简单的三角恒等变换练习题

3.2 简单的三角恒等变换

一、填空题

1．若

25π＜α＜411π，sin2α=－54，求tan 2α________________

2．已知sin θ=－

53，3π＜θ＜2π7，则tan 2θ的值为___________．

4．已知α为钝角、β为锐角且sin α=

54，sin β=1312，则cos 2-βα的值为____________．

5． 设5π＜θ＜6π，cos

2θ=a ，则sin 4θ的值等于________________

二、解答题

6．化简

θθθθ2cos 2sin 12cos 2sin 1++-+．

7．求证：2sin （

4π－x ）·sin （4π+x ）=cos2x ．

8．求证：

α

ααααtan 1tan 1sin cos cos sin 2122+-=-⋅-a ．

9．在△ABC 中，已知cos A =B b a b B a cos cos ⋅--⋅，求证：b a b a B A

-+=2tan 2tan 2

2

．

10． 求sin15°，cos15°，tan15°的值．

11． 设－3π＜α＜－

2π5，化简2)πcos(1--α．

12． 求证：1+2cos 2θ－cos2θ=2．

13．

求证：4sin θ·cos 22θ=2sin θ+sin2θ．

14． 设25sin 2x +sin x －24=0，x 是第二象限角，求cos

2x 的值．

15． 已知sin α=

1312，sin （α+β）=54，α与β均为锐角，求cos 2

β．

参考答案

一、填空题

1． 2

15+． 2．－3 4． 65657 5．－21a - 二、解答题

6．解：原式=θ

θθθ2cos 2sin 12cos 2sin 1++-+ =1)

-(+⋅+)-(-⋅+θθθθθθ22cos 2cos sin 21sin 21cos sin 21 =θ

θθθθθ22cos 2cos sin 2sin cos sin 2+⋅2+⋅ =)

cos (sin cos 2sin cos sin 2θθθθθθ+⋅)+(⋅ =tan θ．

7．证明：左边=2sin （

4π－x ）·sin （4π+x ） =2sin （

4π－x ）·cos （4π－x ） =sin （2

π－2x ） =cos2x

=右边，原题得证．

8．证明：左边=α

ααα22sin cos cos sin 21-⋅- =)

sin (cos )sin (cos cos sin 2sin cos 22αααααααα+⋅-⋅-+ =)

sin )(cos sin (cos )sin (cos 2

αααααα+-- =

ααααsin cos sin cos +- =α

αtan 1tan 1+- =右边，原题得证．

9．证明：∵cos A =

B b a b B a cos cos ⋅--⋅， ∴1－cos A =

B b a B b a cos )cos 1()(⋅--⋅+， 1+cos A =

B b a B b a cos )cos 1()(⋅-+⋅-． ∴)

cos 1()()cos 1()(cos 1cos 1B b a B b a A A +⋅--⋅+=+-． 而2

tan 2

cos 22sin 2cos 1cos 1222A B A

A A ==+-， 2

tan cos 1cos 12B B B =+-， ∴tan 2)()(2b a b a A -+=·tan 22B ，即b a b a B A -+=2tan 2tan 2

2

．

10．解：因为15°是第一象限的角，所以

sin15°=4264)26(434823222312

30cos 12-=-=-=-=-=︒-， cos15°=

4264)26(43482322231230cos 12+=+=+=+=+=︒+， tan15°=︒

+︒-30cos 130cos 1=2－3． 11．解：∵－3π＜α＜－2π5，∴－2π3＜2α＜－4π5，cos 2α＜0． 又由诱导公式得cos （α－π）=－cos α， ∴2+=--ααcos 12)πcos(1=－cos 2

α． 12．证明：左边=1+2cos 2θ－cos2θ=1+2·2

2cos 1θ+－cos2θ=2=右边． 13．证明：左边=4sin θ·cos 22θ=2sin θ·

2cos 22θ=2sin θ·（1+cos θ） =2sin θ+2sin θcos θ=2sin θ+sin2θ=右边．

14．解：因为25sin 2x +sin x －24=0，

所以sin x =25

24或sin x =－1． 又因为x 是第二象限角， 所以sin x =

2524，cos x =－257． 又2

x 是第一或第三象限角， 从而cos

2x =±225712cos 1-±=+x =±53． 15．解：∵0＜α＜

2π，∴cos α=135sin 12=-α． 又∵0＜α＜2π，0＜β＜2

π， ∴0＜α+β＜π．若０＜α+β＜

2π， ∵sin （α+β）＜sin α，∴α+β＜α不可能． 故2

π＜α+β＜π．∴cos （α+β）=－53． ∴cos β=cos ［（α+β）－α］ =cos （α+β）cos α+sin （α+β）sin α=－

53·54135+·65331312=， ∵0＜β＜

2π， ∴0＜2β＜4

π． 故cos

656572cos 1=+=2ββ

．