全等三角形——倍长与中点有关的线段
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倍长与中点有关的线段
① ② ③ ④
⑤ ⑥
①号模型:倍长中线构造三角形全等; ②号模型:倍长类中线构造三角形全等; ③号模型:出现多个中点,构造三角形中位线 ④号模型:平行线+截线中点构造8字形全等 ⑤号模型:直角三角形斜边中线(等于斜边一半) ⑥号模型:等腰三角形底边中线(三线合一)
倍长中线类
☞考点说明:凡是出现中线或类似中线的线段,都可以考虑倍长中线,倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段,从而达到将条件进行转化的目的。
【例1
】 已知:ABC ∆中,AM 是中线.求证:1
()2
AM AB AC <+.
M
C
B
A
【练1】在△ABC 中,59AB AC ==,
,则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是什么?
【练2】如图所示,在ABC ∆的AB 边上取两点E 、F ,使AE BF =,连接CE 、CF ,求证:AC BC +>EC FC +.
【例2】 如图,已知在ABC ∆中,AD 是BC 边上的中线,E 是AD 上一点,延长BE 交AC
于F ,AF EF =,求证:AC BE =.
【练1】如图,已知在ABC ∆中,AD 是BC 边上的中线,E 是AD 上一点,且BE AC =,
延长BE 交AC 于F ,求证:AF EF =
【练2】如图,在ABC ∆中,AD 交BC 于点D ,点E 是BC 中点,EF AD ∥交CA 的延长线于点F ,交AB 于点G ,若BG CF =,求证:AD 为ABC ∆的角平分线.
【练3】如图所示,已知ABC ∆中,AD 平分BAC ∠,E 、F 分别在BD 、AD 上.DE CD =,EF AC =求证:EF ∥AB
F E C
B
A F
E
D
C B
A F
E
D
C
B
A
G
F
E
D
C
B
A
【例3】 已知AM 为ABC ∆的中线,AM B ∠,AMC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于
F .求证:BE CF EF +>.
【练1】在Rt ABC ∆中,F 是斜边AB 的中点,D 、E 分别在边CA 、CB 上,满足90DFE ∠=︒.若3AD =,4BE =,则线段DE 的长度为_________.
【练2】在ABC ∆中,点D 为BC 的中点,点M 、N 分别为AB 、AC 上的点,且MD ND ⊥.
(1)若90A ∠=︒,以线段BM 、MN 、CN 为边能否构成一个三角形?若能,该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形?
(2)如果2222BM CN DM DN +=+,求证()2221
4
AD AB AC =+.
【例4】 如图所示,在ABC ∆中,AB AC =,延长AB 到D ,使B D A B =,E 为AB 的中点,
连接CE 、CD ,求证2CD EC =.
F
A C
D E B F
E
M
C
B
A
F
E
D
C
B
A M
N
D
A
B
C
【练1】已知ABC ∆中,AB AC =,BD 为AB 的延长线,且BD AB =,CE 为ABC ∆的AB 边上的中线.
求证:2CD CE =
E
D
C
B A