6.1 电磁场边界积分方程

第六章 边界单元法有限元法属于偏微分方程法。

对于求解有界电磁场域的场分布，尤其是有复杂边界和多种媒质、线性或非线性、静态或时变场的数值计算都是十分成功的，有的文献认为有限元法是应用最广，最重要的数值分析方法。

当然，任何一种数值分析方法都不是万能的，有限元法的不足之处主要表现为： 1. 对于无界求解区域的处理比较困难；2. 所求得的数值解是位函数值，再通过求导，一般比位值的精度低一个数量级，所以计算精度较低；3. 对时变电磁场的求解，计算量太大。

在以上这几点所反映的问题上，边界单元法解决得比较好，有明显优势。

此外，边界单元法还具有能降低所研究问题的维数，离散剖分和数据准备简单等特点，它已成为计算场的重要方法，我们需要进行学习。

6.1 电磁场边界积分方程6.1.1电磁场边界元方程的基本关系设三维线性泊松方程为所求场的控制方程，D 是具有边界面S 的求解区域。

在S 上含有给定的第一和第二类边界条件的边界1S 和2S ，21S S S +=。

对于这类恒定场，定解问题可表示为：式中：u 表示位函数，f 是场源密度函数（如ερ-）。

若已求得近似解u ~，带入边值问题，用R 、1R 和2R 分别表示方程余量及边界余量：f u R -∇=~2u u R S ~-=1S q q R -=2取权函数w ，按加权余量法，令误差分配的加权积分为： 021>=<->∂∂<-><R w R nw R w ,,,即有如下方程()()()⎰⎰⎰-+∂∂-=-∇21d d ~d ~2S SS S Ds w q q s n w u u v w f u由矢量恒等式()uw u w u w 2∇+∇⋅∇=∇⋅∇()u w u w u w ∇⋅∇-∇⋅∇=∇⇒2①()w u w u w u 2∇+∇⋅∇=∇⋅∇()w u w u w u ∇⋅∇-∇⋅∇=∇⇒2②①-②在D 域上做体积分()()⎰⎰∇-∇⋅∇=∇-∇DDV w u u w V w u u w d d 22()⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=∇-∇S Ds n u u nuw v w u u w d d 22称为格林第二恒等式。

有⎰⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+∇=∇DD S s n w unuw v w u v u w d d d 22代入上面的加权积分式中：()⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+-∇S Ds n w u nu w V fw w u d ~~d ~2()()⎰⎰-+∂∂-=21d d ~S sS ss w q q s nw uu等式左右两端面积分中的同类项合并：(1)上式就是电磁场边界元方程的基本关系式。

可看出权函数在D 中应有二阶连续编导数，而位函数u 只须在D 中连续，若取w 为基本解可以推导出边界积分方程。

6.1.2电磁场的直接边界积分方程如果用F 表示Laplace 方程的基本解，则：i F δ=∇-2()()r r '-=i i δδ在三维场中的基本解应为球对称形：最简单的源是点源，它在一定边界条件和(或)初始条件下场的表达式称为格林函数。

所谓“基本解”就是指在无界空间的格林函数，它是相应微分方程的基本解。

当i 点位于D 域内时，积分d()i i DDi Du v u v u v F u -='--=-=∇⎰⎰⎰d d d 2r r δδ这实际反映δ函数积分的抽样性。

若“i ”点在D 域之外，则积分为零。

以F 为权函数，若“i ”点在D 域之内，将F 代入基本关系式中，有： ⎰⎰⎰⎰⎰++∂∂-∂∂-=+1212d d d d d S S s S SS Di s qF s F q s nF u s nF uv fF u可以简写为：(2)称此式为电磁场直接边界积分方程。

代入rF π41=得分析上式：当u 及nu ∂∂在边界上的值以及f 在D 域内的值均为已知时，就可用上式通过面积分和体积分来确定D 域内任意一点的位值。

其中面积分可以视为Laplace 方程的通解，加上体积分计算之和可视为泊松方程的特解。

6.1.3电磁场的间接边界积分方程若令D '表示S 面以外区域，u '是D '域中Laplace 方程的解：D u '∈='∇02于是在D '域中，上面推导的直接边界积分方程 (2) 式应为⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂'-∂'∂S dS n F u n u F0 此时“i ”点在D '外，⎰=∇D Fdv u 02，0=f 。

用 (2) 式减上式可得：(3)亦为求解D 域内电磁场的间接边界积分方程。

若将 (3) 式转换为等效源表示的公式，就得到了电磁场的间接边界积分方程。

1. 在静电场中 ερ-=f ：电荷体密度函数。

εσ=∂'∂-∂∂nu nu ：表示边界面两侧电场强度法向分量的突变量，σ相当于面电荷分布的单层源ετ=-'u u ：表示边界面两侧位函数值的突变量，τ等效于偶极子分布的双层源。

将基本解代入(3)式得：式中：右端体积分项表示D 域内自由电荷对域内点的电位值的贡献，而两项面积分则表示D 域外部的电荷在D 域内各点产生电位的贡献，称它的静电场的间接边界积分方程。

2. 在恒定磁场中对标量磁位而言（分析同静电场）：m f ρ=，mnu nu σ=∂'∂-∂∂， m m u u τ=-'考虑到基本解rF π41=，则恒定磁场的间接边界积分方程为6.2 边界积分方程中边界点上的奇异性6.2.1 边界点上的奇性及其处理方法前面讨论所得到的边界积分方程，点“i ”均在域D 内，若 “i ”点在边界面上，在进行面积分时就会出现0=R 的情况，即在积分中出现了奇点。

我们来分析已导出的边界积分方程 (2) 式： ⎰⎰⎰⎰⎰++∂∂-∂∂--=1212S S s S sS D i qFds Fds q ds nF u ds nF ufFdv u1. 设三维区域的边界s 是光滑的，在边界面上以“i ”点为球心，很小的o r 为半径作半球面，取o r 趋于零时的极限，以考察小半球心i 点处的位函数值。

在2S 有边界点i ，取上式右端第二项⎰⎰⎰∂∂+∂∂=∂∂-022F r r S S S S ds nF uds nF uds nu又在ro S 面上：24141or r r r r r r nF ooππ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂==代入上式右端第二项中：⎰⎰-=∂∂roroS oS s ru s nF ud 4d 2π2241lim d 4lim 22020i o o r S o r u u r r s r uo roo -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-→→⎰πππ 可见上式围绕奇点的积分，给出了2i u -，当0→o r 时，22S S S ro ⇒-∴2. 如果是二维区域的光滑边界，二维Poisson 方程的基本解r F ln 21π=，n S l nr r r n Fππ21ln 21-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂=∂∂ 此时的l r0是绕i 点的半圆，则前面式中右端第二项⎰⎰-=∂∂rorol ol l r u l nF ud 2d π当0→o r 取极限：lim22lim 2lim 00i o o r l o r u r r u dl r uo roo -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→→⎰πππ 与三维的情况一样，绕奇点积分，仍给出2i u -。

3. 对于式中的右端第四项，绕奇点的面积分三维情况下：⎰⎰⎰⎰⎰++∂∂-∂∂--=1212d d d d d S S s S sS Di s qF s F q s nF u s nF uv fF u042lim4d lim d lim 2000==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛→→→⎰⎰s o o r S osr S s r q r r r s q s F q o ro o roo πππ二维情况下lim 21ln lim2ln 21lim d ln 2lim d lim 0000==-=⎪⎭⎫⎝⎛⋅-=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛→→→→⎰⎰o r s oo s o o s r l o sr lr s r r q r r q r r q l r q s F q o o roo oo πππ可见并不存在奇性，即奇点是可去奇点。

综上分析，光滑边界上“i ”点的位值i u将此式与D 域内点位i u 的计算式合并，可表为：(4)其中：上式称为电磁场边界元法的通用积分方程。

应当注意到当i 点确定时，它只可能在1s 上或者2s 上。

在1s 上则只涉及两个积分项；在2s 上也只涉及两个积分项，且一项为可去奇点积分，仅处理其中1项。

在分析思路上，将i 点视为在D 域内而无限接近s 面。

这也说明：对边界上点“i ”奇性的分析，为什么只考虑面积分项？为什么只推导两项。

6.2.2 只存在一种等效源情况对于间接边界积分方程 ⎰⎰⎰∂∂'--⎪⎭⎫ ⎝⎛∂'∂-∂∂+-=ss D i ds nFu u ds n u nu F fFdv u )(在静电场情况进行分析：1. 如果u u '=，即边界上没有位的突变，则上式变为只有单层源的积分式⎰⎰⎰⎰-=-⎪⎭⎫⎝⎛∂'∂-∂∂=DsDs i fFdv ds F fFdv ds n u nu F u σε1只从σ角度来讲，此式属于第一类Fredholm 积分方程。

如果i u 为已知，由上式可求得σ的分布。

要求“i ”点的位函数的法向导数，即要求出上式中的导数：⎰⎰∂∂-∂∂=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=Dsi v nF fs nF n u q d d 1σε根据边界上点的奇性讨论，可推导得知在光滑边界上对于σ而言，此式属于第二类Fredholm 积分方程。

2. 如果nu nu ∂'∂-=∂∂，即边界上没有场强值的突变，计算式变为只有双层源的积分式：⎰⎰-∂∂=sDi fFdv ds nF u τε1在光滑边界上，涉及奇点的存在⎰⎰-∂∂+-=sDi fFdv ds nF u τεετ12上面两式，对于τ而言上两式分别属于第一类和第二类Fredhem 积分方程。

关于只存在一种等效源情况分析，对于用标量磁位描述的恒定磁场也同样适用。