青岛市历年中考数学23题汇总

青岛市中考数学23题汇编

1.(07年中考)提出问题：如图①，在四边形ABCD 中，P 是AD 边上任意一点，PBC ∆与ABC ∆和DBC ∆的面积之间有什么关系？

探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手: ⑴当12

AP AD =时(如图②)：

1,2

AP AD ABP =∆和ABD ∆的高相等，

12

ABP ABD S S ∆∆∴=.

1,2

PD AD AP AD CDP =-=∆和CDA ∆的高相等，

12

CDP CDA S S ∆∆∴=

()()11 2211 22

11 22PBC ABP CDP

ABCD ABD CDA

ABCD DBC ABC ABCD ABCD ABCD DBC ABC

S S S S S S S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∴=--=--=----=+四边形四边形四边形四边形四边形⑵当13AP AD =时，探求PBC S ∆与ABC S ∆和

DBC S ∆之间的关系，写出求解过程；

⑶当16

AP AD

=

时，PBC S ∆与ABC S ∆和DBC S ∆之间的关系式为：__________________________； ⑷一般的，当1AP AD

n

=(n 表示正整数)时，探求PBC S ∆与ABC S ∆和DBC S ∆之间的关系,写出求解过程； 问题解决：当m AP AD n =(01

m n

≤≤)时，PBC S ∆与ABC S ∆和DBC S ∆之间的关系式为:__________________.

图①

图②

2. (08年中考)实际问题：某学校共有18个教学班，每班的学生数都是40人.为了解学生课余时间上网情况，学校打算做一次抽样调查，如果要确保全校抽取出来的学生中至少有10人在同一班级，那么全校最少需要抽取多少名学生？ 建立模型：为解决上面的“实际问题”，我们先建立并研究下面从口袋中摸球的数学模型.

在不透明的口袋中装有红、黄、白三种颜色的小球各20个(除颜色外完全相同)，现要确保从口袋中随机摸出的小球至少有10个是同色的，则最少需要摸出多少个小球？

为了找到解决问题的办法，我们可以把上述问题简单化，

⑴我们首先考虑最简单的情况：即要确保从口袋中摸出的小球至少有2个是同色的，则最少需摸出多少个小球？

假若从袋中随机摸出3个小球，它们的颜色可能会出现多种情况，其中最不利的情况就是它们的颜色各不相同，那么只需再从袋中摸出1个小球就可确保至少有2个小球同色，即最少需摸出的小球的个数是：134+=(如图①)； ⑵若要确保从口袋中摸出的小球至少有3个是同色的呢？

我们只需在⑴的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有3个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：1327+⨯=(如图②)；

⑶若要确保从口袋中摸出的小球至少有4个是同色的呢？

我们只需在⑵的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可以确保至少有4个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：13310+⨯=(如图③)； ……

⑽若要确保从口袋中摸出的小球至少有10个是同色的呢？

我们只需在⑼的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可以确保至少有10个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：

()1310128+⨯-=(如图⑩).

模型拓展一：在不透明的口袋中装有红、黄、白、蓝、绿五种颜色的小球各20个(除颜色外完全相同)，现从袋中随机摸球：

⑴若要确保摸出的小球至少有2个同色，则最少需摸出小球的个数是___________________； ⑵若要确保摸出的小球至少有10个同色，则最少需摸出小球的个数是___________________； ⑶若要确保摸出的小球至少有n 个同色(n <20)，则最少需摸出小球的个数是___________________.

模型拓展二：在不透明的口袋中装有m 种颜色的小球各20个(除颜色外完全相同)，现从袋中随机摸球： ⑴若要确保摸出的小球至少有2个同色，则最少需摸出小球的个数是___________________； ⑵若要确保摸出的小球至少有n 个同色(n <20)，则最少需摸出小球的个数是___________________. 问题解决：⑴请把本题中的“实际问题”转化为一个从口袋中摸球的数学模型；

⑵根据⑴中建立的数学模型，求出全校最少需要抽取多少名学生.

图①

图②

…

图③

9图⑩

3. (09年中考)我们在解决数学问题时，经常采用“转化”(或“化归”)的思想方法，把待解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已解决或比较容易解决的问题.

譬如在学习一元一次方程的解法以后，进一步研究二元一次方程组的解法时，我们通常采用“消元”的方法，把二元一次方程组转化为一元一次方程；再譬如，在学习了三角形内角和定理以后，进一步研究多边形的内角和问题时，我们通常借助添加辅助线，把多边形转化为三角形，从而解决问题. 问题提出：如何把一个正方形分割成n (9n ≥)个小正方形？ 为解决上面问题，我们先来研究两种简单的“基本分割法”.

基本分割法1：如图①，把一个正方形分割成4个小正方形，即在原来1个正方形的基础上增加了3个正方形. 基本分割法2：如图②，把一个正方形分割成6个小正方形，即在原来1个正方形的基础上增加了5个正方形.

问题解决：有了上述两种“基本分割法”后，我们就可以把一个正方形分割成n (9n ≥)个小正方形. ⑴把一个正方形分割成9个小正方形.

一种方法：如图③，把图①中的任意1个小正方形按“基本分割法2”进行分割，就可增加5个小正方形，从而分割成4+5=9(个)小正方形.

另一种方法：如图④，把图②中的任意1个小正方形按“基本分割法1”进行分割，就可增加3个小正方形，从而分割成6+3=9(个)小正方形.

⑵把一个正方形分割成10个小正方形.

方法：如图⑤，把图①中的任意2个小正方形按“基本分割法1”进行分割，就可增加3×2个小正方形，从而分割成4+3×2=10(个)小正方形.

⑶请你参照上述分割方法，把图⑥给出的正方形分割成11个小正方形(用钢笔或圆珠笔画出草图即可，不用说明分割方法).

⑷把一个正方形分割成n (9n ≥)个小正方形. 方法：通过“基本分割法1”“基本分割法2”或其组合把一个正方形分割成9个、10个、11个小正方形，再在此基础上每使用1次“基本分割法1”，就可增加3个小正方形，从而把一个正方形分割成12个、13个、14个小正方形，以此类推，即可把一个正方形分割成n (9n ≥)个小正方形.

从上面的方法可以看出，解决问题的关键就是找到两种基本分割法，然后通过这两种基本分割法或其组合把正方形分割成n (9n ≥)个小正方形.

类比应用：仿照上面的方法，我们可以把一个正三角形分割成n (9n ≥)个小正三角形. ⑴基本分割法1：把一个正三角形分割成4个小正三角形(请你在图a 中画出草图). ⑵基本分割法2：把一个正三角形分割成6个小正三角形(请你在图b 中画出草图).

⑶分别把图c 、图d 和图e 种的正三角形分割成9个、10个和11个小正三角形(用钢笔或圆珠笔画出草图即可，不用说明分割方法).

⑷请你写出把一个正三角形分割成n (9n ≥)个小正三角形的分割方法(只写出分割方法，不用画图). 答：

图⑥ 图① 图② 图④ 图⑤ 图③ 图a 图b 图c 图e

图d