双线性变换巴特沃斯IIR数字带通滤波器

课 程 设 计 报 告

课程名称： 专业综合课程设计 学生：

旋 学 号： 10160101 专业班级： 芙蓉通信1001班 指导教师： 朱明旱 完成时间： 2013年6月10日

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IIR 数字带通滤波器

1.课程设计目的

通过对常用数字滤波器的设计和实现，掌握数字信号处理的工作原理及设计方法；熟悉用双线性变换法设计IIR 数字带通滤波器的原理与方法，掌握利用数字滤波器对信号进行滤波的方法。掌握数字滤波器的计算机仿真方法，并能够对设计结果加以分析。

2.课题要求

采用双线性变换法设计一数字带通滤波器，抽样频率为 kHz f s 1 ，性能要求为：通带围从Hz 250到Hz 400，在此两频率处衰减不大于dB 3,在Hz 150和

Hz 480频率处衰减不小于dB 20，采用巴特沃思型滤波器。

3.设计原理

3.1 数字滤波器介绍

滤波器，顾名思义，其作用是对输入信号起到滤波作用。数字滤波器（DF ，Digital Filter ）在数字信号处理中起着重要作用。数字滤波器由数字乘法器、加法器和延时单元组成的一种算法或装置。数字滤波器的功能是对输入离散信号的数字代码进行运算处理，以达到改变信号频谱的目的。 数字滤波器有低通(LP,Low pass)、高通(HP,High Pass)、带通(BS,Band PASS)、带阻(BS,Band Stop)和全通等类型。它可以是时不变的或时变的、因果的或非因果的、线性的或非线性的。应用最广的是线性、时不变数字滤波器，以及FIR 滤波器。 数字滤波器具有高精度、高可靠性、可程控改变特性或复用、便于集成等优点。数字滤波器在语音信号处理、图像信号处理、医学生物信号处理以及其他应用领域都得到了广泛应用。

3.2 巴特沃思的原理

巴特沃斯滤波器的特点是通频带的频率响应曲线最大限度平坦，没有起伏，而在阻频带则逐渐下降为零。 在振幅的对数对角频率的波特图上,从某一边界角频率开始,振幅随着角频率的增加而逐步减少,趋向负无穷大。

3.3 双线性变换原理

为了克服冲激响应法可能产生的频率响应的混叠失真，这是因为从S 平面到Ｚ平面是多值的映射关系所造成的。为了克服这一缺点，可以采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率围压缩到-π/T ～π/T 之间，再用z=esT 转换到Z 平面上。也就是说，第一步先将整个S 平面压缩映射到S1平面的-π/T ～π/T 一条横带里；第二步再通过标准变换关系z=es1T 将此横带变换到整个Z 平面上去。这样就使S 平面与Z 平面建立了一一对应的单值关系，消除了多值变换性，也就消除了频谱混叠现象，映射关系如图1-1

图1-1双线性变换的映射关系

为了将S 平面的整个虚轴j Ω压缩到S1平面j Ω1轴上的-π/T 到π/T 段上，可以通过以下的正切变换实现

（1）

式中,T 仍是采样间隔。

当Ω1由-π/T 经过0变化到π/T 时，Ω由-∞经过0变化到+∞，也即映射

⎪

⎭

⎫ ⎝⎛Ω=Ω2tan 21T T

Z 平面

S 1平面

S 平面

了整个j Ω轴。将式写成

(2)

将此关系解析延拓到整个S 平面和S1平面，令j Ω=s ，j Ω1=s1，则得

(3)

再将S1平面通过以下标准变换关系映射到Z 平面 z=es1T

从而得到S 平面和Z 平面的单值映射关系为：

（4)

（5)

S 平面与Z 平面之间的单值映射关系，这种变换都是两个线性函数之比，因此称为双线性变换

4.设计思路 4.1设计步骤

（1）.数字通带滤波器的技术指标转换为模拟低通滤波器的技术指标。 （2）.设计模拟低通滤波器G （p ）。

（3）.将模拟低通滤波器G （p ）转换成数字带通滤波器H(z)。

4.2 设计过程

(1)确定技术指标。

a.数字带通滤波器的技术指标（s

f T 1

=

）。 通带截止频率：πω5.0***211==T f pi p

πω8.0***233==T f pi p 阻带截止频率: πω3.0***2==T f pi sl sl

2

/2/2

/2/11112T j T j T j T j e

e e e T j Ω-ΩΩΩ+-⋅=ΩT

s T

s T s T s T s T s e e T T s T e e e e T s 1

1

11111122tanh 2212/2/2/2/----+-⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-⋅=1

1

112--+-=

z z T s s T s T s T s T z -+=-+

=

222121

πω96.0***2==T f pi sh sh 通带最大衰减：dB p 3=∂ 最小阻带衰减：dB p 20=∂

抽样频率：kHz f s 1=

b.数字带通滤波器转换成模拟带通滤波器技术指标。

通带截止频率:s rad T 20002tan 211=⎪⎭

⎫

⎝⎛=

Ωω s rad T 61552tan 233=⎪⎭

⎫

⎝⎛=

Ωω 阻带截止频率:s rad T sl sl 10192tan 2=⎪⎭

⎫

⎝⎛=

Ωω s rad T sh sh 317892tan 2=⎪⎭

⎫ ⎝⎛=

Ωω 中心频率：12310003122=ΩΩ=Ω 通带带宽：s rad BW 415513=Ω-Ω=Ω

c.模拟低通技术指标.

以BW Ω为参考频率将Ω归一化，得

4813.04155

2000

11==ΩΩ=BW η 4813.14155

6155

33==ΩΩ=

BW η 2452.04155

1019

==ΩΩ=

BW sl sl η 6507.74155

31789

==ΩΩ=

BW sh sh η 显然 113=-=ηηηBW 7129.0312

2

==ηηη 由η

ηηλ2

2

2-=,将η转换为低通滤波器()p G 的归一化频率λ,

可知1=p λ，但s λ不唯一，即

6622.22

22

2-=-=-sl

sl s ηηηλ