水文统计基本原理与方法
工程水文学第四章 水文统计基本方法

反应系列 总水平
定义模比系数: 则:
Ki
xi x
1
1 n
n i 1
Ki
K1 K2 Kn n
⒉ 均方差σ、变差系数Cv:
反映系列中各变量值集中或离散的程度
n
(xi x)2
i1
n
Cv
n
(Ki 1)2
i 1
n
例4-2: 5, 10, 15 x=10 σ=4.08 995,1000,1005 x=1000 σ=4.08
Cv=0.48 Cv=0.0048
⒊偏态系数(Cs): 反映系列在均值两边对称程度
n
( Ki 1)3
Cs i1 nCv3
正态曲线或正态分布: 密度函数:
密度曲线:
例4-3:计算系列的统计参数均值、变差系数、 偏态系数。
样本 1 2 3 4 5
系列 300 200 185 165 150
例如:
T 1 1 P
当某一洪水的频率为P=1%时,则T=100年,称此洪
水为百年一遇洪水,表示大于等于这样的洪水平均100
年会遇到一次。
对于p=80%的枯水流量,则 T=5 年,称作以五年一
遇枯水流量作为设计来水的标准。表示小于等于这样的
流量平均5年会遇到一次。说明具有80%的可靠程度。
第五节 P—Ⅲ型分布参数估计
经验频率 (5) 9.1 18.2 27.3 36.4 45.5 54.5 63.6 72.7 81.8 90.9
某枢纽年最大洪峰流量经验频率曲线
二、理论频率曲线: 1、皮尔逊Ⅲ型分布曲线( P-Ⅲ)
一端有限,一端无限 的不对称单峰曲线
形状、尺度和 位置参数
可以推证:
4 CS2
水文统计基本原理与方法

Y=
∶
∶
∶
∶
6 “出现6点”
建立了这种数量化关系后,实际上相当于引入了 变量Y。这样的变量是随试验的不同结果而取不同的 值。
由于试验出现的结果是随机的,因此,变量X和Y 的取值也是随机的,故称X、Y为随机变量。
定义:在随机试验中,用一个变量X的取值(实数) 表示随机试验的结果。由于随机试验的结果是随机的, 所以称这种变量X为随机变量。
x0
x
x0
x
记:
f ( x) F '( x) dF( x) dx
称为概率密度函数,简称密 度函数(density function), 其图形称为密度曲线 (density curve)。
密度函数积分即为分 布函数:
F ( x) P( X x) f ( x)dx
x
(3 5)
分布函数(distribution function)的图形称为分 布曲线(density curve), 水文学中称为频率曲线 (frequency curve)。
其几何图形如下图所示, 图中纵坐标表示变量x, 横坐标表示概率分布函数值F(x),在概率论中称此 曲线为概率分布曲线,水文统计中称为随机变量的累积 频率曲线,简称频率曲线(frequency curve)。
图中,当 x= xP 时, 可以查得:
F(xP) = P(X≥xP) = P 表示随机变量X大于或 等于xP 的概率(可能性) 为P(%)。
【例3-0】河流每年会发生洪水,但洪水的大小无法 预先知道。这是一种偶然现象,也称为随机现象。
水文现象是一种自然现象,所 以它具有必然性的一面,也具有偶 然性的一面。
随机现象看似杂乱无章,但对大量随机现象的分 析发现,随机现象也具有一定的规律性,称这种规律 为统计规律性(statistical regularity)。
水质工程学2 水文统计基本原理与方法

3.1.3 总体与样本
3.1.3
总体与样本 (collectivity and sample) :
有 限 总 体 无限 样本
容量无限 容量一定
容 量
● ●
水文特征值系列的总体是无限的。 样本是总体的一部分,样本的特征在一定程度上反映 出总体的特征。
概率与频率
3.1.4 概率与频率(Probability and frequency)
频率 P=50% 时的 x 值,有 x50%.
示意图
均方差
2.离散程度特征参数
(1)均方差
▵ 描述概率分布离散趋势的特征参数。随机变量分布越分散, 均方差越大;分布越集中,均方差越小。 ▵ 限于比较均值相同的系列。 ☆ 总体的
☆ 样本的
总
x x 样
n 2 i 1 i
K
3 n
n
i
i 1
i
1
3 V
3
(3-16)
n C
i
Cs
(x
x)
3
3
(n 3)
(K
1)
3
3
(3-17)
(n 3)C v
Cs影响形状图
当Cs>0,密度曲线峰顶在均值的左边,叫做左偏或正偏。 当Cs<0,密度曲线峰顶在均值的右边,叫做右偏或负偏。 当Cs=0,密度曲线峰顶在均值处,叫做对称分布或正态分布。 ◇ 水文现象大多属于正偏,Cs>0。
n 1
引入模比系数 对于总体
k i 1
i 1 n 2 n
xi Ki x
对于样本
Cv
Cv
n
ki2 n
水文学 水文统计基本原理与方法

PE
全球多年平均降 水量等于多年平 均蒸发量,为 1130mm
2.2.2 水文观测与水文资料的收集
一、降水
形式: 雨、雪、霰、雹、露、霜等 特征要素: 降水量(mm) 降水历时(min,h,d) 降水强度(mm/h,mm/d) 降水面积(km2) 暴雨中心
与降水有关的气象因素 降水发生在大气中的对流层,对流层是地球大 气中最底的一层。
Pc R Ec Sc
若以海洋为研究对象,其水量平衡方程为:
Po R Eo So
△Sc——大陆在研究时段内蓄水量的变化量 △So——海洋在研究时段内蓄水量的变化量 对多年平均情况, △Sc 、△So 趋于零。所以:
Pc R E c
合并得:
Po R E o
Pc Po E c E o 或
1.2 水文现象基本规律及其研究方法
1、水文现象基本规律 (1)确定性规律 (2)随机性规律 (3)地区性规律 2、基本研究方法 (1)成因分析法 (2)数理统计法 (3)地区综合法
1.3 水文科学的发展
第二章
2.1 河流与流域
河流与径流
一、河流 (一)河流的形成与分段 定义:接纳地面径流和地下径流的天然泄水通道。 河谷、河槽或河床。 上游、下游、左岸、右岸。 分段:沿水流方向,自高向低可分为河源、上游、 中游、下游和河口五段。
(二)河流的基本特征 1. 河流的长度 自河源沿主河道至河口的距离称为河 长(km)。 2. 河流的断面: 横断面 中泓线 纵断面
3. 河道纵比降: 任意河段两端(水面 或水底)的高差△h称为落 差,单位河长的落差称为河 道纵比降。 水面比降、河底比降
二、流域 (一)流域 定义:供给河流地面和地下径流的集水区域, 即分水线所包围的区域 分水线(分水岭) 闭合流域。、非闭合流域
水文学第三章

b. 当研究枯水问题 水文上关心的是小于XP的事件出现的频率
及相应的重现期。 重现期指在很长的时期内(N年)出现小于
某水文变量XP事件的平均重现间隔期。若水文 变量大于等于XP的频率为P ,则小于XP事件的 频率应为:1-P,在N年内小于XP事件出现的次 数应为N(1-P),因此其重现期为:
物理成因分析法
水文现象也包含着偶然性(Contingency) , 对水文的偶然现象(或称随机现象)所遵循的 规律一般称做统计规律。
概率论和数理统计分析方法
水文分析计算常用到数理统计的方法
进行流域或地区水资源开发利用,首先要了 解流域内未来的河道的来水量,以合理规划;
进行水利工程规划设计,需弄清未来时期河 流中可能的洪水量及其过程,以确定工程的规模。
生的概率等于各个事件发生的概率总和。
[例]袋中有手感完全相同的20个白球和10个黑球, 问:摸出白或黑求的概率是多少?
P(白)= 20 2 20 10 3
P(黑)= 10 1 20 10 3
P(白或黑)=P(白) P(黑)= 2+1 1 33
[例] 某测站有40年的实测枯水位记录,各种水位出现的频率如表3.1所示,试确定水位 H≥2.0m和H≥2.7m的概率?
某站水位频率计算
表3.1
序号
水位H(m)
频数f(a) 频率W(%) 累积频率P (%)
1
4.0
2
5
5
2
3.5
10
25
30பைடு நூலகம்
3
2.7
16
40
70
4
2.0
9
第四章 水文统计基本原理与方法 工程水文学

lim W(A) P(A)
n
五、概率的加法定理与乘法定理
1、概率的加法定理
互不相容(互斥):P(A1+A2+…An)= P(A1)+P(A2)+……P(Ai)
非互斥事件 : P(A1+A2)= P(A1)+P(A2)- P(A1A2)
式中:P(A1+A2+……An)为它们中任一个出现的概率
目估外延。 2、理论累积频率曲线
四.理论累积频率曲线
1.频率密度
正态分布:
1 ( x x )2 f ( x) exp 2 2 2
P
x
x
1 ( x x )2 exp dx 0.683 2 2 2
1 ( x x )2 P exp dx 0.997 2 x 3 2 2 1 ( x x )2 P exp dx 1 2 2 2
若求百年一遇的洪水
,m=1 ,得,n=99年。即
是说,在推求百年一遇的洪水时,至少需要99年的实测资料。
2.经验累积频率曲线绘制步骤
1)将实测水文特征值如水位、流量或降雨量不论年序,按大小 排序,对于洪水资或大于某特征值 x≥xi,的
例4-1:江河中出现的最高水位或最大流量,每年的实测值 各不相同,为互斥事件。某水文站观测到一河段50年的洪 水水位资料如下表4-2,求小于258m水位出现的频率。
水位高程Hi(m) 出现的频数 fi(年) 频率w(Hi)%
250 3 6
255 7 14
258 9 18
265 16 32
268 15 30
均系数表。后经雷布京等人的修正,成为专用水文计算表。
1961年中国科学院水文研究所又对此离均系数ФP计算表进行 修正扩展,加密点据,将ФP值补充到Cs=6.4。 x K p 1 pCv;xP KP x 理论累计频率曲线的坐标值:令 K
水文统计基本知识

水文统计基本知识
一、随机变量; 二、累积频率和重现期; 三、选样方法;四、设计洪水频率与设计流量; 五、频率分布及其特征
一、随机变量
1、必然事件: 2、不可能事件: 3、随机事件: 4、随机变量: 5、总体: 6、样本 :
回10
next
7、机率:机率又称为概率,是指随机系列的总体中,某一
1
T P (QQi )
(QQi )
对于枯水频率 :
T(QQi )
1 1 P(QQi )
回10.4
next
三、选样方法
由总本中选取样本叫抽样或选样。对设计洪峰流 量或水位,可有以最大值组成样本系列。此法 独立性好,但要求有长期的实测记录,有时难以满 足。由此所得的累积频率为年频率,其重现期单位 为年,
图
next
分布曲线与密度曲线的关系
回10
回10.4
next 10.5
工程地质与水文
2.超大值法
此法将n年实测洪水位或洪峰流量按大到小排列, 并从大到小顺序取 个实S测系列组成样本。一般
取 S (3。5)n
回10.4
next
四、设计洪水频率与设计流量
目前,桥涵工程均采用一定频率作为设计标 准,称为设计洪水频率。对于公路桥涵工程, 采用交通部2004年发布的《公路桥涵设计通用 规范》(JTG D60—2004)中规定的设计洪水 频率。相应于设计洪水频率的洪峰流量,就是 桥涵工程的设计流量。水文统计法中,就是利 用累积频率曲线推求相应于设计洪水频率的流 量,作为桥涵的设计流量。
回10.4
next
五、频率分布及其特征
在一个随机变量系列中,每一个随机变量的取值,都对应着一定 的机率,不同变量对应的机率变化,称为机率分布。
水文统计基本原理与方法课件

02 水文统计基本原理
概率论与数理统计基础
概率论基本概念
概率是描述随机事件发生可能性的数 学工具,包括概率空间、随机变量、 概率分布等。
数理统计基础
数理统计是研究如何从数据中获取有 用信息的方法论,包括参数估计、假 设检验、回归分析等。
水文数据的收集与整理
数据来源
水文数据主要来源于水文站观测、遥感监测、气象观测等多 种途径。
水文统计学的应用领域
01
02
03
04
水资源评估
通过对水文数据的统计分析, 评估和预测水资源量、水质和
供水能力。
水文预报
利用水文统计方法对未来水文 情势进行预测,为防洪抗旱提
供决策依据。
水环境管理
通过对水环境相关数据的统计 分析,评估水环境质量,制定
水环境保护和治理措施。
水利工程设计
在水利工程设计中,利用水文 统计数据和方法对工程进行风
河流流量变化规律研究
总结词
河流流量变化规律研究是水文统计中的重要 内容,通过对河流流量数据的收集、整理和 分析,可以了解河流流量的变化规律,为水 资源管理和水利工程提供科学依据。
详细描述
河流流量变化规律研究包括对河流流量数据 的收集、整理和统计分析。通过对河流流量 数据的分析,可以了解河流流量的变化规律 ,包括河流流量的季节性变化、年际变化和 长期变化趋势等。这些规律对于水资源管理 和水利工程具有重要的意义,可以帮助决策 者制定科学合理的水资源管理和水利工程规
划。
水质参数的统计分析
总结词
水质参数的统计分析是水文统计中的重要内容,通过对水质参数数据的收集、整理和分 析,可以了解水质的时空分布规律,为水资源保护和水环境治理提供科学依据。
第五章水文统计的基本知识及方法

第五章水文统计的基本知识及方法研究内容:主要有频率计算与相关分析。
频率计算,包括随机变量及其概率分布、水文频率曲线、适线法等;相关分析,包括简相关与复相关。
研究目的:研究河川径流的统计规律,预估径流的变化趋势,以满足水利水电工程规划、设计、施工和运行管理的需要。
第一节概述概率论与数理统计是一门研究客观事物偶然性(随机性)规律的学科。
由于水文现象一般都具有偶然性的特点,所以,可以用数理统计的原理和方法分析研究它的变化规律。
这种方法称为水文统计法。
工程水文计算中运用水文统计法,不仅合理,而且是必要的。
例如,流域开发,首先要搞清未来河流水量的多少;设计拦河坝、堤防工程需要知道未来时期当地洪水的大小。
这些都要求对未来长期的径流形势做出估计。
如果所建工程计划使用100年,那么就要对未来100年的径流形势做出估计。
但是,由于影响径流的因素众多,难以基于必然现象的规律,应用成因分析法对径流做出这样长期的时序定量预报,而只能基于统计规律,运用数理统计方法对径流做出概率预估,以满足工程设计的需要。
第二节概率的基本概念一、试验和事件在概率论中, 对随机现象的测验叫做随机试验,随机试验的特点是限定条件,重复做。
随机试验的结果称为事件。
根据事件发生的可能性,事件可以分为三类:1、必然事件:在一定试验条件下,试验结果中必然会发生的事件;2、不可能事件:在一定试验条件下,试验结果中决不会发生的事件;3、随机事件:在一定试验条件下,试验结果中可能发生也可能不发生的事件。
二、概率随机事件出现的可能性或机率叫概率。
随机事件A发生的概率用P(A)表示,以百分数计。
显然,必然事件概率为1;不可能事件的概率为0;随机事件的概率介于0和1之间。
如果某试验可能发生的结果总数是有限的,并且所有结果出现的可能性是相等的,称之为古典概型事件。
在古典概型事件中,如果可能发生的结果总数为n,而事件A有其中的m个结果,则随机事件A发生的概率P(A)为:P(A)=m/n 5-1水文事件一般不能归为古典概型事件。
水文学第3章 水文统计的基本原理与方法.

P(X xi ) pi (i 1,2......)
离散型随机变量取任何可能值时,其概率都不会是负,即 pi ≥ o (i=1、2、……);
连续型随机变量,因其取某一给定值的概率等于零,在 水文上仅讨论随机变量 X 取大于、等于某 xi 值的发生概率:
3.1.4 频 率(事后)
设事件A在n次试验中出现了m次,则称 在n次试验中出现的频率。
W(A) m n
为事件A
当试验次数足够大时,事件的频率与概率之差可达到任意小的 程度,即频率趋于概率。
3.1.5 总体与样本
事件试验各种可能结果的全体称为 总体。 很多水文现象都是 无限总体。 从总体中随机抽取一部分系列,称抽样,抽取的这部分系 列称为一个 随机样本,简称 样本。 样本系列的长短,即样本中所含的项数的多少,称为 样本 容量 或样本大小。
1901-2100
2
mi
Δ p%
1
. 1/62=1 6%
3
. 2/62=3 2%
组内平均 频率密度
累计 频率
Δ p/Δ x 0.00008 0.00016
Δ p%
. 1/62=1 6% . 3/62=4 8%
1101-1300
18
44
. 18/62=29 1%
0.00145
. 44/62=71 1%
501-700
1
62
1/62=1.6%
0.00008 62/62=100%
年降雨量 Δ x=200mm
2101-2300 1901-2100
1101-1300
501-700
组内出 现次数 mi 1 2
第3章-水文统计原理

桥涵水文
第三章 水文统计原理
在水文计算中,主要是解决三方 面的问题:
①确定各种水文特征值的数量大小; ②确定该特征值在时间上的分配过程;
③确定特征值的地区分布。
桥涵水文
第三章 水文统计原理
流量Q(m3/s)
44.7
71.1
85.5 93.4 97.4 98.7
桥涵水文
第三章 水文统计原理
超出实测点范围以外的频率,需要将曲线外延。 为了避免徒手顺势外延的主观随意性,一般: 1)采用一定规格的几率格纸。这种格纸的种类很 多,使正态分布的频率曲线在其上呈一条直线的海 森几率格纸,可以使得手动延长的频率曲线部分误 差比普通坐标纸相对减少。 2)借助某种数学公式的频率曲线作为外延的工具, 这种具有一定数学公式的频率曲线,通常被称为 “理论频率曲线”。
的序号;n为统计系列 的容量。
桥涵水文
第三章 水文统计原理
将上述三个公式的计算结果列表进行比较可知,三个公式
计算的频率,在头尾两端相差最大,愈靠近中间愈接近。 实际工程中经常需用的前面部分(即频率较小的部分), 维泊尔公式的结果最大,海森公式的结果最小,切哥达也 夫公式的结果介于中间。
维泊尔(Weibull)公式的结果较为符合已出现的资料情况。
桥涵水文
第二章 河川径流
第二章
Hale Waihona Puke 河川径流知识点回顾
1、河流和流域 2、径流形成 3、水文测验 注意流量计算的方法(分块计算法) 4、水文资料的搜集和整理 通过洪水调查资料计算洪水流量的方法 (谢才——曼宁公式)
桥涵水文
第四章 水文统计基本原理与方法 工程水文学

求的安全率称设计频率标准。
§4-2经验累积频率曲线与理论累积 频率曲线
§4-2经验累积频率曲线与理论累积频率曲线
一、频率密度曲线与频率分布曲线
1.频率密度函数与分布函数
水文现象中的变量为连续型随机变量,其累积频率P(x≥xi)、
P(x≤xi)可以用一连续函数F(x)来表示,即P(x≥xi)=F(x), F(x) 称该随机变量的分布函数。
例 4-2 :某城市在不同河流上建有独立运行的两水泵站。 A 泵 站受到洪水淹没破坏的概率为 2%,B泵站破坏的概率为 5%,求 洪水期它们同时遭到破坏的概率有多大?
1 P( AB ) P( A) P( B ) 2% 5% 10000
六、累积频率与重现期
1. 累积频率 1)定义:一定范围内,水文特征值出现的总可能性即累积频率。 (累积频率可以预测多个水文特征值未来发生的概率。)
2、安全率:建筑物保持正常运转的可能性大小(即概率)称
为安全率,其值为1-P。
3、保证率:建筑物在n年内保持安全运转的可能性大小称之为 保证率,由概率的乘法定理,保证率为(1-P)n。 4、风险率:n年内安全运转遭到破坏的可能性的大小则称之为 风险率,为1-(1-P)n。 5、设计频率标准:国家根据工程的重要性和建筑物等级制定 的建筑物允许破坏率或要求的安全率。这一允许的破坏率或要
均系数表。后经雷布京等人的修正,成为专用水文计算表。
1961年中国科学院水文研究所又对此离均系数ФP计算表进行 修正扩展,加密点据,将ФP值补充到Cs=6.4。 x K p 1 pCv;xP KP x 理论累计频率曲线的坐标值:令 K
xP x(1 P Cv )
P与 xP一一对应。以x为纵坐标,P为横坐标,可绘出一条P~
水文统计的基本原理与方法

二、三点试线法
从经验频率曲线上选择三 点,并据以选定理论频率 曲线上三个参数的方法
若取三点在同一曲线上,则应符合联立方程:
Q1 Q(1 1cv )
Q2 Q(1 2cv )
Q3 Q(1 3cv )
解得: Q Q31 Q13
1 3
cv
Q1 Q3
Q31 Q13
s 1 3 22 1 3
甲
x甲
5.0 10
0.50
cv乙
乙
x乙
5.0 1000
0.005
表明:甲系列的离散程度大于乙系列
我国降水量与径流量的变差系数,一般是南方小,北方 大;沿海小,内陆大;平原小,山区大。在0.2~1.5之间
(三)、偏差系数:衡量系列在均值两侧对称程度。
一般有经验关系:
cs (2 ~ 4)cv
三、皮尔逊III型曲线
试线法:由实测系列得到统计参数,根据理论频率 曲线公式算得设计流量得到的曲线与经验频率点 绘相结合选配合适理论频率曲线的方法。
包括试错试线法和三点试线法
采用假定的Cs值,适当调整
一、试错试线法:
均值和Cv值,使理论频率曲 线与经验点据很好的符合
例题:某水文站有1945~1968年共24年实测最大流量资料,见表, 试用试错试线法求合适的理论频率曲线及设计流量Q1%Q2%
解: 1、计算系列流量的经验频率Pi、Ki、Ki2见表
2、点绘经验频率曲线Pi-Ki
3、求理论频率曲线的两个参数
均值=1500m3/s、Cv=0.51 4、假定Cs=2Cv,根据公式计算见教材表10-7, 绘
制理论频率曲线(红线)
5、适线得出Cv=0.6,Cs=2.5Cv比较适合,可 以采用
水文统计的基本原理

i ):系列中各随机变量 xi
对其均值 x 的差
i xi x
它表示各个变量与均值偏离的大小。 一般情况下,我们通常用均方差来表示随机变量对 其均值的平均离散程度。
对于总体
对于样本
( x x)
i 1 i
n
2
n
( xi x) 2
i 1
n
n 1
值较小时,表示系列的离差较小,说明变量间的变
F(x) p(x x i ) f (x)dx
x1
流量与累计频率曲线
流量和频率直方图
分布曲线与密度曲线的关系如下图所示:
图中密度曲线的阴影部分的面积P就是随机变量 xp所对应的累积频率P(x≥xp),即
P(x x p ) F(x p ) f (x)dx
xp
水文统计法中,就是首先分析研究已有的水文资 料系列的频率分布,寻求相应的密度曲线和分布 曲线来描述水文现象的统计规律,再根据分布曲 线推测今后的变化,从而解决实际工程问题。
( xi x )3 0
n
四、统计参数与密度曲线及频率曲线的关系
1. 均值
x
1. 均值 x 反映密度曲线的位置 C 若CV、 S 均布变化,则曲线形状基本不变,曲线的位置随 x
的变化沿x轴移动。
CV
2.变差系数 CV 反映密度曲线的高矮情况
若
x
、 CS 不变化,C 越大,表示频率分布越分散,则
化幅度较小,分布较集中,即系列对其均;反之, 值较大 时,说明变量间的变化幅度较大,分布比较分散。
在使用中, 只能表示绝对离散程度,而不能反映 系列的测量精度,如两个系列 x1 1m x2 100m 他 们的均方差相等1 2 0.01m 显然两者的绝对误差 1 2 相等,但是其相对误差 0.01 , 0.0001 所以第 x1 x2 二个的测量精度远远高于第一个。
第十章 水文统计的基本原理与方法

§10.2.5 经验累积频率曲线的绘制与应用
(累积频率)
2013-7-10
2、经验累积频率曲线的外延
①、在普通格纸上外延,徒手目估延长, 任意性很大,难以规范化 ②、在海森机率格纸上外延,可使两端变 化有所展平,但仍难以解决规范化问题
2013-7-10
§10.3 理论累积频率曲线
(频率密度函数)
2013-7-10
0
)
a a a
d x
X
0
众
皮尔逊Ⅲ型曲线方程的符号含义
其中: ( ) x 1e x dx
0
y
xCv (4 C s2 ) a 2C s
xCv C s d b 2
b0 x 2 Cv2 2
1 2 d x Cv C s
m 100 % n 1
(简写)
3、海森公式:
P
2013-7-10
m 0.3 100 % n 0.4
m 0 .5 n
§10.2.5 经验累积频率 曲线的绘制与应用
1、计算步骤
1)、将实测资料按大到小的次序排列,统计各值的 频数 f i ; 2)、按维伯尔公式计算各实测值的累积频率 Pi ( x xi ); 3)、以Pi ( x xi )为横坐标,为 x i 纵坐标,点绘实测系 列的经验累积频率点据 ( Pi , xi ) ; 4)、通过( Pi , xi ) 各点的分布中心绘制一条光滑的曲 线,即经验累积频率曲线; 5)、选定设计频率 [ Pi ] ,在经验累积频率曲线上可 查得设计值 x P ;
②、 amin a0
x ③、 K x
2Cv a0 x (1 )0 Cs
第二章,水文统计原理

水文现象(如水流、水位、降雨等 变化)都是非常复杂的随机事件,无 法得知其事先几率,只能利用实测水 文资料(多次试验结果)计算其频率, 作为经验几率,以寻求它们的变化规 律,推测未来可能出现的情况,满足 工程的需要。
四、总体和样本
数理统计中,把随机变量系列的全体,亦即包 括整体情况的全部系列,称为总体。
第四节 经验频率曲线
根据作为水文统计样本的实测水文 资料系列,计算各项随机变量的经验频 率,点绘经验频率与其对应的随机变量 大小的曲线,称为该样本的经验频率曲
线。
横坐标为频率 (即经验频率) P(%),纵 坐标为水文观 测值(随机变 量)x
经验频率曲线
一、经验频率的计算
实际工程中,搜集到的水文资料系列,大 都年限较短,容量有限,直接应用式(2-2-1) 计算样本中各项随机变量的经验频率将得到不 合理的结果。
每年汛期都必然会出现一次最大的洪峰流量,年年如
此,就是一种必然现象,称为必然事件;而每年最大 洪峰流量出现的具体时间和数量,则年年变化,各不 相同,就是一种偶然性的现象,称为随机事件。
二、随机变量
在多次试验中,随机事件出现的种种结果,都以实数
值来表示,这些数值就称为随机变量。
随机变量分为连续型随机变量和离散型随机变量。 水文统计学就是利用流量、降雨量、潮水位、波浪高 等实测水文资料作为随机变量,通过统计分析,推求 水文现象(随机事件)的客观规律性——统计规律。
顺序号 1 1 2 3 4 5 6 7 按年份顺序排列 年份 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 流量 2800 2910 3200 2200 3500 2400 3400 按流量大小排列 年份 1990 1985 1987 1983 1989 1982 1981 流量 4800 3400 3300 3200 3000 2910 2800
第二章,水文统计原理

均方差----离均差平方的平均数的平方根 。反映各随机变量例均程度。
第三十九页,编辑于星期五:十七点 四十分。
变差系数(无量纲)----均方差与均值的 比值。
第四十页,编辑于星期五:十七点 四十分。
偏差系数----反映频率分布对均值的偏斜 程度。
第四十一页,编辑于星期五:十七点 四十分。
第三十四页,编辑于星期五:十七点 四十分。
二 经验频率曲线的绘制
为了表示多年水文观测系列,如 年最大洪水流量、潮汐水位等,各 项观测值的出现频率,以及观测值 的大小随频率数值的变化,可以横 坐标为频率(即经验频率)P(%),纵 坐标为水文观测值(随机变量)x,在 坐标纸上点绘各个观测值的点据分 布图,如图2-4-1.有必要时,根据点 据的分布趋势,目估连出一条光滑 曲线,这条曲线称经验频率曲线。
第四十七页,编辑于星期五:十七点 四十分。
第四十八页,编辑于星期五:十七点 四十分。
第四十九页,编辑于星期五:十七点 四十分。
课堂习题二
某水文站有10年的年最大流
第二十七页,编辑于星期五:十七点 四十分。
第二十八页,编辑于星期五:十七点 四十分。
第二十九页,编辑于星期五:十七点 四十分。
课堂习题一
某河流拟建4*20米的预应力砼简支梁桥, 通过水文站的资料查得洪水流量为: Q0.33%=3600m3/s; Q1%=3600m3/s; Q2%=3600m3/s; 该桥位二级公路上的桥梁,请选择对 应的洪水流量?
随机变量系列中,每个大小不同的随机变量, 都对应着一定的出现频率。这种大小不同的随机变 量和它出现频率之间的对应关系,称为随机变量的 频率分布。
第十八页,编辑于星期五:十七点 四十分。
频率是各组出现次数与总次数的比值, 表示每组所在区间的流量值出现的可能程 度;累计频率是各组累计出现次数与总次 数的比值,表示等于和大于该组所在区间 的流量值出现的可能程度,均以百分数计。
工程水文学第三章水文统计.ppt

(3)条件概率
【例】 某测站有40年的实测枯水位记录,各种水位出现的频率如表3.2所示,试确定 水位H≥2.0m和H≥2.7m的概率?
序号
1 2 3 4 5
∑
某站水位频率计算
表3.2
水位H(m) 频数f(a) 频率W(%) 累积频率P (%)
• 在一个确定的随机变量系列内, 各个随机变量对应着一个累积频 率值,随机变量的大小于累积频 率成反比。
• 工程上一般把累积频率为频率。 • 根据选用样本的不同,频率分为
年频率和次频率。
(2)重现期
• 重现期:指等于及大于(或等于及小于)一定数量级的水 文要素出现一次的平均间隔年数,以该量级频率的倒数。
水文统计基本原理及方法
➢ 内 容: ✓ 3.1 水文统计的意义及基本概念 ✓ 3.2 频率和概率 ✓ 3.3 经验频率曲线 ✓ 3.4 随机变量的统计参数 ✓ 3.5 理论频率曲线 ✓ 3.6 抽样误差 ✓ 3.7 水文频率分析方法 ✓ 3.8 相关分析
➢ 重 点: ✓ 水文频率及水文相关分析等水文统计基本知识; ✓ 水文频率及水文相关分析等水文统计计算。
利用数理统计的方法分析样本的统计规律, 考虑抽样误差.作为总体的规律,应用到工程中 去解决实际问题。
3.1.4 数理统计法对水文资料的要求
• 检查资料的可靠性; • 检查资料的一致性;
要求所使用的资料系列必须是同一类型或者在同一条件下 产生的。如:暴雨洪水和雨雪洪水;瞬时水位和日平均水 位。
• 检查资料的代表性;
本系列,推求频率作为概率的近似值。
3.2.2 概率运算定律
(1)概率相加定理
• 互斥事件:在一次试验中,只有一个事件发生,其余事件 均不能发生,这类事件称为互斥事件;
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51
41 40 42
72
58 56 60
102
82 80 85
162
130 126 134
由表中可见,当n=100时,CS的误差在40~126%之间。 水文资料一般都很短(n<100),按矩法公式算得的CS值, 抽样误差太大。
3.3 经验频率曲线与理论频率曲线
一、经验频率及其计算公式 1.经验频率 用根据水文实测系列 ( 样本 ) 计算出来的 频率分布近似代替总体概率分布,这种意义 上的累积频率称为经验(累积)频率。
81 32
皮尔逊Ⅲ型分布参数矩法估计的均方误公式:
X
n
2n 1 3 2 cs 4 3 2 CS 2C V C S 4
绝 对 误 差
Cv
Cv 2n
6
2 1 2cv
Cs
n
(1
3 5 2 4 CS CS 2 16
81 33
样本参数的均方误(相对误差,%)
81 24
3.2 统计参数与抽样误差
一、统计参数 概率分布曲线完整地刻画了随机变量的变化规
律。但随机变量特别是水文随机变量,其概率分
布的确定是十分困难的。实际上,我们有时仅需
要知道它的一些数字特征即统计参数就足够了。
水文水利计算中常用离散特征参数 ( 均值、均方 差、变差系数、偏态系数等)。
81 25
古典概率表达式
k P ( A) n
古典概率满足“随机等可能,独立同分布”。 古典概率通常又叫事前概率,是指当随机事件中各种可能发 生的结果及其出现的次数都可以由演绎或外推法得知,而无 需经过任何统计试验即可计算各种可能发生结果的概率。
81 11
3.1 水文统计基本概念
四、概率与频率 2.频率
水文事件不属古典概型事件,只能通过试验来估算概率。
81 4
水文统计的基本方法和内容
根据已有的资料(样本),进行频率计算,
推求指定频率的水文特征值;
研究水文现象之间的统计关系,应用这种关
系延长、插补水文特征值和作水文预报。
81
5
水文统计对水文资料的要求:
1.可靠性 以实测水文数据为资料,一般可直接应用。
2.一致性
指同一系列水文资料属于同一类型、同一条件下产 生的。如:日平均流量和月平均流量。 3.代表性 水文统计分析是利用已知水文资料推求可能水文情 势,资料实测系列越长,代表性越好。
81 6
3.1 水文统计基本概念
二、事件与随机变量
1.事件
事件是指随机试验的结果。 必然事件:如果可以断定某一事件在试验中必然发生, 称此事件必然事件。 不可能事件:可以断定试验中不会发生的事件称为不可 能事件。 随机事件:某种事件在试验结果中可以发生也可以不发 生,这样的事件就称为随机事件。
81 7
F(xp)=P(X>xp)
xp
x
密度函数
x
F(xP)=P(X>xP)
x
xP
f( x )
F(xP)
F(x)
概率密度函数与分布函数关系
3.1 水文统计基本概念
六、累积频率与重现期
1.累积频率
可理解为等量值和超量值累积出现的次数 (m)与总观 测次数(n)之比值,以百分数或小数表示。
m P ( X ≥xi ) 100% n
81 3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
水文统计的基本任务
利用所获得的水文、气象资料,研究和分析随 机水文现象(如河川径流)的统计变化规律,并 以此为基础,对其未来的长期变化作出概率意义 下的定量预估,为水利工程的规划、设计、施工 和运行管理提供水文依据。
譬如:某流域修建一个水库,其规模取决于水库运行 期间 ( 未来 100 年 ) 的径流和洪水的大小。但是,未来 100年的径流和洪水有多大?必须做出估计。
(x i x)
n
2
f(x)
σ1
σ2 > σ1
σ2
x
均方差对频率曲线的影响
3.变差系数
1 Cv x x
2 ( x x ) i i 1
n
n
2 ( K 1) i i 1
n
n
xi 式中: K i 为模比系数。 x
意义:表示分布函数的相对离散程度。Cv越大, 分布函数越分散;反之,亦然。
1 1 T P(X x ) 1 P(X x )
例如,对于P(X >x)= 80%枯水流量,
重现期T=5年,称此为五年一遇的枯水流量, 或称为保证率为80%的流量。
81 23
所谓百年一遇的暴雨或洪水,是指
大于或等于这样的暴雨或洪水在长时期
内平均100年发生一次,而不能认为每隔 100年必然遇上一次。
均值出现的机会大
Cs > 0
Cs=0
Cs < 0
Cs 对密度曲线的影响
3.2 统计参数与抽样误差
二、抽样误差
用一个样本的统计参数来估计总体的统计参数 是存在误差的,称之为抽样误差。这种误差是由 于从总体中随机抽取的样本与总体有差异而引起 的。 样本抽样误差的均方值称为均方误,是衡量抽 样误差的大小的常用指标。
参数
EX
100 50 25 10 100 50
C
V
C
25 10 100 50
S
n
Cv
25
10
0.1
1
1
2
3
7
50
14
22
126
178
252
390
0.3
0.5 0.7 1.0
3
5 7 10
4
7 10 14
6
10 14 20
10
12 22 23
7
8 9 10
10
11 12 14
15
16 17 20
23
25 27 32
81
35
x
1200
P(X ≥ xi)= m / n
1000
800 0 20 40 60 80 100 W(%)
某地年降雨量经验频率曲线
3.3 经验频率曲线与理论频率曲线
一、经验频率及其计算公式 2.经验频率计算公式
如果用P(X≥xi)=m /n 的经验分布曲线估计总体分布 曲线,存在不合理现象。当m= n时,最末项的频率为 100%, 样本末项值为总体中的最小值,不符合事实。 水文上用数学期望公式(维泊尔公式)估计频率: 式中: P 为大于等于 xi 的经验 m P ( X ≥xi ) 100% 频率;m为水文变量从大至小 n 1 排列的序号;n为样本容量。
称 F(X) =P(X≥x)
为随机变量的分布函数,代表随机变量大于
等于某一取值的概率。 其几何图形称为随机变量的概率分布曲线, 也称作水文频率曲线或累积频率曲线。见后图 (b)
81 14
81
15
x
1100
某雨量站的年雨量分布曲线
1000
900
800
700
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
(4 1) 2 3 )年雨量超过 )年雨量小于 ) P( (X X> x) =800mm 900mm 0.1 的设计值 的概率 xx ( P ≤ x) = 0.1 的设计值 P(XP ≤800) ( > X x > ) 800 = =1 1) -0 = 0.1= .52=0.48 0.9 P ( X > 900 x = ) 995mm = 0.52 0.2
P(X > x)
x = 720mm
函数 f(x)=-F ’(x) = -dF (x)/ dx为概率密度 函数,简称为密度函数或密度曲线。表示随机变量 落入区间的概率与区间长度之比值。
f( x)
f(x)dx
dx
x
概率密度函数
F ( x) P( X x) f ( x)dx
x
f (x)
离散型的——用随机变量的分布序列表示,即 P(X=xi)=Pi (i=1,2, … ,n) 其概率分布满足两个条件:0≤Pi≤1,且, ∑Pi =1 连续型的——用随机变量X大于某值xp的概率p表示,即
F(X) =P(X≥xp)=p
81 13
五、随机变量概率分布
水文学习惯研究事件 X>x 的概率及其分布。
实际工程规划和设计并不需要知道等于某一特征值的 频率,而需要知道大于或等于某一特征值的频率,此即累 积频率。
81 20
3.1 水文统计基本概念
六、累积频率与重现期
2.重现期 频率比较抽象,为便于理解,常采用重现期。
所谓重现期是指在许多试验中,某一事件重复出现
的时间间隔的平均数。在水文中,重现期用字母 T 表 示,一般以年为单位。 在江河水利工程水文计算中,重现期是频率的倒数。
例1. 计算均方差并比较它们的离散程度。 序列1:5,10,15 序列2:1,10,19 例2. 计算变差系数(Cv)并比较它们的离散程度。 序列1:5,10,15 序列2 :995,1000,1005
答案:1:σ1= 4.08 2:X1=10 σ2=7.35 σ1=4.08 σ2=4.08 Cv1=0.48 Cv2=0.0048
自记雨量过程 —— P(t)~t
离散型随机变量——在一定的概率区间内取得某
些间断值。
年降雨量X={x1},X={x2} ,… ,X={xn -1}, X={xn}
年径流量W ={W1},W ={W2},… ,W ={Wn -1} ,W={Wn}
81 9
3.1 水文统计基本概念
三、总体、个体与样本
将随机变量所能取值的全体称为总体。总体中的
现的现象。偶然现象是在一定条件下,可能出现 也可能不出现的现象,也称随机现象。