全等三角形——倍长与中点有关的线段

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全等难题——倍长中线法

三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线三角形中线的相关定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．中线中位线相关问题(涉及中点的问题)见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式)，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见．版块一倍长中线【例1】 (2002年通化市中考题)在△ABC 中，9,5==AC AB ，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是什重点：主要掌握中线的处理方法，遇见中线考虑中线倍长法难点：全等三角形的综合运用重、难点知识点睛例题精讲中考要求第二讲全等三角形与中点问题么？【补充】已知：ABC ∆中，AM 是中线．求证：1()2AM AB AC <+．【例2】 (2008年巴中市高中阶段教育学校招生考试)已知：如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 是CD 的中点，BE 的延长线与AD 的延长线相交于点F ．求证：BCE FDE ∆∆≌．【例3】 (浙江省2008年初中毕业生学业考试(湖州市)数学试卷)如图，在ABC ∆中，D 是BC 边的中点，F ，E 分别是AD 及其延长线上的点，CF BE ∥．求证：BDE CDF ∆∆≌．【例4】如图，ABC ∆中，<AB AC ，AD 是中线．求证：<DAC DAB ∠∠．【例5】如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =．【例6】如图所示，在ABC ∆和A B C '''∆中，AD 、A D ''分别是BC 、B C ''上的中线，且AB A B ''=，AC A C ''=，AD A D ''=，求证ABC A B C '''∆∆≌．【例7】如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交EF 于点G ，若BG CF =，求证：AD 为ABC ∆的角平分线．【例8】已知AD 为ABC ∆的中线，ADB ∠，ADC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：BE CF EF +>．【例9】在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，点D 为BC 的中点，点E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且ED FD ⊥．以线段BE 、EF 、FC 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？【例10】如图所示，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，DM 垂直于DN ，如果2222BM CN DM DN +=+，求证()22214AD AB AC =+．【例10】 (2008年四川省初中数学联赛复赛·初二组)在Rt ABC ∆中，F 是斜边AB 的中点，D 、E 分别在边CA 、CB 上，满足90DFE ∠=︒．若3AD =，4BE =，则线段DE 的长度为_________．【例11】如图所示，90BAC DAE ∠=∠=︒，M 是BE 的中点，AB AC =，AD AE =，求证AM CD ⊥．版块二、中位线的应用【例12】 AD 是ABC ∆的中线，F 是AD 的中点，BF 的延长线交AC 于E ．求证：13AE AC =．【例13】如图所示，在ABC ∆中，AB AC =，延长AB 到D ，使BD AB =，E 为AB 的中点，连接CE 、CD ，求证2CD EC =．【例14】已知：ABCD 是凸四边形，且AC <BD ． E 、F 分别是AD 、BC 的中点，EF 交AC 于M ；EF 交BD 于N ，AC 和BD 交于G 点．求证：∠GMN >∠GNM ．【例15】在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，12AC BC =，以BC 为底作等腰直角BCD ∆，E 是CD 的中点，求证：AE EB ⊥且AE BE =．【例16】如图，在五边形ABCDE 中，90ABC AED ∠=∠=︒，BAC EAD ∠=∠，F 为CD 的中点．求证：BF EF =．【例17】 (“祖冲之杯”数学竞赛试题，中国国家集训队试题)如图所示，P 是ABC ∆内的一点，PAC PBC ∠=∠，过P 作PM AC ⊥于M ，PL BC ⊥于L ，D 为AB 的中点，求证DM DL =．【例18】 (全国数学联合竞赛试题) 如图所示，在ABC ∆中，D 为AB 的中点，分别延长CA 、CB 到点E 、F ，使DE DF =．过E 、F 分别作直线CA 、CB 的垂线，相交于点P ，设线段PA 、PB 的中点分别为M 、N ．求证：(1) DEM FDN ∆∆≌；(2) PAE PBF ∠=∠．【例19】已知，如图四边形ABCD 中，AD BC =，E 、F 分别是AB 和CD 的中点，AD 、EF 、BC 的延长线分别交于M 、N 两点．求证：AME BNE ∠=∠．【例20】 (2009年大兴安岭地区初中毕业学业考试)已知：在ABC ∆中，BC AC >，动点D 绕ABC ∆ 的顶点A 逆时针旋转，且AD BC =，连结DC ．过AB 、DC 的中点E 、F 作直线，直线EF 与直线AD 、BC 分别相交于点M 、N ．⑴ 如图1，当点D 旋转到BC 的延长线上时，点N 恰好与点F 重合，取AC 的中点H ，连结HE 、HF ，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论AMF BNE ∠=∠(不需证明)．⑵ 当点D 旋转到图2或图3中的位置时，AMF ∠与BNE ∠有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一种情况证明．【例21】如图，AE ⊥AB ，BC ⊥CD ，且AE =AB ，BC =CD ，F 为DE 的中点，FM ⊥AC ．证明：FM =12AC ．【例22】 (1991年泉州市初二数学双基赛题)已知：在△ABC 中，分别以AB 、AC 为斜边作等腰直角三角形ABM ，和CAN ，P 是边BC 的中点．求证：PM ＝PN【习题1】如图，在等腰ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，过A 作AE DE ⊥，AF DF ⊥，且AE AF =．求证：EDB FDC ∠=∠．【习题2】如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F ，AF 与EF 相等吗？为什么？【习题3】如右下图，在ABC ∆中，若2B C ∠=∠，AD BC ⊥，E 为BC 边的中点．求证：2AB DE =．【备选1】如图，已知AB =DC ，AD =BC ，O 是BD 中点，过O 点的直线分别交DA 、BC 的延长线于E ，F ．求证：∠E =∠F【备选2】如图，ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=︒，D 是BC 中点，ED FD ⊥，ED 与AB 交于E ，FD 与AC交于F ．求证：BE AF =，AE CF =．月测备选家庭作业。

全等三角形专题之中线倍长 (Word版,无答案) (2)

第三讲全等三角形专题之中线倍长一、知识精讲中线倍长是证明全等的常用方法，遇到中点时给了学生另一种解题的思考方式，也是求证线段之间关系的重要方法。

这一节将通过中线倍长的基本应用，与多次全等以及综合应用来分析讲解.二、典题解析常用辅助线添加方法——倍长中线△ABC中，AD是中线，方式 1：延长AD到E，方式 2：间接倍长BC的边中线.使DE=AD，连接BE.【例1】如图所示，已知△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF.【练1】如图，等腰直角ABC∆与等腰直角BDE∆，P为CE中点，连接PA、PD.探究PA、PD的关系.【例 2】已知，如图12，△ABC中，AD是BC边上的中线，分别为AB边，AC为直角边各向外作等腰直角三角。

求证：EF=2AD。

【练 2】在△ABC中，点P为BC的中点.延长AB到D，使得BD=AC，延长AC 到点E，使得CE=AB，连接DE.如图，连接BE，若∠BAC=60°，请你探究线段BE 与线段AP 之间的数量关系，写出你的结论，并加以证明。

【练 3】如图，两个正方形ABDE和ACGF，点P为BC的中点，连接PA交EF于点Q.探究AP与EF的关系.【练 4】如图1，两个矩形ABDE和ACGF相似，AB=，点P为BC的中点，连接PAAE⋅k交EF于点Q.探究AP与EF的关系.⑵如图2，若将“两个矩形ABDE和ACGF相似”改为“两个平行四边形ABDE和ACGF相似”，且α∠EAB.探究AP与EF的关系.=【例 4】如图，在三角形ABC中，AB>AC，E为BC的中点，AD为∠BAC的平分线，过E做AD的平行线，交AB于F，交CA得延长线于G.求证：BF=CG.【练习4】在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF 与DC的延长线相交于点F.试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论【练习5】已知：如图，正方形ABCD和正方形EBGF，点M是线段DF的中点.⑴试说明线段ME与MC的关系.【例 5】已知：如图，△ABC与△BDE 均为等腰直角三角形，BA⊥AC，ED⊥BD，垂足分别为点A，点D，连接EC，F为EC中点，连接AF，DF，请猜测AF，DF 的数量关系和位置关系，并说明理由．【练 6】如图，D为线段AB的中点，在AB上取异于D的点C，分别以AC、BC 为斜边在AB同侧作等腰直角三角形ACE与BCF，连接DE、DF、EF。

全等三角形辅助线之倍长中线法

可证EFD EGC
F
(平行线夹中点)
D
E
C
G
全等三角形辅助线之倍长中线法
如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线．若AB=5， AC=3，求AD的取值范围．
A
延长AD至E使DE=AD，连接BE
在ADC和EDB中
AD=DE，ADC=EDB，BD=CD
故ADC EDB(SAS)
B
D
C AB-BE AE AB+BE即２ AE ８
A F
E
A
1 2
F
3E
B
D
C
BDCM 全等三角形辅助线之倍长中线法
如图，在正方形ABCD中，CD=BC，∠DCB=90°，点E在CB的延长线上，过点E作 EF⊥BE，且EF=BE．连接BF，FD，取FD的中点G，连接EG，CG．求证：EG=CG且EG⊥CG．
M
A
D
A
D
G G
F EB
F
1
4
2
3
C
EB
全等三角形辅助线之倍长中线法
倍长中线法：遇中线，要倍长，倍长之后有全等．
AD为ABC的中线
A
B
D
C
延长AD至E使DE=AD，连接BE 在ADC和EDB中 AD=DE，ADC=EDB，BD=CD 故ADC EDB(SAS) 与此相关的重要结论AC PBE
E
全等三角形辅助线之倍长中线法
AD为ABC的中线
１<AD<４
E
全等三角形辅助线之倍长中线法
如图，CB是△AEC的中线，CD是△ABC的中线，且AB=AC．求证：①CE=2CD；②CB平分∠DCE．
C

三角形全等之手拉手模型倍长中线截长补短法旋转寻找三角形全等方法归纳总结精修订

三角形全等之手拉手模型倍长中线截长补短法旋转寻找三角形全等方法归纳总结SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#一、手拉手模型要点一：手拉手模型特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点结论：（1）△ABD ≌△AEC （2）∠α+∠BOC=180°（3）OA平分∠BOC变形：例1.如图在直线ABC的同一侧作两个等边三角形ABD∆，连结AE与∆与BCECD，证明（1）DBC∆≅ABE∆(2)DCAE=(3)AE与DC之间的夹角为︒60(4)DFB≅∆AGB∆(5)CFB≅∆EGB∆(6)BH平分AHC∠(7)ACGF//变式精练1：如图两个等边三角形ABD∆，连结AE与CD，∆与BCE证明（1）DBC∆≅ABE∆（2）DCAE=（3）AE与DC之间的夹角为︒60（4）AE与DC的交点设为H,BH平分AHC∠变式精练2：如图两个等边三角形ABD∆，∆与BCE连结AE与CD，证明（1）DBCABE∆∆≅(2）DCAE=(3）AE与DC之间的夹角为︒60(4）AE与DC的交点设为H,BH平分AHC∠例2：如图，两个正方形ABCD与DEFG,连结AG,,二者相交于点HCE问：（1）CDEADG∆∆是否成立≅（2）AG是否与CE相等（3）AG与CE之间的夹角为多少度（4）HD是否平分AHE∠例3：如图两个等腰直角三角形ADC与AG,,二者相交于点HEDG，连结CE问：（1）CDE∆是否成立ADG∆≅（2）AG是否与CE相等（3）AG与CE之间的夹角为多少度（4）HD是否平分AHE∠例4：两个等腰三角形ABD ∆与BCE ∆，其中BD AB =,,EB CB =α=∠=∠CBE ABD ,连结AE 与CD ，问：（1）DBC ABE ∆≅∆是否成立（2）AE 是否与CD 相等（3）AE 与CD 之间的夹角为多少度（4）HB 是否平分AHC ∠二、倍长与中点有关的线段倍长中线类考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。

全等三角形专题：倍长中线

一、直接倍长中线例1【等腰三角形的性质与判定】（1）已知△ABC中AB ＝AC ,求证：∠B ＝∠C . （2）已知△ABC 中∠B ＝∠C ,求证：AB ＝A C . （3）如图，在△ABC 中，BD ＝CD ，∠1＝∠2，求证：AB＝A C .例2 在△ABC 中，已知线段AB ＝4，AC ＝8，则BC 边上的中线AD 的取值范围是【变式训练】如图，AD 是△ABC 的中线，AE 是△ABD 的中线，BA ＝BD ，求证：AC ＝2AE ．二、倍长中线的一部分例3 在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE ＝AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：∠AEF ＝∠F AE【变式训练】如图②，BD ＝CD ，∠1＝∠2，此时EB ＝AC 成立吗？请说明你的理由.A21A B C D 图 1①②E CBE DAA图 1-3-9①②三、倍长过中点的线段例4 如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中点，试比较BE ＋CF 与EF 的大小.四、作平行线构造8字型例5已知在△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝∠ACB ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上， DE 交BC 于F ，且DF ＝EF .求证：BD ＝CE .（有三种辅助线）【变式训练】如图，BD ＝CD ，∠1＝∠2，此时EB ＝AC 成立吗？请说明你的理由. （有三种辅助线）BA -3-9②【课后作业】1.在△ABC中，已知线段AB＝5，AC＝13，则BC边上的中线AD的取值范围是3. 如图，△ABC中，BD＝DC＝AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.4.如图，在△ABC中，AB≠AC，D，E在BC上，且DE ＝EC，过D作DF∥BA交AE于点F，DF＝A C.求证：AE平分∠BA C.C BA5.如图，过边长为1的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于点E ，Q 为BC 延长线上一点，当P A ＝CQ 时，连接PQ 交AC 边于点D ，则DE 的长为6.如图1－3－10，在△ABC 中，∠A ＝90°，D 为BC 中点，E 为AB 上一点，F 为AC 上一点，ED ⊥DF ，连接EF ，求证：线段BE ，FC ，EF 总能构成一个直角三角形.图 1-3-8A BCDEPQEDCBAF图 1-3-10。

倍长中线法构造全等三角形例题

倍长中线法构造全等三角形例题《倍长中线法构造全等三角形》一、引言在数学中，全等三角形是非常重要的概念，它们具有相同的三边和三角角度，但形状和位置可能有所不同。

而倍长中线法是构造全等三角形的一种重要方法。

本文将深入探讨倍长中线法的原理和应用，通过具体的例题来演示构造全等三角形的过程。

二、倍长中线法的原理1. 什么是倍长中线法？倍长中线法是指通过将三角形中的两条边分别延长相等的长度，然后连接延长后的两条边的中点，得到一个边长为原来中线的两倍的新三角形的方法。

2. 倍长中线法的原理当我们通过倍长中线法构造全等三角形时，我们实际上是借助了中线的性质。

在三角形中，连接一个顶点和对边中点的线段就是该对边的中线，中线的定义是连接三角形的一个顶点和边对面中点的线段。

对于一个三角形ABC来说，若D为AB的中点，那么有AD = BD，这就是中线的性质之一。

而倍长中线法利用了中线的这一性质，通过延长两条边相等的长度，再连接延长后的两条边的中点，可以构造出一条新的中线，新中线的长度是原中线的两倍。

这样就得到了一个边长为原三角形中线长度两倍的全等三角形。

三、倍长中线法构造全等三角形的例题现在，让我们通过具体的例题来演示倍长中线法对全等三角形的构造过程。

例题1：已知△ABC中，AB = 6cm, AC = 4cm，以AC为底边做三角形ACD，且AD = 6cm，BD = 4cm，连接BC并延长到E，使得CE = AB。

连接DE并延长到F，使得DF = AB。

证明△ADF≌△ABC。

解题步骤：1. 延长BC和DE我们根据题目要求，延长BC和DE，使得CE = AB，DF = AB。

2. 连接CD接下来，连接CD，得到三角形ACD。

3. 寻找AD和DB的中点我们在AD和DB上分别寻找其中点，分别记为G和H。

4. 连接GH连接GH，得到新的中线GH。

5. 观察三角形ADF和三角形ABC我们可以观察到，三角形ADF和三角形ABC中，AD = AB，DG = BH。

(完整版)倍长中线法(经典例题)

倍长中线法知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。

【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线△ABC中方式1：延长AD到E，AD是BC边中线使DE=AD，连接BE方式2：间接倍长作CF⊥AD于F，延长MD到N，作BE⊥AD的延长线于使DN=MD，连接BE 连接CN经典例题讲解：例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF例4：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠BABFDEC例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE自检自测：1、如图，△ABC 中，BD=DC=AC,E 是DC 的中点，求证，AD 平分∠BAE.2、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。

试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论.E D ABF EAB C3、如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F. 求证：EF CF BE >+4、已知：如图，∆ABC 中，∠C=90︒，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.第 14 题图DF CBEADABCMTE。

倍长中线法(经典例题)

倍长中线法知识网络详解:中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍,以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点,使某某等于某某,使什么等于什么(延长的那一条），用SAS 证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS 全等三角形模型的构造。

【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线△ABC 中方式1: 延长AD 到E ， AD 是BC 边中线使DE=AD ，连接BE方式2：间接倍长作CF ⊥AD 于F ，延长MD 到N ，作BE ⊥AD 的延长线于使DN=MD ，连接连接CN经典例题讲解：例1：△ABC 中,AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上,DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE过D 作DG//AC例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线,E 是AD 上一点，且BE=AC,延长BE 交AC 于F,求证：AF=EF例4：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠,D 、E 在BC 上，且DE=EC,过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线,求证：∠C=∠BAEBABFDEC自检自测：1、如图，△ABC 中,BD=DC=AC,E 是DC 的中点，求证,AD 平分∠BAE.2、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。

试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系,并证明你的结论.3、如图,AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F. 求证：EF CF BE >+4、已知：如图，ABC 中，C=90，CM AB 于M,AT 平分BAC 交CM 于D,交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E,求证:CT=BE 。

倍长中线模型,构造全等证明线段或角之间的关系

倍长中线模型，全等三角形搭桥，难题分析讲解三角形是初中数学里最基本的几何图形，而其边上，又是很常见的条件。

当涉及三角形问题时，常采用延长中线一倍的办法，即倍长中线法，实现角和线段的转化，以此来作辅助线解题。

好处是通过此法构造全等三角形继而得到平行，也可以证明三角形全等，可将分散的条件集中在一个三角形内解题，常常出奇制胜，化腐朽为神奇。

且看模型，和模型产生的基本结论.倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（其中有对顶角相等）例1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围。

分析：延长AD 至E ，使ED=AD ，连接BE ，见模型1，可证△ABD 与△ECD 全等，把AB 边转移到EC 上了，再看△AEC ，用第三边大于两边之差小于两边之和可解。

【归纳总结】1. 三角形的三边关系是求线段范围的常用方法．2. 出现中线时，常考虑倍长中线构造全等三角形，实现线段的转化．例 2：已知在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线， E 是AD 上的一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF延长ED 至G ，使GD=ED ，利用SAS 可证△BED与△CGD 全等，把BE 转移到GC 上，∠G=∠1，由已知BE=AC ，得到GC=AC ，由等腰三角形性质可知∠G=∠3，通过∠G 传递，得到∠2=∠3，得证AF=EF例3：已知：如图，在△ABC 中，AB ≠AC ，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作DF//BA 交AE 于点F ，DE=AC ，求证：AE 平分∠BAC证明：如图，延长FE 到G ，使EG=EF ，连接CG ．在△DEF 和△CEG 中，∵ ，∴△DEF ≌△CEG ． ∴DF=GC ，∠DFE=∠G ．∵DF ∥AB ，∴∠DFE=∠BAE ．∵DF=AC ，∴GC=AC ．∴∠G=∠CAE ．∴∠BAE=∠CAE ．即AE 平分∠BAC⎪⎩⎪⎨⎧==FG FE CEG ＝∠DEF ∠EC ED例4：如图；在△ABC中，AB=AC，延长AB到D，使得BD=AB，取AB的中点E，连结CD和CE，求证：CD=2CE证明：延长CE至F，使EF＝CE，则CF＝2CE易证△ACE≌△BFE，∴AC＝BF＝AB＝BD，∠ABF＝∠BAC∴∠DBC＝∠ACB+∠BAC＝∠ABC+∠ABF＝∠FBC∴△BCF≌△BCD（SAS）∴CD＝CF＝2CE【融会贯通】1、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。

全等三角形专题——倍长中线简化版

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全等三角形专题 ——倍长中线
中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线”添加辅助线，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造初全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，下面举例子说明。

一、证明线段不等
1、如图，在ABC V 中，AD 为BC 边上的中线，求证：2AB AC AD +f
二、证明线段相等
2、如图，在ABC V 中，AB AC f ，E 为BC 边的中点，AD 为BAC ∠的平分线，过E 作AD 的平行线，交AB 于F ，交CA 的延长线于G ，求证：BF CG =
3、已知如图，ABC V 中D 为BC 中点，E 为AC 上一点，AC 与BE 交于点F ，且EA EF =,求证：BF AC =
B。

全等难题——倍长中线法

板块考试要求A 级要求B 级要求C 级要求全等三角形的性质及判疋会识别全等三角形掌握全等三角形的概念、判定和性质，会用全等三角形的性质和判定解决简单问题会运用全等三角形的性质和判定解决有关问题三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线三角形中线的相关定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等腰三角形底边的中线三线合一（底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合）三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半.中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边. 中线中位线相关问题（涉及中点的问题）见到中线（中点），我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理（以后还要学习中线长公式），尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见.中考要求第二讲全等三角形与中点问题重点：主要掌握中线的处理方法，遇见中线考虑中线倍长法版块一倍长中线【例1】（ 2002年通化市中考题）在厶ABC中，AB 5, AC 9，贝U BC边上的中线AD的长的取值范围是什么？【补充】已知：ABC中，AM是中线•求证：AM -(AB AC).2B M C【例2】（2008年巴中市高中阶段教育学校招生考试）已知：如图，梯形ABCD中，AD II BC，点E是CD的中点，BE的延长线与AD的延长线相交于点F .求证：BCE也FDE .重、难点A D F【例3】（浙江省2008年初中毕业生学业考试（湖州市）数学试卷）如图，在 ABC 中，D 是BC 边的中点，F , E 分别是AD 及其延长线上的点，CF II BE .求证： BDE 也 CDF .【例4】如图， ABC 中，ABvAC , AD 是中线.求证： DAC< DAB .【例5】如图，已知在 ABC 中，AD 是BC 边上的中线， E 是AD 上一点，延长 BE 交AC 于F , AF EF , 求证：ACBE.GA【例6】如图所示，在ABC和ABC中，AD、AD分别是BC、BC上的中线，且AB AB , AC AC , AD AD，求证ABC也ABC .E'【例7】如图，在ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点, 于点G，若BG CF，求证：AD为ABC的角平分线.EF II AD交CA的延长线于点F，交EFC【例8】已知AD为ABC的中线，ADB , ADC的平分线分别交AB于E、交AC于F .求证: BE CF EF .【例9】在Rt ABC中，A 90 ,点D为BC的中点，点E、F分别为AB、AC上的点，且ED FD .以线段BE、EF、FC为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？【例10】如图所示，在ABC中，D是BC的中点,2 AD2AB2ACDM垂直于DN，如果BM 2CN2DM 2DN 2，求证D【例10】（ 2008年四川省初中数学联赛复赛•初二组）在Rt ABC 中，F 是斜边AB 的中点，D 、E 分别在边CA 、CB 上，满足 DFE 90 .若AD 3 , BE 4，则线段 DE 的长度为 ____________________ .版块二、中位线的应用【例12】AD 是ABC 的中线，F 是AD 的中点，BF 的延长线交 AC 于E .求证：AE -AC . 3【例11】如图所示, BAC DAE 90 , M 是BE 的中点, AB AC , AD AE ，求证AM CD .EAE EB 且 AE BE .【例13】如图所示，在 ABC 中，AB 求证CD 2EC •【例14】已知：ABCD 是凸四边形，且于N ，AC 和BD 交于G 点.【例15】在ABC 中,AC ,延长AB 到D ，使BD AB , E 为AB 的中点，连接 CE 、CD ,AC<BD . E 、F 分别是AD 、BC 的中点, 求证：/ GMN>/ GNM .ACB 90，AC 2BC，以BC为底作等腰直角EF 交 AC 于 M ; EF 交 BDBCD , E 是CD 的中点，求证:ABD E【例16】如图，在五边形ABCDE中，ABC AED 90 , BAC EAD ,F为CD的中点.求证：BF EF •【例17】（“祖冲之杯”数学竞赛试题，中国国家集训队试题）如图所示，P是ABC内的一点，PAC PBC，过P作PM AC于M ， PL BC于L，D为AB的中点，求证DM DL •E【例18】（全国数学联合竞赛试题）如图所示，在 ABC 中，D 为AB 的中点，分别延长CA 、CB 到点E 、F , 使DEDF .过E 、F 分别作直线CA 、CB 的垂线，相交于点P ，设线段PA 、PB 的中点分别为 M 、N .求证：(1) DEM 也 FDN ; (2) PAE PBF .【例19】已知，如图四边形 ABCD 中，AD 线分别交于M 、N 两点.求证：BC , E 、F 分别是AB 和CD 的中点,AME BNE .【例20】（2009年大兴安岭地区初中毕业学业考试）已知：在 ABC 中，BC AC ，动点D 绕 ABC 的顶点A 逆时针旋转，且AD BC ,连结DC .过AB 、DC 的中点E 、F 作直线，直线EF 与直线AD 、 BC 分别相交于点M 、N .FMAD 、EF 、BC 的延长⑴如图1,当点D 旋转到BC 的延长线上时，点 N 恰好与点F 重合，取AC 的中点H ，连结HE 、 HF ,根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论 AMF BNE （不需证明）•⑵ 当点D 旋转到图2或图3中的位置时， AMF 与 BNE 有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一种情况证明.1【例21】如图，AE 丄AB , BC 丄CD ，且AE=AB , BC=CD , F 为DE 的中点，FM 丄AC .证明：FM=—AC2【例22】（1991年泉州市初二数学双基赛题）已知：在厶ABC 中，分别以 AB 、AC 为斜边作等腰直角三角形ABM ，和CAN , P 是边BC 的中点.求证： PM =PN图1BD图3A11 / 12F ，AF 与EF 相等吗？为什么?【习题3】如右下图，在 ABC 中，若 B 2 C ，AD BC ， E 为BC 边的中点.求证： AB 2DE•【习题2】如图，已知在 ABC 中,AB AC , D 是BC 的中点，过A 作AE DE , AF FDC • DF ，且 AE AF •ABC 中，AD 是BC 边上的中线, E 是AD 上一点，且BE AC ，延长BE 交AC 于【习题1】如图，在等腰求证： EDB BMN CFAO是BD中点，过O点的直线分别交DA、BC的延长线于E, F .【备选1】如图，已知AB=DC, AD=BC,求证：/ E=Z F【备选2】如图，ABC中，AB AC , BAC 90 , D是BC中点，ED FD , ED与AB交于E , FD与AC 交于F .求证：BE AF , AE CF .12 / 12。

(完整)倍长中线法(经典例题)

倍长中线最重要的一点,延长中线一倍，完成SAS全等三角ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ模型的构造.
【方法精讲】常用辅助线添加方法—-倍长中线
△ABC中方式1：延长AD到E，
AD是BC边中线使DE=AD，
连接BE
方式2:间接倍长
作CF⊥AD于F, 延长MD到N，
作BE⊥AD的延长线于E 使DN=MD，
连接BE 连接CN
经典例题讲解：
倍长中线法
知识网络详解:
中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时,常常采用“倍长中线法”添加辅助线．
所谓倍长中线法,就是将三角形的中线延长一倍,以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．
倍长中线法的过程:延长某某到某点,使某某等于某某，使什么等于什么(延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）
3、如图，AD为的中线，DE平分交AB于E，DF平分交AC于F. 求证：
4、已知：如图，ABC中，C=90，CMAB于M，AT平分BAC交CM于D,交BC于T，过D作DE//AB交BC于E，求证：CT=BE.
求证:AE平分
例5：已知CD=AB,∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证:∠C=∠BAE
自检自测：
1、如图，△ABC中,BD=DC=AC，E是DC的中点，求证，AD平分∠BAE。
2、在四边形ABCD中,AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论.
例1:△ABC中,AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围
例2：已知在△ABC中,AB=AC，D在AB上,E在AC的延长线上,DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE

三角形全等之手拉手模型、倍长中线、截长补短法、旋转、寻找三角形全等方法归纳总结

一、手拉手模型要点一：手拉手模型特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点结论：（1）△ABD ≌△AEC （2）∠α+∠BOC=180° （3）OA 平分∠BOC 变形：例1.如图在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ，证明（1）DBC ABE ∆≅∆ (2)DC AE =(3)AE 与DC 之间的夹角为︒60 (4)DFB AGB ∆≅∆ (5)CFB EGB ∆≅∆ (6)BH 平分AHC ∠ (7)AC GF //变式精练1：如图两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ，证明（1）DBC ABE ∆≅∆ （2）DC AE =（3）AE 与DC 之间的夹角为︒60（4）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠变式精练2：如图两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ，证明（1）DBC ABE ∆≅∆ (2）DC AE =(3）AE 与DC 之间的夹角为︒60(4）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠例2：如图，两个正方形ABCD 与DEFG ,连结CE AG ,,二者相交于点H问：（1）CDE ADG ∆≅∆是否成立（2）AG 是否与CE 相等（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度（4）HD 是否平分AHE ∠例3：如图两个等腰直角三角形ADC 与EDG ，连结CE AG ,,二者相交于点H 问：（1）CDE ADG ∆≅∆是否成立（2）AG 是否与CE 相等（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度（4）HD 是否平分AHE ∠例4：两个等腰三角形ABD ∆与BCE ∆，其中BD AB =,,EB CB =α=∠=∠CBE ABD ,连结AE 与CD ，问：（1）DBC ABE ∆≅∆是否成立（2）AE 是否与CD 相等（3）AE 与CD 之间的夹角为多少度（4）HB 是否平分AHC ∠二、倍长与中点有关的线段倍长中线类☞考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。

三角形全等之手拉手模型-倍长中线-截长补短法-旋转-寻找三角形全等与方法归纳总结

一、手拉手模型要点一：手拉手模型特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点结论：（1）△ABD ≌△AEC （2）∠α+∠BOC=180° （3）OA 平分∠BOC 变形：例 1.如图在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ，证明（1）DBC ABE ∆≅∆ (2)DC AE =(3)AE 与DC 之间的夹角为︒60 (4)DFB AGB ∆≅∆ (5)CFB EGB ∆≅∆ (6)BH 平分AHC ∠ (7)AC GF //变式精练1：如图两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ，证明（1）DBC ABE ∆≅∆ （2）DC AE =（3）AE 与DC 之间的夹角为︒60（4）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠变式精练2：如图两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ，证明（1）DBC ABE ∆≅∆ (2）DC AE =(3）AE 与DC 之间的夹角为︒60(4）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠例2：如图，两个正方形ABCD 与DEFG ,连结CE AG ,,二者相交于点H问：（1）CDE ADG ∆≅∆是否成立？（2）AG 是否与CE 相等？（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？（4）HD 是否平分AHE ∠？例3：如图两个等腰直角三角形ADC 与EDG ，连结CE AG ,,二者相交于点H问：（1）CDE ADG ∆≅∆是否成立？（2）AG 是否与CE 相等？（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？（4）HD 是否平分AHE ∠？例4：两个等腰三角形ABD ∆与BCE ∆，其中BD AB =,,EB CB =α=∠=∠CBE ABD ,连结AE 与CD ，问：（1）DBC ABE ∆≅∆是否成立？（2）AE 是否与CD 相等？（3）AE 与CD 之间的夹角为多少度？（4）HB 是否平分AHC ∠？二、倍长与中点有关的线段倍长中线类☞考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。

和三角形中线有关的题型的证法—倍长中线法

和三角形中线有关的题型的证法——倍长中线法我们知道三角形有角平分线、垂线、中线三条重要的线段，其中之一就是中线.中线作为三角形的重要线段，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长一条直线到某点，使这延长线等于另一条线段，构造两个全等三角形，倍长中线法的几种添加辅助线的情形如下.如图，线段AD是△ABC的边BC上的中线，方式1：如图1，延长AD到E，使DE=AD，连接BE；方式2：如图2，（1）作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E, 连接BE；方式3：如图3延长MD到N，使DN=MD，连接CD下面举例说明运用倍长中线法添加辅助线的情形过程．1.△ABC中，AB＝5，AC＝9，求BC边上的中线AD的长的取值范围．分析：延长AD到E使DE＝AD，连接CE，证出三角形全等，再根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边解答．解：延长AD到E，使DE＝AD，连接CE，∵AD＝DE，∠ADB＝∠EDC，BD＝CD，∴△ABD≌△ECD，∴EC＝AB＝5，△AEC中，∵9﹣5＝4，9+5＝14，∴4＜2AD＜14，∴2＜AD＜7．2.如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC的中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交EF与于点G．若BG ＝CF，求证：AD为△ABC的角平分线．分析：延长FE，截取EH＝EG，连接CH，可证△BEG≌△CEH，即可求得∠F＝∠FGA，即可求得∠CAD＝∠BAD，即可解题．解：延长FE，截取EH＝EG，连接CH，∵E是BC中点，∴BE＝CE，∴∠BEG＝∠CEH，在△BEG和△CEH中，，∴△BEG≌△CEH（SAS），∴∠BGE＝∠H，∴∠BGE＝∠FGA＝∠H，∴BG＝CH，∵CF＝BG，∴CH ＝CF，∴∠F＝∠H＝∠FGA，∵EF∥AD，∴∠F＝∠CAD，∠BAD＝∠FGA，∴∠CAD＝∠BAD，∴AD平分∠BAC．3.如图，D为线段AB的中点，在AB上任取一点C（不与点A，B，D重合），分别以AC，BC为斜边在AB同侧作等腰Rt△ACE与等腰Rt△BCF，∠AEC＝∠CFB＝900，连接DE，DF，EF．（1）求∠ECF的度数；（2）求证：△DEF为等腰直角三角形．分析：（1）先依据等腰直角三角形的性质求得∠ECA、∠FCB的度数，然后依据∠ECA+∠ECF+∠FCB＝180°求解即可；（2）延长ED到点G，使得DG＝DE，连接BG，FG，然后依据SAS证明△EDA≌△GDB，接下来依据SAS证明△ECF≌△GBF，最后再证明△EFD≌△GFD，从而可证明△DEF为等腰直角三角形．解：（1）∵△ACE和△CBF均为等腰直角三角形，∴∠ECA＝450，∠FCB＝450．∵∠ECA+∠ECF+∠FCB＝1800，∴∠ECF＝900．（2）证明：延长ED到点G，使得DG＝DE，连接BG，FG．∵D为线段AB的中点，∴AD＝BD．∵在△EDA和△GDB中，，∴△EDA≌△GDB（SAS）．∴EA＝GB，∠A＝∠GBD＝450．∵△ACE与△BCF是等腰直角三角形∴CF＝FB，AE＝EC，∠A＝∠ECA＝∠FCB＝∠FBC＝450．∴CF＝FB，EC＝BG，∠ECF＝900．∵在△ECF和△GBF中，，∴△ECF≌△GBF（SAS）．∴EF＝GF，∠EFC＝∠GFB．∵∠CFB＝∠CFG+∠GFB＝900，∴∠EFG＝∠EFC+∠CFG＝900．∵在△EFD和△GFD中，，∴△EFD≌△GFD．∴∠EDF＝∠GDF＝900，∠EFD＝∠GFD＝450．∴ED＝DF，∴△DEF为等腰直角三角形．4.如图，由△ABC的顶点A引一条射线AD，与边BC交于D点，作BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，为了使BE＝CF，射线AD应该具有什么性质？分析：当射线AD是BC的中线时，BE＝CF，可通过证明△BED≌△CFD证明．解：当射线AD是BC的中线时，BE＝CF.理由如下：∵BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E，F，∴∠BED＝∠CFD＝900，∵D是BC中点，∴BD＝CD，∵∠BDE＝∠CFD，在△BED和△CFD中，，∴△BED≌△CFD（AAS），∴BE＝CF．5.如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，连接AD，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F，且BE＝CF．(1)求证：AD是△ABC的中线；(2)如果AB=4,AC=6,S△ABC=10，AD长为偶数，求BE的长.分析:（1）欲证明AD 是△ABC 的中线，只要证明BD ＝CD ，即证明△BED ≌△CFD 即可；（2）S △ABC =10，S △ABD =AD ·BE ÷2=5，求出AD 可取的数，BE 长的结果就求出来了.解：（1）证明：∵BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，∴∠BED ＝∠F ＝90°，在△BED 和△CFD 中，，∴△BED ≌△CFD ，∴BD ＝CD ，∴AD 是△ABC 的中线；（2）延长AF 至G ，使DG=AD ，连接CG ，易证△CGD ≌△BAD ，∴CG=AB=4，∵AC=6，∴AG 的取值范围是2＜AG ＜10，∴1＜AG ＜5，∵AG 为偶数，∴AG 可取2或4，∵S △ABC =10，BD=CD ，∴S △ABD =AD ·BE ÷2=5，∴BE=5或2.56.如图，△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AB 上，点E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF ＝EF ，求证：BD ＝CE ．分析：如图，作辅助线；证明△DGF ∽△ECF ，得到DG ＝CE ，此为解决该问题的关键性结论；证明BD ＝GD ，即可解决问题．证明：如图，过点D 作DG ∥AE ，交BC 于点G ；则△DGF ∽△ECF ，∴DG ：CE ＝DF ：EF ，而DF ＝EF ，∴DG ＝CE ；∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ；∵DG ∥AE ，∴∠DGB ＝∠ACB ，∴∠DBG ＝∠DGB ，∴DG ＝BD ，∴BD ＝CE ．7.已知：在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE ＝AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF ＝EF ．分析：根据点D 是BC 的中点，延长AD 到点G ，得到△ADC ≌△GDB ，利用全等三角形的对应角相等，对应边相等进行等量代换，得到△AEF 中的两个角相等，然后用等角对等边证明AE 等于EF ．证明：如图，延长AD 到点G ，使得AD ＝DG ，连接BG ．∵AD 是BC 边上的中线（已知），∴DC ＝DB ，在△ADC 和△GDB 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DB DC GDB ADC DGAD ，∴△ADC ≌△GDB （SAS ），∴∠CAD ＝∠G ，BG ＝AC ，又∵BE ＝AC ，∴BE ＝BG ，∴∠BED ＝∠G ，∵∠BED ＝∠AEF ，∴∠AEF ＝∠CAD ，即：∠AEF ＝∠FAE ，∴AF ＝EF ．8.如图，CE 、CB 分别是△ABC 与△ADC 的中线，且∠ACB ＝∠ABC ．求证：CD ＝2CE分析：过B 作BF ∥AC 交CE 的延长线于F ，由E 为AB 中点，得到AE ＝EB ，再由BF 与AC 平行，得到两对内错角相等，利用AAS 得到三角形ACE 与三角形BFE 全等，利用全等三角形的对应边相等得到CE ＝EF ，AC ＝BF ，即CF ＝2CE ，再由已知角相等，利用等角对等边得到AC ＝AB ，根据B 为AD 中点，得到AC ＝AB ＝BD ＝BF ，利用外角性质及等量代换得到夹角相等，利用SAS 得到三角形CBD 与三角形CBF 全等，利用全等三角形对应边相等得到CD ＝CF ，等量代换即可得证．证明：过B作BF∥AC交CE的延长线于F，∵CE是中线，BF∥AC，∴AE＝BE，∠A＝∠ABF，∠ACE＝∠F，在△ACE 和△BFE中，，∴△ACE≌△BFE（AAS），∴CE＝EF，AC＝BF，∴CF＝2CE，又∵∠ACB＝∠ABC，CB 是△ADC的中线，∴AC＝AB＝BD＝BF，∵∠DBC＝∠A+∠ACB＝∠ABF+∠ABC，∴∠DBC＝∠FBC，在△DBC和△FBC 中，，∴△DBC≌△FBC（SAS），∴DC＝CF＝2CE．9.如图，△ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF，求证：BE+CF＞EF．分析:如图，延长ED使得DM＝DE，连接FM，CM．由△BDE≌△CDM（SAS），推出BE＝CM，由DE＝DM，DF⊥EM，推出FE＝FM，在△FCM中利用三边关系定理即可解决问题；证明：如图，延长ED使得DM＝DE，连接FM，CM．∵BD＝DC，∠BDE＝∠CDM，DE＝DM，∴△BDE≌△CDM（SAS），∴BE＝CM，∵DE＝DM，DF⊥EM，∴FE＝FM，∵CM+CF＞FM，∴BE+CF＞EF．10.如图，AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC．AD⊥AC，点M为BC的中点，求证：DE＝2AM．分析:延长AM至N，使MN＝AM，证△AMC≌△NMB，推出AC＝BN＝AD，求出∠EAD＝∠ABN，证△EAD≌△ABN即可．证明：延长AM至N，使MN＝AM，连接BN，∵点M为BC的中点，∴CM＝BM，在△AMC和△NMB中∴△AMC≌△NMB（SAS），∴AC＝BN，∠C＝∠NBM，∵AB⊥AE，AD⊥AC，∴∠EAB＝∠DAC＝900，∴∠EAD+∠BAC＝1800，∴∠ABN＝∠ABC+∠C＝1800﹣∠BAC＝∠EAD，在△EAD和△ABN中，∵，∴△ABN≌△EAD （SAS），∴DE＝AN＝2MN．跟踪练习：1.如图，AD为△ABC中BC边上的中线（AB＞AC）（1）求证：AB﹣AC＜2AD＜AB+AC；（2）若AB＝8cm，AC＝5cm，求AD的取值范围．2.如图，∠ACB=900，D是AB中点，连接CD，求证：CD=AB／23.△ABC中，D为BC的中点，AB＝5，AD＝6，AC＝13，试判断AD与AB的位置关系4.如图，在△ABC中，AD为BC上的中线，E为AC的一点，BE与AD交于点F，若AE＝EF，求证：AC＝BF5.如图，△ABC中，∠A＝900，D为斜边BC的中点，E、F分别为AB、AC上的点，且DE⊥DF．若BE＝3，CF＝4，试求EF的长6.如图，△ABC（AB≠AC）中，D、E在BC上，且DE＝EC，过D作DF∥BA交AE于点F，DF＝AC．求证：AE平分∠BAC．7.如图，AD是△ABC的中线，（1）求证：AB+AC＞2AD；（2）过点D作DE∥AB交AC于E，过点D作DF∥AC交AB于F，求证：DE＝AB．8.已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向外作等腰直角三角形，如图，求证：EF＝2AD．9.阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求证：AB＝CD．分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中一种，对原题进行证明．10.如图，在△ABC中，∠B＝60°，CE、AF是△ABC的角平分线，交于点O，求证：AC＝AE+CF．11.如图，AB⊥AC，AB＝AC，AD⊥AE，AE＝AD，F为CD的中点，探究BE与AF的关系，并给出你的证明．跟踪练习答案1.（1）证明：如图延长AD至E，使AD＝DE，连接BE．在△ACD和△EBD中,，∴△ACD≌△EBD（SAS），∴AC＝BE（全等三角形的对应边相等），在△ABE中，由三角形的三边关系可得AB﹣AC＜AE＜AB+BE，即AB﹣AC ＜2AD＜AB+AC；（2）解：∵AB＝8cm，AC＝5cm，∴8﹣5＜2AD＜8+5，∴＜AD＜．2.证明：延长CD至P,使D为CP中点，连接AP.∵DP=DC，DA=DB，∠ADP=∠CDB，∴△ADP≌△BDC,∴AP=BC,∠P=∠PCB∵∠PCB+∠ACP=900,∴∠P+∠ACP=900,∴∠CAP=900,∴∠CAP=∠ACB.在△ACP与△ABC中，AP=BC，AC=AC，∠CAP=∠ACB，∴△ACP≌△CAB，∴CP=AB，∵CD=CP／2，∴CD=AB／23.解：延长AD至E，使得AD＝DE，连接BE，∵D为BC的中点，∴BD＝CD，在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴EB＝AC＝13，∵AD＝6，∴AE＝12，∵52+122＝132，∴AB2+AE2＝EB2，∴∠BAE＝90°，∴AD⊥AB．4.分析：延长AD至G，使DG＝AD，连接BG，可证明△BDG≌△CDA（SAS），则BG＝AC，∠CAD＝∠G，根据AE＝EF，得∠CAD＝∠AFE，可证出∠G＝∠BFG，即得出AC＝BF．∴△BDG≌△CDA（SAS），证明：延长AD至G，使DG＝AD，连接BG，在△BDG和△CDA中，∵，∴BG＝AC，∠CAD＝∠G.又∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠AFE .又∠BFG＝∠AFE，∴∠CAD＝∠BFG，∴∠G＝∠BFG，∴BG＝BF，∴AC＝BF．5.分析：延长FD至点G，使得DG＝DF，连接BG，EG，易证△CDF≌△BDG，可得BG＝CF＝4，∠C＝∠DBG，可证明∠ABG＝900，再根据等腰三角形底边三线合一性质可得EF＝EG，即可求得EF的长，即可解题．解：延长FD至点G，使得DG＝DF，连接BG，EG，∵在△CDF和△BDG中，，∴△CDF≌△BDG（SAS），∴BG＝CF＝4，∠C＝∠DBG，∵∠C+∠ABC＝900，∴∠DBG+∠ABC＝900，即∠ABG＝900，∵DE⊥FG，DF＝DG，∴EF＝EG ＝＝5．6.分析：延长FE 到G ，使EG ＝EF ．连接CG ，由于已知条件通过SAS 证得△DEF ≌△CEG 得到DF ＝GC ，∠DFE ＝∠G ，由平行线的性质和已知条件得到∠G ＝∠CAE ，故有∠BAE ＝∠CAE ，结论可得．证明：如图，延长FE 到G ，使EG ＝EF ，连接CG ．在△DEF 和△CEG 中，∵，∴△DEF ≌△CEG ．∴DF ＝GC ，∠DFE ＝∠G ．∵DF ∥AB ，∴∠DFE ＝∠BAE ．∵DF ＝AC ，∴GC ＝AC ．∴∠G ＝∠CAE ．∴∠BAE ＝∠CAE ．即AE 平分∠BAC ．7.分析:（1）延长AD 到E 使AD ＝DM ，连接BM ，利用已知条件可证明△BDM ≌△ADC ，所以AM ＝2AD ，BM ＝AC ，由三角形的三边关系定理即可证明AB+AC ＞2AD ；（2）根据三角形中位线定理即可证明DE ＝AB ．证明：（1）延长AD 到M 使AD ＝DM ，连接BM ，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD ，在△BDM 和△ADC 中,，∴△BDM ≌△ADC ，∴AC ＝BM ，AM ＝2AD ，∵AB+BM ＞AM ，∴AB+AC ＞2AD ；（2）∵DE ∥AB 交AC 于E ，DF ∥AC 交AB 于F ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴DE ＝AF ，∵BD ＝CD ，∴BF ＝AF ，∴DE ＝AB ．8.分析:延长AD 至点G ，使得AD ＝DG ，连接BG ，CG ，易证四边形ABGC 是平行四边形，即可求得∠EAF ＝∠ABG ，即可求证△EAF ≌△BAG ，即可解题．证明：延长AD 至点G ，使得AD ＝DG ，连接BG ，CG ，∵AD ＝DG ，BD ＝CD ，∴四边形ABGC 是平行四边形，∴AC ＝AF ＝BG ，AB ＝AE ＝CG ，∠BAC+∠ABG ＝1800，∵∠EAF+∠BAC ＝1800，∴∠EAF ＝∠ABG ，在△EAF 和△BAG 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BG AF ABG EAF AB AE ，∴△EAF ≌△BAG （SAS ），∴EF ＝AG ，∵AG ＝2AD ，∴EF ＝2AD ．9.分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此，要证AB ＝CD ，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．解：证明：方法一：作BF ⊥DE 于点F ，CG ⊥DE 于点G ．∴∠F ＝∠CGE ＝90°．又∵∠BEF ＝∠CEG ，BE ＝CE ，∴△BFE≌△CGE．∴BF＝CG．在△ABF和△DCG中，∵∠F＝∠DGC＝90°，∠BAE＝∠CDE，BF＝CG，∴△ABF≌△DCG．∴AB＝CD．方法二：作CF∥AB，交DE的延长线于点F．∴∠F＝∠BAE．又∵∠ABE＝∠D，∴∠F＝∠D．∴CF＝CD．∵∠F ＝∠BAE，∠AEB＝∠FEC，BE＝CE，∴△ABE≌△FCE．∴AB＝CF．∴AB＝CD．方法三：延长DE至点F，使EF＝DE．又∵BE＝CE，∠BEF＝∠CED，∴△BEF≌△CED．∴BF＝CD，∠D＝∠F．又∵∠BAE＝∠D，∴∠BAE＝∠F．∴AB＝BF．∴AB＝CD．10.分析：在AC上取一点H，使AH＝AE，根据角平分线的定义可得∠EAO＝∠HAO，然后利用“边角边”证明△AEO 和△AHO全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AE0＝∠AHO，根据角平分线的定义可得∠1＝∠2，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠3＝60°，再根据角平分线的定义和三角形的内角和定理求出∠4＝60°，从而得到∠3＝∠4，然后利用“边角边”证明△CFO和△CHO全等，根据全等三角形对应边相等可得CF＝CH，再根据AC＝AH+CH代换即可得证．证明：如图，在AC上取一点H，使AH＝AE，∵AF是△ABC的角平分线，∴∠EAO＝∠HAO，在△AEO和△AHO中，，∴△AEO≌△AHO（SAS），∴∠AE0＝∠AHO，∵CE是△ABC的角平分线，∴∠1＝∠2，∵∠1+∠3＝∠AHO，∠2+∠B＝∠AEO，∴∠3＝∠B＝60°，又∵∠B＝60°，CE、AF是△ABC的角平分线，∴∠4＝∠1+∠CAF＝（180°﹣∠B）＝（180°﹣60°）＝60°，∴∠3＝∠4，在△CFO和△CHO中，，∴△CFO≌△CHO（ASA），∴CF＝CH，由图可知，AC＝AH+CH，∴AC＝AE+CF．11.分析：延长FA交BE于H，延长AF到G使FG＝AF，连接CG，根据全等三角形的性质得到CG＝AD，∠G＝∠FAD，根据三角形的内角和和平角的定义得到∠ACG＝∠BAE，根据全等三角形的性质得到∠CAG＝∠B，等量代换即可得到结论．解：BE⊥AF，理由：延长FA交BE于H，延长AF到G使FG＝AF，连接CG，∵F为CD的中点，∴CF＝DF，在△CFG 与△DFA中，，∴△CFG≌△DFA，∴CG＝AD，∠G＝∠FAD，∵AB⊥AC，AD⊥AE，AE＝AD，∴∠BAC ＝∠DAE＝90°，AE＝CG，∴∠BAE＝360°﹣90°﹣90°﹣∠CAD＝180°﹣∠CAD，∵∠ACG＝180°﹣∠CAF﹣∠G ＝180°﹣∠CAE﹣∠DAF＝180°﹣∠CAD，∴∠ACG＝∠BAE，在△ACG与△BAE中，，∴△ACG≌△BAE，∴∠CAG＝∠B，∵∠BAH+∠CAG＝90°，∴∠BAH+∠B＝90°，∴∠AHB＝90°，∴AF⊥BE．。

4.4 三角形全等——倍长中线法

E DCBAE FBACDNMD CAB 三角形全等——倍长中线法当有中线（或中点）存在时，常倍长线，构造全等三角形，转移线段转移角，其实质是旋转造全等。

反之，要证某点是线段中点，常作平行线构造全等三角形，实质相同。

只要倍长中线，就会有平行线。

常见构造方式：在△ABC中，点D为边BC的中点方式1：延长AD到E，使DE=AD,连接BE；方式2：作CF⊥AD于F，作BE⊥AD，交AD的延长线于E方式3：延长MD到N，使DN=MD，连接CNEDCA例1、已知如图，在△ABC 中，AB=8，AC=6，若AD 是BC 边上的中线，求AD 的取值范围。

变式训练： 1、如图，CB ，CD 分别是钝角△AEC 和锐角△ABC 的中线，且AC =AB ．求证：①CE =2CD ．②CB 平分∠DCE ．2、已知：如图在△ABC 中，D 为BC 边中点，∠BDA=∠BAD ，E 为BD 中点，连接AE ，求证：∠C=∠BAEFEBAABCEF3、如图已知△ABC ，AD 是BC 边上的中线，分别以AB 、AC 为直角边各向外作等腰直角三角形，求证：EF ＝2AD ．4、如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中点，试比较BE +CF 与EF 的大小．FE C B AFE DCB AG5、如图，在△ABC 中，D 是BC 边的中点，E 是AD 上一点，BE ＝AC ，BE 的延长线交AC 于点F ，求证：∠AEF =∠EAF ．6、如图，在△ABC 中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF ∥AD 交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，若BG =CF ，求证：AD 为△ABC 的角平分线．7、已知：如图，AM 是△ABC 的中线，∠DAM=∠BAM ，CD ∥AB 。

求证：AB=AD+CDABCDFEFEDCBA8、如图1，△ABC 和△BDE 均为等腰直角三角形，BA ⊥AC ，ED ⊥BD ，点D 在AB 边上.连接EC ，取EC 中点F ，连接AF 、DF ，猜测AF 、DF 的数量关系和位置关系，并加以证明．如图2，将△BDE 旋转至如图位置，使E 在AB 延长线上,点D 在CB 延长线上，其他条件不变，则（1）中AF 、DF 的数量关系和位置关系是否发生变化，并加以证明．。