第3章屈服条件解析
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03屈服条件[1]
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第3章屈服条件屈服条件的概念两个常用的屈服条件屈服条件的试验验证后继屈服条件3.1. 屈服条件的概念•3.1.1 屈服•3.1.2 屈服条件•3.1.3 屈服函数•3.1.4 屈服曲面•3.1.5 π平面上屈服曲线•3.1.6 应力偏张量矢量的计算1. 屈服物体受到荷载作用后，随着荷载增大，由弹性状态到塑性状态的这种过渡，叫做屈服。
物体内某一点开始产生塑性应变时，应力或应变所必需满足的条件，叫做屈服条件。
2.屈服条件屈服条件是材料处于弹性状态或塑性状态的判断准则。
单向拉伸时的屈服条件：考虑应力的组合对材料是否进入塑性状态的影响。
s σσ<sσσ=弹性状态进入塑性状态σσ空间应力状态：3. 屈服函数在不考虑应力主轴旋转情况下，可以用三个主应力分量或应力不变量表示：)(=ijFσ),,(321=σσσF321=),,(JJJF32=''),(JJF在不考虑时间效应(如应变率)和温度的条件下：4.屈服面在应力空间内屈服函数表示为屈服面。
根据不同的应力路径实验，在应力空间将这些屈服点连接起来，就形成一个区分弹性和塑性的屈服面。
L 直线——通过原点，与三条坐标轴成相同夹角的直线。
p 平面——通过主应力空间原点，与L 直线垂直的平面。
其方程为：321=++σσσσ3Nσ2σ 1OSP(σ1,σ2,σ3)Lp 332211i i i σσσ++=OP ONOS S S S OP m m m +=+++++=)()(321332211i i i i i i σσσP 1ON 沿L 直线，OS 在p 平面上结论：屈服曲面是以SP 为母线的柱面设：P 为屈服曲面上的一点屈服曲线（屈服轨迹）—屈服曲面与p 平面的交线5. 屈服曲线的性质σ1'σ2'σ3'1σ'⊥2σ'⊥3σ'⊥1. 原点必在屈服曲线内。
屈服曲线是外凸的封闭曲线。
2.321σσσ'⊥'⊥'⊥,,3.是对称轴321σσσ''',,是对称轴结论：只需确定中心角30范围内的曲线即可。
应力和应变和屈服条件
若八面体面上的应力向量用若八面体面上的应力向量用ff88表示则按表示则按3333式有设在这一点取坐标轴与三个应力主轴一致则等斜面法线的三个方向余弦为八面体面素上的正应力为八面体面素上的正应力为八面体面素上的剪应力为八面体面素上的剪应力为说明
第三章 应力和应变
§3.1 应力分析 §3.2 应变分析
九、张量概念及其基本运算
ai b jk cijk
◆ 张量乘法不服从交换律，但张量乘法服从分配
律和结合律。例如：
(aij bij )ck aij ck bij ck ； 或 (aij bk )cm aij (bk cm )
C、张量函数的求导：
◆ 一个张量是坐标函数，则该张量的每个分量都
是坐标参数xi的函数。
N
O
SN
采用张量下标记号，可简写成
S Ni = ij l j
说明：
(3 - 3)
x1 i）重复出现的下标叫做求和下标，相当于
j 1
3
,这称为求和约定；
x2
ii）不重复出现的下标i叫做自由下标，可取i=1,2,3；
(4) 应力张量的分解
11 = 22 = 33 = 1.静水“压力”：
在静水压力作用下，应力—应变间服从弹性规律，且不会屈 服、不会产生塑性变形。
不产生塑性变形的部分 应力 产生塑性变形的部分
反映静水“压力”：
2.平均正应力：
1 1 m = ( 11 + 22 + 33 ) = kk 3 3 (3 - 4)
3.应力张量的分解：
应力张量可作如下分解：
yx
zx
zy
yz
(2) 应力张量
定义：一点 的应力状态可由九个应力分量来描述，这些分量构成 一个二阶对称张量，称为应力张量。
第三章 应力和应变
§3.1 应力分析 §3.2 应变分析
九、张量概念及其基本运算
ai b jk cijk
◆ 张量乘法不服从交换律，但张量乘法服从分配
律和结合律。例如：
(aij bij )ck aij ck bij ck ； 或 (aij bk )cm aij (bk cm )
C、张量函数的求导：
◆ 一个张量是坐标函数，则该张量的每个分量都
是坐标参数xi的函数。
N
O
SN
采用张量下标记号，可简写成
S Ni = ij l j
说明：
(3 - 3)
x1 i）重复出现的下标叫做求和下标，相当于
j 1
3
,这称为求和约定；
x2
ii）不重复出现的下标i叫做自由下标，可取i=1,2,3；
(4) 应力张量的分解
11 = 22 = 33 = 1.静水“压力”：
在静水压力作用下，应力—应变间服从弹性规律，且不会屈 服、不会产生塑性变形。
不产生塑性变形的部分 应力 产生塑性变形的部分
反映静水“压力”：
2.平均正应力：
1 1 m = ( 11 + 22 + 33 ) = kk 3 3 (3 - 4)
3.应力张量的分解：
应力张量可作如下分解：
yx
zx
zy
yz
(2) 应力张量
定义：一点 的应力状态可由九个应力分量来描述，这些分量构成 一个二阶对称张量，称为应力张量。
塑性力学第三章-屈服条件
第三章
一维问题的屈服
屈服条件
应力应变状态
三维应力状态的屈服
初始屈服条件 初始屈服曲面 初始屈服曲线
Tresca 屈服条件 Mises屈服条件
实验验证
初始屈服条件
初始弹性状态的界限为初始屈服条件
ɺ φ (σ ij , ε ij , ε ij , t , T ) = 0
影响因数： 应力 影响因数： 1应力、2应变、3应变率、4时间、5温度 应力、 应变 应变、 应变率 应变率、 时间 时间、 温度
_____ p
_____ p
2 p p dε ij dε ij 3
K = ϕ ( ∫ dW p ) , dW p = σ ij dε ijp
采用Mises屈服条件，线性强化 屈服条件， 采用 屈服条件
f = σ −σ s = 0
φ =σ −K = 0
简单拉伸时， 简单拉伸时，
σ = σ s + E pε p
σ z + 4τ zθ = σ s
2 2
(σ 1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 2 + (σ 3 − σ 1 ) = 2σ s2
σ z 2 + 3τ zθ 2 = σ s2
σz σ s τ + 3 zθ = 1 σ s
2 2
σ z 2 + 4τ zθ 2 = σ s2
P = 0,
µσ = −1
µσ = 0
(θ = −300 )
(θ = 00 )
P = πR 2 q ,
P = 2πR 2 q ,
µσ = 1
(θ = 300 )
σ1 − σ 3 Tresca : =1 σs
一维问题的屈服
屈服条件
应力应变状态
三维应力状态的屈服
初始屈服条件 初始屈服曲面 初始屈服曲线
Tresca 屈服条件 Mises屈服条件
实验验证
初始屈服条件
初始弹性状态的界限为初始屈服条件
ɺ φ (σ ij , ε ij , ε ij , t , T ) = 0
影响因数： 应力 影响因数： 1应力、2应变、3应变率、4时间、5温度 应力、 应变 应变、 应变率 应变率、 时间 时间、 温度
_____ p
_____ p
2 p p dε ij dε ij 3
K = ϕ ( ∫ dW p ) , dW p = σ ij dε ijp
采用Mises屈服条件，线性强化 屈服条件， 采用 屈服条件
f = σ −σ s = 0
φ =σ −K = 0
简单拉伸时， 简单拉伸时，
σ = σ s + E pε p
σ z + 4τ zθ = σ s
2 2
(σ 1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 2 + (σ 3 − σ 1 ) = 2σ s2
σ z 2 + 3τ zθ 2 = σ s2
σz σ s τ + 3 zθ = 1 σ s
2 2
σ z 2 + 4τ zθ 2 = σ s2
P = 0,
µσ = −1
µσ = 0
(θ = −300 )
(θ = 00 )
P = πR 2 q ,
P = 2πR 2 q ,
µσ = 1
(θ = 300 )
σ1 − σ 3 Tresca : =1 σs
屈服与破坏准则
S
A
C
D
E B
o
图中A点之后的曲线均称屈服曲线。 称 S 为初始屈服应力，A点之后曲线上任一点均称为相 继屈服点。
§3.1 概述
一、基本概念 1. 屈服、相继屈服与破坏 物体屈服后曲线如AB线的材料 称为理想塑性材料；如ACD线的材 料称为应变硬化（强化）材料；如 ACE线的材料称为应变软化材料。
内切圆
内接圆时： 外接圆时：
2sin 9 3sin 2 2sin 9 3sin 2
, k
6c cos 9 3sin 2 6c cos 9 3sin 2
' 2
1'
, k
见左图。 实际应用时选择要慎重，因为 极限荷载相差很大。
' 3
莫尔－库仑屈服准则的优点：它能反映岩土类材料的抗 压抗拉强度的不对称性；材料对静水压力的敏感性；而且模 型简单实用，材料参数少，c、 可以通过各种不同的常规 试验测定。因此，它在岩土力学和塑性理论中得到广泛应用， 并且积累了丰富的试验资料与应用经验。 但是，莫尔－库仑屈服准则不能反映中间主应力对屈服 和破坏的影响，不能反映单纯的静水压力可以引起岩土屈服 的特性，而且，屈服面有棱角，不便于数值计算。
§3.2 C-M准则
一、C-M准则
即 Coulomb-Mohe 准则，我们已经很熟悉了。当知道主 应力的大小，即 1 2 3 时，表示为：
f tan c 0
f (1 3 ) (1 3 )sin 2c cos 0
屈服与破坏准则
任务：如何来理解屈服与破坏准则？
何为屈服？何为破坏？何为准则？如何得 到屈服和破坏的准则？ 屈服：由弹性进入塑性！ 破坏：变形过大丧失对外力的抵抗！ 准则：寻找一种数学上的联系！ 那么，如何得到这种联系呢？
A
C
D
E B
o
图中A点之后的曲线均称屈服曲线。 称 S 为初始屈服应力，A点之后曲线上任一点均称为相 继屈服点。
§3.1 概述
一、基本概念 1. 屈服、相继屈服与破坏 物体屈服后曲线如AB线的材料 称为理想塑性材料；如ACD线的材 料称为应变硬化（强化）材料；如 ACE线的材料称为应变软化材料。
内切圆
内接圆时： 外接圆时：
2sin 9 3sin 2 2sin 9 3sin 2
, k
6c cos 9 3sin 2 6c cos 9 3sin 2
' 2
1'
, k
见左图。 实际应用时选择要慎重，因为 极限荷载相差很大。
' 3
莫尔－库仑屈服准则的优点：它能反映岩土类材料的抗 压抗拉强度的不对称性；材料对静水压力的敏感性；而且模 型简单实用，材料参数少，c、 可以通过各种不同的常规 试验测定。因此，它在岩土力学和塑性理论中得到广泛应用， 并且积累了丰富的试验资料与应用经验。 但是，莫尔－库仑屈服准则不能反映中间主应力对屈服 和破坏的影响，不能反映单纯的静水压力可以引起岩土屈服 的特性，而且，屈服面有棱角，不便于数值计算。
§3.2 C-M准则
一、C-M准则
即 Coulomb-Mohe 准则，我们已经很熟悉了。当知道主 应力的大小，即 1 2 3 时，表示为：
f tan c 0
f (1 3 ) (1 3 )sin 2c cos 0
屈服与破坏准则
任务：如何来理解屈服与破坏准则？
何为屈服？何为破坏？何为准则？如何得 到屈服和破坏的准则？ 屈服：由弹性进入塑性！ 破坏：变形过大丧失对外力的抵抗！ 准则：寻找一种数学上的联系！ 那么，如何得到这种联系呢？
第3章金属塑性变形的力学基础之屈服准则
1924年汉基（H.Hencky） NWPU
变形体单位体积内的总弹性变形能
1 1 m
m
3
1 An = ij ij 2
体积变化引起的单位体积弹性变形能
2
3 AV = m m 2
2 m m
m
3
m
18
3.6 形状变化引起的单位体积弹性变形能
3.6 Deformation energy per unit volume induced by shape change
max min s 2 K
10
2.3 任意应力状态下的Tresca屈服准则
2.3 Tresca yield criterion of any stress state
x xy xz yx y yz zx zy z
形状变化引起的单位体积弹性变形能
NWPU 广义胡克定律
A An AV
1 3 = ij ij m m 2 2
1 A [( x y )2 ( y z )2 ( z x )2 6( xy 2 yz 2 zx 2 )] 12G 1 2 1 2 1 E J2 G 19 2G 2 1 6G 3E
第四节 屈服准则
Part 4. Yield Criterion
P105-P116
1
本节主要内容 Contents
NWPU
1. 2.
基本概念★ ★Concepts 屈雷斯加屈服准则★ ★ ★ Tresca yield criterion
掌握标准 ★ ★ ★要求熟练掌 握并能应用 ★ ★要求熟练掌握 ★ 要求了解
等倾线定义 任意应力矢量
变形体单位体积内的总弹性变形能
1 1 m
m
3
1 An = ij ij 2
体积变化引起的单位体积弹性变形能
2
3 AV = m m 2
2 m m
m
3
m
18
3.6 形状变化引起的单位体积弹性变形能
3.6 Deformation energy per unit volume induced by shape change
max min s 2 K
10
2.3 任意应力状态下的Tresca屈服准则
2.3 Tresca yield criterion of any stress state
x xy xz yx y yz zx zy z
形状变化引起的单位体积弹性变形能
NWPU 广义胡克定律
A An AV
1 3 = ij ij m m 2 2
1 A [( x y )2 ( y z )2 ( z x )2 6( xy 2 yz 2 zx 2 )] 12G 1 2 1 2 1 E J2 G 19 2G 2 1 6G 3E
第四节 屈服准则
Part 4. Yield Criterion
P105-P116
1
本节主要内容 Contents
NWPU
1. 2.
基本概念★ ★Concepts 屈雷斯加屈服准则★ ★ ★ Tresca yield criterion
掌握标准 ★ ★ ★要求熟练掌 握并能应用 ★ ★要求熟练掌握 ★ 要求了解
等倾线定义 任意应力矢量
第三章应力分析应变分析屈服准则复习讲诉
a 0 0
1 ij
0
b
0
0 0 0
ab
2
ab 2
0
2 ij
a
b 2
ab 2
0
0
0 0
一、应力张量不变量及其应用
例题解答
对于
1 ij
J1 a b0 a b
J2
a 0
0b
b0
00
00
0
a
ab
a00 J3 0 b 0 0
000
同理，对于
2 ij
J1
a
2
b
a
2
b
0
a
b
ab
J2
试问上述应变场在什么情况下成立？
例题解答
2 xy xy
1 2
2 x y 2
2 y x2
(1)
2 xy 2 (2bxy) 2b xy xy
1
2
2 x y 2
2 y x2
1
2
2
a x2 y2 y 2
2
axy
x2
a
a 2b 即当a 2b时，上述应变场存在。
应变分析问题小 结
max min
2
C
2.2 单向拉伸时的Tresca屈服准则
2.2 Tresca yield criterion in uniaxial stretch test
三、应变连续方程问题
知识要点回顾
小应变几何方程
2 x y2
2 y2
u x
2 xy
u
y
(1)
2 y x2
2 x2
v y
2 v xy x
(2)
塑性力学第三章-屈服条件讲课稿
后继屈服条件
进入塑性后，屈服面的变化规律
后继屈服函数： 对于理想塑性材料：
f
对于强化材料，后继屈服函数可写成
(ij,ha)0
（1）等向强化（各向同性）模型
f (ij) K 0
K K(ha)
_____
K( dp),
_____
dp
32dipjdipj
K( dWp), dWp ijdipj
T:maxsk
M: 3s Tresca 六边形外切于Mises 圆
2
y
0
2k 2
3
3
s
s
2
:T
s
s
3
:
M
1
x
屈服条件的实验验证
薄壁管轴向拉伸和内压作用下的实验比较 薄壁管轴向拉伸和扭转作用下的实验比较
薄壁管轴向拉伸和内压作用下的实验(Lode,1926)
qR h,z2P R,h r0 P
令
1 ,2 z,3 r 0
x , y, z 0 ,x,yy z zx 0
x y 2 y z 2 z x 2 6 x 2 2 y y z 2 z 2 x s 2
x2y 2x y3x 2y s 2
两种屈服条件的比较
（1）单向拉伸时重合：
Tres:cmaa x2s k
Mis:ess Tresca 六边形内接于Mises 圆 （2）纯剪切时重合：
2 2k
2
2 2k
122k
1 2k
12k 0
2 2k
1
122k
2、Mises 屈服条件
Mises条件的常用形式： （1）应力偏张量第二不变量形式：
J2 k22
1 6 x y 2 y z 2 z x 2 6 x 2 y y 2 z z 2x k 2 2
第三章 屈服准则
• 这一章研究材料的屈服. 我们已经知道,对于单向拉伸情况比 较简单,只有一个应力,实验可以得到应力应变的曲线, 应力应 变关系是一目了然. 但对于复杂应力状态, 材料在什么情况下 屈服这就不太好说了.这章的Tresca屈服条件和Mises屈服条件 就是解决这个问题的.
• 下一章来解决材料屈服后的应力应变的本构关系.
弹塑性力学基础－－－主讲：韩志仁
1. 屈服
物体受到荷载作用后，
随着荷载增大，由弹性状
态到塑性状态的这种过渡，
叫做屈服。
加载路径
2. 屈服条件
屈服点
物体内某一点开始产 生塑性应变时，应力或应 变所必需满足的条件，叫 做屈服条件。
only twist
Twist and extension
著名的Taylor和Quinney铜管拉扭 屈服试验(1931)
弹塑性力学基础－－－主讲：韩志仁
3. 屈服函数
一般情况下，屈服条件 与应力、应变、时间、温度 等有关，而且是它们的函数， 这个函数F称为屈服函数。
在不考虑时间效应(如应 变率)和温度的条件下：
在不考虑应力主轴旋转 情况下，可以用三个主应力 分量或应力不变量表示：
F( ij ,ij ,t,T ) 0
弹塑性力学基础－－－主讲：韩志仁
第三章 屈服准则
(yield criteria)
弹塑性力学基础－－－主讲：韩志仁
塑性模型三要素
屈服条件 流动法则
硬化规律
判断何时 达到屈服
屈服后塑性应变 增量的方向，也 即各分量的比值
决定给定的应力 增量引起的塑性 应变增量大小
弹塑性计算分 析的首要条件
弹塑性力学基础－－－主讲：韩志仁
这条曲线如图所示的红色曲线. 如果一个应力状态在这条曲线
• 下一章来解决材料屈服后的应力应变的本构关系.
弹塑性力学基础－－－主讲：韩志仁
1. 屈服
物体受到荷载作用后，
随着荷载增大，由弹性状
态到塑性状态的这种过渡，
叫做屈服。
加载路径
2. 屈服条件
屈服点
物体内某一点开始产 生塑性应变时，应力或应 变所必需满足的条件，叫 做屈服条件。
only twist
Twist and extension
著名的Taylor和Quinney铜管拉扭 屈服试验(1931)
弹塑性力学基础－－－主讲：韩志仁
3. 屈服函数
一般情况下，屈服条件 与应力、应变、时间、温度 等有关，而且是它们的函数， 这个函数F称为屈服函数。
在不考虑时间效应(如应 变率)和温度的条件下：
在不考虑应力主轴旋转 情况下，可以用三个主应力 分量或应力不变量表示：
F( ij ,ij ,t,T ) 0
弹塑性力学基础－－－主讲：韩志仁
第三章 屈服准则
(yield criteria)
弹塑性力学基础－－－主讲：韩志仁
塑性模型三要素
屈服条件 流动法则
硬化规律
判断何时 达到屈服
屈服后塑性应变 增量的方向，也 即各分量的比值
决定给定的应力 增量引起的塑性 应变增量大小
弹塑性计算分 析的首要条件
弹塑性力学基础－－－主讲：韩志仁
这条曲线如图所示的红色曲线. 如果一个应力状态在这条曲线
工程塑性力学-屈服准则
Mohr-Coulomb 准则
Drucker-Prager 准则
Rankine 准则
1876 年，Rankine提出：一点的最大主应力 达到拉伸强度时，材料发生拉伸破坏。 用于确定脆性材料是否会发生拉伸破坏。 可用来判断混凝土拉伸开裂的起因。 屈服面：拉伸破坏面
1
max(1 , 2 , 3 ) ft ft 由简单拉伸试验确定。
2
那么Tresca准则变为：
xx yy 2 xy k 2
2
即
xx
yy 4
2 2 xy
2 s
上式分别代入yy = -s , 0, s，得到xx-xy 平面 上的屈服轨迹。
xy
xx
Mises 屈服准则
轴向拉伸试验：
1 s , 2 3 0
1 3 s , 2 0
s k 2
k s
纯剪试验：薄壁圆筒扭转试验
1 s s 2
s 与 s 均可由试验测定，常用钢材的试验 结果与上式不完全符合，说明Tresca屈服准则 是近似正确的。
Tresca准则是分段线性的，简化计算；适用 于主方向已知且不变的情况下；
Mises 、 Tresca 准则分别对应于材料力学中 的第三、第四强度理论。
例3：闭端薄壁圆筒受内压 p 的作用，理想 塑性材料，屈服极限为s = 245 GPa。 用Mises、Tresca准则求最大许可的内压 p。 解：首先确定危险 点的应力状态（远离 封头的筒身位置）：
Drucker-Prager 准则
1952 年提出，是对 Mises 准则的修正，它考 虑了静水压力对屈服的影响：
第03章 第03节 屈服准则
不同点：
Tresca屈服准则没有考虑中间应力的影响，三个主应力大 小顺序不知时，使用不便；而Mises屈服淮则考虑了中间应 力的影响，使用方便。
本节小结
• Tresca，Mises准则的数学表达； • Tresca，Mises准则物理意义； • Tresca，Mises准则的比较；
每日一练
• 1、考虑材料的弹性，也考虑材料硬化的材 料模型称为 。 • A、理想弹塑性材料 B、理想刚塑性材料 C、硬化刚塑性材料 D、硬化弹塑性材料
(110 10)2 (10 0)2 (0 110)2 2 s2
1 100 20 100 20 2 110 302 = 3 2 2 10
Tresca:
s =1 3 =110-0=110
例题２
一圆柱体，直径φ100mm，且为理想塑性材料，服从屈雷斯加准则， 屈服应力为σs=160N/mm2,在外载荷作用下内部形成一定的应力场。现设 所有应力分量和θ及z坐标无关（即轴对称状态，且在高度方向应力均 布），而且应力分量σr，σθ，σz都是主应力。 a)试判断下列两种应力场是否有可能存在；如有可能存在，则进而判 断试样内各部分质点处于什么状态（弹性或塑性）； 1）σr=σθ=3r -180, σz=-200N/mm2; 2) σr=σθ=3r-180, σz=-190N/mm2。
Mises准则又可表述为：在一定的变形条件下，当受力物 体内一点的等效应力达到某一定值时，该点就开始进入 塑性状态。
Mises屈服准则
2、Mises准则的物理意义 在一定的变形条件下，当材料的单位体积形状改变的弹性位能(又称 弹性形变能)达到某一常数时，材料就屈服。
说明:
弹性变形位能包括体积变化位能和形状变化位能
Tresca屈服准则没有考虑中间应力的影响，三个主应力大 小顺序不知时，使用不便；而Mises屈服淮则考虑了中间应 力的影响，使用方便。
本节小结
• Tresca，Mises准则的数学表达； • Tresca，Mises准则物理意义； • Tresca，Mises准则的比较；
每日一练
• 1、考虑材料的弹性，也考虑材料硬化的材 料模型称为 。 • A、理想弹塑性材料 B、理想刚塑性材料 C、硬化刚塑性材料 D、硬化弹塑性材料
(110 10)2 (10 0)2 (0 110)2 2 s2
1 100 20 100 20 2 110 302 = 3 2 2 10
Tresca:
s =1 3 =110-0=110
例题２
一圆柱体，直径φ100mm，且为理想塑性材料，服从屈雷斯加准则， 屈服应力为σs=160N/mm2,在外载荷作用下内部形成一定的应力场。现设 所有应力分量和θ及z坐标无关（即轴对称状态，且在高度方向应力均 布），而且应力分量σr，σθ，σz都是主应力。 a)试判断下列两种应力场是否有可能存在；如有可能存在，则进而判 断试样内各部分质点处于什么状态（弹性或塑性）； 1）σr=σθ=3r -180, σz=-200N/mm2; 2) σr=σθ=3r-180, σz=-190N/mm2。
Mises准则又可表述为：在一定的变形条件下，当受力物 体内一点的等效应力达到某一定值时，该点就开始进入 塑性状态。
Mises屈服准则
2、Mises准则的物理意义 在一定的变形条件下，当材料的单位体积形状改变的弹性位能(又称 弹性形变能)达到某一常数时，材料就屈服。
说明:
弹性变形位能包括体积变化位能和形状变化位能
塑性力学之屈服条件与破坏条件
理想线 性强化刚 塑性力学 模型，其 应力应变 关系的数 学表达式 为：
s E1
(当 0 时)
◆ 幂强化力学模型
为了避免在 s 处的变化，有时可 以采用幂强化力学 模型。当表达式中 幂强化系数 n 分别 取 0 或 1 时，就代 表理想弹塑性模型 和理想刚塑性模型。 其应力应变关系表 达式为：
图3.8 子午平面二次式屈服曲线的三种形式
3.1 基本概念小结
屈服
应力(应变) 满足条件
屈服条件
以应力(应变) 函数形式表达 在应力空间内 的表示
在π平面或子 午面上的投影
屈服函数
弹性 到塑 性的 过渡
屈服曲面
屈服曲线
3.2 描述屈服条件的坐标体系
(σ1,σ2,σ3) ： 力学(土力学)
1 m ( 1 2 3 ) 3 1 r ( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 3 1 1 2 2 1 3 tan ( ) 3 1 3
d －构件危险点的形状改变比能
0 d
－形状改变比能的极限值，由单拉实验测得
屈服条件
强度条件
实验表明：对塑性材料，此理论比第三强度理论更符合试验结
果，在工程中得到了广泛应用。
强度理论的统一表达式： r [ ]
r ,1 1 [ ]
r ,3 1 3 [ ]
(p, q, θσ)： 土力学
1 p ( 1 2 3 ) 3 1 q ( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 2 1 1 2 2 1 3 tan ( ) 3 1 3
s E1
(当 0 时)
◆ 幂强化力学模型
为了避免在 s 处的变化，有时可 以采用幂强化力学 模型。当表达式中 幂强化系数 n 分别 取 0 或 1 时，就代 表理想弹塑性模型 和理想刚塑性模型。 其应力应变关系表 达式为：
图3.8 子午平面二次式屈服曲线的三种形式
3.1 基本概念小结
屈服
应力(应变) 满足条件
屈服条件
以应力(应变) 函数形式表达 在应力空间内 的表示
在π平面或子 午面上的投影
屈服函数
弹性 到塑 性的 过渡
屈服曲面
屈服曲线
3.2 描述屈服条件的坐标体系
(σ1,σ2,σ3) ： 力学(土力学)
1 m ( 1 2 3 ) 3 1 r ( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 3 1 1 2 2 1 3 tan ( ) 3 1 3
d －构件危险点的形状改变比能
0 d
－形状改变比能的极限值，由单拉实验测得
屈服条件
强度条件
实验表明：对塑性材料，此理论比第三强度理论更符合试验结
果，在工程中得到了广泛应用。
强度理论的统一表达式： r [ ]
r ,1 1 [ ]
r ,3 1 3 [ ]
(p, q, θσ)： 土力学
1 p ( 1 2 3 ) 3 1 q ( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 2 1 1 2 2 1 3 tan ( ) 3 1 3
塑性力学课件 第三章 屈服条件
理想塑性材料：进入塑性阶段以后，在应 力空间中代表应力状态的点均位于屈服曲面 f（σij）= C上。由于没有强化现象，应力状态 变化时，尽管塑性变形还可以不断增长，而屈 服函数的值却不再增长。即不可能有df＞0的情 况出现。代表应力状态的点只能在屈服面上移 动，这时有df = 0，属于加载；当代表应力状态 的点移向屈服面以内时，df＜0，属于卸载。即 df＜0，卸载 （3—34） df = 0，加载 由实验结果得知，加载及中性变载时产生 新的塑性变形，卸载及时不产生新的塑性变形， 其各应力分量与各应变分量的改变服从弹性规 律。
§3.5 Mises屈服条件
Tresca屈服条件完全忽视了居于中间大 小的主应力对材料屈服的影响，这是和实际 有出入的。 Mises用Tresca屈服条件的屈服轨迹正六 边形ABCDEF的外接园作为屈服轨迹。 2 由（3—23）式知圆的半径为 σs，
3
2 2 圆的方程为： R2 = s 3
（3—25）
简单加载定理：对小变形的受力物体，满足 下列三个条件即可保证物体内所有各点都处于简 单加载（充分条件）： （1）物体上所有外加荷载（包括表面力和体 积力）成比例增长。如有位移边界条件，只能是 零位移边界条件； （2）应力强度和应变强度呈幂关系 i A in ; 1 （3）材料不可压缩，即泊松比μ= 。
S
s
2
二、各主应力不按大小顺序排列时的 Tresca屈服条件 （3—16）可改写为： σmax－σmin =σs （3—19） （3—19）等价于下式中至少有一个式子成立： 1 3 s 0 0 3 s 1 1 2 s 0 （3—20） 1 2 s 0 2 3 s 0 2 3 s 0
第三章 应力分析、应变分析和屈服条件-第二部分
1、如果假定在简单拉伸时两种屈服条件相 重合， 六边形将内接于Mises圆。 重合，则Tresca六边形将内接于 六边形将内接于 圆 Mises: J ′ = 1 σ 2 ,或τ = σ 2 s 3 S Tresca: τ m = σS / 2 ax 纯剪切时， 六边形同Mises圆之间的 纯剪切时，Tresca六边形同 六边形同 圆之间的 相对偏差最大 最大， 相对偏差最大，为 2
1 2 ′ J2 = σ S = C 在单向拉伸时， 在单向拉伸时， 3
2 在纯剪切时， 在纯剪切时， J2 =τ S = C ′
比较这二者可知，采用 比较这二者可知，采用Mises条件就意味着 条件就意味着
σs = 3τ s
屈服条件
π平面上 平面上Mises圆同 圆同Tresca六边形的几何关系 平面上 圆同 六边形的几何关系
两点假设
1、材料是初始各向同性的，即屈服条件与坐标的取向无关。 材料是初始各向同性的，即屈服条件与坐标的取向无关。 材料是初始各向同性的 可表示为三个主应力的函数： 可表示为三个主应力的函数： 或应力不变量来表示： 或应力不变量来表示： 2、静水应力不影响材料的塑性性质。 静水应力不影响材料的塑性性质。 静水应力不影响材料的塑性性质 这时，屈服条件只与应力偏量有关： 这时，屈服条件只与应力偏量有关： f (s1, s2 , s3 ) = 0,
F(J1, J2 , J3 ) = 0
′ ′ 也可由应力偏张量的不变量表示： 也可由应力偏张量的不变量表示： f (J2 , J3 ) = 0
屈服条件
二、屈服曲线
主应力空间中任一点P代表一个应力状态， 主应力空间中任一点 代表一个应力状态， 代表一个应力状态 直线和π平面分解 平面分解： 向量 OP可参照L直线和 平面分解：
1 2 ′ J2 = σ S = C 在单向拉伸时， 在单向拉伸时， 3
2 在纯剪切时， 在纯剪切时， J2 =τ S = C ′
比较这二者可知，采用 比较这二者可知，采用Mises条件就意味着 条件就意味着
σs = 3τ s
屈服条件
π平面上 平面上Mises圆同 圆同Tresca六边形的几何关系 平面上 圆同 六边形的几何关系
两点假设
1、材料是初始各向同性的，即屈服条件与坐标的取向无关。 材料是初始各向同性的，即屈服条件与坐标的取向无关。 材料是初始各向同性的 可表示为三个主应力的函数： 可表示为三个主应力的函数： 或应力不变量来表示： 或应力不变量来表示： 2、静水应力不影响材料的塑性性质。 静水应力不影响材料的塑性性质。 静水应力不影响材料的塑性性质 这时，屈服条件只与应力偏量有关： 这时，屈服条件只与应力偏量有关： f (s1, s2 , s3 ) = 0,
F(J1, J2 , J3 ) = 0
′ ′ 也可由应力偏张量的不变量表示： 也可由应力偏张量的不变量表示： f (J2 , J3 ) = 0
屈服条件
二、屈服曲线
主应力空间中任一点P代表一个应力状态， 主应力空间中任一点 代表一个应力状态， 代表一个应力状态 直线和π平面分解 平面分解： 向量 OP可参照L直线和 平面分解：
3.屈服准则
1 3 1 23 33 3
1 2 1 22 32 2
(4-5) (4-6)
I’3 反映的是材料的变形类型
3.2 屈服平面和屈服曲线
由于一点的应力状态是个张量，因此该点的屈服与坐标 轴的选取无关，可以写成主应力的函数： (4-8) f (1, 2 , 3 ) 0 OP 1 i 2 j 3 k ( , , ) 3 1 2 3
3
C
B
CC
BB
A 30
屈服轨迹必须是封闭的，而且和 从原点出发的射线只能交于一点 （外凸的），否则将导致同一应 力状态既对应于弹性又对应塑性。
A
B
1
C
AA
2
单位矢量在平面上的长度
2
B v j v i
3.3 应力在平面上的坐标
’ 2
B’ v j’
Yield criteria
max 1 , 2 3 0
1 s 屈服发生， 此时
1 3 s C
扭转实验时：
σ1=k，σ2=0，σ3=-k
(4-13)
1 3 2 1 2k C
(4-14)
Yield criteria
Tresca 屈服条件表示为： 1 3 s 2k 在 平面： x
Yield criteria
在极坐标系中,
r x 2 y 2 1 1 ( 1 3 ) 2 (2 2 1 3 ) 2 2I 2 2 6
(4-9) (4-10)
tg
y 1 2 2 1 3 1 x 1 3 3 3
Yield criteria
几种常见的屈服准则及其适用条件
几种常见的屈服准则及其适用条件屈服准则表示在复杂应力状态下材料开始进入屈服的条件，它的作用是控制塑性变形的开始阶段。
屈服条件在主应力空间中为屈服方程。
1.几种常用的屈服准则五种常用的屈服准则，它们分别是Tresca 准则，Von-Mises 准则 ，Mnhr- Coulomb 准则，Drucker Prager 准则，Zienkiewicz-Pande 准则。
其中后三种适用于混凝土和岩土材料的准则1.1 Tresca 屈服准则当最大剪应力达到一定数值时，材料开始屈服。
这就是Tresca 屈服条件，也称为最大剪应力条件。
k =max τ规定时321σσσ≥≥，上式可表示为：k 2-31=σσ 如果不知道321、、σσσ的大小顺序，则屈服条件可写为:换言之当变形体或质点中的最大切应力达到某一定值时，材料就发生屈服。
或者说，材料处于塑性状态时，其最大切应力是一个不变的定值，该定值只取决于材料在变形条件下的性质，而与应力状态无关。
所以Tresca 屈服准则又称为最大切应力不变条件。
这种模型与静水压力无关，也不考虑中间应力的影响。
在平面上屈服条件为一个正六边形，在主应力空间内，屈服曲面为一个正六面柱体。
Tresca 屈服准则不足之处就是不包含中间主应力，没有反映中间主应力对材料屈服的影响。
1.2 Mises 屈服准则当与物体中的一点应力状态对应的畸变能达到某一极限值时，该点便产生屈服，其表达式为22k J =或22132322216)()()(k =-+-+-σσσσσσ其中， k 为常数，可根据简单拉伸试验求得3/222s k J σ==，或根据纯剪切试验来确定，222s k J τ==它所代表的屈服面是一个以空间对角线为轴的圆柱体，在平面上屈服条件是一个圆。
这时有:const k J r ===222σ 换言之当等效应力达到定值时，材料质点发生屈服，该定值与应力状态无关。
或者说，材料处于塑性状态时，其等效应力是不变的定值，该定值取决于材料变形时的性质，而与应力状态无关。
屈服条件详细讲解
3x 2
1 ( y)2 x
3 2
(1
3 )
1
1 3
2
1 3 2
s
3
2
建立以（13）/s为纵轴，为横轴的坐标系, 将试验结果与屈服条件绘于（13）/s～ 的坐标系中进行比较
Taylor和Quinneyz实验
于1931年在薄壁圆筒受拉力T和扭转M联合作用下进行了实验。
z
M
T
z
在这种情况下，应力状态是
（1）单轴拉伸：屈服时 1 =s，2 =3 =0，代入屈服条件
J2
Байду номын сангаас
2 s
3
k
2 2
k2 1 s 3
（2）剪切：屈服时 =s 1= s，2=0，3= s,，屈服条件
J2=
2 s
=k2
k2 = s。
因此，如果材料服从Mises屈服条件，则
s= 3s
两种屈服条件比较
e'
• 如假定单轴拉伸时两个屈 服面重合，则Tresca六边形
（1）单轴拉伸 = 1：
（2）纯剪 = 0；
（3）单轴压缩 = 1。
若规定123，则
11 300300
偏应力由p平面坐标表示
s1
1 x 2
1 y 6
2 3
r
sin(
2p 3
)
s2
2y 3
2 3
r
sin
11
2
2p
s3
x 2
y 6
3 r sin( 3 )
屈服面的一般形状
• 是垂直于p平面的柱面
经整理得
2n ＝l2m2(1－2)2+ m2n2 (2－3)2 + n2l2(3－1)2
3屈服与破坏准则
如果我们并不知道主应力的大小顺序，则可表示为： 如果我们并不知道主应力的大小顺序，则可表示为：
f = {(σ 1 − σ 2 ) 2 − [(σ 1 + σ 2 ) sin ϕ − 2c ⋅ cos ϕ ]2 } {(σ 2 − σ 3 ) 2 − [(σ 2 + σ 3 )sin ϕ − 2c ⋅ cos ϕ ]2 } {(σ 3 − σ 1 ) 2 − [(σ 3 + σ 1 ) sin ϕ − 2c ⋅ cos ϕ ]2 } = 0
§3.1 概述
一、基本概念 2. 屈服条件、加载条件与破坏条件 屈服条件、 对于简单应力条件，我们很容易判定材料何时屈服、 对于简单应力条件，我们很容易判定材料何时屈服、何 时破坏，以及是加载还是卸载，它们都与应力或应变相关。 时破坏，以及是加载还是卸载，它们都与应力或应变相关。 在复杂应力条件下，就必须有一个判定材料屈服 屈服、 在复杂应力条件下，就必须有一个判定材料屈服、破坏 的条件和 卸载条件。 的条件和加、卸载条件。 一般地，屈服条件是应力（应变）状态的函数； 一般地，屈服条件是应力（应变）状态的函数；破坏条 件是破坏应力（应变）与破坏参量的函数； 件是破坏应力（应变）与破坏参量的函数；加卸载条件是加 卸载应力和硬化参量的函数。 卸载应力和硬化参量的函数。 因此，屈服条件也称屈服函数 屈服准则； 屈服函数或 因此，屈服条件也称屈服函数或屈服准则；破坏条件也 破坏函数或 破坏准则； 卸载条件一般称加载函数或 称破坏函数或破坏准则；加、卸载条件一般称加载函数或加 加载函数 载准则。 载准则。
（c） σ 2 = 0 子午面 ）
C-M准则图像 准则图像
§3.2 C-M准则 准则
二、C-M准则的其它形式 准则的其它形式
1. p-q- θσ 形式：（ − π ≤ θσ ≤ π ） 形式： 6 6
f = {(σ 1 − σ 2 ) 2 − [(σ 1 + σ 2 ) sin ϕ − 2c ⋅ cos ϕ ]2 } {(σ 2 − σ 3 ) 2 − [(σ 2 + σ 3 )sin ϕ − 2c ⋅ cos ϕ ]2 } {(σ 3 − σ 1 ) 2 − [(σ 3 + σ 1 ) sin ϕ − 2c ⋅ cos ϕ ]2 } = 0
§3.1 概述
一、基本概念 2. 屈服条件、加载条件与破坏条件 屈服条件、 对于简单应力条件，我们很容易判定材料何时屈服、 对于简单应力条件，我们很容易判定材料何时屈服、何 时破坏，以及是加载还是卸载，它们都与应力或应变相关。 时破坏，以及是加载还是卸载，它们都与应力或应变相关。 在复杂应力条件下，就必须有一个判定材料屈服 屈服、 在复杂应力条件下，就必须有一个判定材料屈服、破坏 的条件和 卸载条件。 的条件和加、卸载条件。 一般地，屈服条件是应力（应变）状态的函数； 一般地，屈服条件是应力（应变）状态的函数；破坏条 件是破坏应力（应变）与破坏参量的函数； 件是破坏应力（应变）与破坏参量的函数；加卸载条件是加 卸载应力和硬化参量的函数。 卸载应力和硬化参量的函数。 因此，屈服条件也称屈服函数 屈服准则； 屈服函数或 因此，屈服条件也称屈服函数或屈服准则；破坏条件也 破坏函数或 破坏准则； 卸载条件一般称加载函数或 称破坏函数或破坏准则；加、卸载条件一般称加载函数或加 加载函数 载准则。 载准则。
（c） σ 2 = 0 子午面 ）
C-M准则图像 准则图像
§3.2 C-M准则 准则
二、C-M准则的其它形式 准则的其它形式
1. p-q- θσ 形式：（ − π ≤ θσ ≤ π ） 形式： 6 6
基本概念（2）：屈服准则
基本概念（2）：屈服准则本期，给大家介绍一下有限元计算中经常遇到的一个概念：屈服准则。
上期讲的屈服强度属于材料特性。
屈服准则是一个计算概念。
一、屈服准则的含义屈服准则表示在复杂应力状态下材料开始进入屈服的条件，它的作用是控制塑性变形的开始阶段。
屈服条件在主应力空间中为屈服方程。
物体力在外载荷(通常为外力)作用下发生的变形有二种形态：(1)弹性变形。
弹性变形是可逆的，当外载荷卸去后物体可以恢复到初始状态，物体中任何二个质点之间的距离都恢复到初始值，物体内无任何残余变形。
(2)塑性变形。
塑性变形是不可逆的，物体中任何二个质点之间的距离不可能全部恢复到初始值，从而使得变形永久地保留在物体中，一般说来，在外载荷的作用下，物体中的任一质点开始时都只发生弹性变形，但是随着外载荷的增大使得该质点处的应力张量达到某一临界值时，该质点才能发生塑性变形受力物体内质点处于单向应力状态时，只要单向应力大到材料的屈服点时，则该质点开始由弹性状态进入塑性状态，即处于屈服。
受力物体内质点处于多向应力状态时，必须同时考虑所有的应力分量。
在一定的变形条件（变形温度、变形速度等）下，只有当各应力分量之间符合一定关系时，质点才开始进入塑性状态，这种关系称为屈服准则，也称塑性条件。
简而言之，屈服准则，就是将实际结构的多轴应力状态与材料试验的单轴屈服应力等效转换的方法。
二、常用的屈服准则1.Tresca屈服准则当材料的最大剪应力达到材料屈服强度时，这判断材料在多轴应力状态下发生屈服。
换言之当变形体或质点中的最大切应力达到某一定值时，材料就发生屈服。
或者说，材料处于塑性状态时，其最大切应力是一个不变的定值，该定值只取决于材料在变形条件下的性质，而与应力状态无关。
所以Tresca 屈服准则又称为最大切应力不变条件。
这种模型与静水压力无关，也不考虑中间应力的影响。
在平面上屈服条件为一个正六边形，在主应力空间内，屈服曲面为一个正六面柱体。
Tresca 屈服准则不足之处就是不包含中间主应力，没有反映中间主应力对材料屈服的影响优点：当知道主应力的大小顺序，应用简单方便缺点：（1）没有考虑正应力和静水压力对屈服的影响。
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2 2 2
( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2
'
3J 2
s
物理意义：
1 当材料质点内单位体积的弹性形变能（即形状变化的能 量）达到某临界时，材料形状就屈服。
2 当八面体剪应力为某一临界值时，材料形状就屈服了。
对于绝大多数金属材料，密席斯准则更接近于试验数据。 对于各向同性理想塑性材料共同特点： 1).等式左边都是不变量的函数。 2).拉应力和压应力的作用是一样的。
三个主剪力
当 1 2 3
( 1 2 ) / 2 ( 2 3 ) / 2 ( ) / 2 3 1
1 3 C
可用最简单的应力状态，如单向拉伸或纯剪（薄壁管扭转）试 验求C。
单向拉伸时，有
1 s , 2 3 0
3 2
` 8 3J 2
1 [( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 )]2 C 2
单向拉伸时，有
1 s , 2 3 0
1 2 1 2 ( x y ) 2 ( y z ) 2 ( z x ) 2 6( xy yz zx )
π平面上的屈服轨迹
3.4 中间主应力的影响 设σ 1 ≥σ 2 ≥σ 3 则：屈雷斯加准则可写成：
1 3 s
这时，中间主应力 准则中是有影响的。 罗氏应力参数 当 2 在
2 不影响材料的屈服，但在密席斯
2 1 3
2 2
1 3
1 至 3 之间变化时，
则： C=
s
屈雷斯加屈服准则：
1 3 s
2、密席斯准则
因为材料的塑性变形是由应力偏张量引起的，且只 与应力偏张量的第二不变量有关。 将应力偏张量和第二不变量作为屈服准则的判据。 表述1 当应力偏张量的第二不变量达到某一定值时， 该点进入塑性变形状态。
表述2 当点应力状态的等效应力达到某一与应力状态无关的 定值，材料就屈服。
第3章 屈服条件
第3章 屈服条件
3.1 基本假设 3.2 屈服准则
回顾并思考
均匀塑性变形 塑性失稳
屈服 断 裂
弹性变形
应力增加到什么程度材料屈服？
3.1 基本假设
材料为均匀连续，且各向同性；
体积变化为弹性的,塑性变形时体积不变；
静水压力不影响塑性变形，只引起体积弹性 变化； 不考虑时间因素，认为变形为准静态；
3).各表达式都和应力球张量无关。
3.3 屈服准则的几何表达-------屈服轨迹和屈服表面
一、两向应力状态的屈服轨迹
3 0
即可得到两向应力状态的密席斯屈服准则：
2 12 1 2 2 s2
1 2 坐标平面上是一个椭圆，它的中心在原点，对称轴与坐标轴
成45°，长半轴为 2 s ，短半轴为 这个椭圆就叫
屈服表面几何意义： 主
应力空间中一点应力状态矢
1 2 s 2 3 s 3 1 s
量的端点 P 点位于屈服表面 上，该点处于塑性状态，若 P 点位于屈服表面内，则该 点处于弹性性状态。
π平面：在主应力空间中，通过坐标原点并垂 直于等倾角直线ON的平面。
不考虑包辛格(Banschinger)效应。
基本概念： 屈服应力：质点处于单向应力状态，只要单 向应力达到材料的屈服点，则该点由弹性变 形状态进入塑性变形状态临界的应力。 塑性条件 或屈服条件：多向应力状态下变形 体某点进入塑性状态并使塑性变形继续进行 所必须满足的力学条件。
f ( ij ) C
在这六点上，两个准则的差别都是15.5%。
如果P点在屈服轨迹的里面，则材料的质点处于弹性状态；如P点在轨迹上， 则质点处于塑性状态；对于理想塑性材料，P点不可能在屈服轨迹的外面。
密席斯屈 服准则
屈雷斯加 屈服准则
屈服准则都是空间曲面，叫做屈服表面。
主应力空间中，屈雷斯 加屈服表面是一个内接 于米塞斯圆柱面的正六 棱柱面
将在-1～1之间变化
我们利用
将密席斯准则改写成接近于屈雷斯加准则
的形式：
2
1 3
2
2
1 3
2
2
1 3
3
2
s
若设
3
2
1 3 s
值的变化范围为1～1.155
两个屈服准则的数学表达式相同
1
1.155 两个屈服准则差别最大
屈雷斯加屈服准则：
1 3 s
2
密席斯屈服准则：
( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 2 S
3.5 平面问题和轴对称问题中屈服准则的简化 对于密席斯屈服准则：
( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 2 S
应力分量的函数
与材料性质有关的常数
有关材料性质的一些基本概念
无明显物理屈服点 有物理屈服点
实际金属材料
b)理想弹塑性
c)理想刚塑性材料
d)弹塑性硬化Biblioteka e)刚塑性硬化3.2 屈服准则
1、屈雷斯加准则 法国工程师屈雷斯加（H.Tresca）提出 材料的屈服与最大切应力有关，即当受力材 料中的最大切应力达到某一极限值（定值） 时，材料发生屈服。
1 2 平面上的屈服轨迹。
2 s 3
，与坐标轴的截距± s
同样以 3 0 代入屈雷斯加屈服准则：
1 2 s 2 s 1 s 这是一个六边形，内接于密席斯椭圆，在六个角点上，两个准则是一致
的。 椭圆在外，意味着按密席斯准则需要较大的应力才能使材料屈服。
平面应变（纯剪叠加球张量），两个准则相差最大，为15.5%。
1 K ( 1 3 ) S 2 2
（K表示屈服时的最大剪应力）
K 0.5 S 屈雷斯加屈服准则 1 3 2 K S K （0.5 ~ 0.577 ） S 按密席斯准则
( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2
'
3J 2
s
物理意义：
1 当材料质点内单位体积的弹性形变能（即形状变化的能 量）达到某临界时，材料形状就屈服。
2 当八面体剪应力为某一临界值时，材料形状就屈服了。
对于绝大多数金属材料，密席斯准则更接近于试验数据。 对于各向同性理想塑性材料共同特点： 1).等式左边都是不变量的函数。 2).拉应力和压应力的作用是一样的。
三个主剪力
当 1 2 3
( 1 2 ) / 2 ( 2 3 ) / 2 ( ) / 2 3 1
1 3 C
可用最简单的应力状态，如单向拉伸或纯剪（薄壁管扭转）试 验求C。
单向拉伸时，有
1 s , 2 3 0
3 2
` 8 3J 2
1 [( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 )]2 C 2
单向拉伸时，有
1 s , 2 3 0
1 2 1 2 ( x y ) 2 ( y z ) 2 ( z x ) 2 6( xy yz zx )
π平面上的屈服轨迹
3.4 中间主应力的影响 设σ 1 ≥σ 2 ≥σ 3 则：屈雷斯加准则可写成：
1 3 s
这时，中间主应力 准则中是有影响的。 罗氏应力参数 当 2 在
2 不影响材料的屈服，但在密席斯
2 1 3
2 2
1 3
1 至 3 之间变化时，
则： C=
s
屈雷斯加屈服准则：
1 3 s
2、密席斯准则
因为材料的塑性变形是由应力偏张量引起的，且只 与应力偏张量的第二不变量有关。 将应力偏张量和第二不变量作为屈服准则的判据。 表述1 当应力偏张量的第二不变量达到某一定值时， 该点进入塑性变形状态。
表述2 当点应力状态的等效应力达到某一与应力状态无关的 定值，材料就屈服。
第3章 屈服条件
第3章 屈服条件
3.1 基本假设 3.2 屈服准则
回顾并思考
均匀塑性变形 塑性失稳
屈服 断 裂
弹性变形
应力增加到什么程度材料屈服？
3.1 基本假设
材料为均匀连续，且各向同性；
体积变化为弹性的,塑性变形时体积不变；
静水压力不影响塑性变形，只引起体积弹性 变化； 不考虑时间因素，认为变形为准静态；
3).各表达式都和应力球张量无关。
3.3 屈服准则的几何表达-------屈服轨迹和屈服表面
一、两向应力状态的屈服轨迹
3 0
即可得到两向应力状态的密席斯屈服准则：
2 12 1 2 2 s2
1 2 坐标平面上是一个椭圆，它的中心在原点，对称轴与坐标轴
成45°，长半轴为 2 s ，短半轴为 这个椭圆就叫
屈服表面几何意义： 主
应力空间中一点应力状态矢
1 2 s 2 3 s 3 1 s
量的端点 P 点位于屈服表面 上，该点处于塑性状态，若 P 点位于屈服表面内，则该 点处于弹性性状态。
π平面：在主应力空间中，通过坐标原点并垂 直于等倾角直线ON的平面。
不考虑包辛格(Banschinger)效应。
基本概念： 屈服应力：质点处于单向应力状态，只要单 向应力达到材料的屈服点，则该点由弹性变 形状态进入塑性变形状态临界的应力。 塑性条件 或屈服条件：多向应力状态下变形 体某点进入塑性状态并使塑性变形继续进行 所必须满足的力学条件。
f ( ij ) C
在这六点上，两个准则的差别都是15.5%。
如果P点在屈服轨迹的里面，则材料的质点处于弹性状态；如P点在轨迹上， 则质点处于塑性状态；对于理想塑性材料，P点不可能在屈服轨迹的外面。
密席斯屈 服准则
屈雷斯加 屈服准则
屈服准则都是空间曲面，叫做屈服表面。
主应力空间中，屈雷斯 加屈服表面是一个内接 于米塞斯圆柱面的正六 棱柱面
将在-1～1之间变化
我们利用
将密席斯准则改写成接近于屈雷斯加准则
的形式：
2
1 3
2
2
1 3
2
2
1 3
3
2
s
若设
3
2
1 3 s
值的变化范围为1～1.155
两个屈服准则的数学表达式相同
1
1.155 两个屈服准则差别最大
屈雷斯加屈服准则：
1 3 s
2
密席斯屈服准则：
( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 2 S
3.5 平面问题和轴对称问题中屈服准则的简化 对于密席斯屈服准则：
( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 2 S
应力分量的函数
与材料性质有关的常数
有关材料性质的一些基本概念
无明显物理屈服点 有物理屈服点
实际金属材料
b)理想弹塑性
c)理想刚塑性材料
d)弹塑性硬化Biblioteka e)刚塑性硬化3.2 屈服准则
1、屈雷斯加准则 法国工程师屈雷斯加（H.Tresca）提出 材料的屈服与最大切应力有关，即当受力材 料中的最大切应力达到某一极限值（定值） 时，材料发生屈服。
1 2 平面上的屈服轨迹。
2 s 3
，与坐标轴的截距± s
同样以 3 0 代入屈雷斯加屈服准则：
1 2 s 2 s 1 s 这是一个六边形，内接于密席斯椭圆，在六个角点上，两个准则是一致
的。 椭圆在外，意味着按密席斯准则需要较大的应力才能使材料屈服。
平面应变（纯剪叠加球张量），两个准则相差最大，为15.5%。
1 K ( 1 3 ) S 2 2
（K表示屈服时的最大剪应力）
K 0.5 S 屈雷斯加屈服准则 1 3 2 K S K （0.5 ~ 0.577 ） S 按密席斯准则