考研数学三(微积分)-试卷36.doc

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[考研类试卷]考研数学三(微积分)历年真题试卷汇编25.doc

22 (2000年)设函数f(x)在[0，π]上连续，且∫0πf(x)dx=0，∫0πf(x)cosxdx=0．试证明：在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使f(ξ1)=f(ξ2)=0．
23 (2011年)求不定积分
24 (1994年)计算二重积分，其中D={(x，y)｜x2+y2≤x+y+1}
13 (2003年)设a＞0，f(x)=g(x)= 而D表示全平面，则 =______．
14 (2016年)设D={(x，y)｜｜x｜≤y≤1，一1≤x≤1}，则 =______．
15 (1992年)级数的收敛域为______．
16 (1997年)差分方程yt+1一yt=t2t的通解为______．
19 (1998年)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f'(x)≠0．试证存在ξ，η∈(a，b)，使得
20 (2010年)求极限．
21 (1991年)假设曲线L1：y=1一x2(0≤x≤1)与z轴和Y轴所围区域被曲线L2：y=ax2分为面积相等的两部分．其中a是大于零的常数，试确定a的值．
3 (2003年)设f(x)为不恒等于零的奇函数，且f'(0)存在，则函数（)
（A）在x=0处左极限不存在．
（B）有跳跃间断点x=0．
（C）在x=0处右极限不存在．
（D）有可去间断点x=0．
4 (2012年)曲线渐近线的条数为( )
（A）0．
（B）1
（C）2．
（D）3．
5 (1993年)设f(x)为连续函数，且，则F'(x)等于( )
三、解答题
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17 (2016年)求极限

微积分(经济类)考研真题

1..使得试补充定义设)1()1,21[,)1(1sin 11)(f x x x x x f ∈--+=πππ6.._____)1ln 1[lim 20=++→x x x 极限](/03数四考研题5.3.设常数a ≠12,则∞n lim →ln[]n na n a 2112()-+-n=( ).02数三、四考研题1.设对任意的总有且则(A)(B)(C)(D)存在且等于零.存在但不一定等于零.一定不存在.不一定存在.)()(x x ϕ≤≤x ,g x f )(,x lim ∞→x g )(=-)(x ϕ[]0,x lim ∞→x f )(( ).00数三考研题.______2lim,0,02.30=+>>→xxx x b a b a 则均为常数若00数四考研题(D)(C)(B)(A)xx f x g f x f ( ).)()()0()('有可去间断点在有跳跃间断点在存在且为不恒等于零的奇函数设=则函数,,;;;.4.03数三考研题处左极限不存在处右极限不存在x =0x =0x =0x =0)(考研真题一上连续在]1,21[)(x f .03数三考研题上连续在使试补充定义设]0,21[)()0(0,21,)1(1)(x f f x x x f ∈---=π.7.03数四考研题1x πsin 1x π](.__________,,5)(cos sin lim8.0===--→b a b x ae xx x 则若04数三、四考研题得( ).)2)(1()2sin(||)(9.2x x x x x x f ---=在下列哪个区间内有界函数);1,0((B));0,1((A)-);2,1((C)).3,2((D)04数三、四考研题2..,),()(10.且内有定义在设x f +∞-∞04数三、四考研题.0)((D);)(0(C);)(0(B);)(0(A)( ).,0,0,0,1)(,)(lim 的取值有关处的连续性与在点的连续点必是的第二类间断点必是的第一类间断点必是则a x x g x g x x g x x g x x x x f x g a x f x ====⎪⎩⎪⎨⎧=≠==∞→)(11.极限.________12sinlim 2=+∞→x xx x 05数三、四考研题12.________.1lim )1(=⎪⎭⎫⎝⎛+-∞→nn n n 06数三、四考研题13.当+→0x 时,与x 等价的无穷小量是( ).(A)xe -1; )1ln x +;11-+x ; x cos 1-.(B)(C)(D)(07数三、四考研题=-+-11lim x e e _____________.32cos 0xx 17.18.当0→x 时,ax x x f sin )(-=与)1ln()(2bx x x g -=为等价无穷小,14.设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=cx c x x x f ,2,1)(2在),(+∞-∞则._____=c x内连续,设,0b a <<则n n nn b a 1)(lim --∞→+(A) ;a (B);1-a (C) ;b (D) .1-b 15.( ).等于16.设某企业生产线上产品合格率为0.96, 不合格产品中只有43进行再加工且再加工的合格率为0.8,其余均为废品80元20元2万元, 每件合格品获利, 每件废品亏损, , 问企业每天至少生产多少产品,?为保证该企业每天平均利润不低于产品可08四考研题08数三、四考研题08四考研题09数三考研题3..则( ).(A)61,1-==b a (B)61,1==b a (C)61,1-=-=b a (D)61,1=-=b a ;;;.19.函数xx x x f πsin )(3-=的可去间断点的个数,则( ).(A)3无穷多个(B)(C)21(D) ;;;.09数一、三考研题09数二、三考研题若111lim=--xx e a x x , 则a 等于( ).(A)0(B)1(C) 2(D)3→⎭⎫ ⎝⎛⎪][20.;;;.10数三考研题4..考研真题二设函数在点处可导则函数在点的充分条件是)(x f a =x ,)(x f a =x (A)(B)(C)(D))(a f =且0)(a f =0';)(a f >且0)(a f >0';)(a f <且0)(a f <0'.)(a f =且0)(a f 0';≠处不可导).(1.00数三、四考研题,00,00,1cos )(则处连续其导数在若若设λλ=⎪⎩⎪⎨⎧=≠=x x x x x x f ,2.的取1)(0)1(1)()(|1|)(3既非充分也非必要条件充分但非必要条件必要但非充分条件充分必要条件处可导的在是处连续在其中设函数(D)(C)(B)(A)x x f x x x x x f ===-=ϕϕϕ则,).(,;;;.4.03数四考研题.0)(),,((D);0)(),,((C));()(),,((B));()(),,((A)( ).,0)(,0)(,],[)(5.00000000=∈='∈>∈>∈<'>''x f b a x x f b a x b f x f b a x a f x f b a x b f a f b a x f 使得至少存在一点使得至少存在一点使得至少存在一点使得至少存在一点误的是则下列结论中错且上连续在设04数三、四考研题._______|,1lnarctan 6.122=+-==x x x x d x d ye e e y 则设04数四考研题.____322=+-=b a b x b a x y 表示为可以通过轴相切与已知曲线则,x 3.03数三考研题.____值范围是03数三考研题327.设函数321+=x y ,则=)0()(n y ____________.07数三、四考研题8.设函数)(x f 在0=x 处连续,下列命题错误的是( ).(A)若xx f x )(lim→存在,则0)0(=f ;07数三、四考研题5..若x x f x f x )()(lim 0-+→存在,则0)0(=f ;若x x f x )(lim→存在,则)0(f '存在;若xx f x f x )()(lim 0--→存在,则)0(f '存在.(B)(D)(C)9.设某产品的需求函数为)(P Q Q =其对应的价格P 的弹性2.0=P ξ,则当10 000件时,价格增加1_________元.元会使产品收益增加需求为09数三考研题6..考研真题三-=+arctan 2.,)1(πe x y x渐近线的单调区间和极值求函数并求该函数图形的00数三、四考研题1.设)(x f 的导数在a x =处连续则(A)a x =是)(x f 的极小值点(B)a x =是)(x f 的极大值点(C)))(,(a f a 是曲线)(x f y =的拐点(D)a x =不是)(x f 的极值点))(,(a f a 也不是曲线;;;又,,1)(lim-=-→ax x f ax ',).(01数三、四考研题的拐点.)(x f y =2.已知)(x f 在),(+∞-∞内可导且e xf x =∞→)(lim )]1()([lim )(lim--=-+∞→∞→x f x f cx c x x xx 求c 的值.',,,01数三、四考研题3.某商品进价为a (元/件)根据以往经验b (元/件)时当销售价为,,,销4.售量为c 件(c b a ,,均为正常数且a b 34≥)市场调查表明销售价每下降,,10%销售量可增加40%现决定一次性降价试问当销售价定为多少时并求出最大利润.?,,,,获得最大利润可01数四考研题存在),(b a ∈ξ使))(()()(a b f a f b f -=-ξ(D),.'.0)('),3,0(.1)3(,3)2()1()0(,)3,0(,]3,0[)(=∈==++ξξf f f f f x f 使试证必存在且内可导在上连续在设函数.)(,).(),()(,1最小？并求出最小值为何值时问内的驻点为在设a t a a t at a t f a t +∞-∞-=>6.03数三考研题7.03数四考研题设函数)(x f 在],[b a 上有定义),(b a 内可导则当0)()(<b f a f 时),(b a ∈ξ使0)(=ξf 对任何),(b a ∈ξ有0)]()([lim =-→ξξf x f x (A)(B)在存在,,,,;;,( ).02数三、四考研题5.当)()(b f a f =时),(b a ∈ξ使0)(=ξf (C)存在,;',7..;)()0,0(,)(0(A)( ).|,)1(|)(8.的拐点不是曲线但的极值点是则设x f y x f x x x x f ==-=04数三、四考研题.)()0,0(,)(0(D);)()0,0(,)(0(C);)()0,0(,)(0(B)的拐点也不是曲线的极值点不是的拐点是曲线且的极值点是的拐点是曲线但的极值点不是x f y x f x x f y x f x x f y x f x ======.cos sin 1lim9.2220-→x xx x 求)(04数三、四考研题.,),)(1()();0()(.),20,0(,510010.降低价格反而使收益增加围内变化时说明价格在何范并用弹性为收益其中推导求需求量对价格的弹性为需求量其中价格设某商品的需求函数d d d d E R E Q d P d RE E Q P P Q -=II >I ∈-=04数三、四考研题11.当a 取下列哪个值时, 函数a x x x x f -+-=1292)(23(A) 2; (B) 4; (C) 6; (D) 8.恰有两个不同的零点.( )05数三、四考研题12.设,cos sin )(x x x x f +=下列命题中正确的是( ).(A))0(f 是极大值,)2(πf 是极小值;)0(f 是极小值,)2(πf 是极大值;(B)(C))0(f 是极大值,)2(πf 也是极大值;)0(f 是极小值,)2(πf 也是极小值.05数三、四考研题(D)13.以下四个命题中, 正确的是( ).(A)若)(x f '在(0,1)内连续, 则)(x f 在(0,1)内有界;(B)若)(x f 在(0,1)内连续, 则)(x f 在(0,1)内有界;(C)若)(x f '在(0,1)内有界, 则)(x f 在(0,1)内有界;(D)若)(x f 在(0,1)内有界, 则)(x f '在(0,1)内有界.05数三、四考研题14.求.111lim 0⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-→x e x x x 05数三、四考研题8..15.设函数)(x f 在2=x 的某邻域内可导, 且1)2(,)()(=='f e x f x f , 则_______)2(='''f .16.设函数)(x f 在0=x 处连续1)(lim220=→x x f x 则(A)0)0(=f 且)0(f '存在(B)1)0(=f 且)0(f '存在(C)0)0(=f 且)0(+'f 存在(D)1)0(=f 且)0(+'f 存在(且).17.设0,0,arctan sin 11),(>>--+=y x x y xy xy yy x f π,求(1)),(lim )(y x f x g y +∞→=;(2))(lim 0x g x +→,,.;;;.06数三、四考研题06数三、四考研题06数三、四考研题18.=+++++∞→)cos (sin 21lim323x x x x x x x ____________.07数三、四考研题19.曲线)1ln 1x e x y ++=渐近线的条数为( ).(A)0;1;2;3.(B)(C)(D)(07数三、四考研题20.设函数)(x y y =由方程0ln =+-y x y y 确定,试判断曲线)(x y y =在)1,1(附近的凹凸性.,点07数三、四考研题21.设函数)(),(x g x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内二阶可导且存在相等,又).()(),()(b g b f a g a f ==证明:(Ⅰ)存在),,(b a ∈η使得)()(ηηg f =; (Ⅱ)存在),,(b a ∈ξ使得)()(ξξg f ''=''.的最大值07数三、四考研题22. 设函数)(x f 在区间[-1是连续0=x 是函数的(A)跳跃间断点;(B)可去间断点(C)无穷间断点;(D)振荡间断点则,1],x g =)(( ).;.08数三、四考研题23.求极限.sin ln 1lim 2x x x x →08数三、四考研题9..25.设,)()(10d t x t t x f -=,10<<x 求)(x f 的极值、单调区间和凹凸.||区间24.已知函数)(x f 连续且,2)(lim 0=→xx f x 则曲线)(x f y =0=x 处切线方程为_______.上对应08数四考研题08数四考研题26.(1)证明拉格朗日中值定理:若函数)(x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,导,则存在()b a ,∈ξ使得()()a b f a f b f -'=-ξ)()(.证明:若函数)(x f 在0=x 处连续,在()()0,0>δδ内可导,且()A x f x ='+→0lim 则()0+'f 存在,且()A f ='+0.(2),可09数一、三考研题若曲线123+++=bx ax x y 有拐点)0,1(-,则=b ________.27.28.设函数)(x f ,)(x g 具有二阶导数,且,0)(<x g a x g =)(0是)(x g 的极值,则))((x g f 在0x 的极大值的一个充分条件是( ).(A)0)(<a f (B)0)(>a f (C)0)(<a f (D)0)(>a f ''''''''29.设x x f 10ln )(=,x x g =)(,10)(x e x h =,则当x 充分大时有( ).(A))()()(x f x h x g <<(B))()()(x f x g x h <<(C))()()(x h x g x f <<(D))()()(x h x f x g <<求极限x xx xln 11)1(lim -.→+∞30.10数三考研题;;;.10数三考研题/;;.;10数三考研题10数三考研题10..设xxx f )(sin =,求d x .2sin 7.02数三、四考研题考研真题四.______)(,1)(ln =+='x f x x f 则设95数三考研题.________,arcsin )(=+=x C x d x x xf 则设96数三考研题._____=x 98数三考研题1.3.4..)(arcsin 2d x x 求不定积分95数四考研题2.).(,0)(,1)0(x f x F F 试求已知>=6.填空d x x x arcsin =00数四考研题._____0,)()(x x f x F 时且当的原函数为设≥5.,)1(2)()(2x xe x F x f x+=99数四考研题)(x f 8.计算不定积分).0(11ln >⎪⎪⎭⎫⎝⎛++x d x x x09数二、三考研题11..考研真题五00数三考研题.__________12=++∞-xxe e d x1..131+∞-++=xx e e d xI 计算00数四考研题2.).()1()((0,1),1ξξξξf f --='∈使得试证明至少存在一点已知抛物线qx px y +=2 (其中0<p ,0>q )在第一象限内与直线5=+y x 相切,且此抛物线与x 轴所围成的平面图形的面积为S .(1)问p 和q 为何值时,S 达到最大值?(2)求出此最大值5..01数三考研题).()()()(),,0(,,25)1(,),0()(111x f d uu f x d u u f td u u f t x f x f t x xt 求足条件且对所有内连续在设函数+=+∞∈=+∞01数四考研题6.满).(2)(),1,0()(3)1(,)1,0(,]1,0[)(31012ξξξξf f d xx f e f x f x ='∈=-使得证明存在且满足内可导在上连续在区间设01数四考研题7.._____)|(11||=+--d x e x x x 03数四考研题8.|)(,21),1(3110),1(21)(.)()(3.2则若若其中设x g x x x x x f d u u f x g x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-<≤+==,)1,0(,]1,0[)(x f 且满足内可导在上连续在设01数三考研题4..;;;)2,0(连续不连续递减无界内在区间(D)(C)(B)(A)01数三考研题)(.)1()()1(101k d x x f xe kf k x ->=12..,)0,1(),1,0()(的一段连续曲线是第一象限内连接点设B A x f y =9..)(,316,,,3的表达求的面积之和为的面积与曲边三角形梯形为坐标原点轴上的投影在为点为该曲线上任意一点x f x CBM OCMA O x M C +),(y x M 若03数四考研题.0],,0[,)(0的销售量为到时刻设某商品从时刻k T t kt t x t >∈=10.式.______)1(,21,1,2121,)(12.2=-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<≤-=d x x f x x xe x f x 设04数三、四考研题).()(,)((D));()(,)((C);0,),()((B);0)((A)( ).,)()(,0,1,0,0,0,1)(13.0x f x F x F x f x F x F x x F x x F d t t f x F x x x x f x ='='=+∞-∞==⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=但不一定满足内可导在且满足内可导在点不可导在内连续在点不连续在则设),(+∞-∞),(+∞-∞04数四考研题.)((2);)()((1).)(0,)(,0.)(,0,,0,)(14.1122的最小值的表达式求的面积表示矩形对任何之间的面轴与曲线表示夹在设t S t S S t S t F y t x t t S t x F y x S x e x e x F x x -=≤≤≤≤->=⎩⎨⎧>≤=-04数四考研题(1)的值并确定时的商品剩余量k t ,.的该商品销售完时将数量为A T 试求,03数四考研题.],0[(2)上的平均剩余量在时间段T ,],[)(),(11.b a x g x f 且满足上连续在设04数三考研题,)()(),,[,)()(=∈≥b ab ax a x ad t t g d t t f b a x d t t g d t t f .)()(≤b ab ad x x xg d x x xf 证明欲在积13..15.设)(),(x g x f 在[0,1]上的导数连续, 且.0)(,0)(,0)0(≥'≥'=x g x f f (1).)()()()()(1g a f d x x g x f d x x f x g a≥'+'⎰⎰证明: 对任何],1,0[∈a 有05数三、四考研题16.下列结论中正确的是( ).(A)⎰+∞+1)1(x x d x与⎰+1)1(x x d x都收敛;⎰+∞+1)1(x x d x与⎰+1)1(x x d x都发散;(C)⎰+∞+1)1(x x d x发散,⎰+1)1(x x d x收敛;⎰+∞+1)1(x x d x收敛,⎰+1)1(x x d x发散.(B)(D)05数四考研题06数四考研题17.设函数)(x f 与)(x g 在]1,0[上连续)()(x g x f ≤则对任何)1,0(∈C (A)⎰⎰≥ccd t t g d t t f 2121)()((B)⎰⎰≤ccd t t g d t t f 2121)()((C)⎰⎰≥11)()(c cd t t g d t t f (D)⎰⎰≤11)()(c cd t t g d t t f 且,,).(;;;.18.如图,连续函数)(x f y =在区间]2,3[--,]3,2[上的图形分别是半1的上、,在区间]2,0[],0,2[-上的图形分别是直径为2的下、.设=xdt t f x F 0)()(,则下列结论正确的是( ).(A))2(43)3(--=F F ;)2(45)3(F F =;(C))2(43)3(F F =-;(D))2(45)3(--=-F F .(B)下半圆周径为上半圆周⎰1231-2-3-O xy设函数),(y x f 连续,则二次积分等于( ).19.1sin 2),(xdy y x f dx ππ⎰⎰07数三、四考研题07数三、四考研题14..(A)+ππyd x y x f dy arcsin 1),(; -ππyd x y x f dy arcsin 10),(;(C)+yd x y x f dy arcsin 21),(ππ;-yd x y x f dy arcsin 210),(ππ.(B)(D)⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰20.设某商品的需求函数为,2160p Q -=其中p Q ,分别表示需求量和价,如果该商品需求弹性的绝对值等于1,则商品的价格是( ).(A)(B)(C) (D)10; 20; 30;40.格07数三、四考研题08数三考研题21.函数,1143x x x x x f ++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+求积分⎰=222._____)(d x x f 22.曲线方程为)(x f y =函数在区间],0[a 上有连续导数'ad x x f x 0)(( ).(A)曲边梯形ABOD 面积(B)梯形ABOD 面积(C)曲边三角形ACD 面积(D)三角形ACD 面积.则定积分表示;;;,⎰08数三、四考研题23. )(x f 是周期为2的的连续函数,(1)证明对任意实数+=22)()(t t d x x f d x x f ;(2)证明d t d s s f t f x g x t t-=+02)()(2)(是周期为2的周期函数.⎥⎦⎤⎢⎣⎡都有t ⎰⎰⎰⎰08数三、四考研题24.使不等式x d t ttxln sin 1>成立的x 的范围是(0,1)1,2π)ππ,2)+∞,π)(D)(C)(B)(A);(((;;.( ).25.设函数)(x f y =在区间[]31-图形如右图所示则函数⎰=x d t t f x F 0)()(为( ).,)(x f O 1-2-123x,)(x F O1-2-123x1-(A))(x F O1-2-123x1-(B)上的09数三考研题⎰09数三考研题15..设曲线)(x f y =,其中)(x f 是可导函数,且0)(>x f ,)(x f y =与直线y 及)1(>=t t x 所围成的曲边梯形,绕x 体体积值是该曲边梯形面积值的t π倍,求该曲线方程.26.=0,x =1已知曲线)(x F O1-2-123x1-1(C))(x F O1-2-123x1-1(D)09数三考研题轴旋转一周所得的立27.设可导函数)(x y y =由方程=+-xy x x t d x x d x e 020sin 2确定,则.__________0==x d x d y⎰⎰28.设位于曲线)()ln 1(12<+=x e x x y 下方,x 轴上方的无界区域为G ,则G 绕x 轴旋转一周所得空间区域的体积是 __________.≤+∞29.比较+10)]1[ln(|ln |d t t t n与1|ln |d t t t n ),2,1(=n 的大小,说明理.设+=1)]1[ln(|ln |d t t t u nn ),2,1(=n ,求极限n n M lim .⎰⎰ΛΛ⎰→∞(1)(2)设函数)(x f 在]3,0[上连续,在)3,0(内存在二阶导数,且),3()2()()0(220f f d x x f f +==(1)证明:存在),2,0(η使)0()(f f =η;(2))3,0(ξ,使0)(=ξf .⎰∈∈''30.10数三考研题10数三考研题由证明:存在10数三考研题10数三考研题16..考研真题六.)0(22围成的区域和直线x y a x a a y -=>-+-=,是由曲线其中D σ2.00数三考研题.__________,,,,=∂∂⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛=x z g f x y g y x xy f z 则均可微其中设1.00数三考研题,两个市场的需求假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品3.00数三/四考研题函数分别是;12,2182211Q P Q P -=-=),:,(),/:(2121Q Q P P 并且该企业生产吨单位即需求量分别表示该产品在两个市场的销售量和吨万元单位分别表示该产品在两个市场的价格和其中.,.5221Q Q Q Q Q C +=+=即表示该产品在两个市场的销售总其中这种产品的总成本函数是,(1)试确定两个市场上该产品的销售量和价如果企业实行价格差别策略量2=-xy e xy 和求d xd u ,.=-z x x d t tt e 0sin .,arctan,ln ,22d z xyv y x u u z v 求已知=+==5.00数四考研题设),,(z y x f u =有连续的一阶偏导数又函数)(x y y =及)(x z z =别由下列两式确定：6.,01数三考研题.;,,(2).,并比较两种价格策略下的总利润大使该企业的总利润最大化其统一的价格试确定两个市场上该产品的销售量及如果企业实行价格无差别策略使该企业获得最大利润}.2|),{(,),(,0,0,21),(222x y x y x D d x d y y x f x y x y x y x f ≥+=⎩⎨⎧≤≤≤≤=其中求其它设4.00数四考研题D格小分17..求二重积分的值,其中D 是由直线x y =,1-=y 及1=x 围成的平面区域.7.+d x d y xe y ]1[+y x )(22201数三考研题D设函数),,(z y x f u =有连续偏导数),(y x z z =由方程所确定d u 9.且求,,.zy x ze ye xe =-02数三考研题10.设闭区域0,:22≥≤+x y y x D .),(y x f 为D 上的连续函数,且-=d u d v v u f y x f ),(8),(π求).,(y x f --y x 122,02数四考研题D设)2(y x f e z x --=-,且当0=y 时,2x z =,则=8.01数四考研题________.∂∂xz 11.}.|),{,)sin 2222)(22ππ≤+=+=-+-y x y x D d y x e I y x其中积分区域计算二重积分(x d y (D03数三、数四考研题12.求又且满足具有二阶连续偏导数设2222222222)(21,[),(,1),(y gx g y x x f v u g v f u f v u f ∂∂+∂∂-==∂∂+∂∂,y ,].03数三、数四考研题13.=-=⎩⎨⎧≤≤==>d x y g x f D x a x g x f a ._______)()(,010,)()(,0表示全平面而其它设则d ,x y ,I D03数三、数四考研题14.y y y x f D y y y x f C y y y x f B y y y x f A y x y x f ),()(;),()(;),()(;),()(),(),(0000000000处的导数不存在在处的导数小于零在处的导数大于零在处的导数等于零在取得极小值在点设可微函数====.,则下列结论正确的( ).是03数三考研题18..22.设函数)(u f 可微且21)0(='f , 则)4(22y x f z -=在点(1, 2)处的全微分_______)2,1(=d z, .06数三、四考研题19.设)(u f 具有二阶连续导数, 且,),(⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=y x yf x y f y x g 求.222222y g y x g x ∂∂-∂∂05数三、四考研题20.计算二重积分,|1|22-+d y x σ其中}.10,10|),{(≤≤≤≤=y x y x D D05数三、四考研题21.求2),(22+-=y x y x f 在椭圆域}14|),{22≤+=y x y x D 和最小值.(上的最大值05数四考研题处的.__________,0)(,)(,)(]),([),(15.2=∂∂∂≠+=vu fy g y g y g x y y xg f v u f 则且其中函数确定由关系式函数可微04数三考研题).(1)1(4,)(16.222222如右图所围成的平面区域和是由圆其中求=++=+++y x y x D d y y x σDOxyD 04数三、四考研题其中18.设,)cos(,)cos(,cos 2223222221+=+=+=d y x I d y x I d y x I σσσ(A)123I I I >>;321I I I >>;312I I I >>;213I I I >>.(C)(D)(B)DDD},1|),{(22≤+=y x y x D 则( ).05数三、四考研题17.设二元函数),1ln()1(y x xe z y x +++=+则._________|)0,1(=d z 05数三、四考研题19..24.x d y ,其中D 是由直线0,1,===x y x y ,所围成的平面区域.(D)若0),(00≠'y x f x 则0),(00≠'y x f y .,(C)若0),(00≠'y x f x 则0),(00='y x f y ;,(B)若0),(00='y x f x 则0),(00≠'y x f y ;,(A)若0),(00='y x f x 则0),(00='y x f x ;,下列选项正确的是( ).,),(00y x 是),(y x f 在约束条件0),(=y x ϕ下的一个极值点23.设),(y x f 与),(y x ϕ均为可微函数0),(≠'y x yϕ. 已知且,06数三、四考研题06数三、四考研题25.设),(v u f 是二元可微函数,,,⎭⎫⎝⎛=y x x y f z 则=∂∂-∂∂y zy x z x _______.07数三、四考研题26.设二元函数⎪⎩⎪⎨⎧≤+<+≤+=2||||1,11||||,),(222y x y x y x x y x f 计算二重积分,),(Dd y x f σ其中}.2|||),({≤=y x y x D ,|+07数三、四考研题27.设,),(42y x e y x f +=则函数在原点偏导数目字存在的情况是)0,0(x f (A)'存在,)0,0(y f '存在;(B))0,0(x f (C)'存在,(D)都不存在.( ).)0,0(y f '不存在;)0,0(x f '不存在,)0,0(y f '存在;)0,0(x f ')0,0(y f ',08数三考研题28.设函数连续其中区域则为图中阴影部分f ,),(x d y v u F ==∂∂uF( ).,(x )D uv ,20..);(2u vf );((B)u vf );((C)2u f uv ).((D)u f uv (A)29.⎰⎰=-Dd x d y y x ._____)(2其中1:22≤+y x D .⎰⎰08数三考研题求二重积分Dd x d y xy ,)1,max(其中}.20,20|),{(≤≤≤≤=y x y x D 30.08数三考研题31.设),(y x z z =是由方程)(22z y x z y x ++=-+ϕ其ϕ具有2阶导数且1-≠'ϕ时(1)d z ;(2)记,1),(⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-=y z x zy x y x u 求.xu ∂∂所确定的函数,求,中08数三、数四考研题.32.求函数222z y x u ++=在约束条件22y x z +=和4=++z y x 大和最小值下的最08数三、数四考研题33.设)(x f 是连续奇函数)(x g 是连续偶函数{},x y x x y x D ≤≤-≤≤=,10|),(则正确的=Dd x d y x g y f ;0)()((A)=+D d x d y y g x f ;0)]()([(C),区域,( ).=Dd x d y y g x f ;0)()((B)=+Dd x d y x g y f ;0)]()([(D)08数四考研题34..________ln 2110=x d y x d xy 08数四考研题35.设e x Z )(+=,则=∂∂xz _____________.x y )0,1(36.求二元函数()y y y x y x f ln 2),(22++=的极值.09数一、三考研题37.求二重积分-Dd x d y y x )(,其中{}.x y y x y x D ≥≤-+-=,2)1()1(),(2209数二、三考研题09数三考研题计算二重积分d x d y y x D+3)(,其中D 由曲线21y x +=与直线02=+y x 及02=-y x 围成.⎰⎰求函数yz xy M 2+=在约束条件10222=++z y x 下的最大值和最小值.38.39.10数三考研题10数三考研题21...,,2,1,0,cos sin 40==n n n I n x d x x I 求设Λπ00数三考研题1.q p a (A)n a a q a a p n n n n n n n n n ,,2,1,2||,2||2.的敛散性都不定都收敛与条件收敛若则下列命题正确的是设=-=+=Λ;().则,q p a (B)n n n 都收敛与绝对收敛若;则,q p a (C)n n n 与条件收敛若;则,03数三考研题∑∞=n 1∑∞=n 1∑∞=n 1∑∞=n 1∑∞=n 1∑∞=n 1∑∞=n 1∑∞=n 1∑∞=n 1∑∞=n .)()1|(2)1(12及其极值的和函数求幂级数x f x n x nn <-+|3.03数三考研题的敛散性都不定q p a (D)n n n 与绝对收敛若;则,1∑∞=n 1∑∞=n 1∑∞=n 1∑∞=n 4.设有以下命题:①;,)(212收敛则收敛若-+n n n u u u ②;,1000收敛则收敛若+n n u u 1∑∞=n 1∑∞=n 1∑∞=n 1∑∞=n 04数三考研题考研真题七④.,,)(都收敛则收敛若+nn n n v u v u 则以上命题中正确的是( ).(A)①②;②③;③④;①④.1∑∞=n 1∑∞=n 1∑∞=n (B)(C)(D)③;,1lim1发散则若+∞→>nnn n u u u 1∑∞=n 5.设,,2,1,0Λ=>n a n 若n a 发散,--1)1(n n a 收敛, (A)-12n a 收敛,2n a 发散;收敛,-12n a 发散;(B)∑∞=1n ∑∞=1n 则下列结论正确的是( ).∑∞=1n ∑∞=1n 2n a ∑∞=1n ∑∞=1n 22.. 6.求幂级数⎪⎭⎫⎝⎛-+21121n x n 在区间)1,1(-内的和函数).(x S ∑∞=1n 05数三考研题8. 求幂级数∑∞-+---1121)12()1(n n n n n x 的收敛域及和函数)(x S .7.若级数n a 收敛( ).则级数,∞=1n ∑(A)收敛;(B)收敛;n ∞=1n ∑n a ∞=1n ∑-)1(n a (C)收敛;(D)++12n n a a 收敛.n a ∞=1n ∑1+n a ∞=1n ∑(C)-+212)(n n a a 收敛;(D)--212)(n n a a 收敛.∑∞=1n ∑∞=1n 05数三考研题06数三考研题06数三、数四考研题9.将函数431)(2--=x x x f 展开成1-x 的幂级数,并指出其收敛区间.07数三考研题10.设银行存款的年利率0.05,并依年复利计算A 万元实现第一年取出19万元28元n 年取出10+9n 万元A 至少为多少万元第二年取出…第问并能按此规律一直提取下去,,,,?r =.某基金会希望通过存()款万,08数三考研题11.幂级数nn nn x n e ∑∞=--12)1(的收敛半径为_____________.09数三考研题23..考研真题八x y y e y y 2.1)0(,1)0(02='==-'-''的解满足条件求微分方程00数三考研题1.2.已知满足+= (n 为正整数),且n ef n =)1(,求函数项级数之和)(x f n )(x f n e x ∑∞=1n )(x f n n x )(f 'n x 1-.01数三考研题3. (1)验证函数)()3(!9!6!31)(3963+∞<<-∞++++++=x n x x x x x y n满足微分方程y =++(2)利用(1)的结果求幂级数的和函数!......y 'y ''e x .∑∞=0n ;)3(3n x n!02数三考研题),()(),(),()()(内满足以下条件在其中函数设x g x f x g x f x F +∞-∞=4..2)()(,0)0()()('),()('且e x g x f f x f x g x g x f x =+===:.)((2))((1)的表达式求出;所满足的一阶微分方程求x F x F 03数三考研题,1),(2222v fu f v u f =∂∂+∂∂又且满足具有二阶连续偏导数设,6..)(21,[),(222222y gx g y x xy f v u g ∂∂+∂∂-=求],03数三、四考研题.)()(;)()().()(8642642425.864的表达式所满足的一阶微分方程求的和函数为设级数x S x S x S x x x x II I +∞<<-∞+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅Λ04数三考研题7.微分方程0=+'y y x 满足初始条件2(1)=y 的特解为_______.05数三、四考研题24..9.在xOy 坐标平面上, 连续曲线L 过点)0,1(M 其上任意点)0),(≠x y x P 处的切线斜率与直线OP 的斜率之差等于ax (常数0>a )(1)求L 的方程;(2)当L 与直线ax y =所围成平面图形的面积为38时, 确定a 的值.8. 设非齐次线性微分方程)()(x Q y x P y =+'有两个的解C x y x y ),(),(21为任意常数, 则该方程通解是(A)[];)()(21x y x y C - (B)[];)()()(211x y x y C x y -+(C)[];)()(21x y x y C +(D)[].)()()(211x y x y C x y ++:06数三、四考研题06数三、四考研题(10.微分方程321⎭⎫⎝⎛-=x y x y d x d y 满足1|1==x y 的特解为=y ___________.07数三、四考研题11.设函数)(x f 具有连续的一阶导数,且满足,)()()(0222+'-=xx dt t f t x x f 求)(x f 的表达式.⎰07数四考研题微分方程0=+'y y x 满足条件1)1(=y 的解是=y ______.08数三考研题13.微分方程0)(2=-+-x d y d x e x y x 的通解是._______=y 08数四考研题14.设某商品的收益函数为),(P R 收益弹性为,13P +其中P 为价格,且,1)1(=R 则.__________(=P R 设21,y y 是一阶线性非齐次微分方程)()(x q y x p y =+的两个特解, 常数μλ,使21y y μλ+是该方程的解,21y y μλ-是该方程对应的齐次方程的解,则( ).(A)21=λ,21=μ(B)21-=λ,21-=μ(C)32=λ,31=μ(D)32=λ,32=μ'12.10数三考研题)15.若;;;.10数三考研题。

考研数学三(微积分)历年真题试卷汇编17(题后含答案及解析)

考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编17(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(2008年)已知f(x，y)=则( )A．fx’(0，0)，fy’(0，0)都存在。

B．fx’(0，0)不存在，fy’(0，0)存在C．fx’(0，0)存在，fy’(0，0)不存在。

D．fx’(0，0)，fy’(0，0)都不存在。

正确答案：B解析：故fx’(0，0)不存在。

所以fy’(0，0)存在。

故选B。

知识模块：微积分2．(2016年)已知函数f(x，y)=则( )A．fx’-fy’=0。

B．fx’+fy’=0。

C．fx’-fy’=f。

D．fx’+fy’=f。

正确答案：D解析：由复合函数求导法则故fx’+fy’=f。

知识模块：微积分3．(2003年)设可微函数f(x，y)在点(x0，y0)取得极小值，则下列结论正确的是( )A．f(x0，y)在y=y0处的导数等于零。

B．f(x0，y)在y=y0处的导数大于零。

C．f(x0，y)在y=y0处的导数小于零。

D．f(x0，y)在y=y0处的导数不存在。

正确答案：A解析：可微函数f(x，y)在点(x0，y0)取得极小值，根据取极值的必要条件知fy’(x0，y0)=0，即f(x0，y)在y=y0处的导数等于零，故应选A。

本题也可用排除法分析，取f(x，y)=x2+y2，在(0，0)处可微且取得极小值，并且有f(0，y)=y2，可排除B，C，D，故正确选项为A。

知识模块：微积分4．(2017年)二元函数z=xy(3一x—y)的极值点是( )A．(0，0)。

B．(0，3)。

C．(3，0)。

D．(1，1)。

正确答案：D解析：根据二元函数极值点的条件zx’=y(3一x—y)一xy=y(3—2x—y)，zy’=x(3一x—y)一xy—x(3一x一2y)，zxx”=一2y，zxy”=3—2x一2y，zyy”=一2x。

考研数学三(微积分)模拟试卷10(题后含答案及解析)

考研数学三（微积分）模拟试卷10(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．已知y=x/lnx是微分方程y’=y/x+φ(x/y)的解，则φ(x/y)的表达式为A．-y2/x2B．y2/x2C．-x2/y2D．x2/y2正确答案：A 涉及知识点：微积分2．设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y.+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数λ，μ使λy1+μy2是该方程的解，λy1-μy2是该方程对应的齐次方程的解，则A．λ=1/2,μ=1/2B．λ=-1/2,μ=-1/2C．λ=2/3,μ=1/3D．λ=2/3,μ=2/3正确答案：A 涉及知识点：微积分3．若f(x)不变号，且曲线y=f(x)在点(1，1)处的曲率圆为x2+y2=2，则函数f(x)在区间(1，2)内A．有极值点，无零点．B．无极值点，有零点．C．有极值点，有零点．D．无极值点，无零点．正确答案：B 涉及知识点：微积分4．设u=e-x sinx/y,则э2 u/эxэy 在点（2,1/π）处的值________。

正确答案：π2/э2 涉及知识点：微积分5．设an＞0(n=l，2，…)，Sn=a1+a2+…+an，则数列{Sn}有界是数列{an}收敛的A．充分必要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既非充分也非必要条件正确答案：B解析：解决数列极限问题的基本方法是：求数列极限转化为求函数极限;利用适当放大缩小法(夹逼定理);利用定积分定义求某些和式的极限. 知识模块：微积分6．“对任意给定的ε∈(0，1)，总存在正整数N，当n>N时，恒有｜xn-a｜≤2ε”是数列{xn}收敛于a的A．充分条件但非必要条件B．必要条件但非充分条件C．充分必要条件D．既非充分条件又非必要条件正确答案：C解析：函数与极限的几个基本性质：有界与无界，无穷小与无穷大，有极限与无极限(数列的收敛与发散)，以及它们之间的关系，例如，有极限→(局部)有界，无穷大→无界，还有极限的不等式性质及极限的运算性质等．知识模块：微积分7．设函数f(x)在(-∞，+∞)内单调有界，{xn}为数列，下列命题正确的是A．若{xn}收敛，则{f(xn)}收敛B．若{xn}单调，则{f(xn)}收敛C．若{f(xn)}收敛，则{xn}收敛D．若{f(xn)}单调，则{xn}收敛正确答案：B 涉及知识点：微积分8．函数f(x)=[丨x丨sin(x-2)]/[x(x-1)(x-2)2]存下列哪个区间内有界．A．(-1，0)B．(1，0)C．(1，2)D．（2,3）正确答案：A 涉及知识点：微积分9．设f(x)=ln10x，g(x)=x，h(x)=ex/10，则当x充分大时有A．g(x)<h(x)<f(x)．B．f(x)<g(x)<h(x)．C．h(x)<g(x)<f(x)D．g(x)<f(x)<h(x)．正确答案：C 涉及知识点：微积分10．设函数f(x)任(-∞，+∞)内单调有界，{xn}为数列，下列命题正确的是A．若{xn}收敛，则{f（xn）}收敛．B．若{xn}单调，则{f（xn）}收敛．C．若{f(xn)}收敛，则{xn}收敛.D．符{f(xn)}单调，则{xn}收敛．正确答案：B 涉及知识点：微积分11．设可微函数f(x，y)在点(xo，yo)取得极小值，则下列结论正确的是A．f(xo，y)在y=yo处的导数等于零．B．f(xo，y)存y=yo处的导数大于零．C．f(xo，y)在y=yo处的导数小于零．D．f(xo，y)在y=yo处的导数不存在．正确答案：D 涉及知识点：微积分12．设非齐次线性微分方程y’+P(x)y=Q(x)有两个不同的解y1(x)，y2(x)，C 为任意常数，则该方程的通解是A．C[y1(x)-y2(x)]．B．y1(x)+C[y1(x)-y2(x)]．C．C[y1(x)+y2(x)]．D．y1(x)+C[y1(x)+y2(x)]．正确答案：B 涉及知识点：微积分13．y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数λ，μ使λy1+y2是该方程的解，λy1-μy2是该方程对应的齐次方程的解，则A．λ=1/2,μ=1/2.B．λ=-1/2,μ=-1/2.C．λ=2/3,μ=1/3.D．λ=2/3,μ=2/3.正确答案：A 涉及知识点：微积分14．微分方程y”+y=x2+1+sinx 的特解形式可设为A．y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)．B．y*=x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)．C．y*=ax2+bx+c+Asinx．D．y*=ax2+bx+c+Acosx．正确答案：A 涉及知识点：微积分填空题15．当x→0时，f(x)=x-sinax与g(x)=x2ln(1-bx)是等价无穷小，则a=______,b=______.正确答案：1,-1/6 涉及知识点：微积分16．已知当x→0时，函数f(x)=3sinx-sin3x与cxk是等价无穷小，则k=_______,c=______.正确答案：3,4 涉及知识点：微积分17．设二元函数z=xex+y+(x+1)ln(1+y)，则dz丨(1，0)=___________.正确答案：2edx+(e+2)dy 涉及知识点：微积分18．设z=(x+ey)x，则θz/θx丨(1，0)=___________.正确答案：2ln2+1 涉及知识点：微积分19．设函数z=(1+x/y)x/y,则dz丨(1，1)=___________.正确答案：-(2ln2+1) 涉及知识点：微积分20．设z=f(xy,x/y)+g(y/x)，其中f,g均可微，则θz/θx=________.正确答案：yf1’+(1/y)f2’-(y/x2)g’涉及知识点：微积分21．设函数f(u)可微，且f(0)=1/2，则z=f(4x2-y2)在点(1，2)处的全微分dz 丨(1，2)=_________.正确答案：4dx-2dy 涉及知识点：微积分22．微分方程xy’+y=0满足初始条件y(1)=2的特解为__________.正确答案：2/x 涉及知识点：微积分23．微分方程xy’+y=0满足条件y(1)=1的解是y=________.正确答案：1/x 涉及知识点：微积分24．微分方程y”-2y’+2y=ex的通解为________.正确答案：ex(C1cosx+C2sinx+1) 涉及知识点：微积分25．微分方程y”-4y=e2x的通解为________.正确答案：C1e2x+C2e-2x+x/4e2x 涉及知识点：微积分26．二阶常系数非齐次线性微分方程y”-4y’+3y=2e2x的通解为y=_______.正确答案：C1ex+C2e3x+2e2x 涉及知识点：微积分27．差分方程yt+1-yt=t2t的通解为_______.正确答案：C+(t-2)2t 涉及知识点：微积分28．差分方程2yt+1+10yt-5t=0的通解为_______.正确答案：C(-5)t+5/12(t-1/6) 涉及知识点：微积分29．某公司每年的工资总额在比上一年增加20％的基础上再追加2百万元．若以W1表示第t年的工资总额(单位：百万元)，则Wt满足的差分方程是__________．正确答案：Wt=1．2t-1+2解析：第t年的工资总额W1(百万元)是两部分之和，其中一部分是同定追加额2(百万元)，另一部分比前一年的工资总额Wt-1多20％，即是Wt-1的1：2倍．于是可得Wt满足的差分方程是Wt=1.2t-1+2．知识模块：微积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学三(多元函数微积分学)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)

考研数学三（多元函数微积分学）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．[2008年] 设则( )．A．fx’(0，0)，fy’(0，0)都存在B．fx’(0，0)不存在，fy’(0，0)存在C．fx’(0，0)存在，fy’(0，0)不存在D．fx’(0，0)，fy’(0，o)都不存在正确答案：B解析：因而则极限不存在，故偏导数fx’(0，0)不存在．而因而偏导数fy’(0，0)存在．仅(B)入选．知识模块：多元函数微积分学2．[2003年] 设可微函数f(x，y)在点(x0，y0)处取得极小值，则下列结论正确的是( )．A．f(x0，y)在y=y0处的导数大于零B．f(x0，y)在y=y0处的导数等于零C．f(x0，y)在y=y0处的导数小于零D．f(x0，y)在y=y0处的导数不存在正确答案：B解析：解一因f(x，y)在点(x0，y0)处可微，故f(x，y)在点(x0，y0)处两个偏导数存在，因而一元函数f(x0，y)在y=y0处的导数也存在．又因f(x，y)在点(x0，y0)处取得极小值，故f(x0，y0)在y=y0处的一阶(偏)导数等于零．仅(B)入选．解二由函数f(x，y)在点(x0，y0)处可微知，f(x．y)在点(x0，y0)处的两个偏导数存在．又由二元函数极值的必要条件即得f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数都等于零．因而有知识模块：多元函数微积分学3．[2016年] 已知函数则( )．A．fx’－fy’=0B．fx’+fy’=0C．fx’－fy’=fD．fx’+fy’=f正确答案：D解析：则仅(D)入选．知识模块：多元函数微积分学4．[2017年] 二元函数z=xy(3－x－y)的极值点为( )．A．(0，0)B．(0，3)C．(3，0)D．(1，1)正确答案：D解析：zy’=y(3－x－y)－xy=y(3－2x－y)，zy’=x(3－x－y)－xy=x(3－x－2y)，又zxx’=－2y，zxy=3－2x－2y，zyy’=－2x，将选项的值代入可知，只有(D)符合要求，即A=zxx”(1，1)=－2，B=zxy”(1，1)=－1，C=zyy”(1，1)=－2．满足B2－AC=－3＜0，且A=－2＜0，故点(1，1)为极大值点．仅(D)入选．知识模块：多元函数微积分学5．[2006年] 设f(x，y)与φ(z，y)均为可微函数，且φy’(x，y)≠0，已知(x0，y0)是f(x，y)在约束条件φ(x，Y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是( )．A．若fx’(x0，y0)=0，则fy’(x0，y0)=0B．若fx’(x0，y0)=0，则f’y(x0，y0)≠0C．若fx’(x0，y0)≠0，则fy’(x0，y0)=0D．若fx’(x0，y0)≠0，则f’y(x0，y0)≠0正确答案：D解析：解一由拉格朗日乘数法知，若(x0，y0)是f(x，y)在条件φ(x，y)=0下的极值点，则必有fx’(x0，y0)+λφx’(x0，y0)=0，①fx’(x0，y0)+λφx’(x0，y0)=0．②若fx’(x0，y0)≠0，由式①知λ≠0．又由题设有φy’(x0，y0)≠0，再由式②知fy’(x0，y0)≠0．仅(D)入选．解二构造拉格朗日函数F(x，y，λ)=f(x，y)+λφ(x，y)，并记对应于极值点(x0，y0)处的参数的值为λ0，则由式③与式④消去λ0得到fx’(x0，y0)／φx’(0，y0)=一λ0=f’y(x0，y0)／φ’y(x0，y0)．即f’x(x0，y0)φ’y(x0，y0)一fy’(x0，y0)φx’(x0，y0)=0．整理得若fx’(x0，y0)≠0，则由式③知，φx’(x0，y0)≠0．因而fy’(x0，y0)≠0．仅(D)入选．解三由题设φy’(x，y)≠0知，φ(x，y)=0确定隐函数y=y(x)．将其代入f(x，y)中得到f(x，y(x))．此为一元复合函数．在φ(x，y)=0两边对x求导，得到因f(x，y(x))在x=x0处取得极值，由其必要条件得到f’x+fy’y’=fx’+fy’(一φx’／φy’)=0．因而当fx’(x0，y0)≠0时，必有fy’(x0，y0)≠0．仅(D)入选．知识模块：多元函数微积分学填空题6．[2012年] 设连续函数z=f(x，y)满足则dz｜(0,1)=__________．正确答案：2dx－dy解析：用函数f(x，y)在(x0，y0)处的微分定义：与所给极限比较易知：z=f(x，y)在点(0，1)处可微，且fx’(0，1)=2，fy’(0，1)=－1，f(0，1)=1，故dz｜(0,1)=fx’(0，1)dx+fy’(0，1)dy=2dx－dy．知识模块：多元函数微积分学7．[2009年] 设z=(x+ey)x，则正确答案：2ln2+1解析：解一为简化计算，先将y=0代入z中得到z(x，0)=(x+1)x，z为一元函数．将x=1代入上式，得到解二考虑到z(x，0)=(x+1)x为幂指函数，先取对数再求导数：lnz=xln(x+1)．在其两边对x求导，得到则知识模块：多元函数微积分学8．[2007年] 设f(u，v)是二元可微函数，则正确答案：解析：解一设u=y／x，v=x／y．为方便计，下面用“树形图”表示复合层次与过程．由式①一式②得到解二令f1’，f2’分别表示z=f(y／x，x ／y)对第1个和第2个中间变量y／x、x／y求导数，则知识模块：多元函数微积分学9．[2004年] 函数f(u，v)由关系式f[xg(y)，y]=x+g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y)≠0，则正确答案：解析：令u=xg(y)，v=y，由此解出于是知识模块：多元函数微积分学10．[2005年] 设二元函数z=xex+y+(x+1)ln(1+y)，则dz｜(1,0)=_________．正确答案：2edx+(e+2)dy解析：dz=d[xex+y+(x+1)ln(1+y)]=d(xex+y)+d[(x+1)ln(1+y)] =ex+ydx+xex+y(dx+dy)+ln(1+y)dx+[(x+1)／(1+y)]dy．①将x=1，y=0代入上式(其中dz，dx，dy不变)，得到dz｜(1,0)=edx+e(dx+dy)+2dy=2edx+(e+2)dy．解二利用全微分公式求之．为此，先求出偏导数故解三用定义简化法求之．固定一个变量转化为另一个变量的一元函数求导．由z(x，0)=xex得到由z(1，y)=ey+2ln(1+y)得到故知识模块：多元函数微积分学11．[2006年] 设函数f(u)可微，且f’(0)=1／2，则z=f(4x2－y2)在点(1，2)处的全微分dz｜1,2=___________．正确答案：4dx一2dy解析：解一dz=df(4x2－y2)=f’(u)du=f’(u)d(4x2－y2)=f’(u)(8xdx－2ydy)，其中u=4x2－y2．于是dz｜1,2=f’(0)(8dx－4dy)=4dx－2dy．解二利用复合函数求导公式和定义简化法求之．由z=f(4x2－y2)得到解三由z=f(4x2－y2)得到于是故dz｜1,2=4dx－2dy．知识模块：多元函数微积分学12．[2011年] 设函数则dz｜1,1=____________．正确答案：(1+2ln2)(dx—dy)解析：解一所给函数为幂指函数，先在所给方程两边取对数，然后分别对x，y求偏导：由得到则解二先用定义简化法求出然后代入全微分公式求解．故dz｜1,1=2(ln2+1／2)dx－2(ln2+1／2)dy=(1+2ln2)(dx－dy)．知识模块：多元函数微积分学13．[2015年] 若函数z=z(x，y)由方程ex+2y+3z+xyz=1确定，则dz｜0,0=_______________．正确答案：解析：在ex+2y+3z+xyz=1①两边分别对x，y求偏导得到同法可得将x=0，y=0代入式①易求得z=0，代入式②、式③分别得到则知识模块：多元函数微积分学14．[2014年] 二次积分正确答案：解析：注意到不易求出，需先交换积分次序，由积分区域的表达式D={(x，y)|y≤x≤1，0≤y≤1)－{(x，y)|0≤y≤x，0≤x≤1}及交换积分次序得到故知识模块：多元函数微积分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学三(微积分)模拟试卷13(题后含答案及解析)

考研数学三（微积分）模拟试卷13(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设f(x)=，则当x→0时，g(x)是f(x)的( )．A．高阶无穷小B．低阶无穷小C．同阶但非等价的无穷小D．等价无穷小正确答案：A解析：故g(x)是f(x)的高阶无穷小，应选A．知识模块：微积分2．设f(x)=，则当x→0时，f(x)是g(x)的( )．A．低阶无穷小B．高阶无穷小C．等价无穷小D．同阶但非等价的无穷小正确答案：B解析：所以f(x)是g(x)的高阶无穷小，选B．知识模块：微积分3．极限( )．A．等于1B．为∞C．不存在但不是∞D．等于0正确答案：B解析：知识模块：微积分填空题4．=__________正确答案：解析：知识模块：微积分5．=__________正确答案：解析：当x→0时，知识模块：微积分6．=__________正确答案：解析：知识模块：微积分7．=__________正确答案：解析：知识模块：微积分8．=__________正确答案：2解析：知识模块：微积分9．=__________正确答案：解析：知识模块：微积分10．=__________正确答案：解析：知识模块：微积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

11．若正确答案：涉及知识点：微积分12．设正确答案：涉及知识点：微积分13．求正确答案：涉及知识点：微积分14．求正确答案：涉及知识点：微积分15．求正确答案：涉及知识点：微积分16．设f(x)=∫0tanxarctant2dt，g(x)=x—sinx，当x=0时，比较这两个无穷小的关系．正确答案：所以当x→0时，f(x)=∫0tanxarctant2dt与g(x)=x—sinx是同阶非等价的无穷小．涉及知识点：微积分17．设f(x)连续，且，且f’(0)存在，求f’(0)．正确答案：涉及知识点：微积分18．设f(x)二阶连续可导，f”(0)=4，求下列极限。

考研数学三(微积分)模拟试卷90(题后含答案及解析)

考研数学三（微积分）模拟试卷90(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．当x→0时，下列四个无穷小中，哪一个是比其他三个高阶的无穷小（）A．x2B．1—cosxC．D．x—tanx正确答案：D解析：利用等价无穷小代换。

由于x→0时，所以当x→0时，B、C与A是同阶的无穷小，由排除法知选D。

知识模块：微积分2．函数f（x）=（x2+x—2）|sin2nx|在区间上不可导点的个数是（）A．3B．2C．1D．0正确答案：B解析：设g（x）=x2+x—2，φ（x）=| sin2πx|，显然g（x）处处可导，φ（x）处处连续，有不可导点。

只须考查φ（x）不可导点处g（x）是否为零。

φ（x）=|sin2πx|的图形如图1—2—3所示，在，1，其余均可导。

因为g（0）=—2≠0，处不可导，在x=1可导，其余点均可导。

故选B。

知识模块：微积分3．∫2xlnxln（1+t）dt=（）A．B．C．ln（1+Inx）—ln（1+2x）D．ln（1+lnx）—2ln（1+2x）正确答案：A解析：故选A。

知识模块：微积分4．设函数f（x），g（x）具有二阶导数，且g”（x）＜0。

若g（x0）=a是g（x）的极值，则f[g（x）]在x0取极大值的一个充分条件是（）A．f’（a）＜0B．f’（a）＞0C．f”（a）＜0D．f”（A）＞0正确答案：B解析：{f[g（x）]}’=f’[g（x）]．g’（x），{f[g（x）]}”={f’[g（x）]．g ‘（x）}’=f”[g （x）]．[g ‘（x）]2+f’[g（x）]．g”（x），由于g（x0）=a是g（x）的极值，所以g’（x0）=0。

所以{f[g（x0）]}”=f’[g（x0）]．g”（x0）=f’（a）．g”（x0），由于g”（x0）＜0，要使{f[g（x）]}”＜0，必须有f’（A）＞0。

微积分试卷及标准答案6套

微积分试题 (A 卷)一. 填空题 (每空2分,共20分)1. 已知,)(lim 1A x f x =+→则对于0>∀ε，总存在δ>0，使得当时，恒有│ƒ(x )─A│< ε。

2. 已知2235lim2=-++∞→n bn an n ，则a = ，b = 。

3. 若当0x x →时，α与β 是等价无穷小量，则=-→ββα0limx x 。

4. 若f (x )在点x = a 处连续，则=→)(lim x f ax 。

5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是。

6. 设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则=-+→hx f h x f h )()3(lim000______________。

7. 曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为。

8. ='⎰))((dx x f x d 。

9. 设总收益函数和总成本函数分别为2224Q Q R -=，52+=Q C ，则当利润最大时产量Q 是。

二. 单项选择题 (每小题2分,共18分)1. 若数列{x n }在a 的ε 邻域（a -ε,a +ε）内有无穷多个点，则（）。

(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在 2. 设11)(-=x arctgx f 则1=x 为函数)(x f 的（）。

(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点(D) 连续点 3. =+-∞→13)11(lim x x x（）。

(A) 1 (B) ∞ (C)2e (D) 3e4. 对需求函数5p eQ -=，需求价格弹性5pE d -=。

当价格=p （）时，需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。

(A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 105. 假设)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→；在点0x 的某邻域内(0x 可以除外)存在，又a 是常数，则下列结论正确的是（）。

考研数学三考试大纲

考研数学三大纲考试科目微积分、线性代数、概率论与数理统计考试形式和试卷结构1、试卷满分及考试时间试卷满分为150分,考试时间为180分钟.2、答题方式答题方式为闭卷、笔试.3、试卷内容结构微积分 58%线性代数 20%概率论与数理统计 22%4、试卷题型结构试卷题型结构为:单项选择题选题8小题,每题4分,共32分填空题 6小题,每题4分,共24分解答题(包括证明题) 9小题,共94分考试内容之微积分函数、极限、连续考试要求1.理解函数的概念,掌握函数的表示法,会建立应用问题的函数关系.2.了解函数的有界性.单调性.周期性和奇偶性.3.理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念.4.掌握基本初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念.5.了解数列极限和函数极限(包括左极限与右极限)的概念.6.了解极限的性质与极限存在的两个准则,掌握极限的四则运算法则,掌握利用两个重要极限求极限的方法.7.理解无穷小的概念和基本性质.掌握无穷小量的比较方法.了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系.8.理解函数连续性的概念(含左连续与右连续),会判别函数间断点的类型.9.了解连续函数的性质和初等函数的连续性,理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理.介值定理),并会应用这些性质.一元函数微分学考试要求1.理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系,了解导数的几何意义与经济意义(含边际与弹性的概念),会求平面曲线的切线方程和法线方程.2.掌握基本初等函数的导数公式.导数的四则运算法则及复合函数的求导法则,会求分段函数的导数会求反函数与隐函数的导数.3.了解高阶导数的概念,会求简单函数的高阶导数.4.了解微分的概念,导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性,会求函数的微分.5.理解罗尔(Rolle)定理.拉格朗日( Lagrange)中值定理.了解泰勒定理.柯西(Cauchy)中值定理,掌握这四个定理的简单应用.6.会用洛必达法则求极限.7.掌握函数单调性的判别方法,了解函数极值的概念,掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用.8.会用导数判断函数图形的凹凸性(注:在区间内,设函数具有二阶导数.当时,的图形是凹的;当时,的图形是凸的),会求函数图形的拐点和渐近线.9.会描述简单函数的图形.一元函数积分学考试要求1.理解原函数与不定积分的概念,掌握不定积分的基本性质和基本积分公式,掌握不定积分的换元积分法和分部积分法.2.了解定积分的概念和基本性质,了解定积分中值定理,理解积分上限的函数并会求它的导数,掌握牛顿一莱布尼茨公式以及定积分的换元积分法和分部积分法. 不3.会利用定积分计算平面图形的面积.旋转体的体积和函数的平均值,会利用定积分求解简单的经济应用问题.4.了解反常积分的概念,会计算反常积分.多元函数微积分学考试要求1.了解多元函数的概念,了解二元函数的几何意义.2.了解二元函数的极限与连续的概念,了解有界闭区域上二元连续函数的性质.3.了解多元函数偏导数与全微分的概念,会求多元复合函数一阶、二阶偏导数,会求全微分,会求多元隐函数的偏导数.4.了解多元函数极值和条件极值的概念,掌握多元函数极值存在的必要条件,了解二元函数极值存在的充分条件,会求二元函数的极值,会用拉格朗日乘数法求条件极值,会求简单多元函数的最大值和最小值,并会解决简单的应用问题.5.了解二重积分的概念与基本性质,掌握二重积分的计算方法(直角坐标.极坐标).了解无界区域上较简单的反常二重积分并会计算.无穷级数考试要求1.了解级数的收敛与发散.收敛级数的和的概念.2.了解级数的基本性质和级数收敛的必要条件,掌握几何级数及级数的收敛与发散的条件,掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法.3.了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系,了解交错级数的莱布尼茨判别法.4.会求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域.5.了解幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分),会求简单幂级数在其收敛区间内的和函数.6.了解 e的x次方, sin x, cos x, ln(1+x)及(1+x)的a 次方的麦克劳林(Maclaurin)展开式.常微分方程与差分方程考试要求1.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.2.掌握变量可分离的微分方程.齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法.3.会解二阶常系数齐次线性微分方程.4.了解线性微分方程解的性质及解的结构定理,会解自由项为多项式.指数函数.正弦函数.余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程.5.了解差分与差分方程及其通解与特解等概念.6.了解一阶常系数线性差分方程的求解方法.7.会用微分方程求解简单的经济应用问题.考试内容之线性代数行列式考试内容:行列式的概念和基本性质行列式按行(列)展开定理考试要求1.了解行列式的概念,掌握行列式的性质.2.会应用行列式的性质和行列式按行(列)展开定理计算行列式.矩阵考试要求1.理解矩阵的概念,了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵的定义及性质,了解对称矩阵、反对称矩阵及正交矩阵等的定义和性质.2.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律,了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质.3.理解逆矩阵的概念,掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件,理解伴随矩阵的概念,会用伴随矩阵求逆矩阵.4.了解矩阵的初等变换和初等矩阵及矩阵等价的概念,理解矩阵的秩的概念,掌握用初等变换求矩阵的逆矩阵和秩的方法.5.了解分块矩阵的概念,掌握分块矩阵的运算法则.向量考试要求1.了解向量的概念,掌握向量的加法和数乘运算法则.2.理解向量的线性组合与线性表示、向量组线性相关、线性无关等概念,掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法.3.理解向量组的极大线性无关组的概念,会求向量组的极大线性无关组及秩.4.理解向量组等价的概念,理解矩阵的秩与其行(列)向量组的秩之间的关系.5.了解内积的概念.掌握线性无关向量组正交规范化的施密特(Schmidt)方法.线性方程组考试要求1.会用克莱姆法则解线性方程组.2.掌握非齐次线性方程组有解和无解的判定方法.3.理解齐次线性方程组的基础解系的概念,掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法.4.理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念.5.掌握用初等行变换求解线性方程组的方法.矩阵的特征值和特征向量考试要求1.理解矩阵的特征值、特征向量的概念,掌握矩阵特征值的性质,掌握求矩阵特征值和特征向量的方法.2.理解矩阵相似的概念,掌握相似矩阵的性质,了解矩阵可相似对角化的充分必要条件,掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法.3.掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质.二次型考试要求1.了解二次型的概念,会用矩阵形式表示二次型,了解合同变换与合同矩阵的概念.2.了解二次型的秩的概念,了解二次型的标准形、规范形等概念,了解惯性定理,会用正交变换和配方法化二次型为标准形.3.理解正定二次型.正定矩阵的概念,并掌握其判别法.考试内容之概率论与数理统计随机事件和概率考试要求1.了解样本空间(基本事件空间)的概念,理解随机事件的概念,掌握事件的关系及运算.2.理解概率、条件概率的概念,掌握概率的基本性质,会计算古典型概率和几何型概率,掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯(Bayes)公式等.3.理解事件的独立性的概念,掌握用事件独立性进行概率计算;理解独立重复试验的概念,掌握计算有关事件概率的方法.随机变量及其分布考试要求1.理解随机变量的概念,理解分布函数的概念及性质,会计算与随机变量相联系的事件的概率.2.理解离散型随机变量及其概率分布的概念,掌握0-1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松(Poisson)分布及其应用.3.掌握泊松定理的结论和应用条件,会用泊松分布近似表示二项分布.4.理解连续型随机变量及其概率密度的概念,掌握均匀分布、正态分布、指数分布及其应用,其中参数为的指数分布的概率密度为5.会求随机变量函数的分布.多维随机变量及其分布考试要求1.理解多维随机变量的分布函数的概念和基本性质.2.理解二维离散型随机变量的概率分布和二维连续型随机变量的概率密度、掌握二维随机变量的边缘分布和条件分布.3.理解随机变量的独立性和不相关性的概念,掌握随机变量相互独立的条件,理解随机变量的不相关性与独立性的关系.4.掌握二维均匀分布和二维正态分布,理解其中参数的概率意义.5.会根据两个随机变量的联合分布求其函数的分布,会根据多个相互独立随机变量的联合分布求其函数的分布.随机变量的数字特征考试要求1.理解随机变量数字特征(数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数)的概念,会运用数字特征的基本性质,并掌握常用分布的数字特征.2.会求随机变量函数的数学期望.3.了解切比雪夫不等式.大数定律和中心极限定理考试要求1.了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律(独立同分布随机变量序列的大数定律).2.了解棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理(二项分布以正态分布为极限分布)、列维—林德伯格中心极限定理(独立同分布随机变量序列的中心极限定理),并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率.数理统计的基本概念考试要求1.了解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念,其中样本方差定义为2.了解产生变量、变量和变量的典型模式;了解标准正态分布、分布、分布和分布得上侧分位数,会查相应的数值表.3.掌握正态总体的样本均值.样本方差.样本矩的抽样分布.4.了解经验分布函数的概念和性质.参数估计考试内容:点估计的概念估计量与估计值矩估计法最大似然估计法考试要求1.了解参数的点估计、估计量与估计值的概念.2.掌握矩估计法(一阶矩、二阶矩)和最大似然估计法。

考研数学三微积分-试卷36_真题(含答案与解析)-交互

考研数学三（微积分）-试卷36(总分64, 做题时间90分钟)1. 选择题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1.设条件收敛，且=r，则( )．SSS_SINGLE_SELA |r|＜1B |r|＞1C r=一1D r=1该题您未回答:х该问题分值: 2答案:C解析：因为un 条件收敛，所以级数un一定不是正项或负项级数，故r≤0．2.设un=(一1) n ln ，则( )．SSS_SINGLE_SELABCD该题您未回答:х该问题分值: 2答案:B解析：显然un 条件收敛，收敛，所以un2收敛，选(B)．3.设幂级数 an(x一2) n在x=6处条件收敛，则幂级数(x一2) 2n的收敛半径为( )．SSS_SINGLE_SELA 2B 4CD 无法确定该题您未回答:х该问题分值: 2答案:A解析：因为 an x(x一2) n在x=6处条件收敛，所以级数 ann的收敛半径为R=4，又因为级数 anx n有相同的收敛半径，所以的收敛半径为R=4，于是(x一2) 2n的收敛半径为R=2．选(A)．2. 填空题1.已知f(x)= ，则f (n) (3)=________．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：解析：2.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：3e．解析：3.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：2(1一ln2)．解析：4.设级数条件收敛，则p的取值范围是________．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：解析：3. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1.计算SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：2.计算其中D为单位圆x 2 +y 2 =1所围成的第一象限的部分．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：3.计算二重积分(x 2 +4x+y 2 )dxdy，其中D是曲线(x 2 +y 2 ) 2 =az(x 2一y 2 )围成的区域．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：根据对称性(x 2 +4x+y 2 )dxdy= (x 2 +y 2 )dxdy，其中是D位于第一卦限的区域．D14.设半径为R的球面S的球心在定球面x 2 +y 2 +z 2 =a 2 (a＞0)上，问R取何值时，球面S在定球面内的面积最大？SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：设球面S:x 2 +y 2 +(z一a) 2 =R 2，由得球面S在定球内的部分在xOy面上的投影区域为 Dxy:x 2 +y 2≤ (4a 2一R 2 ), 球面S 在定球内的方程为因为时球面S在定球内的面积最大．5.设f(x)在[a，b]上连续，证明：∫a b f(x)dx∫xb f(y)dy= [∫abf(x)dx] 2．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：令F（x）=∫a b f(t)dt，则∫ab f(x)dx∫xb f(y)dy=∫abf(x)[F(b)一F(x)]dx =F(b)∫a b f(x)dx一∫ab f(x)F(x)dx=F 2 (b)一∫ab F(x)dF(x)6.设f(x，y)，g(x，y)在平面有界闭区域D上连续，且g(x，y)≥0．证明：存在(ξ，η)∈D，使得SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：因为f(x，y)在D上连续，所以f(x，y)在D上取到最大值M和最小值m，故m≤f(x，y)≤M，又由g(x，y)≥0得 mg(x，y)≤f(x，y)g(x，y)≤Mg(x，y) 积分得7.设f(x)在[0，a](a＞0)上非负、二阶可导，且f(0)=0，f"(x)＞0，为y=f(x)，y=0，x=a围成区域的形心，证明：SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х 该问题分值: 2 答案:正确答案： 8.设函数f(x)∈C[a，b]，且f(x)＞0，D 为区域a≤x≤b，a≤y≤b．证明：≥(b 一a) 2 ．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х 该问题分值: 2 答案:正确答案：因为积分区域关于直线y=x 对称，9.设f(x)为连续函数，计算 +yf(x 2 +y 2 )]dxdy ，其中D 是由y=x 3 ，y=1，x=一1围成的区域．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х 该问题分值: 2 答案:正确答案：设f(x)的一个原函数为F(x)，则10.交换积分次序并计算∫ 0 a dx∫ 0 xSSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х 该问题分值: 2 答案: 正确答案：11.设f(x)在[0，1]上连续且单调减少，且f(x)＞0．证明：SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х 该问题分值: 2答案:正确答案：等价于∫01 f 2(x)dx∫1xf(x)dx≥∫1f(x)dx∫1(x)dx，等价于∫01 f 2(x)dxyf(y)dy≥∫1f(x)dx∫1 yf2 (y)dy，或者∫01dx∫1 yf(x)f(y)[f(x)一f(y)]dy≥0 令I=∫1dx∫1yf(x)f(y)[f(x)一f(y)]dy，根据对称性，I=∫01dx∫1 f(x)f(y)[f(y)一f(x)]dy，2I=∫01dx∫1 f(x)f(y)(y—x)[f(x)一f(y)]dy，因为f(x)＞0且单调减少，所以(y一x)[f(x)一f(y)]≥0，于是2I≥0，或I≥0，所以12.证明：用二重积分证明SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：令D1 ={(x，y)|x2 +y 2≤R 2，x≥0，y≥0}， D2={(x，y)x 2+y 2≤2R 2，x≥0，y≥0}13.讨论级数的敛散性．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：由正项级数的比较审敛法得收敛．14.设 an 收敛，举例说明级数 an2不一定收敛；若 an是正项收敛级数，证明 an2一定收敛．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：令an= 由交错级数的Leibniz审敛法，级数收敛，取ε0 =1，存在自然数N，当n＞N时，|an一0|＜1，从而0≤an＜1，当n＞N时，有0≤an 2＜an＜1．由 an收敛得收敛，再由比较审敛法得收敛．15.设0≤an ＜(一1) n an2中，哪个级数一定收敛？SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：16.若正项级数un收敛，证明：收敛．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：17.设an = tan n xdx． (1)求(an+an+2)的值； (2)证明：对任意常数λ＞0，收敛．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：18.设an =∫1 x2 (1一x) n dx，讨论级数 an的敛散性，若收敛求其和．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案: 正确答案：19.设{na n }收敛，且 n(a n 一a n 一1 )收敛，证明：级数 a n 收敛．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х 该问题分值: 2 答案:正确答案：令S n =a 1 +a 2 +…+a n ，S" n+1 =(a 1 一a 0 )+2(a 2 一a1)+…+(n+1)(a n+1 一a n )，则S" n+1 =(n+1)a n+1 一S n 一a 0 ，因为n(a n 一a n 一1 )收敛且数列{na n }收敛，所以 (n+1)a n+1 都存在，于是S n 存在，根据级数收敛的定义， a n 收敛．20.设a n ＞0(n=1，2，…)且{a n } n 一1 ∞ 单调减少，又级数 (一1) n a n发散，判断的敛散性．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х 该问题分值: 2 答案:正确答案：因为{a n } n ∞ 单调减少且a n ＞0(n=1，2，…)，所以由 (一1) n a n 发散，得A ＞0．根据正项级数的根值审敛法，由收敛．21.证明： (1)设a n ＞0，且{na n }有界，则级数 a n 2 收敛； (2)若n 2 a n =k ＞0，则级数a n 收敛．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х 该问题分值: 2 答案:正确答案：(1)因为{na n }有界，所以存在M ＞0，使得0＜na n ≤M，即0＜a n2≤ 而级数收敛，所以级数 a n 2 收敛． (2)取ε 0 = =k＞0，所以存在N＞0，当n＞N时，|n 2 an 一k|＜，即0＜n 2 an＜，或者0＜an ＜而 an收敛．22.设(n=1，2，…；an ＞0，bn＞0)，证明： (1)若级数 bn收敛，则级数 an收敛； (2)若级数 an发散，则级数 bn发散．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：(1)由则数列单调递减有下界，根据极限存在准则，23.设{un }，{cn)为正项数列，证明： (1)若对一切正整数n满足cnun一cn+1 un+1≤0，且发散，则un也发散； (2)若对一切正整数n满足一cn+1≥a(a＞0)，且收敛，则un也收敛．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：显然为正项级数． (1)因为对所有n满足cn un一cn+1un+1≤0，于是 cn un≤cn+1cnun≥…≥c1u1＞0，从而un≥c1u1．也发散． (2)因为对所有n满足一cn+1≥a，则cnun一cn+1un+1≥aun+1，即 cnun≥(cn+1+a)un+1，所以于是因为un也收敛．1。

考研数学三(微积分)历年真题试卷汇编7(题后含答案及解析)

考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编7(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(07年)如图，连续函数y＝f(χ)在区间[－3，－2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[－2，0]，[0，2]上的图形分别是直径为2的下、上半圆周．设F(χ)＝∫0χf(t)dt，则下列结论正确的是【】A．F(3)＝－F(－2)．B．F(3)＝F(2)．C．F(－3)＝F(2)．D．F(－3)＝－F(－2)．正确答案：C解析：根据定积分的几何意义知，则＝F(－3)．故应选C．也可用排除法：由定积分的几何意义知也可利用f(χ)是奇函数，则F(χ)＝∫0χf(t)dt为偶函数，从而F(3)＝F(－3)＝π，F(2)＝F(－2)＝则选项A、B、D均不正确，故应选C．知识模块：微积分2．(08年)如图，曲线段的方程为y＝f(χ)，函数f(χ)在区间[0，a]上有连续的导数，则定积分∫0aχf′(χ)dχ等于【】A．曲边梯形ABOD的面积．B．梯形ABOD的面积．C．曲边三角形ACD的面积．D．三角形ACD面积．正确答案：C解析：∫0aχf(χ)dχ＝∫0aχdf(χ)＝χf(χ)｜0a－∫0af(χ)dχ＝af(a)－∫0af(χ)dχ其中af(a)应等于矩形ABOC的面积，∫0af(χ)dχ应等于曲边梯形ABOD的面积，则∫0aχf′(χ)dχ应等于曲边三角形ACD的面积．知识模块：微积分3．(09年)设函数y＝f(χ)在区间[－1，3]上的图形为则函数F(χ)＝∫0χf(t)dt的图形为【】A．B．C．D．正确答案：D解析：由题设知，当χ∈(－1，0)时F′(χ)＝f(χ))，而当χ)∈(－1，0)时f(χ))≡1＞0，即F′(χ)＞0，从而F(χ)单调增．显然A选项是错误的，因为A 选项中F(χ)在(－1，0)中单调减．解析：由题设知，当χ∈(－1，0)时F′(χ)＝f(χ))，而当χ)∈(－1，0)时f(χ))≡1＞0，即F′(χ)＞0，从而F(χ)单调增．显然A选项是错误的，因为A选项中F(χ)在(－1，0)中单调减．由于F(χ)＝∫0χ(t)dt，则F(0)＝0，显然C选项错误．由于当χ∈(2，3]时f(χ)≡0，则当χ∈(2，3]时F(χ)＝∫0χf(t)dt＝∫02(t)dt＋∫2χf(t)dt＝∫02f(t)dt ＋∫2χ0dt＝F(2) 则选项B是错误的，D是正确的．知识模块：微积分4．(09年)使不等式＞lnχ成立的χ的范围是【】A．(0，1)．B．(1，)．C．(，π)D．(π，＋∞)正确答案：A解析：要使＞lnχ，只要即：只要＞0 由于＜0，t∈(0，1)，则χ∈(0，1)时，＞0，故当χ∈(0，1)时，＞lnχ．知识模块：微积分5．(11年)设I＝lnsinχdχ，J＝lncotχdχ，K＝lncosχdχ，则I，J，K的大小关系为【】A．I＜J＜K．B．I＜K＜J．C．J＜I＜K．D．K＜J＜I．正确答案：B解析：当χ∈(0，)时，sinχ＜cosχ＜1＜cotχ，而lnχ为单调增的函数，则lnsinχ＜lncosχ＜＜lncotχχ∈(0，) 故应选B．知识模块：微积分填空题6．(04年)设f(χ)＝则f(χ－1)dχ＝_______．正确答案：解析：令χ－1＝t，则知识模块：微积分7．(08年)设f(χ＋)＝，则f(χ)dχ＝_______．正确答案：解析：知识模块：微积分8．(10年)设可导函数y＝y(χ)由方程＝∫0χχsint2dt确定，则＝_______．正确答案：－1解析：由＝χ∫0χsintdt知，χ＝0时y＝0，且(1＋y′)＝∫0χsintdt ＋χsinχ将χ＝0和y＝0代入上式得1＋y′(0)＝0 y′(0)＝－1 知识模块：微积分9．(10年)设位于曲线y＝(e≤χ＜＋∞)下方，χ轴上方的无界区域为G，则G绕X轴旋转一周所得空间区域的体积为_______．正确答案：解析：知识模块：微积分10．(11年)曲线y＝，直线χ＝2及χ轴所围的平面图形绕z轴旋转所成的旋转体的体积为_______．正确答案：解析：V＝π∫12y2dχ＝π∫12(χ2－1)dχ＝知识模块：微积分11．(12年)由曲线y＝和直线y＝χ及y＝4χ在第一象限中围成的平面图形的面积为_______．正确答案：4ln2解析：曲线y＝和直线y＝χ及y＝4χ在第一象限围成的平面域如图，则所围面积为知识模块：微积分12．(13年)＝_______．正确答案：ln2解析：知识模块：微积分13．(14年)设D是由曲线χy＋1＝0与直线y＋χ＝0及y＝2围成的有界区域，则D的面积为_______．正确答案：－ln2．解析：用二重积分计算面积，即知识模块：微积分14．(14年)设，则a＝_______．正确答案：解析：由题设知＝0，则a＝．知识模块：微积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学三(微积分)模拟试卷99(题后含答案及解析)

考研数学三（微积分）模拟试卷99(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设f(x)在x=x0的某邻域内有定义，在x=x0的某去心邻域内可导，则下列说法正确的是A．若则f’(x0)存在且等于A．B．若f’(x0)存在且等于A，则C．若，则f’(x0)不存在．D．若f’(x0)不存在，则正确答案：C解析：解答本题的关键是将f’(x0)的定义式与联系来考虑．对于A：取但f(x)在x=x0处不连续，从而f’(x0)不存在．故A不对，同时也说明D不对．对于B：取显然f’(0)存在，但不存在，故B也不对．由排除法可知，应选C．或直接证明C正确．反证法：假设f’(x0)存在，则f(x)在x=x0处连续，那么在条件下，由洛必达法则有矛盾，所以f’(x0)不存在．知识模块：微积分2．在命题①若f(x)在x=a处连续，且｜f(x)｜在x=a处可导，则f(x)在x=a处必可导，②若φ(x)在x=a处连续，则f(x)=(x—a)φ(x)在x=a处必可导，③若φ(x)在x=a处连续，则f(x)=(x一a)｜φ(x)｜在x=a处必不可导，④若f(x)在x=a 处连续，且存在，则f(x)在x=a处必可导中正确的是A．①②．B．①③．C．①②③．D．②④．正确答案：A解析：①是正确的．设f(a)≠0，不妨设f(a)＞0，由于f(x)在x=a处连续，故存在δ＞0，当x∈(a一δ，a+δ)时f(x)＞0，于是在此区间上f(x)≡｜f(x)｜，故f’(a)=[｜f(x)｜]’x=a存在．若f(a)＜0可类似证明．若f(a)=0，则所以由夹逼定理得②是正确的．因为③是错误的．由②正确即知③是错误的．无妨取反例：φ(x)=x2，则，即f(x)在x=a处可导．④也不正确．可取反例：f(x)=｜x｜，显然f(x)在x=0处不可导，但综上分析，应选A．知识模块：微积分3．设f(x)在任意点x0∈(一2，+∞)有定义，且f(一1)=1，a为常数，若对任意x，x0∈(一2，+∞)满足则函数f(x)在(一2，+∞)内A．连续，但不一定可微．B．可微，且C．可微，且D．可微，且正确答案：D解析：由题设增量等式应得到f(x)在x=x0处可导，而x0又是(一2，+∞)内任意一点，于是f(x)在(一2，+∞)内处处可导，且再由f(一1)=1，即得lnC=1，解得C=e．所以在(一2，+∞)内有表达式故应选D．知识模块：微积分4．若极限则函数f(x)在x=a处A．不一定可导．B．不一定可导，但f+’(a)=A．C．不一定可导，但f-’(a)=A．D．可导，且f’(a)=A．正确答案：A解析：只有极限存在并不能保证极限都存在，因此两个单侧导数都不一定存在，应选A．请读者试举一例．知识模块：微积分5．设有多项式P(x)=x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，又设x=x0是它的最大实根，则P’(x0)满足A．P’(x0)＞0．B．P’(x0)＜0．C．P’(x0)≤0．D．P’(x0)≥0．正确答案：D解析：反证法．设x0是P(x)=0的最大实根，且使0＜x一x0＜δ时P(x)＜0，又由此可见P(x)在区间必由取负值变为取正值，于是，使P(x1)=0，与x=x0是P(x)=0的最大实根矛盾．故应选D．另外，该题也可以通过P(x)=x4+a3x3+a2x2+a1x+a0的图形来进行判定．4次函数与x轴的交点有如下四种情况，由此可知P’(x0)≥0．知识模块：微积分填空题6．设则f’(1)=____________．正确答案：涉及知识点：微积分7．设f(x)=esinπx，则=___________．正确答案：一(esinπx)’｜x=1=一(πcosπx)esinπx｜X=1=π．解析：根据导数定义所以，所求极限为一(esinπx)’｜x=1=一(πcosπx)esin πx｜X=1=π．或把函数代入用洛必达法则求极限．知识模块：微积分8．若函数f(x)在x=1处的导数存在，则极限=___________．正确答案：9f’(1)解析：按导数定义，将原式改写成知识模块：微积分9．设函数的导函数在x=0处连续，则参数λ的取值范围为_____________．正确答案：(3，+∞)解析：由导数定义可求得上述根限只在λ＞1时存在，且此时f’(0)=0，于是f(x)的导函数为欲使f’(x)在x=0处连续，必须有而这一极限为零应满足λ＞3．因此，参数λ的取值范围为(3，+∞)．(当1＜λ≤3时不存在．) 知识模块：微积分10．设则f’(t)=___________．正确答案：f’(t)=e2t+2te2t=(1+2t)e2t．解析：先求出f(t)，再求f’(t)．由于所以f’(t)=e2t+2te2t=(1+2t)e2t．知识模块：微积分11．设y=y(x)由方程y=1+xexy确定，则dy｜x=0=_________，y’’｜x=0=____________．正确答案：1；2解析：根据隐函数微分法有dy=exydx+xd(exy)=exydx+xexy(ydx+xdy)．由y(0)=1，在上述等式中令x=0，得到dy=dx．另外，由隐函数求导法则得到y’=exy+xexy(y+xy’)．①两边再次关于x求导一次，得到y’’=exy(x2y’’+2xy’+xy’+y)+exy(x2y’+xy+1)(xy’+y)，②再次令x=0，y(0)=1，由①式得到y’(0)=1，由②式得到y’’(0)=2．知识模块：微积分12．设y=sinx2，则=__________．正确答案：解析：设u=x3，则于是由复合函数求导法则即得知识模块：微积分13．设=__________．正确答案：解析：复合函数求导数，关键在于正确了解复合结构，设利用复合函数求导法则即得知识模块：微积分14．设=__________．正确答案：解析：知识模块：微积分15．设f(x)有任意阶导数且f’(x)=f3(x)，则f(n)(x)=__________．正确答案：(2n一1)!!f2n+1(x)解析：用归纳法．由f’(x)=f3(x)=1.f3(x)求导得f’’(x)=1.3f2(x)f’(x)=1.3f5(x)，再求导又得f’’’(x)=1.3.5f4(x)f’(x)=1.3.5f7(x)，由此可猜想f(n)(x)=1.3…(2n一1)f(2n+1)(x)=(2n—1)!!f(2n+1)(x)(n=1，2，3，…)．设n=k上述公式成立，则有f(k+1)(x)=[f(k)(x)]’=[(2k一1)!!f2k+1(x)]’=(2k一1)!!(2k+1)f2k(x)f’(x)=(2k+1)!!f2k+3(x)，由上述讨论可知当n=1，2，3，…时f(n)(x)=(2n一1)!!f2n+1(x)成立．知识模块：微积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学三(微积分)-试卷6

考研数学三（微积分）-试卷6(总分：64.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.下列各式中正确的是（（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：解析：由重要极限结论=e，可立即排除B、D。

对于A、C选项，只要验算其中之一即可。

对于C选项，因=e —1，故C不正确，选A。

3.设对任意的x，总有φ（x）≤f（x）≤g（x），且[g（x）—φ（x）]=0（分数：2.00）A.存在且等于零B.存在但不一定为零C.一定不存在D.不一定存在√解析：解析：取φ（x）=f（x）=g（x）=x，显然有φ（x）≤f（x）≤g（x），且[g（x）—φ（x）]=0，但[g（x）一φ（x）]=0=1，可见C也不正确，敬选D。

4.设f（x）在[a，b]可导，f（a））（分数：2.00）A.f +"（0）=0B.f +"（a）≥0C.f +"（A）＜0D.f +"（a）≤0√解析：解析：由题设条件f +"（a）D。

5.设f（x）在（1—δ，1+δ）内存在导数，f"（x）严格单调减少，且f（1）=f"（1）=1，则（）（分数：2.00）A.在（1—δ，1）和（1，1+∞内均有f（x）＜x √B.在（1—δ，1）和（1，1+∞内均有f（x）＞xC.在（1—δ，1）有f（x）＜x，在（1，1+δ）内均有f（x）＞xD.在（1—δ，1）有f（x）＞x，在（1，1+δ）内均有f（x）＜x解析：解析：f"（x）在（1—δ，1+δ）上严格单调减少，则f（x）在（1—δ，1+δ）是凸的，因此在此区间上，y=f（x）在点（1，1）处的切线为y—l=f"（1）（x—1），即y=x在此曲线的上方（除切点外）。

近年考研数学三微积分部分题目整合

x→−∞
x→−∞
3．（ 97 ）若 f (−x) = f (x) (−∞ < x < +∞) ，在 (−∞, 0) 内 f ′(x) > 0 且 f ′′(x) < 0 ，则在 (0, + ∞) 内有
（
）
（A） f ′(x) > 0, f ′′(x) < 0 ．
（B） f ′(x) > 0, f ′′(x) > 0 ．
．
x→0 x
13．（09）设某产品的需求函数为 Q = Q(P) ，其对应价格 P 的弹性 ξ P = 0.2 ，则当需求量为 10000 件时，
价格增加 1 元会使产品收益增加
元．
14．（10）设某商品的收益函数为 R( p) ，收益弹性为1 + p3 ，其中 p 为价格，且 R(1) = 1 ，则 R( p) =
（D） (x0 , f (x0 )) 是曲线 y = f (x) 的拐点．
2．（01）设 f (x) 的导数在 x = a 处连续，又 lim f ′(x) = −1 ，则（
）
x→a x − a
（A） x = a 是 f (x) 的极小值点．
（B） x = a 是 f (x) 的极大值点．
（C） (a, f (a)) 是曲线 y = f (x) 的拐点．
（C） f ′(0) ．
（D）0．
14．（12）设函数 f (x) = (ex −1)(e2x − 2)L(enx − n) ，其中 n 为正整数，则 f ′(0) = （
）
（A） (−1)n−1(n −1)!．（B） (−1)n (n −1)! ．二．填空题：
（C） (−1)n−1n! ．

303数学三大纲

303数学考研大纲考试科目：微积分、线性代数、概率论与数理统计考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间：试卷满分为150分，考试时间为180分钟．二、答题方式：答题方式为闭卷、笔试．三、试卷内容结构微积分约56%线性代数约22%概率论与数理统计约22%四、试卷题型结构单项选择题选题8小题，每小题4分，共32分填空题6小题，每小题4分，共24分解答题（包括证明题）9小题，共94分微积分一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系．2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念．5．了解数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念．6．了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法．7．理解无穷小量的概念和基本性质，掌握无穷小量的比较方法．了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系．8．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．9．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质．二、一元函数微分学考试内容导数和微分的概念导数的几何意义和经济意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线与法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数和隐函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（L'Hospital）法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值考试要求1．理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经济意义（含边际与弹性的概念），会求平面曲线的切线方程和法线方程．2．掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，会求分段函数的导数，会求反函数与隐函数的导数．3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．4．了解微分的概念、导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．5．理解罗尔（Rolle）定理、拉格朗日( Lagrange)中值定理，了解泰勒（Taylor）定理、柯西（Cauchy)中值定理，掌握这四个定理的简单应用．6．会用洛必达法则求极限．7．掌握函数单调性的判别方法，了解函数极值的概念，掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用．8．会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间内，设函数具有二阶导数．当时，的图形是凹的；当时，的图形是凸的），会求函数图形的拐点和渐近线．9．会描述简单函数的图形．三、一元函数积分学考试内容原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性质定积分中值定理积分上限的函数及其导数牛顿-莱布尼茨（Newton- Leibniz）公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法反常（广义）积分定积分的应用考试要求1．理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式，掌握不定积分的换元积分法与分部积分法．2．了解定积分的概念和基本性质，了解定积分中值定理，理解积分上限的函数并会求它的导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式以及定积分的换元积分法和分部积分法．3．会利用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积和函数的平均值，会利用定积分求解简单的经济应用问题．4．了解反常积分的概念，会计算反常积分．四、多元函数微积分学考试内容多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限与连续的概念有界闭区域上二元连续函数的性质多元函数偏导数的概念与计算多元复合函数的求导法与隐函数求导法二阶偏导数全微分多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值二重积分的概念、基本性质和计算无界区域上简单的反常二重积分考试要求1．了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义．2．了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质．3．了解多元函数偏导数与全微分的概念,会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分,会求多元隐函数的偏导数．4．了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决简单的应用问题．5．了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），了解无界区域上较简单的反常二重积分并会计算．五、无穷级数考试内容常数项级数的收敛与发散的概念收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条件几何级数与级数及其收敛性正项级数收敛性的判别法任意项级数的绝对收敛与条件收敛交错级数与莱布尼茨定理幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域幂级数的和函数幂级数在其收敛区间内的基本性质简单幂级数的和函数的求法初等函数的幂级数展开式考试要求1．了解级数的收敛与发散、收敛级数的和的概念．2．了解级数的基本性质及级数收敛的必要条件，掌握几何级数及级数的收敛与发散的条件，掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法．3．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系，了解交错级数的莱布尼茨判别法．4．会求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域5．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求简单幂级数在其收敛区间内的和函数．6．了解麦克劳林（Maclaurin）展开式．六、常微分方程与差分方程考试内容常微分方程的基本概念变量可分离的微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线性微分方程差分与差分方程的概念差分方程的通解与特解一阶常系数线性差分方程微分方程的简单应用考试要求1．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念．2．掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法．3．会解二阶常系数齐次线性微分方程．4．了解线性微分方程解的性质及解的结构定理，会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程．5．了解差分与差分方程及其通解与特解等概念．6．了解一阶常系数线性差分方程的求解方法．7．会用微分方程求解简单的经济应用问题．线性代数一、行列式考试内容行列式的概念和基本性质行列式按行（列）展开定理考试要求1.了解行列式的概念，掌握行列式的性质．2.会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式．二、矩阵考试内容矩阵的概念矩阵的线性运算矩阵的乘法方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵的等价分块矩阵及其运算考试要求1．理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵的定义及性质，了解对称矩阵、反对称矩阵及正交矩阵等的定义和性质．2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质．3.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵.4.了解矩阵的初等变换和初等矩阵及矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的逆矩阵和秩的方法．5.了解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算法则．三、向量考试内容向量的概念向量的线性组合与线性表示向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组等价向量组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量的内积线性无关向量组的正交规范化方法考试要求1．了解向量的概念，掌握向量的加法和数乘运算法则．2．理解向量的线性组合与线性表示、向量组线性相关、线性无关等概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法．3．理解向量组的极大线性无关组的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩．4．理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系5．了解内积的概念．掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）方法．四、线性方程组考试内容线性方程组的克拉默（Cramer）法则线性方程组有解和无解的判定齐次线性方程组的基础解系和通解非齐次线性方程组的解与相应的齐次线性方程组（导出组）的解之间的关系非齐次线性方程组的通解考试要求1.会用克拉默法则解线性方程组．2.掌握非齐次线性方程组有解和无解的判定方法．3.理解齐次线性方程组的基础解系的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法．4.理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念5.掌握用初等行变换求解线性方程组的方法．五、矩阵的特征值和特征向量考试内容矩阵的特征值和特征向量的概念、性质相似矩阵的概念及性质矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵实对称矩阵的特征值和特征向量及相似对角矩阵考试要求1.理解矩阵的特征值、特征向量的概念，掌握矩阵特征值的性质，掌握求矩阵特征值和特征向量的方法．2.理解矩阵相似的概念，掌握相似矩阵的性质，了解矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法．3.掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质．六、二次型考试内容二次型及其矩阵表示合同变换与合同矩阵二次型的秩惯性定理二次型的标准形和规范形用正交变换和配方法化二次型为标准形二次型及其矩阵的正定性考试要求1.了解二次型的概念，会用矩阵形式表示二次型，了解合同变换与合同矩阵的概念．2.了解二次型的秩的概念，了解二次型的标准形、规范形等概念，了解惯性定理，会用正交变换和配方法化二次型为标准形．3.理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法．概率论与数理统计一、随机事件和概率考试内容随机事件与样本空间事件的关系与运算完备事件组概率的概念概率的基本性质古典型概率几何型概率条件概率概率的基本公式事件的独立性独立重复试验考试要求1．了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算．2．理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯（Bayes）公式等．3．理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法．二、随机变量及其分布考试内容随机变量随机变量分布函数的概念及其性质离散型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率密度常见随机变量的分布随机变量函数的分布考试要求1．理解随机变量的概念，理解分布函数的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率．2．理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0－1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松（Poisson）分布及其应用．3．掌握泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布．4．理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布、指数分布及其应用，其中参数为的指数分布的概率密度为5．会求随机变量函数的分布．三、多维随机变量的分布考试内容多维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度随机变量的独立性和不相关性常见二维随机变量的分布两个及两个以上随机变量简单函数的分布考试要求1．理解多维随机变量的分布函数的概念和基本性质．2．理解二维离散型随机变量的概率分布和二维连续型随机变量的概率密度，掌握二维随机变量的边缘分布和条件分布．3．理解随机变量的独立性和不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件，理解随机变量的不相关性与独立性的关系．4．掌握二维均匀分布和二维正态分布，理解其中参数的概率意义．5．会根据两个随机变量的联合分布求其函数的分布，会根据多个相互独立随机变量的联合分布求其简单函数的分布．四、随机变量的数字特征考试内容随机变量的数学期望（均值）、方差、标准差及其性质随机变量函数的数学期望切比雪夫（Chebyshev）不等式矩、协方差、相关系数及其性质考试要求1．理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数）的概念，会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征．2．会求随机变量函数的数学期望．3．了解切比雪夫不等式．五、大数定律和中心极限定理考试内容切比雪夫大数定律伯努利（Bernoulli）大数定律辛钦（Khinchine）大数定律棣莫弗—拉普拉斯（De Moivre－Laplace）定理列维—林德伯格（Levy－Lindberg）定理考试要求1．了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量序列的大数定律）．2．了解棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理（二项分布以正态分布为极限分布）、列维—林德伯格中心极限定理（独立同分布随机变量序列的中心极限定理），并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率．六、数理统计的基本概念考试内容总体个体简单随机样本统计量经验分布函数样本均值样本方差和样本矩分布分布分布分位数正态总体的常用抽样分布考试要求1．了解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念，其中样本方差定义为2．了解产生变量、变量和变量的典型模式；了解标准正态分布、分布、分布和分布的上侧分位数，会查相应的数值表．3．掌握正态总体的样本均值、样本方差、样本矩的抽样分布．4.了解经验分布函数的概念和性质．七、参数估计考试内容点估计的概念估计量和估计值矩估计法最大似然估计法考试要求1．了解参数的点估计、估计量与估计值的概念．2．掌握矩估计法（一阶矩、二阶矩）和最大似然估计法。

考研数学三(微积分)历年真题试卷汇编21(题后含答案及解析)

考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编21(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(1989年)设f(x)=2x+3x一2，则当x→0时( )A．f(x)是x等价无穷小．B．f(x)与x是同阶但非等价无穷小．C．f(x)是比x更高阶的无穷小．D．f(x)是比x较低阶的无穷小．正确答案：B解析：由于=ln2+ln3=1n6则应选B．2．(2010年)设f(x)=ln10x，g(x)=x，，则当x充分大时有( )A．g(x)＜h(x)＜f(x)．B．h(x)＜g(x)＜f(x)．C．f(x)＜g(x)＜h(x)．D．g(x)＜f(x)＜h(x)．正确答案：C解析：由于则当x充分大时h(x)＞g(x)．又则当x充分大时，g(x)＞f(x)，故应选C．3．(1998年)设周期函数f(x)在(一∞，+∞)内可导，周期为4，又，则曲线y=f(x)在点(5，f(5))处的切线斜率为( )A．B．0C．一1D．一2正确答案：D解析：由题设f(x)在(一∞，+∞)内可导，且f(x)=f(x+4)，两边对x求导，则f’(x)=f’(x+4)，故f’(5)=f’(1)．由于则f’(1)=一2，故y=f(x)在点(5，f(5))处的切线斜率为f’(5)=一24．(2007年)曲线渐近线的条数为( )A．0．B．1．C．2．D．3．正确答案：D解析：由于则x=0为原曲线的一条垂直渐近线．而则y=0为原曲线的一条水平渐近线．则y=x为原曲线的一条斜渐近线，由此可知原曲线共有三条渐近线．所以．本题应选D．5．(2011年)设则I，J，K的大小关系为( )A．I＜J＜K．B．I＜K＜J．C．J＜I＜K．D．K＜J＜I．正确答案：B解析：当，sinx＜cosx＜1＜cotx，而lnx为单调增的函数，则lnsinx＜lncosx ＜lncotx 故应选B．6．(2005年)设其中D={(x，y)}x2+y2≤1}，则( )A．I3＞I2＞I1B．I1＞I2＞I3C．I2＞I1＞I3D．I3＞I1＞I2正确答案：A解析：由于当cosx是减函数，而当0≤x2+y2≤1时，≥x2+y2≥(x2+y2)，即I1≤I2≤I37．(2015年)下列级数中发散的是( )A．B．C．D．正确答案：C解析：由交错级数的莱布尼兹准则知，级数发散，故级数发散．选C．填空题8．(2006年)=_______．正确答案：应填1．解析：9．(1989年)曲线y=x+sin2x在点处的切线方程是______．正确答案：应填y=x+1．解析：y’=1+2sinxcosx，该曲线在点处的切线方程是即y=x+110．(2003年)设其导函数在x=0处连续，则λ的取值范围是=______．正确答案：应填λ＞2．解析：当x≠0时当x=0时由上式可知，当λ＞1时，f(0)存在，且f’(0)=0又由上式可知，当λ＞2时，即导函数在x=0处连续．11．(2018年)曲线y=x2+2lnx在其拐点处的切线方程是______．正确答案：应填y=4x一3．解析：令y’’=0得x=±l，x=一1(舍去)，拐点为(1，1)，又f’(1)=2+2=4则拐点处的切方程是为y—1=4(x一1)即y=4x一312．(2008年)设=______．正确答案：应填解析：13．(1995年)设f(u)可导，则xzx’+yzy’=______．正确答案：应填2z．解析：14．(2013年)设函数z=z(x，y)由方程(z+y)z=xy确定，则=______．正确答案：应填2—21n2．解析：方程(x+y)x=xy两端取对数得xln(x+y)=lnx+lny 上式两端对x求偏导得将x=1，y=2代入上式，并注意z=0，得15．(2018年)差分方程△yx一yx=5的通解为______．正确答案：应填yx=C2x一5．解析：△2yx=△x+1一△yx (yx+2一yx+1)一(yx+1一yx) =yx+2—2yx+1+yx代入△2yx一yx=5得yx+2—2yx+1=5，即yx+1—2yx=5齐次差分方程yx+1一2yx=0的通解为yx=C.2x而yx+1—2yx=5的特解为yx*=一5故原方程的通解为yx=C2x一5解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学三(微积分)模拟试卷6(题后含答案及解析)

考研数学三（微积分）模拟试卷6(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设λ=2是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵(1/3 A2 )-1 有一个特征值等于A．4/3B．3/4C．1/2D．1/4正确答案：B 涉及知识点：微积分2．设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵．已知n维列向量α是A 的属于特征值A的特征向量，则矩阵(P-1 AP)T 属于特征值A的特征向量是A．P-1α．B．PT α．C．Pα．D．(P-1 )Tα．正确答案：B 涉及知识点：微积分3．设A，B，A+B，A-1+B-1均为n阶可逆矩阵，则(A-1+B-1)-1等于A．A-1+B-1．B．A+B．C．A(A+B)-1B．D．(A+B)-1．正确答案：C 涉及知识点：微积分4．设向量β可由向量组α1，α2，...，αm线性表示，但不能由向量组(I)：α1，α2，...，αm-1线性表示，向量组(Ⅱ):α1，α2，...，αm-1,β，则A．αm不能由(I)线性表示，也不能由(Ⅱ)线性表示．B．αm不能由(I)线性表示，也可能由(Ⅱ)线性表示．C．αm可由(I)线性表示，也可由(Ⅱ)线性表示．D．αm可由(I)线性表示，也不可由(Ⅱ)线性表示．正确答案：B 涉及知识点：微积分5．若向量组α，β，γ线性无关；α，β，δ线性相关，则A．α必可由β，y，δ线性表示．B．β必不可由α，γ，δ线性表示．C．δ必可由α，β，γ线性表示．D．δ必不可由α，β，γ线性表示．正确答案：C 涉及知识点：微积分6．若向量组α，β，γ线性无关；α，β，δ线性相关，则A．α必可由卢，y，占线性表示．B．β必不可由α，γ，δ线性表示．C．δ必可由α，β，γ线性表示．D．δ必不可由α，β，γ线性表示．正确答案：C 涉及知识点：微积分7．设向量组α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，而向量β2不能南α1，α2，α3线性表示，则对于任意常数k，必有A．α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关．B．α1，α2，α3，kβ1+β2线性相关．C．α1，α2，α3，β1+kβ2线性无关．D．α1，α2，α3，kβ1+kβ2线性相关．正确答案：A 涉及知识点：微积分8．设A，B为满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有A．A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关．B．A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关．C．A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关．D．A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关．正确答案：A 涉及知识点：微积分9．设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是A．λ1≠0B．λ2≠0C．λ1=0D．λ2=0正确答案：B 涉及知识点：微积分10．设α1，α2，…，αs均为n维列向量，A是m ×n矩阵，下列选项正确的是A．若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs。

[考研类试卷]考研数学三(多元函数微积分学)模拟试卷4.doc

（D）8
二、填空题
14当k=________时，向量β=(1，k，5)能由向量α1=(1，-3，2)，α2=(2，-1，1)线性表示．
15已知α=(3，5，7，9)，β=(-1，5，2，0)，x满足2α+3x=β，则x=________.
16已知二次型f(x1，x2，x3)=x12+5x22+x32+2x1x2+2ax2x3为正定二次型，则a的取值范围________.
（A）充分必要条件
（B）充分非必要条件
（C）必要非充分条件
（D）既非充分也非必要条件
3 “对任意给定的ε∈(0，1)，总存在正整数N，当n>N时，恒有｜xn-a｜≤2ε”是数列{xn}收敛于a的
（A）充分条件但非必要条件
（B）必要条件但非充分条件
（C）充分必要条件
（D）既非充分条件又非必要条件
4设函数f(x)在(-∞，+∞)内单调有界，{xn}为数列，下列命题正确的是
（A）若{xn}收敛，则{f(xn)}收敛
（B）若{xn}单调，则{f(xn)}收敛
（C）若{f(xn)}收敛，则{xn}收敛
（D）若{f(xn)}单调，则{xn}收敛
5设A与B均为n,阶矩阵，且A与B合同，则( )．
（A）A与B有相同的特征值
（B）det A=det
（C）A与B相似
（D）r(A)=r(B)
6已知二次型f(x1，x2，x3)=3x12+cx22+x32-2x1x2+2x1x3-2x2x3的秩为2，则c的值为( )．
（A）0
（B）1
（C）2
（D）3
7二次型f(x1，x2，x3)=x12+4x22+3x32-4x1x2+2x1x3+8x2x3的秩等于( )。

考研数学三(填空题)高频考点模拟试卷36(题后含答案及解析)

考研数学三（填空题）高频考点模拟试卷36(题后含答案及解析) 题型有：1.1．设口袋中有10只红球和15只白球，每次取一个球，取后不放回，则第二次取得红球的概率为______．正确答案：解析：设A1＝{第一次取红球}，A2＝{第一次取白球}，B＝{第二次取红球}，则P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＝P(A1)P(B｜A1)＋P(A2)P(B｜A2) 知识模块：概率论与数理统计2．四阶行列式的值是______正确答案：-15解析：利用行列式的性质：把行列式某一行(列)的各元素乘以同一数后，然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式不变；上(下)三角形行列式的运算．对已知行列式作变换，则知识模块：行列式3．已知X，Y为随机变量且，设A=｛max(X，Y)≥0｝，B=｛max(X，Y)＜0，min(X，Y)＜0｝，C=｛max(X，Y)≥0，min(X，Y)＜0｝，则P(A)=________，P(B)=________，P(C)=________．正确答案：解析：首先要分析事件的关系，用简单事件运算去表示复杂事件，而后应用概率性质计算概率．由于A=｛max(X，Y)≥0｝=｛X，Y至少有一个大于等于0｝=｛X≥0｝∪｛Y≥0｝，故P(A)=P｛X≥0｝+P｛Y≥0｝一P｛X≥0，Y≥0｝=；又｛max(X，Y)＜0｝｛min(X，Y)＜0｝，则B=｛max(X，Y)＜0，min(X，Y)＜0｝=｛max(X，Y)＜0｝=．从而P(B)=．由全集分解式知：A=｛max(X，Y)≥0｝=｛max(X，Y)≥0，min(X，Y)＜0｝+｛max(X，Y)≥0，min(X，Y)≥0｝=C+｛X ≥0，Y≥0｝，故P(C)=P(A)一P｛X≥0，Y≥0｝=．知识模块：概率论与数理统计4．= ________ ．正确答案：e6解析：知识模块：微积分5．已知X，Y为随机变量且P{X≥0，Y≥0}=，P{X≥0}=P{Y≥0}=，设A={max(X，Y)≥0}，B={max(X，Y)＜0，min(x，Y)＜0}，C={max(X，Y)≥0，min(X，Y)＜0}，则P(A)=________，P(B)=________，P(C)=________。