专题训练4 切线的性质和判定的综合运用
切线的性质和判定定理
D
解：BD是⊙O的切线
连接OD
A
∵ OD=OA
O
C
B ∴∠ODA=∠BAD=∠B
=300
∴∠ BOD=600
∴∠ODB=900
即： OD⊥DB
∴BD是⊙O的切线
变式练习 练习3,△ABC中，以AB为直径的⊙O，
交边BC于P，BP=PC, PE⊥AC于E。
求证:PE是⊙O的切线。 证明：连结OP。
∵ AB为直径
思∵考直线L是
⊙如O图的：切如果线直，线L
是A⊙是O的切切点线。,切点为
AL是,∴ 点那不么L是⊥半一径O定AO垂于A与直A直呢线?
.O
一定垂直(可用反证法来证）
切线的性质定理:
L A
圆的切线垂直于过切点的半径
简记为：“知切线，连半径，得垂直”
切线的性质定理反证法
假设切线l不垂直于过切点的半 径OA，
想一想
过圆0内一点作直线，这条直线与圆有什么位置关系？过 半径OA上一点（A除外）能作圆O的切线吗？过点A呢？
O
r
A
l
圆的切线判定定理：
经过半径的外端且垂于这条半径
的直线是圆的切线。
条件：(1)经过半径的外端；(2)垂直于过该点半径；
符
号 语
∵l⊥OA，A点是⊙O上一点
言
表
达 ∴直线l是⊙O的切线
为什么?
解：AC与⊙O相切
连接OD,作OE⊥AC
E
∴∠OEC=900
∵ AB是⊙O的切线
∴OD⊥AB,
∴∠ODB=900=∠OEC
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵O是BC的中点
∴OB=OC
∴△OBD≌△OCE
专题切线的判定与性质的综合运用(共30题)(基础题提升题压轴题)(原卷版)
（苏科版）九年级上册数学《第2章对称图形圆》专题切线的性质与判定的综合运用（共30题）（基础题＆提升题＆压轴题）1．（2022秋•斗门区期末）如图，AB为⊙O的直径，P在BA的延长线上，C为圆上一点，且∠ACP＝∠OBC．（1）求证：PC与⊙O相切；（2）若P A＝4，PC＝BC，求⊙O的半径．2．（2023•太平区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BD为直径的半圆交BC于点F，点E是边AC和半圆的公共点，且满足DE＝EF．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若∠A＝30°，AB＝9，求BF的长度．3．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，△ABC的外角平分线BD交⊙O于D，DE∥AC交CB的延长线于E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若∠A＝30°，BD＝3，求BC的长．4．（2023•东港区校级三模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点E，点D在AB 上，且以AD为直径的⊙O经过点E．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）当AD＝3BD，且BE＝4时，求⊙O的半径．5．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6．以BC为直径的⊙O交AC于D，E是AB的中点，连接ED并延长交BC的延长线于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）求DB的长．6．（2023•鲁山县一模）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D是AB延长线上的一点，AE⊥CD交DC的延长线于E，CF⊥AB于点F，且CE＝CF．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB＝8，BD＝4，求AE的长．7．（2022秋•嘉祥县校级期末）已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB＝AD，AE是⊙O的弦，∠AEC＝30°．（1）求证：直线AD是⊙O的切线；（2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为10，求AE的长．8．（2023•莱芜区模拟）如图，在△ADC中，AC＝CD，∠D＝30°，点B是AD上一点，∠ACB的角平分线CE交以AB为直径的⊙O于点E，过点B作BF⊥EC，垂足为F，⊙O恰好过点C．（1）求证：CD是⊙O切线；（2）若AC=4√3，求CF的长．9．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上的一点，点D为BĈ的中点，DE⊥AC于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AE＝8，DE＝4，求⊙O的半径．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为边AC上的点，以AD为直径作⊙O，连接BD并延长交⊙O 于点E，连接CE．（1）若CE＝BC，求证：CE是⊙O的切线．（2）在（1）的条件下，若CD＝2，BC＝4，求⊙O的半径．11．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CD，AD交⊙O于E点，BĈ=CÊ，F为⊙O上一点，AF∥CD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）AC＝5，AF＝6，求⊙O的半径．12．如图，已知，BE是⊙O的直径，BC切⊙O于B，弦DE∥OC，连接CD并延长交BE的延长线于点A．（1）证明：CD是⊙O的切线；（2）若AD＝2，AE＝1，求CD的长．13．（2023•鞍山二模）如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O，⊙O恰好经过点C，点D为半圆AB中点，连接CD，过D作DE∥AB交AC延长线于点E．（1）求证：DE为⊙O切线：（2）若AC＝4，CD=√2，求⊙O的半径长．14．（2023•新余一模）⊙O是△ABC的外接圆，OC∥AB，延长OC至D点．（1）如图1，若OC＝CD，且B为弧AC的中点，求证：BD是⊙O的切线；（2）如图2，若BD是⊙O的切线，且BD＝3，CD＝1，求圆的半径及弦AB的长．15．（2023•云梦县校级三模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，在AC上取一点D，以AD为直径作⊙O，与AB相交于点E，作线段BE的垂直平分线MN交BC于点N，连接EN．（1）求证：EN是⊙O的切线；（2）若AC＝3，BC＝4，⊙O的半径为1，求线段EN的长．16．（2023•榆阳区一模）如图，BP为⊙O的直径，点A为PB延长线上一点，点C是⊙O上一点，过点C 作CE⊥BO交BO于点D，交⊙O于点E，连接OE，CB，∠ACB＝∠ECB．（1）求证：AC为⊙O的切线；（2）若AB＝3，BD＝1，求CE的长度．17．（2023•乌鲁木齐一模）如图，AB是⊙O的直径，AD和CD分别切⊙O于A、E两点，BC与⊙O有公共点B，且EC＝BC．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若AB＝12，AD＝8，求BC的长．18．（2022秋•同心县期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，以点D为圆心、AD的长为半径的⊙D与AB相切于点A，与AC相交于点E．（1）求证：BC是⊙D的切线；（2）若AB＝5，BC＝13，求AC和AD的长．19．（2022秋•蔡甸区期末）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D为斜边BC的中点，以AD为直径作⊙O，分别与边AB、AC交于点E、F，过点E作EG⊥BC，垂足为G．（1）求证：EG是⊙O的切线；（2）已知⊙O的半径为6，若AF＝8，求BE的长．20．（2023•鱼峰区模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC边于点D、F．过点D作DE⊥CF于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O半径为5，且AF﹣DE＝2，求EF的长．21．（2023•漳平市一模）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CF⊥AF于点F，且CF＝CE．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若∠D＝30°，AB＝10，求CD的长．22．（2023•怀远县校级模拟）AB是△ABC的外接圆⊙O的直径，P是半径OB上一点，PE⊥AB交BC于F，交AC的延长线于E，D是EF的中点，连接CD；（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）连OD交BC于G，若G为OD的中点，AC＝6，求CE的长．23．（2023•桑植县模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C是劣弧BD中点，AC与BD相交于点E．连接BC，∠BCF＝∠BAC，CF与AB的延长线相交于点F．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）求证：∠ACD＝∠F；（3）若AB＝10，BC＝6，求AD的长．24．如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线AO与⊙O于点E和点D，OB与⊙O交于点F，连接DF，DC．已知OA＝OB，CA＝CB，DE＝10，DF＝6．（1）求证：①直线AB是⊙O的切线；②∠EDC＝∠FDC；（2）求CD的长．25．（2022秋•华容区期末）如图1，AB为⊙O直径，CB与⊙O相切于点B，D为⊙O上一点，连接AD、OC，若AD∥OC．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）如图2，过点A作AE⊥AB交CD延长线于点E，连接BD交OC于点F，若AB＝3AE＝12，求BF 的长．26．（2023•高青县二模）如图，△ABC内接于⊙O，BC为⊙O的直径，点A是弧MC的中点，CD交⊙O 于M，CD交AB于E，DB＝DE．（1）求证：DB是⊙O的切线；（2）求证：∠D＝2∠ACD；（3）若DB＝6，DC＝10，求ME的长．27．如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线AO与⊙O交于点E和点D，OB与⊙O交于点F连接DF、DC．已知OA＝OB，CA＝CB．（1）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）求证：∠FDC＝∠EDC；（3）已知：DE＝10，DF＝8，求CD的长．28．如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，AB与CD交于点E，点P是CD延长线上的一点，AP ＝AC，且∠B＝2∠P．（1）求证：P A是⊙O的切线；（2）若PD=√3，求⊙O的直径；（3）在（2）的条件下，若点B等分半圆CD，求DE的长．29．（2023•南海区校级模拟）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE ⊥PO交PO延长线于点E，连接OC，PB，已知PB＝6，DB＝8，∠EDB＝∠EPB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）求⊙O的半径．（3）连接BE，求BE的长．30．已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，作OF∥AB交BC于点F，连接EF．（1）求证：OF⊥CE（2）求证：EF是⊙O的切线；（3）若⊙O的半径为3，∠EAC＝60°，求AD的长．。
切线的判定和性质应用
●
●
A
1
P
2
从圆外一点引圆的两条切线，它们 的切线长相等，这一点和圆心的连线 平分两条切线的夹角。
O
B
∵ PA、PB分别切 o于点A、B ∴ PA=PB, 1=2.
A
定义：与三角形各边都相切的圆
内心：三条角平分线的交点
c
F
b
E
性质：三角形的内心到三角形 各边的距离相等
B
r
O
D
a
C
三角形内切圆的半径、边长和三角形的 面积的关系。 正确区分三角形的内心和外心。
经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
学 无 止 境
继 续 努 力
细 节 决 定 成 败 过 程 决 定 结 果
切线的判定和性质应用
直线与圆有唯一公共点 直线与圆相切
判 定
d=r
直线与圆相切
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
性质：
圆的切线垂直于经过切点的半径
平行、全等、分角和为90°等
●
已知切点时：作出过切点的半径，然后证明垂直。 如何证明垂直，方法并不唯一。 未知切点时：作出圆心到直线垂线，证明d=r. 注意性质和判定的综合应用。
外心
A已Βιβλιοθήκη ：点Ｏ是 ABC的外心 BOC ＝ 110则 A＝＿＿ ＿＿
O B C
已知：点Ｏ是 ABC的内心 BOC ＝ 110则 A＝＿＿ ＿＿
E
正 的内切 圆半径与 外切圆的 半径之 比是＿＿＿ 半径为 4cm的正六 边形的边 心距是＿＿ 面积是 ＿＿＿ F
Ｏ
G
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
2S 三角形的内切圆的半径 r= L
切线的判定与性质综合
1切线的判定与性质综合1、 如图，P 点是∠AOB 的平分线OC 上一点，PE ⊥OA 于E ，以P 为圆心，PE 为半径作⊙P .求证：⊙P 与OB 相切.例2、如图，△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，DE ⊥AC 于E ，求证：DE 是⊙O 的切线.1．下列说法错误的个数是（ ）① 圆的切线垂直于半径；②圆的切线垂直于过切点的半径；③过半径端点的垂线是圆的切线；④过直径外端的垂线是圆的切线．A ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．4个2．AB 是⊙O 的切线，在下列给出的条件中，能判定AB ⊥CD 的是（ ）A ．CD 经过AB 与⊙O 的公共点 Ｂ．CD 过圆心OＣ．CD 既过圆心O ，又过AB 与⊙O 的公共点 Ｄ．CD 必须是直径3．如图，直线AB 切⊙O 于点C ，OAC OBC ∠=∠，则下列结论错误的是（ ）A ．OC 是ABO △中AB 边上的高 B ．OC 所在直线是ABO △的对称轴 C ．OC 是AOB ∠的平分线D ．AC BC >4．如图，EB 为半圆O 的直径，点A 在EB 的延长线上，AD 切半圆O 于点D ，BC ⊥AD 于点C ，AB ＝2，半圆O 的半径为2，则BC 的长为（ ）A ．2B ．1C ．1.5D ．0.55．如图，已知AB 、AC 分别是⊙O 的直径和切线，BC 交⊙O 于D ，AB ＝8，AC ＝6，则AD ＝ ．6．如图，在平面直角坐标系中，点P 在第一象限， ⊙P 与x 轴相切于点Q ，与y 轴交于(02)M ，，(08)N ，两点，则点P 的坐标是 .7．如图，△ABC 中，∠ACB=90°，以AC 为直径的⊙O ，交AB 于D ，E 为BC 中点.求证：DE 是⊙O 切线.8．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，切点为B ，OC 平行于弦AD ，求证：DC 是⊙O 的切线．9．如图，在⊙O 中，直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，连接AC ，将△ACE 沿AC 翻折得到△ACF ，直线FC 与直线AB 相交于点G ．（1）直线FC 与⊙O 有何位置关系？并说明理由； （2）若2OB BG ==，求CD 的长．C第3题 第5题。
人教版九年级上册数学24章圆-切线的性质与判定的综合应用
人教版九年级上册数学24章圆-切线的性质与判定的综合应用一、解答题1．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 的直线与AB 延长线相交于点P ．若∠COB ＝2∠PCB ，求证：PC 是⊙O 的切线．2．如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的切线，切点为C ，BE CD ⊥，垂足为E ，连接,AC BC .（1）求证：BC 平分ABE ∠；（2）若60A ∠=︒，2OA =，求CE 的长.3．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是和⊙O 相切于点B 的切线，⊙O 的弦AD 平行于OC ．求证：DC 是⊙O 的切线.4．如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，点D 在AB 的延长线上，CD 是O 的切线．（1）证明：ACO BCD ∠=∠；（2）若O 的半径是5，12CD =，求BD 的长．5．如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上一点，点D 是弧BC 的中点，连接AC 、BD ，过点D 作AC 的垂线EF ，交AC 的延长线于点E ，交AB 的延长线于点F ． （1）判断直线EF 与圆O 的位置关系，并说明理由； （2）若AB ＝5，BD ＝3，求线段AE 的长．6．已知P 是O 外一点，PO 交O 于点C ，2OC CP ==，弦AB OC AOC ⊥∠，的度数为60°，连接PB ．()1求BC 的长；()2求证：PB 是O 的切线．7．如图，以AB为直径的⊙O交△ABC的边AC于D，且AB2＝AC•AD．求证：BC是⊙O的切线．8．如图，P A，PB分别与⊙O相切于点A，B，AC为弦，BC为⊙O的直径，若∠P＝60°，PB＝2cm．（1）求证：△P AB是等边三角形；（2）求AC的长．9．如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，且=AC BD，过点O作OE⊥AC于点E⊙O的切线AF交OE的延长线于点F，弦AC、BD的延长线交于点G.（1）求证：∠F＝∠B；（2）若AB＝12，BG＝10，求AF的长.10．如图，已知AB为O的直径，C为O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D.求证：AC平分DAB.11．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F．(1)求证：DF⊥AC；(2)若⊙O的半径为4，∠CDF=22.5°，请直接写出弧AE的长．12．如图，点C在以AB为直径的☉O上，BD平分∠ABC交☉O于点D，过D作BC 的垂线，垂足为E．（1）求证：DE与☉O相切；（2）请用线段AB、BE表示CE的长，并说明理由；（3）若AB=5，BE=4，求BD的长．13．在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝3，CA ＝4，点P 在∠ABC 平分线上，以点P 为圆心作⊙P ．（1）如图，当⊙P 经过点C 时，求证：⊙P 与直线AB 相切； （2）当⊙P 同时与直线BC 、AC 相切时，求⊙P 的半径．14．如图，在RtΔABC 中，∠ACB =90°，D 为AB 边上的一点，以AD 为直径的⊙O 交BC 于点E ，过点C 作CG ⊥AB ，垂足为G ，交AE 于点F ，过点E 作EP ⊥AB ，垂足为P ，∠EAD =∠DEB ．（1）求证：BC 是⊙O 的切线； （2）求证：CE =EP ；（3）若CG =12，AC =15，求四边形CFPE 的面积．15．如图，AB 是⊙O 的直径，点P 是⊙O 外一点，P A 切⊙O 于点A ，连接OP ，过点B 作BC //OP 交⊙O 于点C ，点E 是AB 的中点． （1）求证：PC 是⊙O 的切线； （2）若10,6AB BC ==，求CE 的长．16．如图，ABC 中，90,ACB BAC ∠=︒∠的平分线交BC 于点O ，以点O 为圆心，OC 长为半径作圆．（1）求证：AB 是O 的切线；（2）若30,4CAO OC ∠=︒=，求阴影部分面积．17．如图，四边形ABCD 为矩形，以AD 为直径作O ，过点C 作CF 与O 相切于点F ，连接AF 交BC 于点E ，连接OC ． （1）求证：四边形AOCE 为平行四边形； （2）若点F 为AE 的中点，2AD =，求DC 的长．18．如图，已知AB 是O 的直径，PA 与O 相切于点A ，点C 是O 上异于点A ，B 的一点，且PA PC =．（1）求证：PC 是O 的切线；（2）若30BAC ∠=︒，6AB =，求PA 的长．参考答案1． 【详解】 连接AC ，∵OA ＝OC ， ∴∠A ＝∠ACO ． ∴∠COB ＝2∠ACO ． 又∵∠COB ＝2∠PCB ， ∴∠ACO ＝∠PCB ． ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACO+∠OCB ＝90°．∴∠PCB+∠OCB ＝90°，即OC ⊥CP ． ∵OC 是⊙O 的半径， ∴PC 是⊙O 的切线． 2．（1）证明：∵CD 是O 的切线， ∴OC DE ⊥， 又∵BE DE ⊥， ∴OCBE ，∴OCB CBE ∠=∠， ∴OBC CBE ∠=∠， 即BC 平分ABE ∠；（2）解：∵AB 为O 的直径， ∴90ACB ∠=︒， ∵60A ∠=︒，∴OAC 是等边三角形，2AC OA ==. ∴24AB OA ==，∴BC ===∵1302OBC AOC ∠=∠=︒，且OBC CBE ∠=∠，∴30CBE ∠=︒.∴12CE BC ==3．证明：连接OD,∵BC 是和⊙O 相切于点B 的切线 ∴∠CBO=90°. ∵AD 平行于OC ，∴∠COD=∠ODA ，∠COB=∠A ； ∵∠ODA=∠A ，∴∠COD=∠COB ，OC=OC ，OD=OB ， ∴△OCD ≌△OCB ， ∴∠CDO=∠CBO=90°． ∴DC 是⊙O 的切线． 4． 证明：（1）AB 是圆О的直径，90ACB ∴∠=︒，即90ACO OCB ∠+∠=︒，又CD 是圆О的切线，90OCB BCD ∴∠+∠=︒，ACO BCD ∴∠=∠；（2）在Rt OCD △中，由勾股定理得222OC CD OD +=，512OC OD CD ===，∴13OD ∴1358BD OD OB =-=-=．BD ∴的长为8．5．解：（1）相切， 理由如下： 连接OD ，∵点D 是弧BC 的中点， ∴∠BOD ＝∠F AE ， ∴OD ∥AE ， ∵AE ⊥EF ， ∴OD ⊥EF ，∴直线EF 是⊙O 的切线，即直线EF 与⊙O 相切； （2）连接AD ，BD ，∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°，∵AB ＝5，BD ＝3， ∴AD ＝4，∵∠E ＝∠ADB ＝90°，∠BAD ＝∠DAE ， ∴△ABD ∽ADE ， ∴AE AD ＝ADAB， ∴AE ＝3.2. 6．()1解：如图，连接OB ．AB OC ⊥，60AOC ∠=︒，30OAB ∴∠=︒， OB OA =，30OBA OAB ∴∠=∠=︒， 60BOC ∴∠=︒，OB OC =，OBC ∴的等边三角形，BC OC ∴=．又2OC =， 2BC ∴=；()2证明：由()1知，OBC 的等边三角形，则60COB ∠=︒，BC OC =．OC CP =， BC PC ∴=， P CBP ∴∠=∠．又60OCB ∠=︒，2OCB P ∠=∠，30P∴∠=︒，90OBP∴∠=︒，即OB PB⊥．又OB是半径，PB∴是O的切线．7．证明：连接BD，∵AB是⊙O的直径∴∠ADB＝90°，∵AB2＝AC•AD，∴AB AC AD AB=，又∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，∴∠ABC＝∠ADB，∴∠ABC＝90°，∴BC⊥AB，∴BC是⊙O的切线．8．解：（1）∵P A，PB分别与⊙O相切于点A，B，∴P A＝PB，且∠P＝60°，∴△P AB是等边三角形；（2）∵△P AB是等边三角形；∴PB＝AB＝2cm，∠PBA＝60°，∵BC是直径，PB是⊙O切线，∴∠CAB＝90°，∠PBC＝90°，∴∠ABC＝30°，∴tan∠ABC＝ACAB∴AC＝2.9．（1）证明：∵AC BD=，∴AD BC=.∴∠GAB＝∠B，∵AF是⊙O的切线，∴AF⊥AO.∴∠GAB+∠GAF＝90°.∵OE⊥AC，∴∠F+∠GAF＝90°.∴∠F＝∠GAB，∴∠F＝∠B；（2）解：连接OG.∵∠GAB＝∠B，∴AG＝BG.∵OA＝OB＝6，∴OG⊥AB.∴8 OG==，∵∠F AO＝∠BOG＝90°，∠F＝∠B，∴△F AO∽△BOG，∴AF OB AO OG=.∴66982OB AOAFOG⋅⨯===.10．连接OC .∵CD 是O 的切线，∴OC CD ⊥.∵AD CD ⊥，∴OC AD ∥，∴12∠=∠.∵OC OA =，∴13∠=∠，∴23∠∠=.∴AC 平分DAB ∠.11．(1)证明：如图，连接OD ，∵OB=OD ，∴∠ABC=∠ODB ，∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB ，∴∠ODB=∠ACB ，∴OD ∥AC ，∵过点D 作⊙O 的切线DF ，交AC 于点F ，∴DF ⊥OD ，∴DF ⊥AC ．(2)解：如图，连接OE ，∵DF ⊥AC ，∠CDF=22.5°，∴∠ABC=∠ACB=67.5°，∴∠BAC=45°，∵OA=OE ，∴∠AOE=90°，∵⊙O 的半径为4，∴弧AE 的长为90π42π180⨯=．12．解：（1）连接OD ，∵OD =OB ，∴∠ODB =∠OBD ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠OBD =∠CBD ，∴∠ODB =∠CBD ，∴OD ∥BE ，∵BE ⊥DE ，∴OD ⊥DE ，∴DE 与⊙O 相切；（2）CE =AB -BE ，理由如下：过D 作DH ⊥AB 于H ，∵BD 平分∠ABC ，DE ⊥BE ，∴DH =DE ，在Rt △BED 与Rt △BHD 中，DE DHBD BD =⎧⎨=⎩，∴Rt △BED ≅Rt △BHD （HL ），∴BH =BE ，∵∠DCE=∠A，∠DGA=∠DEC=90°，∴△ADH≅△CDE（AAS），∴AH=CE，∵AB=AH+BH，∴AB=BE+CE，∴CE=AB-BE；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵BE⊥DE，∴∠ADB=∠BED=90°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBE，∴△ABD∽△DBE，∴AB BD BD BE=，∴54BD BD=，∴BD．13．证明：（1）如图，过点P作PD垂直AB，交AB于D点，∵AB ＝5，BC ＝3，CA ＝4，∴222222534AB AC BC ==+=+ ，∴∠ACB ＝90°，∴PC ⊥BC ，∵BP 平分∠ABC ，PC ⊥BC ，PD ⊥AB ，∴PC ＝PD ＝r ，∴⊙P 与直线AB 相切．（2）如图，当⊙P 同时与直线BC 、AC 相切时，点P 在∠ACB 或∠ACM 的角平分线上存在两种情况：①当圆心在△ABC 内部，即⊙P 1分别与直线BC 、AC 相切时，∴P 1G ＝P 1F ＝P 1E ＝r ，P 1G ⊥BC ，P 1E ⊥AB ，P 1F ⊥AC ，∴111ABC ABP ACP BCP S S S S ∆∆∆∆=++＝111111222AB PE AC PF BC PG ⋅+⋅+⋅＝12ABC C r ∆⋅，∴1234221345ABC ABC S r C ∆∆⨯⨯⨯===++，②当圆心在△ABC 外部，⊙P 2分别与直线BC 、AC 相切时， ∴P 2M ＝P 2N ＝P 2Q ＝R ，P 2M ⊥BC ，P 2Q ⊥AB ，P 2N ⊥AC ， ∴S △ABC ＝222222111222ABP BCP ACP S S S AB PQ BC P M AC P N ∆∆∆+-=⋅+⋅-⋅1()2AB BC AC R =+-⋅， ∴1234223534ABC S R AB BC AC ∆⨯⨯⨯===+-+-，综上，⊙P 的半径为1或3．14．证明：（1）连接OE ，∵OE =OD ，∴∠OED =∠ADE ，∵AD 是直径，∴∠AED =90°，∴∠EAD +∠ADE =90°，又∵∠DEB =∠EAD ，∴∠DEB +∠OED =90°，∴∠BEO =90°，∴OE ⊥BC ，∴BC 是⊙O 的切线；（2）∵∠BEO =∠ACB =90°，∴AC∥OE，∴∠CAE=∠OEA，∵OA=OE，∴∠EAO=∠AEO，∴∠CAE=∠EAO，∴AE为∠CAB的角平分线，又∵EP⊥AB，∠ACB=90°，∴CE=EP；（3）连接PF，∵CG=12，AC=15，∴AG，∵∠CAE=∠EAP，∴∠AEC=∠AFG=∠CFE，∴CF=CE，∵CE=EP，∴CF=PE，∵CG⊥AB，EP⊥AB，∴CF∥EP，∴四边形CFPE是平行四边形，又∵CF=PF，∴四边形CFPE是菱形，∴CF=EP=CE=PF，∵∠CAE=∠EAP，∠EP A=∠ACE=90°，CE=EP，∴△ACE≌△APE（AAS），∴AP=AC=15，∴PG=AP-AG=15-9=6，∵PF2=FG2+GP2，∴CF2=（12-CF）2+36，∴CF=152，∴四边形CFPE的面积=CF×GP=152×6=45．15．（1）证明：如图，连接OC ，∵P A切⊙O于A∴PAO90∠=∵OP∥BC∴∠AOP=∠OBC，∠COP=∠OCB∵OC=OB∴∠OBC=∠OCB∴∠AOP=∠COP又∵OA=OC，OP=OP∴△P AO≌△PCO∴∠P AO=∠PCO=90 º又∵OC是⊙O的半径∴PC是⊙O的切线（2）解：连接AE，BE，AC过点B作BM⊥CE于点M∴∠CMB =∠EMB =∠AEB =90ºAB 是直径，∴90ACB ∠=︒，10,6AB BC ==8AC ∴，84cos 105AC CAB AB ∴∠=== 又∵点E 是AB 的中点∴∠ECB =∠CBM =∠ABE =45º，∴BE =AB ⨯cos45︒=cos 456CM BC =⨯︒==CB CB = CAB CEB ∴∠=∠4cos cos 5CEB CAB ∴∠=∠=∴EM =cos BE CEB ⨯∠45==∴CE =CM +EM =∴CE 的长为16．解：（1）证明：过O 作⊥OD AB 于D ，如图所示，90,ACB ∠=︒OC AC ∴⊥， OA 平分,BAC ∠OD OC ∴=， OC 为O 的半径，OD ∴为O 的半径，AB ∴是O 的切线．（2）∵OD ⊥AB ，∴∠ODB =90°，∵∠CAO =30°，∠ACB =90°，∴AC∵∠AOC =90°-30°=60°，∴∠COD =2∠AOC =120°，由（1）得：AB 是⊙O 的切线，OC ⊥AC ，∴AC 为⊙O 的切线，∴AD =AC∴阴影部分面积=△AOC 的面积+△AOD 的面积-扇形OCD 的面积21112044422360π⨯=⨯+⨯- 163π=． 17．（1）如图，连接DF 、OF ，DF 交于G ，∵AD 为O 直径，∴∠AFD =90°，∵CF与O相切于点F，∴∠OFC=90°，∵四边形ABCD为矩形，∴∠ADC=∠DAB=90°，OA//CE，∴DC是O切线，∴DC=CF，∵OD=OF，∴OC是线段DF的垂直平分线，∴∠OGD=90°，∴OC//AE，∴四边形AOCE是平行四边形．（2）如图，连接OE、OF，∵AD=2，OA=OD，∴OF=OA=1，∵四边形AOCE是平行四边形，∴OA=CE，∵AD=BC，∴OA=BE，∵OA//BE，∴四边形AOEB是平行四边形，∵∠DAB=90°，∴四边形AOEB是矩形，∴∠AOE=90°，OE=AB=DC，∵F为AE中点，∴AE =2OF =2，∴DC =OE18．解：（1）连接OC ．∵PA 是O 的切线，AB 是O 的直径，∴PA AB ⊥（圆的切线垂直于过切点的半径）∴90PAB ∠=︒，∴90PAC CAB ∠+∠=︒，∵PA PC =，∴PAC PCA ∠=∠（等边对等角）∵OA OC =，∴CAB ACO ∠=∠，∴90PCA ACO ∠+∠=︒，即90PCO ∠=︒，∴PC OC ⊥，又∵OC 是O 的半径，∴PC 是O 的切线（经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）． （2）连接BC ．∵90PAB ∠=︒，30BAC ∠=︒，∴60PAC ∠=︒，又∵PA PC =，∴PAC △是等边三角形（有一个角是60︒的等腰三角形是等边三角形） ∴PA AC =，∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒（直径所对的圆周角是直角）在Rt ACB 中，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，6AB =，∴3BC =，∴AC∴PA AC ==答：PA 的长是。
中考专题复习之切线的判定与性质
中考专题复习之切线的判定与性质知识考点：1、掌握切线的判定及其性质的综合运用，在涉及切线问题时，常连结过切点的半径，切线的判定常用以下两种方法：一是连半径证垂直，二是作垂线证半径。
2、掌握切线长定理的灵活运用，掌握三角形和多边形的内切圆，三角形的内心。
精典例题：【例1】如图，AC 为⊙O 的直径，B 是⊙O 外一点，AB 交⊙O 于E 点，过E 点作⊙O 的切线，交BC 于D 点，DE ＝DC ，作EF ⊥AC 于F 点，交AD 于M 点。
（1）求证：BC 是⊙O 的切线； （2）EM ＝FM 。
分析：（1）由于AC 为直径，可考虑连结EC ，构造直角三角形来解题，要证BC 是⊙O 的切线，证到∠1＋∠3＝900即可；（2）可证到EF ∥BC ，考虑用比例线段证线段相等。
证明：（1）连结EC ，∵DE ＝CD ，∴∠1＝∠2 ∵DE 切⊙O 于E ，∴∠2＝∠BAC ∵AC 为直径，∴∠BAC ＋∠3＝900∴∠1＋∠3＝900，故BC 是⊙O 的切线。
（2）∵∠1＋∠3＝900，∴BC ⊥AC 又∵EF ⊥AC ，∴EF ∥BC∴CDMFAD AM BD EM == ∵BD ＝CD ，∴EM ＝FM【例2】如图，△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC 的中点，以O 为圆心的圆与AB 相切于点D 。
求证：AC 是⊙O 的切线。
分析：由于⊙O 与AC 有无公共点未知，因此我们从圆心O 向AC 作垂线段OE ，证OE 就是⊙O 的半径即可。
证明：连结OD 、OA ，作OE ⊥AC 于E∵AB ＝AC ，OB ＝OC ，∴AO 是∠BAC 的平分线 ∵AB 是⊙O 的切线，∴OD ⊥AB 又∵OE ⊥AC ，∴OE ＝OD∴AC 是⊙O 的切线。
【例3】如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC 为⊙O 的切线，切点为B ，OC 平行于弦AD ，OA ＝r 。
（1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）求OC AD ⋅的值；（3）若AD ＋OC ＝r 29，求CD 的长。
第24章 圆 阶段强化专训 五：切线判定和性质的四种应用类型
阶段强化专训五：切线判定和性质的四种应用类型名师点金：的切线判定和性质的应用较广泛，一般先利用圆的切线的判定方法判定切线，再利用切线的性质进行线段和角的计算或论证，在计算或论证中常通过作辅助线解决有关问题．应用于求线段的长1．如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD.(1)判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理由；(2)过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC＝2，⊙O的半径是3，求BE的长．(第1题)应用于求角的度数2．(中考·珠海)如图，⊙O经过菱形ABCD的三个顶点A、C、D，且与AB相切于点A.(1)求证：BC为⊙O的切线；(2)求∠B的度数．(第2题)应用于求圆的半径3．如图所示，四边形ABCD为菱形，△ABD 的外接圆⊙O与CD相切于点D，交AC于点E.(1)判断⊙O与BC的位置关系，并说明理由；(2)若CE＝2，求⊙O的半径r.(第3题)应用于探究数量和位置关系4．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于点D，过点A作⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P，连接PC，BC.(1)猜想：线段OD与BC有何数量关系和位置关系，并证明你的结论；(2)求证：PC是⊙O的切线．(第4题)答案阶段强化专训五1．解：(1)直线CD与⊙O相切．理由如下：连接OD，如图，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，即∠ADO＋∠1＝90°，又∵∠CDA＝∠CBD，而∠CBD＝∠1，∴∠1＝∠CDA，∴∠CDA＋∠ADO＝90°，即∠CDO＝90°，∴OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线；(2)∵AC＝2，⊙O的半径是3，∴OC＝2＋3＝5，OD＝3，在Rt△CDO中，由勾股定理得CD＝4，∵CE切⊙O于D，EB切⊙O于B，∴DE＝EB，∠CBE＝90°，设DE＝EB＝x，在Rt△CBE中，由勾股定理得：CE2＝BE2＋BC2，则(4＋x)2＝x2＋(5＋3)2，解得：x＝6，即BE＝6.(第1题)(第2题)2．(1)证明：连接OA、OB、OC，如图，∵AB与⊙O切于A点，∴OA⊥AB，即∠OAB＝90°，∵四边形ABCD为菱形，∴BA＝BC，又∵OA＝OC，OB＝OB，∴△ABO≌△CBO(SSS)，∴∠BCO＝∠BAO＝90°，∴OC⊥BC，∴BC为⊙O的切线；(2)解：连接BD，∵△ABO≌△CBO，∴∠ABO＝∠CBO，∵四边形ABCD为菱形，∴BD平分∠ABC，∴点O在BD上，∵∠BOC＝∠ODC＋∠OCD，而OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠BOC＝2∠ODC，而CB＝CD，∴∠OBC＝∠ODC，∴∠BOC＝2∠OBC，∵∠BOC＋∠OBC＝90°，∴∠OBC＝30°，∴∠ABC＝2∠OBC＝60°.3．解：(1)⊙O与BC相切，理由如下：如图所示，连接OD，OB，∵⊙O与CD相切于点D，∴OD⊥CD，∴∠ODC＝90°.∵四边形ABCD为菱形，∴AC垂直平分BD，AB ＝AD＝CD＝CB.∴△ABD的外接圆⊙O的圆心O在AC上，∵OD＝OB，OC＝OC，CB＝CD，∴△OBC≌△ODC.∴∠OBC＝∠ODC＝90°，又∵OB为⊙O的半径，∴⊙O 与BC相切．(2)∵AD＝CD，∴∠ACD＝∠CAD.∵AO＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.∵∠COD＝∠OAD＋∠ADO，∴∠COD＝2∠CAD，∴∠COD＝2∠ACD.又∵∠COD＋∠ACD＝90°，∴∠ACD ＝30°.∴OD＝12OC，即r＝12(r＋2)，∴r＝2.(第3题)(第4题)4．(1)解：猜想：OD ∥BC ，OD ＝12BC. 证明：∵OD ⊥AC ，∴AD ＝DC. ∵AB 是⊙O 的直径，∴OA ＝OB. ∴OD 是△ABC 的中位线，∴OD ∥BC ，OD ＝12BC.(2)证明：如图，连接OC ，设OP 与⊙O 交于点E.∵OD ⊥AC ，OD 经过圆心O ， ∴AE ︵＝CE ︵，即∠AOE ＝∠COE.在△OAP 和△OCP 中，∵OA ＝OC ，∠AOP ＝∠COP ，OP ＝OP ， ∴△OAP ≌△OCP ，∴∠OCP ＝∠OAP. ∵PA 是⊙O 的切线，∴∠OAP ＝90°， ∴∠OCP ＝90°，即OC ⊥PC. 又∵OC 是⊙O 的半径，∴PC 是⊙的切线。
2021年人教版数学九年级上册《切线的性质与判定》证明题专项练习(含答案)
人教版数学九年级上册《切线的性质与判定》证明题专项练习1.如图所示，⊙O的半径为4，点A是⊙O上一点，直线l过点A；P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l于点B，交⊙O于点E，直径PD延长线交直线l于点F，点A是弧DE的中点.（1）求证：直线l是⊙O的切线；（2）若PA=6，求PB的长2.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若CF=2，CE=4，求⊙O的半径.3.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，求证：AC与⊙D相切．4.如图，Rt△ADB中，∠ADB=90°，∠DAB=30°，⊙O为△ADB的外接圆，DH⊥AB于点H，现将△AHD沿AD翻折得到△AED，AE交⊙O于点C，连接OC交AD于点G．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB=10，求线段OG的长．5.如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是⊙O外一点且∠DBC=∠A，连接OE延长与圆相交于点F，与BC相交于点C．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为6，BC=8，求弦BD的长．6.如图，BE是O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C．（1）若∠ADE=25°，求∠C的度数；（2）若AC=4，CE=2，求⊙O半径的长．7.已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C.（1）如图①，若∠P=35°，求∠ABP的度数；（2）如图②，若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线.8.如图（1），在△ABC中，∠ACB=90°，以AB为直径作⊙O；过点C作直线CD交AB的延长线于点D，且BD=OB，CD=CA.（1）求证：CD是⊙O的切线.（2）如图（2），过点C作CE⊥AB于点E，若⊙O的半径为8，∠A=30°，求线段BE.9.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，点D在AB的延长线上，且∠BCD=∠A.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为3，CD=4，求BD的长.10.如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若CF=2，DF=4，求⊙O的直径的长.11.如图，在▱OABC中，以O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点B，与OC相交于点D．(1)求的度数．(2)如图，点E在⊙O上，连结CE与⊙O交于点F，若EF=AB，求∠OCE的度数．12.如图，AB是半圆O上的直径，E是的中点，OE交弦BC于点D，过点C作⊙O的切线交OE 的延长线于点F，已知BC=8，DE=2.(1)求⊙O的半径；(2)求CF的长.13.如图，在⊙O中，点C是直径AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线，切点为D，连结BD．（1）求证：∠A=∠BDC；（2）若CM平分∠ACD，且分别交AD、BD于点M、N，当DM=1时，求MN的长．14.如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O 的切线，切点为F，FH∥BC，连结AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF．（1）证明：AF平分∠BAC；（2）证明：BF=FD；（3）若EF=4，DE=3，求AD的长．15.已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．（Ⅰ）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小；（Ⅱ）如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小．16.如图,已知直线PA交⊙0于A、B两点,AE是⊙0的直径.点C为⊙0上一点,且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA,垂足为D.(1)求证：CD为⊙0的切线；(2)若DC+DA=6,⊙0的直径为l0,求AB的长度.17.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆.（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD=HF；（3）已知：CD=1，EH=3，求AF的长.18.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BE交AC于点E，过点E作直线BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆.（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）过点E作EH⊥AB于点H，求证：EF平分∠AEH；（3）求证：CD=HF.参考答案1.（1）证明：连接DE，OA.∵PD是直径，∴∠DEP=90°，∵PB⊥FB，∴∠DEP=∠FBP，∴DE∥BF，∵，∴OA⊥DE，∴OA⊥BF，∴直线l是⊙O的切线.（2）作OH⊥PA于H.∵OA=OP，OH⊥PA，∴AH=PH=3，∵OA∥PB，∴∠OAH=∠APB，∵∠AHO=∠ABP=90°，∴△AOH∽△PAB，2.（1）证明：连接OE.∵OE=OB，∴∠OBE=∠OEB，∵BE平分∠ABC，∴∠OBE=∠EBC，∴∠EBC=∠OEB，∴OE∥BC，∴∠OEA=∠C，∵∠ACB=90°，∴∠OEA=90°，∴AC是⊙O的切线；（2）解：设⊙O的半径为r.过点O作OH⊥BF交BF于H，由题意可知四边形OECH为矩形，∴OH=CE=4，CH=OE=r，∴BH=FH=CH－CF=r－2，在Rt△BHO中，∵OH2+BH2=OB2，∴42+（r－2）2=r2，解得r=5.∴⊙O的半径为5.3.解：过D作DH⊥AC于H，由角平分线的性质可证DB=DH，∴AC与⊙D相切4.解：（1）连接OD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，由翻折得：∠OAD=∠EAD，∠E=∠AHD=90°，∴∠ODA=∠EAD，∴OD∥AE，∴∠E+∠ODE=180°，∴∠ODE=90°，∴DE与⊙O相切；（2）∵将△AHD沿AD翻折得到△AED，∴∠OAD=∠EAD=30°，∴∠OAC=60°，∵OA=OD，∴△OAC是等边三角形，∴∠AOG=60°，∵∠OAD=30°，∴∠AGO=90°，∴OG=2.5．5.（1）证明：连接OB，如图所示：∵E是弦BD的中点，∴BE=DE，OE⊥BD，=，∴∠BOE=∠A，∠OBE+∠BOE=90°，∵∠DBC=∠A，∴∠BOE=∠DBC，∴∠OBE+∠DBC=90°，∴∠OBC=90°，即BC⊥OB，∴BC是⊙O的切线；（2）解：∵OB=6，BC=8，BC⊥OB，∴OC==10，∵△OBC的面积=OC•BE=OB•BC，∴BE===4.8，∴BD=2BE=9.6，即弦BD的长为9.6．6.解：（1）连接OA，∵∠ADE=25°，∴由圆周角定理得：∠AOC=2∠ADE=50°，∵AC切⊙O于A，∴∠OAC=90°，∴∠C=180°﹣∠AOC﹣∠OAC=180°﹣50°﹣90°=40°；（2）设OA=OE=r，在Rt△OAC中，由勾股定理得：OA2+AC2=OC2，即r2+42=（r+2）2，解得：r=3，答：⊙O半径的长是3．7.（1）解：∵AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，∴AB⊥AP，∴∠BAP=90°；又∵∠P=35°，∴∠AB=90°﹣35°=55°.（2）证明：如图，连接OC，OD、AC.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），∴∠ACP=90°；又∵D为AP的中点，∴AD=CD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）；在△OAD和△OCD中，，∴△OAD≌△OCD（SSS），∴∠OAD=∠OCD（全等三角形的对应角相等）；又∵AP是⊙O的切线，A是切点，∴AB⊥AP，∴∠OAD=90°，∴∠OCD=90°，即直线CD是⊙O的切线.8.（1）证明：如图1，连结OC，∴OC=OA=OB.∴点C 在⊙O 上，∵BD=OB ，∴AB=DO ，∵CD=CA ，∴∠A=∠D ，∴△ACB ≌△DCO ，∴∠DCO=∠ACB=90°，∴CD 是⊙O 的切线；（2）解：如图2，在Rt △ABC 中，BC=ABsin ∠A=2×8×sin30°=8，∵∠ABC=90°﹣∠A=90°﹣30°=60°，∴BE=BCcos60°=8×=4.9.解：(1)证明：如图，连接OC.∵AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，∴∠ACB=90°，即∠ACO ＋∠OCB=90°.∵OA=OC ，∠BCD=∠A ，∴∠ACO=∠A=∠BCD ，∴∠BCD ＋∠OCB=90°，即∠OCD=90°，∴OC ⊥CD.又∵OC 是⊙O 的半径，∴CD 是⊙O 的切线.(2)由(1)及已知得∠OCD=90°，OB=OC=3，CD=4，在Rt △OCD 中，根据勾股定理得OD=5，∴BD=OD －OB=5－3=2.10.解：(1)证明：如图，连接OD ，CD.∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ADC=90°，∴∠BDC=90°.又∵E 为BC 的中点，∴DE=12BC=CE ，∴∠EDC=∠ECD.∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，∴∠EDC＋∠ODC=∠ECD＋∠OCD=∠ACB=90°，∴∠ODE=90°，即OD⊥DE.又∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线.(2)设⊙O的半径为x.在Rt△ODF中，根据勾股定理，得OD2＋DF2=OF2，即x2＋42=(x＋2)2，解得x=3.∴⊙O的直径的长为6.11.解：(1)连接OB，∵BC是圆的切线，∴OB⊥BC，∵四边形OABC是平行四边形，∴OA∥BC，∴OB⊥OA，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠ABO=45°，∴的度数为45°；(2)连接OE，过点O作OH⊥EC于点H，设EH=t，∵OH⊥EC，∴EF=2HE=2t，∵四边形OABC是平行四边形，∴AB=CO=EF=2t，∵△AOB是等腰直角三角形，∴OA=t，则HO===t，∵OC=2OH，∴∠OCE=30°．12.解：(1)设⊙O的半径为x，∵E点是的中点，O点是圆心，∴OD⊥BC，DC==4，在Rt△ODC中，OD=x﹣2，∴OD2+DC2=OC2∴(x﹣2)2+42=x2∴x=5，即⊙O的半径为5；(2)∵FC是⊙O的切线，∴OC⊥CF又∵E是的中点.∴OD⊥BC，∴OC2=OD•OF，即52=3•OF,∴在Rt△OCF中，OC2+CF2=OF2∴13.解：（1）如图，连接OD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即∠A+∠ABD=90°，又∵CD与⊙O相切于点D，∴∠CDB+∠ODB=90°，∵OD=OB，∴∠ABD=∠ODB，∴∠A=∠BDC；（2）∵CM平分∠ACD，∴∠DCM=∠ACM，又∵∠A=∠BDC，∴∠A+∠ACM=∠BDC+∠DCM，即∠DMN=∠DNM，∵∠ADB=90°，DM=1，∴DN=DM=1，∴MN=．14.解：15.解：（Ⅰ）如图①，连接OC，∵直线l与⊙O相切于点C，∴OC⊥l，∵AD⊥l，∴OC∥AD，∴∠OCA=∠DAC，∵OA=OC，∴∠BAC=∠OCA，∴∠BAC=∠DAC=30°；（Ⅱ）如图②，连接BF，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB=90°，∴∠BAF=90°﹣∠B，∴∠AEF=∠ADE+∠DAE=90°+18°=108°，在⊙O中，四边形ABFE是圆的内接四边形，∴∠AEF+∠B=180°，∴∠B=180°﹣108°=72°，∴∠BAF=90°﹣∠B=90°﹣72°=18°．16. (1)证明：连接OC,∵点C在⊙0上，0A=OC,∴∠OCA=∠OAC，∵CD⊥PA，∴∠CDA=90°，有∠CAD+∠DCA=90°，∵AC平分∠PAE，∴∠DAC=∠CAO。
切线的判定和性质专题训练
） ．
Ｂ． Ｃ＝ Ａ ＡＢ
Ｃ． ＡＣ＜ ＡＢ
Ｄ． ＡＣ＝ ＢＣ
巩 固提高（０分钟） ３
１ 如 图 ，已知 ．
＝
是 ＱＯ 的切线 ，切 点 为 ，
３ Ａ Ｏ ３ 。那 么 Ｏ ＝ ， Ｐ ＝０， Ｐ
日 Ｐ
』 ４
Ａ
Ａ
Ｐ
（ ３题 ） 第
（ ４题 ） 第
（ １题 ） 第
（ ２题 ） 第
４如图， ． 在半 径 分别 为 ５ｃ 和 ３ｃ 的两个 同 ｍ ｍ 心 圆 中 ，大 圆 的弦 Ａ Ｂ与小 圆相 切于点 Ｃ ．
则 弦 ＡＢ 的 长 为 Ｃ． ｍ
２如图， 。
是 ｏ 的 切 线 ， 点 为 Ａ，Ａ＝ ０ 切 Ｐ
２ ／ ， 、 了 ＬＡＰ ３ 。 Ｏ＝ ０ ，则 ＱＯ 的 半 径 长 为
ＡＢ 的 ｝为 （ ∈ ） ．
点 Ａ 出发 ，以 ｃ ／ ｍ ｓ的速度 在 ｏＤ上按
逆 时针 方 向运 动一 周 回到点 立 即停 止． 当点 Ｐ运 动 的 时 间 为
与ｏ０相切．
Ｓ时 ． Ｐ Ｂ
Ａ ５ ／ ｃ１ ． 、 一 ｎ
Ｂ． ｍ ５ｃ
Ｃ １＼了 ｃ ．０ ／ ｍ
Ｅ ／Ａ ， Ｅ Ｆ／ Ｂ 则 Ｆ的长度为（
） ．
美好 的生 活是 一 种 由爱 所 激 励 、 由知 识 所 指 导 的生 活 。— — 伯 特 兰 ・ 素 罗
・
； 釜・ 切线的 判定和牲质专题 训练
Ｂ． 、 ２ ／３
Ｄ． ／２ ２＼ Ｃ． ｒ ｍ ３２ ｒ ｃ Ｄ．１ ｒａ ６ｒ ｍ
Ｃ ＝ ．
Ａ．１ ５。
Ｂ． Ｏ。 ２
切线的判定和性质
切线的判定和性质以下是关于切线的判定和性质，希望内容对您有帮助，感谢您得阅读。
切线的判定和性质（一）教学目标：1、使学生深刻理解切线的判定定理，并能初步运用它解决有关问题；2、通过判定定理和切线判定方法的学习，培养学生观察、分析、归纳问题的能力；3、通过学生自己实践发现定理，培养学生学习的主动性和积极性．教学重点：切线的判定定理和切线判定的方法；教学难点：切线判定定理中所阐述的由位置来判定直线是圆的切线的两大要素：一是经过半径外端；二是直线垂直于这条半径；学生开始时掌握不好并极容易忽视．教学过程设计（一）复习、发现问题1．直线与圆的三种位置关系在图中，图(1)、图(2)、图(3)中的直线l和⊙O是什么·关系?２、观察、提出问题、分析发现（教师引导）图(2)中直线l是⊙O的切线，怎样判定？根据切线的定义可以判定一条直线是不是圆的切线，但有时使用定义判定很不方便．我们从另一个侧面去观察，那就是直线和圆的位置怎样时，直线也是圆的切线呢?如图，直线l到圆心O的距离OA等于圆O的半径，直线l是⊙O的切线．这时我们来观察直线l与⊙O的位置．发现：(1)直线l经过半径OC的外端点C；(2)直线l垂直于半径0C．这样我们就得到了从位置上来判定直线是圆的切线的方法——切线的判定定理．（二）切线的判定定理：1、切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．2、对定理的理解：引导学生理解：①经过半径外端；②垂直于这条半径．请学生思考：定理中的两个条件缺少一个行不行?定理中的两个条件缺一不可．·图(1)中直线了l经过半径外端，但不与半径垂直；图(2)（3）中直线l与半径垂直，但不经过半径外端．从以上两个反例可以看出，只满足其中一个条件的直线不是圆的切线．（三）切线的判定方法教师组织学生归纳．切线的判定方法有三种：①直线与圆有唯一公共点；②直线到圆心的距离等于该圆的半径；③切线的判定定理．（四）应用定理，强化训练'例1已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA＝CB．求证：直线AB是⊙O的切线．分析：欲证AB是⊙O的切线．由于AB过圆上点C，若连结OC，则AB过半径OC的外端，只需证明OC⊥OB。
专题训练 切线的判定和性质的综合应用-精选学习文档
专题训练切线的判定和性质的综合应用►应用一连半径证垂直1．如图5－ZT－1，已知AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，过点E的直线EF与AB 的延长线交于点F，AC⊥EF，垂足为C，AE平分∠F AC.求证：CF是⊙O的切线．图5－ZT－12．如图5－ZT－2，点D在⊙O上，C是⊙O的直径AB延长线上的一点，连接AD，BD，CD，且有BO＝BD＝BC.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若半径OB＝2，求AD的长．图5－ZT－23．2019·资阳如图5－ZT－3，AB是半圆的直径，AC为弦，过点C作直线DE交AB 的延长线于点E.若∠ACD＝60°，∠E＝30°.(1)求证：直线DE与半圆相切；(2)若BE＝3，求CE的长．图5－ZT－34．如图5－ZT－4，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于点D，过点A作⊙O的切线AP，AP与OD的延长线相交于点P，连接PC，BC.(1)猜想：线段OD与BC有何数量关系和位置关系，并证明你的结论；(2)求证：PC是⊙O的切线．图5－ZT－45．如图5－ZT－5，△ABC内接于⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF.(1)判断AF与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若AC＝24，AF＝15，求⊙O的半径．图5－ZT－5►应用二作垂直证半径6．如图5－ZT－6所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ACB的平分线交AB于点O，以点O为圆心的⊙O与AC相切于点D.(1)求证：BC与⊙O相切；(2)当AC＝3，BC＝6时，求⊙O的半径．图5－ZT－6►应用三切线性质的应用7．如图5－ZT－7，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于点T，AC⊥PQ于点C，交⊙O于点D.(1)求证：AT平分∠BAC；(2)若AD＝2，TC＝3，求⊙O的半径．图5－ZT－7︵8．如图5－ZT－8，AB是⊙O的切线，B为切点，圆心在AC上，∠A＝30°，D为BC的中点．(1)求证：AB＝BC；(2)求证：四边形BOCD是菱形．图5－ZT－8教师详解详析1．证明：连接OE，∵AE平分∠FAC，∴∠CAE＝∠OAE.又∵OA＝OE，∴∠OEA＝∠OAE，∴∠CAE＝∠OEA，∴OE∥AC，∴∠OEF＝∠ACF.又∵AC⊥EF，∴∠OEF＝∠ACF＝90°，∴OE⊥CF.又∵点E 在⊙O 上，∴CF 是⊙O 的切线．2．解：(1)证明：如图，连接OD.∵BO ＝BD ＝BC ，∴∠C ＝∠CDB ，∠BDO ＝∠BOD.又∵∠C ＋∠CDB ＋∠BDO ＋∠BOD ＝180°，∴∠CDB ＋∠BDO ＝90°，即∠CDO ＝90°.又∵点D 在⊙O 上，∴CD 是⊙O 的切线．(2)∵OB ＝2，∴BD ＝2，AB ＝4.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴AD ＝AB 2－BD 2＝2 3.3．解：(1)证明：连接OC ，∵∠ACD ＝60°，∠E ＝30°，∴∠A ＝30°. 又∵OA ＝OC ，∴∠OCA ＝∠A ＝30°，∴∠OCD ＝∠OCA ＋∠ACD ＝90°，即OC ⊥DE.又∵OC 是半圆的半径，∴直线DE 与半圆相切．(2)在Rt △OCE 中，∵∠E ＝30°，∴OE ＝2OC.又∵OC ＝OB ，∴OC ＝BE ＝3，∴OE ＝6，∴CE ＝OE 2－OC 2＝62－32＝3 3.4．解：(1)OD ∥BC ，OD ＝12BC.证明：∵OD ⊥AC ，∴AD ＝DC.∵AB 是⊙O 的直径，∴OA ＝OB ，∴OD 是△ABC 的中位线，∴OD ∥BC ，OD ＝12BC.(2)证明：连接OC ，设OP 与⊙O 交于点E.∵OE ⊥AC ，OE 经过圆心O ，∴AE ︵＝CE ︵，∴∠AOE ＝∠COE ，即∠AOP ＝∠COP.在△OAP 和△OCP 中，∵OA ＝OC ，∠AOP ＝∠COP ，OP ＝OP ，∴△OAP ≌△OCP ，∴∠OAP ＝∠OCP.∵PA 是⊙O 的切线，∴∠OAP ＝90°，∴∠OCP ＝90°，即OC ⊥PC.又∵OC 是⊙O 的半径，∴PC 是⊙O 的切线．5．解：(1)AF 与⊙O 相切．理由：如图，连接OC.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠BCA ＝90°.∵OF ∥BC ，∴∠AEO ＝∠BCA ＝90°，即OF ⊥AC.∵OA ＝OC ，∴∠COF ＝∠AOF.又∵OC ＝OA ，OF ＝OF ，∴△OCF ≌△OAF ，∴∠OCF ＝∠OAF.∵PC 与⊙O 相切，∴∠OCF ＝90°，∴∠OAF ＝90°，即FA ⊥OA.又∵OA 是⊙O 的半径，∴AF 与⊙O 相切．(2)∵OF ⊥AC ，∴AE ＝12AC.∵AC＝24，∴AE＝12.∵FA⊥OA，∴OF＝AF2＋OA2.∵FA⊥OA，OF⊥AC，∴AF·OA＝OF·AE，即15·OA＝12·152＋OA2，解得OA＝20.即⊙O的半径为20.6．解：(1)证明：如图，过点O作OF⊥BC，垂足为F，连接OD. ∵AC是⊙O的切线，∴OD⊥AC.又∵CO为∠ACB的平分线，∴OF＝OD，即OF是⊙O的半径，∴BC与⊙O相切．(2)S△ABC＝S△AOC＋S△BOC，即12AC·BC＝12AC·OD＋12BC·OF.设⊙O的半径为r，则OF＝OD＝r，∴12×3×6＝12×3r＋12×6r，解得r＝2，即⊙O的半径为2. 7．解：(1)证明：连接OT.∵PQ切⊙O于点T，∴OT⊥PQ.又∵AC⊥PQ，∴OT∥AC，∴∠TAC＝∠A TO.又∵OT ＝OA ，∴∠ATO ＝∠OAT ，∴∠OAT ＝∠TAC ，即AT 平分∠BAC.(2)过点O 作OM ⊥AC 于点M ，∴AM ＝MD ＝AD 2＝1. 又∵∠OTC ＝∠ACT ＝∠OMC ＝90°， ∴四边形OTCM 为矩形，∴OM ＝TC ＝ 3.在Rt △AOM 中，OA ＝OM 2＋AM 2＝3＋1＝2，即⊙O 的半径为2.8．证明：(1)∵AB 是⊙O 的切线，B 为切点， ∴∠OBA ＝90°.∵∠A ＝30°，∴∠AOB ＝60°.∵OB ＝OC ，∴∠OCB ＝∠OBC.∵∠OCB ＋∠OBC ＝∠AOB ，∴∠OCB ＝30°，∴∠A ＝∠OCB ，∴AB ＝BC.(2)连接OD ，∵∠AOB ＝60°，∴∠BOC ＝120°.∵D 为BC ︵的中点，∴∠BOD ＝∠COD ＝60°， 而OB ＝OC ＝OD ，∴△BOD 与△COD 都是等边三角形，∴BD＝OB，CD＝OC，∴OB＝BD＝CD＝OC，∴四边形BOCD是菱形．。
《切线的判定和性质的四种应用类型》方法技巧训练课件
设DE＝EB＝x， 在Rt△CBE中， 由勾股定理得：CE2＝BE2＋BC2， 则(4＋x)2＝x2＋(5＋3)2，
解得：x＝6.即BE＝6.
类型
2
应用于求角的度数
2．【中考· 珠海】如图，⊙O经过菱形ABCD的三个
顶点A，C，D，且与AB相切于点A.
(1)求证：BC为⊙O的切线； (2)求∠B的度数．
类型
3
应用于求圆的半径
3．如图所示，四边形ABCD为菱形，△ABD的外接 圆⊙O与CD相切于点D，交AC于点E.
(1)判断⊙O与BC的位置关系，并说明理由；
(2)若CE＝2，求⊙O的半径r.
(1)⊙O与BC相切， 解： 理由如下： 如图所示，连接OD，OB， ∵⊙O与CD相切于点D， ∴OD⊥CD. ∴∠ODC＝90°.
习题课 阶段方法技巧训练（一）
专训2
切线的判定和性质 的四种应用类型
圆的切线的判定和性质的应用较广泛，一般
先利用圆的切线的判定方法判定切线，再利用切
线的性质进行线段和角的计算或论证，在计算或 论证中常通过作辅助线解决有关问题．
类型
1
应用于求线段的长
1．如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长 线上，且∠CDA＝∠CBD.
在△OAP和△OCP中，
∵OA＝OC，∠AOP＝∠COP，OP＝OP， ∴△OAP≌△OCP. ∴∠OCP＝∠OAP. ∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°.
∴∠OCP＝90°.即OC⊥PC.
又∵OC是⊙O的半径， ∴PC是⊙O的切线．
证明： (1) 连接OA，OB，OC，如图， ∵AB与⊙O相切于A点，
∴OA⊥AB. 即∠OAB＝90°. ∵四边形ABCD为菱形， ∴BA＝BC. 又∵OA＝OC，OB＝OB，
最新人教版九年级上册数学专训2-切线的判定和性质的四种应用类型
专训2切线的判定和性质的四种应用类型名师点金：圆的切线的判定和性质的应用较广泛，一般先利用圆的切线的判定方法判定切线，再利用切线的性质进行线段和角的计算或论证，在计算或论证中常通过作辅助线解决有关问题．应用于求线段的长1．如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD.(1)判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理由；(2)过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC＝2，⊙O的半径是3，求BE的长．(第1题)应用于求角的度数2．【中考·珠海】如图，⊙O经过菱形ABCD的三个顶点A，C，D，且与AB相切于点A.(1)求证：BC为⊙O的切线；(2)求∠B的度数．(第2题)应用于求圆的半径3．如图所示，四边形ABCD为菱形，△ABD的外接圆⊙O与CD相切于点D，交AC于点E.(1)判断⊙O与BC的位置关系，并说明理由；(2)若CE＝2，求⊙O的半径r.(第3题)应用于探究数量和位置关系4．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于点D，过点A作⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P，连接PC，BC.(1)猜想：线段OD与BC有何数量关系和位置关系，并证明你的结论；(2)求证：PC是⊙O的切线．(第4题)答案1．解：(1)直线CD与⊙O相切．理由如下：连接OD，如图，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°.即∠ADO＋∠1＝90°.∵OB＝OD，∴∠CBD＝∠1.又∵∠CDA＝∠CBD，∴∠1＝∠CDA.∴∠CDA＋∠ADO＝90°.即∠CDO＝90°.∴OD⊥CD，又∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线，即直线CD与⊙O相切．(2)∵AC＝2，⊙O的半径是3，∴OC＝2＋3＝5，OD＝3.在Rt△CDO中，由勾股定理得CD＝4，∵CE切⊙O于D，EB切⊙O于B，∴DE＝EB，∠CBE＝90°.设DE＝EB＝x，在Rt△CBE中，由勾股定理得：CE2＝BE2＋BC2，则(4＋x)2＝x2＋(5＋3)2，解得：x＝6.即BE＝6.(第1题)(第2题) 2．(1)证明：连接OA，OB，OC，如图，∵AB与⊙O相切于A点，∴OA⊥AB.即∠OAB＝90°.∵四边形ABCD为菱形，∴BA＝BC.又∵OA＝OC，OB＝OB，∴△ABO≌△CBO(SSS)．∴∠BCO＝∠BAO＝90°.∴OC⊥BC，∴BC为⊙O的切线．(2)解：如图，连接BD，∵△ABO≌△CBO，∴∠ABO＝∠CBO.∵四边形ABCD为菱形，∴BD平分∠ABC.∴点O在BD上．∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD.∵∠BOC＝∠ODC＋∠OCD，∴∠BOC＝2∠ODC.∵CB ＝CD ，∴∠OBC ＝∠ODC.∴∠BOC ＝2∠OBC.∵∠BOC ＋∠OBC ＝90°，∴∠OBC ＝30°.∴∠ABC ＝2∠OBC ＝60°.3．解：(1)⊙O 与BC 相切，理由如下：如图所示，连接OD ，OB ，∵⊙O 与CD 相切于点D ，∴OD ⊥CD.∴∠ODC ＝90°.∵四边形ABCD 为菱形，∴AC 垂直平分BD ，AB ＝AD ＝CD ＝CB.∴△ABD 的外接圆⊙O 的圆心O 在AC 上， ∵OD ＝OB ，OC ＝OC ，CB ＝CD ，∴△OBC ≌△ODC.∴∠OBC ＝∠ODC ＝90°.又∵OB 为⊙O 的半径，∴⊙O 与BC 相切．(2)∵AD ＝CD ，∴∠ACD ＝∠CAD.∵AO ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA.∵∠COD ＝∠OAD ＋∠ADO ，∴∠COD ＝2∠CAD ， ∴∠COD ＝2∠ACD.又∵∠COD ＋∠ACD ＝90°，∴∠ACD ＝30°.∴OD ＝12OC ，即r ＝12(OE ＋CE)＝12(r ＋2)，∴r ＝2. (第3题)4．(1)解：猜想：OD ∥BC ，OD ＝12BC. 证明：∵OD ⊥AC ，∴AD ＝DC.∵AB 是⊙O 的直径，∴OA ＝OB.∴OD 是△ABC 的中位线，∴OD ∥BC ，OD ＝12BC.(第4题)(2)证明：如图，连接OC ，设OP 与⊙O 交于点E. ∵OP ⊥AC ，∴AE ︵＝CE ︵，即∠AOE ＝∠COE.在△OAP 和△OCP 中，∵OA ＝OC ，∠AOP ＝∠COP ，OP ＝OP ， ∴△OAP ≌△OCP.∴∠OCP ＝∠OAP.∵PA 是⊙O 的切线，∴∠OAP ＝90°.∴∠OCP ＝90°.即OC ⊥PC.又∵OC 是⊙O 的半径，∴PC 是⊙O 的切线．。
切线的性质和判定
切线的性质和判定练习一．解答题（共11小题）1．（2018•宿迁）如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦,OD⊥AC于点D．过点A 作⊙O的切线与OD的延长线交于点P,PC、AB的延长线交于点F．（1）求证：PC是⊙O的切线;（2）若∠ABC=60°,AB=10，求线段CF的长．2．（2018•常德）如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的延长线上有一点F，使DF=DA，AE∥BC交CF于E．（1）求证：EA是⊙O的切线；（2）求证：BD=CF．3．(2018•官渡区二模）如图，AB是⊙O的直径,AM和BN是⊙O的两条切线，点D是AM上一点,连接OD，过点B作BE∥OD交⊙O于点E，连接DE并延长交BN于点C．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AD=l，BC=4,求直径AB的长．4．（2018•洪泽区一模）如图，已知AB为⊙O的直径，AD，BD是⊙O的弦，BC 是⊙O的切线，切点为B，OC∥AD,BA，CD的延长线相交于点E．(1)求证：DC是⊙O的切线；（2）若⊙O半径为4,∠OCE=30°,求△OCE的面积．5．（2018•淅川县二模）如图，已知⊙O的半径为1，AC是⊙O的直径,过点C作⊙O的切线BC，E是BC的中点，AB交⊙O于D点．(1）直接写出ED和EC的数量关系：；（2)DE是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是,说明理由;（3）填空：当BC=时，四边形AOED是平行四边形，同时以点O、D、E、C为顶点的四边形是．6．（2018•东河区二模)已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，作OF∥AB交BC于点F,连接EF．（1）求证:OF⊥CE（2)求证：EF是⊙O的切线；（3）若⊙O的半径为3，∠EAC=60°，求AD的长．7．（2018•海淀区二模）如图，AB是⊙O的直径，M是OA的中点，弦CD⊥AB 于点M，过点D作DE⊥CA交CA的延长线于点E．(1）连接AD，则∠OAD=°;（2）求证:DE与⊙O相切；（3）点F在上,∠CDF=45°,DF交AB于点N．若DE=3，求FN的长．8．(2018•朝阳区二模）AB为⊙O直径，C为⊙O上的一点，过点C的切线与AB 的延长线相交于点D，CA=CD．（1)连接BC，求证：BC=OB;（2）E是中点，连接CE，BE，若BE=2，求CE的长．9．（2018•苏州）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD垂直于过点C的切线，垂足为D，CE垂直AB，垂足为E．延长DA交⊙O于点F，连接FC,FC与AB相交于点G，连接OC．（1）求证：CD=CE；（2）若AE=GE，求证：△CEO是等腰直角三角形．10．（2017•黄石)如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径,点E为△ABC 的内心,连接AE并延长交⊙O于D点,连接BD并延长至F，使得BD=DF，连接CF、BE．（1)求证：DB=DE；(2）求证:直线CF为⊙O的切线．11．(2018•长沙）如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线,∠BAD=∠CAD，CE ∥AD，CE交BA的延长线于点E，BC=8，AD=3．（1)求CE的长;（2)求证:△ABC为等腰三角形．(3）求△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离．切线的性质和判定参考答案与试题解析一．解答题(共11小题)1．(2018•宿迁)如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D．过点A 作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F．（1）求证:PC是⊙O的切线；（2）若∠ABC=60°，AB=10，求线段CF的长．【分析】（1）连接OC，可以证得△OAP≌△OCP，利用全等三角形的对应角相等,以及切线的性质定理可以得到：∠OCP=90°，即OC⊥PC，即可证得；（2）先证△OBC是等边三角形得∠COB=60°,再由(1）中所证切线可得∠OCF=90°，结合半径OC=5可得答案．【解答】解:（1)连接OC，∵OD⊥AC，OD经过圆心O,∴AD=CD，∴PA=PC，在△OAP和△OCP中，∵，∴△OAP≌△OCP（SSS），∴∠OCP=∠OAP∵PA是半⊙O的切线,∴∠OAP=90°．∴∠OCP=90°，即OC⊥PC∴PC是⊙O的切线．（2）∵OB=OC,∠OBC=60°，∴△OBC是等边三角形，∴∠COB=60°，∵AB=10，∴OC=5，由(1)知∠OCF=90°，∴CF=OCtan∠COB=5．【点评】本题考查了切线的性质定理以及判定定理，以及直角三角形三角函数的应用，证明圆的切线的问题常用的思路是根据切线的判定定理转化成证明垂直的问题．2．（2018•常德）如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的延长线上有一点F,使DF=DA,AE∥BC交CF于E．（1）求证：EA是⊙O的切线;(2）求证：BD=CF．【分析】（1）根据等边三角形的性质可得：∠OAC=30°，∠BCA=60°,证明∠OAE=90°,可得：AE是⊙O的切线；(2)先根据等边三角形性质得：AB=AC,∠BAC=∠ABC=60°,由四点共圆的性质得：∠ADF=∠ABC=60°，得△ADF是等边三角形,证明△BAD≌△CAF，可得结论．【解答】证明:（1）连接OD，∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，∴∠OAC=30°，∠BCA=60°，∵AE∥BC，∴∠EAC=∠BCA=60°,∴∠OAE=∠OAC+∠EAC=30°+60°=90°，∴AE是⊙O的切线;(2）∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，∵A、B、C、D四点共圆,∴∠ADF=∠ABC=60°，∵AD=DF，∴△ADF是等边三角形，∴AD=AF，∠DAF=60°,∴∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD,即∠BAF=∠CAF,在△BAD和△CAF中,∵,∴△BAD≌△CAF，∴BD=CF．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定,等边三角形及外接圆，四点共圆等知识点的综合运用,属于基础题，熟练掌握等边三角形的性质是关键．3．（2018•官渡区二模）如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，点D是AM上一点，连接OD，过点B作BE∥OD交⊙O于点E，连接DE并延长交BN于点C．（1）求证：DE是⊙O的切线;（2）若AD=l，BC=4，求直径AB的长．【分析】（1）求出∠AOD=∠EOD，根据全等三角形的判定和性质推出∠DEO=∠DAO，根据切线的判定得出即可；(2）根据矩形的性质和判定得出AB=DH，AD=BH=1,根据切线长定理求出DC，根据勾股定理求出DH即可．【解答】（1)证明：连接OE,∵OA=OE=OB，∴∠OBE=∠PEB,∵OD∥BE，∴∠AOD=∠OBE，∠OEB=∠DOE，∴∠AOD=∠EOD，在△AOD和△EOD中∴△AOD≌△EOD,∴∠OAD=∠OED，∵AM是⊙O的切线，∴∠OAD=90°，∴∠OED=90°,即OE⊥DE,∵OE为⊙O半径,∴DE是⊙O的切线；（2）解:过D作DH⊥BC于H，∵AM和BN是⊙O的两条切线，∴∠DAB=∠ABH=∠DHB=90°，∴四边形ABHD是矩形，∴AB=DH,AD=BH，∵AD=l，BC=4,∴BH=1，CH=4﹣1=3，∵AM和BN是⊙O的两条切线，DE切⊙O于E，AD=1，BC=4,∴DE=AD=1,BC=CE=4，∴DC=1+4=5，在Rt△DHC中，由勾股定理得：DH===4，即AB=4．【点评】本题考查了切线的性质和判定、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、勾股定理、矩形的性质和判定、切线长定理等知识点,能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．4．（2018•洪泽区一模）如图，已知AB为⊙O的直径，AD，BD是⊙O的弦,BC 是⊙O的切线,切点为B，OC∥AD，BA，CD的延长线相交于点E．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若⊙O半径为4,∠OCE=30°,求△OCE的面积．【分析】（1）连接DO，如图，利用平行线的性质和等腰三角形的性质证明∠COD=∠COB．则根据“SAS”可判断△COD≌△COB，所以∠CDO=∠CBO．再根据切线的性质得∠CBO=90°，则∠CDO=90°,然后根据切线的判定定理得到结论；(2）先利用∠OCB=∠OCD=30°得到∠DCB=60°，则∠E=30°，再根据含30度的直角三角形三边的关系计算出DE=4，DC=OD=4,然后根据三角形面积公式计算．【解答】(1）证明：连接DO，如图，∵AD∥OC，∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD，又∵OA=OD，∴∠DAO=∠ADO，∴∠COD=∠COB．在△COD和△COB中∴△COD≌△COB（SAS)，∴∠CDO=∠CBO．∵BC是⊙O的切线，∴∠CBO=90°，∴∠CDO=90°，∴OD⊥CE，又∵点D在⊙O上，∴CD是⊙O的切线；（2）解：由(1）可知∠OCB=∠OCD=30°，∴∠DCB=60°，又BC⊥BE，∴∠E=30°，在Rt△ODE中,∵tan∠E=，∴DE==4，同理DC=OD=4，=•OD•CE=×4×8=16．∴S△OCE【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线"；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了解直角三角形．5．(2018•淅川县二模）如图，已知⊙O的半径为1，AC是⊙O的直径,过点C作⊙O的切线BC，E是BC的中点,AB交⊙O于D点．（1)直接写出ED和EC的数量关系：ED=EC；（2）DE是⊙O的切线吗？若是,给出证明;若不是，说明理由；(3）填空：当BC=2时，四边形AOED是平行四边形，同时以点O、D、E、C 为顶点的四边形是正方形．【分析】（1）连结CD,如图，由圆周角定理得到∠ADC=90°，然后根据直角三角形斜边上的中线直线得到DE=CE=BE;(2）连结OD,如图，利用切线性质得∠2+∠4=90°，再利用等腰三角形的性质得∠1=∠2，∠3=∠4,所以∠1+∠3=∠2+∠4=90°,于是根据切线的判定定理可判断DE 是⊙O的切线;（3)要判断四边形AOED是平行四边形，则DE=OA=1，所以BC=2，当BC=2时，△ACB为等腰直角三角形，则∠B=45°,又可判断△BCD为等腰直角三角形，于是得到DE⊥BC，DE=BC=1，所以四边形AOED是平行四边形；然后利用OD=OC=CE=DE=1，∠OCE=90°可判断四边形OCED为正方形．【解答】解：(1）连结CD，如图，∵AC是⊙O的直径,∴∠ADC=90°，∵E是BC的中点，∴DE=CE=BE；（2)DE是⊙O的切线．理由如下:连结OD,如图，∵BC为切线，∴OC⊥BC，∴∠OCB=90°，即∠2+∠4=90°，∵OC=OD,ED=EC，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°，即∠ODB=90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线;（3)当BC=2时，∵CA=CB=2,∴△ACB为等腰直角三角形,∴∠B=45°，∴△BCD为等腰直角三角形,∴DE⊥BC，DE=BC=1，∵OA=DE=1,AO∥DE，∴四边形AOED是平行四边形；∵OD=OC=CE=DE=1，∠OCE=90°，∴四边形OCED为正方形．故答案为ED=EC；2，正方形．【点评】本题考查了切线的判断与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．常见的辅助线为：判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．解决(3）小题的关键是熟练掌握平行四边形和正方形的判定方法．6．（2018•东河区二模）已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB 于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，作OF∥AB交BC于点F,连接EF．（1）求证：OF⊥CE(2）求证:EF是⊙O的切线；(3)若⊙O的半径为3,∠EAC=60°，求AD的长．【分析】(1)由于AC是⊙O的直径，得出CE⊥AE，根据OF∥AB，得出OF⊥CE，（2）得到OF所在直线垂直平分CE，推出FC=FE,OE=OC，再由∠ACB=90°，即可得到结论．（3）证出△AOE是等边三角形，得到∠EOA=60°,再由直角三角形的性质即可得到结果．【解答】证明：（1）如图，连接CE,∵AC是⊙O的直径，∴CE⊥AE,∵OF∥AB，∴OF⊥CE(2）∵OF⊥CE∴OF所在直线垂直平分CE，∴FC=FE，OE=OC，∴∠FEC=∠FCE,∠OEC=∠OCE，∵∠ACB=90°,即:∠OCE+∠FCE=90°，∴∠OEC+∠FEC=90°，即：∠FEO=90°，∴FE为⊙O的切线;（3）如图,∵⊙O的半径为3，∴AO=CO=EO=3，∵∠EAC=60°，OA=OE，∴∠EOA=60°∴∠COD=∠EOA=60°，∵在Rt△OCD中，∠COD=60°，OC=3,∴CD=3，∵在Rt△ACD中，∠ACD=90°，CD=3，AC=6，∴AD=3．【点评】本题考查了切线的判定和性质,三角形的中位线的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握定理是解题的关键．7．（2018•海淀区二模）如图，AB是⊙O的直径，M是OA的中点，弦CD⊥AB 于点M,过点D作DE⊥CA交CA的延长线于点E．（1）连接AD，则∠OAD=60°;(2)求证：DE与⊙O相切;(3）点F在上,∠CDF=45°,DF交AB于点N．若DE=3,求FN的长．【分析】（1）由CD⊥AB和M是OA的中点，利用三角函数可以得到∠DOM=60°，进而得到△OAD是等边三角形，∠OAD=60°．（2）只需证明DE⊥OD．便可以得到DE与⊙O相切．（3）利用圆的综合知识，可以证明，∠CND=90°，∠CFN=60°，根据特殊角的三角函数值可以得到FN的数值．【解答】解：（1)如图1，连接OD，AD∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB∴AB垂直平分CD∵M是OA的中点，∴OM=OA=OD∴cos∠DOM==∴∠DOM=60°又：OA=OD∴△OAD是等边三角形∴∠OAD=60°故答案为：60°（2）∵CD⊥AB，AB是⊙O的直径，∴CM=MD．∵M是OA的中点，∴AM=MO．又∵∠AMC=∠DMO，∴△AMC≌△OMD．∴∠ACM=∠ODM．∴CA∥OD．∵DE⊥CA，∴∠E=90°．∴∠ODE=180°﹣∠E=90°．∴DE⊥OD．∴DE与⊙O相切．（3）如图2，连接CF，CN,∵OA⊥CD于M，∴M是CD中点．∴NC=ND．∵∠CDF=45°，∴∠NCD=∠NDC=45°．∴∠CND=90°．∴∠CNF=90°．由（1）可知∠AOD=60°．∴．在Rt△CDE中，∠E=90°，∠ECD=30°，DE=3,∴．在Rt△CND中，∠CND=90°,∠CDN=45°，CD=6,∴．由(1）知∠CAD=2∠OAD=120°，∴∠CFD=180°﹣∠CAD=60°．在Rt△CNF中，∠CNF=90°，∠CFN=60°，，∴．【点评】本题考查圆的综合运用，特别是垂径定理、切线的判定要求较高，同时对于特殊角的三角函数值的运用有所考察，需要学生能具有较强的推理和运算能力．8．（2018•朝阳区二模）AB为⊙O直径，C为⊙O上的一点,过点C的切线与AB 的延长线相交于点D,CA=CD．（1）连接BC,求证：BC=OB；（2）E是中点,连接CE，BE，若BE=2，求CE的长．【分析】(1）连接OC，根据圆周角定理、切线的性质得到∠ACO=∠DCB，根据CA=CD得到∠CAD=∠D，证明∠COB=∠CBO,根据等角对等边证明；（2）连接AE,过点B作BF⊥CE于点F，根据勾股定理计算即可．【解答】（1）证明：连接OC．∵AB为⊙O直径，∴∠ACB=90°，∵CD为⊙O切线∴∠OCD=90°,∴∠ACO=∠DCB=90°﹣∠OCB,∵CA=CD，∴∠CAD=∠D．∴∠COB=∠CBO．∴OC=BC．∴OB=BC；（2）解：连接AE，过点B作BF⊥CE于点F．∵E是AB中点，∴=，∴AE=BE=2．∵AB为⊙O直径，∴∠AEB=90°．∴∠ECB=∠BAE=45°，．∴．∴CF=BF=1．∴．∴．【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、勾股定理,掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．9．（2018•苏州）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD垂直于过点C的切线，垂足为D，CE垂直AB，垂足为E．延长DA交⊙O于点F，连接FC，FC 与AB相交于点G，连接OC．（1）求证：CD=CE;(2）若AE=GE,求证:△CEO是等腰直角三角形．【分析】(1）连接AC，根据切线的性质和已知得：AD∥OC,得∠DAC=∠ACO，根据AAS证明△CDA≌△CEA(AAS），可得结论；（2）介绍两种证法：证法一:根据△CDA≌△CEA，得∠DCA=∠ECA，由等腰三角形三线合一得：∠F=∠ACE=∠DCA=∠ECG，在直角三角形中得：∠F=∠DCA=∠ACE=∠ECG=22.5°，可得结论；证法二：设∠F=x，则∠AOC=2∠F=2x,根据平角的定义得：∠DAC+∠EAC+∠OAF=180°，则3x+3x+2x=180，可得结论．【解答】证明：(1）连接AC，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∵AD⊥CD，∴∠DCO=∠D=90°，∴AD∥OC,∴∠DAC=∠ACO，∵OC=OA,∴∠CAO=∠ACO，∴∠DAC=∠CAO，∵CE⊥AB，∴∠CEA=90°，在△CDA和△CEA中，∵,∴△CDA≌△CEA（AAS）,∴CD=CE；(2)证法一：连接BC，∵△CDA≌△CEA，∴∠DCA=∠ECA，∵CE⊥AG，AE=EG，∴CA=CG,∴∠ECA=∠ECG，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵CE⊥AB，∴∠ACE=∠B,∵∠B=∠F，∴∠F=∠ACE=∠DCA=∠ECG,∵∠D=90°，∴∠DCF+∠F=90°,∴∠F=∠DCA=∠ACE=∠ECG=22.5°,∴∠AOC=2∠F=45°，∴△CEO是等腰直角三角形；证法二：设∠F=x,则∠AOC=2∠F=2x,∵AD∥OC,∴∠OAF=∠AOC=2x，∴∠CGA=∠OAF+∠F=3x，∵CE⊥AG，AE=EG,∴CA=CG,∴∠EAC=∠CGA，∵CE⊥AG，AE=EG，∴CA=CG，∴∠EAC=∠CGA,∴∠DAC=∠EAC=∠CGA=3x,∵∠DAC+∠EAC+∠OAF=180°，∴3x+3x+2x=180,x=22。