二次函数中三角形问题(含问题详解)

二次函数中的三角形

一．与三角形面积

例1：如图，已知在同一坐标系中，直线22

k y kx =+-

与y 轴交于点P ，抛物线k x k x y 4)1(22

++-=与x 轴交于)0,(),0,(21x B x A 两点。C 是抛物线的顶点。

（1）求二次函数的最小值（用含k 的代数式表示）； （2）若点A 在点B 的左侧，且021<⋅x x 。 ①当k 取何值时，直线通过点B ；

②是否存在实数k ，使ABC ABP S S ∆∆=？如果存在，请求出此时抛物线的解析式；如果不存在，请说明理由。

例2：已知抛物线)1(3)4(2

-+---=m x m x y 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点， （1）求m 的取值范围；

（2）若0

例3．已知矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝4，以AB 的垂直平分线为x 轴，AB 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图)。

(1)写出A 、B 、C 、D 及AD 的中点E 的坐标；

(2)求以E 为顶点、对称轴平行于y 轴，并且经过点B 、C 的抛物线的解析式； (3)求对角线BD 与上述抛物线除点B 以外的另一交点P 的坐标；

(4)△PEB 的面积S △PEB 与△PBC 的面积S △PBC 具有怎样的关系？证明你的结论。

A B

C D

O E x y

(第25题图)

例4.如图1，已知直线12y x =-与抛物线21

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y x =-+交于A

B ，两点． （1）求A B ，两点的坐标；

（2）求线段AB 的垂直平分线的解析式；

（3）如图2，取与线段AB 等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A B ，两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P 在直线AB 上方的抛物线上移动，动点P 将与A B ，构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时P 点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．

二．与三角形形状

例5. 如图，抛物线2

54y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点，已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在

y 轴上，且AC BC =．

（1）求抛物线的对称轴；

（2）写出A B C ，，三点的坐标并求抛物线的解析式；

（3）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由．

图2

图1

例 6.如图①，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(12)，，点B 的坐标为(31)，，二次函数2

y x =的图象记为抛物线1l ．

（1）平移抛物线1l ，使平移后的抛物线过点A ，但不过点B ，写出平移后的一个抛物线的函数表达式： （任写一个即可）．

（2）平移抛物线1l ，使平移后的抛物线过A B ，两点，记为抛物线2l ，如图②，求抛物线2l 的函数表达式．

（3）设抛物线2l 的顶点为C ，K 为y 轴上一点．若ABK ABC S S =△△，求点K 的坐标．

（4）请在图③上用尺规作图的方式探究抛物线2l 上是否存在点P ，使ABP △为等腰三角形．若存在，请判断点P 共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明师．

x 图①

x 图②

x 图③

例7. 已知：如图，抛物线2y ax bx c =++经过(1,0)A 、(5,0)B 、(0,5)C 三点． （1）求抛物线的函数关系式；

（2）若过点C 的直线y kx b =+与抛物线相交于点E （4，m ），请求出△CBE 的面积S 的值； （3）在抛物线上求一点0P 使得△ABP 0为等腰三角形并写出0P 点的坐标；

（4）除（3）中所求的0P 点外，在抛物线上是否还存在其它的点P 使得△ABP 为等腰三角形？若存在，请求出一共有几个满足条件的点P （要求简要说明理由，但不证明）；若不存在这样的点P ，请说明理由．

例8.如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为(－2，0)，连接OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB ． (1)求点B 的坐标；

(2)求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式； (3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？

若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由；

(4)如果点P 是(2)中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方， 那么△P AB 是否有最大面积？

若有，求出此时P 点的坐标及△P AB 的最大面积；若没有，请说明理由．

(注意：本题中的结果均保留根号)

(第25题图)

三．二次函数与三角形相似 例9：已知一次函数124

3

--

=x y 的图象分别交x 轴、y 轴于A 、C 两点， （1）求出A 、C 两点的坐标；

（2）在x 轴上找出点B ，使ACB ∆∽AOC ∆，若抛物线过A 、B 、C 三点，求出此抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，设动点P 、Q 分别从A 、B 两点同时出发，以相同速度沿AC 、BA 向C 、A 运动，连结PQ ，使m AP =，是否存在m 的值，使以A 、P 、Q 为顶点的三角形与ABC ∆相似，若存在，求出所有m 的值；若不存在，请说明理由。

例10.如图7，在平面直角坐标系中，抛物线2164y x =

-与直线1

2

y x =相交于A B ，两点． （1）求线段AB 的长．

（2）若一个扇形的周长等于（1）中线段AB 的长，当扇形的半径取何值时，扇形的面积最大，最大面积是多少？

（3）如图8，线段AB 的垂直平分线分别交x 轴、y 轴于C D ，两点，垂足为点M ，分别求出

OM OC OD ，，的长，

并验证等式222

111

OC OD OM +=

是否成立．

（4）如图9，在Rt ABC △中，90ACB =o

∠，CD AB ⊥，垂足为D ，设BC a =，AC b =，

A

B

O

y

x

图7

A

B

O y

x

图8

C

D M