2017年高三数学一模(文科)答案

2017年沈阳市高中三年级教学质量监测（一）

数学（文科）参考答案与评分标准

说明：

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.

二、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 三、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

6 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13.

2

3

14. 3 15. 3 16. 9 三、解答题

17. (本小题满分12分)

解：（Ⅰ）设等差数列}{n a 的公差为d ，由题意得23

1

4=-=

a a d ， ……………………1分 所以n n d n a a 22)1(2)1(1n =⨯-+=⋅-+=． ……………………………………2分 设等比数列}{n

b 的公比为q ，由题意得82

5

3

==b b q ，解得2=q ． ……………………3分 因为22

1==

q

b b ，所以n n n n q b b 222111=⋅=⋅=--． ……………………………………6分 （Ⅱ）2

1)

21(22)22(--⋅++⋅=

n n n n S 2212-++=+n n n ． ……………………12分 （分别求和每步给2分）

18. (本小题满分12分) 解：（Ⅰ）x

20

50004.0=

⨯ ，∴100=x . ……………………………………1分 ∵1005104020=++++y ，∴25=y . ……………………………………2分

008.05010040=⨯，005.05010025=⨯，002.05010010=⨯，001.050

1005

=⨯

)

/(3m g μ ……………………………………5分

（Ⅱ）在空气质量指数为10051-和200151-的监测天数中分别抽取4天和1天，在所抽取的5天中，将空气质量指数为10051-的4天分别记为a ，b ，c ，d ；将空气污染指数为200151-的1天记为e ， ………………………………………6分 从中任取2天的基本事件分别为(,)a b ，(,)a c ，(,)a d ，),(e a ，(,)b c ，(,)b d ，),(e b ，(,)c d ，

),(e c ，),(e d 共10种， ………………………………………8分

其中事件A “两天空气都为良”包含的基本事件为(,)a b ，(,)a c ，(,)a d ，(,)b c ，(,)b d ，(,)c d 共6种， ………………………………………10分 所以事件A “两天都为良”发生的概率是63

()105

P A ==. …………………………12分 19. (本小题满分12分)

解: （Ⅰ）证明：因为C A AA 11=，且O 为AC 的中点，所以AC O A ⊥1，…………………2分 又 平面11AA C C ⊥平面ABC ，平面 C C AA 11平面ABC AC = ……………………4分 且⊂O A 1平面C C AA 11，⊥∴O A 1平面ABC . ……………………6分（Ⅱ）AC C A //11 ,⊄11C A 平面ABC ,⊂AC 平面ABC ，

//11C A ∴平面ABC ，即1C 到平面ABC 的距离等于1A 到平面ABC 的距离. ……………8分

由（1）知⊥O A 1平面ABC 且322

11=-=

AO AA O A ， ……………………9分

13322

1

3131111=⨯⨯⨯⨯=⋅=

=∴∆--O A S V V ABC ABC A ABC C . ……………………12分 20. (本小题满分12分)

解:（Ⅰ）1ln )(++='x a x f ， ……………………1分

01)1(=+='a f ，解得1-=a ，当1-=a 时， x x x x f ln )(+-=，……………………2分

即x x f ln )(='，令0)(>'x f ，解得1>x ； ……………………3分 令0)(<'x f ，解得10<

)(x f ∴在1=x 处取得极小值，)(x f 的增区间为),1(+∞，减区间为)1,0(. …………………6分

（Ⅱ）1)(--=m x f y 在),0(+∞内有两个不同的零点，可转化为1)(+=m x f 在),0(+∞内有两个不同的根，也可转化为)(x f y =与1+=m y 图像上有两个不同的交点， ………………7分 由（Ⅰ）知，)(x f 在)1,0(上单调递减，在),1(+∞上单调递增，1)1()(min -==f x f ， … 8分 由题意得，11->+m 即2->m ①

……………10分 当10<

当0>x 且0→x 时，0)(→x f ；

当+∞→x 时，显然+∞→)(x f （或者举例：当2

e x =，0)(22>=e e

f ）；

由图像可知，01<+m ，即1-

由①② 可得 12-<<-m ……………12分 21. (本小题满分12分)

解:（Ⅰ）由题意得22=b ，解得1=b ， ……………………………………1分

2

2=

=a c e ，2

22c b a +=，∴2=a ，1=c ，故椭圆的标准方程为1222=+y x . ………………………………………………3分

（Ⅱ）①当直线AB 的斜率不存在时，不妨取)22,1(A ，)22,1(-B ，)2

2

,1(--C ， 故2222

1

=⨯⨯=

∆ABC S ： ………………………………………………4分 ②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为)1(-=x k y ，联立方程组

⎪⎩⎪⎨⎧=+-=12

)1(2

2y x x k y 化简得0224)12(2

222=-+-+k x k x k ， …………………………5分