《运筹学》期中考试卷答案

2、画出下列线性规划问题的图解法可行域。

12

1212

1212max 524 20 10s.t. 20, 0

z x x x x x x x x x x =--≤⎧⎪+≤⎪

⎨-+≤⎪⎪≥≥⎩ 解：

1

3、将下面的线性规划问题写成标准化形式。

123

12312313123max 22 512 276s.t. 640, 0, 0

z x x x x x x x x x x x x x x =++++≤⎧⎪++=⎪⎨

+≥⎪⎪≤≥≥⎩ 解：

123

123112313212312max '22' 5 12 '27 6s.t. ' 6 4'0, 0, 0, 0, 0z x x x x x x y x x x x x y x x x y y =-++-+++=⎧⎪-++=⎪⎨

-+-=⎪⎪≥≥≥≥≥⎩

4、写出下列线性规划问题的对偶问题。

12312312313123max 22 512 276s.t. 640, 0, 0

z x x x x x x x x x x x x x x =++++≤⎧⎪++=⎪⎨

+≥⎪⎪≤≥≥⎩ 解：

12312312123123min 12642 1 2 1s.t. 57620, , 0

w y y y y y y y y y y y y y y =++++≤⎧⎪+≥⎪⎨

++≥⎪⎪≥≤⎩任意

5、简述单纯形法和对偶单纯形的异同点，填入下表。 答：

相同点： 都含一个单位子矩阵，都要进行换基迭代，都用于求解线性规划问题的原问题。 不同点：

6、下面命题是否正确？解释理由。

（1）线性规划问题的可行解如为最优解，则该可行解一定为基可行解。

（2）单纯形法迭代计算中，必须选取同最大正检验数σj 对应的变量作为入基变量。 （3）线性规划问题增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小；减少一个约束条件，可行域的范围一般将扩大。

（4）如果线性规划问题的对偶问题无可行解，则原问题也一定无可行解。

（5）如果X 1，X 2都是某个线性规划问题的最优解，则X =λ1X 1+λ2X 1（λ1，λ2是正实数）也是这个问题的最优解。 答：

（1）不正确。在存在多个最优基解的情况下，它们的凸组合不是基解，但仍为最优解。 （2）不正确。只需选取正检验数σj 对应的变量入基，都可以使目标值增大。 （3）正确。增加约束的可行域是原可行域的子集。 （4）不正确。此时原问题还可能有无界解。 （5）不正确。X 1，X 2的凸组合才是最优解。

二、计算题（共20分）

使用单纯形法求解下列线性规划问题，写出求解步骤，并给出：（1）最优解，（2）最优值。

123

12312123

max 224

..2 6,,0z x x x x x x s t x x x x x =-++++≤⎧⎪

+≤⎨⎪≥⎩ 解：

参考步骤：

得最优解x*=(0,3,1)，最优值z*=7。

三、计算题（共20分）

使用对偶单纯形法求解下列线性规划问题，写出求解步骤，并给出：（

1）最优解，（2）最优值。

123

123123123

max 63432 4

s.t.4

412 ,,0z x x x x x x x x x x x x =

---++≥⎧⎪

-+≥⎨⎪≥⎩ 解：

先引入2个人工变量，构造单位子矩阵：

123

1234123512345

max 63432 4

s.t.4 4 12 ,,,,0z x x x x x x x x x x +x x x x x x =------+=-⎧⎪

-+-=-⎨⎪≥⎩ 初始单纯形表：

因为(-4)/(-4)=min{(-6)/(-4), (-4)/(-4)}，x 3进基，x 5出基：

因为(-2)/(-2)=min{(-2)/(-2), (-4)/(-9/4), (-1)/(-1/4)}，x

得最优解(x1, x2, x3)=(1/2, 0, 5/2)，最优值z*=-13。