计算方法_李桂成_习题答案
计算方法课后习题答案
计算方法课后习题答案计算方法课后习题答案计算方法是一门重要的学科，它为我们提供了解决数学问题的方法和工具。
在学习这门课程时，我们经常会遇到一些习题，这些习题旨在帮助我们巩固所学的知识并提高我们的计算能力。
然而，习题的解答并非总是容易的，有时候我们可能会遇到困难。
因此，我将在本文中为大家提供一些计算方法课后习题的答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这门学科。
1. 线性方程组的解法线性方程组是计算方法中的一个重要概念。
解决线性方程组的方法有很多种，其中最常用的方法是高斯消元法。
这种方法通过行变换将线性方程组转化为简化的行阶梯形矩阵，从而求得方程组的解。
下面是一个例子：2x + 3y = 84x - 5y = -7通过高斯消元法，我们可以得到方程组的解为x = 1，y = 2。
2. 数值积分的计算数值积分是计算方法中的另一个重要概念。
它可以用来计算曲线下的面积或者求解定积分。
常用的数值积分方法有梯形法则、辛普森法则等。
下面是一个例子：计算定积分∫[0, 1] (x^2 + 2x)dx。
通过梯形法则，我们可以得到定积分的近似值为1.5。
3. 插值和拟合插值和拟合是计算方法中的重要概念，它们可以用来估计未知数据点的值。
插值是通过已知数据点之间的连线或曲线来估计未知点的值，而拟合是通过已知数据点的函数来估计未知点的值。
下面是一个例子：已知数据点 (1, 3), (2, 5), (3, 8)，通过插值和拟合方法来估计点 (4, ?) 的值。
通过线性插值，我们可以得到点 (4, 11) 的值。
通过多项式拟合，我们可以得到点 (4, 10.5) 的值。
4. 数值微分的计算数值微分是计算方法中的另一个重要概念，它可以用来估计函数在某一点的导数值。
常用的数值微分方法有前向差分法、后向差分法和中心差分法。
下面是一个例子：计算函数 f(x) = x^2 在点 x = 2 处的导数值。
通过中心差分法，我们可以得到导数的近似值为 4。
计算方法_课后习题答案
(4.5)(0.01172)
0.00879
（2）采用 Newton 插值多项式 y x N2(x) 根据题意作差商表：
i
xi
0
4
1
6.25
f (xi ) 2 2.5
一阶差商 2 9
2
9
3
2 11
二阶差商 4 495
N2 (7) 2 29 (7 4) ( 4 495) (7 4) (7 6.25) 2.6484848
1
e2
则根据二次Lagrange插值公式得：
L2 (x)
(x ( x0
x1)(x x2 ) x1)(x0 x2 )
y0
(x ( x1
x0 )(x x2 ) x0 )(x1 x2 )
y1
(x ( x2
x0 )(x x1) x0 )(x2 x1)
y2
2(x 1)(x 0.5) 2x(x 0.5)e1 4x(x 1)e0.5
8. 求作 f x xn1 关于节点 xi i 0,1, , n 的 Lagrange 插值多项式，并利用
插值余项定理证明
n
n
xin1li 0 1n xi
i0
i0
式中 li x 为关于节点 xi i 0,1, , n 的 Lagrange 插值基函数。
2 02 12 4 23 4 04 14 2 3
1 x2 3x 2 x 4 3x x2 6x 8 23 x x2 5x 4 1 x x2 3x 2
8
4
8
计算方法习题集及答案(总结版)
雅克比法：
3 10 12 5
3 (k ) 2 (k ) x1( k +1) = − 5 x2 − 5 x3 −
，x
( k +1) 2
(k ) 1 (k ) =1 4 x1 − 2 x 3 + 5
18 i
，x
( k +1) 3 −4
(k ) 3 =−1 + 10 x (2 k ) + 5 x1
取初始向量 x
（2） x （3） x
3
= 1+ x2 =
，对应迭代公式 x 对应迭代公式 x
0
k +1
= 3 1 + x k2 ;
2
1 , x −1
k
+1 =
1 xk − 1
。
0
判断以上三种迭代公式在 x 解： （1） ϕ ( x) = 1 + x1
2
= 1 .5
的收敛性，选一种收敛公式求出 x
2 x3
−
2 3
= 1 .5
5
习题 3
1.
设有方程组
5 x1 + 2 x 2 + x3 = −12 − x1 + 4 x 2 + 2 x3 = 20 2 x − 3x + 10 x = 3 2 3 1
( k +1) (k )
∞
(1)
考察用 Jacobi 法，Gauss-Seidal 法解此方程组的收敛性； −x (2) 用 Jacobi 法及 Gauss-Seidal 法解方程组，要求当 x
1.
x
k +1 k k
'
<1
公式收敛
计算方法习题答案
计算方法第3版习题答案习题1解答1.1 解：直接根据定义得*411()102x δ-≤⨯*411()102r x δ-≤⨯*3*12211()10,()1026r x x δδ--≤⨯≤⨯*2*5331()10,()102r x x δδ--≤⨯≤1.2 解：取4位有效数字 1.3解：4335124124124()()()101010() 1.810257.563r a a a a a a a a a δδδδ----++++++≤≤=⨯++⨯123()r a a a δ≤123132231123()()()a a a a a a a a a a a a δδδ++0.016=1.4 解：由于'1(),()n n f x x f x nx -==，故***1*(())()()()n n n f x x x n x x x δ-=-≈- 故******(())(())()0.02()r r n f x x x f x n n x n x xδδδ-=≈==1.5 解： 设长、宽和高分别为 ***50,20,10l l h h εεωωεεεε=±=±=±=±=±=±2()l lh h ωωA =++，*************()2[()()()()()()]l l l h h l h h εδωωδδδωδδωA =+++++***4[]320l h εωε=++= 令3201ε<，解得0.0031ε≤，1.6 解：设边长为x 时，其面积为S ，则有2()S f x x ==，故 '()()()2()S f x x x x δδδ≈=现100,()1x S δ=≤，从而得()1()0.00522100S x xδδ≈≤=⨯ 1.7 解：因S ld =，故S d l ∂=∂，Sl d∂=∂，*****()()()()()S S S l d l d δδδ∂∂≈+∂∂*2()(3.12 4.32)0.010.0744S m δ=+⨯=, ******()()0.0744()0.55%13.4784r S S S l d S δδδ===≈1.8 解：（1）4.472 （2）4.471.9 解：(1) （B ）避免相近数相减 (2)（C ）避免小除数和相近数相减(3)（A ）避免相近数相减 (3)（C ）避免小除数和相近数相减，且节省对数运算 1.10 解 （1）357sin ...3!5!7!x x x x x =-+-+ 故有357sin ..3!5!7!x x x x x -=-+-，（2）1(1)(1)1lnxdx ln ln ln N+N=N N +-N N +N +-⎰1(1)1lnln N +=N +N +-N1.11 解：0.00548。
计算方法-习题第一、二章答案.doc
第一章 误差1 问3.142，3.141，722分别作为π的近似值各具有几位有效数字？分析 利用有效数字的概念可直接得出。
解 π=3.141 592 65…记x 1=3.142，x 2=3.141，x 3=722.由π- x 1=3.141 59…-3.142=-0.000 40…知3411110||1022x π--⨯<-≤⨯ 因而x 1具有4位有效数字。
由π- x 2=3.141 59…-3.141=-0.000 59…知2231021||1021--⨯≤-<⨯x π因而x 2具有3位有效数字。
由π-722=3.141 59 …-3.142 85…=-0.001 26…知231021|722|1021--⨯≤-<⨯π因而x 3具有3位有效数字。
2 已知近似数x*有两位有效数字，试求其相对误差限。
分析 本题显然应利用有效数字与相对误差的关系。
解 利用有效数字与相对误差的关系。
这里n=2,a 1是1到9之间的数字。
%5101211021|*||*||)(|1211*=⨯⨯≤⨯≤-=+-+-n ra x x x x ε3 已知近似数的相对误差限为0.3%，问x*至少有几位有效数字？分析 本题利用有效数字与相对误差的关系。
解 a 1是1到9间的数字。
1112*10)1(2110)19(21102110003%3.0)(--⨯+≤⨯+⨯=⨯<=a x r ε 设x*具有n 位有效数字，令-n+1=-1，则n=2，从而x*至少具有2位有效数字。
4 计算sin1.2，问要取几位有效数字才能保证相对误差限不大于0.01%。
分析 本题应利用有效数字与相对误差的关系。
解 设取n 位有效数字，由sin1.2=0.93…，故a 1=9。
411*10%01.01021|*||*||)(-+-=≤⨯≤-=n ra x x x x ε解不等式411101021-+-≤⨯n a 知取n=4即可满足要求。
计算方法课后习题集规范标准答案
习 题 一3.已知函数y =4, 6.25,9x x x ===处的函数值，试通过一个二次插值函解：0120124, 6.25,9;2, 2.5,3y x x x y y y =======由题意 （1） 采用Lagrange插值多项式220()()j j j y L x l x y ==≈=∑27020112012010*********()|()()()()()()()()()()()()(7 6.25)(79)(74)(79)(74)(7 6.25)2 2.532.255 2.25 2.75 2.7552.6484848x y L x x x x x x x x x x x x x y y y x x x x x x x x x x x x ==≈------=++------------=⨯+⨯+⨯⨯-⨯⨯= 其误差为(3)25(3)25(3)2[4,9]2()(7)(74)(7 6.25)(79)3!3()83max |()|40.0117281|(7)|(4.5)(0.01172)0.008796f R f x x f x R ξ--=---==<∴<=又则（2）采用Newton插值多项式2()y N x =≈ 根据题意作差商表：224(7)2(74)()(74)(7 6.25) 2.64848489495N =+⨯-+-⨯-⨯-≈4. 设()()0,1,...,k f x x k n ==，试列出()f x 关于互异节点()0,1,...,i x i n =的Lagrange 插值多项式。
注意到：若1n +个节点()0,1,...,i x i n =互异，则对任意次数n ≤的多项式()f x ，它关于节点()0,1,...,i x i n =满足条件(),0,1,...,i i P x y i n ==的插值多项式()P x 就是它本身。
可见，当k n ≤时幂函数()(0,1,...,)kf x x k n ==关于1n +个节点()0,1,...,i x i n =的插值多项式就是它本身，故依Lagrange 公式有()00(),0,1,...,nn n k kk i j j j j j i j ii jx x x l x x x k n x x ===≠-=≡=-∑∑∏特别地，当0k =时，有()0001nn n ij j j i j ii jx x l x x x ===≠-=≡-∑∑∏而当1k =时有()000nnn ij j j j j i j ii jx x x l x x x x x ===≠⎛⎫- ⎪=≡ ⎪- ⎪⎝⎭∑∑∏ 5.依据下列函数表分别建立次数不超过3的Lagrange 插值多项式和Newton 插值多项式，并验证插值多项式的唯一性。
计算方法第六章习题答案
第六章习题答案1.用二分法求方程在区间[1内的根，要求其绝对误差不超 32()330f x x x x =+−−=,2]过210.−解： 由于(1)113340,f =+−−=−<32(2)2232330,f =+−×−=>且当时，[1,2]x ∈22110()3233()033f x x x x ′=+−=+−> 所以方程在区间[1内仅有一个实根。
,2] 由2111(21)10,22k −+−≤×解得2ln10 6.64385.ln 2k ≥≥所以需要二分7次，才能得到满足精度要求的根。
取[1区间的中点将区间二等分，求得,2]1 1.5,x =(1.5) 1.8750,f =−<与(1)f 同号，因此得到下一区间[1如此继续下去，即得计算结果。
.5,2];计算结果如下表：k(())f k k a a 的符号(())x f x k k 的符号(())b f b k k 的符号0 1（-） 1.5（-） 2（+） 1 1.5（-） 1.75（+） 2（+） 2 1.5（-） 1.625（-） 1.75（+） 3 1.625（-） 1.6875（-） 1.75（+） 4 1.6875（-） 1.71875（-） 1.75（+） 5 1.71875（-） 1.734375（+） 1.75（+） 6 1.71875（-） 1.7265625（-） 1.734375（+） 7 1.7265625（-） 1.73046875（-） 1.734375（+）7()1.73046875 1.73a b x +==≈77取即满足精度要求2。
2.证明1s 在[0内有一个根，使用二分法求误差不大于in 0x x −−=,1]41102−×的根要迭代多少次？证明： 设()1sin ,f x x =−−x由于(0)10sin 010,f =−−=>(1)11sin1sin10,f =−−=−<且当时，[0,1]x ∈()1cos 0.f x x ′=−−< 因此方程在区间[0内有一个根。
计算方法1-3
§1.3误差的传播1.3.1函数的误差1.3.2算术运算的误差1.3.3数值稳定性121.3.1 函数的误差设是精确值x 的一个近似值，是y 的一个近似值，现在分别对一元函数f(x)和二元函数f(x,y)的误差进行分析。
f(x)的近似函数值的误差限和相对误差限分别有如下的估计式*x *y )(*x f *'***'*****()|()|()()()()()()()r f x f x x f x f x f x x f x f x δδδδδ⎧≤⎪⎨≤=⎪⎩()1.3.1的误差限。
为其中**)(x x δ3f(x,y)的近似函数值的误差限和相对误差限分别有如下的估计式：**************((,))|(,)||(,)|(,)(,)((,))||()||()r f x y f x y f x y f x y f x y f x y x x x y δδδδδ⎧≤⎪⎪⎨∂∂⎪≤+⎪∂∂⎩)2.3.1(的误差限。
、分别为其中****)(),(y x y x δδ41.3.2 算术运算的误差加、减、乘、除运算的误差限和相对误差限的估计式：**********()()()()()()||r x y x y x x x y x y δδδδδδ⎧±≤+⎪⎨+±≤⎪±⎩()3.3.1**************()()()()()||||()||()||()r r r x y x y x y x y x y y x x y δδδδδδδδ⎧⋅≤+=+⎪⎨⎪⋅≤+⎩()1.3.45上述公式总结为：和、差的误差限不超过各误差限的和。
积、商的相对误差限不超过各相对误差限的和。
*******2********1()()||()||()()()()()()||||r r r x x x y y y y x x y x y y x y δδδδδδδδ⎧≤+⎪⎪⎨⎪≤+=+⎪⎩()1.3.51.3.3数值稳定性误差的传播能否得到控制，是误差分析的重要内容，也是衡量一个算法优劣的一个重要指标。
计算方法 课后习题答案
计算方法课后习题答案计算方法课后习题答案计算方法是一门重要的学科，它涉及到数值计算、算法设计和数据处理等方面的内容。
在学习计算方法的过程中，课后习题是不可或缺的一部分。
通过解答习题，我们可以巩固所学的知识，提高自己的计算能力。
下面是一些计算方法课后习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。
1. 矩阵的转置矩阵的转置是将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
对于一个m×n的矩阵A，它的转置记作A^T。
转置后的矩阵A^T的行数和列数分别为原矩阵A的列数和行数。
例如，对于一个3×2的矩阵A，它的转置A^T是一个2×3的矩阵。
2. 矩阵的加法和减法矩阵的加法和减法是对应位置上的元素进行相加或相减得到的新矩阵。
对于两个相同大小的矩阵A和B，它们的和记作A+B，差记作A-B。
加法和减法的运算规则是相同位置上的元素进行相应的运算。
3. 矩阵的乘法矩阵的乘法是指将两个矩阵相乘得到一个新矩阵的运算。
对于两个矩阵A和B，它们的乘积记作AB。
矩阵乘法的运算规则是矩阵A的行与矩阵B的列进行相乘，并将结果相加得到新矩阵的对应位置上的元素。
4. 矩阵的逆矩阵的逆是指对于一个可逆矩阵A，存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵。
如果一个矩阵A存在逆矩阵，则称其为可逆矩阵或非奇异矩阵。
求解矩阵的逆可以使用伴随矩阵和行列式的方法。
5. 线性方程组的求解线性方程组是指由一组线性方程组成的方程组。
求解线性方程组的方法有很多，包括高斯消元法、LU分解法、迭代法等。
其中，高斯消元法是一种常用的求解线性方程组的方法，它通过消元和回代的过程，将线性方程组转化为上三角形矩阵或对角矩阵，从而求解出方程组的解。
6. 数值积分的方法数值积分是指通过数值计算的方法来求解定积分的近似值。
常用的数值积分方法包括梯形法则、辛普森法则和龙贝格法则等。
这些方法都是基于将定积分转化为离散求和的形式，通过计算离散点上的函数值来估计定积分的近似值。
计算方法3.3
§3.3 迭代法3.3.1 不动点迭代一般地，为了求一元非线性方程(3.3.1)的根，可以先将其转换为如下的等价形式(3.3.2)式中连续函数称为迭代函数，并使两个方程具有相同的解，然后构造迭代公式。
（3.3.3）)(=x f ()x x ϕ=()x ϕ()k k x x ϕ=+1 2,1,0=k对于给定的初值，由（3.3.3）可产生一个迭代序列如果有由于连续，则则是（3.3.2）的解，由等价性知也是(3.3.1)的解。
称为的不动点，迭代公式(3.3.3) 称为收敛的，并称其为不动点迭代法.由于在(3.3.3)式中，仅由决定，因此（3.3.3）式称为单步迭代法。
0x {}∞=0k k x ()x ϕ()()**1lim lim lim k k k k k x x x x k x ϕϕϕ+→∞→∞→∞⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭*x ()x ϕ*x 1+k x k x *x *lim kk x x →∞=称为方程根的第次近似值。
如果迭代序列的极限不存在，则称迭代公式（3.3.3）是发散的。
因此，在使用迭代法求方程根的近似值时，首先要考虑的问题是：如何选取迭代函数，使迭代公式收敛。
k x k {}k x ()x ϕ()k k x x ϕ=+13.3.2 迭代法的收敛性为了研究迭代法的收敛性，我们首先介绍迭代法的几何意义，从几何上讲，求方程的根，即求直线与曲线的交点的横坐标。
如图（3.3.1）。
)(x x ϕ=x y =()x y ϕ=p *xxy =)(x y ϕ=0x *x 2x 1x 1x 2x *x 0x xy =)(x y ϕ=1p 0p 0A 1A p()a ()b 0p 1p pA 1A xy =)(x y ϕ=0p1p p1A 0A 1x x x *x)(x y ϕ=xy =x x *x 1x 0A 1A pp 1p对于的某个初始近似值，在曲线上可以确定以为横坐标的一点，的纵坐标为，过点作轴的平行线交直线于，过作轴的平行线交曲线于，则的横坐标为，如此继续下去，在曲线上就得点列其横坐标，由迭代公式求得，如果点列越来越逼近交点，则迭代法收敛,否则迭代法发散。
计算方法课后习题答案
计算方法课后习题答案在计算方法课程中，学生通常会接触到各种数学问题的求解方法，包括但不限于数值分析、线性代数、微分方程等。
以下是一些课后习题的解答示例：习题一：求解线性方程组设线性方程组为：\[ \begin{align*}a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n &= b_1, \\a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n &= b_2, \\\vdots \quad \quad & \ \vdots \\a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n &= b_m,\end{align*} \]解答：使用高斯消元法或矩阵分解法求解上述方程组。
首先将系数矩阵转换为行简化阶梯形式，然后回代求解未知数 \( x_1, x_2,\ldots, x_n \)。
习题二：数值积分给定函数 \( f(x) \)，需要在区间 \( [a, b] \) 上进行数值积分。
解答：可以使用梯形法、辛普森法等数值积分方法。
例如，使用梯形法的公式为：\[ \int_a^b f(x)dx \approx \frac{h}{2} \left( f(a) + 2f(a+h) + 2f(a+2h) + \cdots + 2f(b-h) + f(b) \right), \]其中 \( h = \frac{b-a}{n} \) 是区间的等分宽度，\( n \) 是等分数。
习题三：常微分方程的数值解给定一个常微分方程 \( y' = f(x, y) \)，初始条件为 \( y(x_0) = y_0 \)。
解答：使用欧拉法或龙格-库塔法求解。
以欧拉法为例，其迭代公式为：\[ y_{n+1} = y_n + h f(x_n, y_n), \]其中 \( h \) 是步长，\( x_{n+1} = x_n + h \)。
计算方法及答案.docx
A. det A = 0B.detA k = 0(1 乞 k n)c. detA 0D. det A ：： 0《计算方法》练习题一一、填空题1.理=3.14159…的近似值3.1428 ,准确数位是()。
2 .满足 f(a) = C, f(b) = d 的插值余项 R(X)=()。
3 .设｛P k (x)｝为勒让德多项式，则(F 2(χ), P 2(x)) - ( )o4 •乘幕法是求实方阵()特征值与特征向量的迭代法。
5 .欧拉法的绝对稳定实区间是()o6. e =2.71828…具有3位有效数字的近似值是( )。
7 .用辛卜生公式计算积分[fc ( ) oVHx8 .设A (kJ0 =(a (Z )第k 列主兀为a Pk J),则a (Pk A) =()10 •已知迭代法：X n 1 =(X n ), (n=0,1,…)收敛，则：(x)满足条件()。
、单选题1•已知近似数a,b,的误差限；(a), ；(b),则；(ab)=()。
A. E(a)E(b)B. E(a)+^(b)c. ag(a)+∣bw(b) D . a E (b)+'b w(a)2 .设 f(x) =X 2 X ,则 f[1,2,3]=()。
A.lB. 2C. 3D .4 3 . 设A =们 ,则化A 为对角阵的平面旋转 Q =().：1 3一ππππ A.—B .—C .—D .—23 464 . 若双点弦法收敛， 则双点弦法具有()敛速.A.线性B.超线性C.平方D .三次5 .改进欧拉法的局部截断误差阶是().A. o(h)Bo(h 2)C.o(h 3)D.o(h 4)6 .近似数 a = 20.47820 "0的误差限是()o1 一 c -51 _ -4 1__3 1 _ _2A. ×10B.×10 C.×10D . × 1022229 .已知贝TtJ 1 25 4_-7 .矩阵A满足(),则存在三角分解A=LR)&已知 X =(—1,3,-5)T ,则 X 1 =()。
计算方法的课后答案
《计算方法》习题答案第一章 数值计算中的误差1．什么是计算方法？（狭义解释）答：计算方法就是将所求的的数学问题简化为一系列的算术运算和逻辑运算，以便在计算机上编程上机，求出问题的数值解，并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析、计算。
2．一个实际问题利用计算机解决所采取的五个步骤是什么？答：一个实际问题当利用计算机来解决时，应采取以下五个步骤： 实际问题→建立数学模型→构造数值算法→编程上机→获得近似结果 4．利用秦九韶算法计算多项式4)(53-+-=x x x x P 在3-=x 处的值，并编程获得解。
解：400)(2345-+⋅+-⋅+=x x x x x x P ，从而所以，多项式4)(53-+-=x x x x P 在3-=x 处的值223)3(-=-P 。
5．叙述误差的种类及来源。
答：误差的种类及来源有如下四个方面：（1）模型误差：数学模型是对实际问题进行抽象，忽略一些次要因素简化得到的，它是原始问题的近似，即使数学模型能求出准确解，也与实际问题的真解不同，我们把数学模型与实际问题之间存在的误差称为模型误差。
（2）观测误差：在建模和具体运算过程中所用的一些原始数据往往都是通过观测、实验得来的，由于仪器的精密性，实验手段的局限性，周围环境的变化以及人们的工作态度和能力等因素，而使数据必然带有误差，这种误差称为观测误差。
（3）截断误差：理论上的精确值往往要求用无限次的运算才能得到，而实际运算时只能用有限次运算的结果来近似，这样引起的误差称为截断误差（或方法误差）。
（4）舍入误差：在数值计算过程中还会用到一些无穷小数，而计算机受机器字长的限制，它所能表示的数据只能是一定的有限数位，需要把数据按四舍五入成一定位数的近似的有理数来代替。
这样引起的误差称为舍入误差。
6．掌握绝对误差（限）和相对误差（限）的定义公式。
答：设*x 是某个量的精确值，x 是其近似值，则称差x x e -=*为近似值x 的绝对误差（简称误差）。