复数知识点精心总结

复数知识点

考试内容：

复数的概念．

复数的加法和减法．

复数的乘法和除法．

数系的扩充．

考试要求：

（1）了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义．

（2）掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算．

（3）了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想．

1. ⑴复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=.

⑵复数及其相关概念：

①

复数—形如a + b i 的数（其中R b a ∈，）； ②

实数—当b = 0时的复数a + b i ，即a ； ③

虚数—当0≠b 时的复数a + b i ； ④

纯虚数—当a = 0且0≠b 时的复数a + b i ，即b i. ⑤

复数a + b i 的实部与虚部—a 叫做复数的实部，b 叫做虚部（注意a ，b 都是实数） ⑥ 复数集C —全体复数的集合，一般用字母C 表示.

⑶两个复数相等的定义：

00==⇔=+∈==⇔+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且. ⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.

注：①若21,z z 为复数，则 1若021 z z +，则21z z - .（×）[21,z z 为复数，而不是实数]

2若21z z ，则021 z z -.（√）

②若C c b a ∈,,，则0)()()(222=-+-+-a c c b b a 是c b a ==的必要不充分条件.（当22)(i b a =-，

0)(,1)(22=-=-a c c b 时，上式成立）

2. ⑴复平面内的两点间距离公式：21z z d -=.

其中21z z ，是复平面内的两点21z z 和所对应的复数，21z z d 和表示间的距离. 由上可得：复平面内以0z 为圆心，r 为半径的圆的复数方程：）（00 r r z z =-. ⑵曲线方程的复数形式： ①00z r z z 表示以=-为圆心，r 为半径的圆的方程. ②21z z z z -=-表示线段21z z 的垂直平分线的方程. ③212121202Z Z z z a a a z z z z ，）表示以且（ =-+-为焦点，长半轴长为a 的椭圆的方程（若212z z a =，此方程表示线段21Z Z ，）. ④），（2121202z z a a z z z z =---表示以21Z Z ，为焦点，实半轴长为a 的双曲线方程（若212z z a =，此方程表示两条射线）.

⑶绝对值不等式：

设21z z ，是不等于零的复数，则 ①212121z z z z z z +≤+≤-.

左边取等号的条件是），且（012 λλλR z z ∈=，右边取等号的条件是

）

，（012 λλλR z z ∈=. ②212121z z z z z z +≤-≤-.

左边取等号的条件是），（012 λλλR z z ∈=，右边取等号的条件是

）

，（012 λλλR z z ∈=. 注：n n n A A A A A A A A A A 11433221=++++- .

3. 共轭复数的性质：

z z = 2121z z z z +=+ a z z 2=+，i 2b z z =-（=z a + b i ） 22||||z z z z ==⋅

2121z z z z -=- 2121z z z z ⋅=⋅

2121z z z z =⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛（02≠z ） n n z z )(= 注：两个共轭复数之差是纯虚数. （×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的] 4 ⑴①复数的乘方：)(...+∈⋅⋅=N n z z z z z n

n

②对任何z ，21,z z C ∈及+∈N n m ,有

③n n n n m n m n m n m z z z z z z z z z 2121)(,)(,⋅=⋅==⋅⋅+

注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如1,142=-=i i 若由11)(212142===i i 就会得到11=-的错误结论.

②在实数集成立的2||x x =. 当x 为虚数时，2||x x ≠，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.

⑵常用的结论：

1,,1,,143424142=-=-==-=+++n n n n i i i i i i i

)(,0321Z n i i i i n n n n ∈=++++++

i i

i i i i i i -=+-=-+±=±11,11,2)1(2 若ω是1的立方虚数根，即i 2321±-=ω，则 . 5. ⑴复数z 是实数及纯虚数的充要条件： ①z z R z =⇔∈.

②若0≠z ，z 是纯虚数0=+⇔z z .

⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表

)(0,01,1

,,121223Z n n n n ∈=++=++===++ωωωωωωωωωω

示同一复数. 特例：零向量的方向是任意的，其模为零. 注：||||z z =.

6. ⑴复数的三角形式：)sin (cos θθi r z +=.

辐角主值：θ适合于0≤θ＜π2的值，记作z arg .

注：①z 为零时，z arg 可取)2,0[π内任意值.

②辐角是多值的，都相差2π的整数倍.

③设,+∈R a 则πππ2

3)arg(,2arg ,)arg(,0arg =-=

=-=ai ai a a . ⑵复数的代数形式与三角形式的互化：

)sin (cos θθi r bi a +=+，22b a r +=，r b r a ==θθsin ,cos . ⑶几类三角式的标准形式：

)]sin()[cos()sin (cos θθθϑ-+-=-i r i r

)]sin()[cos()sin (cos θπθπθθ+++=+-i r i r

)]sin()[cos()sin cos (θπθπθθ-+-=+-i r i r

)]2sin()2[cos()cos (sin θπ

θπ

θθ-+-=+i r i r

7. 复数集中解一元二次方程：

在复数集内解关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 时，应注意下述问题：

①当R c b a ∈,,时，若∆＞0，则有二不等实数根a b x 22,1∆±-=

；若∆=0，则有二相等实数根a

b x 22,1-=；若∆＜0，则有二相等复数根a i b x 2||2,1∆±-=（2,1x 为共轭复数）. ②当

c b a ,,不全为实数时，不能用∆方程根的情况.

③不论c b a ,,为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.

8. 复数的三角形式运算：

)]sin()[cos()sin (cos )sin (cos 212121222211θθθθθθθθ+++=+⋅+i r r i r i r )]sin()[cos()sin (cos )sin (cos 21212

1222211θθθθθθθθ-+-=++i r r i r i r