《整式乘法》中的思想方法与思维技巧

1、《整式》中的思想方法与思维技巧

2、整式的乘法新题例析

3、完全平方公式要点精析

4、因式分解经典试题分析

5、因式分解中常见的错误辨析

6、整式除法运算新题放送

7、正确理解与灵活运用乘法公式

8、因式分解在赛题中的应用

9、整式的乘法错解剖析

10、聚焦特征，活用乘法公式

1、《整式》中的思想方法与思维技巧

本章中蕴含着丰富的数学思想，下面以例说明如何运用这些数学思想指导我们解决问题．

1、“特殊→一般→特殊”的思想方法

在本章中，许多性质与法则的得出，都是先举出一些具体的例子，然后找出它们的共同特征，加以推广，概括出一般化的结论，再把所得结论应用于具体的解题过程中。例如：同底数幂的乘法的性质．

2、分类讨论的数学思想方法

例如：多项式4x2＋1加上一个单项式后能成为一个整式的完全平方，那么这个单项式是什么？

析解：根据已知多项式的特点，我们可以把添加的单项式分为：①四次式(可添4x4)，

②二次式(添－4x2)，③一次式(±4x)，④常数(－1)．

3、数形结合的数学思想方法

多项式的乘法常常可以看作是某种图形的面积，本章有许多这样数形结合的例子．例如：课本P180，根据图形面积说明平方差公式．P182，根据图形面积说明完全平方公式．

例．如图是用四张相同的矩形拼成的图形，请你利用图

中的阴影部分的不同表示方法，写出一个关于a、b的恒等

式：．

析解：因大正方形的边长为a＋b，小正方形的边长为a－b，

所以(a＋b)2－(a－b)2＝

（a2＋2a b＋b2）－（a2－2a b＋b2）＝4a b．

故填：(a＋b)2－(a－b)2＝4a b．

4、整体代入的思想方法

例如课本P185页第7题：已知a＋b＝5，a b＝3，求a2＋b2的值．

析解：直接求出a、b的值有一定的困难，但可对所求代数式a2＋b2，我们可添

项，变为：a2＋2a b＋b2－2a b＝(a＋b)2－2a b，然后整体代入求值．

5、逆向思维技巧

由于整式的乘除及因式分解都是恒等变形的过程，因此恰当地利用本章的一些性质、法则、公式进行逆向解题，常常可以起到简化运算，化难为易的作用．

例如课本P193第7题：已知2m＝a，32n＝b，求23m+10n．

析解：先逆用幂的乘方：(a m)n=a mn，再逆用积的乘方：(ab)n=a n b n．

由2m＝a，得(2m)3＝a3，即23m＝a3，

由32n＝b，得(25n)2＝b2，即210n＝b2，

∴23m+10n＝23m·210n＝a3b2．

由此可见正确地运用数学思想方法往往可使问题化繁为简、化难为易，起到事半功倍之效．

2、整式的乘法新题例析

整式的乘法是本章的重要内容，也是中考试题中常见的题型，下面请欣赏几例．一、定义运算类

例1．（吉安市）如果“三角形”表示，“方框”表示，

求×的值。

【分析】这是一道定义新的运算，按定义的规则代入运算即可，考查了学生对问题的理解运用能力。

解：×＝9m n×(－4n2m5)＝－36m6n3．

二、数形结合类

例2．如图甲是一个平行四边形，将其裁成四个相同的等腰梯形后，恰好能拼成如图乙的

( b d 的式子叫做二阶行列式，它的运算法则用公式表示为

＝ad －bc ，依此法则计算 x 大小正方形，那么通过计算两图阴影部分的面积，你认为可以验证的乘法公式是 __________．

【分析】观察比较两图形，由图乙易知其阴影部分的面积为边长为 a 的大正方形的面积减

1

去边长为 b 的小正方形的面积，即 a 2－b 2，并可知等腰梯形的高为 (a －b )．图甲是平行

2 四边形，其一边长为 a ＋b ，高为两个等腰梯形的高，所以其面积为 1 2

(a －b )×2×(a ＋b )=(a

－b )(a ＋b )．由此可知验证了平方差公式 (a ＋b )(a －b ) =a 2－b 2． 解：填 a 2－b 2=(a ＋b )(a －b )． 三、规律探索类 例 3．（巴中市）下图左边是大家熟知杨辉三角，观察其右边各列等式，

根据上面各图式规律，则 (a + b )5 = ．

【分析】本题是一道与杨辉三角有关的发现探索型试题，根据右边已知的几个算式可以 发现从(a ＋b )0 开始，各个算式的次数与展开后的项数及系数与左图中的各行有一定的关 系．为此要写出杨辉三角第六行的各数，即为(a ＋b )5 各项的系数．但我们观察右边各式 各项指数的变化规律又可发现：a ＋b )5，展开后各项的指数和都应等于 5，且按 a 的降幂， b 的升幂排列．

解： (a + b )5 = a 5 ＋ 5a 4b ＋10 a 3b 2 ＋10 a 2b 3 ＋5 ab 4 ＋ b 5 ．

【自主练习】

1.(永州改编) 形如 a c

a c

b d

x - 1

x +

1 x +

2 的结果为 ．

2．（盐城）如图，正方形卡片 A 类、B 类和长方形卡片 C 类各若干张，如果要拼一个长

为(a ＋2b )、宽为(a ＋b )的大长方形，则需要 C 类卡片 张．

（2）(a ＋b )n 展开式共有 项，系数和为 ．

3．观察下列各展开式的项数及各项系数的有关规律．

(a ＋b )0=1，它只有一项，系数为 1；

(a ＋b )1=a ＋b ，它有两项，系数分别为 1，1，系数和为 2；

(a ＋b )2=a 2＋2ab ＋b 2，它有三项，系数分别为 1，2，1，系数和为 4；

(a ＋b )3=a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3，它有四项，系数分别为 1，3，3，1，系数和为 8； ……

根据以上规律，解答下列问题： （1）(a ＋b )6 展开式共有 项，系数分别为 ；

．．． 参考答案：

1、2 x ＋1；

2、3；

3．(1)由此可以发现(a －b )4展开后共有 6 项，系数分别是 1，6，15，20 ，15，6 ，1； (2)根据规律可以发现(a ＋b )n ，共有 n ＋1 项，系数和为 2 n ．

3、完全平方公式要点精析

一、公式的内容：

完全平方公式有两个： ( a ＋ b ) 2 ＝ a 2 ＋2 a b ＋ b

2 ,(

a －

b ) 2 ＝ a 2 －2 a b ＋

b 2 .即，两数和(或差)的平方，等于这两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积

的 2 倍.这两个公式叫做完全平方公式.它们可以合写在一起，为( a ± b ) 2 ＝ a 2 ±2 a b

＋ b 2 .为便于记忆，可形象的叙述为：“首平方、尾平方，2 倍乘积在中央”.

二、公式的条件：

两数和（或两数差）的平方.

三、公式的结果：这两数的平方和，加上(或减去)这两数积的 2 倍.

四、公式的特征：左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项 的平方和，加上(这两项相加时)或减去(这两项相减时)这两项乘积的 2 倍.公式中的字母 可以表示具体的数(正数或负数)，也可以表示单项式或多项式等代数式.只要符合这一公 式的结构特征，就可以运用这一公式.

五、使用完全平方公式时应注意以下几点：

(1)千万不要发生类似( a ± b ) 2 ＝ a 2 ± b 2 的错误；更不要与( a b ) 2 ＝ a

2

b 2 混

淆；

(2)切勿不要把“乘积项”2 a b 中的 2 漏掉；

(3)计算时，应先观察所给题目的特点是否符合公式的条件，如符合，则可以直接套

用公式进行计算；如不符合，应先变形为公式的结构特点，再利用公式进行计算，如变形 后仍不具备公式的结构特点，则应运用多项式乘法法则进行计算．