各种等腰三角形难题
等腰三角形及三线合一经典试题-难题
等腰三角形及三线合一经典试题 难题1．等腰三角形的对称轴是（ ）2． 1、等腰三角形有两条边长为4cm 和9cm ，则该三角形的周长是（ ） 2．2、等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是（ ） A ．40° B ．50° C ．60° D ．30° 3．等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（ ） A ．100° B ．100°或40°C ．40°D ．80°4．如图，C 、E 和B 、D 、F 分别在∠GAH 的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF ，若∠A=18°，则∠GEF 的度数是（ ） A ．80° B ．90° C ．100° D ．108°5．等腰三角形的一个内角为80，则另两个内角的度数为6．等腰三角形底边长为10，则腰长的取值范围为7．等腰三角形的顶角的度数是底角的4倍，则它的顶角是________．8. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ，若∠EDF=70°，求∠AFD 的度数9.如图，△ABC 中，∠ABC,∠CAB 的平分线交于点P ，过点P 作DE ∥AB ，分别交BC 、AC 于点D 、E 求证：DE=BD+AECC B ADEP ECAH FGEDCABHF10. 已知如图: △ABC 和△ADE 都是等腰三角形且顶角∠BAC ＝∠DAE, 则BD ＝CE ( )11. 已知：如图：CA=CB, DA=DB 求证：(1)∠1=∠2．(2)CD ⊥AB ．12.如图，已知点B 、C 、D 在同一条直线上，△ABC 和△CDE•都是等边三角形．BE 交AC 于F ，AD 交CE 于H ， ①求证：△BCE ≌△ACD ； ②求证：CF=CH ；③判断△CFH 的形状并说明理由．13．如图，中， ，试说明：．14.如图3，在∆ABC 中，∠=A 90ο，AB AC =，D 是BC 的中点，P 为BC 上任一点，作PE AB ⊥，PF AC ⊥，垂足分别为E 、F求证：（1）DE ＝DF ；（2）DE DF ⊥C图315.已知，如图1，AD是∆ABC的角平分线，DE、DF分别是∆ABD和∆ACD的高。
等腰三角形经典习题(必看)
等腰三角形经典习题(必看)等腰三角形经典题（必看）以下是一些经典的等腰三角形题，希望能对你的研究有所帮助。
1. 判断等腰三角形给定一个三角形ABC，其中AB=AC。
你需要判断这个三角形是否为等腰三角形。
解答：如果角B等于角C，则该三角形为等腰三角形。
2. 求等腰三角形的周长已知一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，且BC=8cm。
你需要求解这个等腰三角形的周长。
解答：由于AB=AC且BC=8cm，那么周长等于AB+AC+BC=2AB+BC=2(BC/2)+BC=BC+BC=2BC=2*8cm=16cm。
3. 求等腰三角形的面积已知一个等腰三角形ABC，其中AB=AC=10cm，且角BAC等于60度。
你需要求解这个等腰三角形的面积。
解答：由于AB=AC=10cm且角BAC等于60度，我们可以利用正弦定理来计算三角形的高。
设三角形的高为h，那么有sin60度=h/10cm，解得h=10cm*sin60度=10cm*sqrt(3)/2=5sqrt(3)cm。
等腰三角形的面积可以通过底边乘以高再除以2来计算，即面积=10cm*5sqrt(3)cm/2=25sqrt(3)cm²。
4. 求等腰三角形的顶角已知一个等腰三角形ABC，其中AB=AC=5cm，且BC=6cm。
你需要求解这个等腰三角形的顶角。
解答：由于AB=AC=5cm且BC=6cm，我们可以使用余弦定理来计算角BAC的大小。
设角BAC为x度，则有cosx=(5²+5²-6²)/(2*5*5)=19/25。
解得x=arccos(19/25)≈31.8度。
因此，等腰三角形的顶角大约为31.8度。
以上是一些关于等腰三角形的经典习题，希望对你的学习有所帮助。
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精品经典 轴对称与等腰三角形 重难点题型汇总140题
轴对称与等腰三角形重难点题型汇总最短路程问题在直线上找一点P,使PA+PB最小在直线上找一P,使PBPA-最小在直线上找一P,使PBPA-最大在OA、OB上分别找一点C、D,使△PCD周长最小并求出∠CPD的度数.在平面内找一点P,使P到OA、OB距离相等,同时到C、D两点距离相等。
分别在OA、OB上找出一点D、C,当PD+CD最小时,若∠AOB=480,∠PCD的度数为BD平分∠ABC,△ABC面积为12,AB=5,在BC、BD上分别找一点M、N，求CN+MN最小值.△ABC中AB=AC,D为BC中点,△ABC面积为24,BC=6,直线l垂直平分AC,P为l上动点,求△PCD周长最小值.正方形ABCD,面积为16,以AB为边在内部作等边三角形ABE,连接对角线AC.P为AC上一动点,求PD+PE最小值.等腰三角形等腰三角形性质与判定性质: 判定: 等边三角形300角问题：在坐标系中找等腰三角形问题1.已知点A坐标为(2a+3,3a+9)在第二象限，且a为整数.根据要求完成下列各题：(1)a= ；A点坐标为；(2)A点关于x轴对称的点坐标为；A点关于y轴对称的点坐标为； A点关于原点对称的点坐标为；(3)A点关于直线x=2对称的点坐标为；A点关于直线x=-2对称的点坐标为；A点关于直线y=-3对称的点坐标为；(4)连接OA,将OA绕点O旋转900，则旋转后A点对应坐标为；2.如图,∠ABC 内有一点P,(1)在BA、BC 边上各取一点P1、P2，使△PP1P2 的周长最小;(尺规作图)(2)若∠ABC=300，连接BP1，BP2，P1P2，判断△BP1P1形状并说明理由.3.如图所,MP和 NQ 分别垂直平分 AB和 AC．(1)若∠BAC=105°，求∠PAQ的度数;(2)若∠PAQ=250，求∠BAC的度数。
4.如图，已知Rt △ABC,∠ACB=900，AD 平分∠BAC 与BC 交于D 点，M 、N 分别在线段AD 、AC 上的动点，连接MN 、MC,当MN+MC 最小时，画出M 、N 的位置.5.如图，点P 在∠AOB 的内部，点M 、N 分别是点P 关于直线OA 、OB•的对称点，线段MN 交OA 、OB 于点E 、F ，若△PEF 的周长是20cm ，则线段MN 的长是________；若∠AOB=320，则∠EPF=6.如图,在△ABC 中，BD 是∠ABC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，S △ABC =48cm 2，AB=18cm ，BC=12cm ，求DE 的长。
等腰三角形中易漏解或多解的问题压轴题四种模型全攻略(解析版)--初中数学专项训练
等腰三角形中易漏解或多解的问题压轴题四种模型全攻略【考点导航】1.目录【典型例题】1【易错点一求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错】1【易错点二当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错】4【易错点三求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错】9【易错点四三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错】14【典型例题】【易错点一求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错】1(四川省内江市2022-2023学年七年级下学期期末数学试题)已知△ABC是等腰三角形，如果它的两条边的长分别为8cm和3cm，则它的周长为cm．【答案】19【分析】分两种情况讨论：①当等腰三角形的腰长为3cm，底边长为8cm时；②当等腰三角形的腰长为8cm，底边长为3cm时，利用三角形的三边关系分别求解，即可得到答案．【详解】解：①当等腰三角形的腰长为3cm，底边长为8cm时，∵3+3=6<8，∴不能构成三角形；②当等腰三角形的腰长为8cm，底边长为3cm时，∵3+8=11>8，∴能构成三角形，∴△ABC的周长为3+8+8=19cm；综上所述，△ABC的周长为19cm故答案为：19．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，等腰三角形的定义，解题关键是掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．【变式训练】1(2022秋·广东东莞·八年级校考阶段练习)若等腰三角形的两边长a、b满足a-3+b-82=0，则它的周长是．【答案】19【分析】通过等式可以判断a，b的长度，已知等腰三角形的两边，通过两边相等及构造条件可以判断三边，求出周长即可．【详解】解：∵a-3+b-82=0∴a-3=0,b-8=0∴a=3,b=8，∵是等腰三角形，∴三边长为3，3，8，或8，8，3，∵3+3<8，围不成三角形，不合题意，应舍去，∴其周长为：8+8+3=19，故答案为：19．【点睛】本题主要考查等腰三角形两边相等的性质及三角形的构造条件，绝对值和完全平方非负性的应用，得出a，b的值是解题关键．2(北京市延庆区2022-2023学年八年级上学期期末数学试题)等腰三角形有两条边长分别为3cm和7cm，则这个等腰三角形的周长为cm．【答案】17【分析】由等腰三角形两腰长相等的性质，分7为腰长或3为腰长两种情况，结合三角形三边关系即可求解．【详解】解：根据题意，当腰长为7cm时，7、7、3能组成三角形，周长为：7+7+3=17cm；当腰长为3cm时，3+3<7，7、3、3不能构成三角形，故答案为：17．【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义和三角形的三边关系，解题的关键是掌握“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”．3(2022春·吉林长春·八年级统考期末)若△ABC的三边长分别为10-a，7，6，当△ABC为等腰三角形时，则a的值为．【答案】3或4##4或3【分析】根据等腰三角形的性质分两种情况：当10-a=6时，当10-a=7时，再结合三角形三边关系检验即可．【详解】解：∵△ABC为等腰三角形，∴当10-a=6时，解得a=4，∴三边长为6，6，7∵6+6>7，∴符合三角形三边的条件，当10-a=7时，解得a=3，∴三边长为7，7，6∵6+7>7，∴符合三角形三边的条件，∴a的值为4和3．故答案为：4和3．【点睛】本题考查了三角形的三边关系和等腰三角形的定义(两边相等的三角形)，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．4(2022春·湖北武汉·八年级统考期中)用一条长为28cm的细绳围成一个等腰三角形，已知这个等腰三角形一边长是另一边长的1.5倍，则它的底边长为cm．【答案】12或7【分析】可设一边为xcm，则另一边为1.5xcm，然后分x为腰和底两种情况，表示出周长，解出x，再利用三角形三边关系进行验证即可．【详解】解：设一边为xcm，则另一边为1.5xcm，①当长为xcm的边为腰时，此时三角形的三边长分别为xcm、xcm、1.5xcm，由题意可列方程：x+x+1.5x=28，解得x=8，此时三角形的三边长分别为：8cm、8cm和12cm，满足三角形三边之间的关系，符合题意；②当长为xcm的边为底时，此时三角形的三边长分别为：xcm、1.5xcm、1.5xcm，由题意可列方程：x+1.5x+1.5x=28，解得：x=7，此时三角形的三边长分别为：7cm、10.5cm、10.5cm，满足三角形的三边之间的关系，符合题意；∴这个三角形的底边长为12cm或7cm．故答案为：12或7．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系，分情况讨论且进行三边验证是解题的关键．【易错点二当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错】1(2023春·陕西宝鸡·七年级统考期末)等腰三角形的一个角的度数是36°，则它的底角的度数是．【答案】36°或72°【分析】分36°的角是是底角和顶角的情况分析，根据三角形的内角和定理即可求解．【详解】解：当36°的角是底角时，则底角为36°，当36°的角是顶角时，则底角为12180°-36°=72°，故答案为：36°或72°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．【变式训练】1(2023春·福建漳州·七年级福建省漳州第一中学校考期末)定义：在一个等腰三角形中，如果一个内角等于另一个内角的两倍，则称该三角形为“倍角等腰三角形”.“倍角等腰三角形”的顶角度数是()A.90°B.45°或36°C.108°或90°D.90°或36°【答案】D【分析】设等腰三角形的顶角为x°，则底角为12180°-x°=90°-12x°，分两种情况：当顶角为底角的2倍时，当底角为顶角的2倍时，分别列出方程求出x的值即可．【详解】解：设等腰三角形的顶角为x°，则底角为12180°-x°=90°-12x°，当顶角为底角的2倍时，x=290°-1 2 x，解得：x=90；当底角为顶角的2倍时，2x=90°-12 x，解得：x=36；综上分析可知，“倍角等腰三角形”的顶角度数是90°或36°，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，一元一次方程的应用，解题的关键是注意进行分类讨论．2(2022秋·上海闵行·七年级校考阶段练习)如果等腰三角形的一个角的度数为80°，那么其余的两个角的度数是．【答案】50°，50°或20°，80°【分析】根据等腰三角形性质，分类讨论即可得到答案．【详解】解：①当80°时顶角时，其余两个角是底角且相等，则有：(180°-80°)÷2=50°；②当80°时底角时，则有：顶角180°-80°×2=20°；故答案为：50°，50°或20°，80°．【点睛】本题考查等腰三角形性质：两个底角相等，还考查了分类讨论的思想．3(2022春·黑龙江黑河·八年级校考期末)等腰三角形的一个角比另一个角的2倍少20°，则这个等腰三角形的顶角度数是．【答案】44°或80°或140°【分析】设另一个角是x，表示出一个角是2x-20°，然后分①x是顶角，2x-20°是底角，②x是底角，2x-20°是顶角，③x与2x-20°都是底角根据三角形的内角和等于180°与等腰三角形两底角相等列出方程求解即可．【详解】解：设另一个角是x，表示出一个角是2x-20°，①x是顶角，2x-20°是底角时，x+22x-20°=180°，解得x=44°，所以，顶角是44°；②x是底角，2x-20°是顶角时，2x+2x-20°=180°，解得x=50°，所以，顶角是2×50°-20°=80°；③x与2x-20°都是底角时，x=2x-20°，解得x=20°，所以，顶角是180°-20°×2=140°；综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是44°或80°或140°．故答案为：44°或80°或140°．【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，难点在于分情况讨论，特别是这两个角都是底角的情况容易漏掉而导致出错．4(2022春·河北石家庄·八年级石家庄市第十七中学校考阶段练习)如图，∠AOB=40°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，∠OEC的度数为．【答案】20°或80°或140°【分析】求出∠AOC，根据等腰得出三种情况，OE=CE，OC=OE，OC=CE，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可．【详解】∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=1∠AOB=20°，2分三种情况：①当OC=OE时，如图，∵OC =OE ，∴∠OEC =∠OCE ，∴∠OEC =12180°-∠AOC =80°；②当OC =CE 时，如图，∵OC =CE ，∴∠OEC =∠AOC =20°；③当OE =CE 时，如图，∵OE =CE ，∴∠OCE =∠AOC =20°，∴∠OEC =180°-∠OCE -∠AOC =140°，综上，∠OEC 的度数为：20°或80°或140°，故答案为：20°或80°或140°【点睛】本题考查了角平分线定义，等腰三角形性质，三角形的内角和定理的应用，用了分类讨论思想．5(2022春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨德强学校校考期中)在ΔABC 中，AB =AC ，∠BAC =100°，点D 在边BC 上(不与B 、C 重合)，连接AD ，若△ABD 是等腰三角形，则∠ADC 的度数为．【答案】80°或110°【分析】在ΔABC 中，根据AB =AC ，∠BAC =100°，得到∠B =∠C =(180°-100°)÷2=40°，再根据△ABD 是等腰三角形及三角形外角公式分类讨论即可得到答案．【详解】解：如图所示,在△ABC 中，∵AB=AC，∠BAC=100°，∴∠B=∠C=(180°-100°)÷2=40°，若△ABD是等腰三角形，①当BD=AD时，∠B=∠BAD=40°，∠ADC=∠B+∠BAD=80°，②当BA=BD时，∠BAD=∠BDA，∠BAD=(180°-40°)÷2=70°，∠ADC=∠B+∠BAD=110°，综上所述80°或110°．【点睛】本题考查利用等腰三角形性质求角度及三角形内外角关系，解题关键是分析出△ABD的腰．6(2022春·江西赣州·八年级统考期中)如图，在△ABC中，∠B=20°，∠A=105°，点P在△ABC的三边上运动，当△PAC为等腰三角形时，顶角的度数是．【答案】105°或55°或70°【分析】作出图形，然后分点P在AB上与BC上两种情况讨论求解．【详解】解：①如图1，点P在AB上时，AP=AC，顶角为∠A=105°，②∵∠B=20°，∠A=105°，∴∠C=180°-20°-105°=55°，如图2，点P在BC上时，若AC=PC，顶角为∠C=55°，如图3，若AC=AP，则顶角为∠CAP=180°-2∠C=180°-2×55°=70°，综上所述，顶角为105°或55°或70°．故答案为：105°或55°或70°．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，注意要分情况讨论求解．7(2023春·江西吉安·八年级统考期中)已知：如图，线段AB 的端点A 在直线l 上，AB 与l 的夹角为30°，点C 在直线l 上，若△ABC 是等腰三角形．则这个等腰三角形顶角的度数是．【答案】30°或120°或150°．【分析】分情况讨论：如图，当AB =AC 时，C 在A 的右边，如图，当AB =AC 时，C 在A 的左边，当BA =BC 时，再分别画出图形求解即可．【详解】解：如图，当AB =AC 时，C 在A 的右边，则顶角∠BAC =30°，，如图，当AB =AC 时，C 在A 的左边，则顶角∠BAC =180°-30°=150°，如图，当BA =BC 时，则∠BAC =∠BCA =30°，∴顶角∠ABC =180°-2×30°=120°；如图，当AC =BC 时，则∠BAC =∠ABC =30°，此时顶角∠ACB =180°-2×30°=120°，故答案为：30°或120°或150°．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，熟记等腰三角形的顶角的含义与等腰三角形的性质是解本题的关键．【易错点三求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错】1(2023秋·江西萍乡·八年级统考期末)在平面直角坐标系中，已知A 0,4 ，B 8,0 ，点C 在x 轴上，且在点B 的左侧，若△ABC 是等腰三角形，则点C 的坐标是．【答案】-8,0 或8-45,0 或3,0 ．【分析】分类讨论：①当AB =AC 时，②当AB =BC 时和③当AC =BC 时，画出图形，结合等腰三角形的定义和性质，勾股定理求解即可．【详解】解：分类讨论：①当AB =AC 时，如图，此时为AB =AC 1，∵AO ⊥BC 1，∴OC 1=OB =8，∴C 1-8,0 ；②当AB =BC 时，如图，此时为AB =BC 2，∵OA =4，OB =8，∴BC 2=AB =OA 2+OB 2=45，∴OC 2=BC 2-OB =45-8，∴C 28-45,0 ；③当AC =BC 时，如图，此时为AC 3=BC 3，设C 3x ,0 ，则OC 3=x ，∴AC 3=BC 3=OB -OC 3=8-x ．在Rt △OAC 3中，OA 2+OC 32=AC 32，∴42+x 2=8-x 2，解得：x =3，∴C 33,0 ．综上可知，点C 的坐标是-8,0 或8-45,0 或3,0 ．故答案为：-8,0 或8-45,0 或3,0 ．【点睛】本题考查坐标与图形，等腰三角形的定义和性质，勾股定理．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．【变式训练】1(2023春·江西九江·八年级统考期末)已知Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =3,BC =4，若△ABC 沿射线BC 方向平移m 个单位得到△DEF ，顶点A ，B ，C 分别与顶点D ，E ，F 对应，若以点A ，D ，E 为顶点的三角形是等腰三角形，则m 的值是．【答案】258或5或8【分析】分AD =DE ，AE =AD =m ，AE =DE 三种情况进行讨论求解即可．【详解】解：∵∠C =90°，AC =3,BC =4，∴AB =32+42=5，△ABC 沿射线BC 方向平移m 个单位得到△DEF ，∴AD =BE =CF =m ，DE =AB =5,DF =AC =3,EF =BC =4，点A ，D ，E 为顶点的三角形是等腰三角形时，分三种情况①当AD =DE 时：如图，此时m =5；②当AE =AD =m 时：如图，则：CE =BC -BE =4-m ，在Rt △ACE 中，AE 2=AC 2+CE 2，即：m 2=9+4-m 2，解得：m =258；③当AE =DE 时，如图：此时AE =AB ，∵∠ACB =90°，∴BC =CE =4，∴m =BE =BC +CE =8；综上：m =258，5或8；故答案为：258或5或8．【点睛】本题考查平移的性质，勾股定理，等腰三角形的性质．根据题意，准确的画图，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．2(2023春·江西上饶·八年级统考阶段练习)在平面直角坐标系中，已知一次函数y =-x +6的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ．点C 在x 轴上，且不与原点重合，若△ABC 为等腰三角形，则点C 的坐标为．【答案】-6，0 或6+62，0 或6-62，0【分析】先求得点A 、点B 的坐标再分AB =AC ，AB =BC ，AC =BC ，三种情况讨论求解即可．【详解】(1)解：令y =0，得x =6，令x =0，得y =6，∴A 6，0 ，B 0，6 ，∴OA =6，OB =6，∴AB =62+62=62．当CA =CB 时，点C 与原点重合，不符合题意，舍去；当BA =BC 时，OC =OA =6，C 2-6，0 ；当AC =AB =62时，点C 36+62，0 ，C 46-62，0 ．综上：点C 在x 轴上，且△ABC 为等腰三角形时，点C 的坐标为：-6，0 ，6+62，0 ，6-62，0 ．故答案为：-6，0 ，6+62，0 ，6-62，0 ．【点睛】本题考查一次函数的综合应用．正确的求出直线与坐标轴的交点坐标，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键．3(2023·江西新余·统考一模)在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，AB =12，D 、E 分别是边BC 、AB 上的动点.将△BDE 沿直线DE 翻折，使点B 的对应点B 恰好落在边AC 上.若△AEB 是等腰三角形，则DB的长是．【答案】6或62-6或0【分析】分三种情况讨论：当AB =EB 时，△AEB 是等腰三角形；当AE=AB 时，△AEB 是等腰三角形；当AE=B E时，△AEB 是等腰三角形，分别根据等腰三角形的性质以及勾股定理进行计算，即可得到CB 的值．【详解】解：∵∠C=90°，∠A=30°，AB=6=12，∴∠B=60°，BC=6，分三种情况讨论：①如图所示，当点D与点C重合时，∠B=∠CB E=60°，∵∠A=30°，∴∠AEB'=30°，∴∠A=∠AEB ，∴AB =EB ，即△AEB 是等腰三角形，此时，CB =BC=6；②如图所示，当AE=AB 时，△AEB 是等腰三角形，∴∠AB E=75°，由折叠可得，∠DB E=∠ABC=60°，∴∠DB C=45°，又∵∠C=90°，∴△DCB 是等腰直角三角形，设CB =x=DC，则BD=6-x=DB ，∵Rt△DCB 中，x2+x2=(6-x)2，解得x1=62-6，x2=-62-6(舍去)，∴CB =62-6；③如图所示，当点B 与点C重合时，∠B=∠DCE=60°，∴∠EB A=30°=∠A，∴AE=B E，即△AEB 是等腰三角形，此时CB =0，综上所述，当△AEB 是等腰三角形时，CB 的值是6或62-6或0．故答案为：6或62-6或0．【点睛】本题主要考查了折叠问题，等腰三角形的性质，解一元二次方程以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是依据△AEB 是等腰三角形，画出图形进行分类讨论，解题时注意方程思想的运用．【易错点四三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错】1(2023秋·山东泰安·七年级东平县实验中学校考期末)等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为15和12两部分,则此三角形的底边长为()A.7B.11C.7或11D.无法确定【答案】C【分析】根据题意作出图形，设AD=DC=x，BC=y，然后分两种情况列出方程组求解，再根据三角形的三边关系判断即可求解．【详解】解：如图所示，根据等腰三角形的定义和三角形中线的性质得：AD=DC=12AC=12AB．可设AD=DC=x，BC=y，∴AB=2x．由题意得：x+2x=15y+x=12或x+2x=12y+x=15，解得：x=5 y=7或x=4y=11．当x=5y=7时，即此时等腰三角形的三边为10，10，7，∵10+7>10，符合三角形的三边关系，∴此情况成立；当x=4y=11时，即此时等腰三角形的三边为8，8，11，∵8+8>11，符合三角形的三边关系，∴此情况成立．综上可知这个等腰三角形的底边长是7或11．故选：C．【点睛】本题考查三角形三边关系，等腰三角形的定义，三角形中线的性质．利用分类讨论的思想是解题关键．【变式训练】1(2023春·辽宁沈阳·八年级校考阶段练习)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，那么这个三角形的顶角为()A.45°B.90°C.135°D.135°或45°【答案】D【分析】分三角形是锐角三角形时，利用直角三角形两锐角互余求解；三角形是钝角三角形时，利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【详解】如图1，三角形是锐角三角时，∵∠ACD=45°，∴顶角∠A=90°-45°=45°；如图2，三角形是钝角时，∵∠ACD=45°，∴顶角∠BAC=45°+90°=135°，综上所述，顶角等于45°或135°．故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．2(2022秋·广东惠州·八年级校考阶段练习)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为．【答案】60°或120°【分析】分两种情况：等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角，分别进行求解即可．【详解】解：①如图1，当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+30°=120°；②如图2，当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，故顶角是90°-30°=60°．故答案为60°或120°．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形外角的性质等知识点，注灵活运用相关性质是解答本题的关键．3(2023秋·山西临汾·八年级统考期末)在△ABC中，AB=AC，CD是AB边上的高，∠ACD=30°，则∠B=．【答案】60°或30°/30°或60°【分析】根据三角形的内角和定理，求出∠A的度数然后再求出∠B的度数；【详解】如图，当CD在△ABC内时∵CD⊥AB∴∠A=90°-∠ACD=60°∵AB=AC∴∠B=∠C=60°如图当CD在△ABC外时∵CD⊥AB∴∠BAC=90°+∠ACD=120°∵AB=AC∴∠B=∠C=30°故答案为60°或30°【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理及推论此题难度不大，属于中等题；4(2022春·广东广州·八年级校考阶段练习)在△ABC中，AB=AC，AC上的中线BD把三角形的周长分成24和30两部分，则底边BC的长为．【答案】22或14【分析】分两种情况：AB+AD=24；AB+AD=30，可得AB的长，再由另一部周长即可求得底边BC的长．【详解】解：由题意得：AD=CD∴AB=AC=2AD；当AB+AD=24时，即2AD+AD=24，∴AD=8，∵BC+CD=30，∴BC=30-CD=30-8=22；当AB+AD=30时，即2AD+AD=30，∴AD=10，∵BC+CD=24，∴BC=24-CD=24-10=14；综上，底边的长为22或14；故答案为：22或14．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，中线的含义，涉及分类讨论．5(2022·陕西·交大附中分校七年级期末)已知△ABC中，∠B=20°，在AB边上有一点D，若CD将△ABC分为两个等腰三角形，则∠A=．【答案】100°，70°，40°或者10°【分析】分BD=CD、BC=CD、BD=BC三种情况讨论即可求解．【详解】第一种请况：BD=CD时，如图，∵BD=CD，∠B=20°，∴∠B=∠DCB=20°，∴∠ADC=∠B+∠DCB=40°，(1)当DA=DC时，∠A=∠ACD，∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，∠ADC=40°，∴∠A=∠ACD=70°；(2)当DA=AC时，即有∠ADC=∠ACD=40°，∴∠A=180°-∠ADC-∠ACD=100°；(3)当CD=CA时，∠A=∠ADC=40°；第二种请况：BC=CD时，如图，∵∠B=20°，BC=CD，∴∠B=∠BDC=20°，∴∠ADC=180°-∠BDC=160°，∵△ADC是等腰三角形，∴有∠A=∠ACD，∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，∴∠A=10°；第三种情况：BC=BD时，如图，∵BC=BD，∴∠BDC=∠BCD，∵∠B=20°，∠B+∠BCD+∠BDC=180°，∴∠BCD=∠BDC=80°，∴∠ADC=180°-∠BDC=100°，∵△ADC是等腰三角形，∴有∠A=∠ACD，∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，∴∠A=40°；综上所述：∠A的度数为：70°，100°，40°，10°，故答案为：70°，100°，40°，10°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，掌握三角形的性质是解答本题的关键．6(2023春·广东河源·八年级校考开学考试)在△ABC中，AB=AC，AC边上的中线BD把三角形的周长分成12cm和15cm的两部分，求三角形各边的长．【答案】三角形的各边长为10cm、10cm、7cm或8cm、8cm、11cm【分析】由在△ABC中，AB=AC，AC边上的中线BD把三角形的周长分成12cm和15cm两部分，可得|AB-BC|=15-12=3cm，然后分别从AB>BC，AB+BC+AC=2AB+BC=12+15=27cm与AB<BC去分析求解即可求得答案．【详解】解：如图，∵AB =AC ，BD 是AC 边上的中线，即AD =CD ，∴AB +AD -BC +CD =|AB -BC |=15-12=3cm ，AB +BC +AC =2AB +BC =12+15=27cm ，若AB >BC ，则AB -BC =3cm ，又∵2AB +BC =27cm ，联立方程组:AB -BC =32AB +BC =27 ,解得：AB =10cm ，BC =7cm ，10cm 、10cm 、7cm 三边能够组成三角形；若AB <BC ，则BC -AB =3cm ，又∵2AB +BC =27cm ，联立方程组BC -AB =32AB +BC =27 ,解得：AB =8cm ，BC =11cm ，8cm 、8cm 、11cm 三边能够组成三角形；∴三角形的各边长为10cm 、10cm 、7cm 或8cm 、8cm 、11cm ．【点睛】此题考查了等腰三角形的定义．注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．。
北师大版七年级下等腰三角形难题
北师大版七年级下等腰三角形难题
本文档将介绍一些关于北师大版七年级下册的等腰三角形的难题。
以下是一些典型的等腰三角形难题及其解法。
难题1: 确定等腰三角形的高
问题描述：已知等腰三角形的底边长为8cm，顶角的度数为45°，求这个等腰三角形的高。
解法：根据等腰三角形的性质，等腰三角形的底边上的高和顶角的度数有关。
我们可以利用三角函数来求解此问题。
设等腰三角形的高为h，则有正弦关系式：sin(45°) = h/8。
通过计算得到：
h = 8 * sin(45°)
计算结果为：
h = 8 * 0.7071 ≈ 5.657cm
所以，该等腰三角形的高约为5.657cm。
难题2: 计算等腰三角形的面积
问题描述：已知等腰三角形的底边长为12cm，高为10cm，求
该等腰三角形的面积。
解法：等腰三角形的面积可以通过以下公式计算：面积 = 底边
长 * 高 / 2。
将已知条件代入公式，得到：
面积 = 12 * 10 / 2
计算结果为：
面积 = 60
所以，该等腰三角形的面积为60平方厘米。
以上是两个关于等腰三角形的典型难题及解法。
通过这些例题，我们可以更好地理解和应用等腰三角形的性质和计算方法。
希望对
你的学习有所帮助！。
专题01 等腰三角形三种压轴题型全攻略(解析版)
专题01 等腰三角形三种压轴题型全攻略(解析版)等腰三角形三种压轴题型全攻略(解析版)在数学中，等腰三角形是一种特殊的三角形，它具有两条边相等的性质。
在考试中，等腰三角形常常出现在各类题目中，而三种压轴题型更是考察学生对等腰三角形的理解和运用能力。
本文将为大家介绍三种常见的等腰三角形压轴题型，并给出详细的解析，帮助大家更好地掌握解题技巧。
一、等腰三角形的性质首先，我们回顾一下等腰三角形的性质。
等腰三角形有两条边相等，可以分为底边和两条等腰边。
其性质如下：1. 等腰三角形的底边上的两个底角相等。
2. 等腰三角形的两条等腰边上的两个顶角相等。
利用这些性质，我们可以解决以下三种常见的等腰三角形压轴题型。
二、题型一：等腰三角形边长第一种题型是给定一个等腰三角形，要求计算其边长。
这种题型通常会给出等腰三角形的底边长度或两条等腰边的长度，并要求计算等腰三角形的其他边长。
解题步骤如下：Step 1：根据已知条件，将等腰三角形的底边或两条等腰边的长度表示出来。
Step 2：利用等腰三角形的性质，根据已知条件得到其他边长的表达式。
Step 3：根据所得到的表达式，计算出未知边长的具体数值。
三、题型二：等腰三角形的面积第二种题型是给定一个等腰三角形，要求计算其面积。
这种题型通常会给出等腰三角形的底边长度和高，并要求计算面积。
解题步骤如下：Step 1：根据已知条件，将等腰三角形的底边长度和高表示出来。
Step 2：根据面积公式 S = (1/2) ×底边 ×高，计算出面积。
Step 3：得到等腰三角形的面积。
四、题型三：等腰三角形的角度第三种题型是给定一个等腰三角形，要求计算其顶角的度数。
这种题型通常会给出等腰三角形的顶角的度数，并要求计算其他角的度数。
解题步骤如下：Step 1：根据已知条件，将等腰三角形的某个顶角的度数表示出来。
Step 2：利用等腰三角形的性质，根据已知条件得到其他角度的表达式。
初二数学-等腰三角形10道典型题剖析
思路分析：由BD平分∠ABC，
A
易知∠1=∠2， 则设∠1=∠2
=x，由AB=AC可得
1
∠C=∠1+∠2=2x,在△DBC中
2
由三角形内角和定理可列出x B
D C
的方程，求出x．
解：设1 x,
BD平分ABC，
A
1 2 x, AB AC,
1 2
B
D C
C ABC 1 2 2x．
在DBC中，
提示： 本题为文字命题，解题时应分为以下 三个步骤： （1）根据题意作图； （2）写出已知， （3）进行求证．
已知：在ABC中，AB AC, D为底边BC
的中点，DE AB于点E, DF AC于点F．
求证：DE DF．
A
思路分析：由等腰三角形的性质易得
E
F
B C,又BD DC，DE AB, DF AC，
∴∠FBC+∠C+∠FBC=3∠C,
∴∠FBC=∠C, ∴BF=FC, ∴AC-AB=2BE.
例8．如图，△ABD、 △AEC都是等边三角 形，求证： △AFG是等边三角形．
思路分析：利用等边三角 形的性质可推出，边、角 的等量关系，从而易证三 角形全等，进而说明
△AFG是等边三角形．
证明：∵△ABD 和△AED是正三角形， ∴AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°, ∴ ∠CAD=∠BAD+∠CAB=60°+∠CAB, ∠BAE=∠CAE+∠CAB=60°+∠CAB, ∴ ∠CAD=∠BAE, △ADC≌△BAE, ∴ ∠ADF=∠GBA．
70°、40°或55°、55°
引申： 已知等腰三角形的一个角是110°， 求其余两角．
等腰直角三角形难题
等腰直角三角形难题一、选择题（共8小题）1如图，在等腰直角△ ABC中AC=AB , BD丄AH于D, CH丄AH于H , HE、DF分别平分 / AHC和/ADB，则下列结论中①△ AHC BDA ;②DF丄HE ;③DF=HE ;④AE=BF其中，正确的结论有（）（只需填写序号）A .① ③④B .①C .①②③D .① ②③④2. （2012?黄埔区一模）将一个斜边长为妊的一个等腰直角三角形纸片（如图1）,沿它的对称轴折叠1次后得到另一个等腰直角三角形（如图2）,再将图2的等腰直角三角形沿它的对称轴折叠后得到又一个等腰直角三角形（如图3）,若连续将图1的等腰直角三角形折叠n次后所得到的等腰直角三角形（如图3 .如图：△ ABC 中，/ ACB=90 ° ° / CAD=30 ° ° AC=BC=AD , CE 丄CD，且CE=CD，连接BD , DE , BE ,则下列结论：①/ ECA=165 ° °②BE=BC ;③AD丄BE;④4•如图，在2 X3矩形方格纸上，各个小正方形的顶点称为格点，则以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为5.如图，△ ABC 中，AC=BC , / ACB=90 ° AE 平分/ BAC 交BC 于E, BD 丄AE 于D , DM 丄AC 于M，连CD .下列结论：①AC+CE=AB ;②CD^AE；③/ CDA=45 °④丫严=定值.其中正确的有（n+1）的斜边长为（）启"其中正确的是（B .①②④C •①③④D .①②③④I* (k 1\ ----------------- JB . 38 C. 46 D . 50C.A . 246.如图，在等腰Rt △ ABC的斜边AB上取两点M , N，使/ MCN=45 °记AM=m , MN=n , BN=x，则以线段x、m、n为边长的三角形的形状是（）考虑接缝），如图2所示.小明所用正方形包装纸的边长至少为（）二、填空题（共12小题）（除非特别说明，请填准确值）9.下列说法：①如图1, △ ABC中，AB=AC , /A=45 °则厶ABC能被一条直线分成两个小等腰三角形.②如图2, △ ABC中，AB=AC , / A=36 ° BD , CE分别为/ ABC , / ACB的角平分线，且相交于点F,则图中等腰三角形有6个.③如图3, △ ABC是等边三角形，CD丄AD，且AD // BC,贝U AD=^AB .④如图4, △ ABC中，点E是AC上一点，且AE=AB，连接BE并延长至点D，使AD=AC , / DAC= / CAB，则/ DBC=g/ DAB其中，正确的有___________________ （请写序号，错选少选均不得分）A .锐角三角形C.钝角三角形B .直角三角形D .随x、m、n的变化而改变7. （2006?防城港）如图，在五边形ABCDE 中，/ A= / B, / C= / D= / E=90 ° DE=DC=4 , AB^2，则五边形B. II.：8 （2010?鼓楼区二模）小明将一张正方形包装纸, 剪成图1所示形状，用它包在一个棱长为10的正方体的表面（不D. 10+10 :■:A/DA . 1个A . 4010.已知△ ABC中，AB=AC , / BAC=90 °直角/ EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点F、F,若FC=3厘米，BE=4厘米，则△ EFP的面积为__________________ 平方厘米.11.一个三角形三个内角之比为1: 1 : 2，则这个三角形的三边比为_______________12.一个三角形不同顶点的三个外角的度数比是3: 3: 2,则这个三角形是_________________ 三角形.13.（2003?黄浦区一模）已知第一个等腰直角三角形的面积为1,以第一个等腰直角三角形的斜边为直角边画第二个等腰直角三角形，又以第二个等腰直角三角形的斜边为直角边画第三个等腰直角三角形，以此类推，第13个等腰直角三角形的面积是 ______________ .14. （2007?天水）如图，AD是厶ABC的一条中线，/ ADC=45度.沿AD所在直线把△ ADC翻折，使点C落在15.如图，在等腰Rt△ ABC中，/ C=90 ° AC=8 , F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE .连接DE、DF、EF.在此运动变化过程中，有下列五个结论：①△ DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形；③DE长度的最小值为4; ④四边形CDFE的面积保持不变；⑤△ CDE面积的最大值为 &其中正确结论是_ 一.16.（2011?贵阳）如图，已知等腰Rt△ ABC的直角边长为I，以Rt△ ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ ACD , 再以Rt△ ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ ADE ,…，依此类推到第五个等腰Rt△ AFG，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为_________________ .D17.已知△ ABC 的三边长a、b 、c 满足J 己-]+ b - 1 +亠二。
完整版)等腰三角形专项练习题
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1.在等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，已知∠A=36°，求∠1的度数。
解：由BD平分∠XXX可知∠ABD=∠CBD，又因为AB=AC，所以∠BAC=2∠ABD=2∠CBD，即∠1=180°-∠BAC=108°。
2.已知等腰三角形的两边长分别为5和6，求该等腰三角形的周长。
解：设等腰三角形的底边为x，则根据勾股定理可得x²=6²-(5/2)²=31.25，即x=√31.25，所以周长为2x+5+6=2√31.25+11≈17.5.3.在一张长为18厘米，宽为16厘米的矩形纸板上，剪下一个腰长为10厘米的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其它两个顶点在矩形的边上，求剪下的等腰三角形的面积。
解：如图，设剪下的等腰三角形为△ABC，其中AB=AC=10，BC=x，则根据勾股定理可得x²=16²-10²=196，即x=14.所以△ABC的面积为(1/2)×10×14=70平方厘米。
4.如图，在等腰三角形ABC中，∠B、∠C的平分线相交于F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，判断下列结论的正确性：①△BDF、△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周长为AB+AC；④BD=CE。
解：①正确，因为∠XXX∠XXX∠XXX∠XXX∠BAC/2，所以△BDF、△CEF都是等腰三角形；②正确，因为根据相似三角形可得BD/BC=AD/AC，CE/BC=AE/AC，又因为AD=AE，所以BD=CE，即DE=2BD；③错误，因为AB+AC=2AB≠AD+DE+EA=AD+2BD；④正确，因为根据相似三角形可得BD/BC=AD/AC，CE/BC=AE/AC，又因为AD=AE，所以BD=CE。
(完整版)等腰三角形经典练习题(有难度)
A等腰三角形练习题一、计算题:1. 女口图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB求6的度数2. 如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD求/A的度数3、AB 于丄AB 于E, DF 丄BC 交AC 于点F,若/EDF=70。
，求AFD 的度数4. 女口图，△ABC 中, AB=AC,BC=BD=ED=EA 求/A的度数ACA5. 如图，△ABC 中，AB二AC , D 在BC 上, /BAD=30 °在AC 上取点E,使AE=AD,求/EDC的度数6. 如图，△ABC 中，/C=901BE=AC,BD= 2,DE+BC=1,求/ABC的度数,D为AB上一点，作DE丄BC于E,若C7. 如图，△ABC 中，AD 平分Z BAC，若AC二AB+BD 求ZB : Z C的值二、证明题:8. 如图，A DEF 中，/EDF=2 ZE, FA丄DE 于点A，问：DF、AD、AE 间有什么样的大小关系9. 如图，△ABC中，Z B=60。
，角平分线AD、CE交于点0求证：AE+CD二AC12.如图,△BC中,AB=AC,D 点，且/ ABD= ZACD =60 求证：CD=AB-BD13. 已知：如图，AB=AC=BE , CD为A ABC中AB边上的中线1D求证：CD= 2CEB C14. 如图，△ABC 中，/1二 /2,/EDC二 ZBAC求证：BD=EDD15. 如图，△ABC 中，AB=AC,BE=CF,EF 求证：EG=FG16. 如图，△ABC 中，/ABC=2 ZC , AD 是BC 边上的高，B 到点E ,使17. 如图，AABC 中，AB=AC,AD 和BE 两条高，交于点 H ，且AE=BE求证：AH=2BDBE=BD求证：AF=FCA18. 如图，△ABC 中，AB二AC, /BAC=90 °,BD=AB, /ABD=30求证：AD=DC19. 如图，等边△ABC中，分别延长BA至点E,延长BC至点D，使AE=BD求证：EC=ED20. 如图，四边形ABCD中，/BAD+ ZBCD=180 °,AD、BC的延长线交于点F, DC、AB的延长线交于点E,/E、/F的平分线交于点H 求证：EH丄FH一、计算题:1. 女口图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB 求/A的度数设/ABD为X,则/A为2x由8x=180 °得 /A=2x=45 °2. 如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD求/A的度数设/A 为X,由5x=180 °BD得/A=363. 如图，△ABC 中，AB=AC , D 在BC 上，DE 丄AB 于E, DF 丄BC 交AC 于点F,若/EDF=70求Z AFD的度数Z AFD=1604. 如图，△ABC中,求/A的度数设/A为x180ZA= 7AB=AC,BC=BD=ED=EA5. 如图，△ABC 中，AB二AC , D 在BC 上,/BAD=30 °在AC 上取点E,使AE=AD,求/EDC的度数设/ADE为xx—156. 如图，△ABC中，/C=90 °,D为AB上一点，作DE丄BC于E,若1BE=AC,BD= 2,DE+BC=1,求/ABC的度数延长DE到点F,使EF=BC可证得:△ABC幻^FE所以/仁ZF由Z2+ ZF=90 °得Z1+ ZF=90 °1在Rt ADBF 中,BD= 2,DF=1所以/F = Z1=30 °7. 如图，A ABC 中，AD 平分/BAC，若AC二AB+BD求ZB : /C的值在AC上取一点E,使AE=AB可证/△ABD坐A DE所以Z B= Z AED由AC=AB+BD,得DE=EC, 所以Z AED=2 ZC故/B : Z C=2:1、证明题:8. 如图，AKBC中，ZABC, /CAB的平分线交于点P,过点P作DE //AB ,分别交BC、AC于点D、E求证：DE=BD+AE13证明APBD 和BEA 是等腰三角形9. 如图，A DEF 中，/EDF=2 ZE , FA 丄 DE 于点 A ，问：DF 、AD 、AE10. 如图，A ABC 中，Z B=60求证：AE+CD 二AC 在AC 上取点F,使 AF=AE易证明MOE ^zAOF,,角平分线AD 、CE 交于点OBED间有什么样的大小关系DF+AD=AE在AE上取点B,使AB=AD 得Z AOE二 ZAOF由ZB=60 °，角平分线AD、CE,得Z AOC=120所以Z AOE= ZAOF= ZCOF= /COD=60故△COD幻©OF,得CF=CD所以AE+CD二AC11. 如图，©ABC 中，AB=AC, zA=100 °,BD 平分/ABC, 求证：BC=BD+AD 延长BD到点E,使BE=BC,连结CE 在BC上取点F,使BF=BA易证©ABD 坐©BD,得AD=DF再证©CDE 坐©DF,得DE=DF故BE=BC=BD+AD也可:在BC上取点E,使BF=BD,连结DF在BF上取点E,使BF=BA,连结DE先证DE=DC,再由©ABD坐©BD,得AD=DE,最后证明DE=DF即可BE F12. 如图，AABC中,AB=AC,D 为AABC外一点，且/ ABD二 zACD =60求证：CD=AB-BD在AB上取点E,使BE=BD ,在AC上取点F,使CF=CD得ABDE与△CDF均为等边三角形,只需证MDF幻Z ED13. 已知：如图，AB=AC=BE , CD为A ABC中AB 边上的中线1求证：CD= 2CE延长CD到点E,使DE=CD.连结AE证明MCE坐zBCE14. 如图，A ABC 中，/1二 /2,/EDC二 ZBAC求证：BD=ED易证/△ABD坐A DF,得BD=DF, ZB= Z AFD由ZB+ ZBAC+ ZC= ZDEC+ ZEDC+ /C=180所以ZB= ZDEC所以/DEC二Z AFD所以DE=DF,故BD=ED15. 如图，A ABC 中，AB=AC,BE=CF,EF 交BC 于点G求证：EG=FG16. 如图，A ABC中，/ABC=2 ZC, AD是BC边上的高，B到点E,使ABE=BD求证：AF=FC17. 如图，△ABC中，AB=AC,AD 和BE两条高，交于点求证：AH=2BD由△AHE坐^CE,得BC=AH18. 如图，A ABC 中，AB=AC, /BAC=90 °,BD=AB, zABD=30求证：AD=DC作AF丄BD于F,DE丄AC于E可证得Z DAF=DAE=15 °所以/△ADE坐A DF得AF=AE,由AB=2AF=2AE=AC,所以AE=EC,因此DE是AC的中垂线，所以AD=DC19. 如图，等边A ABC中，分别延长BA至点E,延长BC至点D，使AE=BD求证：EC=ED延长BD到点F,使DF=BC,可得等边厶BEF,F 18C D只需证明A BCE幻△DE即可20. 如图，四边形ABCD中，/BAD+ ZBCD=180 °,AD、BC的延长线交于点F, DC、AB的延长线交于点E,/E、/F的平分线交于点H求证：EH丄FH延长EH交AF于点G由ZBAD+ /BCD=180ZDCF+ ZBCD=180 °得/BAD二 /DCF,由外角定理，得/1二2 故MGM是等腰三角形由三线合一，得EH丄。
各种等腰三角形难题
各类等腰三角形难题例1. 在⊿ABC中,AB=AC,且∠A=20°,在为AB上一点,AD=BC,连接CD.试求:∠BDC的度数.分析:题中出现相等的线段,以此为突破口,构造全等三角形.解:作∠DAE=∠B=80°,使AE=BA,(点D,E在AC两侧)连接DE,CE.∵AE=BA;AD=BC;∠DAE=∠B.∴⊿DAE≌⊿CBA(SAS),DE=AE;∠DEA=∠BAC=20°.∠CAE=∠BAE-∠BAC=60°,又AE=AB=AC.∴⊿AEC为等边三角形,DE=CE;∠DEC=∠AEC-∠DEA=40°. 则:∠CDE=70°;又∠ADE=80°.故∠ADC=150°,∠BDC=30°.例2.已知,如图:⊿ABC中,AB=AC,∠BAC=20°.点D和E分别在AB,AC上,且∠BCD=50°,∠CBE=60°.试求∠DEB的度数.本题貌似简单,其实不然.解:过点E作BC的平行线,交AB于F,连接CF交BE于点G,连接DG.易知⊿GEF,⊿GBC均为等边三角形.∴∠FEG=∠EFG=60°;∠AFG=140°,∠DFG=40°;∵∠BCG=50°;∠CBD=60°.∴∠BDC=50°=∠BCD,则BD=BC=BG;又∠ABE=20°.故∠BGD=80°,∠DGF=180°-∠BGD-∠FGE=40°.即∠DGF=∠DFG,DF=DG;又EG=EF;DE=DE.∴⊿DGE≌⊿DFE(SSS),得:∠DEG=∠DEF=30°.所以,∠DEB=30°.例3.已知,等腰⊿ABC中,AB=AC,∠BAC=20°,D和E分别为AB和AC上的点,且∠ABE=10°,∠ACD=20°.试求:∠DEB的度数.本题相对于上面两道来说,难度又增加了许多.且看我下面的解答.解:在CA上截取CM=CB,连接BM,DM,则∠CMB=∠CBM=50°.作DG∥BC,交AC于G,连接BG,交CD于F,连接FM.易知⊿BCF和⊿DGF为等边三角形,CM=CB=CF.∴∠CMF=∠CFM=80°,∠GMF=100°.∠GFM=∠GFC-∠CFM=40°;∠FGM=∠A+∠ABG=40°.即∠GFM=∠FGM;FM=GM;又∠DF=DG,DM=DM.则⊿DMF≌⊿DMG,∠DMG=∠DMF=50°.故∠DMC=130°=∠EMB;又∠DCM=∠EBM=20°.∴⊿DMC∽⊿EMB,DM/MC=EM/MB;又∠DME=∠BMC=50°.∴⊿DME∽⊿CMB,∠DEM=∠CBM=50°.又∠BEC=∠ABE+∠A=30°.所以,∠DEB=∠DEG-∠BEC=50°-30°=20°.例4.如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M。
各种等腰三角形难题(汇编)
各类等腰三角形难题例1. 在⊿ABC中,AB=AC,且∠A=20°,在为AB上一点,AD=BC,连接CD.试求:∠BDC的度数.分析:题中出现相等的线段,以此为突破口,构造全等三角形.解:作∠DAE=∠B=80°,使AE=BA,(点D,E在AC两侧)连接DE,CE.∵AE=BA;AD=BC;∠DAE=∠B.∴⊿DAE≌⊿CBA(SAS),DE=AE;∠DEA=∠BAC=20°.∠CAE=∠BAE-∠BAC=60°,又AE=AB=AC.∴⊿AEC为等边三角形,DE=CE;∠DEC=∠AEC-∠DEA=40°. 则:∠CDE=70°;又∠ADE=80°.故∠ADC=150°,∠BDC=30°.例2.已知,如图:⊿ABC中,AB=AC,∠BAC=20°.点D和E分别在AB,AC上,且∠BCD=50°,∠CBE=60°.试求∠DEB的度数.本题貌似简单,其实不然.解:过点E作BC的平行线,交AB于F,连接CF交BE于点G,连接DG.易知⊿GEF,⊿GBC均为等边三角形.∴∠FEG=∠EFG=60°;∠AFG=140°,∠DFG=40°;∵∠BCG=50°;∠CBD=60°.∴∠BDC=50°=∠BCD,则BD=BC=BG;又∠ABE=20°.故∠BGD=80°,∠DGF=180°-∠BGD-∠FGE=40°.即∠DGF=∠DFG,DF=DG;又EG=EF;DE=DE.∴⊿DGE≌⊿DFE(SSS),得:∠DEG=∠DEF=30°.所以,∠DEB=30°.例3.已知,等腰⊿ABC中,AB=AC,∠BAC=20°,D和E分别为AB和AC上的点,且∠ABE=10°,∠ACD=20°.试求:∠DEB的度数.本题相对于上面两道来说,难度又增加了许多.且看我下面的解答.解:在CA上截取CM=CB,连接BM,DM,则∠CMB=∠CBM=50°.作DG∥BC,交AC于G,连接BG,交CD于F,连接FM.易知⊿BCF和⊿DGF为等边三角形,CM=CB=CF.∴∠CMF=∠CFM=80°,∠GMF=100°.∠GFM=∠GFC-∠CFM=40°;∠FGM=∠A+∠ABG=40°.即∠GFM=∠FGM;FM=GM;又∠DF=DG,DM=DM.则⊿DMF≌⊿DMG,∠DMG=∠DMF=50°.故∠DMC=130°=∠EMB;又∠DCM=∠EBM=20°.∴⊿DMC∽⊿EMB,DM/MC=EM/MB;又∠DME=∠BMC=50°.∴⊿DME∽⊿CMB,∠DEM=∠CBM=50°.又∠BEC=∠ABE+∠A=30°.所以,∠DEB=∠DEG-∠BEC=50°-30°=20°.例4.如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M。
等腰三角形存在性问题(带标准答案)
等腰三角形存在性问题（两圆一线）类型一、格点中的等腰三角形1、在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（）2、.如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点C，使得△ABC是等腰三角形，且AB为其中一腰．这样的C点有( )个．3、如图，A、B是网格中的两个格点，点C也是网格中的一个格点，连接AB、BC、AC，当△ABC为等腰三角形时，格点C的不同位置有处，设网格中的每个小正方形的边长为1，则所有满足题意的等腰三角形ABC的面积之和等于．4、如图，在图中能画出与△ABC全等的格点三角形有几个？类型二、定边几何法讨论：两圆一线5、以线段AB为一边的等腰直角三角形有个，请在下列图中画出来6、（1）如图所示，线段OD的一个端点O在直线AB上，以OD为一边的等腰三角形ODP，并且使点P也在AB 上，这样的等腰三角形能画个（在图中作出点P）（2）若△DOB=60°，其它条件不变，则这样的等腰三角形能画个，（只写出结果）（3）若改变（2）中△DOB的度数，其他条件不变，则等腰三角形ODP的个数和（2）中的结果相同，则改变后△DOB=．7、如图，南北向的公路上有一点A，东西向的公路上有一点B，若要在南北向的公路上确定点P，使得△PAB是等腰三角形，则这样的点P最多能确定（）个．8、线段AB和直线l在同一平面上．则下列判断可能成立的有个直线l上恰好只有个1点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个2点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个3点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个4点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个5点P，使△ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个6点P ，使△ABP 为等腰三角形．9、如图AOB ∠,当ο30为AOB ∠，ο60，ο120时，请在射线OA 上找点P ，使POB ∆为等腰三角形，并分析出当AOB ∠发生变化时，点P 个数的情况；类型三、三角形、长方形和正方形中的等腰三角形10、如图，在长方形ABCD 中，AB=4，AD=10，点Q 是BC 的中点，点P 在AD 边上运动，若△BPQ 是腰长为5的等腰三角形，则满足题意的点P 有( )个11、如图所示，在长方形ABCD的对称轴上找一点P，使得△PAB，△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P有( )个12、如图，边长为6的正方形ABCD内部有一点P，BP=4，△PBC=60°，点Q为正方形边上一动点，且△PBQ是等腰三角形，则符合条件的Q点有____个．13、在等边△ABC所在的平面内求一点P，使△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，请画出所有满足条件的点；等腰三角形存在性问题（两圆一线）答案类型一、格点中的等腰三角形1、在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（4）2、.如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点C，使得△ABC是等腰三角形，且AB为其中一腰．这样的C点有( B )个．A.8B.9C.10D.113、如图，A、B是网格中的两个格点，点C也是网格中的一个格点，连接AB、BC、AC，当△ABC为等腰三角形时，格点C的不同位置有3处，设网格中的每个小正方形的边长为1，则所有满足题意的等腰三角形ABC的面积之和等于15．【解答】解：格点C的不同位置分别是：C、C′、C″，∵网格中的每个小正方形的边长为1，∴S△ABC=×4×3=6，S△ABC′=20﹣2×3﹣=6.5，S△ABC″=2.5，∴S△ABC+S△ABC′+S△ABC″=6+6.5+2.5=15．故答案分别为：3；15．4、如图，在图中能画出与△ABC全等的格点三角形有几个？类型二、定边几何法讨论：两圆一线5、以线段AB为一边的等腰直角三角形有个，请在下列图中画出来6、（1）如图所示，线段OD的一个端点O在直线AB上，以OD为一边的等腰三角形ODP，并且使点P也在AB 上，这样的等腰三角形能画4个（在图中作出点P）（2）若△DOB=60°，其它条件不变，则这样的等腰三角形能画2个，（只写出结果）（3）若改变（2）中△DOB的度数，其他条件不变，则等腰三角形ODP的个数和（2）中的结果相同，则改变后△DOB= 90°．7、如图，南北向的公路上有一点A，东西向的公路上有一点B，若要在南北向的公路上确定点P，使得△PAB是等腰三角形，则这样的点P最多能确定（）个．8、线段AB和直线l在同一平面上．则下列判断可能成立的有5个直线l上恰好只有个1点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个2点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个3点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个4点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个5点P，使△ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个6点P ，使△ABP 为等腰三角形．9、如图AOB ∠,当ο30为AOB ∠，ο60，ο120时，请在射线OA 上找点P ，使POB ∆为等腰三角形，并分析出当AOB ∠发生变化时，点P 个数的情况；【结论】当AOB ∠为锐角，AOB ∠ο60≠，有三个点，当AOB ∠=ο60，只有一个点；当AOB ∠为钝角或直角，只有一个点；类型三、三角形、长方形和正方形中的等腰三角形10、如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=10，点Q是BC的中点，点P在AD边上运动，若△BPQ是腰长为5的等腰三角形，则满足题意的点P有( B )A.2个B.3个C.4个D.5个11、如图所示，在长方形ABCD的对称轴上找一点P，使得△PAB，△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P有( C )A.1个B.3个C.5个D.无数多个12、如图，边长为6的正方形ABCD内部有一点P，BP=4，△PBC=60°，点Q为正方形边上一动点，且△PBQ是等腰三角形，则符合条件的Q点有____个．13、在等边△ABC所在的平面内求一点P，使△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，请画出所有满足条件的点；。
等腰三角形经典习题(必看)
等腰三角形经典习题(必看)题一：求等腰三角形的面积
题目描述
给定一个等腰三角形，已知底和高的长度分别为x和y，求该等腰三角形的面积。
解题思路
由于等腰三角形的底和高两边相等，可以利用三角形的面积公式求解。
面积公式为：$S = \frac{1}{2} \times x \times y$。
题二：求等腰三角形的周长
题目描述
给定一个等腰三角形，已知底的长度为x，求该等腰三角形的周长。
解题思路
由于等腰三角形的底和两边相等，可以利用周长公式求解。
周
长公式为：$P = 2 \times x + 2 \times \sqrt{\frac{x^2}{4} + y^2}$。
题三：求等腰三角形的顶角
题目描述
给定一个等腰三角形，已知底和高的长度分别为x和y，求该
等腰三角形的顶角。
解题思路
等腰三角形的顶角可以通过三角函数求得。
顶角的弧度可以表
示为：$r = \arctan(\frac{y}{\frac{x}{2}})$，然后将弧度转换为角度：$a = \frac{180 \times r}{\pi}$。
总结
通过以上题，我们可以掌握等腰三角形的面积、周长和顶角的
求解方法，这些基础知识对于进一步研究和应用等腰三角形有重要
意义。
以上为等腰三角形经典习题，希望对您的学习有所帮助。
等腰三角形难题
等腰三角形补充练习一．选择题（共3小题）1．在△ABC中，∠B=30°，点D在BC边上，点E在AC边上，AD=BD，DE=CE，若△ADE为等腰三角形，则∠C的度数为（）A．20°B．20°或30°C．30°或40°D．20°或40°2．如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A、B是格点，以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为（）A．7个 B．8个 C．9个 D．10个3．如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAD=α，且AE=AD，则∠EDC=（）A．αB．αC．αD．α二．填空题（共14小题）5．在同一平面内，已知点P在等边△ABC外部，且与等边△ABC三个顶点中的任意两个顶点形成的三角形都是等腰三角形，则∠APC的度数为．6．等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则这个三角形的底角为．7．有两个等腰三角形甲和乙，甲的底角等于乙的顶角，甲的底长等于乙的腰长，甲的腰长等于乙的底长，则甲的底角是度．8．如图，∠BAC=θ（0°＜θ＜90°），现只用4根等长的小棒将∠BAC固定，从点A1开始依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2=AA1，则角θ的取值范围是．9．如图，在△ABC中，AC=BC＞AB，点P为△ABC所在平面内一点，且点P与△ABC的任意两个顶点构成△PAB，△PBC，△PAC均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点P的个数为个．10．如图所示，△ABC为等边三角形，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则四个结论正确的是．①P在∠A的平分线上；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP．11．如图，在△ABA1中，∠B=20°，AB=A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2=A1C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3=A2D；…，按此做法进行下去，∠A n的度数为．12．已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，则腰长为，底边长为．13．如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两动点，且总使AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则=．14．如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，P在△ABC内，∠PBC=10°，∠PCB=30°，则∠PAB=．15．线段AB和直线l在同一平面上．则下列判断可能成立的有个直线l上恰好只有个1点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个2点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个3点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个4点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个5点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个6点P，使△ABP为等腰三角形．16．如图，△ABC为正三角形，面积为S．D1，E1，F1分别是△ABC三边上的点，且AD1=BE1=CF1=AB，可得△D1E1F1，则△D1E1F1的面积S1=；如，D2，E2，F2分别是△ABC三边上的点，且AD2=BE2=CF2=AB，则△D2E2F2的面积S2=；按照这样的思路探索下去，D n，E n，F n分别是△ABC三边上的点，且AD n=BE n=CF n=AB，则S n=．17．已知等腰△ABC的周长为10，若设腰长为x，则x的取值范围是．18．如图，一个顶角为40°的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=度．2017年08月23日139****2832的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．（2016秋•资中县期末）在△ABC中，∠B=30°，点D在BC边上，点E在AC 边上，AD=BD，DE=CE，若△ADE为等腰三角形，则∠C的度数为（）A．20°B．20°或30°C．30°或40°D．20°或40°【解答】解：如图所示，∵AD=BD，∠B=30°，∴∠ADC=60°，∵DE=CE，∴可设∠C=∠EDC=α，则∠ADE=60°﹣α，∠AED=2α，根据三角形内角和定理可得，∠DAE=120°﹣α，分三种情况：①当AE=AD时，有60°﹣α=2α，解得α=20°；②当DA=DE时，有120°﹣α=2α，解得α=40°；③当EA=ED时，有120°﹣α=60°﹣α，方程无解，综上所述，∠C的度数为20°或40°，故选：D．2．（2016春•乳山市期中）如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A、B是格点，以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为（）A．7个 B．8个 C．9个 D．10个【解答】解：如图所示，以A为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点C3、C8、C7即为点C的位置；以B为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点C1、C2、C6、C4、C5即为点C 的位置；作线段AB的垂直平分线，垂直平分线没有经过格点．故以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为8个．故选（B）3．（2015•天心区校级自主招生）如图，已知等边△ABC外有一点P，P落在∠BAC 内，设P到BC、CA、AB的距离分别为h1，h2，h3，满足h2+h3﹣h1=6，那么等边△ABC的面积为（）A．4 B．8 C．9 D．12【解答】解：设等边三角形ABC的边长为a，连接PA、PB、PC，则S△PAB+S△PAC﹣S△PCB=S△CAB，即ah1+ah2﹣ah3=，∴a（h2+h3﹣h1）=，∵h2+h3﹣h1=6，∴a=4，==12，∴S△CAB故选（D）．4．（1998•杭州）如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAD=α，且AE=AD，则∠EDC=（）A．αB．αC．αD．α【解答】解：根据题意：在△ABC中，AB=AC∴∠B=∠C∵AE=AD∴∠ADE=∠AED，即∠B+∠α﹣∠EDC=∠C+∠EDC化简可得：∠α=2∠EDC∴∠EDC=α．故选A．二．填空题（共14小题）5．（2016•江西模拟）在同一平面内，已知点P在等边△ABC外部，且与等边△ABC三个顶点中的任意两个顶点形成的三角形都是等腰三角形，则∠APC的度数为15°或30°或60°或75°或150°．【解答】解：根据点P在等边△ABC外部，且与等边△ABC三个顶点中的任意两个顶点形成的三角形都是等腰三角形，作出如下图形：由图可得：∠AP1C=15°，∠AP2C=30°，∠AP3C=60°，∠AP4C=75°，∠AP5C=150°．故答案为：15°或30°或60°或75°或150°6．（2016秋•东阿县期中）等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则这个三角形的底角为67.5°或22.5°．【解答】解：有两种情况；（1）如图，当△ABC是锐角三角形时，BD⊥AC于D，则∠ADB=90°，已知∠ABD=45°，∴∠A=90°﹣45°=45°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=×（180°﹣45°）=67.5°；（2）如图，当△EFG是钝角三角形时，FH⊥EG于H，则∠FHE=90°，已知∠HFE=45°，∴∠HEF=90°﹣45°=45°，∴∠FEG=180°﹣45°=135°，∵EF=EG，∴∠EFG=∠G=×（180°﹣135°）=22.5°，故答案为：67.5°或22.5°．7．（2013•香坊区三模）有两个等腰三角形甲和乙，甲的底角等于乙的顶角，甲的底长等于乙的腰长，甲的腰长等于乙的底长，则甲的底角是36°或60°度．【解答】解：假设等腰三角形甲为ABC，等腰三角形乙为DEF（如图所示）．①顶角为D根据题中的条件，甲的底长等于乙的腰长，甲的底角等于乙的顶角，我们可以将D挪到B点，使BC与DE重合，DF与AB重合，如果A为锐角，则F点在AB边上，由于CF=AC，由图知是不可能的．如果A为钝角，则F点在AB延长线上，由于CF=AC，得知乙的底角=2倍的顶角=2倍甲的底角，故可以解得甲的底角是36度；②当等腰三角形甲和乙都是等边三角形时，∠1=∠2=∠3=60°，即甲的底角是60°．故答案是：36°或60°．8．（2013•泰州一模）如图，∠BAC=θ（0°＜θ＜90°），现只用4根等长的小棒将∠BAC固定，从点A1开始依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2=AA1，则角θ的取值范围是18≤θ＜22.5．【解答】解：∵A1A2=AA1∴θ1=∠A2A1A3=2θ，∴θ2=∠A2A4A3=θ+2θ=3θ，∴θ3=∠A2A4A3+θ=4θ，由题意得：，∴18°≤θ＜22.5°．9．（2013•宜兴市一模）如图，在△ABC中，AC=BC＞AB，点P为△ABC所在平面内一点，且点P与△ABC的任意两个顶点构成△PAB，△PBC，△PAC均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点P的个数为6个．【解答】解：如图所示，作AB的垂直平分线，①△ABC的外心P1为满足条件的一个点，②以点C为圆心，以AC长为半径画圆，P2、P3为满足条件的点，③分别以点A、B为圆心，以AC长为半径画圆，P4为满足条件的点，④分别以点A、B为圆心，以AB长为半径画圆，P5、P6为满足条件的点，综上所述，满足条件的所有点P的个数为6．故答案为：6．10．（2013•安徽模拟）如图所示，△ABC为等边三角形，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则四个结论正确的是①②③④．①P在∠A的平分线上；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP．【解答】解：∵PR=PS，PR⊥AB，PS⊥AC，∴P在∠A的平分线上，在Rt△ARP和Rt△ASP中，∵，∴Rt△ARP≌Rt△ASP（HL），∴AS=AR，∠QAP=∠PAR，∵AQ=PQ，∴∠PAR=∠QPA，∴∠QPA=∠QAR∴QP∥AR，∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠C=∠BAC=60°，∴∠PAR=∠QPA=30°，∴∠PQS=60°，在△BRP和△QSP中，∵，∴△BRP≌△QSP（AAS），∴①②③④项四个结论都正确，故答案为①②③④．11．（2012•贵阳）如图，在△ABA1中，∠B=20°，AB=A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2=A1C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3=A2D；…，按此做法进行下去，∠A n的度数为．【解答】解：∵在△ABA1中，∠B=20°，AB=A1B，∴∠BA1A===80°，∵A1A2=A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角，∴∠CA2A1===40°；同理可得，∠DA3A2=20°，∠EA4A3=10°，∴∠A n=．故答案为：．12．（2012•枣阳市校级模拟）已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，则腰长为8或6，底边长为5或9．【解答】解：根据题意画出图形，如图所示，设等腰三角形的腰长AB=AC=2x，BC=y，∵BD是腰上的中线，∴AD=DC=x，①若AB+AD的长为12，则2x+x=12，解得x=4，则x+y=9，即4+y=9，解得y=5；②若AB+AD的长为9，则2x+x=9，解得x=3，则x+y=12，即3+y=12，解得y=9；所以等腰三角形的底边为5时，腰长为8；等腰三角形的底边为9时，腰长为6；故答案为：8或6；5或913．（2011•济宁）如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两动点，且总使AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则=．【解答】解：∵AD=BE，∴CE=BD，∵等边三角形ABC，∴△CAE≌△DCB，∴∠DCB=∠CAE，∴∠AFG=∠CAF+∠ACF=∠ACF+∠DCB=60°，∵AG⊥CD，∴∠FAG=30°，∴FG：AF=．故答案为：．14．（2011•鄂州校级模拟）如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，P在△ABC内，∠PBC=10°，∠PCB=30°，则∠PAB=70°．【解答】解：在BC下方取一点D，使得三角形ABD为等边三角形，连接DP、DC∴AD=AB=AC，∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=20°，∴∠ACD=∠ADC=80°，∵AB=AC，∠BAC=80°，∴∠ABC=∠ACB=50°，∴∠CDB=140°=∠BPC，又∠DCB=30°=∠PCB，BC=CB，∴△BDC≌△BPC，∴PC=DC，又∠PCD=60°，∴△DPC是等边三角形，∴△APD≌△APC，∴∠DAP=∠CAP=∠DAC=20=10°，∴∠PAB=∠DAP+∠DAB=10°+60°=70°．或由△BDC≌△BPC，∴BP=BD=BA∴∠BAP=∠BPA又∵∠ABP=∠ABC﹣∠PBC=40°∴∠BAP=（180﹣40）/2=70°故答案为：70°．15．（2011•海曙区模拟）线段AB和直线l在同一平面上．则下列判断可能成立的有5个直线l上恰好只有个1点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个2点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个3点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个4点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个5点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个6点P，使△ABP为等腰三角形．【解答】解：要使△APB是等腰三角形，分为三种情况：①AP=BP（即作AB的垂直平分线于直线的交点，即有一个点）∴直线l上恰好只有个1点P，使△ABP为等腰三角形正确；②AB=AP（以A为圆心，以AB为半径画弧，交直线于两点），即直线l上恰好只有个2点P，使△ABP为等腰三角形正确；直线l上恰好只有个3点P，使△ABP为等腰三角形正确；③AB=BP（以B为圆心，以AB为半径画弧，交直线于两点）即直线l上恰好只有个4点P，使△ABP为等腰三角形正确；直线l上恰好只有个5点P，使△ABP为等腰三角形正确；∵1+2+2=5，∴直线l上恰好只有个6点P，使△ABP为等腰三角形错误；故答案为：5．16．（2011•拱墅区校级模拟）如图，△ABC为正三角形，面积为S．D1，E1，F1分别是△ABC三边上的点，且AD1=BE1=CF1=AB，可得△D1E1F1，则△D1E1F1的面积S1=S；如，D2，E2，F2分别是△ABC三边上的点，且AD2=BE2=CF2=AB，则△D2E2F2的面积S2=S；按照这样的思路探索下去，D n，E n，F n分别是△ABC三边上的点，且AD n=BE n=CF n=AB，则S n=S．【解答】解：∵△ABC为正三角形，∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°，∵AD1=BE1=CF1=AB，∴BD1=CE1=AF1=AB，∴△AD1F1≌△BD1E1≌△CE1F1，设等边△ABC的边长为a，则S=a2sin60°，△AD1F1的面积=×a•a•sin60°=S，∴△D1E1F1的面积S1=S﹣3×S=S；同理，AD2=BE2=CF2=AB时，BD2=CE2=AF2=AB，△AD2F2的面积S2=×a•a•sin60°=S，△D2E2F2的面积S2=S﹣3×S=S；AD n=BE n=CF n=AB时，BD n=CE n=AF n=AB，△AD n F n的面积=×a•a•sin60°=S，△D n E n F n的面积S n=S﹣3×S=S．故答案为：S，S，S．17．（2009•滨州）已知等腰△ABC的周长为10，若设腰长为x，则x的取值范围是＜x＜5．【解答】解：依题意得：10﹣2x﹣x＜x＜10﹣2x+x，解得＜x＜5．故填＜x＜5．18．（2005•江西）如图，一个顶角为40°的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=220度．【解答】解：如图，△ABC中，∠A+∠B=180°﹣∠C=180°﹣40°=140°；四边形中，∠1+∠2=360°﹣（∠A+∠B）=360°﹣140°=220°．故填220．。
数学等腰三角形难题
1.等腰三角行的腰长是底边的 34，底边等于12cm ，则三角形的周长是______cm. 2.等腰三角形的顶角为80度，则一腰上的高与底边的夹角为______度。
3.等腰三角形的一个内角为65度，那其他的角分别为______度。
4.点P 为等边三角形ABC ∆所在平面的一点，且PAB ∆,PBC ∆,PCA ∆都是等腰三角形，这样5.的点p 有______个。
6.等腰三角行的顶角等于一个底角的4倍，则底角为______度。
7题图 8题图 9题图 10题图7.已知如图，A,D,C 在一条直线上AB=BD=CD,∠C 等于40度，则∠ABD=______度。
8.在等腰三角形中ABC ∆，AB=AC,AD 垂直与BC 与D ，且AB+AC+BC=50cm ，AB+BD+AD=40cm ，则AD=_____cm 。
9.如图∠p=25度，又PA=AB=BC=CD,且∠DCM=_____度。
10.如图已知∠ACB=90°，BD=BC,AE=AC,则∠DCE=_____度。
11.如图，ABC ∆中，∠C=2∠B ，∠1=∠2，使说明AB=AC+CD.12.已知，如图，AD 是ABC ∆的角平分线，DE,DF 是ABC ∆和△ACD 的高，求证：AD 垂直平分EF 。
（要用到角平分线的定理）13.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE垂直与AB于E，F在AC上，BD=DF求证（1）CF =EB (2)AB=AF+2EB1在三角形ABC中，角C=90度，角A=30度，则三边的比是a；b；c=2.如果三角形中有一条边是另一条边是2倍,并且有一个角是30°,那么这个三角形是（）(A)直角三角形 (B)锐角三角形 (C)钝角三角形 (D) 图形不能确定3.如图,RtΔABC中,∠BCA=90°, ∠A=30°CD⊥AB于D,DE⊥BC于E,则AB:BE的值为( )(A) 8 (B) 4 (C) 52(D)4.等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于( )(A) 顶角的2倍 (B) 顶角的一半 (C) 顶角 (D) 底角的一半5.在直角三角形中,两锐角的平分线相交成钝角的度数是 .6.有一个角为30°的等腰三角形,若腰长为4,则腰上的高是 , 面积是 .7．等腰直角三角形中，若斜边和斜边上的高的和是6cm，则斜边长是 cm 8.三角形三个角的度数之比为1：2：3，它的最大边长等于16cm，则最小边长是 cmA9.如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120度，AD⊥AC，DC＝5，则BD＝是Rt△ABC斜边上的高，已知AB＝5cm，BD＝3cm ， B D C那么BC＝ cm11.如图,在ΔABC中, ∠BCA=90°,且AC=BC,直线L过C点,AE⊥L于E, BF⊥L于 F. 求证:EF=AE+BF如图,在ΔABC中, ∠ABC=2∠C,AD⊥BC于D,E是AC中点,ED的延长线与AB的延长线交于点F,求证:BF=BD。
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各类等腰三角形难题例1. 在⊿ABC中,AB=AC,且∠A=20°,在为AB上一点,AD=BC,连接CD.试求:∠BDC的度数.分析:题中出现相等的线段,以此为突破口,构造全等三角形.解:作∠DAE=∠B=80°,使AE=BA,(点D,E在AC两侧)连接DE,CE.∵AE=BA;AD=BC;∠DAE=∠B.∴⊿DAE≌⊿CBA(SAS),DE=AE;∠DEA=∠BAC=20°.∠CAE=∠BAE-∠BAC=60°,又AE=AB=AC.∴⊿AEC为等边三角形,DE=CE;∠DEC=∠AEC-∠DEA=40°. 则:∠CDE=70°;又∠ADE=80°.故∠ADC=150°,∠BDC=30°.例2.已知,如图:⊿ABC中,AB=AC,∠BAC=20°.点D和E分别在AB,AC上,且∠BCD=50°,∠CBE=60°.试求∠DEB的度数.本题貌似简单,其实不然.解:过点E作BC的平行线,交AB于F,连接CF交BE于点G,连接DG.易知⊿GEF,⊿GBC均为等边三角形.∴∠FEG=∠EFG=60°;∠AFG=140°,∠DFG=40°;∵∠BCG=50°;∠CBD=60°.∴∠BDC=50°=∠BCD,则BD=BC=BG;又∠ABE=20°.故∠BGD=80°,∠DGF=180°-∠BGD-∠FGE=40°.即∠DGF=∠DFG,DF=DG;又EG=EF;DE=DE.∴⊿DGE≌⊿DFE(SSS),得:∠DEG=∠DEF=30°.所以,∠DEB=30°.例3.已知,等腰⊿ABC中,AB=AC,∠BAC=20°,D和E分别为AB和AC上的点,且∠ABE=10°,∠ACD=20°.试求:∠DEB的度数.本题相对于上面两道来说,难度又增加了许多.且看我下面的解答.解:在CA上截取CM=CB,连接BM,DM,则∠CMB=∠CBM=50°.作DG∥BC,交AC于G,连接BG,交CD于F,连接FM.易知⊿BCF和⊿DGF为等边三角形,CM=CB=CF.∴∠CMF=∠CFM=80°,∠GMF=100°.∠GFM=∠GFC-∠CFM=40°;∠FGM=∠A+∠ABG=40°.即∠GFM=∠FGM;FM=GM;又∠DF=DG,DM=DM.则⊿DMF≌⊿DMG,∠DMG=∠DMF=50°.故∠DMC=130°=∠EMB;又∠DCM=∠EBM=20°.∴⊿DMC∽⊿EMB,DM/MC=EM/MB;又∠DME=∠BMC=50°.∴⊿DME∽⊿CMB,∠DEM=∠CBM=50°.又∠BEC=∠ABE+∠A=30°.所以,∠DEB=∠DEG-∠BEC=50°-30°=20°.例4.如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M。
求证：M是BE的中点。
思路点拨：欲证M是BE的中点，已知DM⊥BC，所以想到连结BD，证BD＝ED。
因为△ABC是等边三角形，∠DBE＝∠ABC，而由CE＝CD，又可证∠E＝∠ACB，所以∠1＝∠E，从而问题得证。
证明：因为三角形ABC是等边三角形，D是AC的中点所以∠1＝∠ABC又因为CE＝CD，所以∠CDE＝∠E所以∠ACB＝2∠E即∠1＝∠E所以BD＝BE，又DM⊥BC，垂足为M所以M是BE的中点（等腰三角形三线合一定理）例5.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∠ABC的平分线交AC于D，过C 作BD垂线交BD的延长线于E，交BA的延长线于F，求证：BD=2CE．思路点拨：根据已知条件，易证△BFE≌△BCE，所以BF=BC，所以∠F=∠BCE，根据等腰三角形三线合一这一性质，CE=FE，再证明△ABD≌△ACF，证得BD=CF，从而证得BD=2CE．证明：∵∠ABC的平分线交AC于D，∴∠FBE=∠CBE，又BE=BE，∵BE⊥CF，∴∠BEF=∠BEC，∴△BFE≌△BCE（ASA），∴CE=EF，∴CF=2CE，∵∠BAC=90°，且AB=AC，∴∠FAC=∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°，∴∠FBE=∠CBE=22.5°，∴∠F=∠ADB=67.5°，又AB=AC，∴△ABD≌△ACF（AAS），∴BD=CF，∴BD=2CE．例6. 如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，DE过O且平行于BC，已知△ADE的周长为10cm，BC的长为5cm，求△ABC的周长思路点拨根据题意先证明△BDO和△CEO是等腰三角形，再结合等腰三角形的性质得BD=OD，CE=EO，根据已知△ADE的周长为10cm，再加上BC的长即可得△ABC的周长．解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠DBO=∠OBC，∠ECO=∠OCB，∵DE∥BC，∴∠DOB=∠OBC，∠EOC=∠OCB，∴∠DBO=∠DOB，∠ECO=∠EOC，∴BD=OD，CE=EO（等角对等边）∵AD+DE+AE=10cm，∴AD+BD+CE+EA=10cm，又BC的长为5cm，所以△ABC的周长是：AD+BD+CE+EA+BC=10+5=15cm．例7.三角形ABC，AB=AC，边BC的中点为D（1）画图：作一个等边三角形DEF，使顶点E,F分别在边AB和AC上（2）你所作的等边三角形DEF的边EF与BC平行吗？理由是什么？（3）是否可能作一个等边三角形DEF，使它的边EF与BC不平行？如有可能，指出角A的度数；如不可能，说出理由解：⑴见图作法：在三角形ABC内部作∠BDE＝∠CDF＝60度，角的两边分别交AB、AC于E、F，连接EF则三角形DEF就是所要求作的等边三角形⑵平行。
理由：因为AB＝AC所以∠B＝∠C因为D是BC中点所以BD＝CD因为∠BDE＝∠CDF＝60度所以△BDE≌△CDF（ASA），∠EDF＝60度所以DE＝DF所以三角形DEF是等边三角形所以∠BDE＝∠DEF＝60度所以EF//BC⑶可能。
∠A＝120度证明要点：因为EF与BC不平行，所以AE≠AF，不妨设AE＞AF过F作FG//BC，交AB于G，连接DG容易证明△BDG≌△CDF所以DG＝DF＝DE，∠BGD＝∠CFD由DE＝DG得∠DEG＝∠DGE所以∠DEG＝∠CFD所以A、E、D、F四点共圆所以∠A＋∠EDF＝180度所以∠A＝120度例8.三角形ABC中，AB=AC,D在AC上,E在AB上，连结DE，已知顶角等于20°,∠CBD=60°,∠ECB=50°.求∠ADE的度数解：以B为圆心，BC为半径画弧，交AC于G，连接DG，则：BG=BC，∠BGC=∠ACB；已知：AB=AC，∠A=20°，则：∠ABC=∠ACB=80°，∠BGC=∠ACB=80°，∠GBC=20°，∠ABG=60°；已知：∠CBD=60°，则：∠ABD=20°，∠DBG=40°，∠BDG=∠BGC-∠DBG=40°，BG=DG；已知：∠ECB=50°，则：∠BRC=180°-∠ABC-∠ECB=50°；已知：圆孤，∠ABG=60°，则：BE=BC=BG=DG，△BGE为正三角形，EG=BE=BC=BG=DG，∠EGB=60°，∠DGE=180°-∠BGC-∠EGB=40°；已知：EG=DG,则：∠GED=∠EDG=(180°-∠DGE)/2=70°，∠ADE=180°-∠EDG=110°。
例9. 如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC 延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M。
求证：M是BE的中点。
AD1B MC E分析：欲证M是BE的中点，已知DM⊥BC，所以想到连结BD，证1∠ABC，而由CE＝CD，BD＝ED。
因为△ABC是等边三角形，∠DBE＝21∠ACB，所以∠1＝∠E，从而问题得证。
又可证∠E＝2证明：因为三角形ABC是等边三角形，D是AC的中点1∠ABC所以∠1＝2又因为CE＝CD，所以∠CDE＝∠E所以∠ACB＝2∠E即∠1＝∠E所以BD＝BE，又DM⊥BC，垂足为M所以M是BE的中点（等腰三角形三线合一定理）例10. 如图，已知：AB CAB=，D是BC上一点，且∆中，AC=，，求BAC∠的度数。
AD=CADCDBA B CD分析：题中所要求的BAC ∠在AB C ∆中，但仅靠AC AB =是无法求出来的。
因此需要考虑DB A D =和CA DC =在题目中的作用。
此时图形中三个等腰三角形，构成了内外角的关系。
因此可利用等腰三角形的性质和三角形的内外角关系定理来求。
解：因为AC AB =，所以C B ∠=∠因为DB A D =，所以C DAB B ∠=∠=∠；因为CD CA =，所以CDA CAD ∠=∠（等边对等角）而 DAB B ADC ∠+∠=∠所以B DAC B ADC ∠=∠∠=∠22，所以B 3B AC ∠=∠又因为 180=∠+∠+∠BAC C B即 180B 3C B =∠+∠+∠ 所以 36B =∠即求得 108BAC =∠说明 1. 等腰三角形的性质是沟通本题中角之间关系的重要桥梁。
把边的关系转化成角的关系是此等腰三角形性质的本质所在。
本条性质在解题中发挥着重要的作用，这一点在后边的解题中将进一步体现。
2. 注意“等边对等角”是对同一个三角形而言的。
3. 此题是利用方程思想解几何计算题，而边证边算又是解决这类题目的常用方法。
例11. 已知：如图，AB C ∆中，AB CD AC AB ⊥=，于D 。
求证：DCB 2B AC ∠=∠。
A 1 2D BCE3分析：欲证角之间的倍半关系，结合题意，观察图形，BAC ∠是等腰三角形的顶角，于是想到构造它的一半，再证与DCB ∠的关系。
证明：过点A 作B C AE ⊥于E ，AC AB =所以BAC 2121∠=∠=∠（等腰三角形的三线合一性质） 因为 90B 1=∠+∠又AB CD ⊥，所以 90CDB =∠所以 90B 3=∠+∠（直角三角形两锐角互余） 所以31∠=∠（同角的余角相等） 即DCB 2B AC ∠=∠ 说明：1. 作等腰三角形底边高线的目的是利用等腰三角形的三线合一性质，构造角的倍半关系。