高考四川理科数学试题及答案高清版
2024年四川高考数学(理)试题(含答案)
2024年四川高考数学(理)试题及答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设5i z =+，则()i z z +=（ ）A 10iB. 2iC. 10D. 2-【答案】A 【解析】【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解.【详解】由5i 5i,10z z z z =+⇒=-+=，则()i 10i z z +=.故选：A2. 集合{}}1,2,3,4,5,9,A B A ==，则()A A B ⋂=ð（ ）A. {}1,4,9B. {}3,4,9 C. {}1,2,3 D. {}2,3,5【答案】D 【解析】【分析】由集合B 的定义求出B ，结合交集与补集运算即可求解.【详解】因为{}}1,2,3,4,5,9,A B A ==，所以{}1,4,9,16,25,81B =，则{}1,4,9A B = ，(){}2,3,5A A B = ð 故选：D3. 若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则5z x y =-的最小值为（ ）A. 5 B.12C. 2-D. 72-【答案】D 【解析】【分析】画出可行域后，利用z 的几何意义计算即可得.【详解】实数,x y 满足43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，作出可行域如图：.由5z x y =-可得1155y x z =-，即z 的几何意义为1155y x z =-的截距的15-，则该直线截距取最大值时，z 有最小值，此时直线1155y x z =-过点A ，联立43302690x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得321x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即3,12A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则min 375122z =-⨯=-.故选：D.4. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若510S S =，51a =，则1a =（ ）A. 2- B.73C. 1D. 2【答案】B 【解析】【分析】由510S S =结合等差中项的性质可得80a =，即可计算出公差，即可得1a 的值.【详解】由105678910850S S a a a a a a -=++++==，则80a =，则等差数列{}n a 的公差85133a a d -==-，故151741433a a d ⎛⎫=-=-⨯-= ⎪⎝⎭.故选：B.5. 已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,4)-，点(6,4)-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）A. 4 B. 3C. 2D.【答案】C 【解析】【分析】由焦点坐标可得焦距2c ，结合双曲线定义计算可得2a ，即可得离心率.【详解】设()10,4F -、()20,4F 、()6,4-P ，则1228F F c ==，110PF ==，26PF ==，则1221064a PF PF =-=-=，则28224c e a ===.故选：C.6. 设函数()2e 2sin 1x xf x x+=+，则曲线()y f x =在()0,1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）A.16B.13C.12D.23【答案】A 【解析】【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点()0,1处的切线方程，即可得其与坐标轴交点坐标，即可得其面积.【详解】()()()()()222e 2cos 1e 2sin 21xx x x x xf x x ++-+⋅'=+，则()()()()()2e 2cos 010e 2sin 000310f ++-+⨯'==+，即该切线方程为13y x -=，即31y x =+，令0x =，则1y =，令0y =，则13x =-，故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积1111236S =⨯⨯-=.故选：A.7. 函数()()2e e sin x x f x x x -=-+-在区间[2.8,2.8]-的大致图像为（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】利用函数的奇偶性可排除A 、C ，代入1x =可得()10f >，可排除D.【详解】()()()()()22e e sin e e sin x x x x f x x x x x f x ---=-+--=-+-=，又函数定义域为[]2.8,2.8-，故该函数为偶函数，可排除A 、C ，又()11πe 11111e sin11e sin 10e e 622e 42ef ⎛⎫⎛⎫=-+->-+-=-->-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故可排除D.故选：B.8. 已知cos cos sin ααα=-，则πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A. 1+B. 1- C.D. 1【答案】B 【解析】【分析】先将cos cos sin αα-α弦化切求得tan α，再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为cos cos sin ααα=-，所以11tan =-α，tan 1⇒α=-，所以tan 1tan 11tan 4α+π⎛⎫==-α+⎪-α⎝⎭，故选：B.9. 已知向量()()1,,,2a x x b x =+=，则（ ）A. “3x =-”是“a b ⊥”的必要条件 B. “3x =-”是“//a b”的必要条件C. “0x =”是“a b ⊥ ”的充分条件D. “1x =-”是“//a b”的充分条件【答案】C 【解析】【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.【详解】对A ，当a b ⊥ 时，则0a b ⋅=，所以(1)20x x x ⋅++=，解得0x =或3-，即必要性不成立，故A 错误；对C ，当0x =时，()()1,0,0,2a b ==，故0a b ⋅=，所以a b ⊥，即充分性成立，故C 正确；对B ，当//a b时，则22(1)x x +=，解得1x =±，即必要性不成立，故B 错误；对D ，当1x =-+时，不满足22(1)x x +=，所以//a b不成立，即充分性不立，故D 错误.故选：C.10. 设αβ、是两个平面，m n 、是两条直线，且m αβ= .下列四个命题：①若//m n ，则//n α或//n β ②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n ④若n 与α和β所成的角相等，则m n⊥其中所有真命题的编号是（ ）A. ①③ B. ②④C. ①②③D. ①③④【答案】A 【解析】【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③.【详解】对①，当n ⊂α，因为//m n ，m β⊂，则//n β，当n β⊂，因为//m n ，m α⊂，则//n α，当n 既不在α也不在β内，因为//m n ，,m m αβ⊂⊂，则//n α且//n β，故①正确；对②，若m n ⊥，则n 与,αβ不一定垂直，故②错误；对③，过直线n 分别作两平面与,αβ分别相交于直线s 和直线t ，因为//n α，过直线n 的平面与平面α的交线为直线s ，则根据线面平行的性质定理知//n s ，同理可得//n t ，则//s t ，因为s ⊄平面β，t ⊂平面β，则//s 平面β，因为s ⊂平面α，m αβ= ，则//s m ，又因为//n s ，则//m n ，故③正确；对④，若,m n αβ⋂=与α和β所成的角相等，如果//,//αβn n ，则//m n ，故④错误；综上只有①③正确，故选：A.11. 在ABC 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（ ）A.32B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】利用正弦定理得1sin sin 3A C =，再利用余弦定理有22134a c ac+=，再利用正弦定理得到22sin sin A C +的值，最后代入计算即可.【详解】因为29,34B b ac π==，则由正弦定理得241sin sin sin 93A CB ==.由余弦定理可得:22294b ac ac ac =+-=，即:22134a c ac +=，根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C +==，所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=，因为,A C 为三角形内角，则sin sin 0A C +>，则sin sin A C +=.故选：C.12. 已知b 是,a c 的等差中项，直线0ax by c ++=与圆22410x y y ++-=交于,A B 两点，则AB 的最小值为（ ）A. 2 B. 3C. 4D. 【答案】C 【解析】【分析】结合等差数列性质将c 代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.【详解】因为,,a b c 成等差数列，所以2b a c =+，2c b a =-，代入直线方程0ax by c ++=得20ax by b a ++-=，即()()120a x b y -++=，令1020x y -=⎧⎨+=⎩得12x y =⎧⎨=-⎩，故直线恒过()1,2-，设()1,2P -，圆化为标准方程得：()22:25C x y ++=，设圆心为C ，画出直线与圆的图形，由图可知，当PC AB ⊥时，AB最小，1,PC AC r ===，此时24AB AP ====.故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 1013x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数的最大值是______．【答案】5【解析】【分析】先设展开式中第1r +项系数最大，则根据通项公式有1091101010111101011C C 3311C C 33r rr r r rr r --+---⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，进而求出r即可求解.【详解】由题展开式通项公式为101101C 3rr r r T x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭，010r ≤≤且r ∈Z ，设展开式中第1r +项系数最大，则1091101010111101011C C 3311C C 33rrr r r rr r --+---⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，294334r r ⎧≥⎪⎪⇒⎨⎪≤⎪⎩，即293344r ≤≤，又r ∈Z ，故8r =，所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为28101C 53⎛⎫= ⎪⎝⎭.故答案为：5.14. 已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为1r 和2r ，母线长分别为()212r r -和()213r r -，则两个圆台的体积之比=V V 甲乙______．【解析】【分析】先根据已知条件和圆台结构特征分别求出两圆台的高，再根据圆台的体积公式直接代入计算即可得解.【详解】由题可得两个圆台的高分别为)12h r r ==-甲，)12h r r ==-乙，所以V h V h ====甲甲乙乙.15. 已知1a >，8115log log 42a a -=-，则=a ______．【答案】64【解析】【分析】将8log ,log 4a a 利用换底公式转化成2log a 来表示即可求解.【详解】由题28211315log log log 4log 22a a a a -=-=-，整理得()2225log 60log a a --=，2log 1a ⇒=-或2log 6a =，又1a >，所以622log 6log 2a ==，故6264a ==故答案为：64.16. 有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球.记m 为前两次取出的球上数字的平均值，n 为取出的三个球上数字的平均值，则m 与n 差的绝对值不超过12的概率是______．【答案】715【解析】【分析】根据排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为,a b ，第三个球的号码为c ，则323a b c a b +-≤≤++，就c 的不同取值分类讨论后可求随机事件的概率.【详解】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有36A 120=种，设前两个球的号码为,a b ，第三个球的号码为c ，则1322a b c a b +++-≤，故2()3c a b -+≤，故32()3c a b -≤-+≤，故323a b c a b +-≤≤++，若1c =，则5a b +≤，则(),a b 为：()()2,3,3,2，故有2种，若2c =，则17a b ≤+≤，则(),a b 为：()()()()()1,3,1,4,1,5,1,6,3,4，()()()()()3,1,4,1,5,1,6,1,4,3，故有10种，当3c =，则39a b ≤+≤，则(),a b 为：()()()()()()()()1,2,1,4,1,5,1,6,2,4,2,5,2,6,4,5，()()()()()()()()2,1,4,1,5,1,6,1,4,2,5,2,6,2,5,4，故有16种，当4c =，则511a b ≤+≤，同理有16种，当5c =，则713a b ≤+≤，同理有10种，当6c =，则915a b ≤+≤，同理有2种，共m 与n 的差的绝对值不超过12时不同的抽取方法总数为()22101656++=，故所求概率为56712015=.故答案为：715三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17. 某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计96522150（1）填写如下列联表：优级品非优级品甲车间乙车间能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p =，设p 为升级改造后抽取的n 件产品的优级品率.如果p p >+150件产品的数据，能否认为12.247≈）附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++()2P K k≥0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828【答案】（1）答案见详解（2）答案见详解【解析】【分析】（1）根据题中数据完善列联表，计算2K，并与临界值对比分析；（2）用频率估计概率可得0.64p=，根据题意计算p+.【小问1详解】根据题意可得列联表：优级品非优级品甲车间2624乙车间7030可得()2215026302470754.687550100965416K⨯-⨯===⨯⨯⨯，因为3.841 4.6875 6.635<<，所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异.【小问2详解】由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为960.64 150=，用频率估计概率可得0.64p=，又因为升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p=，则0.50.50.5 1.650.56812.247p +=+≈+⨯≈，可知p p >+，所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.18. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，且434n n S a =+．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设1(1)n n n b na -=-，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．【答案】（1）14(3)n n a -=⋅- （2）(21)31n n T n =-⋅+【解析】【分析】（1）利用退位法可求{}n a 的通项公式．（2）利用错位相减法可求n T .【小问1详解】当1n =时，1114434S a a ==+，解得14a =．当2n ≥时，11434n n S a --=+，所以1144433n n n n n S S a a a ---==-即13n n a a -=-，而140a =≠，故0n a ≠，故13nn a a -=-，∴数列{}n a 是以4为首项，3-为公比的等比数列，所以()143n n a -=⋅-.【小问2详解】111(1)4(3)43n n n n b n n ---=-⋅⋅⋅-=⋅,所以123n n T b b b b =++++ 0211438312343n n -=⋅+⋅+⋅++⋅ 故1233438312343nn T n =⋅+⋅+⋅++⋅ 所以1212443434343n nn T n --=+⋅+⋅++⋅-⋅()1313444313n nn --=+⋅-⋅-()14233143n nn -=+⋅⋅--⋅(24)32n n =-⋅-，(21)31n n T n ∴=-⋅+.19. 如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，//,//BC AD EF AD ，4,2AD AB BC EF ====，ED FB ==M 为AD 的中点．（1）证明：//BM 平面CDE ；（2）求二面角F BM E --的正弦值．【答案】（1）证明见详解； （2【解析】【分析】（1）结合已知易证四边形BCDM 为平行四边形，可证//BM CD ，进而得证；（2）作BO AD ⊥交AD 于O ，连接OF ，易证,,OB OD OF 三垂直，采用建系法结合二面角夹角余弦公式即可求解.【小问1详解】因为//,2,4,BC AD EF AD M ==为AD 的中点，所以//,BC MD BC MD =，四边形BCDM 平行四边形，所以//BM CD ，又因为BM ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，所以//BM 平面CDE ；【小问2详解】如图所示，作BO AD ⊥交AD 于O ，连接OF ，因为四边形ABCD 为等腰梯形，//,4,BC AD AD =2AB BC ==，所以2CD =，结合（1）BCDM 为平行四边形，可得2BM CD ==，又2AM =，为所以ABM 为等边三角形，O 为AM中点，所以OB =，又因为四边形ADEF 为等腰梯形，M 为AD 中点，所以,//EF MD EF MD =，四边形EFMD 为平行四边形，FM ED AF ==，所以AFM △为等腰三角形，ABM 与AFM △底边上中点O 重合，OF AM ⊥，3OF ==，因为222OB OF BF +=，所以OB OF ⊥，所以,,OB OD OF 互相垂直，以OB 方向为x 轴，OD 方向为y 轴，OF 方向为z 轴，建立O xyz -空间直角坐标系，()0,0,3F，)()(),0,1,0,0,2,3BM E，()(),BM BF ==，()2,3BE = ，设平面BFM 的法向量为()111,,m x y z =，平面EMB 的法向量为()222,,n x y z =，则00m BM m BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1111030y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令1x =113,1y z ==，即)m =，则00n BM n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222220230y y z ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩，令2x =，得223,1y z ==-，即)1n =-，11cos ,13m n m n m n ⋅===⋅，则sin ,m n =，故二面角F BM E --20. 设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴．（1）求C 的方程；（2）过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q，证明：AQ y ⊥轴．【答案】（1）22143x y += （2）证明见解析【解析】【分析】（1）设(),0F c ，根据M 的坐标及MF ⊥x 轴可求基本量，故可求椭圆方程.（2）设:(4)AB y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线方程和椭圆方程，用,A B 的坐标表示1Q y y -，结合韦达定理化简前者可得10Q y y -=，故可证AQ y ⊥轴.【小问1详解】设(),0F c ，由题设有1c =且232b a =，故2132a a -=，故2a =，故b =故椭圆方程为22143x y +=.【小问2详解】直线AB 的斜率必定存在，设:(4)AB y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，由223412(4)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩可得()2222343264120k x k x k +-+-=，故()()422Δ102443464120k k k=-+->，故1122k -<<，又22121222326412,3434k k x x x x k k -+==++，而5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故直线225:522y BN y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-，故22223325252Qy y y x x --==--，所以()1222112225332525Q y x y y y y y x x ⨯-+-=+=--()()()12224253425k x x k x x -⨯-+-=-()222212122264123225825834342525k k x x x x k k k kx x -⨯-⨯+-++++==--2222212824160243234025k k k k k x --+++==-，故1Q y y =，即AQ y ⊥轴.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.21. 已知函数()()()1ln 1f x ax x x =-+-．（1）当2a =-时，求()f x 的极值；（2）当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）极小值0，无极大值. （2）12a ≤-【解析】【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值.（2）求出函数的二阶导数，就12a ≤-、102a -<<、0a ≥分类讨论后可得参数的取值范围.小问1详解】当2a =-时，()(12)ln(1)f x x x x =++-，故121()2ln(1)12ln(1)111x f x x x x x +'=++-=+-+++，因为12ln(1),11y x y x=+=-++在()1,∞-+上为增函数，为【故()f x '在()1,∞-+上为增函数，而(0)0f '=，故当10x -<<时，()0f x '<，当0x >时，()0f x '>，故()f x 在0x =处取极小值且极小值为()00f =，无极大值.【小问2详解】()()()()11ln 11ln 1,011a x axf x a x a x x x x+-=-+'+-=-+->++，设()()()1ln 1,01a x s x a x x x+=-+->+，则()()()()()()222111211111a a x a aax a s x x x x x ++++-++=-=-=-+++'+，当12a ≤-时，()0s x '>，故()s x 在()0,∞+上增函数，故()()00s x s >=，即()0f x '>，所以()f x 在[)0,∞+上为增函数，故()()00f x f ≥=.当102a -<<时，当210a x a+<<-时，()0s x '<，故()s x 在210,a a +⎛⎫-⎪⎝⎭上为减函数，故在210,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭上()()0s x s <，即在210,a a +⎛⎫-⎪⎝⎭上()0f x '<即()f x 为减函数，故在210,a a +⎛⎫-⎪⎝⎭上()()00f x f <=，不合题意，舍.当0a ≥，此时()0s x '<在()0,∞+上恒成立，同理可得在()0,∞+上()()00f x f <=恒成立，不合题意，舍；综上，12a ≤-.【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．为[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+.（1）写出C 的直角坐标方程；（2）设直线l ：x ty t a=⎧⎨=+⎩（t 为参数），若C 与l 相交于A B 、两点，若2AB =，求a 的值.【答案】（1）221y x =+ （2）34a =【解析】【分析】（1）根据cos xρρθ⎧⎪=⎨=⎪⎩C 的直角方程.（2）将直线的新的参数方程代入C 的直角方程，法1：结合参数s 的几何意义可得关于a 的方程，从而可求参数a 的值；法2：将直线的直角方程与曲线的直角方程联立，结合弦长公式可求a 的值.【小问1详解】由cos 1ρρθ=+，将cos xρρθ⎧⎪=⎨=⎪⎩cos 1ρρθ=+，1x =+，两边平方后可得曲线的直角坐标方程为221y x =+.【小问2详解】对于直线l 的参数方程消去参数t ，得直线的普通方程为y x a =+.法1：直线l 的斜率为1，故倾斜角为π4，故直线的参数方程可设为x y a s ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，s ∈R .将其代入221y x =+中得()221)210s a s a +-+-=设,A B 两点对应的参数分别为12,s s，则)()212121,21s s a s s a +=--=-，且()()22Δ818116160a a a =---=->，故1a <，12AB s s ∴=-=2==，解得34a =.法2：联立221y x ay x =+⎧⎨=+⎩，得22(22)10x a x a +-+-=，()22Δ(22)41880a a a =---=-+>，解得1a <，设()()1122,,,A x y B x y ,2121222,1x x a x x a ∴+=-=-，则AB ==2=，解得34a =[选修4-5：不等式选讲]23. 实数,a b 满足3a b +≥．（1）证明：2222a b a b +>+；（2）证明：22226a b b a -+-≥．【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析【解析】【分析】（1）直接利用22222()a b a b +≥+即可证明.（2）根据绝对值不等式并结合（1）中结论即可证明.【小问1详解】因为()()2222222022a b a ab b a b b a -+=--++=≥，当a b =时等号成立，则22222()a b a b +≥+，因为3a b +≥，所以22222()a b a b a b +≥+>+;【小问2详解】222222222222()a b b a a b b a a b a b -+-≥-+-=+-+22222()()()()(1)326a b a b a b a b a b a b =+-+≥+-+=++-≥⨯=。
最新普通高等学校招生理科数学全国统一考试试题(四川卷)(含解析)
普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出地 四个选项中，只有一个是符合题目要求地 ．1．设集合{|20}A x x =+=，集合2{|40}B x x=-=，则A B =I （ ）（A ）{2}- （B ）{2} （C ）{2,2}- （D ）∅2．如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z地 共轭复数地 点是（ ）（A）A（B）B（C）C（D）D3．一个几何体地三视图如图所示，则该几何体地直观图可以是（）4．设x Z∈，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题:,2∀∈∈，则（）p x A x B（A）:,2p x A x B⌝∀∉∉p x A x B⌝∀∃∈∉（B）:,2（C）:,2⌝∃∈∈p x A x B p x A x B⌝∃∉∈（D）:,25．函数()2sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<地 部分图象如图所示，则,ωϕ地 值分别是（ ）（A ）2,3π- （B ）2,6π- （C ）4,6π- （D ）4,3π6．抛物线24yx=地 焦点到双曲线2213yx -=地 渐近线地距离是（ ）（A ）12 （B ）3 （C ）1（D 37．函数231xx y =-地 图象大致是（ ）8．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同地数分别为,a b，共可得到lg lga b地不同值地个数是（）（A）9（B）10（C）18（D）209．节日里某家前地树上挂了两串彩灯，这两串彩灯地第一次闪亮相互独立，若接通电后地 4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮地时刻相差不超过2秒地概率是（）（A）14（B）12（C）34（D ）7810．设函数()f x =a R ∈，e 为自然对数地 底数）．若曲线sin y x =上存在0(,)x y 使得0(())f f y y =，则a 地 取值范围是（ ）（A ）[1,]e （B ）1[,-11]e -，（C ）[1,1]e +（D ）1[-1,1]ee -+二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．二项式5()x y +地 展开式中，含23x y 地 项地 系数是_________．（用数字作答）12．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB AD AOλ+=u u u r u u u r u u u r ，则λ=_________．13．设sin 2sin αα=-，(,)2παπ∈，则tan 2α地 值是_________．14．已知()f x 是定义域为R 地 偶函数，当x ≥0时，2()4f x x x=-，那么，不等式(2)5f x +<地 解集是________ ．15．设12,,,nP P P L 为平面α内地 n 个点，在平面α内地 所有点中，若点P 到12,,,nP P P L 点地 距离之和最小，则称点P为12,,,nP P P L 点地 一个“中位点”．例如，线段AB 上地 任意点都是端点,A B 地 中位点．则有下列命题： ①若,,A B C 三个点共线，C 在线AB 上，则C 是,,A B C 地 中位点；②直角三角形斜边地 点是该直角三角形三个顶点地 中位点；③若四个点,,,A B C D 共线，则它们地 中位点存在且唯一；④梯形对角线地 交点是该梯形四个顶点地 唯一中位点．其中地 真命题是____________．（写出所有真命题地 序号数学社区）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分12分) 在等差数列{}na 中，218aa -=，且4a 为2a 和3a 地 等比中项，求数列{}na 地 首项、公差及前n 项和．17．(本小题满分12分) 在ABC ∆中，角,,A B C 地 对边分别为,,a b c ，且232coscos sin()sin cos()25A B B A B B A C ---++=-．（Ⅰ）求cos A 地 值；（Ⅱ）若a =5b =，求向量BAu u u r在BCuuu r 方向上地 投影．18．(本小题满分12分)某算法地程序框图如图所示，其中输入地变量x在1,2,3,,24⋅⋅⋅这24个整数中等可能随机产生．（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y地值为i地概率(1,2,3)P i=；i（Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图地理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y地值为(1,2,3)i i=地频数．以下是甲、乙所作频数统计表地部分数据．甲地 频数统计表（部分）乙地 频数统计表（部分）当2100n =时，根据表中地 数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y 地值为(1,2,3)i i =地 频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求地 可能性较大；（Ⅲ）按程序框图正确编写地 程序运行3次，求输出y 地 值为2地 次数ξ地 分布列及数学期望．19．(本小题满分12分) 如图，在三棱柱11ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，12AB AC AA ==，120BAC ∠=o，1,D D 分别是线段11,BC B C 地 中点，P 是线段AD 地 中点．（Ⅰ）在平面ABC 内，试作出过点P 与平面1A BC 平行地直线l ，说明理由，并证明直线l ⊥平面11ADD A ；（Ⅱ）设（Ⅰ）中地 直线l 交AB 于点M ，交AC 于点N ，求二面角1A A M N --地 余弦值．1C20．(本小题满分13分) 已知椭圆C ：22221,(0)x y a b a b +=>>地两个焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -，且椭圆C 经过点41(,)33P ． （Ⅰ）求椭圆C 地 离心率；（Ⅱ）设过点(0,2)A 地 直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，点Q 是线段MN 上地 点，且222211||||||AQAM AN =+，求点Q 地 轨迹方程．21．(本小题满分14分)已知函数22,0()ln ,0x x a x f x x x ⎧++<=⎨>⎩，其中a 是实数．设11(,())A x f x ，22(,())B x f x 为该函数图象上地 两点，且12x x <．（Ⅰ）指出函数()f x 地 单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 地 图象在点,A B 处地 切线互相垂直，且2x<，求21xx -地 最小值；（Ⅲ）若函数()f x 地 图象在点,A B 处地 切线重合，求a地 取值范围．参考答案一、 选择题：本题考查基本概念和基本运算.每小题5分，满分50分.1.A2.B3.D4.D5.A6.B7.C8.C9.C 10.A二、填空题：本题考查基础知识和基本运算.每小题5分，满分25分.(7,3)- 15.①④ 三、解答题:共6小题，共75分.16.解：设该数列公差为d ，前n 项和为ns .由已知，可得()()()21111228,38a d a d a d a d +=+=++.所以()114,30a d d d a +=-=，解得14,0a d ==，或11,3a d ==，即数列{}na 地 首相为4，公差为0，或首相为1，公差为3. 所以数列地 前n项和4n s n=或232n n n s -=. ………….12分17.解：()I 由()()232coscos sin sin cos 25A B B A B B A C ---++=-，得()()3cos 1cos sin sin cos 5A B B A B B B -+---=-⎡⎤⎣⎦，即()()3cos cos sin sin 5A B B A B B ---=-，则()3cos 5A B B -+=-，即3cos 5A =-. ………….. 5分()II 由3cos ,05A A π=-<<，得4sin 5A =，由正弦定理，有sin sin a bA B =，所以，sin sin b A B a ==.由题知a b >，则A B >，故4B π=. 根据余弦定理，有(22235255c c ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭，解得1c =或7c =-(舍去). 故向量BAu u u r 在BCuuu r 方向上地 投影为cos 2BA B =u u u r . ………….12分18. 解：()I .变量x 是在1，2，3，……24这24个整数中随机产生地 一个数，共有24种可能. 当x 从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23这12个数中产生时，输出y 地 值为1，故112p =； 当x 从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生时，输出y 地 值为2，故213p=;当x 从6，12，18，24这4个数中产生时，输出y 地 值为3，故316p=. ……………3分()II 当n=2100时，甲、乙所编程序各自输出y 地 值为i(i=1，2，3)地 频率如下：比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求地 可能性较大. ………7分（3）随机变量ξ可能饿取值为0，1，2，3.33128(0)3327p C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1213124(1)339p C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2123122(2)339p C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭333121(3)3327p C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故ξ地 分布列为所以842101231279927E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=即ξ地数学期望为1. ………12分 19.解：()I 如图，在平面ABC 内，过点P 做直线l //BC ，因为l 在平面1A BC 外，BC在平面1A BC 内，由直线与平面平行地 判定定理可知， l //平面1A BC .由已知，AB AC =，D 是BC 地 中点，所以，BC AD ⊥，则直线l AD ⊥.因为1AA ⊥平面ABC ，所以1AA ⊥直线l .又因为1,AD AA 在平面ξ12 3 p827492912711ADD A 内，且AD与1AA 相交，所以直线平面11ADD A . …………………………………………………………………………….6分()II 解法一:连接1A P ，过A 作1AE A P ⊥于E ，过E 作1EF A M ⊥于F ，连接AF .由()I 知，MN ⊥平面1AEA ，所以平面1AEA ⊥平面1A MN .所以AE ⊥平面1A MN ，则1A M AE ⊥.所以1A M ⊥平面AEF ，则1A M ⊥AF .故AFE ∠为二面角1A A M N --地 平面角(设为θ).设11AA =，则由12AB AC AA ==，120BAC ∠=o，有60BAD ∠=o，2,1AB AD ==.又P 为AD 地 中点，所以M 为AB 地 中点，且1,12AP AM ==， 在1Rt AA P V 中，1A P =;在1Rt A AM V 中，1AM从而，11AA AP AE A P •==，11AA AMAF A M•==所以2sin 5AEAFθ==.所以22215cos 1sin 15θθ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭.故二面角1A A M N--地 余弦值为155. ………………12分解法二:设11AA =.如图，过1A 作1A E 平行于11B C ，以1A 为坐标原点，分别以111,A E A D u u u r u u u u r ，1AA u u u r 地 方向为x 轴，y 轴，z 轴地 正方向，建立空间直角坐标系Oxyz (点O 与点1A 重合).则()10,0,0A ，()0,0,1A .因为P 为AD 地 中点，所以,M N 分别为,AB AC 地 中点，故11,1,,12222M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以11,122A M ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u u r ，()10,0,1A A =u u u r，)NM =u u u u r .设平面1AA M 地 一个法向量为()1111,,n x y z =，则1111,,n A M n A A ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩u u u u u r u u u u r 即11110,0,n A M n A A ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩u u u u ru u u r 故有()()()1111111,,,10,2,,0,0,10,x y z x y z ⎧⎫•=⎪⎪⎪⎨⎝⎭⎪•=⎩从而111110,20.y z z ++=⎪=⎩取11x =，则1y =()11,n =.设平面1A MN 地 一个法向量为()2222,,nx y z =，则 212,,n A M n NM ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩u u u u u ru u u u u r 即2120,0,n A M n NM ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩u u u u ru u u u r 故有()())2222221,,,10,22,,0,x y z x y z ⎧⎛⎫•=⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪•=⎪⎩从而222210,220.x y z ++=⎨⎪=⎩取22y=，则21z=-，所以()20,2,1n=-.设二面角1A A M N --地 平面角为θ，又θ为锐角，则1212cos 5n n n n θ•===•.故二面角1A A M N--地 余弦值为5. ………………12分20．解：122a PF PF =+==所以，a =又由已知，1c =，所以椭圆C 地离心率2ce a ===……………4分 ()II 由()I 知椭圆C 地 方程为2212x y +=.设点Q 地 坐标为(x ，y).(1)当直线l 与x 轴垂直时，直线l 与椭圆C 交于()()0,1,0,1-两点，此时Q点坐标为0,25⎛- ⎝⎭(2) 当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 地 方程为2y kx =+.因为,M N 在直线l 上，可设点,M N 地 坐标分别为1122(,2),(,2)x kx x kx ++，则22222212(1),(1)AM k x AN k x =+=+. 又()222222(1).AQx y k x =+-=+由222211AQAMAN=+，得()()()22222212211111k x k x k x =++++，即()212122222212122211x x x x x x x x x +-=+= ① 将2y kx =+代入2212x y +=中，得()2221860kx kx +++= ②由()()22842160,k k ∆=-⨯+⨯>得232k>. 由②可知12122286,,2121k x xx x k k +=-=++代入①中并化简，得2218103xk =- ③因为点Q 在直线2y kx =+上，所以2y k x-=，代入③中并化简，得()22102318y x --=.由③及232k >，可知2302x<<，即22x ⎛⎫⎛∈-⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭U .又0,25⎛- ⎝⎭满足()22102318y x --=，故x ⎛∈ ⎝⎭.由题意，(),Q x y 在椭圆C 内部，所以11y -≤≤， 又由()22102183y x -=+有()2992,54y ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭且11y -≤≤，则1,22y ⎛∈ ⎝⎦.所以点Q 地 轨迹方程是()22102318y x --=，其中，22x ⎛∈- ⎝⎭，1,225y ⎛∈- ⎝⎦………..13分21．解：()I 函数()f x 地 单调递减区间为(),1-∞-，单调递增区间为[)1,0-，()0,+∞()II 由导数地 几何意义可知，点A 处地 切线斜率为()1f x '，点B 处地 切线斜率为()2f x '，故当点A 处地 切线与点B 处地 切垂直时，有()()121f x f x ''=-.当0x <时，对函数()f x 求导，得()22f x x '=+. 因为12x x<<，所以()()1222221x x ++=-，所以()()12220,220x x +<+>.因此()()21121222212x x x x -=-+++≥=⎡⎤⎣⎦当且仅当()122x -+=()222x +=1，即123122x x =-=且时等号成立.所以函数()f x 地 图象在点,A B 处地 切线互相垂直时，21x x -地 最小值为1…………7分()III 当120x x <<或210x x >>时，()()12f x f x ''≠，故120x x <<.当10x <时，函数()f x 地 图象在点()()11,x f x 处地 切线方程为()()()21111222y x x a x x x -++=+-，即()21122y x x xa=+-+当2x>时，函数()f x 地 图象在点()()22,x f x 处地 切线方程为()2221ln y x x x x -=-，即221ln 1y x x x =•+-.两切线重合地 充要条件是1222112 2 ln 1 x x x x a ⎧=+⎪⎨⎪-=-+⎩①②由①及120x x <<知，110x -<<.由①②得，()2211111ln1ln 22122a xx x x =+-=-+-+.设()()21111ln 221(10)h x xx x =-+--<<，则()1111201h x x x '=-<+.所以()()1110h x x -<<是减函数.则()()10ln21h x h >=--，所以ln 21a >--.又当1(1,0)x ∈-且趋近于1-时，()1h x 无限增大，所以a 地 取值范围是()ln21,--+∞.故当函数()f x 地 图像在点,A B 处地 切线重合时，a 地 取值范围是()ln21,--+∞.14分。
四川高考数学试题理科含答案
2021年普通高等学校招生全国统一考试 (四川卷)数 学(理工类)本试卷分第一局部(选择题)和第二局部(非选择题)。
第一局部 1至2页，第二局部 3至4 页，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上及试题卷，草稿纸上答题无效，总分值150分，考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么 球的外表积公式P(A+B)=P(A)+P(B)s4R 2如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径 P(A·B)=P(A)·P(B)球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么v4R 23在n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径P n (k)C n k p k (1p)nk(k 0,1,2,...n)第一局部〔选择题共60分〕考前须知：1.选择题必须使用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上。
2.本局部共12 小题，每题 5分，共 60分。
一、选择题：本大题共 12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有 一项为哪一项符合题目要求的。
〔11四川理 1〕有一个容量为 66的样本，数据的分组及各组的频数如下：，15.5) 2 [15.5,19.5)4 ，23．5)9[23.5,27.5)18，31.5) 1l ，35.5)12 ．39.5)7[39.5,43.5)3 根据样本的频率分布估计，数据落在，43.5)的概率约是 (A) 1 (B) 1 (C) 1〔D 〕2631 23〔11四川理 2〕复数ii =〔B 〕1(A) 2i 〔〕 〔〕2iC 0Di2〔11四川理 3〕l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，那么以下命题正确的选项是(A) l 1 l 2，l 2l 3 l 1 l 3〔B 〕l 1l 2，l 2l 3l 1 l 3 [ 来源:](C) l 2 l 3 l 3l 1，l 2，l 3共面〔D 〕l 1，l 2，l 3共点 l 1，l 2，l 3共面〔11四川理 4〕如图，正六边形 ABCDEF 中，BACDEF=(A)0(B)BE(C)AD(D)CF〔11四川理5〕函数，f(x)在点x x0处有定义是f(x)在点x x0处连续的(A)充分而不必要的条件(B)必要而不充分的条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要的条件〔11四川理6〕在ABC中．sin2sin2B sin2C sinBsinC.那么A的取值范围是(A)(0，](B)[，)(c)(0，](D)[，)66331〔11四川理7〕f(x)是R上的奇函数，且当x0时，f(x)()x 1，那么f(x)的反2函数的图像大致是〔11四川理8〕数列a n的首项为3，b n为等差数列且b n a n1a n(nN*).假设那么b32，b1012，那么a8〔A〕0〔B〕3〔C〕8〔D〕11〔11四川理9〕某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车.某天需运往A地至少72吨的货物，派用的每辆车虚满载且只运送一次.拍用的每吨甲型卡车虚配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车虚配1名工人，运送一次可得利润350元.该公司合理方案党团派用两类卡车的车辆数，可得最大利润〔A〕4650元〔B〕4700元〔C〕4900元〔D〕5000元〔11四川理10〕在抛物线y x2ax5(a0)上取横坐标为x14，x22的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆2236相切，那么抛5x5y物线顶点的坐标为〔A〕(2,9)〔B〕(0,5)〔C〕(2,9)〔D〕(1,6)〔11四川理11〕定义在0,上的函数f(x)满足f(x)3f(x2)，当x0,2时，f(x)x22x.设f(x)在2n2,2n上的最大值为a n(n N*)，且a n的前n项和为S n，那么limS nn〔A〕3〔B〕5〔C〕2〔D〕322〔11四川理12〕在集合1,2,3,4,5中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量(a,b).从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形.记所有作成的平行四边形的个数为 n ，其中面积不超过 4的平行四边形的个数为 m ，那么m〔A 〕4〔B 〕1〔C 〕2〔D 〕2n153 53二、填空题：本大题共 4小题，每题4分，共 16分.13〕计算(lg11〔11四川理 lg25)1002=.4〔11四川理 x 2 y 2 4，那么点P 到左14〕双曲线=1上一点P 到双曲线右焦点的距离是64 36准线的距离是.〔11四川理 15〕如图，半径为R 的球O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大 是，求的外表积与改圆柱的侧面积之差是 . 〔11四川理 16〕函数f(x)的定义域为A ，假设x 1,x 2A 且f(x 1)f(x 2)时总有x 1x 2，那么称f(x)为单函数，例如，函数f(x) 2x 1(xR)是单函数.以下命题：①函数f(x)x 2(xR)是单函数；②假设f(x)为单函数，x 1,x 2A 且x 1x 2，那么f(x 1) f(x 2)；③假设f ：A B 为单函数，那么对于任意 bB ，它至多有一个原象；〔11四川理18〕本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。
2023年四川省高考数学理科真题及参考答案
2023年四川省高考理科数学真题及参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合{}Z k k x x A ∈+==,13，{}Z k k x x B ∈+==,23，U 为整数集，()=⋃B A C U （）A .{}Z k k x x ∈=,3B .{}Z k k x x ∈-=,13C .{}Z k k x x ∈-=,23D .φ2.若复数()()21=-+ai i a ，则=a （）A .1-B .0C .1D .23.执行下面的程序框图，输出的=B （）A .21B .34C .55D .894.已知向量1==b a ，2=c 且0=++c b a ，则=--c b c a ,cos （）A .51-B .52-C .52D .545.已知等比数列{}n a 中，11=a ，n S 为{}n a 的前n 项和，4535-=S S ，则=4S （）A .7B .9C .15D .306.有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报名足球俱乐部，则其报名乒乓球俱乐部的概率为（）A .8.0B .4.0C .2.0D .1.07.“1sin sin 22=+βα”是“0cos sin =+βα”的（）A .充分条件但不是必要条件B .必要条件但不是充分条件C .充要条件D .既不是充分条件也不是必要条件8.已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x C ：的离心率为5，其中一条渐近线与圆()()13222=-+-y x 交于B A ,两点，则=AB （）A .51B .55C .552D .5549.有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（）A .120B .60C .40D .3010.已知函数()x f 为函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62cos πx y 向左平移6π个单位所得函数，则()x f y =与直线2121-=x y 的交点个数为（）A .1B .2C .3D .411.在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为正方形，4=AB ,3==PD PC ，︒=∠45PCA ,则PBC ∆的面积为（）A .22B .23C .24D .2512.已知椭圆16922=+y x ，21F F ，为两个焦点，O 为坐标原点，P 为椭圆上一点，53cos 21=∠PF F ，则=OP （）A .52B .230C .53D .235二、填空题：本大题动4小题，每小题5分，共20分.13.若()⎪⎭⎫⎝⎛+++-=2sin 12πx ax x y 为偶函数，则=a .14.设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+-≤-1332323y x y x y x ，设y x z 23+=，则z 的最大值为.15.在正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别为CD ，11B A 的中点，则以EF 为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为.16.在ABC ∆中，2=AB ，︒=∠60BAC ，6=BC ，D 为BC 上一点，AD 为BAC ∠的平分线，则=AD .三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2023年四川高考理科数学试题
2023年四川高考理科数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}21A x x =-<，{}13B x x =-<，则A B ⋂=（）A ．{}21x x -<<B ．{}4x x <C ．{}14x x <<D ．{}2x x >-2．已知复数i R z a b a b =+∈（,），且i12i 1iz =++，则ab =（）A ．-9B ．9C ．-3D ．33．若0.3log 0.4a =，031.2b =．，2.1log 0.9c =，则（）A ．a b c>>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．b a c >>4，已知向量()12a = ,，()23b =- ,，若()a kab ⊥+ ，则k=（）A ．45B ．45-C ．14D ．14-5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4854a a a +=+，则13S =（）A ．26B ．32C ．52D ．646．执行如图所示的程序框图，若输出的81S =，则判断框内可填入的条件是（）A ．9n ≤?B ．9n ≥?C ．9n <?D ．9n >?7．已知函数()f x 满足()()15f x f x -=+，且()1f x +是偶函数，当13x ≤≤时，()324x f x =+，则()36f log =2（）A ．32B ．3C ．398D ．3948．如图，在正三棱柱111ABC A B C -，中，12AA AB ==，D 在1A C 上，E 是1A B 的中点，则()2AD DE +的最小值是（）A ．67B ．27C ．37D ．579．某社区计划在该小区内如图所示的一块空地布置花卉，要求相邻区域布置的花卉种类不同，且每个区域只布置一种花卉，若有5种不同的花卉可供选择，则不同的布置方案有（）A ．360种B ．420种C ．480种D ．540种10．已知双曲线()222210,0x y C a b a b-=>>:的左焦点为()0F c -,，点M 在双曲线C 的右支上，()0,A b ，若△AMF 周长的最少值是24c a +，则双曲线C 的离心率是（）A ．312B ．31C ．52D ．511．已知正三棱锥P —ABC 的底面边长为36，则三棱锥P —ABC 的内切球的表面积为（）A ．32πB ．3πC ．6πD ．12π12．已知函数()323,0,31,0x x f x x x x ->⎧⎨-+≤⎩，函数()()()g x ff x m =-恰有5个零点，则m 的取值范围是（）A ．()3,1-B ．()0,1C [)1,1-D ．()1,3二，填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．幸福指数是衡量人们对自身生存和发展状况的感受和体验，即人们的幸福感的一种指数．某机构从某社区随机调查了10人，得到他们的幸福指数（满分：10分）分别是7.6，8.5，7.8，9.2，8.1，9，7.9，9.5，8.3，8.8，则这组数据的中位数是______14．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，直线l y x m =+:与抛物线C 交于A ，B 两点，若18AF BF +=，则m =______15．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若nn S b n=，则称数列{}n b 是数列{}n a 的“均值数列”．已知数列{}n b 是数列{}n a 的“均值数列”，且13n nb =，则n a 的最小值是______16．已知函数()()sin 0f x x x ωωω=>，()()124f x f x -=，且12x x -的最小值是2π．若关于x 的方程()1f x =在[](),m n m n <上有2023个零点，则n m -的最小值是______三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin b B c C a -=．（1）证明：2B C π-=（2）若3A π=，a =，求△ABC 的面积．18．（12分）某杂志社对投稿的稿件要进行评审，评审的程序如下：先由两位专家进行初审．若两位专家的初审都通过，则予以录用；若两位专家的初审都不通过，则不予录用；若恰能通过一位专家的初审，则再由另外的两位专家进行复审，若两位专家的复审都通过，则予以录用，否则不予录用．假设投稿的稿件能通过各位专家初审的概率均为13，复审的稿件能通过各位专家复审的概率均为12，且每位专家的评审结果相互独立．（1）求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；（2）记X 表示投到该杂志的3篇稿件中被录用的篇数，求X 的分布列及期望．19．（12分）如图，在三棱柱111BC A B C -中，所有棱长均为2，且1B C =160ABB ∠=︒，13BB BD =．（1）证明：平面ABC ⊥11ABB A ．（2）求平面ACD 与平面111A B C 夹角的余弦值．20．（12分）椭圆E 的中心为坐标原点，坐标轴为对称轴，左、右顶点分别为()2,0A -，()2,0B ，点(在椭圆E 上．（1）求椭圆E 的方程．（2）过点()1,0-的直线l 与椭圆E 交于P ，Q 两点（异于点A ，B ），记直线AP 与直线BQ 交于点M ，试问点M 是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，请说明理由．21．（12分）已知函数()32x f x e mx nx x =+--（其中e 为自然对数的底数），且曲线()y f x =在1x =处的切线方程为y x =-．（1）求实数m ，n 的值；（2）证明：对任意的R x ∈，()32351f x x x ≥-+恒成立．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为23cos 3sin x y αα=+⎧⎨=⎩，（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是cos 2sin 120ρθρθ+-=．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设射线()1:04l πθρ=≥与曲线C 交于点A ，与直线1交于点B ，求AB 的值．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知0a >，0b >，且2a b +=．（1）求22a b +的最小值；（2≤．2023年四川高考理科数学试题参考答案1．C 由题意可得{}1A x x =>，{}24B x x =-<<，则{}14A B x x ⋂=<<．2．D 由题意可得()()()i i 12i 1i a b +=++，则i 13i b a -+=-+，从而3a =，1b =，故3ab =．3．D 由题意可知01a <<，1b >，0c <，则b a c >＞．4．B 由题意可得()223ka b k k +=-+,，则()22230k k -++=，解得45k =-.5．C 由等差数列的性质可得485754a a a a a +=+=+．则74a =．故1371352S a ==．6．D 由程序框图可知21352181S n n =+++⋅⋅⋅+-==（），解得9n =．7．B因为()1f x +是偶函数，所以()()2f x f x -=+．因为()()15f x f x -=+，所以()()6f x f x -=+，所以()()26f x f x +=+，即()()4f x f x =+．因为2225log 32log 36log 646=<<=．所以()()222993log 36log 364log 3444f f f ⎛⎫=-==+= ⎪⎝⎭．8．C如图，将平面1A BC 与平面1A AC 翻折到同一平面上，连接AE ，记1AE AC F ⋂=．由题意可知12A A AC BC ===，11A C A B ==，则145AAC ∠=︒，13cos4BAC ∠==，从而17sin 4BA C ∠=，故1113214cos cos 8AA B AA C BA C -∠=∠+∠=（）．因为E 是1A B 的中点，所以1A E =23214422238AE =+-⨯=+D 在1A C 上，所以AD DE AE +≥，则()23AD DE +≥+．9．D 如图，先在区域A 布置花卉，有5种不同的布置方案，再在区域E 布置花卉，有4种不同的布置方案，再在区域D 布置花卉，有3种不同的布置方案．若区域B 与区域E 布置同一种花卉，则区域C 有3种不同的布置方案；若区域B 与区域E 布置不同的花卉，则区域B 有2种不同的布置方案，区域C 有3种不同的布置方案．故不同的布置方案有()543323540⨯⨯⨯+⨯=种．10．B 如图，设双曲线C 的右焦点为F '，连接AF '，线段AF '交双曲线C 于点M '，则AM MF AF ''+≥．由双曲线的定义可得2MF MF a '-=，则22AM MF AM MF a AF a ''+=++≥+．因为()0,A b ，所以AF AF '==224a c a =+，整理得22220c ac a --=，即2220e e --=，解得1e =．11．A 如图，取棱AB 的中点D ，连接CD ，作PH ⊥平面ABC ，垂足为H ，则PH =．由正三棱锥的性质可知H 在CD 上，且2CH DH =．因为3AB =，所以332CD =，则CH =．因为PH =，所以3PC ==，则三棱锥P —ABC 的表面积3944S =⨯=，设三棱锥P —ABC 的内切球的半径为r ，则1319343P ABC V -=⨯⨯=⨯．解得64r =，从而三棱锥P —ABC 的内切球的表面积为2342r ππ=.12．C 当0x ≤时，()233f x x '=-．由()0f x '>，得1x <-，由()0f x '<，得10x -<≤，则()f x 在(]1,0-上单调递减，在(),1-∞-上单调递增，故()f x 的大致图象如图所示。
普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(四川卷,含答案)
普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（四川卷，含答案）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．已知集合2{|20}A x x x =--≤，集合B 为整数集，则A B ⋂= A ．{1,0,1,2}- B ．{2,1,0,1}-- C ．{0,1} D ．{1,0}- 【答案】A【解析】{|12}A x x =-≤≤，B Z =，故A B ⋂={1,0,1,2}- 2．在6(1)x x +的展开式中，含3x 项的系数为 A ．30 B ．20 C ．15 D ．10 【答案】C【解析】含3x 项为24236(1)15x C x x ⋅=3．为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上 所有的点 A ．向左平行移动12个单位长度 B ．向右平行移动12个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行移动1个单位长度 【答案】A【解析】因为1sin(21)sin[2()]2y x x =+=+，故可由函数sin 2y x =的图象上所有的点向左平行移动12个单位长度得到 4．若0a b >>，0c d <<，则一定有 A ．a b c d > B ．a b c d < C ．a b d c > D ．a b d c< 【答案】D【解析】由1100c d d c<<⇒->->，又0a b >>，由不等式性质知：0a b d c ->->，所以a bd c< 5．执行如图1所示的程序框图，如果输入的,x y R ∈，则输出的S 的最大值为A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】当001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩时，函数2S x y =+的最大值为2.6．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有 A ．192种 B ．216种 C ．240种 D ．288种 【答案】B【解析】当最左端为甲时，不同的排法共有55A 种；当最左端为乙时，不同的排法共有14C 44A 种。
普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)理数答案解析(正式版)(解析版).docx
第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|(1)(2)0}A x x x =+-<，集合{|13}B x x =<<，则A B =U （ ） A.{x|-1<x<3} B.{x|-1<x<1} C.{x|1<x<2} D.{x|2<x<3} 【答案】A 【解析】试题分析：{|12},{|13},{|13}A x x B x x A B x x =-<<=<<∴=-<<U ，选A. 考点：集合的基本运算. 2.设i 是虚数单位，则复数32i i-( ) A.-i B.-3i C.i. D.3i 【答案】C考点：复数的基本运算.3.执行如图所示的程序框图，输出S 的值是( ) A.32-B.32C.-12D.12【答案】D 【解析】试题分析：这是一个循环结构，每次循环的结果依次为：2;3;4;5k k k k ====，大于4，所以输出的51sin62S π==，选D. 考点：程序框图.4.下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（ ）.cos(2)2A y x π=+ .sin(2)2B y x π=+ .sin 2cos 2C y x x =+ .sin cos D y x x =+【答案】A 【解析】试题分析：对于选项A ，因为2sin 2,2y x T ππ=-==，且图象关于原点对称，故选A. 考点：三角函数的性质.5.过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则AB =（ ） （A ）43（B ）23 （C ）6 （D ）43 【答案】D考点：双曲线.6.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ） （A ）144个 （B ）120个 （C ）96个 （D ）72个 【答案】B 【解析】试题分析：据题意，万位上只能排4、5.若万位上排4，则有342A ⨯个；若万位上排5，则有343A ⨯个.所以共有342A ⨯343524120A +⨯=⨯=个.选B.考点：排列组合.7.设四边形ABCD 为平行四边形，6AB =u u u r ，4AD =u u u r.若点M ，N 满足3BM MC =u u u u r u u u u r ，2DN NC =u u u r u u u r ，则AM NM ⋅=u u u u r u u u u r（ ）（A ）20 （B ）15 （C ）9 （D ）6 【答案】C 【解析】试题分析：311,443AM AB AD NM CM CN AD AB =+=-=-+u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u ur u u u r ，所以221111(43)(43)(169)(1636916)94124848AM NM AB AD AB AD AB AD =+-=-=⨯-⨯=u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g ，选C.考点：平面向量.8.设a ，b 都是不等于1的正数，则“333a b >>”是“log 3log 3a b <”的 （ ） （A ）充要条件 （B ）充分不必要条件 （C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】B考点：命题与逻辑. 9.如果函数()()()()21281002f x m x n x m n =-+-+≥≥，在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调递减，则mn 的最大值为（ ）（A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812【答案】B 【解析】试题分析：2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，822n m --≥-即212m n +≤.226,182m nm n mn +⋅≤≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，8122n m --≤-即218m n +≤.28129,22n m n m mn +⋅≤≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以(182)(1828)816mn n n =-<-⨯⨯=，所以最大值为18.选B..考点：函数与不等式的综合应用.10.设直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，与圆()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ） （A ）()13， （B ）()14， （C ）()23， （D ）()24xy–12123456789–1–2–3–4–5–6123456ABCFOM【答案】D考点：直线与圆锥曲线，不等式.第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.在5(21)x -的展开式中，含2x 的项的系数是 （用数字作答）. 【答案】40-. 【解析】试题分析：55(21)(12)x x -=--，所以2x 的系数为225(2)40C -⨯-=-.考点：二项式定理.12.=+οο75sin 15sin . 【答案】62. 【解析】试题分析：6sin15sin 75sin15cos152sin(1545)2+=+=+=o o o oo o . 考点：三角函数.13.某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：C ο）满足函数关系bkx ey +=（Λ718.2=e 为自然对数的底数，k 、b 为常数）。
最新四川省高考数学试卷(理科)及答案(word版)
普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（理工类）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页。
考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上大题无效。
满分150分。
考试时间120分钟。
考试结束后，将本试题卷和答题卡上一并交回。
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）注意事项： 必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1、设集合{|20}A x x =+=，集合2{|40}B x x =-=，则A B =（ ）（A ）{2}- （B ）{2} （C ）{2,2}- （D ）∅2、如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是（ ） （A ）A （B ）B （C ）C （D ）D3、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（ ）4、设x Z ∈，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集。
若命题:,2p x A x B ∀∈∈，则（ ） （A ）:,2p x A x B ⌝∀∈∉ （B ）:,2p x A x B ⌝∀∉∉（C ）:,2p x A x B ⌝∃∉∈ （D ）:,2p x A x B ⌝∃∈∉5、函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（ ） （A ）2,3π-（B ）2,6π-（C ）4,6π-（D ）4,3π6、抛物线24y x =的焦点到双曲线2213y x -=的渐近线的距离是（ ） （A ）12（B）2（C ）1 （D7、函数331x x y =-的图象大致是（ ）8、从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为,a b ，共可得到lg lg a b -的不同值的个数是（ ）（A ）9 （B ）10 （C ）18 （D ）20 9、节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮。
2020四川高考数学(理科)试题及参考答案
2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{（x,y）|x,y∈N*,y≥x},B＝{（x,y）|x+y＝8},则A∩B中元素的个数为（）A．2B．3C．4D．62．复数的虚部是（）A．﹣B．﹣C．D．3．在一组样本数据中,1,2,3,4出现的频率分别为p1,p2,p3,p4,且p i＝1,则下面四种情形中,对应样本的标准差最大的一组是（）A．p1＝p4＝0.1,p2＝p3＝0.4B．p1＝p4＝0.4,p2＝p3＝0.1C．p1＝p4＝0.2,p2＝p3＝0.3D．p1＝p4＝0.3,p2＝p3＝0.24．Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：I（t）＝,其中K为最大确诊病例数．当I（t*）＝0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为（）（ln19≈3）A．60B．63C．66D．695．设O为坐标原点,直线x＝2与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于D,E两点,若OD⊥OE,则C 的焦点坐标为（）A．（,0）B．（,0）C．（1,0）D．（2,0）6．已知向量,满足||＝5,||＝6,•＝﹣6,则cos＜,+＞＝（）A．﹣B．﹣C．D．7．在△ABC中,cos C＝,AC＝4,BC＝3,则cos B＝（）A．B．C．D．8．如图为某几何体的三视图,则该几何体的表面积是（）A．6+4B．4+4C．6+2D．4+29．已知2tanθ﹣tan（θ+）＝7,则tanθ＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．210．若直线l与曲线y＝和圆x2+y2＝都相切,则l的方程为（）A．y＝2x+1B．y＝2x+C．y＝x+1D．y＝x+11．设双曲线C：﹣＝1（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为．P是C上一点,且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4,则a＝（）A．1B．2C．4D．812．已知55＜84,134＜85．设a＝log53,b＝log85,c＝log138,则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分。
高考四川卷理数试题与答案
2016年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学(理工类)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1•设集合^{x\-2 <x <2}，Z为整数集，则A Z中元素的个数是(A)3( B)4( C) 5( D) 62•设i为虚数单位，则(x i)6的展开式中含x4的项为(A)—15x4( B) 15x4(C)—20i x4( D) 20i x4n3•为了得到函数s in(2x - )的图象，只需把函数y二sin 2x的图象上所有的点3n n(A)向左平行移动个单位长度(B)向右平行移动个单位长度3 3冗It(C)向左平行移动个单位长度(D)向右平行移动个单位长度6 64•用数字1, 2, 3, 4, 5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为(A) 24 (B) 48 (C) 60 (D) 725•某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入•若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据:lg 1.12~ 0.05, lg 1.3~ 0.11 , Ig2~ 0.30)(A) 2018 年(B) 2019 年(C) 2020 年(D) 2021 年6.秦九韶是我国南宋使其的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n, x的值分别为3, 2,则输出v的值为XP '(y y 2x 2 y 2)(A ) 9 ( B ) 18 (C ) 20 (D ) 35y _ X-1,| 3实数X , y 满足(x - 1)2 - (y - 1)2< 2, q ：实数X , y 满足 y _ 1 - x,则p 是q 的 [y " 必要不充分条件(B )充分不必要条件(C )充要条件(D )既不充分也不必要条件28•设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线 y =2px(p.O)上任意一点，M 是线段PF 上的4349(A ) 3 (B )9(C )4 4二、填空题：本大题共 5小题，每小题5分，共25分。
2023年四川高考数学(理)试题及答案
A．214．向量||||1,|a b ==- A．15-5．已知正项等比数列{A．76．有60人报名足球俱乐部，60若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（A．0.87．“22sin sin αβ+=A．充分条件但不是必要条件C．充要条件(1)求证：1AC A C =；(2)若直线1AA 与1BB 距离为2，求19．为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，加药物）和实验组（加药物）．(1)设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为(2)测得40只小鼠体重如下（单位：g）对照组：17.318.420.120.425.426.126.326.4628.3实验组：5.4 6.6 6.810.411.214.417.319.2226.0（i）求40只小鼠体重的中位数m<m≥对照组实验组1．A【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．【详解】因为整数集{}{}{}|3,|31,|32,x x k k x x k k x x k k ==∈=+∈=+∈Z Z ZZ ，U Z =，所以，(){}|3,U A B x x k k ==∈Z ð．故选：A．2．C【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出．【详解】因为()()()22i 1i i i 21i 2a a a a a a a +-=-++=+-=，所以22210a a =⎧⎨-=⎩，解得：1a =．故选：C.3．B【分析】根据程序框图模拟运行，即可解出．【详解】当1n =时，判断框条件满足，第一次执行循环体，123A =+=，325B =+=，112n =+=；当2n =时，判断框条件满足，第二次执行循环体，358A =+=，8513B =+=，213n =+=；当3n =时，判断框条件满足，第三次执行循环体，81321A =+=，211334B =+=，314n =+=；当4n =时，判断框条件不满足，跳出循环体，输出34B =．故选：B.4．D【分析】作出图形,根据几何意义求解.【详解】因为0a b c ++=,所以a b c +=-r r r ,即2222a b a b c ++⋅= ,即1122a b ++⋅=r r ,所以0a b ⋅= .如图,设,,OA a OB b OC c === ,由题知,1,OA OB OC ==AB 边上的高2,2OD AD =所以2CD CO OD =+=1tan ,cos 3AD ACD CD ∠==∠cos ,cos a c b c ACB 〈--〉=∠23421510⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭.故选:D.22考虑3π3π7π2,2,2222x x x =-==，即x 系，当3π4x =-时，3π3πsin 42f ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当3π4x =时，3π3πsin 142f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，y 当7π4x =时，7π7πsin 142f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以由图可知，()f x 与1122y x =-的交点个数为故选：C.11．C【分析】法一：利用全等三角形的证明方法依次证得得到PA PB =，再在PAC △中利用余弦定理求得中利用余弦定理与三角形面积公式即可得解；因为底面ABCD 为正方形，AB =又3PC PD ==，PO OP =，所以又3PC PD ==，42AC BD ==，所以在PAC △中，3,42,PC AC ==则由余弦定理可得22PA AC PC =+故17PA =，则17PB =，故在PBC 中，7,3,1P PB C ==所以22cos 2PC BC PB PCB PC BC +-∠=⋅又0πPCB <∠<，所以sin PCB ∠所以PBC 的面积为12S PC BC =⋅法二：连结,AC BD 交于O ，连结PO ，则因为底面ABCD 为正方形，AB =在PAC △中，3,45PC PCA =∠=则由余弦定理可得22PA AC PC =+17PA =，所以22cos 2PA PC AC APC PA PC +-∠=⋅cos 17PA PC PA PC APC ⋅=∠= 不妨记,PB m BPD θ=∠=，因为()(1122PO PA PC PB =+=+ 即2222PA PC PA PC PB PD ++⋅=+ 则()217923923m ++⨯-=++⨯⨯又在PBD △中，22BD PB PD =+26cos 230m m θ--=②，两式相加得22340m -=，故PB 故在PBC 中，7,3,1P PB C ==所以22cos 2PC BC PB PCB PC BC +-∠=⋅又0πPCB <∠<，所以sin PCB ∠所以PBC 的面积为12S PC BC =⋅故选：C.由图可知，当目标函数322z y x =-+过点A 时，z 有最大值，由题意可知，O 为球心，在正方体中，EF =即2R =，则球心O 到1BB 的距离为22OM ON MN =+=所以球O 与棱1BB 相切，球面与棱1BB 只有1个交点，同理，根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有所以以EF 为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为故答案为：1216．2【分析】方法一：利用余弦定理求出AC ，再根据等面积法求出方法二：利用余弦定理求出AC ，再根据正弦定理求出【详解】如图所示：记,,AB c AC b BC a ===，方法一：由余弦定理可得，22222b +-⨯⨯0，解得：13b =+，ABD ACD S S =+ 可得，11sin 602sin 3022AD AD ⨯=⨯⨯⨯+⨯ ()2313323312b AD b +===++．故答案为：2．方法二：由余弦定理可得，22222b +-⨯⨯由正弦定理可得，62sin 60sin sin b B C==，解得：362>>，所以45C = ，180B =30=o ，所以75ADB ∠= ，即AD 故答案为：2．本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，用角平分定义结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规．1n a n =-()1222nn ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭1AC ⊥ 底面ABC ，BC ⊂面ABC 1AC BC ∴⊥，又BC AC ⊥，AC BC ∴⊥平面ACC 1A 1，又BC ⊂平面∴平面11ACC A ⊥平面11BCC B ，过1A 作11A O CC ⊥交1CC 于O ，又平面1AO ∴⊥平面11BCC B 1A 到平面11BCC B 的距离为1，在11Rt A CC △中，111,AC AC CC ⊥设CO x =，则12C O x =-，11111,,AOC AOC ACC △△△为直角三角形，且22211CO A O A C +=，2211A O OC +2211(2)4x x ∴+++-=，解得x 1112AC AC AC ∴===，1AC AC ∴=（2）111,,AC AC BC AC BC =⊥ 1Rt Rt ACB ACB ∴△≌△1BA BA ∴=，过B 作1BD AA ⊥，交1AA 于D ，则224【点睛】。
2022年四川省高考理科数学真题及解析
2022年四川省高考理科数学真题及解析注意事项1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若i z 31+=，则=-1z z z（）A.i31+- B.i31-- C.i 3331+-D.i 3331--2.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图：则（）A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差3.设集合{}32,1,0,12，，--=U ，集合{}2,1-=A ，{}0342=+-=x x x B ，则()=⋃B A C U （）A.{}3,1 B.{}30， C.{}1,2- D.{}0,2-4.如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（）A.8B.12C.16D.205.函数()()x x f xxcos 33--=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-22ππ，的图象大致为（）6.当x=1时，函数()x bx a x f +=ln 取得最大值2-，则()='2f （）A.1- B.21-C.21 D.17.在长方体1111D C B A ABCD -中，已知D B 1与平面ABCD 和平面B B AA 11所成的角均为30°，则（）A.AD AB 2=B.AB 和平面D C AB 11所成的角为30°C.1CB AC = D.D B 1与平面C C BB 11所成的角为45°8.沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，B A是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是AB 的中点，D 在B A上，AB CD ⊥.“会圆术”给出B A的弧长的近似值s 的计算公式：OACD AB s 2+=.当2=OA ，︒=∠60AOB 时，=s （）A.23311- B.23411- C.2339- D.2349-9.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为π2，侧面积分别为甲S 和乙S ，体积分别为甲V 和乙V .若2=乙甲S S ，则=乙甲V V （）A.5 B.22 C.10D.410510.椭圆()012222>>=+b a by a x C ：的左顶点A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称.若直线AP ，AQ 的斜率之积为41，则C 的离心率为（）A.23 B.22 C.21 D.3111.设函数()⎪⎭⎫⎝⎛+=3sin πωx x f 在区间()π，0恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（）A.⎪⎭⎫⎢⎣⎡61335， B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡61935， C.⎥⎦⎤⎝⎛38613， D.⎥⎦⎤⎝⎛619613，12.已知3231=a ，41cos =b ，41sin 4=c ，则（）A.a b c >> B.c a b >> C.cb a >> D.bc a >>二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(四川卷)参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ) 如果事件A 、B 相互独立，那么P (A ·B )＝P (A )·P (B )如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率P n (k )＝C kn p k (1－p )n －k (k ＝0,1,2，…，n )球的表面积公式 S ＝4πR 2 其中R 表示球的半径 球的体积公式 V ＝43πR 3 其中R 表示球的半径第一部分 (选择题 共60分)本部分共12小题，每小题5分，共60分．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．)(1＋x )7的展开式中x 2的系数是( ) A ．42 B ．35 C ．28 D ．212．复数2(1i)2i-=( ) A ．1 B ．－1 C ．i D ．－i3．函数293()3ln(2)3x x f x x x x ⎧-<⎪=-⎨⎪-≥⎩，，，在x ＝3处的极限( )A ．不存在B ．等于6C ．等于3D ．等于0A ．101B ．808C ．1 212D ．2 012 4．如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连结EC ，ED ，则sin ∠CED ＝( )ABC．10 D．155．函数y ＝a x －1a(a ＞0，且a ≠1)的图象可能是( )6．下列命题正确的是( )A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C ．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 7．设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使||||=a b a b 成立的充分条件是( ) A ．a ＝－b B ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b |8．已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |＝( )A ．22B ．23C ．4D ．259．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A ，B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( )A ．1 800元B ．2 400元C ．2 800元D ．3 100元10．如图，半径为R 的半球O 的底面圆O 在平面α内，过点O 作平面α的垂线交半球面于点A ，过圆O 的直径CD 作与平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B ，该交线上的一点P 满足∠BOP ＝60°，则A ，P 两点间的球面距离为( )A ．2arccos4R B ．π4R C ．3arccos 3R D ．π3R11．方程ay ＝b 2x 2＋c 中的a ，b ，c ∈{－3，－2,0,1,2,3}，且a ，b ，c 互不相同．在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有( )A ．60条B ．62条C ．71条D ．80条12．设函数f (x )＝2x －cos x ，{a n }是公差为π8的等差数列，f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 5)＝5π，则[f (a 3)]2－a 1a 5＝( )A ．0B ．21π16 C ．21π8 D ．213π16第二部分 (非选择题 共90分)本部分共10小题，共90分．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
13．设全集U ＝{a ，b ，c ，d }，集合A ＝{a ，b }，B ＝{b ，c ，d }，则(U A )∪(U B )＝________. 14．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱CD ，CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小是________．15．椭圆22143x y +=的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A ，B ．当△F AB 的周长最大时，△F AB 的面积是________．16．记[x ]为不超过实数x 的最大整数．例如，[2]＝2，[1.5]＝1，[－0.3]＝－1.设a 为正整数，数列{x n }满足x 1＝a ，1[]2n nn a x x x +⎡⎤+⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦(n ∈N *)．现有下列命题： ①当a ＝5时，数列{x n }的前3项依次为5,3,2；②对数列{x n }都存在正整数k ，当n ≥k 时总有x n ＝x k ； ③当n ≥1时，x n a －1；④对某个正整数k ，若x k ＋1≥x k ，则x k ＝a ． 其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号)三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和B ，系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p . (1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p 的值； (2设系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布列及数学期望Eξ.18．函数2()6cos32xf x x ωω=-(ω＞0)在一个周期内的图象如图所示，A 为图象的最高点，B ，C 为图象与x 轴的交点，且△ABC 为正三角形．(1)求ω的值及函数f (x )的值域；(2)若0()f x =，且x 0∈(103-，23)，求f (x 0＋1)的值． 19．如图，在三棱锥P －ABC 中，∠APB ＝90°，∠P AB ＝60°，AB ＝BC ＝CA ，平面P AB ⊥平面ABC ．(1)求直线PC 与平面ABC 所成的角的大小； (2)求二面角B －AP －C 的大小．20．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2a n ＝S 2＋S n 对一切正整数n 都成立． (1)求a 1，a 2的值；(2)设a 1＞0，数列110lgn a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为T n .当n 为何值时，T n 最大？并求出T n 的最大值．21．如图，动点M 与两定点A (－1,0)，B (2,0)构成△MAB ，且∠MBA ＝2∠MAB ．设动点M 的轨迹为C ．(1)求轨迹C 的方程；(2)设直线y ＝－2x ＋m 与y 轴相交于点P ，与轨迹C 相交于点Q ，R ，且|PQ |＜|PR |，求||||PR PQ 的取值范围． 22．已知a 为正实数，n 为自然数，抛物线y ＝－x 2＋2n a与x 轴正半轴相交于点A ．设f (n )为该抛物线在点A 处的切线在y 轴上的截距．(1)用a 和n 表示f (n )；(2)求对所有n 都有33()1()11f n n f n n -≥++成立的a 的最小值；(3))当0＜a ＜1时，比较11()(2)nk f k f k =-∑与27(1)()4(0)(1)f f n f f -⋅-的大小，并说明理由． 1． D 含x 2的项是展开式中的第三项T 3＝27C x 2＝21x 2，所以x 2的系数是21.2． B22(1i)12i i 2i12i 2i 2i--+-===-. 3． A 当x ＜3时，33329lim ()limlim (3)63x x x x f x x x →→→-==+=-； 当x ＞3时，33lim ()limln(2)0x x f x x →→=-=.由于f (x )在x ＝3处的左极限不等于右极限，所以函数f (x )在x ＝3处的极限不存在． 4． B 因为四边形ABCD 是正方形，且AE ＝AD ＝1，所以∠AED ＝π4.在Rt △EBC 中，EB ＝2，BC ＝1，所以sin ∠BEC ＝55，cos ∠BEC ＝255.sin ∠CED＝sin(π4－∠BEC )＝22cos ∠BEC －22sin ∠BEC ＝225510()25510-=. 5． D 当x ＝－1时，y ＝a －1－1a＝0，∴函数图象恒过(－1,0)点，显然只有D 项符合，故选D 项．6．C 若两条直线和同一平面所成的角相等，则这两条直线可平行、可异面、可相交，A 项不正确错；如果到一个平面距离相等的三个点在同一条直线上或在这个平面的两侧，则经过这三个点的平面与这个平面相交，B 项不正确；如图，平面α∩β=b ，a ∥α，a ∥β，过直线a 作平面ε∩α=c ，过直线a 作平面γ∩β=d ，∵a ∥α，∴a ∥c ，∵a ∥β，∴a ∥d ，∴d ∥c ，∵c α，d α，∴d ∥α，又∵d β，∴d ∥b ，∴a ∥b ，C 项正确；若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面可平行、可相交，D 项不正确．7．C 因为||||=a b a b ，则向量||a a 与||bb 是方向相同的单位向量，所以a 与b 共线同向，即使||||=a b a b 成立的充分条件为C 项． 8． B 由抛物线定义，知2p＋2＝3，所以p ＝2，抛物线方程为y 2＝4x .因为点M (2，y 0)在抛物线上，所以0=22y ±20||423OM y =+=9． C 设某公司生产甲产品x 桶，生产乙产品y 桶，获利为z 元，则x ，y 满足的线性约束条件为212,212,00x y x y x x y y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥∈⎪⎪≥∈⎩且且Z,Z,目标函数z ＝300x ＋400y .作出可行域，如图中四边形OABC 的边界及其内部整点．作直线l 0：3x ＋4y ＝0，平移直线l 0经可行域内点B 时，z 取最大值，由212212x y x y +=⎧⎨+=⎩，，得B (4,4)，满足题意，所以z max ＝4×300＋4×400＝2 800.10．A 过点A 作AH ⊥平面BCD ，∵平面BCD 与底面所成的角为45°，AO ⊥平面α，且点B 为交线上与平面α的距离最大的点，∴点H 在OB 上，且∠AOB =45°.过点H 作HM ⊥OP ，垂足为M ，连接AM ，在等腰直角三角形AOH 中，AH =OH 2.在Rt △HOM 中，∠HOP =60°，∴HM =OH ·36R =.在Rt △AHM 中，2222226141441616AM AH HM R R R R =+=+==，则在Rt △AMO 中，14144sin 4RAOP R ∠==，∴cos ∠AOP =2，∴2arccos AOP ∠=，∴A ，P 两点的球面距离为2arccos R .11． B 因为a ，b 不能为0，先确定a ，b 的值有25A 种，则c 有14C 种，即所形成的抛物线有2154A C 80=条．当b ＝±2时，b 2的值相同，重复的抛物线有1133C C 9=条；当b ＝±3时，b 2的值相同，重复的抛物线有1133C C 9=条，所以不同的抛物线共有21115433A C 2C C 62-=条．12． D 因为{a n }是以π8为公差的等差数列，所以a 1＝a 3－π4，a 2＝a 3－π8，a 4＝a 3＋π8，a 5＝a 3＋π4，则f (a 1)＝2a 3－π2－cos(a 3－π4)，f (a 2)＝2a 3－π4－cos(a 3－π8)，f (a 3)＝2a 3－cos a 3，f (a 4)＝2a 3＋π4－cos(a 3＋π8)，f (a 5)＝2a 3＋π2－cos(a 3＋π4)．所以f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＋f (a 4)＋f (a 5)＝10a 3－[cos(a 3－π4)]＋cos(a 3－π8)＋cos a 3＋cos(a 3＋π8)＋[cos(a 3＋π4)] ＝10a 3－(2cos a 3＋cos a 3＋2cos π8cos a 3)＝10a 3－(2＋1＋2cos π8)cos a 3＝5π.则a 3＝π2.于是a 1＝a 3－π4＝π4，a 5＝a 3＋π4＝3π4，f (a 3)＝2×π2－cos π2＝π.故[f (a 3)]2－a 1a 5＝π2－π4×3π4＝213π16.13．答案：{a ，c ，d } 解析：U A ＝{c ，d }，U B ＝{a }，所以(U A )∪(U B )＝{a ，c ，d }．14．答案：90°解析：如图，以点D 为原点，以DA ，DC ，DD 1为x 轴、y 轴、z 轴建立坐标系D －xyz .设正方体的棱长为2，则1MA u u u u r ＝(2，－1，2)，DN u u u r ＝(0,2,1)，10MA DN ⋅=u u u u r u u u r，故异面直线A 1M 与ND 所成角为90°.15．答案：3解析：设椭圆的右焦点为F 1，则|AF |＝2a －|AF 1|＝4－|AF 1|， ∴△AFB 的周长为2|AF |＋2|AH |＝2(4－|AF 1|＋|AH |)． ∵△AF 1H 为直角三角形，∴|AF 1|＞|AH |，仅当F 1与H 重合时，|AF 1|＝|AH |， ∴当m ＝1时，△AFB 的周长最大，此时S △F AB ＝12×2×|AB |＝3. 16．答案：①③④解析：当a ＝5时，x 1＝5，251[]32x +==，353[]3[]22x +==，①正确． 当a ＝1时，x 1＝1，211[]1[]12x +==，x 3＝1，x k恒等于1=； 当a ＝2时，x 1＝2，2213[][]12x +===，321[]31[][]122x +===， 所以当k ≥2时，恒有1k x ==；当a ＝3时，x 1＝3，231[]22x +==，332[]32[][]122x +====，431[]1[]22x +==，532[]32[][]122x +===，613[]22x +==， 所以当k 为偶数时，x k ＝2，当k 为大于1的奇数时，x k ＝1，②不正确．在x n ＋[n a x]中，当n a x为正整数时，x n ＋[n a x ]＝x n ＋nax ≥ ∴1[][]2n n n a x x x ++=≥=；当na x 不是正整数时，令[n a x ]＝n a x －t ，t 为[n a x ]的小数部分，0＜t ＜1，1[][]=[][]]2222n n n n n a a x x tx xt t x +++-=>==，∴x n ＋1≥]，∴x n ≥，即x n 1，③正确．由以上论证知，存在某个正整数k ，若x k ＋1≥x k ，则x k ＝，④正确． 17．解：(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C ，那么1491()11050P C p -=-⋅=. 解得15p =. (2)由题意，P (ξ＝0)＝03311C ()101000=， P (ξ＝1)＝1231127C ()(1)10101000⋅-=，P (ξ＝2)＝22311243C ()(1)10101000⋅-=，P (ξ＝3)＝3331729C (1)101000-=.故随机变量ξ127243729270123100010001000100010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 18．解：(1)由已知可得，f (x )＝3cos ωx ωx ＝ωx ＋π3)．又正三角形ABC 的高为BC ＝4. 所以函数f (x )的周期T ＝4×2＝8，即2π8ω=，π4ω=.函数f (x )的值域为[-．(2)因为0()5f x =，由(1)有00ππ())43x f x =+=，即0ππ4sin()435x +=.由x 0∈(103-，23)，知0ππππ,4322x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以0ππ3cos 435x ⎛⎫∈+== ⎪⎝⎭.故00πππ(1))443x f x +=++＝0πππ()434x ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦＝00ππππππsin()cos cos sin 434434x x ⎡⎤⎤⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎥⎝⎭⎦⎝⎭⎣⎦＝4352525⨯+⨯=. 19．解：解法一：(1)设AB 的中点为D ，AD 的中点为O ，连结PO ，CO ，CD ． 由已知，△P AD 为等边三角形． 所以PO ⊥AD ．又平面P AB ⊥平面ABC ，平面P AB ∩平面ABC =AD ， 所以PO ⊥平面ABC ．所以∠OCP 为直线PC 与平面ABC 所成的角．不妨设AB =4，则PD =2，CD =OD =1，PO =.在Rt △OCD 中，CO ==.所以，在Rt △PO C中，tan PO OCP CO ∠===故直线PC 与平面ABC所成的角的大小为arctan 13.(2)过D 作DE ⊥AP 于E ，连结CE . 由已知可得，CD ⊥平面P AB ． 根据三垂线定理知，CE ⊥P A ．所以∠CED 为二面角B －AP －C 的平面角． 由(1)知，DE =在Rt △CDE中，tan 2CD CED DE ∠===. 故二面角B －AP －C 的大小为arctan 2.解法二：(1)设AB 的中点为D ，作PO ⊥AB 于点O ，连结CD ． 因为平面P AB ⊥平面ABC ，平面P AB ∩平面ABC =AD ， 所以PO ⊥平面ABC ． 所以PO ⊥CD ．由AB =BC =CA ，知CD ⊥AB ． 设E 为AC 中点，则EO ∥CD ，从而OE ⊥PO ，OE ⊥AB ．如图，以O 为坐标原点，OB ，OE ，OP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O －xyz .不妨设P A ＝2，由已知可得，AB ＝4，OA ＝OD ＝1，OP =CD =所以O (0,0,0)，A (－1,0,0)，C(1,，P)． 所以CP u u u r ＝(－1，-)，而OP r＝(0,0)为平面ABC 的一个法向量．设α为直线PC 与平面ABC 所成的角，则sin 4CP OP CP OPα⋅===u u u r u u u r u u u r u u u r . 故直线PC 与平面ABC所成的角的大小为. (2)由(1)有，AP u u u r＝)，AC u u u r ＝(2,．设平面APC 的一个法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，则,0,0AP AP AC AC ⎧⎧⊥⋅=⎪⎪⇔⎨⎨⊥⋅=⎪⎪⎩⎩u u u r u u u r u u u r u u ur n n n n从而11110,20.x z x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩取1x =y 1＝1，z 1＝1，所以n ＝(，1,1)．设二面角B－AP－C的平面角为β，易知β为锐角．而面ABP的一个法向量为m＝(0,1,0)，则cos||||||β⋅===n mn m.故二面角B－AP－C的大小为arccos5.20．解：(1)取n＝1，得a2a1＝S2＋S1＝2a1＋a2，①取n＝2，得22a＝2a1＋2a2，②由②－①，得a2(a2－a1)＝a2.③若a2＝0，由①知a1＝0；若a2≠0，由③知a2－a1＝1.④由①④解得，a1＋1，a2＝2；或a1＝1，a2＝2.综上可得，a1＝0，a2＝0；或a11，a2＋2；或a1＝1，a2＝2(2)当a1＞0时，由(1)知a11，a2＋2.当n≥2时，有(2)a n＝S2＋S n，(2)a n－1＝S2＋S n－1，所以(1)a n＝(2＋)a n－1，即a na n－1(n≥2)，所以a n＝a1)n－1＝＋)n－1.令110lgnnaba=，则b n＝1－n－1＝1－12(n－1)lg 2＝121100lg2n-.所以数列{b n}是单调递减的等差数列(公差为1lg22-)，从而b1＞b2＞…＞b7＝10lg8＞lg1＝0，当n≥8时，811001lg lg1021282nb b≤=<=，故n＝7时，T n取得最大值，且T n的最大值为1777()7(113lg2)217lg2222b bT++-===-.21．解：(1)设M的坐标为(x，y)，显然有x＞0，且y≠0.当∠MBA＝90°时，点M的坐标为(2，±3)．当∠MBA≠90°时，x≠2，由∠MBA＝2∠MAB，有22tantan1tanMABMBAMAB∠∠=-∠，即2||2||1||21()1yy xyxx+-=--+.化简可得，3x2－y2－3＝0.而点(2，±3)在曲线3x2－y2－3＝0上，综上可知，轨迹C的方程为3x2－y2－3＝0(x＞1)．(2)由222,330y x m x y =-+⎧⎨--=⎩消去y ， 可得x 2－4mx ＋m 2＋3＝0.(*)由题意，方程(*)有两根且均在(1，＋∞)内． 设f (x )＝x 2－4mx ＋m 2＋3，所以222241,2(1)1430,(4)4(3)0.m f m m m m -⎧->⎪⎪=-++>⎨⎪∆=--+>⎪⎩解得，m ＞1，且m ≠2.设Q ，R 的坐标分别为(x Q ，y Q )，(x R ，y R )，由|PQ |＜|PR |有2R x m =，2Q x m =所以||||R Q x PR PQ x ==1=-+. 由m ＞1，且m ≠2，有117<-+<+且17-+≠. 所以||||PR PQ 的取值范围是(1,7)∪(7,7+)．22．解：(1)由已知得，交点A 的坐标为0)．对y ＝－x 2＋12a n 求导得y ′＝－2x ，则抛物线在点A处的切线方程为y x =，即n y a =+.则f (n )＝a n .(2)由(1)知f (n )＝a n，则33()1()11f n n f n n -≥++成立的充要条件是a n ≥2n 3＋1.即知，a n ≥2n 3＋1对所有n 成立．特别地，取n ＝2得到a ≥.当a =，n ≥3时，a n ＞4n ＝(1＋3)n ＝1＋1C n ·3＋2C n ·32＋3C n ·33＋… ≥1＋1C n ·3＋2C n ·32＋3C n ·33 ＝1＋2n 3＋12n [5(n －2)2＋(2n －5)] ＞2n 3＋1.当n ＝0,1,2时，显然n ≥2n 3＋1.故a =时，33()1()11f n n f n n -≥++对所有自然数n 都成立． 所以满足条件的a.(3)由(1)知f (k )＝a k ，则11211 ()(2)k k n n k k f k f k a a===--∑∑，(1)()(0)(1)1n f f n a a f f a --=--. 下面证明：1127(1)()()(2)4(0)(1)k n f f n f k f k f f =->⋅--∑.首先证明：当0＜x ＜1时，21274x x x ≥-. 设函数g (x )＝274x (x 2－x )＋1,0＜x ＜1. 则812()()43g'x x x =-． 当0＜x ＜23时，g ′(x )＜0；当23＜x ＜1时，g ′(x )＞0. 故g (x )在区间(0,1)上的最小值g (x )min ＝g (23)＝0. 所以，当0＜x ＜1时，g (x )≥0，即得21274x x x ≥-. 由0＜a ＜1知0＜a k ＜1(k ∈N *)， 因此2127 4k k k a a a ≥-， 从而11211127()(2)4k k n n n k k k k a f k f k a a ====≥--∑∑∑ ＝127274141n na a a a a a+--⋅>⋅-- ＝27(1)() 4(0)(1)f f n f f -⋅-.。