第一节：三角形方程组和三角分解讲解

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数值分析课程课件直接三角分解方法

u22
u11
u2n

l n1 l n2
1

unn

即
a11 a12 a 21 a22
a1n
a2n

u11 l21u11
u12 l21u12 u22
u1n

l21u1n

u2n

a n1 a n2
ann
ln1u 11
由（5.3.1）- （5.3.4）求得L和U后，解方程组Ax=b 化为求解LUx=b，若记Ux=y，则有Ly=b。于是可分两部解方程组LUx=b，只要逐次向前代入的方法即可求得y。第
二步求解Ux=y，只要逐次用向后回代的方法即可求得x。设 x=（x1 ，x2， ···xn) T, y=（y1, y2, ···yn) T,
n

i1
lniuin

unn

第四章方程组的直接解法
由A的第1行和第1列可计算出U的第1行和L的第1列，即
u1 j a1 j , j 1, 2, , n,
（5.3.1）
lk1

ak1 u11
,k

2, 3,
, n.
（5.3.2）
如果U的第1至k-1列和L的第1至k-1列已经算出，则由
解设 A=LU，即
l11 a11 1, l21 a21 2, l31 a31 0
u12

a12 l11
2, u13

a13 l11
1,

l22 a22 l21u12 3, l32 a32 l31u12 1

用直接三角分解法解线性方程组

三角阵。等式左边是单位下三角阵，右边是上三角阵，要使等式
成则立L ， L只1 ,能U等于U单1，位即矩此阵三I。角于分是解L唯1一L1。
UU
1 1
I,
1 2 1
1 2 1
例7 解：
设 A 3 7
1
，试将A进行三角分解。
1 1 3
由高斯消去法得到
m21
3 1
3，m31
1 1
1
m 32
L1
1 1
0 0 1 2
例：
求
0 1 2
0 1 0
3 0 1
103的PLU分解。
解：用1，2，，n的排列表示n阶置换阵P，其中排列的第i个元素
j，表示P的i行非零元素位于j列。则分解过程如下：
1 0 0 1 2
3 1 1 0 1
3 1 1 0
2 0
43
1 2
0 1 0
3 0 1
0 1 3
Ux j y j
Ly
j
bj
n1
k
n(n 1)
n2
n 次乘法
k 1
2
22
Ux j y j n k n(n 1) n2 n 次乘除法
k 1
2
22
即共需n 2 次乘除法运算。
n 2 次乘除法
三角分解法的存放元素的方法：
以A (a ij )33 为例，
a11 A a21
1 mk1,k 1
k，
Lk1
1 mk1,k 1
k
mnk
1
mn,k
1
A ( L11 L21
L1 n1
)U
LU，1
a (1) 11

三角函数三角恒等变换及解三角形

三角函数、三角恒等变换及解三角形第一节任意角、弧度制及任意角的三角函数考纲要求：1.了解任意角的概念.2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.3理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．[基础真题体验]考查角度[任意角的三角函数]1．(2014·大纲全国卷)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( ) A.45 B.35 C ．－35 D ．－45【解析】因为角α的终边经过点(－4,3)，所以x ＝－4，y ＝3，r ＝5，所以cos α＝x r ＝－45. 【答案】 D2．(2012·江西高考)下列函数中，与函数y ＝13x定义域相同的函数为( )A ．y ＝1sin xB ．y ＝ln xx C ．y ＝x e x D ．y ＝sin xx【解析】函数y ＝13x的定义域为{x |x ≠0}，选项A 中由sin x ≠0⇒x ≠k π，k ∈Z ，故A 不对；选项B 中x >0，故B 不对；选项C 中，x ∈R ，故C 不对；选项D 中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为{x |x ≠0}，故选D.【答案】 D3．(2011·课标全国卷)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－35 C.35 D.45【解析】取终边上一点(a,2a )，a ≠0，由任意角的三角函数定义得，cos θ＝±55，∴cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35.【答案】 B4．(2011·江西高考)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.【解析】由三角函数的定义，sin θ＝y 16＋y2，又sin θ＝－255＜0， ∴y ＜0且y16＋y 2＝－255，解得y ＝－8. 【答案】－8[命题规律预测]考向一角的集合表示及象限角的判定[典例剖析]【例1】 (1)给出下列四个命题： ①－3π4是第二象限角； ②4π3是第三象限角； ③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题个数有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个(2)已知角α的终边落在阴影所表示的范围内(包括边界)，则角α的集合为________．【思路点拨】 (1)先用终边相同角的表示方法分解角，再判断所在象限． (2)先确定边界，再用集合方式表示即可．【解析】 (1)①中，－3π4是第三象限角，故①错误．②中，4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，故②正确．③中，－400°＝－360°－40°，为第四象限角，故③正确．④中，－315°＝－360°＋45°，为第一象限角，故④正确．(2)如图，设S 1＝{α|90°＋k ·360°≤α≤135°＋k ·360°，k ∈Z}，S 2＝{α|270°＋k ·360°≤α≤315°＋k ·360°，k ∈Z}，∴阴影所表示的范围S ＝S 1∪S 2＝{α|90＋n ·180°≤α≤135°＋n ·180°，n ∈Z}．【答案】 (1)C (2){α|90＋n ·180°≤α≤135°＋n ·180°，n ∈Z}1．若要确定一个绝对值较大的角所在的象限，一般是先将角化为2k π＋α(0≤α＜2π)(k ∈Z)的形式，然后再根据α所在的象限予以判断．2．表示区间角的三个步骤(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界．(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间． (3)起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合． [对点练习](1)若α＝k ·180°＋45°(k ∈Z)，则α在( ) A ．第一或第三象限 B ．第一或第二象限 C ．第二或第四象限D ．第三或第四象限(2)终边在直线y ＝3x 上的角的集合为________．【解析】 (1)当k ＝2n (n ∈Z)时，α＝n ·360°＋45°，所以α在第一象限．当k ＝2n ＋1(n ∈Z)时，α＝n ·360°＋225°，所以α在第三象限．综上可知，α在第一或第三象限．(2)当角的终边在第一象限时，角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋π3，k ∈Z ，当角的终边在第三象限时，角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪ α＝2k π＋43π，k ∈Z ，故所求角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪ α＝2k π＋π3，k ∈Z ∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋43π，k ∈Z＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k π＋π3，k ∈Z . 【答案】 (1)A (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k π＋π3，k ∈Z考向二【例2】 (1)已知扇形周长为10，面积为4，则扇形的圆心角为________．(2)已知扇形周长为40，则当它的半径r ＝________，圆心角θ＝________时，扇形的面积最大．【思路点拨】 (1)建立关于圆心角和半径的方程组求解．(2)由题设得出面积关于圆心角(或半径)的函数关系式，利用函数求最值．【解析】 (1)设圆心角是θ，半径是r ，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋rθ＝10，12θ·r 2＝4，解得⎩⎨⎧r ＝1，θ＝8(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，θ＝12，∴扇形的圆心角为12.(2)设圆心角是θ，半径是r ，则2r ＋rθ＝40.又S ＝12θr 2＝12r (40－2r )＝r (20－r )＝－(r －10)2＋100≤100. 当且仅当r ＝10时，S max ＝100，此时2×10＋10θ＝40，θ＝2. ∴当r ＝10，θ＝2时，扇形的面积最大．【答案】 (1)12 (2)10 2弧度制应用的关注点：(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题，常常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决． (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要注意合理地利用圆心角所在的三角形．已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10， (1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形弧长l 及弧所在的弓形的面积S . 【解】 (1)在△AOB 中，AB ＝OA ＝OB ＝10， ∴△AOB 为等边三角形．因此弦AB 所对的圆心角α＝π3. (2)由扇形的弧长与扇形面积公式，得 l ＝α·R ＝π3×10＝103π， S 扇形＝12R ·l ＝12α·R 2＝50π3. 又S △AOB ＝12·OA ·OB ·sin π3＝25 3.∴弓形的面积S ＝S 扇形－S △AOB ＝50⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－32.考向三三角函数的定义[典例剖析]【例3】 (1)已知角α终边上一点P (3，1)，则2sin 2α－3tan α＝( ) A ．－1－3 3 B ．1－3 3 C ．－2 3D ．0(2)在平面直角坐标系xOy 中，将点A (3，1)绕原点O 逆时针旋转90°到点B ，那么点B 坐标为________，若直线OB 的倾斜角为α，则tan 2α的值为________．【思路点拨】 (1)先由三角函数的定义求出角α，再进行计算． (2)由三角函数定义及题设确定B 点坐标，再计算tan 2α的值．【解析】 (1)由已知得|OP |＝2，由三角函数定义可知sin α＝12，cos α＝32，即α＝2k π＋π6(k ∈Z)．所以2sin 2α－3tan α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4k π＋π3－3tan ⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π6＝2sin π3－3tan π6＝2×32－3×33＝0.(2)设点A (3，1)为角θ终边上一点，如图所示，|OA |＝2，由三角函数的定义可知sin θ＝12，cos θ＝32，则θ＝2k π＋π6(k ∈Z)，点A (2cos θ，2sin θ)．设点B (x ，y )，由已知得 x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋2π3＝－1，y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋23π＝3，所以点B (－1，3)，且tan α＝－3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝ 3. 【答案】 (1)D (2)(－1，3) 3用三角函数概念求三角函数值的方法：(1)已知角α终边上一点P 的坐标，可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解．(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题，若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的值，进而得到三角函数值．[对点练习](1)已知角α的终边与单位圆的交点P ⎝⎛⎭⎪⎫x ，32，则tan α＝( )A.3 B ．±3 C.33 D ．±33(2)点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝⎛⎭⎪⎫－32，12【解析】 (1)由|OP |2＝x 2＋34＝1，得x ＝±12， ∴tan α＝±3，B 正确．(2)由三角函数定义可知Q (x ，y )满足： x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32，故A 正确．【答案】 (1)B (2)A误区分析8 误认为“|t |＝t ”致三角函数定义求值中漏解[典例剖析]【典例】已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，则sin α＋cos α＋45tan α＝________.【解析】因为角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，所以在α的终边上任取一点P (4t ，－3t )(t ≠0)，则r ＝(4t )2＋(－3t )2＝5|t |.误区：此处求解时，常认为r ＝5t ，不对t 进行分类讨论而导致漏解．当t ＞0时，r ＝5t ，sin α＝－3t 5t ＝－35， cos α＝4t 5t ＝45，tan α＝－3t 4t ＝－34，所以sin α＋cos α＋45tan α＝－35＋45＋45×⎝⎛⎭⎪⎫－34＝－25；当t ＜0时，r ＝－5t ，sin α＝－3t －5t ＝35，cos α＝4t －5t ＝－45，tan α＝－3t 4t ＝－34.所以sin α＋cos α＋45tan α＝35－45＋45×⎝⎛⎭⎪⎫－34＝－45.综上，所求值为－25或－45. 【答案】－25或－45【防范措施】 1.对于a 2＝|a |，在去掉绝对值号后，应分a ≥0和a ＜0两种情况讨论． 2．已知角α终边上任意一点P (x ，y )，求三角函数值时，应用sin α＝y x 2＋y2，cos α＝x x 2＋y2，tanα＝yx 求解．[对点练习]已知角θ的终边上一点P (3a,4a )(a ≠0)，则sin θ＝________. 【解析】 ∵x ＝3a ，y ＝4a ， ∴r ＝(3a )2＋(4a )2＝5|a |.(1)当a ＞0时，r ＝5a ，∴sin θ＝y r ＝45. (2)当a ＜0时，r ＝－5a ，∴sin θ＝y r ＝－45，综上，sin θ＝±45. 【答案】 ±451．下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( ) A ．2k π＋45°(k ∈Z) B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z) C ．k ·360°－315°(k ∈Z)D ．k π＋5π4(k ∈Z)【解析】与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9π4(k ∈Z)，但角度制与弧度制不能混用，故只有C 正确．【答案】 C2．若sin α＜0且tan α＞0，则α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角【解析】由sin α＜0，得α在第三、四象限或y 轴非正半轴上，又tan α＞0，∴α在第三象限．【答案】 C3．已知角α的终边过点P (－1,2)，则sin α＝( ) A.55 B.255 C ．－55 D ．－255【解析】 sin α＝2(－1)2＋22＝255.【答案】 B4．已知扇形的面积为2，扇形的圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 【解析】设扇形的半径为R ，则12|α|R 2＝2，∴R ＝1. ∴周长为2R ＋|α|·R ＝2＋4＝6. 【答案】 C课时提升练(十七) 任意角、弧度制及任意角的三角函数(见学生用书第263页)一、选择题1．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2 B ．sin 2 C.2sin 1 D ．2sin 1【解析】由题设，圆弧的半径r ＝1sin 1， ∴圆心角所对的弧长l ＝2r ＝2sin 1. 【答案】 C2．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是( )A ．sin α＋cos α＜0B ．tan α－sin α＜0C ．cos α－tan α＜0D ．tan αsin α＜0【解析】在第三象限，sin α＜0，cos α＜0，tan α＞0，则可排除A 、C 、D ，故选B. 【答案】 B3．若α＝k ·360°＋θ，β＝m ·360°－θ(k ，m ∈Z)，则角α与β的终边的位置关系是( ) A ．重合 B ．关于原点对称 C ．关于x 轴对称 D ．关于y 轴对称【解析】由题意知角α与角θ的终边相同，角β与角－θ的终边相同，又角θ与角－θ的终边关于x 轴对称，故选C.【答案】 C 4．有下列命题：①终边相同的角的同名三角函数的值相等； ②终边不同的角的同名三角函数的值不等； ③若sin α＞0，则α是第一、二象限的角；④若α是第二象限的角，且P (x ，y )是其终边上一点则cos α＝－x x 2＋y 2.其中正确的命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【解析】 ①正确，②不正确，∵sin π3＝sin 2π3，而π3与2π3角的终边不相同．③不正确，sin α＞0，α的终边也可能在y 轴的非负半轴上． ④不正确，在三角函数的定义中，cos α＝xr ＝x x 2＋y2，不论角α在平面直角坐标系的任何位置，结论都成立．【答案】 A5．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角的终边所在的范围(阴影部分)是()【解析】当k ＝2n 时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2；当k ＝2n ＋1时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，应选C.【答案】 C6．已知角α的终边过点P (x ，x 2＋1)(x ＞0)，则tan α的最小值为( ) A ．1 B ．2 C.12 D. 2 【解析】 tan α＝x 2＋1x ＝x ＋1x ≥2x ·1x ＝2，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时，取“＝”．【答案】 B7．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－2,3] B ．(－2,3) C ．[－2,3) D ．[－2,3] 【解析】∵cos α≤0，sin α＞0，∴角α的终边在第二象限或y 轴的正半轴上，∴⎩⎨⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，∴－2＜a ≤3.【答案】 A8．已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( ) A.π4 B.3π4 C.5π4 D.7π4【解析】由sin 3π4＞0，cos 3π4＜0知角θ是第四象限角，∵tan θ＝cos 3π4sin 3π4＝－1，θ∈[0,2π)，∴θ＝7π4.9．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( ) A ．－12 B.12 C ．－32 D.32 【解析】 ∵r ＝64m 2＋9.∴cos α＝－8m64m 2＋9＝－45，∴m ＞0，∴4m 264m 2＋9＝125，即m ＝12. 【答案】 B10．设π4＜α＜π2，sin α＝a ，cos α＝b ，tan α＝c ，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＞a ＞c C ．a ＞b ＞c D ．b ＜a ＜c【解析】在单位圆中作出角α的正弦线、余弦线、正切线，如图，sin α＝|MP |，cos α＝|OM |，tan α＝|AT |，∵|OM |＜|MP |＜|AT |，∴b ＜a ＜c .【答案】 D11．函数y ＝|tan x |tan x ＋sin x |sin x |＋|cos x |cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≠k π2，k ∈Z 的值域是( )A ．{y |－1≤y ≤3}B ．{－3，－1,1,3}C ．{y |－3≤y ≤3}D ．{－1,3}【解析】当x 是第一象限角时，tan x ，sin x ，cos x 都是正的，故y ＝1＋1＋1＝3；当x 是第二象限角时，tan x ＜0，sin x ＞0，cos x ＜0，∴y ＝－1＋1－1＝－1；同理可得，x 是第三、四象限角时，y ＝－1.12．已知θ是第四象限角，则sin(sin θ)( ) A ．大于0 B ．大于等于0 C ．小于0 D ．小于等于0 【解析】 ∵θ是第四象限角， ∴sin θ∈(－1,0)．令sin θ＝α，又当－1＜α＜0时，sin α＜0. 故sin(sin θ)＜0. 【答案】 C 二、填空题13．若角120°的终边上有一点(－4，a )，则a 的值是________．【解析】由题意知－a 4＝tan 120°，∴－a 4＝－3， ∴a ＝4 3. 【答案】 4 314．在与2 010°终边相同的角中，绝对值最小角的弧度数为________．【解析】 2 010°＝67π6＝12π－5π6，∴与2 010°终边相同的角中绝对值最小的角的弧度数为5π6. 【答案】 5π615．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．【解析】由已知tan α＜0，cos α＜0，∴α在第二象限．【答案】二 16．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关； ④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同； ⑤若cos θ＜0，则θ是第二或第三象限的角．其中不正确．．．的命题是________．【解析】由于第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin π6＝sin 5π6，但π6与5π6的终边不相同，故④错；当cos θ＝－1，θ＝π时既不是第二象限角，又不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确．【答案】 ①②④⑤第二节同角三角函数的基本关系及诱导公式考纲要求：1.理解同角三角函数的基本关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.2.利用同角三角函数的基本关系求三角函数值.3.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．[基础真题体验]考查角度[同角三角函数的基本关系] 1．(2014·课标全国卷Ⅰ)若tan α>0，则( ) A ．sin 2α>0 B ．cos α>0 C ．sin α>0D ．cos 2α>0【解析】 ∵tan α>0，∴α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π2(k ∈Z)是第一、三象限角．∴sin α，cos α都可正、可负，排除B ，C. 而2α∈(2k π，2k π＋π)(k ∈Z)，结合正、余弦函数图象可知，A 正确．取α＝π4，则tan α＝1>0，而cos 2a ＝0，故D 不正确．【答案】 A2．(2012·大纲全国卷)已知α为第二象限角，sin α＝35，则sin 2α＝( ) A ．－2425 B ．－1225 C.1225 D.2425 【解析】 ∵α为第二象限角且sin α＝35， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－45，∴sin 2α＝2sin α·cos α＝2×35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－2425. 【答案】 A3．(2012·辽宁高考)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( ) A ．－1 B ．－22 C.22 D ．1【解析】因为sin α－cos α＝2，所以1－2sin αcos α＝2，即sin 2α＝－1，所以α＝3π4，tan α＝－1. 【答案】 A 考查角度[诱导公式]4．(2013·广东高考)已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，那么cos α＝( )A ．－25B ．－15 C.15 D.25【解析】 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝cos α，故cos α＝15，故选C.【答案】 C [命题规律预测]考向一同角三角函数的基本关系的应用[典例剖析]【例1】 (1)已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值是( )A.25 B ．－25 C ．－2 D ．2(2)(2014·嘉兴模拟)已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________. 【思路点拨】 (1)先根据已知条件求得tan α，再把所求式变为用tan α表示的式子求解． (2)切化弦，结合sin 2α＋cos 2α＝1求解．【解析】 (1)由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，得tan α＋33－tan α＝5，即tan α＝2.所以sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝25.(2)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan α＝sin αcos α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，由此解得cos 2α＝15；又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，因此cos α＝－55.【答案】 (1)A (2)－55同角三角函数基本关系应用题目的破题技巧：(1)在sin α、cos α与tan α三者中知一求二的题目常利用平方关系和商数关系构造方程组求解． (2)知tan α的值求关于sin α与cos α的n 次齐次分式的值时，一般分子分母同除以cos n α，转化为关于tan α的式子求解．(3)含有sin 2α，cos 2α及sin αcos α的式子求值时，可将式子的分母看作“1”，利用平方关系代换后转化为“切”再求解．[对点练习](1)若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α的值为( )A ．0 B.34 C ．1 D.54(2)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α＝45，则tan α＝________. 【解析】 (1)∵tan α＝2，∴2sin α－cos αsin α＋2cos α＝2tan α－1tan α＋2＝2×2－12＋2＝34. (2)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝45，∴cos α＝－1－sin 2α＝－35，∴tan α＝sin αcos α＝－43.【答案】 (1)B (2)－43考向二诱导公式的应用[典例剖析]【例2】 (1)sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＝________. (2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6的值为________．【思路点拨】 (1)利用诱导公式将给定的任意角转化为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2内的角再求值． (2)注意到⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝π和α－π6＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α，对待求式中的角进行转化即可．【解析】 (1)原式＝－sin1 200°cos1 290°－cos 1 020°sin 1 050°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)sin(360°－30°) ＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝32×32＋12×12＝1.(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33，sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝sin 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝23，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－33－23＝－2＋33.【答案】 (1)1 (2)－2＋331．使用诱导公式解题的技巧诱导公式的基本作用在于将任意角的三角函数转化为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2内的角的三角函数，其解题思路是化负角为正角，化复杂角为简单角．利用诱导公式时要正确分析角的结构特点，然后确定要使用哪个诱导公式，应用时注意函数名是否要改变，符号是否要改变．2．给值求值问题的求解须知在对给定的式子进行化简或求值时，要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式来将角进化转化．特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角函数名称搞错． [对点练习](1)sin 600°＋tan 240°的值等于( )A ．－32 B.32 C.3－12 D.3＋12(2)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α等于( )A ．－79B ．－13 C.13 D.79【解析】 (1)sin 600°＋tan 240°＝sin(360°＋240°)＋tan(180°＋60°) ＝sin(180°＋60°)＋tan 60°＝－sin 60°＋tan 60°＝－32＋3＝32.(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13. 【答案】 (1)B (2)C考向三 in α±cos α与sin α·cos α的关系[典例剖析]【例3】已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15. (1)求sin A cos A 的值；(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形； (3)求tan A 的值．【思路点拨】由sin A ＋cos A ＝15及sin 2A ＋cos 2A ＝1可求得．【解】 (1)∵sin A ＋cos A ＝15，① ∴两边平方得1＋2sin A cos A ＝125， ∴sin A cos A ＝－1225.(2)由sin A cos A ＝－1225＜0，且0＜A ＜π，可知cos A ＜0，∴A 为钝角，∴△ABC 是钝角三角形． (3)∵(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝1＋2425＝4925，又sin A ＞0，cos A ＜0，∴sin A －cos A ＞0， ∴sin A －cos A ＝75.②∴由①②可得sin A ＝45，cos A ＝－35，∴tan A ＝sin A cos A ＝45－35＝－43.方程组思想的运用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可求．转化的公式为(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.体现了方程组思想的运用．[对点练习]已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝________. 【解析】由sin α－cos α＝2，得1－2sin αcos α＝2， ∴2sin αcos α＝－1，∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝0，∴sin α＋cos α＝0，∴sin α＝22，cos α＝－22，∴tan α＝－1.【答案】－1误区分析9 未提取“角的范围”这一隐含信息致三角函数求值增根[典例剖析]【典例】 (2015·佛山模拟)已知sin αcos α＝18，且5π4＜α＜3π2，则cos α－sin α的值为( ) A ．－32 B.32 C ．－34 D.34 【解析】 ∵5π4＜α＜3π2，∴cos_α＜0，sin_α＜0，且|cos_α|＜|sin_α|，误区：审题时，“5π4＜α＜3π2”即α为第三象限角，故cos α＜0，sin α＜0，而|cos α|＜|sin α|这一关键问题未审出，而导致cos α－sin α的符号不确定．∴cos α－sin α＞0，又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34.∴cos α－sin α＝32. 【答案】 B【防范措施】利用平方关系求三角函数值，开方时应注意三角函数值符号的判断，以防产生增根．一般地判断角范围的条件很隐蔽，需要认真分析、挖掘．如本例中的“5π4＜α＜3π2”应理解为第三象限后半区的角．[对点练习]已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜α＜π，则sin α－cos α＝________.【解析】由sin(π－α)－cos(π＋α)＝23. 得sin α＋cos α＝23，①将①两边平方得1＋2sin αcos α＝29，故2sin αcos α＝－79.∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－79＝169.又∵π2＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0. ∴sin α－cos α＝43. 【答案】 431．cos 600°的值为( )A.32B.12 C ．－32 D ．－12 【解析】 cos 600°＝cos(360°＋240°)＝cos 240° ＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－12. 【答案】 D2．已知cos(α－π)＝－513，且α是第四象限角，则sin α＝( ) A ．－1213 B.1213 C.512 D ．±1213 【解析】 ∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－513， ∴cos α＝513，又α是第四象限角， ∴sin α＜0，则sin α＝－1－cos 2α＝－1213.【答案】 A3．已知tan θ＝2，则sin θcos θ＝________. 【解析】 sin θcos θ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θtan 2θ＋1＝25. 【答案】 254．若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2 ，sin 2θ＝116，则cos θ－sin θ＝________. 【解析】 (cos θ－sin θ)2＝1－sin 2θ＝1516，∵π4＜θ＜π2，∴cos θ＜sin θ，∴cos θ－sin θ＝－154. 【答案】－154课时提升练(十八) 同角三角函数的基本关系及诱导公式一、选择题1．tan 300°＋sin 450°的值为( ) A ．1＋3 B ．1－ 3 C ．－1－ 3 D ．－1＋ 3【解析】 tan 300°＋sin 450°＝－tan 60°＋sin 90°＝1－ 3. 【答案】 B2．已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝( ) A ．－1213 B ．－513 C.513 D.1213 【解析】因为α为第二象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－1213.【答案】 A3．在△ABC 中，若tan A ＝－2，则cos A ＝( ) A.55 B ．－55 C.255 D ．－255【解析】 ∵在△ABC 中，tan A ＝－2，∴A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos A ＝－11＋tan 2A＝－55. 【答案】 B4．若sin θcos θ＝12，则tan θ＋cos θsin θ的值是( )A ．－2B ．2C ．±2 D.12【解析】 tan θ＋cos θsin θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1cos θsin θ＝2. 【答案】 B5．已知sin(π－α)＝log 814，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则tan(2π－α)的值为( ) A ．－255 B.255 C ．±255 D.52【解析】 sin(π－α)＝sin α＝log 814＝－23，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，得cos α＝1－sin 2α＝53，tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝255.【答案】 B6．若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则 1－2sin (π＋θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝( ) A ．sin θ－cos θ B ．cos θ－sin θ C ．±(sin θ－cos θ) D ．sin θ＋cos θ 【解析】 ∵1－2sin (π＋θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝1－2sin θcos θ＝|sin θ－cos θ|，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin θ－cos θ＞0，∴原式＝sin θ－cos θ.【答案】 A7．已知sin(π－2)＝a ，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2的值为( )A ．－1－a 2B ．－a C.1－a 2 D ．a【解析】 ∵sin(π－2)＝a ，∴sin 2＝a . ∴cos 2＝－1－a 2.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2＝cos 2＝－1－a 2.【答案】 A8．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α的值是( ) A.355 B.377 C.31010 D.13【解析】由已知得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β＝1，解得tan α＝3，故sin α＝31010. 【答案】 C9．已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2 015)的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．3 D ．－3【解析】 ∵f (4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β)＝a sin α＋b cos β＝3.∴f (2 015)＝a sin(2 015π＋α)＋b cos(2 015π＋β)＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＝－a sin α－b cos β＝－(a sin α＋b cos β)＝－3.【答案】 D10．当0＜x ＜π4时，函数f (x )＝cos 2xcos x sin x －sin 2x 的最小值是( )A.14B.12 C ．2 D ．4【解析】当0＜x ＜π4时，0＜tan x ＜1， f (x )＝cos 2x cos x sin x －sin 2x ＝1tan x －tan 2x ，设t ＝tan x ，则0＜t ＜1，y ＝1t －t 2＝1t (1－t )≥4. 当且仅当t ＝1－t ，即t ＝12时等号成立．【答案】 D11．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2mm ＋5，则tan(k π＋θ)(k ∈Z)的值为( )A.4－2m m －3 B ．±m －34－2m C ．－512 D ．－34或－512 【解析】由⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2m m ＋52＝1，得m ＝8或m ＝0. ∴sin θ＝513，cos θ＝－1213或sin θ＝－35，cos θ＝45. ∴tan(k π＋θ)＝tan θ＝－512或－34. 【答案】 D 二、填空题12．已知cos(75°＋α)＝13，－180°＜α＜－90°，则tan(15°－α)＝________. 【解析】由－180°＜α＜－90°得，－105°＜α＋75°＜－15°， ∴sin(75°＋α)＝－1－cos 2(75°＋α)＝－223，又cos(15°－α)＝cos [90°－(75°＋α)]＝sin(75°＋α)，sin(15°－α)＝sin [90°－(75°＋α)]＝cos(75°＋α)，∴tan(15°－α)＝－24. 【答案】－2413．已知tan α＝2，则7sin 2α＋3cos 2α＝________.【解析】 7sin 2α＋3cos 2α＝7sin 2α＋3cos 2αsin 2α＋cos 2α＝7tan 2α＋3tan 2α＋1＝7×22＋322＋1＝315. 【答案】 31514．已知α和β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α等于________．【解析】 ∵α与β的终边关于直线y ＝x 对称，∴α＋β＝ 2k π＋π2(k ∈Z)，又β＝－π3，∴α＝2k π＋5π6(k ∈Z)，故sin α＝12. 【答案】 1215．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a (|a |≤1)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝________. 【解析】 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－a . sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝sin ⎝ ⎛⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝0. 【答案】 016．若sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin(θ－5π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝______. 【解析】由sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2得，sin θ＋cos θ＝2(sin θ－cos θ)，平方得：1＋2sin θcos θ＝4(1－2sin θcosθ)，故sin θcos θ＝310，∴sin(θ－5π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝sin θcos θ＝310. 【答案】 310第三节三角函数的图象与性质考纲要求：1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性． [基础真题体验]考查角度[三角函数的图象]1．(2013·课标全国卷Ⅰ)函数f (x )＝(1－cos x )sin x 在[－π，π]上的图象大致为( )【解析】在[－π，π]上，∵f (－x )＝[1－cos(－x )]·sin(－x )＝(1－cos x )(－sin x )＝－(1－cos x )sin x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，∴f (x )的图象关于原点对称，排除B.取x ＝π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos π2sin π2＝1＞0，排除A. ∵f (x )＝(1－cos x )sin x ，∴f ′(x )＝sin x ·sin x ＋(1－cos x )cos x＝1－cos 2x ＋cos x －cos 2x ＝－2cos 2x ＋cos x ＋1. 令f ′(x )＝0，则cos x ＝1或cos x ＝－12.结合x∈[－π，π]，求得f(x)在(0，π]上的极大值点为23π，靠近π，选C. 【答案】 C考查角度[三角函数的性质]2．(2014·课标全国卷Ⅰ)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．②④B ．①③④C ．①②③D ．①③ 【解析】 ①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，T ＝π. ②由图象知，函数的周期T ＝π. ③T ＝π. ④T ＝π2.综上可知，最小正周期为π的所有函数为①②③. 【答案】 C3．(2012·课标全国卷)已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．(0,2]【解析】取ω＝54，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫54x ＋π4，其减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，显然⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，排除B 、C.取ω＝2，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，其减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ，显然⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋58π，k∈Z ，排除D.【答案】 A4．(2014·北京高考)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为________．【解析】 ∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，∴T 2≥π2－π6，∴T ≥2π3. ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，∴f (x )的一条对称轴为x ＝π2＋2π32＝7π12. 又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，∴f (x )的一个对称中心的横坐标为π2＋π62＝π3. ∴14T ＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π. 【答案】 π [命题规律预测]考向一三角函数的定义域与值域[典例剖析]【例1】 (1)(2013·天津高考)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A ．－1B ．－22 C.22 D ．0 (2)函数y ＝2sin x －1的定义域为________．【思路点拨】 (1)先确定2x －π4的范围，再用数形结合法求最值． (2)由2sin x －1≥0求解．【解析】 (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴－π4≤2x －π4≤3π4，∴当2x －π4＝－π4时，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4有最小值－22. (2)由2sin x －1≥0得sin x ≥12，∴2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z ，即函数的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z)．【答案】 (1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z)求三角函数的定义域、值域(最值)的方法：(1)求三角函数的定义域实际上是解三角不等式，常借助三角函数线或三角函数的图象来求解． (2)三角函数值域的常见求法①化一法：化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域．②换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在给定区间上的值域(最值)问题．[对点练习](1)函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________．(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最大值是________．【解析】 (1)要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]内y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z .(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，∴sin x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，又y ＝3－sin x －2cos 2x ＝3－sin x －2(1－sin 2x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －142＋78，∴当sin x ＝－12或sin x ＝1时，y max ＝2.【答案】 (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π4≤2k π＋5π4，k ∈Z (2)2考向二三角函数的单调性[典例剖析]【例2】 (1)(2014·辽宁高考)将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( )A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递减B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递减D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增(2)函数y ＝|tan x |的单调减区间为________．【思路点拨】 (1)先进行图象变换，再用代换法求单调区间．(2)由y ＝tan x 的图象得到y ＝|tan x |的图象，观察图象写出其单调减区间即可．【解析】 (1)y ＝3 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度得到y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －23π.令2k π－π2≤2x －23π≤2k π＋π2得k π＋π12≤x ≤k π＋712π，k ∈Z ，则y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －23π的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π12，k π＋712π，k ∈Z.令k ＝0得其中一个增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，712π，故B 正确．画出y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －23π在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上的简图，如图，可知y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －23π在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上不具有单调性，故C ，D 错误．(2)y ＝|tan x |的图象如图所示：观察图象可知，减区间是⎝ ⎛⎦⎥⎤k π－π2，k π，k ∈Z.【答案】 (1)B (2)⎝ ⎛⎦⎥⎤k π－π2，k π，k ∈Z三角函数的单调区间的求法：(1)代换法所谓代换法，就是将比较复杂的三角函数整理后的整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间．(2)图象法函数的单调性表现在图象上是：从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间．[对点练习]函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－2x 在[－π，0]上的单调递减区间为________．【解析】令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z.所以x ∈R 时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z.取k ＝－1,0可得函数在[－π，0]上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－7π12和⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，0.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－7π12和⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，0考向三三角函数的奇偶性、周期性和对称性【命题视角】三角函数的奇偶性、周期性与对称性是三角函数的重要性质，是高考的命题热点，通常以选择题、填空题或解答题某一问的形式呈现，常考查对称轴与对称中心的求解，周期的求解与奇偶性的判断等问题．角度一：判断对称轴与对称中心【例3－1】 (2014·福建高考)将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，则下列说法正确的是( )A ．y ＝f (x )是奇函数B ．y ＝f (x )的周期为πC ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称D ．y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0对称【思路点拨】【解析】由题意知，f (x )＝cos x ，所以它是偶函数，A 错；它的周期为2π，B 错；它的对称轴是直线x ＝k π，k ∈Z ，C 错；它的对称中心是点⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0，k ∈Z ，D 对．【答案】 D利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数图象与x 轴的交点这一性质求解或通过检验函数值进行判断角度二：求三角函数的周期【例3－2】 (2014·天津高考)已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R.在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为( )A.π2B.2π3 C ．π D ．2π【思路点拨】利用辅助角公式把函数f (x )表示为正弦型函数，解出交点横坐标，由距离求出ω，得到周期T .【解析】 f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)．由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＝1得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＝12， ∴ωx ＋π6＝2k π＋π6或ωx ＋π6＝2k π＋56π(k ∈Z)．令k ＝0，得ωx 1＋π6＝π6，ωx 2＋π6＝56π， ∴x 1＝0，x 2＝2π3ω.由|x 1－x 2|＝π3，得2π3ω＝π3，∴ω＝2. 故f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. 【答案】 C(1)利用周期定义；(2)利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|；(3)利用图象．角度三：三角函数的奇偶性及应用【例3－3】已知f (x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)为偶函数，则φ可以取的一个值为( ) A.π6 B.π3 C ．－π6 D ．－π3【思路点拨】化f (x )为A sin(ωx ＋φ)的形式，再结合诱导公式求解φ值．【解析】 f (x )＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12cos (3x ＋φ)－32sin (3x ＋φ)＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(3x ＋φ)＋π3＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π3，由f (x )为偶函数，知φ＋π3＝k π(k ∈Z)，即φ＝k π－π3(k ∈Z)，由所给选项知只有D 适合．【答案】 D若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值．若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0.思想方法7 研究三角函数性质的一大“法宝”——整体思想所谓整体思想就是研究问题时从整体出发，对问题的整体形式、结构特征进行综合分析，整体处理的思想方法．在三角函数学习中，运用“整体思想”可以解决以下几类问题： (1)三角函数的化简求值．(2)研究三角函数的有关性质，(如求单调区间、值域、对称轴、对称中心等)． (3)解三角不等式或求含参变量的取值范围问题．[典例剖析]【典例】 (2014·四川高考)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＝45cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．【解】 (1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z. 所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z. (2)由已知，有sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)，所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝ ⎛⎭⎪⎫cos αcos π4－sin αsin π4·(cos 2α－sin 2α)，即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，知α＝3π4＋2k π，k ∈Z. 此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，有(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，知cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－52.综上所述，cos α－sin α＝－2或－52.[对点练习]已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω＞0)的最小正周期为π，则f (x )的单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋5π6(k ∈Z)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π3(k ∈Z) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z) 【解析】由已知得2πω＝π，∴ω＝2.由不等式2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，(k ∈Z)，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z)，故f (x )的单调增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z)．【答案】 D课堂达标训练1．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象的一条对称轴是( )A ．x ＝π4 B ．x ＝π2 C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2【解析】 ∵正弦函数的图象的对称轴过图象的最高点或最低点，∴令x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝k π＋3π4，k ∈Z ，取k ＝－1，则x ＝－π4.【答案】 C2．函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π2是( ) A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为2π的非奇非偶函数 D ．最小正周期为π的偶函数【解析】 f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋52π＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－2sin x ，故f (x )是最小正周期为2π的奇函数．【答案】 A3．函数y ＝1tan x －1的定义域为________．【解析】要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧tan x －1≠0，x ≠k π＋π2，k ∈Z ，∴x ≠k π＋π4且x ≠k π＋π2，k ∈Z.【答案】 ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π4且x ≠k π＋π2，k ∈Z4．函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为________．【解析】当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，∴3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3，即f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3补上一课(二) 三角函数最值(值域)的求法三角函数的最值问题是三角函数中的基本内容，历年高考题中均重点考查，对于这类问题如果找到恰当的方法，掌握其规律，可以简捷求解．前面考向一中我们已稍作介绍，在此再总结以下类型以供参考．1 y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 型函数的最值(值域)【例1】设x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，2π3，则函数y ＝4sin 2x －12sin x －1的值域为________．【思路点拨】令t ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，2π3→t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1—求得y ＝4t 2－12t －1的最值，得原函数的值域【解析】令t ＝sin x ，由于x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，2π3，故t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1. y ＝4t 2－12t －1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322－10，因为t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1时，函数单调递减，所以当t ＝－12，即x ＝－π6时，y max ＝6；当t ＝1，即x ＝π2时，y min ＝－9. ∴y ∈[－9,6]．【答案】 [－9,6]【名师点津】形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 型函数的值域问题转化为二次函数的值域问题，要注意换元前后变量的取值范围要保持不变．2 y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 型函数的最值(值域)【例2】函数f (x )＝sin x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域为( ) A ．[－2,2] B ．[－3，3]C ．[－1,1]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32【思路点拨】转化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)＋c 的值域求解．【解析】 ∵f (x )＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x －12cos x ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，∴函数f (x )的值域为[－3，3]．【答案】 B【名师点津】形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的函数最值应用辅助角公式转化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)＋c 的最值．。

数值线性代数_MathCAD实验

，其中 Lk
=
⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
%
1 −lk +1,k ... −ln,k
%
⎟
⎟ ⎟
，
li,k
=
ai,k akk
,
。
% 1 ⎟⎟⎠ i = k +1,k + 2,...,n
则
A
=
L1−1Βιβλιοθήκη "L−1 n−2
L−n1−1U
=
LU
求解 Ax = b 等价于求解
{ LUx = b ⇔
先解 Ly = b，再解 Ux = y。
""矩阵的三角分解
定理若 A∈ Rnn 的顺序主子阵 Ai ,i = 1, 2,..., n 均非奇异，则存在唯一单位下三角阵 L 和上三角阵U 使得 A = LU 。
注： li,k
=
ai,k akk
中分母 akk
称为主元。
用高斯变换计算 A 三角分解的代码如下：
Gauss2( A) :=
"没有优化的LU分解"
for j ∈ 1 .. n
U1, j ← A1, j ⊕ "先计算U的第一行"
for i∈ 2 .. n
Li , 1
←
Ai , 1 U1,1
⊕
"再计算L的第一列"
"下一行中i不能为n,否则j要出界"
"因此Unn要单独计算"
for i∈ 2 .. n − 1
for j ∈ i.. n
i−1
∑ Ui , j ← Ai , j −
n
+ 1, n
，由于U
是n

线性代数方程组的解法

2 3 2 n O( n ) 3
mult a(i , j ) a( j, j ); for k j 1 : n a(i , k ) a(i , k ) mult * a( j , k ); end b(i ) b(i ) mult * b( j ); end
end
LU分解
求A的LU分解（L是下三角矩阵，U是上三角矩阵）
1 1 1 1 3 4 3 4
LU分解
性质1 设向量
, xn ) 且 xk 0 T 则存在唯一的下三角阵 Lk I lk ek ,满足 x ( x1 , x2 ,
T
Lk x ( x1 ,
第三章线性方程组的直接解法
/*Direct Method for Solving Linear Systems*/
求解 A x b, A R
Cramer法则:
nn
det( A) 0
Di xi D
i 1, 2,
,n
所需乘除法的运算量大约为(n+1)!+n
n=20时，每秒1亿次运算速度的计算机要算30多万年！
Gauss消去法的消元过程算法
for for
j 1: n 1
i j 1: n
2 3 2 n O( n ) 3
mult a(i , j ) a( j, j ); for k j 1 : n a(i , k ) a(i , k ) mult * a( j , k ); end b(i ) b(i ) mult * b( j ); end
方程组可化为下面两个易求解的三角方程组
Ly b Ux y
二、高斯消去法

必修五数学解三角形知识点

必修五数学解三角形知识点必修五数学解三角形知识点判断解法已知条件：一边和两角一般解法：由A+B+C=180°，求角A，由正弦定理求出b与c，在有解时，有一解。

已知条件：两边和夹角一般解法：由余弦定理求第三边c，由正弦定理求出小边所对的角，再由A+B+C=180°求出另一角，在有解时有一解。

已知条件：三边一般解法：由余弦定理求出角A、B，再利用A+B+C=180°，求出角C在有解时只有一解。

已知条件：两边和其中一边的对角一般解法：由正弦定理求出角B，由A+B+C=180°求出角C，再利用正弦定理求出C边，可有两解、一解或无解。

(或利用余弦定理求出c边，再求出其余两角B、C)①若ab，则AB有唯一解;②若ba，且babsinA有两解;③若absina则无解。

p=常用定理正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(2R在同一个三角形中是恒量，R是此三角形外接圆的半径)。

变形公式(1)a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC(2)sinA:sinB:sinC=a:b:c(3)asinB=bsinA，asinC=csinA，bsinC=csinB(4)sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R面积公式(5)S=1/2bcsinA=1/2acsinB=1/2absinC S=1/2底·h(原始公式)余弦定理a²=b²+c²-2bccosAb²=a²+c²-2accosBc²=a²+b²-2abcosC注：勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况。

变形公式cosC=(a²+b²-c²)/2abcosB=(a²+c²-b²)/2accosA=(c²+b²-a²)/2bc数学二元一次方程组知识点1.定义：含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程。

三角分解法解线性方程组

三角分解法解线性方程组线性方程组是数学中一类重要的方程组，它包含了一系列线性方程。

在实际问题中，线性方程组有时需要通过三角分解法进行求解。

三角分解法是一种常用的线性方程组求解方法，它通过将方程组转化为上、下三角形矩阵进行分解，从而求解出未知数的值。

本文将详细介绍三角分解法的步骤及实际案例。

首先，我们来介绍三角矩阵的概念。

上三角矩阵是指除了主对角线上方的元素均为0的矩阵，下三角矩阵则是指除了主对角线下方的元素均为0的矩阵。

我们的目标是将线性方程组转化为上、下三角形矩阵进行求解。

步骤1：将线性方程组表示为矩阵形式，即AX=B，其中A为系数矩阵，X为未知数向量，B为常数向量。

步骤2：进行三角分解，将系数矩阵A分解为一个上三角矩阵U和一个下三角矩阵L，即A=LU。

其中L为下三角矩阵，U为上三角矩阵。

步骤3：将方程组AX=B进行变量代换，令Y=UX。

此时，方程组变为LY=B。

步骤4：解得矩阵Y，再通过回代法求解出未知数向量X。

下面我们通过一个实际案例来详细说明三角分解法的应用。

案例：有三个变量x,y,z的线性方程组：2x+y+z=4x+3y+2z=133x+2y+3z=15首先将该方程组表示为矩阵形式：⎛211⎛⎛x⎛⎛4⎛⎛132⎛⎛y⎛=⎛13⎛⎛323⎛⎛z⎛⎛15⎛然后进行三角分解，将系数矩阵A分解为上三角矩阵U和下三角矩阵L：A=⎛211⎛=⎛100⎛⎛211⎛⎛132⎛⎛110⎛⎛021⎛⎛323⎛⎛321⎛⎛001⎛接下来，将方程组AX=B进行变量代换，令Y=UX，即LY=B：⎛100⎛⎛Y₁⎞⎛4⎛⎛110⎛⎛Y₂⎟=⎛13⎛⎛021⎛⎛Y₃⎠⎝15⎛我们可以通过高斯消元法求解上述方程组，得到Y的解：Y₁=4Y₂=9Y₃=-2最后，通过回代法求解未知数向量X：X₃=Y₃=-2X₂=Y₂-2X₃=9-2(-2)=13X₁=Y₁-X₂=4-13=-9因此，该线性方程组的解为：x=-9，y=13，z=-2三角分解法是一种常用且有效的线性方程组求解方法。

三角分解解线性方程组的公式47页

1
8/30/2019

6
平方根法（Cholesky分解）
续1
AT ALT D R T D R T L T R T ( D T ) L ( D ) R
由Doolittle分解的唯一性有
R T L DLT DR
（D可逆）
L R

9
平方根法（Cholesky分解）
k1
aikk1lim lk m

l11 l21 ln1

l22

ln1
lnn
lnn
第一步： a11l121l11 a11
ai1 l11li1li1 ai1/l11
i2,3 n
设L前k-1列元素已求出，则第k步
n
k1
ak k lk m lk m lk2mlk2k
续2
L LD
这时 L 为一般的下三角矩阵，故 ALLT，若 L 的对角元全为正时，由Doolittle分解的唯一性及上述分解的推理过程，可以得到Cholesky分解的唯一性。
8/30/2019

8
平方根法（Cholesky分解）：分解公式
l11
Al21 l22
8/30/2019

5
平方根法（Cholesky分解）定理证明
证明：因为 A对称正定，故其顺序主式 k0 k 1 ,2 , n，
1
u11 u1n
Al21

ln1 1
m1
m1
k1
lkk akk lk2m m1
i k n
a ik lim l km m 1

计算方法ppt

再按消元公式计算 ai(j（3) i,j=3,…,n）。
然后每一步类似的都在右下角方阵中的第一列中选
主元，再经行对调, 将主元素换到右下脚方阵中左上
角的位置。再按下一步计算 ai(jk（) i,j=k,…,n)
直至将方程组化成上三角方程组，再进行回代就可求得解。
21
全主元消去法
a11 a12 a1n b1
+
a (1) 1n
xn
+
...
+
a(2) 2n
xn
=
b(1) 1
=
b(2) 2
a(2) 32
x2
+
...
+
a(2) 3n
xn
=
b(2) 3
......
a(2) n2
xn
+ ... +
a(2) nn
xn
=
b(2) n
A(2) x = b(2)
其中 a(2) ij
=
a (1) ij
− li1a1(1j)
右端列向量视为方程组A的第n＋1列，直接对矩阵A
（指现在的n行，n＋1列的增广矩阵）进行行初等变换，
将其变换为上三角形矩阵，从而回代求解得到方程组
的解。
15
Gauss消去法（续）
Remark2：可以统计出，如果A为n阶方阵，则Gauss顺
序消去法消去过程所需的乘除运算次数为
∑n−1 (n − k + (n − k)(n − k +1)) = n3
(3.1)
2
引言（续）
其矩阵表示形式为： AX = b
a11 a12 a1n
x1

一基本的三角分解法LU分解

0 0 u33 u34 0 0 3 /11 2 /11 lir
k 1
urr
0 0 1 l43 T 0 0 1 9T
0 0 0 u44 0 0 0 4
解Ly b,得
y1 b1
j 1
yr br lrj y j
r1
y1 y2 y3 y4 T 10 20 17 /11 16T
li 1
ai 1 l11
r 1
lrr arr lr2k k 1
r 1
air lik lrk
lir
k 1
lrr
i 2,3, , n -------------(4)
r 2, ,n
i r 1, , n
对于线性方程组 Ax b
-------------(5)
其中A为n阶对称正定矩阵则存在主对角元为正数的下三角阵L, 使得
u1r
urr
u1n
urn
unn
证明略
根据矩阵的乘法原理
,
A的第一行元素
a1
为
j
a1 j u1 j j 1,2, , n A的第r行元素主对角线以右元素arj ( j r, , n)为
同样
r
arj lrkukj k 1
j r, ,n r 1,2, , n
可知A的第r列元素主对角线以下元素 air (i r 1, , n)为
1 l21 l31 l41 T 1 1.5 0.5 2T 0 u22 u23 u24 0 11 12 8.5
u1 j a1 j
li 1
ai 1 u11
r 1
urj arj lrkukj k 1
0 1 l32 l42 T 0 1 3 /11 6 /11T

num_2.3直接三角分解法

u 12 a 22 a 32 a 42 u 12 u 22 l 32 l 42
u 13 a 23 a 33 a 43 u 13 u 23 u 33 l 43
u 14 a 24 a 34 a 44 u 14 u 24 u 34 a 44
y1 b2 r 2 b3 b4 y1 y2 r4 y 3 b4
ai2
l
k 1
2
ik
uk2
→
a i 2 l i 1 u 12 l i 2 u 22
li 2
a i 2 l i 1 u 12 u 22
a 11 A ar1 a n1

a1r a rr a nr

a1n a rn a nn
u
jr1
n
rj
xj
r n 1 , n 2 , , 2 ,1
u rr
上述解线性方程组的方法称为直接三角分解法的 Doolittle法( A=LU ) 例1. 用Doolittle法解方程组
2 3 1 4 10 4 2 14 0 12 3 9 3 13 4 13
T
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1 .5
0 .5
2
T
0
0
u 22
u 23
u 24 0
11
12
8 .5
u rj a rj
T
l
k 1
r1
rk
u kj
1
0
l 32
u 33
l 42

T
0

选主元三角分解

§1.2 选主元三角分解1.2.1 问题的提出大家知道，对于方程组来说，只要A非奇异方程组就存在唯一的解。

然而，A非奇异并不能保证其顺序主子阵均非奇异。

因此，A非奇异并不能保证Gauss消去过程能够进行到底。

这样，我们的问题自然便是，怎样修改算法1·1·3才能使其适应于非奇异矩阵呢？此外，在算法1·1·3中计算时，位于分母上的主元虽不为零但很小时，是否会对算法产生不良影响呢？若有影响，该如何解决？下面来看一个例子。

例1·2·1假定我们是在3位10进制数的浮点数系下来解方程组用算法1·1·3得，，从而得该方程组的计算解为，这与精确解相差甚远。

上例中的问题是由小主元引起的。

当然，如果用更高精度的计算机来计算，可使计算解的精度提高，然而仅以提高计算机精度的方法去解决这个问题是不明智的，因为计算机的精度毕竟是有限的。

事实上，我们可以用下面的方法来避免小主元的出现。

如果交换例1·2·1的第一个与第二个方程的位置，原方程组变为再用算法1·1·3在同样的数系下进行计算，可得进而得原方程组的计算解为，这已与方程组的精确解相当接近了。

1.2.2 全主元三角分解这种交换方程顺序的方法其实并不是解决小主元总是的唯一方法，当然亦可通过交换未知向量x在方程组中的顺序来解决。

这样，如果出现小的主元，我们就可以选择一个合适的元素，交换A的行和列，将此元素换到主元位置上。

例如在第k步中，若太小，并且选择作为主元，则我们需要先交换第k行，再交换第k列和第q列，从而将的移至（k,k）位置上，消去过程用新的主元继续进行。

为了不打乱在消去过程中已经引入的零元素的分布，所选的的位置应该满足。

为了下面叙述简单起见，我们初等置换矩阵，它是单位矩阵I的第p列与第q列交换所得到的矩阵，即用左乘矩阵A便交换了A的第p行与第q行；用右乘A便交换了A的第p列与第q列。

初中数学知识点总结：代数、几何、方程、函数、三角形、概率、锐角三角函数

初中数学知识点总结：代数、几何、方程、函数、三角形、概率、锐角三角函数人教版初三上学期数学课堂测验一、代数基础代数是数学中的一个重要分支，主要研究数量的抽象性质和结构。

在初三数学中，代数基础知识的掌握显得尤为重要。

以下是一些重要的代数概念和基本运算：1.代数式：用运算符号（加、减、乘、除等）将数或表示数的字母连接起来的式子。

2.代数方程：包含未知数的等式。

3.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值。

4.方程组的解：同时满足两个或多个方程的解。

5.一元一次方程：只含有一个未知数，且未知数的次数为1的方程。

6.一元二次方程：只含有一个未知数，且未知数的次数为2的方程。

7.因式分解：将一个多项式分解成几个整式乘积的形式。

8.公式法：用公式解一元二次方程的方法。

9.配方法：用配方法解一元二次方程的方法。

10.二次根式：形如√a（a≥0）的式子，其中a称为被开方数。

11.二次根式的性质：√a2=|a|，√a2=a（a≥0），√a2=-a（a<0）。

二、几何基础几何是数学中研究形状、大小、位置等概念的学科。

以下是一些重要的几何概念和基本运算：1.点：没有大小，只有位置的点。

2.线：一个点向两个方向无限延伸所形成的图形。

线没有粗细，只有长度。

3.射线：一个点向一个方向无限延伸所形成的图形。

射线只有长度，没有宽度。

4.角：两条线相交形成的图形。

角的大小用度数来表示。

5.锐角、直角、钝角：小于90度的角称为锐角，等于90度的角称为直角，大于90度小于180度的角称为钝角。

6.三角形：由三条线段首尾顺次相接所围成的图形。

7.直角三角形：一个角为90度的三角形。

勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。

8.四边形：由四条线段首尾顺次相接所围成的图形。

分为平行四边形和梯形。

9.圆形：由一条封闭的曲线所围成的图形。

圆有无数条对称轴。

10.弧长：圆上任意两点间的线段长度。

11.面积：平面图形占据的空间大小。

研究生数值分析(8)分解

b1 bk
k 1
lkj
yj
j 1
(k 2,3,
（5）
, n)
xn
xk
yn / unn (yk
n
ukj xj ) / ukk
j k 1
（6）
(k n 1,n 2, ,1)
杜利特尔矩阵分解求解线性方程组的过程为: 10 实现A=LU分解，即
(a)按计算公式(1),(2)依次计算U的第1行元素
(i k, k 1, , n) （3）
k 1
lik (aik liju jk ) / ukk j 1
(i k 1, , n; k n) （4）
在我们利用杜利特尔矩阵分解解线性方程组AX=b时,只要实现矩阵分解A=LU,依次解三角形方程组LY=b与UX=Y即可。
计算公式：
y1
yk
u1i (i 1, 2, , n) 与L的第1列元素 li1 (i 2,3, , n)
(b) 对k+2,3,…,n 按计算公式(3),(4)依次
计算U的第k行元素 uki (i k, k 1, , n) 与L的第
k列元素 lik (i k 1, , n; k n)
20 求解三角形方程组LY=b，即按计算公
若U为单位上三角阵(对角元都是1的上三角阵),
L为下三角阵,则称为克劳特(Crout)分解。
下面分析实现矩阵杜利特尔(Doolittle)分解和克劳特(Crout)分解的条件,讨论这些分解的唯一性。
定理2 (矩阵三角分解基本定理)
设 A Rnn 。若A的顺序主子式
det( Ak ) 0
(k 1, 2, , n)
li,k 1
lik
ln,k 1

三角分解

列主元素高斯消去法相当于先进行一系列行交换后再对 PAX Pb 应用顺序高斯消去法.
定理8(列主元三角分解) 若A为非奇异矩阵, 则存在排列矩阵P使得 PA LU 其中L为单位下三角矩阵,U为上三角矩阵. 说明: L, U, Ip的存贮.
§7.4
高斯消去法的变形
设有线性方程组：AX=b
a11 a12 a1n x1 b1 a x b a22 a2 n 21 , X 2 , b 2 . A 如何简单的实现三 a x 角分解？ bn an 2 ann n1 n
本节主要内容
1、回顾高斯消去法与三角分解的关系 2、三角分解的条件、方法与应用
下面用矩阵描述列主元消去法
L1I1,i1 A(1) A( 2) , L1I1,i1b(1) b( 2) ,, Lk I k ,ik A( k ) A( k 1) , Lk I k ,ik b( k ) b( k 1) .
其中I k ,ik 为初等置换阵.
于是 Ln 1I n 1,in1 L2 I 2,i2 L1I1,i1 A A( n ) U . ~ ~ P为排列矩阵即 P A U , P b b( n ) . ~ L为单位下三角矩阵下面就n 4考察P .
UA
( 4)
L3 I3,i3 L2 I 2,i2 L1I1,i1 A
PA 选主元三角分解算法： A, 整型Ip(n)记录主行, x b.
1. 对r 1,2,, n, r 1 (1) 计算si : air si air lik ukr (i r ,, n). k 1 (2) 选主元：取ir 使得 sir max si ，Ip(r ) ir

(lecture 7)矩阵的三角分解(1)

a (1) 11
...
a (1) 1k
...
a (1) 1n
A
ak1
... akk
...
akn
lk1
...
1
a(k) kk
...
a(k kn
)
an1 ... ank ... ann ln1 ... lnk ... 1
a(n nn
)
LU
也可以直接用比较法导出矩阵A的LU分解的计算公式。上式可记为
因此可以推导出
a i1 li1 u 1 1 i 2 ,3 ,...,n
r
ir1,...,n
air likukr
k1
r1,2,...,n1
r1
air likuk rlirurr k1
u 1 j a1 j
li 1
ai 1 u11
j1,2,...,n
i2,3,...,n
U的第一行 ------(1) L的第一列 ------(2)
r1
urjarj lrkukj k1
r1,2,...,n U的第r行 ------(3) jr,...,n
r1
air likukr
lir
k1
urr
r1,2,...,n1 ir1,...,n L的第r列 ------(4)
称上述(1) ~ (4)式所表示的分解过程为矩阵A的 Doolittle分解
un1,n1
un1,n
unn
r n 1 ,n 2 ,...,2 ,1
上述解线性方程组的方法称为直接三角分解法的 Doolittle分解
例3.2.1 用Doolittle分解求解方程组
23
1
4

中考数学复习：专题4-17 判定三角形形状的十种常用方法

专题17 判定三角形形状的十种常用方法【专题综述】三角形既可以按边分类也可以按角分类，当我们得到了它们的边（或角）之间的关系或最大角的度数时，就能据此判定三角形的形状．这也是考试中的常考题型，本文就判定三角形形状的常用方法归纳介绍如下，供参考.【方法解读】一、利用因式分解例1 在△A BC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且a2＋2ab＝c2＋2bc，试判定△ABC的形状。

【举一反三】（2017秋•分宜县校级月考）已知a，b，c是△ABC的三边，且满足a2﹣b2+ac﹣bc=0，判断三角形的形状．二、利用配方法例2 已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a4＋b4＋c4＝a2b2＋b2c2＋c2a2，试判定三角形的形状．【举一反三】（2015春•六合区期末）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac=0，请你根据此条件判断这个三角形的形状，并说明理由．三、利用根的判别式例3 已知a、b、c是△ABC的三边，且方程(a2＋b2＋c2)x2－(a＋b＋c)x＋34＝0有实根，试判定△ABC的形状．【举一反三】已知a、b、c为△ABC的三边，且方程（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣c）（x﹣a）=0有两个相等的实根，试判断△ABC的形状．四、利用构造方程例4 已知k>1，b＝2k，a＋c＝2k2，ac＝k4－1，试判定以a、b、c为边的三角形形状.【举一反三】（2016春•雁塔区校级期末）已知△ABC的三条边a、b、c满足关系|a2﹣b2﹣c2|+=0，那么△ABC的形状为．五、利用公共根例5 设a、b、c是△ABC的三边长，方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有一个相同的根，求证：△ABC是直角三角形.【举一反三】已知△ABC的∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且关于x的方程a（x2﹣1）﹣2bx+c（x2+1）=0有两个相等的实数根，判断△ABC的形状并说明理由．六、利用韦达定理例6 如果方程x2－xbcos A＋acosB＝0的两根之积等于两根之和，a、b、c为三角形的三边，试判定△ABC 的形状．【举一反三】（2017秋•余干县校级月考）已知关于x的方程（a+c）x2+2bx﹣（c﹣a）=0的两根之和为﹣1，两根之差为1，其中a，b，c是△ABC的三边长．（1）求方程的根；（2）试判断△ABC的形状．七、利用三角形面积公式例7 已知△ABC中，若h a＋h b＋h c＝9r，其中h a、h b、h c为三边上的高，r为三角形内切圆的半径，试判定△ABC的形状．【举一反三】（2015•潍坊）如图，三角形ABC的两个顶点B、C在圆上，顶点A在圆外，AB、AC分别交圆于E、D两点，连接EC、BD．（1）求证：△ABD∽△ACE；（2）若△BEC与△BDC的面积相等，试判定三角形ABC的形状．八、利用解方程组例8 已知△ABC的三条边是a、b、c，三个角是A、B、C．若b是a、c的比例中项，且a－b＝b－c，试判定这个三角形的形状【举一反三】（2015春•相城区期末）（1）若a、b、c为一个三角形的三边，且满足（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2=0．探索这个三角形的形状，并说明理由；（2）若x、y、z为一个三角形的三个内角的度数，且满足36x2+9y2+4z2﹣18xy﹣6yz﹣12zx=0．探索这个三角形的形状，并说明理由．九、利用二次函数性质例9 设二次函数y＝(a＋b)x2＋2cx－（a－b），当x＝－12时，其最小值为－12b．若a、b、c是△ABC的三边长，试判定△A BC的形状．【举一反三】（2016•西湖区一模）设a，b，c是△ABC的三边长，二次函数（其中2a≠b），（1）当b=2a+8c时，求二次函数的对称轴；（2）当x=1时，二次函数最小值为b，试判断△ABC的形状，并说明理由．十、综合运用判定方法例10 已知：如图，D为△ABC的边AC上一点，F为AB延长线上一点，DF交BC于E．若E是DF的中点，CD=BF，试判定△ABC的形状．【举一反三】（2014秋•长清区期中）如图，在△ABC中，AB=13，BC=10，BC边上的中线AD=12，试判定△ABC的形状（）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．以上都不对【强化训练】1.（2013秋•吴起县校级期中）△ABC中，三边长a、b、c满足，且关于x的方程有两个相等的实数根．（1）试判断△ABC的形状；（2）求△ABC的面积．2.已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边依次为a、b、c，且a2：b2：c2=1：2：3，判定△ABC的形状，并求出∠A、∠B、∠C的度数．3.（2015秋•自贡校级月考）已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足a（x2﹣1）﹣2bx+c（x2+1）=0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．4.已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2b x﹣a+c=0有两个相等的实数根，试求以a、b、c为边能否构成三角形？若能，请判断三角形的形状．5.已知a，b，c是△ABC的三条边长，且方程（a2+b2）x2﹣2cx+1=0有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状．6.（2015秋•金乡县期末）已知a，b，c是△A BC的三边，且满足关系式a2+c2=2ab+2bc﹣2b2，试判断△ABC 的形状．7.已知a、b、c是△ABC的三边，且关于x的一元二次方程x2+2（b﹣c）x=（b﹣c）（a﹣b）有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．8.（2016秋•简阳市期中）已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）=0，试判断此三角形的形状．9.（2017春•惠民县校级月考）已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判定△ABC的形状．10.（2016秋•荣成市期中）设a，b，c是△ABC的三边长，二次函数在x=1时取最小值，则△ABC是（）A．等腰三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形。

2-2直接三角分解法

1
Ln1 Ln2 L2 L1b 1 b n ,
1 1 1 1 1 1 注意 A1 A ，则 A L1 L2 L 其中L L1 L2 L n1 U LU ， n1 。

1 m21 1 由 L 可知 L m31 k 的特点， m n1
第k 步： Ak x b k Ak 1 x b k 1
Lk Ak Ak 1 , Lk bk bk 1 , k 1,2,, n 1 , 其中
1 1 Lk 1 mk 1,k mnk 1 1 1 1 , Lk 1 mk 1,k 1 mnk ; 1 1
2 2 2 x1 1 3 2 4 x 2 1 2 1 3 9 x 5 2 3
解：
x1 1 x 2 1 x 0 3
2
2.2 直接三角分解法
矩阵的直接三角分解法起源于Gauss消去法的矩阵形式。基本思想：设
Ax b的系数矩阵A 可以分解为两个三角形矩阵的乘积，记为A LU ，其中
L 为下三角矩阵， U 为上三角矩阵。此时Ax b 变为 LUx b 。令Ux y ，则方
Ly b 程组 Ax b ，即 Ax b 归结为两个三角形方程组的求解，而三角形 Ux y 方程组的求解容易编程实现。
1 u12 u1n l 22 1 u 2n l n 2 l nn 1
第一步：li1 ai1 ， i 1,2,, n , u1i a1i l11 ， i 2,3,, n

研究生数值分(8)直接三角分解法

u1i (i 1, 2, , n) 与L的第1列元素 li1 (i 2,3, , n)
(b) 对k+2,3,…,n 按计算公式(3),(4)依次
计算U的第k行元素 uki (i k, k 1, , n) 与L的第
k列元素 lik (i k 1, , n; k n)
20 求解三角形方程组LY=b，即按计算公
(i k, k 1, , n) （3）
k 1
lik (aik liju jk ) / ukk j 1
(i k 1, , n; k n) （4）
在我们利用杜利特尔矩阵分解解线性方程组AX=b时,只要实现矩阵分解A=LU,依次解三角形方程组LY=b与UX=Y即可。
计算公式：
y1
yk
对那些明确是1或是0的元素不再求。由矩阵乘法规则与相等条件,
利用 aij 在上述计算过程中，
导出计算 lij 或 uij 的公式。
例如
第一步计算由 ai1 li1u11 得
u1i a1i (i 1,2, ,n)
第二步计算由 a1i u1i 得 li1 ai1 / u11 (i 2,3, ,n)
, n 1)
因此有 1 c1 / a1且0 1 1 由 a2 b2 a21 b2 a2 1 b2 a2 c2 0 有 2 c2 / a2且0 2 1
一般地，用归纳法可以证明
ai ci 0 （即0 i 1） (i 1, 2, , n 1)
因此我们从关系式（2）解出待定系数为
5 3 2, 2 3 5
3
2
3
4
b 7
1
0
2、用追赶法求方程组的解
4 1 0 0 x1 3
1
4
1

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bk(k
l) i,k
,
i

k
1,
, n.
经n-1步变换之后，我们将得到原方程组的如下同解方程：
1
b(1) 1

1
ln,n
b(n1) n1
b(n1) n

11
上页下页返回结束
最后，对第n个方程做行初等变换，令
b(n) n

b(n1) n
/ ln,n ,
这里 b (b1, ,bn )T Rn 是已知的，y ( y1, , yn )T Rn 是未知的，而 L lij Rnn 是已知的非奇异下三角阵，即
l11 l21 l22 L l31 l32 l33 ln1 ln2 ln3

,其中 lii 0,i 1, 2,..., n.
lnn
6
上页下页返回结束
我们容易得到方程组（1.1.1）的解的分量表达式

i 1

yi bi lij y j lii ,i 1, 2, , n.
j1
这种解方程组（1.1.1）的方法称之为前代法.如果在实际计算时将得到的 yi 就存放在 bi 所用的存储单元内，并适当调整一下运算顺序，可得如下算法：
7
上页下页返回结束
算法1.1.1（解下三角形方程组：前代法）
for j 1: n 1 b( j) b( j) / L( j, j) b( j 1: n) b( j 1: n) b( j)L( j 1: n, j) end b(n) b(n) / L(n, n)
我们便得到原方程组的一个最简形式的同解方程组：
x b,
其中：
b

(b1(1)
,
b(2) 2
,
,
b(n) n
)T
.
综合上述，我们得到如下算法程序：
fori 1: n 1
b(i) b(i) / l(i,i);
for j i 1: n
b( j) b( j) b(i) *l( j,i);
由于三角形方程组简单易于求解，而且它又是用分解方法解一般线性方程组的基础，所以我们首先考虑这种特殊类型的线性方程组的解法。
1.1.1 三角形方程组的解法 1.1.2 Gauss变换 1.1.3 三角分解的计算
5
上页下页返回结束
1.1.1三角形方程组的解法
下三角形方程组形如
Ly b
(1.1.1)
end
end
b(n) b(n) / l(n, n)
12
上页下页返回结束
再考虑如下上三角形方程组:
Ux y
(1.1.2)
其中U ui, j Rnn是非奇异上三角阵。
这一方程组可以用所谓的回代法解之，即从方程组
的最后一个方程出发依次求出 xn , xn1, , x1，其计
线性方程组的求解问题是一个古老的数学问题。早在中国古代的《九章算术》中，就已详细地描述了解线性方程组的消元法。到了19世纪初，西方也有了Gauss消去法，然后求解未知数多的大型线性方程组则是在20世纪中叶电子计算机问世后才成为可能。
2
上页下页返回结束
求解线性方程组的数值方法大体上可分为直接法和迭代法两大类。

b1
/
l11
,
b(1) i

bi
b1(1)li1, i

2,..., n.
显然地，上式右端是
与原方程组同解的一个方程组的增广矩阵。
9
上页下页返回结束
第k步：消元工作如下
10
上页下页返回结束
其中：b(k) k

b( k 1) k
/ lk,k ,bi(k)

b( k 1) i

显然该算法的运算量也为n2 。
14
上页下页返回结束
对于一般的线性方程组
直接法是指没有舍入误差的情况下经过有限次运算可求得方程组的精确解的方法。因此，直接法又称为精确法。
迭代法则是采取逐次逼近的方法，亦即从一个初始向量出发，按照一定的计算格式，构造一个向量的无穷序列，其极限才是方程组的精确解，只经过有限次运算得不到精确解。3上页下页返回结束
这一章，我们将主要介绍解线性方程组的一类最基本的直接法—Gauss消去法, 其特点是
该算法所需要的加、减、乘、除运算的次数为：
n (2i 1) 2 n(n 1) n n2
i 1
2
即该算法的运算量为 n2 。
8
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注意：针对方程（1.1.1）使用消元法，我们能够得到另外一种程序。算法分析如下：
第一步：对增广矩阵实施行初等变换，使之成为
其中：b1(1)
第一章线性方程组的直接解法
§1.1 三角形方程组和三角分解
Dr. Zhang 南昌大学理学院数学系
E-mail: zhangzhijuan@
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如何利用电子计算机来快速、有效地求解线性方程组的问题是数值线性代数研究的核心问题，而且也是目前仍在继续研究的重大课题之一。这是因为各种各样的科学与工程问题往往最终都要归结为一个线性方程组的求解问题。例如结构分析、网络分析、大地测量、数据分析、最优化及非线性方程组和微分方程组数值解等，都常遇到线性方程组的求解问题。
算公式为

n

xi yi uij xj uii ,i n, n 1, ,1;

j i 1

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算法1.1.2（解上三角形方程组：回代法）
for j n : 1: 2 y( j) y( j) /U ( j, j) y(1: j 1) y(1: j 1) y( j) *U (1: j 1, j) end y(1) y(1) /U (1,1)
（1）求解中小规模线性方程组（即阶数不要太高，例如不超过1000）最常用的方法；
（2）一般用于系数矩阵稠密（即矩阵的绝大多数元素都是非零的）而又没有任何特殊结构的线性方程组。
如若系数矩阵具有某种特殊形式，则为了尽可能地减少计算量与存储量，需采用其他专门的方法来求解。
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§1.1 三角形方程组和三角分解