第一节：三角形方程组和三角分解讲解

这里 b (b1, ,bn )T Rn 是已知的，y ( y1, , yn )T Rn 是未知的，而 L lij Rnn 是已知的非奇异下 三角阵，即
l11 l21 l22 L l31 l32 l33 ln1 ln2 ln3





,其中 lii 0,i 1, 2,..., n.
线性方程组的求解问题是一个古老的数学问 题。早在中国古代的《九章算术》中，就已详细 地描述了解线性方程组的消元法。到了19世纪初， 西方也有了Gauss消去法，然后求解未知数多的 大型线性方程组则是在20世纪中叶电子计算机问 世后才成为可能。
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求解线性方程组的数值方法大体上可分为直 接法和迭代法两大类。
（1）求解中小规模线性方程组（即阶数不要 太高，例如不超过1000）最常用的方法；
（2）一般用于系数矩阵稠密（即矩阵的绝大 多数元素都是非零的）而又没有任何特殊结构 的线性方程组。
如若系数矩阵具有某种特殊形式，则为了尽可 能地减少计算量与存储量，需采用其他专门的 方法来求解。
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§1.1 三角形方程组和三角分解
我们便得到原方程组的一个最简形式的同解方程组：
x b,
其中：
b

(b1(1)
,
b(2) 2
,
,
b(n) n
)T
.
综合上述，我们得到如下算法程序：
fori 1: n 1
b(i) b(i) / l(i,i);
for j i 1: n
b( j) b( j) b(i) *l( j,i);
由于三角形方程组简单易于求解，而且它又 是用分解方法解一般线性方程组的基础，所以我 们首先考虑这种特殊类型的线性方程组的解法。
1.1.1 三角形方程组的解法 1.1.2 Gauss变换 1.1.3 三角分解的计算
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1.1.1三角形方程组的解法
下三角形方程组形如
Ly b
(1.1.1)
显然该算法的运算量也为n2 。
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对于一般的线性方程组
该算法所需要的加、减、乘、除运算的次数为：
n (2i 1) 2 n(n 1) n n2
i 1
2
即该算法的运算量为 n2 。
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注意：针对方程（1.1.1）使用消元法，我们 能够得到另外一种程序。算法分析如下：
第一步：对增广矩阵实施行初等变换，使之 成为
其中：b1(1)

b1
/
l11
,
b(1) i

bi
b1(1)li1, i

2,..., n.
显然地，上式右端是
与原方程组同解的一个方程组的增广矩阵。
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第k步：消元工作如下
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其中：b(k) k

b( k 1) k
/ lk,k ,bi(k)

b( k 1) i

end
end
b(n) b(n) / l(n, n)
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再考虑如下上三角形方程组:
Ux y
(1.1.2)
其中U ui, j Rnn是非奇异上三角阵。
这一方程组可以用所谓的回代法解之，即从方程组
的最后一个方程出发依次求出 xn , xn1, , x1，其计
算公式为

n

xi yi uij xj uii ,i n, n 1, ,1;

j i 1

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算法1.1.2（解上三角形方程组：回代法）
for j n : 1: 2 y( j) y( j) /U ( j, j) y(1: j 1) y(1: j 1) y( j) *U (1: j 1, j) end y(1) y(1) /U (1,1)
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算法1.1.1（解下三角形方程组：前代法）
for j 1: n 1 b( j) b( j) / L( j, j) b( j 1: n) b( j 1: n) b( j)L( j 1: n, j) end b(n) b(n) / L(n, n)
直接法是指没有舍入误差的情况下经过有限 次运算可求得方程组的精确解的方法。因此， 直接法又称为精确法。
迭代法则是采取逐次逼近的方法，亦即从一 个初始向量出发，按照一定的计算格式，构造 一个向量的无穷序列，其极限才是方程组的精 确解，只经过有限次运算得不到精确解。
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这一章，我们将主要介绍解线性方程组的一类 最基本的直接法—Gauss消去法, 其特点是
bk(k
l) i,k
,
i

k
1,
, n.
经n-1步变换之后，我们将得到原方程组的如下同解 方程：
1
b(1) 1




1
ln,n
b(n1) n1
b(n1) n

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最后，对第n个方来自百度文库做行初等变换，令
b(n) n

b(n1) n
/ ln,n ,
lnn
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我们容易得到方程组（1.1.1）的解 的分量表达式

i 1

yi bi lij y j lii ,i 1, 2, , n.
j1
这种解方程组（1.1.1）的方法称之 为前代法.如果在实际计算时将得到的 yi 就存放在 bi 所用的存储单元内，并适当调 整一下运算顺序，可得如下算法：
第一章 线性方程组的直接解法
§1.1 三角形方程组和三角分解
Dr. Zhang 南昌大学理学院数学系
E-mail: zhangzhijuan@ncu.edu.cn
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如何利用电子计算机来快速、有效地求解线 性方程组的问题是数值线性代数研究的核心问题， 而且也是目前仍在继续研究的重大课题之一。这 是因为各种各样的科学与工程问题往往最终都要 归结为一个线性方程组的求解问题。例如结构分 析、网络分析、大地测量、数据分析、最优化及 非线性方程组和微分方程组数值解等，都常遇到 线性方程组的求解问题。