三角函数式的求值

三角函数式的求值

【知识点精讲】

三角函数式的求值的关键是熟练掌握公式及应用, 掌握公式的逆用和变形

三角函数式的求值的类型一般可分为:

(1)“给角求值”：给出非特殊角求式子的值。仔细观察非特殊角的特点，找出和特殊角之间的关系，利用公式转化或消除非特殊角

（2）“给值求值”：给出一些角得三角函数式的值，求另外一些角得三角函数式的值。找出已知角与所求角之间的某种关系求解

（3）“给值求角”：转化为给值求值，由所得函数值结合角的范围求出角。

（4）“给式求值”：给出一些较复杂的三角式的值，求其他式子的值。将已知式或所求式进行化简，再求之

三角函数式常用化简方法：切割化弦、高次化低次

注意点：灵活角的变形和公式的变形

重视角的范围对三角函数值的影响，对角的范围要讨论

【例题选讲】

例1、计算)310(tan 40sin 00-的值。 【分析】将切函数化成弦函数，3转化成特殊角的三角函数，再利用两角和与差的三角函数即可求解。

解：原式=)60cos 60sin 10cos 10sin (40sin 00000

- =000

060cos 10cos 50sin 40sin -⋅ =160cos 10cos 280sin 0

00

-=⋅-

[点评] “给角求值” 观察非特殊角的特点，找出和特殊角之间的关系

注意特殊值象1、3等，有时需将其转化成某个角的三角函数，这种技巧在化简求值中经常用到。

练习:tan20°+4sin20°

解：tan20°+4sin20°=00020cos 40sin 220sin +=000020cos 40sin 10cos 30sin 2+=00

020cos 40sin 80sin + =320cos 20cos 60sin 20

0= 例2、已知tan(45°+θ)=3,求sin2θ-2cos 2

θ的值

解：法一：由已知2

1tan ,3tan 1tan 1=⇒=-+θθθ sin2θ-2cos 2

θ=θθθθ222cos sin 2cos -sin2+=54tan 12tan 22-=+-θθ 法二：sin2θ-2cos 2θ=sin2θ-cos2θ-1=-cos(θπ

22+)-sin(θπ

22+)-1 =541)4

(tan 1)4tan(2)4(tan 1)4(tan 1222-=-+++-+++--θπθπθπθπ [点评] “给值求值” 法一,由tan θ的值，利用齐次式求值。法二，由角度之间关系求解 练习:)6

sin(,212tan παα

+=求已知 解：（利用万能公式）

10334+ 例3、已知sin(

-4πx)=135，0

cos(2cos x x +π的值。 【解法1】∵2)4()4(πππ=++-x x ，∴cos(4π+x)=sin(4

π-x) 又cos2x=sin(2π-2x)=sin2(4π-x)=2sin(4π-x)cos(4

π-x) ∴)4

cos(2cos x x +π=2 cos(4π-x)=21324)1312(=⨯ 【解法2】)sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 22x x x x x x x -+=-= )4cos()4sin(2π

π++x x ∴)4cos(2cos x x

+π)4cos()4cos()4sin(2x x x +++=ππ

π=)4sin(2x +π 下同解法1。

[点评]：分析:角之间的关系：2)4()4(

πππ=++-x x 及)4(222x x -=-ππ ，利用余角间的三角函数的关系便可求之。

练习：设cos(α2β

-)=91-，sin(βα-2)=32,且2

0,2πβπαπ<<<<，求cos(α+β)

解：cos(2β

α+)=cos[(α2β

-)-(βα

-2)]┉=27

57 ∴cos(α+β)= 12cos 22-+β

α=┉=729

239- 〈对角的范围要讨论〉 例4、若),0(,πβα∈，31tan ,50

7cos -=-=βα，求α+2β。 解：∵),0(,πβα∈，50

7

cos -=α ∴),0,33(71tan -∈-

=α),0,33(31tan -∈-=β ∴),65(,ππβα∈，α+2β)3,2

5(ππ∈, 又tan2β=

43tan 1tan 22-=-ββ,12tan tan 12tan tan )2tan(-=-+=+βαβαβα, ∴α+2β=4

11π [点评] “给值求角”：求角的大小，常分两步完成：第一步，先求出此角的某一三角函数值；第二步，再根据此角的范围求出此角。在确定角的范围时，要尽可能地将角的范围缩小，否则易产生增解。

练习:已知α，β为锐角，tan α=1/7 sin β=10

10,求2α+β的值 解：由已知0<2α+β<23π, 求得cos(2α+β)=22或tan(2α+β)=1.得2α+β=4π 例5、已知3

1)sin(,21)sin(=-=+βαβα，求tan α:tan β的值。 解：由已知，sin αcos β+cos αsin β=1/2……(1), sin αcos β-cos αsin β=1/3……(2) ()()()()

得2121-+tan α:tan β=5:1 [点评] “给式求值”:注意到公式中的特点用解方程组的方法得到。

练习: 已知sin α+sin β= m 已知cos α+cos β= n(mn ≠0).

求⑴cos(α-β);⑵sin(α+β);⑶tan(α+β)

解：⑴两式平方相加得：2+2(cos αcos β+sin αsin β)=m 2+n 2