高中数学：2.2.2《直接证明与间接证明-反证法》课件(新人教版选修2-2)
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则ax1 = b，ax 2 = b ∴ ax1 = ax 2 ∴ ax1 - ax 2 = 0 a（ ∴ a（x1 - x 2） 0 = ∵ x1 ≠ x 2，x1 - x 2 ≠ 0 ∴ a = 0 与已知a ≠ 0矛盾, 与已知a 矛盾, 故假设不成立，结论成立。 故假设不成立，结论成立。
例3：证明：圆的两条不全是直径的相交 证明： 弦不能互相平分. 弦不能互相平分. 已知： AB、CD相交于 相交于P 已知：在⊙O中,弦AB、CD相交于P，且 AB、CD不全是直径 AB、CD不全是直径 求证：AB、CD不能互相平分 不能互相平分。 求证：AB、CD不能互相平分。
思考？ 思考？
三个人， 撒谎， A、B、C三个人，A说B撒谎，B说 撒谎， 都撒谎。 C撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定 是在撒谎，为什么？ 是在撒谎，为什么？
分析:假设 没有撒谎 则C真. 分析 假设C没有撒谎 假设 没有撒谎, 真 - - -- -那么 假且 假; 那么A假且 那么 假且B假 由 A假 , 知 B真 . 这与B假矛盾. 这与B假矛盾. 那么假设C没有撒谎不成立; 那么假设C没有撒谎不成立; 必定是在撒谎. 则C必定是在撒谎.
2 2
从而有4 从而有4k = 2n ，即n = 2k 互质矛盾！ 也是偶数， 这与m ∴ n 2 也是偶数， 这与m，n互质矛盾！
所以假设不成立， 是有理数成立。 所以假设不成立，2是有理数成立。
2
作业
证明: 关于x 1: 若p1 ip2 = 2(q1 + q 2 ),证明: 关于x的方程 x + p1x + q1 = 0与x + p2 x + q 2 = 0中至少有一 个有实根. 个有实根.
例1：用反证法证明： 用反证法证明： 如果a>b>0， 如果a>b>0，那么 a> b a>b>0
不成立， 证：假设 a > b不成立，则 a ≤ b
与已知a 矛盾, 若 a = b，则a = b, 与已知a > b矛盾,
若 a < b，则a < b, 与已知a > b矛盾, 与已知a 矛盾,
故假设不成立， 成立。 故假设不成立，结论 a > b成立。
特点：执果索因. 特点：执果索因.
用框图表示分析法
Q ⇐ P1 P1 ⇐ P2 P2 ⇐ P3
…
得到一个明显 成立的结论
复习
经过证明 的结论
思考题:甲、乙、丙三箱共有小球384个,先 思考题: 丙三箱共有小球384个 384 由甲箱取出若干放进乙、丙两箱内, 由甲箱取出若干放进乙、丙两箱内,所放个 数分别为乙、丙箱内原有个数, 数分别为乙、丙箱内原有个数,继而由乙箱 取出若干个球放进甲、丙两箱内, 取出若干个球放进甲、丙两箱内,最后由丙 箱取出若干个球放进甲、乙两箱内, 箱取出若干个球放进甲、乙两箱内,方法同 前.结果三箱内的小球数恰好相等.求甲、 结果三箱内的小球数恰好相等.求甲、 乙、丙三箱原有小球数 :208个 :112个 :64个 甲:208个,乙:112个,丙:64个
2 2
均为实数, 2 : 若 a ,b ,c 均为实数 ,且 a = x - 2 y + b = y - 2z +
2
2
π
2
,
π
3 6 中至少有一个大于0 求证 : a ,b ,c 中至少有一个大于 0 .
,c = z - 2x +
2
πBaidu Nhomakorabea
,
C A O P B D
求证： 是无理数。 例4 求证： 2 是无理数。
是有理数， 证：假设 2 是有理数，
m 则 存 在 互 质 的 整 数 m， n使 得 2 = ， n 2 2
是偶数，从而m必是偶数，故设m ∴m 是偶数，从而m必是偶数，故设m = 2k（k∈N∗）
∴ m = 2n 2
2
∴ m = 2n
反证法： 反证法： 假设命题结论的反面成立， 假设命题结论的反面成立，经过正确的 推理,引出矛盾，因此说明假设错误, 推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从而 证明原命题成立, 证明原命题成立,这样的的证明方法叫反 证法。 证法。
反证法的思维方法： 反证法的思维方法：
正难则反
反证法的基本步骤： 反证法的基本步骤： 假设命题结论不成立，即假设结论的反面成-（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成------立 -----立； 从这个假设出发 经过推理论证，得出矛盾 假设出发， 矛盾； （2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； 从矛盾判定假设不正确， （3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结 -----论正确 -----论正确 归缪矛盾： 归缪矛盾： 与已知条件矛盾； （1）与已知条件矛盾； 与已有公理、定理、定义矛盾； （2）与已有公理、定理、定义矛盾； 自相矛盾。 （3）自相矛盾。
应用反证法的情形： 应用反证法的情形：
直接证明困难; (1)直接证明困难; 需分成很多类进行讨论． (2)需分成很多类进行讨论． 结论为“至少” 至多” （3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷 多个” ---类命题； 类命题； 多个” ---类命题 唯一”类命题； （4）结论为 “唯一”类命题；
已知a≠0 证明x的方程ax=b a≠0， ax=b有且只有 例2 已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有 一个根。 一个根。 假设方程ax 至少存在两个根， 证：假设方程ax + b = 0(a ≠ 0)至少存在两个根，
不妨设其中的两根分别为x 不妨设其中的两根分别为x1，x 2 且x1 ≠ x 2
2.2直接证明与间接证明 2.2.2
反证法
一般地，从要证明的结论出发， 一般地，从要证明的结论出发，逐步 寻求推证过程中， 寻求推证过程中，使每一步结论成立的充 分条件，直至最后， 分条件，直至最后，把要证明的结论归结 为判定一个明显成立的条件（已知条件、 为判定一个明显成立的条件（已知条件、 定理、定义、公理等）为止， 定理、定义、公理等）为止，这种证明的 方法叫做分析法．
例3：证明：圆的两条不全是直径的相交 证明： 弦不能互相平分. 弦不能互相平分. 已知： AB、CD相交于 相交于P 已知：在⊙O中,弦AB、CD相交于P，且 AB、CD不全是直径 AB、CD不全是直径 求证：AB、CD不能互相平分 不能互相平分。 求证：AB、CD不能互相平分。
思考？ 思考？
三个人， 撒谎， A、B、C三个人，A说B撒谎，B说 撒谎， 都撒谎。 C撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定 是在撒谎，为什么？ 是在撒谎，为什么？
分析:假设 没有撒谎 则C真. 分析 假设C没有撒谎 假设 没有撒谎, 真 - - -- -那么 假且 假; 那么A假且 那么 假且B假 由 A假 , 知 B真 . 这与B假矛盾. 这与B假矛盾. 那么假设C没有撒谎不成立; 那么假设C没有撒谎不成立; 必定是在撒谎. 则C必定是在撒谎.
2 2
从而有4 从而有4k = 2n ，即n = 2k 互质矛盾！ 也是偶数， 这与m ∴ n 2 也是偶数， 这与m，n互质矛盾！
所以假设不成立， 是有理数成立。 所以假设不成立，2是有理数成立。
2
作业
证明: 关于x 1: 若p1 ip2 = 2(q1 + q 2 ),证明: 关于x的方程 x + p1x + q1 = 0与x + p2 x + q 2 = 0中至少有一 个有实根. 个有实根.
例1：用反证法证明： 用反证法证明： 如果a>b>0， 如果a>b>0，那么 a> b a>b>0
不成立， 证：假设 a > b不成立，则 a ≤ b
与已知a 矛盾, 若 a = b，则a = b, 与已知a > b矛盾,
若 a < b，则a < b, 与已知a > b矛盾, 与已知a 矛盾,
故假设不成立， 成立。 故假设不成立，结论 a > b成立。
特点：执果索因. 特点：执果索因.
用框图表示分析法
Q ⇐ P1 P1 ⇐ P2 P2 ⇐ P3
…
得到一个明显 成立的结论
复习
经过证明 的结论
思考题:甲、乙、丙三箱共有小球384个,先 思考题: 丙三箱共有小球384个 384 由甲箱取出若干放进乙、丙两箱内, 由甲箱取出若干放进乙、丙两箱内,所放个 数分别为乙、丙箱内原有个数, 数分别为乙、丙箱内原有个数,继而由乙箱 取出若干个球放进甲、丙两箱内, 取出若干个球放进甲、丙两箱内,最后由丙 箱取出若干个球放进甲、乙两箱内, 箱取出若干个球放进甲、乙两箱内,方法同 前.结果三箱内的小球数恰好相等.求甲、 结果三箱内的小球数恰好相等.求甲、 乙、丙三箱原有小球数 :208个 :112个 :64个 甲:208个,乙:112个,丙:64个
2 2
均为实数, 2 : 若 a ,b ,c 均为实数 ,且 a = x - 2 y + b = y - 2z +
2
2
π
2
,
π
3 6 中至少有一个大于0 求证 : a ,b ,c 中至少有一个大于 0 .
,c = z - 2x +
2
πBaidu Nhomakorabea
,
C A O P B D
求证： 是无理数。 例4 求证： 2 是无理数。
是有理数， 证：假设 2 是有理数，
m 则 存 在 互 质 的 整 数 m， n使 得 2 = ， n 2 2
是偶数，从而m必是偶数，故设m ∴m 是偶数，从而m必是偶数，故设m = 2k（k∈N∗）
∴ m = 2n 2
2
∴ m = 2n
反证法： 反证法： 假设命题结论的反面成立， 假设命题结论的反面成立，经过正确的 推理,引出矛盾，因此说明假设错误, 推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从而 证明原命题成立, 证明原命题成立,这样的的证明方法叫反 证法。 证法。
反证法的思维方法： 反证法的思维方法：
正难则反
反证法的基本步骤： 反证法的基本步骤： 假设命题结论不成立，即假设结论的反面成-（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成------立 -----立； 从这个假设出发 经过推理论证，得出矛盾 假设出发， 矛盾； （2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； 从矛盾判定假设不正确， （3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结 -----论正确 -----论正确 归缪矛盾： 归缪矛盾： 与已知条件矛盾； （1）与已知条件矛盾； 与已有公理、定理、定义矛盾； （2）与已有公理、定理、定义矛盾； 自相矛盾。 （3）自相矛盾。
应用反证法的情形： 应用反证法的情形：
直接证明困难; (1)直接证明困难; 需分成很多类进行讨论． (2)需分成很多类进行讨论． 结论为“至少” 至多” （3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷 多个” ---类命题； 类命题； 多个” ---类命题 唯一”类命题； （4）结论为 “唯一”类命题；
已知a≠0 证明x的方程ax=b a≠0， ax=b有且只有 例2 已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有 一个根。 一个根。 假设方程ax 至少存在两个根， 证：假设方程ax + b = 0(a ≠ 0)至少存在两个根，
不妨设其中的两根分别为x 不妨设其中的两根分别为x1，x 2 且x1 ≠ x 2
2.2直接证明与间接证明 2.2.2
反证法
一般地，从要证明的结论出发， 一般地，从要证明的结论出发，逐步 寻求推证过程中， 寻求推证过程中，使每一步结论成立的充 分条件，直至最后， 分条件，直至最后，把要证明的结论归结 为判定一个明显成立的条件（已知条件、 为判定一个明显成立的条件（已知条件、 定理、定义、公理等）为止， 定理、定义、公理等）为止，这种证明的 方法叫做分析法．