 不在平面α内，则在平面α内不存在与l 平行的直线易错点9 证明线面位置关系时不能正确应用定理致错例9.如图，a b ∥，点P 在,a b 所确定的平面γ外，PA a ⊥于点A ，AB b ⊥于点B . 求证：PB b ⊥.【错解】因为PA a ⊥，a b ∥，所以PA b ⊥. 所以PA γ⊥，所以PB b ⊥.【错因分析】本题错解的原因在于没有正确使用线面垂直的判定定理，由,,PA a PA b ⊥⊥ 得PA γ⊥，而忽略了“垂直于平面内两条相交直线”这一条件，即ab ≠∅.【试题解析】因为,PA a a b ⊥∥，所以PA b ⊥. 又,AB b PA AB A ⊥=，所以b ⊥平面PAB . 因为PB PAB ⊂平面，所以PB b ⊥.易错点;1．判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义(无公共点)；②利用线面平行的判定定理(a b a b a ααα⊄⊂⇒,,∥∥)； ③利用面面平行的性质(a a αβαβ⊂⇒∥,∥)；④利用面面平行的性质(a a a a αβαβαβ⊄⊄⇒∥,,,∥∥).2．判定面面平行的常见策略：①利用定义：即证两个平面没有公共点(不常用)． ②利用面面平行的判定定理(主要方法)．③利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用)．④利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(客观题可用). 3．证明直线和平面垂直的常用方法：①线面垂直的定义； ②判定定理；③垂直于平面的传递性(a b a b αα⊥⇒⊥∥,)；④面面平行的性质(a a ααββ⊥⇒⊥,∥)；⑤面面垂直的性质．4．判定面面垂直的常见策略：①利用定义(直二面角)．②判定定理：可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直．③在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，则一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样就把面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直． 即时巩固： 9．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，点E 在棱PC 上（异于点P ，C ），平面ABE 与棱PD 交于点F .（1）求证：∥AB EF ；（2）若平面PAD ⊥平面ABCD ，求证：AF EF ⊥.一、空间几何体的结构及其三视图与直观图 1．空间几何体的结构②侧面都是平行四边形2（1）三视图的概念①光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫做几何体的正视图；②光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图叫做几何体的侧视图；③光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图叫做几何体的俯视图.几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图.如图.（2）三视图的画法规则②画法规则ⅰ)正视图与俯视图的长度一致，即“长对正”；ⅱ)侧视图和正视图的高度一致，即“高平齐”；ⅲ)俯视图与侧视图的宽度一致，即“宽相等”.③线条的规则ⅰ)能看见的轮廓线用实线表示；ⅱ)不能看见的轮廓线用虚线表示.（33（1）斜二测画法及其规则对于平面多边形，我们常用斜二测画法画它们的直观图.斜二测画法是一种特殊的画直观图的方法，其画法规则是：①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′=45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面.②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段.③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半.（2）用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤①在已知图形所在的空间中取水平平面，作互相垂直的轴Ox，Oy，再作Oz轴使∠xOz=90°，且∠yOz=90°.②画直观图时，把它们画成对应的轴O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′=45°(或135°)，∠x′O′z′=90°，x′O′y′所确定的平面表示水平平面.③已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴或z′轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同.④已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半.⑤画图完成以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图.二、空间几何体的表面积与体积1．旋转体的表面积多面体的表面积就是各个面的面积之和，也就是展开图的面积. 棱锥、棱台、棱柱的侧面积公式间的联系：2（1）柱体、锥体、台体体积公式间的关系（2）一个组合体的体积等于它的各部分体积之和或差； （3）等底面面积且等高的两个同类几何体的体积相等. 3．球的表面积和体积公式设球的半径为R ，它的体积与表面积都由半径R 唯一确定，是以R 为自变量的函数，其表面积公式为24πR ，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍；其体积公式为34π3R .特别提醒：球的切、接问题（常见结论）（1）若正方体的棱长为a ，则正方体的内切球半径是12a．（2）若长方体的长、宽、高分别为a ，b ，h（3）若正四面体的棱长为a． （4）球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径．（5）球与圆台的底面与侧面均相切，则球的直径等于圆台的高． 三、空间点、直线、平面之间的位置关系 1b P =⇒，使a α⊂ ∥b ⇒有且只有一个平面2（1）自然语言：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.（2）符号语言： 如图（1）、（2）所示，在∠AOB 与∠A ′O ′B ′中，,O A O A O B O B ''''∥∥，则AOB A O B∠=∠'''或180AOB AO B ∠+∠'''=︒.图（1） 图（2） 3．空间两直线位置关系的分类空间中两条直线的位置关系有以下两种分类方式： （1）从有无公共点的角度分类：⎧⎪⎨⎪⎩⎩⎧⎨两条直线有且仅有一个公共点：相交直线平行直线两条直线无公共点：异面直线直线 （2）从是否共面的角度分类：⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩相交直线共面直线直线平行直线不共面直线：异面直线4．异面直线所成的角（1）异面直线所成角的定义如图，已知两异面直线a ，b ，经过空间任一点O ，分别作直线a ′∥a ，b ′∥b ，相交直线a ′，b ′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 与b 所成的角（或夹角）.（2）异面直线所成角的范围异面直线所成的角必须是锐角或直角，异面直线所成角的范围是π(0,]2. （3）两条异面直线垂直的定义如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a ，b ，记作a ⊥b . 5．直线与平面、平面与平面位置关系的分类 （1）直线和平面位置关系的分类 ①按公共点个数分类：⎧⎪⎨⎪⎩直线和平面相交—有且只有一个公共点直线和平面平行—没有公共点直线在平面内—有无数个公共点 ②按是否平行分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直线与平面平行直线与平面相交直线与平面不平行直线在平面内③按直线是否在平面内分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直线在平面内直线和平面相交直线不在平面内(直线在平面外)直线和平面平行（2）平面和平面位置关系的分类两个平面之间的位置关系有且只有以下两种：（1）两个平面平行——没有公共点；（2）两个平面相交——有一条公共直线. 特别提醒： （1）唯一性定理①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． ②过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直． ③过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．④过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．（2）异面直线的判定方法经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．四、直线、平面平行的判定及其性质12β=⇒b3=，ab P4,a b a γβγ==⇒∥证明线线平行特别提醒：1．平行问题的转化关系2．常用结论（1）如果两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．（2）如果两个平行平面中有一个平面垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线． （3）夹在两个平行平面间的平行线段长度相等． （4）经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． （5）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． （6）如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相平行．（7）如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行． （8）如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行．五、直线、平面垂直的判定及其性质 1．直线与平面垂直的定义如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直.记作：l ⊥α.图形表示如下：特别提醒：定义中的“任意一条直线”这一词语与“所有直线”是同义语，与“无数条直线”不是同义语． 2=⇒lb P判断直线与平面垂直特别提醒：在应用该定理判断一条直线和一个平面垂直时，一定要注意是这条直线和平面内的两条相交直线垂直，而不是任意的两条直线.34⊥.图形表示如下：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直，记作αβ56=l lβα⎪⎪⇒⎬⊂⎪⎪⊥⎭7（1）定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足． 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角．．，叫做这条直线和这个平面所成的角．（2）规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于90；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于0.因此，直线与平面所成的角．．．．．．．．．α．的范围是．．．．π[0,]2. 8．二面角（1）二面角的定义：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面．．角．．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.（2）二面角的平面角的定义：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角叫做这个二面角的平面角.（3）二面角的范围：[0,π].特别提醒：1．垂直问题的转化关系2．常用结论（1）若两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． （2）若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内任何一条直线． （3）过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直． （4）过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直． （5）两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直．（6）两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．（7）如果两个平面互相垂直，那么过第一个平面内的一点且垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．1．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为A ．172B ．52C ．3D ．22．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是3．如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是A ．B ．C ．D ．4．在正方体1111ABCD A B C D 中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为A5．已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，b 内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面b 相交”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BC 、BB 1的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是BA 1A ．直线AA 1B ．直线A 1B 1C ．直线A 1D 1 D ．直线B 1C 1。
学业水平考试复习《第七章 立体几何2》
▲作业中的盲点和易错点.
二、平行与垂直的概念. a b t R, a tb
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▲作业中的盲点和易错点.
三、向量的化简.
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三、范例讲解 例题3 如图 OA OB 1 , OC 2 3 , OA与 OB
夹角120°, OA 与 OC 夹角30°, 若 OC OA OB ,则λ+μ=
.
C
B
O
A
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四、布置作业
1．导引.
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b
b∥n
b∥
∥
b
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n
二、垂直关系
m, n mn P
b
bn
bm
b
面面 垂直 n
线线 垂直
线面 垂直
b n
bn
b bn 湖南省长沙市一中卫星远程学校
三、空间角的求法 线线所成角 D C E A θ O B
求∠EOB
线面所成角 A
θ B
二面角
A
O θ B
求∠AOB
图形
O
求∠ABO
几何法
向量法
AB n AB CD cos sin cos AB CD AB n
n1 n2 n1 n2
▲作业中的盲点和易错点.
一、投影的概念.
a b a b cos a b b cos 叫做向量b在a方向上的投影. a a b a cos 叫做向量a在b方向上的投影. b
备战高考数学复习考点知识与题型讲解52---空间点、直线、平面之间的位置关系
备战高考数学复习考点知识与题型讲解第52讲空间点、直线、平面之间的位置关系考向预测核心素养考查与点、线、面位置关系有关的命题真假判断和求解异面直线所成的角，题型主要以选择题和填空题的形式出现，解题要求有较强的直观想象和逻辑推理等核心素养，主要为中低档题．直观想象、逻辑推理、数学抽象、数学运算一、知识梳理1．平面(1)四个基本事实基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．(2)“三个”推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．2．空间中直线与直线的位置关系(1)位置关系{共面直线{相交直线平行直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的角叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．②范围：⎝⎛⎦⎥⎤0，π2．[注意]两直线垂直有两种情况——异面垂直和相交垂直．(3)空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 3．空间中直线、平面的位置关系位置关系符号直线和平面直线在平面内a ⊂α 直线在平面外直线与平面相交 a ∩α＝A 直线与平面平行 a ∥α 平面和平面两平面平行 α∥β 两平面相交α∩β＝l常用结论 1．异面直线的判定过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线． 2．几个唯一性结论(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直； (3)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 二、教材衍化1．(多选)(人A 必修第二册P 128练习T 2改编)下列命题是假命题的是( ) A ．空间任意三个点确定一个平面 B ．一个点和一条直线确定一个平面 C ．两两相交的三条直线确定一个平面 D ．两两平行的三条直线确定三个平面 答案：ABCD 2．(多选)(人A必修第二册P132习题8.4T9改编)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法正确的是( )A．AB与CD是异面直线B．GH与CD相交C．EF∥CDD．EF与AB异面解析：选ABC.把展开图还原成正方体，如图所示．还原后点G与C重合，点B与F重合，由图可知ABC正确，EF与AB相交，故D错误，选ABC.3．(人A必修第二册P132习题8.4T5改编)三个平面最多能把空间分为________部分，最少能把空间分成________部分．解析：三个平面可将空间分成4，6，7，8部分，所以三个平面最少可将空间分成4部分，最多分成8部分．答案：8 4一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若P∈α∩β且l是α，β的交线，则P∈l.( )(2)若直线a∩b＝A，则直线a与b能够确定一个平面．( )(3)若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α，则l⊂α.( )(4)分别在两个平面内的两条直线是异面直线．( )答案：(1)√(2)√(3)√(4)×二、易错纠偏1．(多选)(线面关系概念不清致误)若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是( )A．b⊂α B.b∥αC．b与α相交 D.以上都不对答案：ABC2．(对于直线与直线的位置关系考虑不全面致误)若a∥α，b∥β，α∥β，则a，b的位置关系是( )A．平行 B.异面C．相交 D.平行或异面或相交解析：选D.如图①②③所示，a，b的关系分别是平行、异面、相交．3.(异面直线所成的角概念理解不清致误)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为( )A．30° B.45°C．60° D.90°解析：选C.连接B1D1，D1C(图略)，则B1D1∥EF，故∠D1B1C或其补角为所求的角．又B 1D1＝B1C＝D1C，所以∠D1B1C＝60°.考点一基本事实的应用(综合研析) 复习指导：理解四个基本事实的作用．(2022·上海市南洋模范中学月考)已知正方体ABCDA1B1C1D1中，BD1与平面ACB1交于点P，设BD与AC相交于点O.求证：O.P∈直线B1【证明】因为BD1⊂平面BDD1B1，且BD1与平面ACB1交于点P，所以点P是平面BDD1B1与平面ACB1的公共点，因为平面BDD1B1∩平面ACB1＝B1O，所以P∈直线B1O.共面、共线、共点问题的证明(1)证明共面的方法：①先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．②证两平面重合．(2)证明共线的方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．②直接证明这些点都在同一条特定直线上．(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．|跟踪训练|1.(多选)如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图是( )解析：选ABC.对于A，PS∥QR，故P，Q，R，S四点共面；同理，B，C图中四点也共面；D中四点不共面．2.如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是( )A．直线AC B.直线ABC．直线CD D.直线BC解析：选C.由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，所以点D在平面ABC与平面β的交线上．又因为C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以平面ABC∩平面β＝CD.考点二空间位置关系的判断(自主练透)复习指导：认识和理解空间点、线、面的位置关系．1．若平面α和直线a，b满足a∩α＝A，b⊂α，则a与b的位置关系是( ) A．相交 B.平行C．异面 D.相交或异面解析：选D.若A∈b，则a与b相交，若A∉b，则a与b异面，故选D.2.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为BC，BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是( )A．直线AA1 B.直线A1B1C．直线A1D1 D.直线B1C1解析：选 D.根据异面直线的概念可知直线AA1，A1B1，A1D1都和直线EF为异面直线．因为直线B1C1和EF在同一平面内，且这两条直线不平行，所以直线B1C1和直线EF 相交．3.(多选)(链接常用结论1)(2022·广州六校联考)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分别是C1D1，BC，A1D1的中点，下列结论正确的是( )A．AP与CM是异面直线B．AP，CM，DD1相交于一点C．MN∥BD1D．MN∥平面BB1D1D解析：选BD.连接MP，AC(图略)，因为MP∥AC，MP≠AC，所以AP与CM是相交直线，又面A1ADD1∩面C1CDD1＝DD1，所以AP，CM，DD1相交于一点，则A不正确，B正确．令AC∩BD＝O，连接OD1，ON.因为M，N分别是C1D1，BC的中点，所以ON∥D1M∥CD，ON＝D1M＝12 CD，则四边形MNOD1为平行四边形，所以MN∥OD1，因为MN⊄平面BD1D，OD1⊂平面BD1D，所以MN∥平面BD1D，C不正确，D正确．4．已知a，b是两条直线，α，β是两个平面，则下列说法中正确的序号为________．①若a平行于α内的无数条直线，则a∥α；②若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线；③若α∥β，a⊂α，则a∥β；④若α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交．解析：①忽略了a在α内这一情况，故①错误；②直线a与b没有交点，所以直线a与b可能异面也可能平行，故②错误；③直线a与平面β没有公共点，所以a∥β，故③正确；④直线a与平面β可能相交也可能平行，故④错误．答案：③点、线、面位置关系的判定(1)点、线、面位置关系的判定，注意构造几何体(长方体、正方体)模型来判断，常借助正方体模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系．(2)两条直线异面的判定：反证法或利用异面直线的判定定理．考点三 异面直线所成的角(综合研析)复习指导：求异面直线所成的角关键是转化为平面角，常利用平移法解决．(1)(2021·高考全国卷乙)在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，P 为B 1D 1的中点，则直线PB 与AD 1所成的角为( )A.π2B.π3 C .π4D.π6(2)(2022·衡水检测)如图，在圆锥SO 中，AB ，CD 为底面圆的两条直径，AB ∩CD ＝O ，且AB ⊥CD ，SO ＝OB ＝3，SE ＝14SB ，则异面直线SC 与OE 所成角的正切值为( )A.222B.53C.1316D.113【解析】(1)如图，连接C 1P ，因为ABCD A 1B 1C 1D 1是正方体，且P 为B 1D 1的中点，所以C 1P ⊥B 1D 1，又C 1P ⊥BB 1，BB 1∩B 1D 1＝B 1，BB 1，B 1D 1⊂平面B 1BP ，所以C 1P ⊥平面B 1BP .又BP ⊂平面B 1BP ，所以C 1P ⊥BP .连接BC 1，则AD 1∥BC 1，所以∠PBC 1为直线PB 与AD 1所成的角．设正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则在直角三角形C 1PB 中，C 1P ＝12B 1D 1＝2，BC 1＝22，sin ∠PBC 1＝PC 1BC 1＝12，所以∠PBC 1＝π6，故选D.(2)如图，过点S 作SF ∥OE ，交AB 于点F ，连接CF ，则∠CSF (或其补角)为异面直线SC 与OE 所成的角．因为SE ＝14SB ，所以SE ＝13BE .又OB ＝3，所以OF ＝13OB ＝1.因为SO ⊥OC ，SO ＝OC ＝3，所以SC ＝3 2. 因为SO ⊥OF ，所以SF ＝ SO 2＋OF 2＝10. 因为OC ⊥OF ，所以CF ＝10. 所以在等腰三角形SCF 中，tan ∠CSF ＝()102－⎝⎛⎭⎪⎫3222322＝113.【答案】 (1)D (2)D平移法求异面直线所成角的步骤|跟踪训练|(2022·西安质检)将正方形ABCD沿对角线AC折起，并使得平面ABC垂直于平面ACD，则直线AB与CD所成的角为( )A．90° B.60°C.45°D.30°解析：选B.如图，取AC，BD，AD的中点，分别为O，M，N，连接ON，OM，MN，则ON∥CD，MN∥AB，且ON＝12CD，MN＝12AB，所以∠ONM或其补角即为所求的角．因为平面ABC垂直于平面ACD，平面ABC∩平面ACD＝AC，BO⊥AC，AC⊂平面ACD，所以BO⊥平面ACD，因为DO⊂平面ACD，所以BO⊥OD.设正方形边长为2，则OB＝OD＝2，所以BD＝2，则OM＝12BD＝1.所以ON＝MN＝OM＝1.所以△OMN是等边三角形，∠ONM＝60°.所以直线AB与CD所成的角为60°.故选B.[A 基础达标]1．(2022·遂宁市射洪中学月考)下列命题中正确的是( )A．经过三点确定一个平面B．经过两条平行直线确定一个平面C．经过一条直线和一个点确定一个平面D．四边形确定一个平面解析：选B.对于选项A：经过不共线的三点确定一个平面，故选项A错误，对于选项B：两条平行直线唯一确定一个平面，故选项B正确，对于选项C：经过一条直线和直线外一个点确定一个平面，故选项C错误，对于选项D：因为空间四边形不在一个平面内，故选项D错误．故选B.2．已知α，β，γ是平面，a，b，c是直线，α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c，若a∩b＝P，则( )A．P∈c B.P∉cC．c∩a＝∅ D.c∩β＝∅解析：选A.因为α∩β＝a，β∩γ＝b，所以a⊂α，b⊂γ，由a∩b＝P，可得P∈a且P∈b，所以P∈α且P∈γ，因为γ∩α＝c，所以P∈c，故选项A正确，选项B不正确；因为P∈c，P∈a，所以c，a有公共点P，故选项C不正确；因为P∈b，b⊂β，所以P∈β，因为P∈c，所以c与β有公共点P，故选项D不正确；故选A.3．在三棱锥ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，若EF∩HG＝P，则点P( )A．一定在直线BD上B．一定在直线AC上C．在直线AC或BD上D．不在直线AC上，也不在直线BD上解析：选B.如图，因为EF⊂平面ABC，HG⊂平面ACD，EF∩HG＝P，所以P∈平面ABC，P∈平面ACD.又平面ABC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC.故选B.4．(2020·高考浙江卷)已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n.“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的( )A．充分不必要条件 B.必要不充分条件C．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解析：选B.由m，n，l在同一平面内，可能有m，n，l两两平行，所以m，n，l可能没有公共点，所以不能推出m，n，l两两相交．由m，n，l两两相交且m，n，l不经过同一点，可设l∩m＝A，l∩n＝B，m∩n＝C，且A∉n，所以点A和直线n确定平面α，而B，C∈n，所以B，C∈α，所以l，m⊂α，所以m，n，l在同一平面内，故选B.5.(多选)如图，点E，F，G，H分别是正方体ABCDA1B1C1D1中棱AA1，AB，BC，C1D1的中点，则( )A．GH＝2EFB．GH≠2EFC．直线EF，GH是异面直线D．直线EF，GH是相交直线解析：选BD.如图，取棱CC1的中点N，A1D1的中点M，连接EM，MH，HN，NG，FG，AC，A 1C1，在正方体ABCDA1B1C1D1中，因为MH∥A1C1∥AC∥FG，所以M，H，F，G四点共面，同理可得E，M，G，N四点共面，E，F，H，N四点共面，所以E，M，H，N，G，F六点共面，均在平面EFGNHM内，因为EF∥HN，HN∩HG＝H，HN，HG，EF⊂平面EFGNHM，所以EF与GH是相交直线．由正方体的结构特征及中位线定理可得EF＝HN＝NG＝FG ＝EM＝MH，所以3EF＝GH，即GH≠2EF.故选BD.6．已知在棱长为a的正方体ABCDA′B′C′D′中，M，N分别为CD，AD的中点，则MN与A′C′的位置关系是________．解析：如图，由题意可知MN∥AC.又因为AC∥A′C′，所以MN∥A′C′.答案：平行7．如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为________．解析：如图，将原图补成正方体ABCD QGHP ，连接AG ，GP ，则GP ∥BD ，所以∠APG 或其补角为异面直线AP 与BD 所成的角，在△AGP 中，AG ＝GP ＝AP ， 所以∠APG ＝π3. 答案：π38.如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，O 为正方形ABCD 的中心，H 为直线B 1D 与平面ACD 1的交点．求证：D 1，H ，O 三点共线．证明：如图，连接BD ，B 1D 1，则BD ∩AC ＝O ， 因为BB 1綉DD 1，所以四边形BB 1D 1D 为平行四边形， 又H ∈B 1D ，B 1D ⊂平面BB 1D 1D ，则H∈平面BB1D1D，因为平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，所以H∈OD1.即D1，H，O三点共线．9.如图，已知在空间四边形ABCD中，AD＝BC，M，N分别为AB，CD的中点，且直线BC 与MN所成的角为30°，求BC与AD所成的角．解：如图，连接BD，并取其中点E，连接EN，EM，则EN∥BC，ME∥AD，故∠ENM(或其补角)为BC与MN所成的角，∠MEN(或其补角)为BC与AD所成的角．由AD＝BC，知ME＝EN，所以∠EMN＝∠ENM＝30°，所以∠MEN＝180°－30°－30°＝120°，即BC与AD所成的角为60°.[B 综合应用]10．(多选)如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则直线GH，MN是异面直线的图形有( )解析：选BD.A中GH∥MN；B中，G，H，N三点共面，但M∉平面GMN，因此GH，MN 是异面直线；C中连接GM，GM∥HN且GM≠HN，所以直线GH与MN必相交；D中，G，M，N 三点共面，但H∉平面GMN，因此GH，MN是异面直线．11．(多选)(2022·潍坊模拟)已知平面α∩平面β＝直线l，点A，C∈平面α，点B，D∈平面β，且A，B，C，D∉l，点M，N分别是线段AB，CD的中点，则下列说法错误的是( )A ．当CD ＝2AB 时，M ，N 不可能重合B ．M ，N 可能重合，但此时直线AC 与l 不可能相交 C ．当直线AB ，CD 相交，且AC ∥l 时，BD 可与l 相交 D ．当直线AB ，CD 异面时，MN 可能与l 平行解析：选ACD.A 选项，当CD ＝2AB 时，若A ，B ，C ，D 四点共面且AC ∥BD 时，M ，N 两点能重合，可知A 错误；B 选项，若M ，N 重合，则AC ∥BD ，则AC ∥平面β，故AC ∥l ，此时直线AC 与直线l 不可能相交，可知B 正确；C 选项，当AB 与CD 相交，且AC ∥l 时，直线BD 与l 平行，可知C 错误；D 选项，当AB 与CD 是异面直线时，MN 不可能与l 平行，可知D 错误．故选ACD.12.(多选) (2022·潍坊质检)如图，已知二面角A BD C 的大小为π3，G ，H 分别是BC ，CD 的中点，E ，F 分别在AD ，AB 上，AE AD ＝AF AB ＝13，且AC ⊥平面BCD ，则以下说法正确的是( )A ．E ，F ，G ，H 四点共面B ．FG ∥平面ADCC ．若直线FG ，HE 交于点P ，则P ，A ，C 三点共线D ．若△ABD 的面积为6，则△BCD 的面积为3解析：选ACD.由AE AD ＝AF AB ＝13知EF ∥BD .又GH ∥BD ，所以EF ∥GH ， 因此E ，F ，G ，H 共面，A 项正确； 假设FG ∥平面ADC 成立， 因为平面ABC ∩平面DAC ＝AC ，所以FG ∥AC ，又G 是BC 的中点，所以F 是AB 的中点，与AF AB ＝13矛盾，B 项不正确；因为FG⊂平面ABC，P∈FG，所以P∈平面ABC，同理P∈平面ADC，因为平面ABC∩平面ADC＝AC，所以P∈AC，所以P，A，C三点共线，因此C正确；易知S△BCD＝cos π3·S△ABD＝12×6＝3，D正确．13.如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中：①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN是异面直线．以上结论中，正确结论是________．(填序号)解析：由平面展开图可得原正方体如图所示：由图可得，BM，ED为异面直线，CN与BE不是异面直线，DM，BN是异面直线，故①②错误，④正确．连接AN，AC，DM，BN，BE，则△ANC为等边三角形，而BM∥AN，故∠ANC或其补角为CN与BM所成的角，因为∠ANC＝60°，故CN与BM所成的角为60°，故③正确．综上，正确命题的序号为③④.答案：③④[C 素养提升]14．平面α过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为( )A.32B.22C.33D.13解析：选A.如图所示，设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1，因为α∥平面CB1D1，则m1∥m，又因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，所以B1D1∥m1，所以B1D1∥m，同理可得CD1∥n.故m，n所成角的大小与B1D1，CD1所成角的大小相等，即∠CD1B1的大小．又因为B1C＝B1D1＝CD1(均为面对角线)，所以∠CD1B1＝π3，得sin∠CD1B1＝32，故选A.15．在四棱锥OABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点．(1)求四棱锥OABCD的体积；(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值．解：(1)由已知可求得正方形ABCD的面积S＝4，所以四棱锥OABCD的体积V＝13×4×2＝83.(2)如图，连接AC ，设线段AC 的中点为E ，连接ME ，DE ，又M 为OA 中点，所以ME ∥OC ，则∠EMD (或其补角)为异面直线OC 与MD 所成的角，由已知可得DE ＝2，EM ＝3，MD ＝5，因为()22＋()32＝()52，即DE 2＋EM 2＝MD 2， 所以△DEM 为直角三角形，且∠DEM ＝90°，所以tan ∠EMD ＝DE EM ＝23＝63.所以异面直线OC 与MD 所成角的正切值为63.。
中考数学图形与几何专题知识易错题50题(含答案)
中考数学图形与几何专题知识易错题50题含答案一、单选题1．圆的半径扩大到原来的3倍，它的周长扩大到原来的3倍，它的面积扩大到原来的（）倍．A．3倍B．6倍C．9倍D．12倍2．小圆的半径是4cm，大圆的半径是8cm，小圆面积是大圆面积的（）A．12B．14C．34D．183．如果大圆的半径长是小圆半径长的2倍，那么大圆周长是小圆周长的多少倍？（）A．2B．4C．2πD．4π4．学校食堂要用铁皮做一根横截面半径是3分米，高是3米的圆柱形烟囱，至少需要（）平方米的铁皮．A．18πB．27πC．0.27πD．1.8π5．矩形ABCD中，AB=3，BC=4，以AB为轴旋转一周得到圆柱，则它的表面积是（）.A．56πB．32πC．24πD．60π6．圆的半径扩大为原来的3倍（）A．面积扩大为原来的9倍B．面积扩大为原来的6倍C．面积扩大为原来的3倍D．面积不变7．如图，直径为2个单位长度的圆从原点开始沿数轴向右无滑动地滚动一周到达点A，则点A表示的数是（）A．1B．2C．πD．2π8．圆的面积扩大到原来的16倍，半径扩大到原来的（）A．4倍B．8倍C．16倍D．32倍9．两个圆的直径比是1:2，其周长比是（）A．1:2B．1:4C．1:πD．2:110．小明在计算一道求圆的面积的题时，错把半径当成直径的长度计算，这时只要把计算的结果乘（）就能求出正确答案．A ．4B ．2C ．圆周率11．一个圆柱体和一个圆锥体的底面周长之比是1:3，它们的体积比也是1:3，圆柱和圆锥的高的比是（ ） A ．1:1B ．3:1C ．1:9D ．1:312．小圆半径是4cm ，大圆半径是8cm ，小圆面积是大圆面积的（ ） A ．12B ．14C ．16D ．1813．在长方体中，下列说法错误的是（ ） A ．长方体中互相垂直的面共有12对 B ．长方体中互相平行的面共有3对 C ．长方体中相交的棱共有12对 D ．长方体中异面的棱共有24对14．下列说法正确的是（ ） A ．半圆面积是圆面积的一半 B ．半径为2的圆的面积和周长相等 C ．周长相等的两个圆的面积也相等 D ．两个圆的面积不相等是因为圆心位置不同15．如图，长方形的长是4厘米，宽是2厘米．分别以长边和宽边所在的直线为轴，旋转一周可以得到两个不同的圆柱．这两个圆柱的体积（ ）A ．甲大B ．乙大C ．同样大D ．无法判断谁大16．下列说法中不正确的是（ ）．A ．用“长方形纸片”可以检查直线与平面平行B ．用“三角尺”可以检查直线与平面垂直C ．用“合页型折纸”可以检查平面与平面垂直D ．空间两条直线有四种位置关系：平行、相交，垂直、异面17．如图，在矩形ABCD 中放入正方形AEFG ，正方形MNRH ，正方形CPQN ，点E 在AB 上，点M 、N 在BC 上，若4AE =，3MN =，2CN =，则图中右上角阴影部分的周长与左下角阴影部分的周长的差为（ ）A．5B．6C．7D．8BC=，则O的面积为（）18．如图，O为正方形ABCD的外接圆，若2A．2πB．3πC．4πD．8π19．下列说法：①一个圆的周长总是直径的π倍；①甲数除以乙数（不等于0）等于甲数乘乙数的倒数；①圆心角越大，扇形就越大；①一个非零自然数除以一个假分数，商一定小于被除数；①圆的对称轴是直径；错误的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题20．门的转轴和地面的位置关系_______________．21．周长是720毫米的圆上，有一条长为360毫米的弧，这条弧所对的圆心角的度数为________．22．如图所示，在长方体ABCD EFGH-中：棱AD与平面ABFE的位置关系是__________；与棱CD平行的平面是_______________．23．长方体中棱与面的位置关系有________________________________．24．圆的半径为4厘米，它的周长是________厘米．25．如图，与棱AB平行的棱有__________________________；与棱FG相交的棱有__________________________；与棱AE异面的棱有__________________________；与棱HG相交的棱有__________________________．26．在一个边长为6cm的正方形里画一个最大的圆，这个圆的面积占正方形面积的____．27．如图，在长方体ABCD-EFGH中，1）与棱DH垂直的面是_________________________，2）与棱BC垂直的面是_________________________，3）与棱AB垂直的面是_________________________，4）与面ABCD垂直的棱有_________________________________，5）与面ABFE垂直的棱有_________________________________，6）与面BCGF垂直的棱有__________________________________，7）在长方体中的每一条棱有_________个面和它垂直，每一个面有________条棱和它垂直．28．半圆形的周长等于它所在圆的周长的一半，______（判断对错）29．用______________可以检验教室里黑板的边沿是否平行于地面．30．如图所示，平面BDHF垂直于平面_______．31．把一个底面直径4分米的圆柱体，截去一个高2分米的小圆柱体，原来的圆柱体表面积减少_____平方分米．（结果保留π）32．如图，在长方体ABCD EFGH中，既与平面ADHE垂直，又与棱AD异面的棱是______．33．若把一个圆分割成3个扇形，且各个扇形面积的比为3：2：1，则最小的扇形的圆心角的度数是___．34．如图，圆柱形容器的底面半径为0.5m，高为1.5m．其里面盛有1m深的水，将底面半径为0.3m，高为0.5m的圆柱形铁块沉入水中，此时容器内的水面高度上升了______m.35．扇形的圆心角是72°，则扇形的面积是其所在圆面积的________（填分数）．36．如图1中的瓶子盛满了水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，那么一共需要________个这样的杯子（瓶子和杯子的厚度忽略不计）．37．如图，阴影部分面积是小圆面积的23，是大圆面积的38，则大圆面积与小圆面积的比是________．38．一根圆柱形木料长200厘米，把它截成三段圆柱形，表面积增加了12平方厘米，原来木料的体积是__________立方厘米．39．如果两个扇形A 、B 的面积相等，A 的圆心角占B 的圆心角的14，则A 的半径与B 的半径的比为________．三、解答题40．直径为18cm 的圆中，圆心角40°的扇形面积是多少？41．一个装满稻谷的粮囤，上面是圆锥形，下面是圆柱形，量得圆柱底面的周长是20π米，高2米，圆锥的高是1.2米．221ππ3V r h V r h 圆柱圆锥，⎛⎫== ⎪⎝⎭(1)这个粮囤能装稻谷多少立方米？（结果保留π）(2)如果每立方米稻谷重500千克，这个粮囤最多能装稻谷多少吨？（结果保留π） 42．如图所示，将一个横截面是正方形（面BCGF ）的长方体木料，沿平面AEGC （长方形）分割成大小相同的两块，表面积增加了230cm ，已知EG 长5cm ，分割后每块木料的体积是318cm ，问原来这块长方体木料的表面积是多少？43．一块正方形的草皮，边长为4米，在两个相对的角上各有一棵树，树上各拴一只羊，绳长4米，问两只羊都能吃到的草的草皮有多少？44．如图所示：正方形的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，求所围成的图形（阴影部分）的面积．45．如图，一个半圆和一条直径组成的图形的周长为20.56厘米，它的面积是多少平方厘米？46．如图，,AB BC ⊥4cm,BC =45C ∠=︒，O 为圆心，求阴影部分的面积．47．如图，两个正方形的边长分别是6和5．求图形中阴影部分的面积．48．求图中AB 的长度．49．王明用长40cm ，宽20cm 的两张长方形纸围成了甲、乙两个圆柱（如图，粘接处重叠部分不计），再给每个圆柱配上一个底面，做成了两个圆柱形容器．(1)甲、乙两个圆柱谁的体积大？先提出你的猜想；(2)如何验证你的猜想？请你设计一个验证方案．（只需设计方案，写出主要步骤，不需要列式计算．）参考答案：1．C【分析】设圆的半径为r ，则圆的面积为2r π，半径扩大到原来的3倍后为3r ，然后得到面积为()2239r r ππ⨯=，相除即可得到答案． 【详解】解：设圆的半径为r ，则圆的面积为2r π， ①半径扩大到原来的3倍后为3r ，面积为()2239r r ππ⨯=， ①2299r r ππ÷=．①它的面积扩大到原来的9倍． 故选：C ．【点睛】此题考查了圆的面积公式，除法运算，解题的关键是熟练掌握圆的面积公式． 2．B【分析】用小圆面积除以大圆面积，即可求解．【详解】解：根据题意得：小圆面积是大圆面积的()()2214816644ππππ⨯÷⨯=÷=．故选：B【点睛】本题主要考查了求圆的面积，熟练掌握圆的面积公式是解题的关键． 3．A【分析】设小圆的半径长为r ，则大圆的半径长为2r ，即可分别求得大圆、小圆的周长，据此即可解答．【详解】解：设小圆的半径长为r ，则大圆的半径长为2r ， 故大圆的周长为：224r r ，小圆的周长为：2r π，422r r ππ÷=，∴大圆周长是小圆周长的2倍，故选：A ．【点睛】本题考查了求圆的周长公式，根据题意，列出代数式是解决本题的关键． 4．D【分析】根据横截面的半径可求出地面圆的周长，用底面圆的周长乘以圆柱的高可得展开图形的面积．【详解】解：3分米=0.3米， ①横截面半径是3分米即0.3米，①横截面的圆的周长为：2×0.3×π=0.6π，故长方形铁皮的面积为：3×0.6π=1.8π，故选：D．【点睛】本题考查圆柱题的展开图，与侧面积，圆柱体的横截面，能够利用圆柱的横截面的半径以及高求出圆柱的侧面积是解决本题的关键．5．A【详解】①以直线AB为轴旋转一周得到的圆柱体，得出底面半径为4cm，母线长为3cm，①圆柱侧面积=2π•AB•BC=2π•3×4=24π（cm2），①底面积=π•BC2=π•42=16π（cm2），①圆柱的表面积=24π+2×16π=56π（cm2）．故选A【点睛】此题主要考查了圆柱的表面积的计算公式，根据旋转得到圆柱体，利用圆柱体的侧面积等于底面圆的周长乘以母线长是解决问题的关键．6．A【分析】根据圆的面积公式判断即可．【详解】S=πr2，圆的半径扩大为原来的3，所以面积扩大为原来的9倍．故答案为：A．【点睛】本题主要考查了圆的面积问题，熟练掌握圆的面积公式是解题的关键．7．D【分析】根据圆的周长πd作答即可．【详解】解：圆旋转一周，周长为2π，①点A所表示的数为0+2π＝2π．故选：D．【点睛】考查圆的周长及数轴上点的意义，解题关键是通过图形求得圆的周长．8．A【分析】设圆的半径为r，面积=πr2，由此可得：圆的面积与半径的平方成正比例，所以圆的面积扩大到原来的16倍，则圆的半径则扩大到原来的4倍，由此即可解答．【详解】解：设圆的半径为r，面积=πr2，π是一个定值，则：圆的面积与r2成正比例：即半径r扩大到原来的4倍，则r2就扩大4×4=16倍，所以圆的面积就扩大16倍，反之圆的面积扩大到原来的16倍，因为16=4×4，所以圆的半径就扩大到原来的4倍． 答：一个圆的面积扩大到原来的16倍，则这个圆的半径就扩大到原来的4倍． 故选：A ．【点睛】本题考查了比例，关键是掌握圆的面积与半径的平方成正比例的灵活应用． 9．A【分析】设小圆直径为d ，则根据“两个圆的直径之比是1：2，”得出大圆直径为2d ，再根据圆的周长公式C ＝πd ，分别表示出它们的周长，写出相应的比，再化简即可． 【详解】解：设小圆直径为d ，则大圆直径为2d ， 小圆的周长：C d π＝，大圆的周长：22C d d ππ'⨯＝＝， 周长的比：πd ：2πd ＝1：2，故A 正确． 故选：A ．【点睛】本题主要考查比的意义和圆的周长公式，解题的关键是熟练掌握圆的周长公式C ＝πd ． 10．A【分析】根据直径是半径的2倍即可得出答案． 【详解】解：①直径是半径的2倍，①只要把计算的结果乘4就能求出正确答案，故A 正确． 故选：A ．【点睛】本题主要考查了圆的面积的有关计算，解题的关键是熟练掌握圆的面积公式，以及圆的直径与半径的关系． 11．A【分析】根据圆的周长公式知道底面周长的比就是半径的比，设圆柱的底面半径是1，则圆锥的底面半径是3，设圆柱的体积是1，则圆锥的体积是3，再根据圆柱的体积公式2V sh r h π==与圆锥的体积公式21133V sh r h π==得出圆柱的高与圆锥的高，进而根据题意，进行比即可．【详解】解：设圆柱的底面半径是1，则圆锥的底面半径是3，设圆柱的体积是1，则圆锥的体积是3，则：221[1(1)]:[3(3)]3ππ÷⨯÷÷⨯，11:ππ= 1:1=故选：A ．【点睛】此题主要考查了圆柱的体积公式与圆锥的体积公式，关键在于熟悉圆柱的体积公式与圆锥的体积公式，利用公式推导出圆柱与圆锥的高的关系．12．B【分析】分别求出大圆和小圆的面积即可得到答案．【详解】解：由题意得：大圆的面积28864cm ππ=⨯⨯=，小圆的面积24416cm ππ=⨯⨯=，①小圆面积是大圆面积的161=644ππ， 故选B ．【点睛】本题主要考查了圆的面积，求一个数是另一个数的几分之几，熟知圆面积公式是解题的关键．13．C【分析】直接根据长方体中棱、面之间的位置关系进行排除即可．【详解】A 、长方体中互相垂直的面共有12对，故正确；B 、长方体中互相平行的面共有3对，故正确；C 、长方体中相交的棱共有24对，故错误；D 、长方体中异面的棱共有24对，故正确．故选C ．【点睛】本题主要考查长方体中棱、面之间的位置关系，熟练掌握概念是解题的关键． 14．C【分析】根据圆的面积及周长计算公式直接进行判断即可．【详解】A 、“半圆面积是圆面积的一半”缺少半径相等这个前提，所以错误；B 、半径为2的圆的面积和周长不相等，因为单位不一样，故错误；C 、周长相等的两个圆的面积也相等，故正确；D 、两个圆的面积不相等是由半径来决定的，圆心只决定圆的位置关系，故错误； 故选C ．【点睛】本题主要考查圆的面积与周长，正确理解圆的面积及周长是解题的关键． 15．B【分析】根据题意可知，以长方形的长边为轴旋转一周得到的圆柱的底面半径是2厘米，高是4厘米；以长方形的宽边为轴旋转一周得到的圆柱的底面半径是4厘米，高是2厘米；根据圆柱的体积公式：2V r h π=，把数据分别代入公式求出它们的体积进行比较即可．【详解】解：甲：23.1424⨯⨯=3.14×4×4=50.24（立方厘米）乙：23.1442⨯⨯=3.14×16×2=100.48（立方厘米）100.48＞50.24答：乙的体积大．故选：B 。
考点21+线线、线面、面面的位置关系-高考数学(文)提分必备30个黄金考点+Word版含解析
【考点剖析】1.命题方向预测：1.点、线、面的位置关系是本节的重点，也是高考的热点．以考查点、线、面的位置关系为主.2.线面平行、面面平行的判定及性质是命题的热点．着重考查线线、线面、面面平行的转化及应用，同时考查逻辑推理能力与空间想象能力．3.线线、线面、面面垂直的问题是命题的热点．着重考查垂直关系的转化及应用，同时考查逻辑推理能力与空间想象能力．4.线线、线面、面面的位置关系问题，往往是平行、垂直关系综合考查，题型有选择题、填空题及解答题．难度中、低档题兼有.2.课本结论总结：1.平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 2.直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a ，b 所成的角(或夹角). ②范围：02π⎛⎤ ⎥⎝⎦，.3.直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况.4.平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况.5.公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行.6.定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.7.直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件a∩α＝∅a⊂α，b⊄α，a∥b a∥αa∥α，a⊂β，α∩β＝b结论a∥αb∥αa∩α＝∅a∥b8.面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件α∩β＝∅a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥αα∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝bα∥β，a⊂β结论α∥βα∥βa∥b a∥α9.直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法①定义法.②利用判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.(2)直线和平面垂直的性质①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线.②垂直于同一个平面的两条直线平行.③垂直于同一条直线的两平面平行.10.斜线和平面所成的角斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角.11.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法①定义法.②利用判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.(2)平面与平面垂直的性质两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面. 12.二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.(2)二面角的平面角：二面角棱上的一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角.3.名师二级结论：（1）异面直线的判定方法：判定定理：平面外一点A与平面内一点B 的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线．反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．(2)公理1的作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内．(3)公理2的作用：公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法．(4)公理3的作用：①判定两平面相交；②作两平面相交的交线；③证明多点共线．(5)平行问题的转化关系：(6)垂直问题的转化关系线线垂直判定性质线面垂直判定性质面面垂直(7)证明直线相交，通常用平面的基本性质，平面图形的性质等；(8)利用公理4或平行四边形的性质证明两条直线平行.4.考点交汇展示：(1)立体几何与函数交汇性质【2017课标1，理16】如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥.当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______.【答案】415【解析】（2）立体几何与基本不等式交汇如图， 在三棱锥P ABC -中，90PAB PAC ACB ∠=∠=∠=． （1）求证：平面PBC ⊥平面PAC ；（2）若1PA =，=2AB ，当三棱锥P ABC -的体积最大时，求BC 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）当三棱锥P ABC -的体积最大时，2=BC ．（2）方法1：由已知及（1）所证可知，PA ⊥平面ABC ，BC CA ⊥， 所以PA 是三棱锥P ABC -的高．……………………………7分 因为1PA =，=2AB ，设BC x =()02x <<，……………8分 所以2222224AC AB BC x x =-=-=-…………9分PA B因为13P ABC ABC V S PA -=⨯△ 2146x x =-………………………………………………………………………………10分()22146x x =- ()224162x x +-≤⨯…………………………………………………………………………11分 13=．…………………………………………………………………………………………12分 当且仅当224x x =-，即2x =时等号成立．………………………………………………………13分所以当三棱锥P ABC -的体积最大时，2=BC ．…………………………………………………14分（3）立体几何与三角函数交汇【2018届江苏省南宁市高三摸底联考】在如图所示的正方体中，分别棱是的中点，异面直线与所成角的余弦值为（ ）A.B. C.D.【答案】D【解析】如下图，过E 点作EM//AB,过M 点作MN//AD,取MN 中点G,所以面EMN//面ABCD ，EG//BF, 异面直线与所成角,转化为，不妨设正方形边长为2，GE=,,在中，由余弦定理，选D.【考点分类】考向一 线线、线面、面面平行与垂直关系的判定1.【2017课标3，文10】在正方体1111ABCD A B C D 中，E 为棱CD 的中点，则（ ） A ．11A E DC ⊥B ．1A E BD ⊥C ．11A E BC ⊥D ．1AE AC ⊥【答案】C2.【2018届安徽省六安市第一中学适应性考试】已知直线、，平面、，给出下列命题： ①若，，且，则②若，，且，则 ③若，，且，则 ④若，，且，则其中正确的命题是（ ）A ． ②③B ． ①③C ． ①④D ． ③④ 【答案】C【解析】分析：①可由面面垂直的判定定理进行判断；②可由面面平行的条件进行判断；③可由面面垂直的条件进行判断；④可由面面垂直的判定定理进行判断. 解析： ①若，，且，则，正确.，且，可得出或，又，故可得到.②若，，且，则，不正确.两个面平行与同一条线平行，两平面有可能相交. ③若，，且，则，不正确. 且，可得出，又，故不能得出.④若，，且，则，正确.且，可得出，又，故得出.故选：C.【方法规律】1.证明线线平行的方法：（1）平行公理；（2）线面平行的性质定理；（3）面面平行的性质定理；（4）向量平行.要注意线面、面面平行的性质定理的成立条件.2.线面平行的证明方法：（1）线面平行的定义；（2）线面平行的判断定理；（3）面面平行的性质定理；（4）向量法：证明这条直线的方向向量和这个平面内的一个向量互相平行；证明这个直线的方向向量和这个平面的法向量相互垂直.线面平行的证明思考途径：线线平行⇔线面平行⇔面面平行.3.面面平行的证明方法：①反证法:假设两个平面不平行，则它们必相交，在导出矛盾；②面面平行的判断定理；③利用性质:垂直于同一直线的两个平面平行；平行于同一平面的两个平面平行；④向量法：证明两个平面的法向量平行.4.证明线线垂直的方法：（1）异面直线所成的角为直角；（2）线面垂直的性质定理；（3）面面垂直的性质定理；（4）三垂线定理和逆定理；（5）勾股定理；（6）向量垂直.要注意线面、面面垂直的性质定理的成立条件.解题过程中要特别体会平行关系性质的传递性，垂直关系的多样性.5.线面垂直的证明方法：（1）线面垂直的定义；（2）线面垂直的判断定理；（3）面面垂直的性质定理；（4）向量法：证明这个直线的方向向量和这个平面的法向量相互平行.线面垂直的证明思考途径：线线垂直⇔线面垂直⇔面面垂直.6.面面垂直的证明方法：①定义法；②面面垂直的判断定理；③向量法：证明两个平面的法向量垂直.解题时要由已知相性质，由求证想判定，即分析法和综合法相结合寻找证明思路，关键在于对题目中的条件的思考和分析，掌握做此类题的一般技巧和方法，以及如何巧妙进行垂直之间的转化.【解题技巧】1.利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决.2.立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究，解决这类问题一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在这个假设下进行推理论证，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设.3.证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.4.线面垂直的性质，常用来证明线线垂直.5.在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化.6.垂直关系综合题的类型及解法(1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.(2)垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.(3)垂直与体积结合问题，在求体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积.7.线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理；8.线线关系是线面关系、面面关系的基础.证题中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等；【易错点睛】1.在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.2.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”.3.解题中注意符号语言的规范应用.4.在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化.5.面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可.6.证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范.例.已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是αβ，且m⊂αB．m∥n，且n⊥βA．⊥αβ，且m∥αD．m⊥n，且n∥βC．⊥【答案】B【解析】∵m∥n, m⊥β∴n⊥β故选B.【易错点】没有掌握线面垂直的条件考向二空间线线、线面及面面关系中的角度问题1.【2018年全国卷II文】在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（）A. B. C. D.【答案】C2.【2017课标3，理16】a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；③直线AB与a所成角的最小值为45°；④直线AB与a所成角的最小值为60°.其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）【答案】②③【解析】【方法规律】求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移.判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线.(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面.3.求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决.根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往可以选在其中一条直线上(线面的端点或中点)利用三角形求解.【解题技巧】求异面直线所成的角的三步曲：即“一作、二证、三求”.其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解.【易错点睛】1.正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在同一个平面内”.2.不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”条件.3.两条异面直线所成角的范围是(0°，90°].例.过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l 可以作()A.1条B.2条C.3条D.4条【答案】 D【解析】如图，连接体对角线AC1，显然AC1与棱AB、AD、AA1所成的角都相等，所成角的正切值都为 2.联想正方体的其他体对角线，如连接BD1，则BD1与棱BC、BA、BB1所成的角都相等，∵BB1∥AA1，BC∥AD，∴体对角线BD1与棱AB、AD、AA1所成的角都相等，同理，体对角线A1C、DB1也与棱AB、AD、AA1所成的角都相等，过A点分别作BD1、A1C、DB1的平行线都满足题意，故这样的直线l可以作4条.【易错点】忽视异面直线所成的角，只找两条相交直线所成角，没有充分认识正方体中的平行关系.考向三线线、线面、面面的位置关系的综合问题1.【2018年江苏卷】在平行六面体中，．求证：（1）；（2）．【答案】答案见解析2. 【2018年浙江卷】如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1；（Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】分析:方法一：（Ⅰ）通过计算，根据勾股定理得,再根据线面垂直的判定定理得结论，（Ⅱ）找出直线AC1与平面ABB1所成的角，再在直角三角形中求解.方法二：（Ⅰ）根据条件建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，根据向量之积为0得出,再根据线面垂直的判定定理得结论，（Ⅱ）根据方程组解出平面的一个法向量，然后利用与平面法向量的夹角的余弦公式及线面角与向量夹角的互余关系求解.详解：方法一：（Ⅱ）如图，过点作，交直线于点，连结.由平面得平面平面，由得平面，所以是与平面所成的角.由得，所以，故.因此，直线与平面所成的角的正弦值是.方法二：（Ⅰ）如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz.由题意知各点坐标如下：因此由得.由得.所以平面.【解题技巧】1．利用线线、线面和面面的平行、垂直关系相互转化．2．求线面所成角时注意垂直关系的应用．3. 结合向量法进行证明和求解【易错点睛】(1)在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误．(2)把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交，则直线与交线平行．（1）证明过程要规范（2）注意角度的取值范围（线线、线面和面面）例1.【2017山东，文18】（本小题满分12分）由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1- B1CD1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E⊥平面ABCD,A O∥平面B1CD1;（Ⅰ）证明：1（Ⅱ）设M是OD的中点,证明：平面A1EM⊥平面B1CD1.【答案】①证明见解析.②证明见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）取11B D 中点F ,证明1//A O CF ,（Ⅱ）证明11B D ⊥面1A EM .(II)因为 AC BD ⊥,E ，M 分别为AD 和OD 的中点, 所以EM BD ⊥,因为ABCD 为正方形,所以AO BD ⊥, 又 1A E ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD 所以1,A E BD ⊥ 因为11//,B D BD所以11111,,EM B D A E B D ⊥⊥又1,A E EM ⊂平面1A EM ，1A EEM E =.所以11B D ⊥平面1,A EM 又11B D ⊂平面11B CD , 所以平面1A EM ⊥平面11B CD .【易错点】不会灵活应用线线、线面和面面平行的判定定理和性质定理进行转换，答题过程不规范。
高考数学复习考点知识与题型专题讲解47---空间点、直线、平面之间的位置关系
高考数学复习考点知识与题型专题讲解7.2空间点、直线、平面之间的位置关系考试要求1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 2．空间中直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧平行直线相交直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)． ②范围：⎝⎛⎦⎤0，π2. 3．空间中直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况． 4．空间中平面与平面的位置关系平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．5．等角定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．微思考1．分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线吗？提示不一定，因为异面直线不同在任何一个平面内．分别在两个不同平面内的两条直线可能平行或相交或异面．2．平面外的一条直线上有两个点到平面的距离相等，则直线与平面的位置关系如何？提示平行或相交．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)有三个公共点的两个平面必重合．(×)(2)三条两两相交的直线确定一个平面．(×)(3)若A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α，则l⊂α.(√)(4)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，记作α∩β＝a.(√)题组二教材改编2.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案C解析连接B1D1，D1C(图略)，则B1D1∥EF，故∠D1B1C即为所求的角．又B1D1＝B1C＝D1C，∴△B1D1C为等边三角形，∴∠D1B1C＝60°.3．如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面β.且α∥β，则a与b()A．共面B．平行C．是异面直线D．可能平行，也可能是异面直线答案D解析α∥β，说明a与b无公共点，∴a与b可能平行也可能是异面直线．4．两两平行的三条直线可确定________个平面．答案1或3解析若三条直线在同一平面内，则确定1个平面．若三条直线不共面，则确定3个平面．题组三易错自纠5．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是()A．b⊂αB．b∥αC．b⊂α或b∥αD．b与α相交或b⊂α或b∥α答案D解析由题意知，b与α的位置关系可能是b∥α，b与α相交或b⊂α.6．下列关于异面直线的说法正确的是________．(填序号)①若a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线；②若a与b异面，b与c异面，则a与c异面；③若a，b不同在平面α内，则a与b异面；④若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面．答案④解析①a⊂α，b⊂β，则a与b可能平行，异面或相交．②a与b异面，b与c异面，则a与c平行、相交或异面．③a，b不同在α内，则a与b异面或平行．④由异面直线的定义可知正确.题型一平面基本性质的应用例1如图所示，已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：(1)D，B，F，E四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线．证明(1)∵EF是△D1B1C1的中位线，∴EF∥B1D1.在正方体AC1中，B1D1∥BD，∴EF∥BD.∴EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．(2)在正方体AC1中，设平面A1ACC1为α，平面BDEF为β.∵Q∈A1C1，∴Q∈α.又Q∈EF，∴Q∈β，则Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点，∴α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，∴R∈A1C.∴R∈α，且R∈β，则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．思维升华共面、共线、共点问题的证明(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．跟踪训练1如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，G，H分别是CD和AD 上的点．若EH与FG相交于点K.求证：EH，BD，FG三条直线相交于同一点．证明因为K∈EH，EH⊂平面ABD，所以K∈平面ABD，同理K∈平面CBD，而平面ABD∩平面CBD ＝BD，因此K∈BD，所以EH，BD，FG三条直线相交于同一点．题型二判断空间两直线的位置关系例2 (1)α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是()A．垂直B．相交C．异面D．平行答案D解析依题意，m∩α＝A，n⊂α，∴m与n可能异面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平行．(2)已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心，则下列说法正确的是()A．直线MN与直线A1B是异面直线B．直线MN与直线DD1相交C．直线MN与直线AC1是异面直线D．直线MN与直线A1C平行答案C解析如图，因为M，N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心，所以M，N分别是A1C1，BC1的中点，所以直线MN与直线A1B平行，所以A错误；因为直线MN经过平面BB1D1D内一点M，且点M不在直线DD1上，所以直线MN与直线DD1是异面直线，所以B错误；因为直线MN经过平面ABC1内一点N，且点N不在直线AC1上，所以直线MN与直线AC1是异面直线，所以C正确；因为直线MN经过平面A1CC1内一点M，且点M不在直线A1C上，所以直线MN与直线A1C是异面直线，所以D错误．思维升华(1)点、线、面位置关系的判定，注意构造几何体(长方体、正方体)模型来判断，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系．(2)对异面直线的判定常用到以下结论：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．跟踪训练2 (1)空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是()A．平行B．异面C．相交或平行D．平行或异面或相交均有可能答案D解析根据条件作出示意图，容易得到以下三种情况均有可能，如图可知AB，CD有相交，平行，异面三种情况．(2)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________．(注：把你认为正确的结论序号都填上)答案③④解析因为点A在平面CDD1C1外，点M在平面CDD1C1内，直线CC1在平面CDD1C1内，CC1不过点M ，所以AM 与CC 1是异面直线，故①错；取DD 1中点E ，连接AE (图略)，则BN ∥AE ，但AE 与AM 相交，故②错；因为B 1与BN 都在平面BCC 1B 1内，M 在平面BCC 1B 1外，BN 不过点B 1，所以BN 与MB 1是异面直线，故③正确；同理④正确，故填③④. 题型三求两条异面直线所成的角例3 (2020·青岛模拟)如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为()A.15B.25C.35D.45 答案D解析连接BC 1，易证BC 1∥AD 1，则∠A 1BC 1即为异面直线A 1B 与AD 1所成的角．连接A 1C 1，由AB ＝1，AA 1＝2，易得A 1C 1＝2，A 1B ＝BC 1＝5，故cos ∠A 1BC 1＝A 1B 2＋BC 21－A 1C 212×A 1B ×BC 1＝45，即异面直线A 1B与AD 1所成角的余弦值为45.思维升华用平移法求异面直线所成的角的三个步骤(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角． (2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角． (3)三求：解三角形，求出所作的角．跟踪训练3(2018·全国Ⅱ)在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为() A.15B.56C.55D.22 答案C解析如图，连接BD 1，交DB 1于O ，取AB 的中点M ，连接DM ，OM .易知O 为BD 1的中点，所以AD 1∥OM ，则∠MOD 为异面直线AD 1与DB 1所成角或其补角．因为在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，AD 1＝AD 2＋DD 21＝2， DM ＝AD 2＋⎝⎛⎭⎫12AB 2＝52， DB 1＝AB 2＋AD 2＋BB 21＝ 5.所以OM ＝12AD 1＝1，OD ＝12DB 1＝52，于是在△DMO 中，由余弦定理，得cos ∠MOD ＝12＋⎝⎛⎭⎫522－⎝⎛⎭⎫5222×1×52＝55，即异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为55. 课时精练1．(2020·上海市松江区模拟)给出以下四个命题： ①依次首尾相接的四条线段必共面；②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等； ④垂直于同一直线的两条直线必平行． 其中正确命题的个数是() A ．0B ．1C ．2D ．3 答案B解析①中，空间四边形的四条线段不共面，故①错误．②中，由公理2知道，过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，故②正确．③中，由空间角的等角定理知，空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故③错误．④中，空间中，垂直于同一直线的两条直线可相交，可平行，可异面，故④错误．2．已知平面α，β，γ两两垂直，直线a ，b ，c 满足：a ⊂α，b ⊂β，c ⊂γ，则直线a ，b ，c 不可能满足以下哪种关系()A ．两两垂直B ．两两平行C．两两相交D．两两异面答案B解析设α∩β＝l，且l与a，b均不重合，假设a∥b∥c，由a∥b可得a∥β，b∥α，又α∩β＝l，可知a∥l，b∥l，又a∥b∥c，可得c∥l，因为α，β，γ两两互相垂直，可知l与γ相交，即l与c相交或异面．若l与a或b重合，同理可得l与c相交或异面，可知假设错误，由此可知三条直线不能两两平行．3.如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是()A．直线ACB．直线ABC．直线CDD．直线BC答案C解析由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，所以点D在平面ABC与平面β的交线上．又因为C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以平面ABC∩平面β＝CD.4.在如图所示的正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱B1B，AD的中点，则直线BF与平面AD1E 的位置关系是()A．平行B．相交但不垂直C．垂直D．异面答案A解析如图，取AD1的中点O，连接OE，OF，则OF∥BE，OF＝BE，∴四边形BFOE是平行四边形，∴BF∥OE，∵BF⊄平面AD1E，OE⊂平面AD1E，∴BF∥平面AD1E.5．(多选)(2020·全国Ⅱ改编)下列四个命题中是真命题的为() A．两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内B．过空间中任意三点有且仅有一个平面C．若空间两条直线不相交，则这两条直线平行D．若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l答案AD解析对于A，可设l1与l2相交，这两条直线确定的平面为α；若l3与l1相交，则交点A在平面α内，同理，l3与l2的交点B也在平面α内，所以，AB⊂α，即l3⊂α，A为真命题；对于B，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，故B为假命题；对于C，两条直线有可能平行也有可能异面，故C为假命题；对于D，若直线m⊥平面α，则m垂直于平面α内所有直线，因为直线l⊂平面α，所以直线m⊥直线l，D为真命题．6．(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是()A．A，M，O三点共线B．A，M，O，A1共面C．A，M，C，O共面D．B，B1，O，M共面答案ABC解析∵M∈A1C，A1C⊂平面A1ACC1，∴M∈平面A1ACC1，又∵M∈平面AB1D1，∴M在平面AB1D1与平面A1ACC1的交线AO上，即A，M，O三点共线，∴A，M，O，A1共面且A，M，C，O共面，∵平面BB1D1D∩平面AB1D1＝B1D1，∴M在平面BB1D1D外，即B，B1，O，M不共面，故选A，B，C.7．如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则直线GH，MN是异面直线的图形有________．(填序号)答案②④解析①中GH∥MN；②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此GH，MN是异面直线；③中连接GM，GM∥HN且GM≠HN，所以直线GH与MN必相交；④中，G，M，N三点共面，但H∉平面GMN，因此GH，MN是异面直线．8.如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．答案 2解析取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以AD∥BC，所以直线AC1与AD所成的角即为异面直线AC1与BC所成的角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D垂直于圆柱下底面，所以C1D⊥AD.因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1D＝2AD，所以直线AC1与AD所成角的正切值为2，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为 2.9.(2020·西安模拟)如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．答案②③④解析还原成正四面体ADEF，其中H与N重合，A，B，C三点重合．易知GH与EF异面，BD与MN异面．又△GMH为等边三角形，∴GH与MN成60°角，易证DE⊥AF，MN∥AF，∴MN⊥DE.因此正确的序号是②③④.10．已知下列说法：①若两个平面α∥β，a ⊂α，b ⊂β，则a ∥b ；②若两个平面α∥β，a ⊂α，b ⊂β，则a 与b 是异面直线； ③若两个平面α∥β，a ⊂α，b ⊂β，则a 与b 一定不相交； ④若两个平面α∥β，a ⊂α，b ⊂β，则a 与b 平行或异面； ⑤若两个平面α∩β＝b ，a ⊂α，则a 与β一定相交． 其中正确的序号是________(将你认为正确的序号都填上)． 答案③④解析①错．a 与b 也可能异面． ②错．a 与b 也可能平行．③对．∵α∥β，∴α与β无公共点， 又∵a ⊂α，b ⊂β，∴a 与b 无公共点． ④对．由已知及③知，a 与b 无公共点， 那么a ∥b 或a 与b 异面． ⑤错．a 与β也可能平行．11.如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与四边形ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠F AB ＝90°，BC ∥AD 且BC ＝12AD ，BE ∥AF 且BE ＝12AF ，G ，H 分别为F A ，FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？ (1)证明由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ，可得GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，∴GH 綊BC .∴四边形BCHG 为平行四边形． (2)解∵BE 綊12AF ，G 是F A 的中点，∴BE 綊FG ，∴四边形BEFG 为平行四边形，∴EF ∥BG . 由(1)知BG 綊CH ，∴EF ∥CH ， ∴EF 与CH 共面．又D ∈FH ，∴C ，D ，F ，E 四点共面．12.已知空间四边形ABCD 的对角线AC ＝20，BD ＝19，异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为1819，点P ，Q ，M ，N 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点．(1)求证：四边形PQMN 是平行四边形； (2)求四边形PQMN 的面积．(1)证明因为P ，Q 分别是AB ，BC 的中点， 所以PQ ∥AC ，且PQ ＝12AC ，同理MN ∥AC ，且MN ＝12AC ，所以PQ ∥MN ，PQ ＝MN ， 所以四边形PQMN 是平行四边形． (2)解因为P ，N 分别是AB ，AD 的中点，所以PN ∥BD ，PN ＝12BD ＝192，又因为PQ ∥AC ，所以PQ 与PN 所成的角就是异面直线AC ，BD 所成的角，所以sin ∠QPN ＝1－cos 2∠QPN ＝1－⎝⎛⎭⎫18192＝3719，所以四边形PQMN 的面积为S ＝PQ ·PN ·sin ∠QPN ＝10×192×3719＝537.13．(2019·全国Ⅲ)如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则()A ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线 答案B解析如图，取CD 的中点O ，连接ON ，EO ，因为△ECD 为正三角形，所以EO ⊥CD ，又平面ECD ⊥平面ABCD ，平面ECD ∩平面ABCD ＝CD ，所以EO ⊥平面ABCD .设正方形ABCD 的边长为2，则EO ＝3，ON ＝1，所以EN 2＝EO 2＋ON 2＝4，得EN ＝2.过M 作CD 的垂线，垂足为P ，连接BP ，则MP ＝32，CP ＝32，所以BM 2＝MP 2＋BP 2＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫322＋22＝7，得BM ＝7，所以BM ≠EN .连接BD ，BE，因为四边形ABCD为正方形，所以N为BD的中点，即EN，MB均在平面BDE内，所以直线BM，EN是相交直线．14．已知球O是正三棱锥(底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心)A－BCD的外接球，BC＝3，AB＝23，点E在线段BD上，且BD＝3BE，过点E作球O的截面，则所得的截面中面积最小的截面圆的面积是________．答案2π解析如图，设△BDC的中心为O1，球O的半径为R，连接AO1，O1D，OD，O1E，OE，＝3，则O1D＝3sin60°×23AO1＝AD2－DO21＝3，在Rt△OO1D中，R2＝3＋(3－R)2，解得R＝2，∵BD＝3BE，DE＝2，在△DEO1中，O1E＝3＋4－2×3×2cos30°＝1，∴OE＝O1E2＋OO21＝2，过点E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面圆的面积最小，此时截面圆的半径为22－(2)2＝2，面积为2π.15．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为32，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，P 是线段A 1B 上的动点，C 1P 与平面D 1EF 的交点Q 的轨迹长为()A ．3B.13C ．4D ．3 2答案B解析如图所示，连接EF ，A 1B ，连接A 1C 1，B 1D 1交于点M ，连接B 1E ，BC 1交于点N ，由EF ∥B 1D 1，即E ，F ，B 1，D 1共面，由P 是线段A 1B 上的动点，当P 重合于A 1或B 时，C 1A 1，C 1B 与平面D 1EF 的交点分别为M ，N ，即Q 的轨迹为MN ，由棱长为32，得C 1M ＝12A 1C 1＝3, 则BC 1＝6， 又BEB 1C 1＝BN NC 1＝12， 则NC 1＝23BC 1＝4， 由A 1B ＝BC 1＝A 1C 1，得∠A 1C 1B ＝60°，则MN ＝MC 21＋NC 21－2MC 1·NC 1·cos ∠A 1C 1B ＝9＋16－2×3×4×12＝13. 16．如图1，在边长为4的正三角形ABC 中，D ，F 分别为AB ，AC 的中点，E 为AD 的中点．将△BCD 与△AEF 分别沿CD ，EF 同侧折起，使得二面角A －EF －D 与二面角B －CD －E 的大小都等于90°，得到如图2所示的多面体．(1)在多面体中，求证：A ，B ，D ，E 四点共面；(2)求多面体的体积．(1)证明因为二面角A －EF －D 的大小等于90°，所以平面AEF ⊥平面DEFC ，又AE ⊥EF ，AE ⊂平面AEF ，平面AEF ∩平面DEFC ＝EF ，所以AE ⊥平面DEFC ，同理，可得BD ⊥平面DEFC ，所以AE ∥BD ，故A ，B ，D ，E 四点共面．(2)解因为AE ⊥平面DEFC ，BD ⊥平面DEFC ,EF ∥CD ，AE ∥BD ，DE ⊥CD ，所以AE 是四棱锥A －CDEF 的高，点A 到平面BCD 的距离等于点E 到平面BCD 的距离， 又AE ＝DE ＝1，CD ＝23，EF ＝3，BD ＝2，所以V ＝V A －CDEF ＋V A －BCD ＝13S 梯形CDEF ·AE ＋13S △BCD ·DE ＝736.。
直线、射线、线段知识点总结(含例题)
直线、射线、线段知识点1．直线（1）定义：一点在空间沿着一个方向及它的相反方向运动，所形成的图形就是直线．（2）直线公理：经过两点___________直线，并且___________直线．简单说成：___________．（3）表示方法：直线AB或直线a．（4）当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线___________，这个公共点叫做它们的___________．2．射线（1）定义：直线上的一点和它一旁的部分叫做射线．（2）特征：是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长．（3）表示方法：射线AB或射线a．3．线段（1）定义：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段．（2）特征：线段是直的，它有两个端点，它的长度是有限的，可以度量，可以比较长短．（3）表示方法：线段AB或线段a．（4）两点的所有连线中，___________最短．简单说成：两点之间，___________．（5）连接两点间的___________，叫做这两点的距离．4．方法归纳：（1）过一点的直线有___________；直线是是向___________方向无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小；（2）要注意区别直线公理与线段的性质：直线公理是指___________，线段的性质是指两点之间线段最短；在线段的计算过程中，经常涉及线段的性质、线段的中点以及方程思想．（3）延伸与延长是不同的，线段不能___________，但可以___________，直线和射线能___________，但是不能___________；（4）直线和线段用两个大写字母表示时，与字母的前后顺序___________，但射线必须是表示端点的字母写在前面，不能互换；（5）直线中“有且只有”中的“有”的含义是___________，“只有”的含义是，“有且只有”与“确定”的意义相同；（6）射线：一要确定___________，二要确定___________，二者缺一不可．K知识参考答案：1．（2）有一条，只有一条，两点确定一条直线；（4）相交，交点3．（4）线段，线段最短；（5）线段的长度4．（1）无数条，两个（2）两点确定一条直线（3）延伸，延长，延伸，延长（4）无关（5）存在性，唯一性（6）端点，延伸方向K—重点（1）直线公理；（2）线段的性质K—难点直线、射线、线段的概念K—易错直线、射线、线段的联系和区别一、直线、射线、线段【例1】下列说法中正确的个数为①射线OP和射线PO是同一条射线；②连接两点的线段叫两点间的距离；③两点确定一条直线；④若AC=BC，则C是线段AB的中点．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】①射线OP端点是O，从O向P无限延伸，射线PO端点是P，从P向O无限延伸，所以不是同一条射线，故①错误；【名师点睛】（1）直线、射线、线段的表示方法①直线：用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大写字母（直线上的）表示，如直线AB．②射线：是直线的一部分，用一个小写字母表示，如：射线l；用两个大写字母表示，端点在前，如：射线OA．注意：用两个字母表示时，端点的字母放在前边．③线段：线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段AB（或线段BA）．（2）点与直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外．二、直线的性质（1）直线公理：经过两点有且只有一条直线．简称：两点确定一条直线．（2）经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了．【例2】平面上有四点，过其中每两点画出一条直线，可以画直线的条数为A．1或4 B．1或6C．4或6 D．1或4或6【答案】D【解析】如图所示：分别根据四点在同一直线上、三点在同一条直线上、任意三点均不在同一条直线上描出各点，再根据两点确定一条直线画出各直线可知：平面上有四点，过其中每两点画出一条直线，可以画直线的条数为1或4或6．故选D．三、线段的性质线段公理：两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．简单说成：两点之间，线段最短．【例3】把一条弯曲的公路改为直路，可以缩短路程，其理由是A．两点之间，线段最短B．两点确定一条直线C．线段有两个端点D．线段可以比较大小【答案】A【解析】把一条弯曲的公路改为直路，其理由是：两点之间，线段最短．故选A．四、两点之间的距离（1）两点间的距离连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．（2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离．【例4】已知线段AB=8cm，在线段AB的延长线上取一点C，使线段AC=12cm，那么线段AB和AC中点的距离为A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【答案】A五、比较线段的长短（1）比较两条线段长短的方法有两种：度量比较法、重合比较法．就结果而言有三种结果：AB>CD、AB=CD、AB<CD．（2）线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点．（3）线段的和、差、倍、分及计算做一条线段等于已知线段，可以通过度量的方法，先量出已知线段的长度，再利用刻度尺画条等于这个长度的线段，也可以利用圆规在射线上截取一条线段等于已知线段．【例5】如图，四条线段中，最短和最长的一条分别是A．ac B．bdC．ad D．bc【答案】B【解析】通过观察测量比较可得：d线段长度最长，b线段最短．故选B．。
2012届高考数学(理科)一轮复习课件(人教版)第9单元第48讲 空间点、线、面的位置关系
二、直线与直线的位置关系 1． 位 置 关 系 的 分 类 ⑤ 共 面 直 线 ⑥ 异 面 直 线 ： 不 同 ⑦ 2． 异 面 直 线 所 成 的 角
在一个平面内
1 定 义 ： 设 a， b是 两 条 异 面 直 线 ， 经 过 空 间
中 任 一 点 O 作 直 线 a // a， b // b， 把 a 与 b 所 成 的 ⑧ ______ 叫 做 异 面 直 线 a 与 b 所 成 的 角 ( 或 夹 角 )．
图形表示
四、两个平面的位置关系
位置关系 两平面平行 图示 表示法 ______ 公共点个数
__________ 公共点
有____个公共点， 且都在一条直线上
两 平 面 相 交
斜交
垂直
有____个公共点， 且都在一条直线上
五、等角定理 空间中如果两个角的两边分别对 应 平 行 ， 那 么 这 两 个 角 _______ .
2
5 2
a， B1 N 5 4 a
2
5 2
2
a，
3a 所 以 cos B1 DN
5 4 5
a 、平面的基本性质及公理 公 理 1： 如 果 一 条 直 线 上 的 ① _______ 在 一 个 平 面 内 ， 那么这条直线在这个平面内． 公 理 2： 过 ② ________________ 的 三 点 ， 有 且 只有一个平面． 公 理 3： 如 果 两 个 不 重 合 的 平 面 有 一 个 公 共 点 ， 那 么 它 们 ③ __________ 过 该 点 的 公 共 直 线 ． 公 理 4： 行 公 理 ) 平 行 于 ④ ______ ____ _ _ 的 两 (平 直线互相平行．
高中数学第1章立体几何初步1.2点、线、面之间的位置关系1.2.3第二课时直线与平面垂直高一数学
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直线与平面垂直的判定定理(dìnglǐ)的应用
如图，AB 是圆 O 的直径，PA 垂直于圆 O 所在平面，M 是圆周上任意一点，AN⊥PM，垂足为 N. 求证：AN⊥平面 PBM. (链接教材 P38T6)
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[证明] 设圆O所在平面为α，已知PA⊥α，且BM⊂α，∴PA⊥BM. 又∵AB为⊙O的直径，点M为圆周上一点(yī diǎn)， ∴AM⊥BM.由于直线PA∩AM＝A， ∴BM⊥平面PAM. 而AN⊂平面PAM，∴BM⊥AN. 又PM⊥AN，PM∩BM＝M，∴AN⊥平面PBM.
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解析：如图，连结 AC，则 AC＝ 2.又 PA⊥平面 ABCD，AC⊂ 平面 ABCD. ∴PA⊥AC，又已知 PA＝1， ∴在 Rt△PAC 中，PC＝ 3.
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4．正方体AC1中,直线AB1与平面AC所成的角等于_______．45° 解析(jiě xī)：如图所示，∵BB1⊥平面AC， ∴直线AB1在平面AC内的射影是AB， ∴∠B1AB是直线AB1与平面AC所成的角， ∵在Rt△B1AB中，BB1＝AB， ∴∠B1AB＝45°.
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3．如图，三棱锥 A－SBC 中，∠BSC＝90°，∠ASB＝∠ASC ＝60°，SA＝SB＝SC.求直线 AS 与平面 SBC 所成的角．
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解：因为∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC， 所以△ASB 与△SAC 都是等边三角形．因此，AB＝AC. 取 BC 的中点 D，连结 AD，SD， 则 AD⊥BC.设 SA＝a， 则在 Rt△SBC 中，BC＝ 2a，CD＝SD＝ 22a.在 Rt△ADC 中，
空间点、直线、平面之间的位置关系
[学透用活]
[典例 3] 以下四个命题中，正确的命题有( )
①在平面 α 内有两条直线和平面 β 平行，那么这两个平面
平行；
②在平面 α 内有无数条直线和平面 β 平行，那么这两个平
面平行；
③平面 α 内△ABC 的三个顶点在平面 β 的同一侧且到平面
β 的距离相等且不为 0，那么这两个平面平行；
D，因为直线 a 与平面 α 可能相交，此时只有一个公共点，
所以 D 错． 答案：C
题型三 平面与平面的位置关系 [思考探究] 观察下面的两个图：
(1)一楼、二楼的地面所在平面的位置关系是什么？ 提示：平行．
(2)房顶所在平面的位置关系是什么？ 提示：相交．
(3)怎样用图形表示两平面的位置关系？ 提示：①两平行平面的画法：画两平行的平面时要注意把表示 平面的两个平行四边形画成对应边平行． ②两相交平面的画法： 先画表示两个平面的平行四边形的相交两边，如图(1)． 再画表示两平面交线的线段，如图(2)． 再过图(1)中线段的端点分别画线段使它平行且等于(2)表示交 线的线段，如图(3)． 再画表示平面的平行四边形的其他边，如图(4)．
[对点练清]
1．在空间四边形 ABCD 中，E，F 分别为对角线 AC，BD 的
中点，则 BE 与 CF
()
A．平行
B．异面
C．相交
D．以上均有可能
解析：假设 BE 与 CF 是共面直线，设此平面为 α，则 E，F，
B，C∈α，所以 BF，CE⊂α，而 A∈CE，D∈BF，所以 A，
D∈α，即有 A，B，C，D∈α，与 ABCD 为空间四边形矛盾，
[对点练清] 在底面为正六边形的六棱柱中，互相平行的面视为一组，则共 有________组互相平行的面．与其中一个侧面相交的面共有 ________个． 解析：六棱柱的两个底面互相平行，每个侧面与其直接相对的 侧面平行，故共有 4 组互相平行的面．六棱柱共有 8 个面围成， 在其余的 7 个面中，与某个侧面平行的面有 1 个，其余 6 个面 与该侧面均为相交的关系． 答案：4 6
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点、线、面之间的位置关系知识易错点及例题合集最近许多高二的同学问必修二点线面之间的知识点，普遍感觉这块非常难学，小数老师今天整理了易错点和例题给大家，作为参考！[整合·网络构建][警示·易错提醒]1、不要随意推广平面几何中的结论平面几何中有些概念和性质，推广到空间中不一定成立．例如“过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直”、“垂直于同一条直线的两条直线平行”等性质在空间中就不成立．2、弄清楚空间点、线、面的位置关系解决这类问题的基本思路有两个：一是逐个寻找反例作出否定的判断或逐个进行逻辑证明作出肯定的判断；二是结合长方体模型或实际空间位置（如课桌、教室）作出判断，要注意定理应用准确、考虑问题全面细致。
3、不要忽略异面直线所成的角的范围求异面直线所成的角的时候，要注意它的取值范围是（0°，90°]。
两异面直线所成的角转化为一个三角形的内角时，容易忽略这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角．4、透彻理解直线与平面的关系直线与平面位置关系的分类要清晰，一种分法是直线在平面内与直线在平面外（包括直线与平面平行和相交）；另一种分法是直线与平面平行（无公共点）和直线与平面不平行（直线在平面内和直线与平面相交）。
5、使用判定定理时不要忽略条件应用直线与平面垂直的判定定理时，要熟记定理的应用条件，不能忽略“两条相交直线”这一关键点。
专题1共点、共线、共面问题（1）、证明共面问题证明共面问题，一般有两种证法：一是先由某些元素确定一个平面，再证明其余元素在这个平面内；二是先分别由不同元素确定若干个平面，再证明这些平面重合。
（2）、证明三点共线问题证明空间三点共线问题，通常证明这些点都在两个面的交线上，即先确定出某两点在某两个平面的交线上，再证明第三个点是两个平面的公共点，当然必在两个平面的交线上。
（3）、证明三线共点问题证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点，把问题转化为证明点在直线上的问题。
[例1]如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD 的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2，求证：（1）、E，F，G，H四点共面；（2）、EG与HF的交点在直线AC上。
证明：（1）、因为BG∶GC＝DH∶HC，所以GH∥BD。
又因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF∥BD，所以EF∥GH，所以E，F，G，H四点共面。
（2）、因为G，H不是BC，CD的中点，所以EF∥GH，且EF≠GH，所以EG 与FH必相交。
设交点为M，而EG⊂平面ABC，HF⊂平面ACD，所以M∈平面ABC，且M ∈平面ACD。
因为平面ABC∩平面ACD＝AC，所以M∈AC，即EG与HF的交点在直线AC 上。
归纳升华：证明共点、共线、共面问题的关键是合理地利用三个公理，做到合理、恰当地转化。
[变式训练]三个平面α，β，γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a和b不平行，求证：a，b，c三条直线必相交于同一点。
证明：如图所示，因为α∩γ＝b，β∩γ＝a，所以a⊂γ，b⊂γ。
因为直线a和b不平行，所以a，b必相交。
设α∩b＝P，则P ∈a，P ∈b，因为a ⊂β，b⊂α，所以P ∈β，P ∈α。
又α∩β＝c，所以P ∈c，所以a，b，c三条直线必相交于同一点。
专题2空间中的位置关系（1）、空间中两直线的位置关系：相交、平行、异面；（2）、空间中直线与平面的位置关系：直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交；（3）、两个平面的位置关系：平行、相交。
[例2]已知m，n表示两条不同直线，α表示平面。
下列说法正确的是（）A、若m∥α，n∥α，则m∥nB、若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC、若m⊥α，m⊥n，则n∥αD、若m∥α，m⊥n，则n⊥α解析：若m∥α，n∥α，则m，n可能平行、相交或异面，A错；若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任一直线，B正确；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，C错；若m∥α，m⊥n，则n与α可能相交，可能平行，也可能n⊂α，D错．答案：B归纳升华：若要否定一个结论，则只要举出一个反例即可；若要肯定一个结论，则需要进行严密的逻辑推理．[变式训练]下列命题正确的有（）①若一直线a与平面α内一直线b平行，则a∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③垂直于同一条直线的两条直线平行；④垂直于同一条直线的两个平面平行．A．0个B．1个C．2个D．3个解析：由a∥b，b⊂α，可得出a⊂α，或a∥α，①不正确．a⊄α有两种情况，即a∥α和a与α相交，②不正确．垂直于同一条直线的两条直线可能相交、平行或异面，③不正确．④正确．故选B。
答案：B专题3平行问题和垂直问题线线、线面、面面的平行与垂直是本章的重点，它包含了相关平行与垂直的证明，利用平行与垂直解决线、面等问题．其判定与性质之间并非孤立的，而是存在线线、线面、面面间平行与垂直关系的相互转化。
在高考中，常以解答题形式出现，其中线面平行和垂直是重中之重。
[例3]如图所示，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．求证：（1）、PA⊥底面ABCD；（2）、BE∥平面PAD；（3）、平面BEF⊥平面PCD。
证明：（1）、因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥底面ABCD。
（2）、因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE。
所以四边形ABED为平行四边形，所以BE∥AD。
又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BE∥平面PAD。
（3）、因为AB⊥AD，而且四边形ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD ⊥CD。
由（1），知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，所以CD⊥平面PAD，所以CD ⊥PD。
因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF，所以CD⊥EF。
又因为CD⊥BE，EF∩BE＝E，所以CD⊥平面BEF，所以平面BEF⊥平面PCD。
归纳升华1、平行关系的转化．面面平行的性质是线线平行的判定要判定某一平行的过程就是从一平行出发不断转化的过程，在解题时把握这一点，灵活确定转化的思想和方向2、垂直关系的转化．面面垂直的性质是线线垂直的判定在证明两平面垂直时一般从现有直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线不存在，则可通过作辅助线来解决．当有面面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，进一步转化为线线垂直．[变式训练]如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E。
求证：（1）、DE∥平面AA1C（2）、BC1⊥AB1证明：（1）、由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DE∥AC。
因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C。
（2）、因为棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，所以AC⊥CC1。
又AC⊥BC，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.。
因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C。
因为AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC。
又AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1。
专题4空间角的求解空间角一般指两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面所成的角．[例4]如图所示，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：（1）、AO与A′C′所成角的度数；（2）、AO与平面ABCD所成角的正切值；（3）、平面AOB与平面AOC所成角的度数。
解：（1）、因为A′C′∥AC，所以AO与A′C′所成的角就是∠OAC.因为OC⊥OB，AB⊥平面BC′，所以OC⊥AB且AB∩BO＝B.所以OC⊥平面ABO.又OA⊂平面ABO，所以OC⊥OA.在Rt△AOC中，OC＝，AC＝，sin∠OAC＝ACOC＝21，所以∠OAC＝30°，即AO与A′C′所成角的度数为30°。
（2）、如图所示，作OE⊥BC于点E，连接AE，因为平面BC′⊥平面ABCD，所以OE⊥平面ABCD，∠OAE为OA与平面ABCD所成的角。
在Rt△OAE中，OE＝21，（3）、因为OC⊥OA，OC⊥OB，所以OC⊥平面AOB。
又因为OC⊂平面AOC，所以平面AOB⊥平面AOC，即平面AOB与平面AOC 所成角的度数为90°。
归纳升华：求空间角的问题，无论哪种情况，最终都归结到两条相交直线所成的角的问题．求空间角的解题步骤：①找出这个角；②说明该角符合题意；③构造出含这个角的三角形，解三角形，求出角。
[变式训练]如图1所示，平面角为锐角的二面角αEFβ，A∈EF，AG⊂α，∠GAE＝45°，若AG与β所成角为30°，求二面角αEFβ的大小。
解：作GH⊥β于H，作HB⊥EF于B，连接GB，如图2.则GB⊥EF，∠GBH是二面角的平面角，又∠GAH是AG与β所成的角，专题5转化与化归思想在立体几何中的应用立体几何中最重要、最常用的思想就是转化与化归思想．（1）、线线、线面、面面的位置关系，通过转化，使它们建立联系，如面面平行、线面平行、线线平行、面面垂直、线面垂直、线线垂直等，有关线面位置关系的论证往往就是通过这种联系和转化得到解决的。
（2）、通过平移，将一些线面关系转化为平面内的线线关系，通过线面平行，将空间角最终转化为平面角，并构造三角形，借助于三角形的知识解决问题。
（3）、通过添加辅助线，将立体问题转化为平面问题。
[例5]如图1所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由。
解：当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD.证明如下：如图2，连接BD和AC交于点O，连接FO，那么PF＝21PB。
因为四边形ABCD是平行四边形，所以O是BD的中点，所以OF∥PD。
又OF⊄平面PMD，PD⊂平面PMD，所以OF∥平面PMD。
又AM綊21PB，所以PF綊MA，所以四边形AFPM是平行四边形，所以AF ∥PM。
又AF⊄平面PMD，PM⊂平面PMD，所以AF∥平面PMD。
又AF∩OF＝F，AF⊂平面AFC，OF⊂平面AFC，所以平面AFC∥平面PMD.归纳升华：证明垂直关系时，注意面面垂直、线面垂直与线线垂直的相互转化．一般地，面面垂直问题可转化为线面垂直问题，线面垂直问题可转化为线线垂直问题．[变式训练]在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，过E作EF⊥PB于点F。