双线性变换巴特沃斯IIR数字带通滤波器

课 程 设 计 报 告课程名称： 专业综合课程设计 学生：旋 学 号： 10160101 专业班级： 芙蓉通信1001班 指导教师： 朱明旱 完成时间： 2013年6月10日报告成绩：评阅意见：评阅教师 日期IIR 数字带通滤波器1.课程设计目的通过对常用数字滤波器的设计和实现，掌握数字信号处理的工作原理及设计方法；熟悉用双线性变换法设计IIR 数字带通滤波器的原理与方法，掌握利用数字滤波器对信号进行滤波的方法。

掌握数字滤波器的计算机仿真方法，并能够对设计结果加以分析。

2.课题要求采用双线性变换法设计一数字带通滤波器，抽样频率为 kHz f s 1 ，性能要求为：通带围从Hz 250到Hz 400，在此两频率处衰减不大于dB 3,在Hz 150和Hz 480频率处衰减不小于dB 20，采用巴特沃思型滤波器。

3.设计原理3.1 数字滤波器介绍滤波器，顾名思义，其作用是对输入信号起到滤波作用。

数字滤波器（DF ，Digital Filter ）在数字信号处理中起着重要作用。

数字滤波器由数字乘法器、加法器和延时单元组成的一种算法或装置。

数字滤波器的功能是对输入离散信号的数字代码进行运算处理，以达到改变信号频谱的目的。

数字滤波器有低通(LP,Low pass)、高通(HP,High Pass)、带通(BS,Band PASS)、带阻(BS,Band Stop)和全通等类型。

它可以是时不变的或时变的、因果的或非因果的、线性的或非线性的。

应用最广的是线性、时不变数字滤波器，以及FIR 滤波器。

数字滤波器具有高精度、高可靠性、可程控改变特性或复用、便于集成等优点。

数字滤波器在语音信号处理、图像信号处理、医学生物信号处理以及其他应用领域都得到了广泛应用。

3.2 巴特沃思的原理巴特沃斯滤波器的特点是通频带的频率响应曲线最大限度平坦，没有起伏，而在阻频带则逐渐下降为零。

在振幅的对数对角频率的波特图上,从某一边界角频率开始,振幅随着角频率的增加而逐步减少,趋向负无穷大。

3.3 双线性变换原理为了克服冲激响应法可能产生的频率响应的混叠失真，这是因为从S 平面到Ｚ平面是多值的映射关系所造成的。

为了克服这一缺点，可以采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率围压缩到-π/T ～π/T 之间，再用z=esT 转换到Z 平面上。

也就是说，第一步先将整个S 平面压缩映射到S1平面的-π/T ～π/T 一条横带里；第二步再通过标准变换关系z=es1T 将此横带变换到整个Z 平面上去。

这样就使S 平面与Z 平面建立了一一对应的单值关系，消除了多值变换性，也就消除了频谱混叠现象，映射关系如图1-1图1-1双线性变换的映射关系为了将S 平面的整个虚轴j Ω压缩到S1平面j Ω1轴上的-π/T 到π/T 段上，可以通过以下的正切变换实现（1）式中,T 仍是采样间隔。

当Ω1由-π/T 经过0变化到π/T 时，Ω由-∞经过0变化到+∞，也即映射⎪⎭⎫ ⎝⎛Ω=Ω2tan 21T TZ 平面S 1平面S 平面了整个j Ω轴。

将式写成(2)将此关系解析延拓到整个S 平面和S1平面，令j Ω=s ，j Ω1=s1，则得(3)再将S1平面通过以下标准变换关系映射到Z 平面 z=es1T从而得到S 平面和Z 平面的单值映射关系为：（4)（5)S 平面与Z 平面之间的单值映射关系，这种变换都是两个线性函数之比，因此称为双线性变换4.设计思路 4.1设计步骤（1）.数字通带滤波器的技术指标转换为模拟低通滤波器的技术指标。

（2）.设计模拟低通滤波器G （p ）。

（3）.将模拟低通滤波器G （p ）转换成数字带通滤波器H(z)。

4.2 设计过程(1)确定技术指标。

a.数字带通滤波器的技术指标（sf T 1=）。

通带截止频率：πω5.0***211==T f pi pπω8.0***233==T f pi p 阻带截止频率: πω3.0***2==T f pi sl sl2/2/2/2/11112T j T j T j T j ee e e T j Ω-ΩΩΩ+-⋅=ΩTs Ts T s T s T s T s e e T T s T e e e e T s 1111111122tanh 2212/2/2/2/----+-⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-⋅=11112--+-=z z T s s T s T s T s T z -+=-+=222121πω96.0***2==T f pi sh sh 通带最大衰减：dB p 3=∂ 最小阻带衰减：dB p 20=∂抽样频率：kHz f s 1=b.数字带通滤波器转换成模拟带通滤波器技术指标。

通带截止频率:s rad T 20002tan 211=⎪⎭⎫⎝⎛=Ωω s rad T 61552tan 233=⎪⎭⎫⎝⎛=Ωω 阻带截止频率:s rad T sl sl 10192tan 2=⎪⎭⎫⎝⎛=Ωω s rad T sh sh 317892tan 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛=Ωω 中心频率：12310003122=ΩΩ=Ω 通带带宽：s rad BW 415513=Ω-Ω=Ωc.模拟低通技术指标.以BW Ω为参考频率将Ω归一化，得4813.04155200011==ΩΩ=BW η 4813.14155615533==ΩΩ=BW η 2452.041551019==ΩΩ=BW sl sl η 6507.7415531789==ΩΩ=BW sh sh η 显然 113=-=ηηηBW 7129.03122==ηηη 由ηηηλ222-=,将η转换为低通滤波器()p G 的归一化频率λ,可知1=p λ，但s λ不唯一，即6622.22222-=-=-slsl s ηηηλ5575.72222=-=shsh s ηηηλ 由于求出的两个s λ差别较大，为了保证滤波器的衰减性，应取s λ为最小者，固取7.2=s λ。

(2).设计巴特沃思模拟低通滤波器()p G 。

根据1=p λ，7.2=s λ， dB p 3=∂，dB s 20=∂，设计()p G 。

()()3.27.2lg 2110110lg lg 2110110lg 3.010102=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∂∂s p s N λ 故整数N=3。

此时三阶巴特沃思模拟低通滤波器的系统函数为()122123+++=p p p p G(3).将 G （p ）转换为数字带通滤波器H d （z ）。

由 ()()()BWs s s s p ΩΩ+=Ω-ΩΩΩ+=22213312, 而 1-1-z 1z -12+=T s则p 与z 之间转换关系，即()()()BWz z z p Ω+⨯+Ω+-⨯=---232122216110211104 将22Ω，BW Ω 带入上式，得()()()22121114813.114813.0---+++-=z z z p 再将所得的结果代入()p G 中即可得数字带通滤波器()z H 。

()()1234562461405.2981.19184.19130.05704.01391.0133104953.0---------++++++-+-=zz z z z z z z z z H5.实验程序及结果5.1实验程序clear;close allt=0.001; fs=1000;wpu=0.8*pi,wpl=0.5*pi;wsu=0.96*pi,wsl=0.3*pi;wpz=[0.5,0.8];wsz=[0.3,0.96];wp=2/t*tan(wpz/2);ws=2/t*tan(wsz/2);rp=3;as=20;[n,wc]=buttord(wp,ws,rp,as,'s');%计算带通滤波器阶数N和3dB截止频率wc[b,a]=butter(n,wc,'s'); %计算带通滤波器系统函数分子分母多项式系数向量b,a[bz,az]=bilinear(b,a,fs);[nd,wdc]=buttord(wpz,wsz,rp,as);[bd,adz]=butter(nd,wdc);hk=freqz(bd,adz)figure(1)plot(abs(hk)); grid on;xlabel('Hz');ylabel(' 幅度');title('幅度函数曲线')figure(2)plot(angle(hk)); grid on;xlabel('\omega/\pi');ylabel('phi(omega)');title('相频特性曲线')5.2 MATLAB结果\6.心得体会我这次设计的是采用双线性变换法设计数字带通滤波器。

经过这段时间的学习设计，能够参考书籍拓展出来的东西运用到自己的课题上，这是目的的学习。

说实在，这东西看这就不易，比如书纸上的东西对我这次设计的促进不够实际，也就是将不详尽。

所以只得参考其他的资料，资料的繁多外加冗杂迫使我本来不太清楚的问题，愈加暴露。

这就要学会选择，精炼而实际有用的知识。

同时老师及同学帮辅也是不可缺少的一部分，因为自身认知的局限导致不可避免的盲区出现，使得设计进度及过程很迟缓。

最终，还是完成了。

7.参考资料[1]胡广书，数字信号处理：理论、算法与实现.：清华大学，1997[2] 飞科科技产品研发中心，MATLAB7辅助信号处理机应用.：电子工业，2005[3] 高西全、丁玉美、阔永红，数字信号处理：原理、实现.，电子工业，2010[4] 吴镇扬，信号处理原理.：高等教育，2012。