二元一次方程组的解法(代入法)
初中数学知识点二元一次方程的解法
初中数学知识点二元一次方程的解法二元一次方程是初中数学中的重要知识点之一，解二元一次方程的方法有多种。
本文将介绍三种常用的解法，分别是图像法、代入法和消元法。
1. 图像法图像法是一种直观的解方程方法，适用于解二元一次方程组。
我们可以将二元一次方程组的解看作是两个直线的交点坐标。
例如，考虑下面的方程组：2x + 3y = 73x - y = 5我们可以将这两个方程转化为两个直线的方程，绘制出它们的图像。
通过观察两个直线的交点，我们可以得到方程组的解。
2. 代入法代入法是一种常用的解二元一次方程的方法。
该方法适用于含有一个未知数的方程，可以将一个方程的解代入到另一个方程中，得到另一个只含有一个未知数的方程，然后解得该未知数的值，进而求得另一个未知数的值。
例如，考虑下面的方程组：2x + y = 53x - 2y = 8可以解得其中一个未知数，例如令 y = 5 - 2x，将其代入到第二个方程中，则得到3x - 2(5 - 2x) = 8，整理后得到7x = 18，解得 x = 18/7。
然后将 x 的值代入到第一个方程中，得到2(18/7) + y = 5，整理后得到y = 11/7，解得 y = 11/7。
3. 消元法消元法是一种通过加减运算来求解二元一次方程组的方法。
通过合理地调整两个方程的系数，使得其中一个未知数的系数相等或相反，然后相加或相减得到一个只含有一个未知数的方程，进而解得这个未知数的值，再带入另一个方程求得另一个未知数的值。
例如，考虑下面的方程组：2x + 3y = 73x - 2y = 8可以通过调整两个方程的系数，使得其中一个未知数的系数相等或相反。
这里我们可以将第一个方程的系数调整为6，将第二个方程的系数调整为-6，即得到：6(2x + 3y) = 6(7)-6(3x - 2y) = -6(8)整理后得到：12x + 18y = 42-18x + 12y = -48将两个方程相加，得到：-6x + 30y = -6解方程-6x + 30y = -6，可以得到 x 的值为 1。
二元一次方程组的解法
二元一次方程组的解法在代数学中，二元一次方程组是由两个未知数和两个方程组成的方程组。
解决这种方程组的方法有很多种，下面将介绍其中三种常见的解法。
方法一：代入法代入法是一种比较简单直观的解二元一次方程组的方法。
假设有如下二元一次方程组：{ Equation1{ Equation2首先将其中一个方程（不妨设为方程1）的其中一个未知数表示为另一个未知数的函数，然后代入另一个方程（方程2）中消去这个未知数，从而得到一个只包含一个未知数的一次方程。
例如，假设方程组为：{ 2x + 3y = 7 Equation1{ 5x - y = 1 Equation2我们可以通过将方程2中y表示为x的函数（y = 5x - 1），将其代入方程1中，得到：2x + 3(5x - 1) = 7然后将这个一次方程化简，求解得到x的值。
将x的值代入方程2中，即可得到y的值。
最终得到方程组的解。
方法二：消元法消元法是解二元一次方程组的常用方法之一。
它通过逐步消去一个未知数，将方程组化为只含有一个未知数的一次方程，然后求解得到解。
例如，假设方程组为：{ 2x + 3y = 7 Equation1{ 5x - y = 1 Equation2我们可以通过将方程1乘以5，将方程2乘以2，然后将两个方程相减，消去y的系数，得到一个只含有x的一次方程：10x + 15y = 3510x - 2y = 2--------------17y = 33通过化简这个一次方程，求解得到y的值。
将y的值代入方程1或方程2中，即可得到x的值。
最终得到方程组的解。
方法三：Cramer法则Cramer法则是一种基于行列式的解二元一次方程组的方法。
假设有如下二元一次方程组：{ Equation1{ Equation2首先计算系数矩阵A的行列式值D，然后在D中用方程组右边的常数项替换掉A的某一列，得到矩阵Dx。
同理，用方程组右边的常数项替换掉A的另一列，得到矩阵Dy。
《二元一次方程组的解法(代入法)》教学评点
二元一次方程组的解法（代入法）教学评点引言在初中数学的学习过程中，解一元一次方程组已经成为了一个基本技能。
而解二元一次方程组则是更进一步的内容。
其中，代入法是解二元一次方程组最常用的一种方法之一。
本文将从教学评点的角度，对二元一次方程组的解法中的代入法进行分析和评价。
一、简明扼要•名称：二元一次方程组的解法（代入法）•目标学生：初中学生，如七年级或八年级的学生•内容概述：本教学内容主要介绍了二元一次方程组的解法中的代入法。
通过具体的例子和解题步骤的讲解，引导学生掌握代入法的基本思路和应用方法。
二、优点评价1. 简单易懂代入法作为解二元一次方程组的一种方法，与其他方法相比，具有简单易懂的特点。
学生只需要将其中一个方程中的变量用另一个方程中相同的变量代替，然后进行方程的简化和计算，即可求得解。
相比于消元法和等式法，代入法更直观，学生容易接受和理解。
2. 直接实用代入法在解决实际问题中具有广泛的应用。
许多实际问题可以用二元一次方程组来表示，而代入法正是解决这些问题的有效方法之一。
因此，通过学习代入法，学生可以更好地理解并解决与二元一次方程组相关的实际问题，提高数学应用能力。
3. 引导学生形成问题意识在代入法的教学过程中，教师可以设计一些具体的实际问题，引导学生自主思考和解决。
通过实际问题的引导，学生可以逐渐形成对问题的敏感性和思考能力，培养其解决问题的能力和兴趣。
4. 与其他解法互补在二元一次方程组的解法中，代入法与其他解法（如消元法和等式法）相互补充。
通过综合运用不同的解法，学生可以更全面地理解和掌握解法的特点和应用。
同时，代入法也为学生提供了一种备选的解题思路，方便学生在解决问题时灵活选择。
三、不足改进1. 局限性代入法解二元一次方程组的基本思路是将其中一个方程作为目标方程，然后将另一个方程中的变量用目标方程中的变量代替，从而得到一个只包含一个未知数的方程。
这个方法对于一些特殊的二元一次方程组可能不适用，或者解的过程会比较冗长。
二元一次方程组解法-代入法练习题
二元一次方程组解法（一）—-代入法（基础）巩固练习【巩固练习】一、选择题1．用代入消元法解方程组323211x yx y-=⎧⎨+=⎩①②代入消元法正确的是（)。
A ．由①②得y ＝3x+2，代入②,得3x＝11—2(3x+2）B．由②得1123yx-=,代入①，得11231123yy-=-C．由①得23yx-=，代入②，得2—y＝11—2yD．由②得3x＝11-2y，代入①，得11-2y-y＝22．用代入法解方程组34225x yx y+=⎧⎨-=⎩①②使得代入后化简比较容易的变形是（）.A．由①得243yx-=B．由①得234xy-=C．由②得52yx+=D．由②得y＝2x-53．对于方程3x—2y—1＝0，用含y的代数式表示x,应是（）。
A．1(31)2y x=-B．312xy+=C．1(21)3x y=-D．213yx+=4．已知x+3y＝0，则3232y xy x+-的值为（).A．13B．13-C．3 D．—35.一副三角板按如图摆放,∠1的度数比∠2的度数大50°，若设，，则可得到方程组为（）.A. B.C。
D.6．已知21x y =⎧⎨=⎩是二元一次方程组71ax by ax by +=⎧⎨-=⎩的解．则a -b 的值为（ ）。
A ．-1B ．1C ．2D ．3二、填空题7．解方程组523,61,x y x y +=⎧⎨-=⎩①②若用代入法解,最好是对方程________变形,用含_______的代数式表示________．8．如果-x+3y ＝5,那么7+x -3y ＝________．9．方程组525x y x y =+⎧⎨-=⎩的解满足方程x+y —a ＝0，那么a 的值是________． 10。
若方程3x -13y ＝12的解也是x -3y ＝2的解,则x ＝________，y ＝_______． 11.小刚解出了方程组332x y x y -=⎧⎨+=⎩▲的解为4x y =⎧⎨=⎩▉,因不小心滴上了两滴墨水，刚好盖住了方程组中的一个数和解中的一个数，则▲＝________，▇＝________。
二元一次方程组的解法导学案(代入法、加减消元法)
4
鸡西市第十九中学初二数学组
鸡西市第十九中学学案
班级 姓名
学科 时间 学习 目标 重点 难点
二元一次方程组的解法 课型 （二）---加减法 1 2012 年 月 日 人教版 1、了解解二元一次方程组的基本思路； 2、了解加减消元法并能用加减消元法解二元一次方程组 能用加减消元法解二元一次方程组。 掌握在什么情况下用加法消元，什么情况下用减法消元。
y 2 x 1, （3） 7 x 3 y 1;
3x 4 y, （4） x 2 y 5;
4 x 2 y 4, （5） 2 x y 2;
x 2 y 4, （6） 2 x y 28.
【当堂训练】
2
鸡西市第十九中学初二数学组
第二步
① ②
的系数是 1，用含 y 的式子表示 x ，比较简便。 ） ③
第一步
解这个方程，得 y = 把 y = 代入③，得
第三步
第四步
1
鸡西市第十九中学初二数学组
所以这个方程的解是
第五步
练习： 用代入消元法解下列二元一次方程组
{ (1)
2 x y 13 7 x 5 y 20
y {3 xx 5 3 27 (2) 6 y
-a2 的值．
3 x ay 16, x 7, 3． （创新题）如果关于 x，y 的二元一次方程组 的解是 ， 2 x by 15 y 1.
求关于 x，y 的方程组的解：
3( x y ) a( x y ) 16, （1） 2( x y ) b( x y ) 15;
x 3 y 10, 1．用代入法解方程组 较简便的步骤是： 3x 5 y 2.
二元一次方程组的解法(代入消元法)教学设计
7．2二元一次方程组的解法（代入消元法）教学设计一、教学内容：初中数学华东师大2011课标版七年级下册第七章第二节二元一次方程组的解法。
二、教学目标1、使学生通过探求二元一次方程组的解法，经历把“二元”转化为“一元”的过程，从而初步体会消元的思想；2、了解把“未知”转化为“已知”，把复杂问题转化为简单问题的化归思想。
三、教学重难点：重点：用代入消元法解二元一次方程组的解题步骤；难点：如何正确消元。
四、教具、学具准备：教具：课件、电脑投影、导学案等；学具：签字笔、草稿纸、课本等。
五、设计理念这一堂课的学习目标是“探索二元一次方程组的解法”，通过学生身边熟悉的事情，建构“问题情境”，使学生感受到问题是“现实的、有意义的、富有挑战性的”，让学生在不自觉中走进自己的“最近发展区”，愉悦地接受教学活动．这是我备课时的设计意图。
六、教学流程（一）创设情境上课一开始，我就把学生学过的、熟悉的问题提出来，引导学生解答，说：“同学们，在生活中，我们时常遇到这样的问题，你能用前面我们学过的知识解决这个问题吗？问题1：小明到商店购买签字笔和作业本，签字笔价格是作业本价格的2倍，小明购买一支笔和一个作业本共花了6元钱，请你算一算签字笔和作业本的价格分别是多少元？学生活动：独立完成问题1的解答教师活动：通过巡视，发现问题的解答有可能会出现两种，一种是列一元一次方程解，另一种是列二元一次方程解，分别让学生将两种解法写在黑板上。
师：“同学们，黑板上两位同学用了不同的方法来解决这个问题，你认为哪一种方法是正确的呢？那我想请一位同学来说一说这两种方法分别是用到了前面我们学过的什么知识？那列出来的这个二元一次方程组和这个一元一次方程有没有什么联系呢，我们又该如何求解呢？这就是今天我们要一起探讨的内容，请同学们翻开书27页，并熟悉本节课的学习目标。
设计意图：当学生看到自己所学的知识与“现实世界”息息相关时，学习通常会更主动。
“与其拉马喝水，不如让它口渴”。
七年级数学 二元一次方程组解法-代入法 习题及答案
二元一次方程组解法-代入法一、选择题1．利用代入消元法解方程组，下列做法正确的是（）A．由①得x= B．由①得y=C．由②得y= D．由②得y=2．小亮解方程组的解为，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，则这两个数分别为（）A．4和6 B．6和4 C．2和8 D．8和﹣23．对于方程3x-2y-1＝0，用含y的代数式表示x，应是（）.A．1(31)2y x=- B．312xy+= C．1(21)3x y=- D．213yx+=4．已知x+3y＝0，则3232y xy x+-的值为（）.A．13B．13- C．3 D．-35.一副三角板按如图摆放，∠1的度数比∠2的度数大50°，若设，，则可得到方程组为( ) .A. B. C. D.6．已知21xy=⎧⎨=⎩是二元一次方程组71ax byax by+=⎧⎨-=⎩的解．则a-b的值为（）.A．-1 B．1 C．2 D．3 二、填空题7．解方程组523,61,x yx y+=⎧⎨-=⎩①②若用代入法解，最好是对方程________变形，用含_______的代数式表示________．8．二元一次方程组的解是．9．方程组525x yx y=+⎧⎨-=⎩的解满足方程x+y-a＝0，那么a的值是________．10.若方程3x-13y＝12的解也是x-3y＝2的解，则x＝________，y＝_______．11.方程组的解是．12.三年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍，三年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍，则父亲现在的年龄是________岁，儿子现在的年龄是________岁．三、解答题13．用代入法解下列方程组：(1)52233x yx y-=-⎧⎨+=⎩①②(2)233511x yx y+=⎧⎨-=⎩①②14．小明在解方程组时，遇到了困难，你能根据他的解题过程，帮他找出原因吗？并求出原方程组的解．解方程组123761x yx y-=⎧⎨+=⎩①②解：由②，得y＝1-6x ③将③代入②，得6x+(1-6x)＝1（由于x消元，无法继续）15．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y=6的解，求k 的值．【答案与解析】一、选择题1.【答案】B；【解析】解：由①得，2x=6﹣3y，x=；3y=6﹣2x，y=；由②得，5x=2+3y，x=，3y=5x ﹣2，y=．故选B ．2.【答案】D ．【解析】∵x=5是方程组的解，∴2×5﹣y=12，∴y=﹣2，∴2x+y=2×5﹣2=8，∴●是8，★是﹣2．故选D ．3. 【答案】D ；【解析】移项，得321x y =+，系数化1得213y x +=. 4. 【答案】B ；【解析】由x+3y ＝0得3y ＝﹣x ，代入32213223y x x x y x x x +-+==----. 5. 【答案】D ；6. 【答案】A ；【解析】将21x y =⎧⎨=⎩代入71ax by ax by +=⎧⎨-=⎩得2721a b a b +=⎧⎨-=⎩，解得23a b =⎧⎨=⎩.二、填空题7. 【答案】②； x ， y ；8. 【答案】； 【解析】解：，把①代入②得：x+2x=3，即x=1，把x=1代入①得：y=2，则方程组的解为，故答案为：9. 【答案】-5； 【解析】由525x y x y =+⎧⎨-=⎩解得05x y =⎧⎨=-⎩，代入 x+y-a ＝0，得a ＝-5. 10．【答案】﹣2.5，﹣1.5；【解析】联立方程组3131232x y x y -=⎧⎨-=⎩，解得 2.51.5x y =-⎧⎨=-⎩. 11.【答案】.12.【答案】51，15；【解析】设父亲现在的年龄是x 岁，儿子现在的年龄是y ．由题意得：34(3)33(3)x y x y -=-⎧⎨+=+⎩，解得5115x y =⎧⎨=⎩. 三、解答题13.【解析】解： (1)由②得x ＝3-3y ③，将③代入①得，5(3-3y)-2y ＝-2，解得y ＝1，将y ＝1代入③得x ＝0，故01x y =⎧⎨=⎩． (2)由①得y ＝3-2x ③，将③代入②得，3x-5(3-2x)＝11，解得x ＝2，将x ＝2代入③得y ＝-1，故21x y =⎧⎨=-⎩． 14.【解析】解：无法继续的原因是变形所得的③应该代入①，不可代入②．由②，得y ＝1-6x ③，将③代入①，得12x-3(1-6x)＝7． 解得13x =，将13x =代入③，得y ＝-1．所以原方程组的解为131x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩． 15.【解析】解：由方程组得：∵此方程组的解也是方程2x+3y=6的解∴2×7k+3×（﹣2k ）=6k=．。
二元一次方程怎么解 详细过程
二元一次方程怎么解详细过程
二元一次方程的解法：代入消元法
例题：
{x-y=3 ①
{3x-8y=4②
由①得x=y+3③
③代入②得
3（y+3)-8y=4
y=1
把y=1带入③
得x=4
则：这个二元一次方程组的解为
x=4
y=1
代入消元法的知识点：
1、选取一个系数较简单的二元一次方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数；
2、将变形后的方程代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程(在代入时，要注意不能代入原方程，只能代入另一个没有变形的方程中，以达到消元的目的)；
3、解这个一元一次方程，求出未知数的值；
4、将求得的未知数的值代入变形后的方程中，求出另一个未知数的值；
5、用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解；
6、最后检验(代入原方程组中进行检验，方程是否满足左边=右边)。
初中数学：二元一次方程组的几种简便解法
初中数学：二元一次方程组的几种简便解法1、整体代入法整体代入法是用含未知数的表达式代入方程进行消元．有些方程组并不一定能直接应用这种解法，不过，我们可以创造条件进行整体代入．解析：这道题中的系数较繁，按常规方法去解比较麻烦．我们可以先将②式有目的地进行变形，再将①式中的看成一个整体代入求解．由②式可得．化简，得．③将①代入③，得．解得，代入①可得．故方程组的解为2、换元法换元法就是设出一个辅助未知数，分别用含有这个未知数的代数式表示原方程组中未知数的值，把二元一次方程组转化为一元一次方程组进行求解．换元有一定的技巧性．有代数式整体换元，还有设比值换元等多种方法，下面举例说明．解析：我们可以分别尝试整体换元和设比值换元．方法１：设，则．代入②，得．解得．从而可得方程组的解为方法２：设．由①得，所以．③由②得．④③÷④，得．解得．从而可得3、直接加减法直接加减法有别于课本中的加减消元法，它通过将方程组中的方程相加减后把较繁的题目转化得相对简单．解析：若用一般方法去解这个方程组，其复杂程度可想而知，我们采用直接加减法．①＋②，得，即．③①－②，得．④由③④可得4、消常数项法解析：可将两式消去常数项，直接得到与的关系式，而后代入消元．①－②，得，即．将代入②，得，即．从而可得5、相乘保留法解析：去分母时，如果把两数相乘得出结果，不仅数值变大，而且给下面的解题过程带来麻烦，所以有时我们暂时保留相乘的形式．由①，得．③由②，得．④④－③，得．从而可得6、科学记数法当方程组中出现比较大的数字时，可用科学记数法简写．例６、解方程组解析：这个数比较大，可用科学记数法写成．由②，可得．③将①代入③，得．从而可得7、系数化整法若方程组中含有小数系数，一般要将小数系数化为整数，便于运算．解析：利用等式的性质，把①式变形为．③利用分子、分母相除，把②式变形为．④③－④，得．从而可得8、对称法例８、解方程组解析：这个方程组是对称方程组，其特点是把某一个方程中的互换即可得到另一个方程．由对称性可知，则可得解得9、拆数法例９、解方程组解析：我们可以有目的地将常数项进行变形，通过观察得出方程组的解．原方程组可变形为从而可得。
二元一次方程组的解法(一)代入法
二元一次方程组的解法（一）——代入法一、知识互动1、消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为熟悉的一元一次方程，我们就可以先解出一个未知数，然后再设法求另一个未知数。
这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想。
2、代入法：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。
这种方法叫做代入消元法，简称代入法。
3、用代入法解二元一次方程组的一般步骤：（1）从方程组中选一个系数较简单的方程，将这个方程中一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来；（2）把变形后的方程代入另一个方程，得到一个一元一次方程；（3）解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；（4）把求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值；（5）写出方程组的解。
4、热身：把方程872=-y x （1）写成用含x 的代数式表示y 的形式； 7872-=x y （2）写成用含y 的代数式表示x 的形式。
427+=y x二、例题讲解例1 用代入法解二元一次方程组（1）⎩⎨⎧=+=+1341632y x y x （2）⎪⎩⎪⎨⎧=+=-142732y x y x 解：⎩⎨⎧==25y x ⎩⎨⎧-==610y x例2 用整体代入法解二元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+11)1(2231y x y x 解：⎩⎨⎧==15y x例3 甲、乙两人同求方程7=-by ax 的整数解，甲求出的一组解为⎩⎨⎧==43y x ，而乙把7=-by ax 中的7错看成1，求出一组解为⎩⎨⎧==21y x ，求a 、b 的值。
解：将解代入得⎩⎨⎧=-=-12743b a b a ，解得⎩⎨⎧==25b a三、课堂检测 1、用代入法解方程组⎩⎨⎧=--=421y x x y 代入正确的是（ C ） A 、42=--x x B 、422=--x xC 、422=+-x xD 、42=+-x x2、用代入法解方程组⎩⎨⎧=-=+)2(,52)1(,243y x y x 下列变形中，化简较容易的是（ D ）A 、由（1），得342yx -= B 、由（1），得432xy -=C 、由（2），得25+=y x D 、由（2），得52-=x y2、若关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=+=-n my x my x 2的解是⎩⎨⎧==12y x ，则n m -为（ D）A 、1B 、3C 、5D 、24、用代入法解二元一次方程组：（1）⎩⎨⎧+==+173x y y x （2）⎩⎨⎧=-=+3252y x y x （3）⎩⎨⎧=+=+743725y x y x解：⎩⎨⎧==21y x ⎩⎨⎧==11y x ⎩⎨⎧==11y x5、用整体代入法解二元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--=--yx y x 211)3(2032)3( 解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==1011548y x6、如果573+n m b a 与m n b a 4218--是同类项，求n m -的值。
二元一次方程组的解法
二元一次方程组的解法二元一次方程组是指包含两个未知数的一组线性方程，可以表示成如下形式：```ax + by = cdx + ey = f```其中，a、b、c、d、e、f为已知常数。
解二元一次方程组的方法有数种，下面将介绍几种常见的解法。
1. 消元法消元法是解二元一次方程组的常用方法之一。
其基本思想是通过将一个方程的系数乘以另一个方程的某个倍数，使得两个方程之间的系数相等而得到一个新的方程，从而消去其中一个未知数。
假设给定的二元一次方程组为：```ax + by = c (1)dx + ey = f (2)```1) 首先选择一个系数相等的方程，比如两个方程中x的系数：```a/d = b/e = k```2) 将方程(2)的x系数变为ka，并减去方程(1)的相应部分，得到新的方程：```(ka * dx + ka * ey) - (ax + by) = (ka * f) - (c)(kad-kadx) + (kabe-by) = kaf - c-kadx + kabe - by = kaf - c```3) 然后重新整理方程，消去未知数x，得到一个只包含未知数y的方程：```(y * (ka-b)) = (kaf - c - kad)```4) 最后求解方程，得到y的值。
将y的值代入方程(1)或方程(2)，即可求得x的值。
2. 代入法代入法是另一种常用的解二元一次方程组的方法。
其基本思想是通过将一个方程的一个未知数表示为另一个方程的未知数的函数形式，然后代入到另一个方程中进行求解。
假设给定的二元一次方程组为：```ax + by = c (1)dx + ey = f (2)```1) 选择其中一个方程，将其未知数表示为另一个方程的未知数的函数形式。
比如，将方程(1)中的x表示为方程(2)中的未知数：```x = (f - ey)/d```2) 将上述表达式代入方程(1)，得到一个只包含一个未知数y的方程：```a * ((f - ey)/d) + by = c```3) 再次整理方程，求解未知数y的值。
二元一次方程的解法---代入法
X+Y=17
① ②
解法
5X+3Y=75
解： 由①，得
Y=17-X ③ 把③代入②，得 5X+3（17-X）=75 5X+51-3X=75 2X=24 X=12 把X=12代入方程①，得 Y=5 所以原方程组的解为 X=12 Y=5
基本思路
二元一次方程组
消元
一元一次方程
代入法（代入消元法）
将方程组中一个方程的某个未知数用含有 另一个未知数的代数式表示出来，代入另一 个方程中，消去一个未知数，得到一元一次 方程，最后求得方程组的解。
A 由①得 C 由②得
B 由①得Y=
D 由②得 Y=2X-5
练习
用代入消元法解下列方程组：
Y=2x-3 ⑴ 5x+2y=12 2m+3n=11 ⑵ 4m-n=-27
练习
3x+4y=7 ⑶ 5x-y=4
1听果奶多少钱？ 1听可乐多少钱？
解： 设1听果奶X元，1听可乐Y元
① Y-X=0.5 X+4Y=17 ② 由①，得 Y=0.5+X ③ 把③代入②，得 X+4(0.5+X)=17 X+2+4X=17 5X=15 X=3 把X=3代入③，得 Y=3.5 原方程组的解是 X=3 Y=3.5 答：1听果奶3元，1听可乐3.5元
总结
⒈ 解二元一次方程组的基本思路？
二元一次方程组
⒉ 代入消元法
消元
一元一次方程
初一数学
二元一次方程组的解法
引入
甲、乙两数之和为9，且乙 数是甲数的2倍。甲、乙两数各 是多少？ 如果设甲数为X，乙数为Y X+Y=9 ①
Y=2X
二元一次方程组解法(一)--代入法(基础)知识讲解
二元一次方程组解法（一）--代入法（基础）知识讲解撰稿：孙景艳 责编：吴婷婷【学习目标】1. 理解消元的思想；2. 会用代入法解二元一次方程组.【要点梳理】要点一、消元法1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数. 这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.2.消元的基本思路：未知数由多变少.3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程.要点二、代入消元法通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法．要点诠释：(1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为：用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的．(2)代入消元法的技巧是：①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解； ②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变形比较简便；(3)若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数绝对值较小的方程变形比较简便．【典型例题】类型一、用代入法解二元一次方程组1．用代入法解方程组：5341x y x y =+⎧⎨+=⎩. 【思路点拨】直接将上面的式子代入下面的式子，化简整理即可.【答案与解析】解：5341x y x y =+⎧⎨+=⎩①② 将①代入②得：3(5)41y y ++=③去括号，移项，合并，系数化1得：2y =- ④把④代入①得：3x =∴ 原方程组的解为：32x y =⎧⎨=-⎩ 【总结升华】当方程组中出现一个未知量代替另一个未知量的方程时，一般用直接代入法解方程组.举一反三：【变式】若方程y ＝1－x 的解也是方程3x ＋2y ＝5的解，则x ＝____，y ＝____.【答案】3，﹣2.2. 用代入法解二元一次方程组：524050x y x y --=⎧⎨+-=⎩①②【思路点拨】观察两个方程的系数特点，可以发现方程②中x 的系数为1，所以把方程②中的x 用y 来表示，再代入①中即可.【答案与解析】解：由②得x ＝5-y ③将③代入①得5(5-y )-2y -4＝0，解得：y ＝3，把y ＝3代入③，得x ＝5-y ＝5-3＝2所以原方程组的解为23x y =⎧⎨=⎩． 【总结升华】代入法是解二元一次方程组的一种重要方法，也是同学们最先学习到的解二元一次方程组的方法，用代入法解二元一次方程组的步骤可概括为：一“变”、二“消”、三“解”、四“代”、五“写”．举一反三：【高清课堂：二元一次方程组的解法 369939 例3】【变式1】与方程组2020x y x y +-=⎧⎨+=⎩有完全相同的解的是（ ） A ．x+y －2=0B ．x+2y=0C ．(x+y －2)(x+2y)=0D ．22(2)0x y x y +-++=【答案】D【变式2】若∣x－2y ＋1∣＋(x ＋y －5)2＝0，则 x= ， y= .【答案】3,2类型二、由解确定方程组中的相关量3. 方程组43235x y k x y -=⎧⎨+=⎩的解x y 与的值相等，则k 的值是 .【思路点拨】将x y =代入上式，可得,x y 的值，再代入下面的方程可得k 值.【答案】1【解析】解：43235x y k x y -=⎧⎨+=⎩①② 将x y =代入②得1x y ==，再代入①得1k =.【总结升华】一般地，先将k 看作常数，解关于x ，y 的二元一次方程组再令x=m 或y=m ，得到关于m 的方程，解方程即可．【高清课堂：二元一次方程组的解法 369939 例8（4）】举一反三：【变式】若方程组231(1)(1)4x y k x k y +=⎧⎨-++=⎩的解x 与y 相等，求k.【答案】将x y =代入上式得15x y ==，再代入下式得10k =. 4. 若方程组ax+by=11(5-a)x-2by+14=0⎧⎨⎩的解为14x y =⎧⎨=⎩，试求a b 、的值. 【答案与解析】解：将14x y =⎧⎨=⎩代入得a+4b=11(5-a)-2b 4+14=0⎧⎨⨯⎩，即a+4b=11a+8b=19⎧⎨⎩， 解得a=3b=2⎧⎨⎩. 【总结升华】将已知解代入原方程组得关于a b 、的方程组，再解关于a b 、方程组得a b 、的值.。
二元一次方程组的解法(代入法)
Байду номын сангаас 总结和备注
代入法是解决二元一次方程组常用的方法之一。通过选择一个方程解出其中 一个未知数的值，再将其代入另一个方程，求解另一个未知数的值。
通过实例解释代入法的步骤
1
步骤一
选择一个方程，解出其中一个未知数的
步骤二
2
值。
将步骤一中求得的值代入另一个方程中。
3
步骤三
求解另一个未知数的值。
解释如何将方程组代入另一个 方程的过程
将方程组代入另一个方程的过程，就是将一个方程中的未知数用另一个方程 中的未知数表示，以便求解未知数的值。
通过实例演示代入法解决二元一次方程组 的方法
例子一
解方程组： 2x + 3y = 11 x-y=1 选择方程x-y=1，解出x=2 将x=2代入2x+3y=11，求解y=3
例子二
解方程组： 3x + 2y = 10 x+y=5 选择方程x+y=5，解出x=3 将x=3代入3x+2y=10，求解y=2
提供一些练习题供学生练习代 入法
方程组： 2x + y = 7 x-y=1 方程组： 3x + 4y = 16 x - 2y = 1 方程组： x + 2y = 5 2x - y = 1
二元一次方程组的解法 (代入法)
本节将介绍二元一次方程组的解法之一——代入法。通过具体实例演示代入 法的步骤和解题方法，最后提供一些练习题供学生巩固所学内容。
二元一次方程组的定义
二元一次方程组由两个包含未知数的线性方程组成。解方程组意味着找到满 足这两个方程的未知数的值。
代入法的基本原理
代入法的基本原理是先解一个方程，然后将该解代入另一个方程中，从而得到另一个未知数的值。
消元二元一次方程组的解法(代入法)
上面的解法，是由二元一次方程组中一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这种方法叫做代入消元法，简称代入法。
总结
倾听，理解，师生互动，学生边听边练
倾听，理解全班齐读
教师总结学生倾听和理解概念
为概念的引出
做好铺垫
理解消元思想是本节课的重难点，要分析透彻。
教案目标
知识与技能
.通过探索，领会并总结解二元一次方程组的方法，发现和总结出消元化归的思想方法。根据方程组的情况，能恰当地应用“代入消元法”解方程组；
2.会借助二元一次方程组解简单的实际问题；
3.提高逻辑思维能力、计算能力、解决实际问题的能力。
过程与方法
通过练习来学习和巩固这种解二元一次方程组的方法——代入法。
教师用课件展示思维和解题流程,学生注意观察和理解.
学生
动手实践
独立完成
交流答案
谈谈本节课的收获
培养学生思考及解决问题的能力
检验学生对知识的掌握程度。
通过总结，再次加深学生对知识的掌握程度，给学生充分发挥的空间。
揭露学生可能出现的问题和遇到的障碍，并及时更正，使学生少走弯路。
通过总结，再次加深学生对知识的掌握程度。
[6]得到一个未知数的值后，把它代入方程①②③都能得到另一个未知数的值。其中代入方程③最简捷。为使学生认识到这一点，可以让其试试各种代入法。
（五）巩固练习
课本P98-99 1、2
（六） 小结
1．解二元一次方程组的思想：
2．引导学生总结出用代入法解二元一次方程组的解题步骤。
3．用代入法解二元一次方程组的技巧：
①变形的技巧。②代入的技巧．
二元一次方程组的解法(代入法)
① ②
求x+y得值。
2、已知：
x + 2y +3m=10 4x +3y +2m=15
① ②
求x+y+m的值。
(1) ( 2)
观察上面方程组中方程(1)与方程(2)又可以发现什么？
@:利用相同数相减消去一个未知数
想象看（2）
比一比
x+3y=17 1.已知方程组 两个方程只要两边
2x-3y=6
分别相加 就可以消去未知数 y
25x-7y=16
两个方程只要两边 2.已知方程组 25x+6y=10 分别相减 就可以消去未知数 x
小 结
议一议：用加减消元法解方程组
｛
｛
2x + 3y =12 3x +4y =17
3x -3y =10 5x +6y =42
① ② ① ②
上面解方程组的思路是什么？主要步骤有哪些？ 用“代入法”和“加减法” 解二元一次方程组的实质是 什么？
@:是“消元”，化“二元”为“一 元”。 消元
加减消元法
一般步骤 数学思想方法：
(1)设法使方程组两个方 程某一未知数系数相等 或相反 (2)加减消去一元,得 一元一次方程 (3)解这个一元一次方程, 求得一个未知数的值
(4)把求得的未知数的值 代入方程组中任意一个 方程,即可得另一个未知 数的值. (5)作结论
二元一次方程组
代 入 消 元 加 减 消 元
第七章 用代入法解 二元一次方程组
温顾而知新：
1 1 x 1 x0 x x x3 3， 在 ， 2 ， ， y 1 y 0 y 3 y 2 y 2
各组值中， （1）方程y=2x-3的解有—————— （2）方程3x+2y=1的解有—————— （3）方程组 y 2 x 3 的解有———— ———— 3x 2 y 1
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解得x=18.
问题解完了吗？怎样求y
将x=18代入方程y=22－x，得y=4.
能代入原方程组中的方程①②来求y吗？代入哪个方程更简便？
这样，二元一次方程组的解是
归纳：这种通过代入消去一个未知数，使二元方程转化为一元方程，从而方程组得以求解的方法叫做代入消元法，简称代入法．（板书课题）
所以y=－1
把y=－1代人①，得x=2.
所以
解后反思．教师引导学生思考下列问题：
(1）选择哪个方程代人另一方程？其目的是什么？
(2)为什么能代？
(3）只求出一个未知数的值，方程组解完了吗？
(4)把已求出的未知数的值，代入哪个方程来求另一个未知数的值较简便？
(5)怎样知道你运算的结果是否正确呢？
（与解一元一次方程一样，需检验．其方法是将求得的一对未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看看方程的左、右两边是否相等．检验可以口算，也可以在草稿纸上验算）
3、教材107页3应用题
布置作业
1、必做题：教科书111页习题8.2第1题，112页习题
2第2(1)(2)题．
2、选做题：教科书112页习题8.2第6题．
本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）
代入消元法体现了数学学习中“化未知为已知”的化归思想方法，化归的原则就是将不熟悉的问题化归为比较熟悉的问题，从而充分调动已有的知识和经验，用于解决新问题．基于这点认识，本课按照“身边的数学问题引入—寻求一元一次方程的解法—探索二元一次方程组的代入消元法—典型例题—归纳代入法的一般步骤”的思路进行设计．在教学过程中，充分调动学生的主观能动性和发挥教师的主导作用，坚持启发式教学．教师创设有趣的情境，引发学生自觉参与学习活动的积极性，使知识发现过程融于有趣的活动中．重视知识的发生过程．将设未知数列一元一次方程的求解过程与二元一次方程组相比较，从而得到二元一次方程组的代入（消元）解法，这种比较，可使学生在复习旧知识的同时，使新知识得以掌握，这对于学生体会新知识的产生和形成过程是十分重要的．
课题：
教学目标
1、使学生学会用代人消元法解二元一次方程组；
2、理解代人消元法的基本思想体现的化未知为已知的化归思想方法；
3、逐步渗透矛盾转化的唯物主义思想．
教学难点
代入消元法的基本思想。
知识重点
用代入法解二元一次方程组。
教学过程（师生活动）
设计理念
创设情境
引入课题
播放学生篮球赛录像剪辑．
体育节要到了．篮球是初一(1）班的拳头项目．为了取得好名次，他们想在全部22场比赛中得到40分．已知每场比赛都要分出胜负，胜队得2分，负队得1分．那么初一(1)班应该胜、负各几场？
你会用二元一次方程组解决这个问题吗？
根据问题中的等量关系设胜x场，负y场，可以更容易地列出方程．
那么有哪些方法可以求得二元一次方程组的解呢？
问题情境是学生喜闻乐见的体育活动，增强求知欲，对所学知识产生亲切感。
探究新知
1、引导：什么是二元一次方程组的解？（方程组中各个方程的公共解）
满足方程①的解有：
， ， ， ,
解：由①得，y= ，③
把③代人②，得（问：能否代入①中？）
3x－8（ ）=14，
所以－x=－10,
x=10.
（问：本题解完了吗？把y=37代入哪个方程求x较简单？）
把x=10代入③，得
y=
所以y=2
所以
（本题可由一名学生口述，教师板书完成）
例1改编自教材105页例
1，暂时省略了“用含一个未知数的式子去表示另一未知数”这一步骤，而将其放在例2中介绍，这样处理降低了难度，利于分阶段达成本课的知识目标．本例的重点在于让学生掌握代入法的基本步骤．
例2（为例1的变式）解方程组
分析：
(1)从方程的结构来看：例2与例1有什么不同？
例1是用x=y＋3直接代人②的．而例2的两个方程都不具备这样的条件都不能直接代入另一条方程．
(2)如何变形？
把一个方程变形为用含x的式子表示y（或含y的式子表示x）．
(3)那么选用哪个方程变形较简便呢？
通过观察，发现方程①中y的系数为－1，因此，可先将方程①变形，用含x的代数式表示y，再代入方程②求解．
例2进一步巩固代入法的步骤．重点在于说明解二元一次方程组的一些技巧问题，主要表现在如何选择一个方程，如何用含一个未知数的式子去表示另一未知数．
小结与作业
小结提高
合作交流：你从上面的学习中体会到代人法的基本思路是什么？主要步骤有哪些呢？与你的同伴交流．
学生畅所欲言，互相补充，小组派中心发言人进行总结发言．最后，由老师出示幻灯片．
可以采用观察与估算的方法．但很麻烦，故引发学生产生寻找新方法的需求．
以退为进的思想．
重视知识的发生过程，让学生了解代入消元法解二元一次方程组的过程及依据．体会未知向已知，陌生向熟悉转化这一重要思想—化归思想．
巩固新知
例1 用代入法解方程组
本题较简单，直接由学生板演，师生共同评价．
解：把①代入②，得
3（y＋3）-8y＝14
满足方程②的解有：
， ， ， …
这两思考并列出式子．
设胜x场，负(22－x)场，解方程
2x＋(22－x) =40 ③
解法略．
观察：上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系？
若学生还是感到困难，教师可通过提问进一步引导．
（1）在一元一次方程解法中，列方程时所用的等量关系是什么？
代入法的实质是消元，使两个未知数转化为一个未知数一般步骤为：
①从方程组中选一个未知数系数比较简单的方程．将这个方程中的一个未知数，例如y，用含x的式子表示出来，也就是化成y=ax＋b的形式；
②将y=ax＋b代人方程组中的另一个方程中，消去y,得到关于二的一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出x的值；
（2）方程组中方程②所表示的等量关系是什么？
（3）方程②与③的等量关系相同，那么它们的区别在哪里？
（4）怎样使方程②中含有的两个未知数变为只含有一个未知数呢？
结合学生的回答，教师做出讲解．
由方程①进行移项得y=22－x,
由于方程②中的y与方程①中的y都表示负的场数，故可以把方程②中的y用(22-劝来代换，
④把求得的x值代人方程y=ax＋b中，求出y的值，再写出方程组解的形式；
⑤检验得到的解是不是原方程组的解．这一步不是完全必要的，若能肯定解题无误，这一点可以省略。
及时梳理知识，形成模—用代入法解二元一次方程一般步骤。
反馈练习
1、教材105页1.（补充：再改写成用含y的式表示x）
2、教材105页练习2用代入法解方程组