ch10-1运动电荷间的相互作用磁感应强度毕奥—萨伐尔定律.
磁感应强度和磁场的关系及比奥萨伐尔定律的应用
磁感应强度和磁场的关系及比奥萨伐尔定律的应用磁场的概念是物理学研究磁性物质相互作用的重要基础。
在磁场中，物体所受到的力和磁感应强度有着密切的关系。
本文将探讨磁感应强度和磁场之间的关系，并介绍比奥萨伐尔定律在实际应用中的重要性。
1. 磁感应强度和磁场的关系磁场是指物质周围存在的磁力作用区域。
磁场由磁场线表示，它是一个从南极到北极的连续闭合的线圈。
磁场的强度大小通过磁感应强度来表示，用字母B表示。
磁感应强度与磁场强度正相关，即磁感应强度越大，磁场强度也越大。
磁感应强度的单位是特斯拉(T)，它可以通过磁力对物体的作用来进行测量。
根据法拉第电磁感应定律，当一个导体运动时，如果在其周围存在磁场，就会产生感应电流和感应电势。
磁场越强，所产生的感应电流和感应电势也越大，这也反映了磁感应强度和磁场的密切关系。
2. 比奥萨伐尔定律的应用比奥萨伐尔定律是描述通过导体的电流所产生的磁场的物理定律。
它表明，当一个导体通过电流时，所产生的磁场的大小和导体上电流的强度成正比，与导体形状和电流方向有关。
比奥萨伐尔定律在实际应用中有广泛的用途。
在电动机中，利用比奥萨伐尔定律可以计算出磁场的大小和方向，从而实现电动机的正常工作。
比奥萨伐尔定律也可以应用于电磁铁、感应炉等磁场相关的设备中。
此外，比奥萨伐尔定律还被应用于磁共振成像（MRI）技术中。
MRI技术通过利用比奥萨伐尔定律计算磁场的强度和方向，从而实现对人体内部的非侵入性成像。
由于MRI技术具有无辐射、高分辨率等优点，因此在医学领域得到了广泛的应用。
综上所述，磁感应强度和磁场之间存在着密切的关系，磁感应强度与磁场的大小成正比。
比奥萨伐尔定律作为描述导体电流产生磁场的重要定律，在电动机、电磁铁、MRI技术等实际应用中发挥着重要的作用。
随着科学技术的不断发展，对磁感应强度和磁场关系的研究将会更加深入，为各个领域的发展提供更多的可能性。
.毕奥-萨伐尔定律
.毕奥-萨伐尔定律摘要：1.引言2.毕奥- 萨伐尔定律的定义3.毕奥- 萨伐尔定律的公式表示4.毕奥- 萨伐尔定律的应用领域5.我国在毕奥- 萨伐尔定律研究方面的贡献6.结论正文：1.引言毕奥- 萨伐尔定律是电磁学中的一个基本定律，它描述了电流在磁场中的作用力。
这个定律是由法国物理学家毕奥和萨伐尔在19 世纪初提出的，为电磁学的发展奠定了基础。
2.毕奥- 萨伐尔定律的定义毕奥- 萨伐尔定律指出，一个电流在磁场中受到的磁场力与电流的大小、磁场的强度和电流与磁场之间的夹角有关。
具体来说，磁场力F 的大小与电流I、磁感应强度B 以及电流与磁场之间的夹角θ的关系可以表示为：F = I * (Bl * sinθ)。
3.毕奥- 萨伐尔定律的公式表示毕奥- 萨伐尔定律可以用数学公式表示为：F = I * (Bl * sinθ)，其中F 表示磁场力，I 表示电流，B 表示磁感应强度，l 表示电流元的长度，θ表示电流与磁场之间的夹角。
4.毕奥- 萨伐尔定律的应用领域毕奥- 萨伐尔定律在许多领域都有广泛的应用，如电磁制动、电磁起重机、磁悬浮列车等。
此外，这个定律还为研究电磁波、电磁感应和磁流体等现象提供了理论基础。
5.我国在毕奥- 萨伐尔定律研究方面的贡献我国科学家在毕奥- 萨伐尔定律研究方面取得了举世瞩目的成果。
例如，中国科学院物理研究所的科学家们通过对磁性材料的研究，为理解毕奥- 萨伐尔定律提供了新的视角。
此外，我国在磁悬浮列车、电磁制动等领域的研究也取得了重要突破，为国民经济的发展做出了巨大贡献。
6.结论毕奥- 萨伐尔定律是电磁学的基本定律之一，它对电磁学的发展产生了深远的影响。
安培定律和毕奥-萨伐尔定律
安培定律和毕奥--萨伐尔定律1.物质的磁性与电流的磁效应从天然磁体到指南针的发明人类对磁现象的最初认识，是发现天然磁体之间存在互相吸引或排斥作用，以及天然磁体对诸如铁这类物体产生吸引力.人们观察到，任何磁性物体都有两个不同的“磁极”，同性磁极互相排斥，异性磁极互相吸引.后来又发现，如果将一根条形小磁体的中心支撑起来并让它可以自由转动,小磁体的某一极总是转向北方.人们由此认识到，原来我们所居住的地球就是一个巨大的天然磁体.磁性物体中指向北方的那个极被称为“北磁极”或N极，指向南方的另一极称为“南磁极”或S极.中国人对磁现象的发现和应用，比西方人要早得多.春秋战国时期（公元前770-221年）的文献已有“磁石吸铁”的记载，北宋时期已经利用磁针制造指南针并应用于航海.至公元1600年，英国人吉尔伯特（M.Gilbert）发表《论磁体》一书，这被认为是人类对磁现象系统而定性研究的最早著作.从库仑到奥斯特 From Coulomb To Oersted库仑（C.A.de Coulomb）大家已经知道，1785年,法国的库仑通过实验，总结出静电相互作用的规律.大约同期，库仑也通过实验对磁力进行了测量，并指出与电力一样，磁力“与磁分子之间的距离平方成反比”.库仑的“磁分子”包含有南、北两种磁荷，它们在磁体内首尾相吸形成“磁分子纤维”,使磁荷不能象电荷那样从一个物体转移到另一个物体.但是，电力与磁力有关吗？库仑和他同时代的许多物理学家都认为：虽然磁力与电力在距离关系上有相似性，但并无同一性.奥斯特（H.C.Oersted）然而，丹麦人奥斯特在德国哲学家康德（I.Kant）和谢林（W.J.Schelling）关于自然力转化与统一的思想影响下，经过20多年对电力、磁力及化学亲和力等的广泛研究，终于在1820年4月发现了电流的磁效应——通有电流的导线使其附近的磁针发生了偏转！奥斯特的伟大发现，轰动了当时欧洲的物理学界，由此开创了实验上与理论上研究电磁统一性的纪元.从奥斯特到安培、毕奥和萨伐尔安培（A.M.Ampere）法国物理学家安培获知奥斯特的发现之后，很快（1820年9月）就发现两根通电流的导线之间也存在相互作用力，并于同年12月发表了这种相互作用力的定量公式——现在我们称之为安培定律. (见教材P336)安培进而用“分子电流”假说解释磁体的磁性——磁性体内分子电流的有规排列，呈现出宏观磁化电流，正是宏观磁化电流使之产生宏观磁性（见教材P336）毕奥和萨伐尔（J.B.Biot and F.Savart）也是在1820年，法国物理学家毕奥和萨伐尔,通过实验测量了长直电流线附近小磁针的受力规律,发表了题为“运动中的电传递给金属的磁化力”的论文，后来人们称之为毕奥--萨伐尔定律.稍后，在数学家拉普拉斯的帮助下，以数学公式表示出这一定律.从奥斯特到安培，两个引人深思的问题一个引人深思的问题是：从奥斯特发现电流磁效应（1820年4月）到安培发现电流相互作用的规律（1820年9月），前后只是相差5个月，我们可以从中获得什么教益？另一个同样引人深思的问题是：安培提出磁性的“分子电流假说”，比1897年汤姆孙发现电子，以及后来发现物质的原子和分子电结构，早了70多年以上.我们又可以从中获得什么教益？安培的“分子电流圈”，按现在的理解，就是分子内的电荷运动形成的磁偶极矩m .由照经典模型，分子磁偶极矩矢量描述为其中，I 是分子电流强度，为电流圈的面积矢量，规定它的方向与电流流向成右手螺旋关系.今天，人们对磁现象的认识，已经比安培那个时代深刻得多：不仅原子和分子中的电子绕核运动形成一定的“轨道磁矩”，而且，电子、质子等“基本的”带电粒子，都有一定的自旋磁矩.分子的总磁矩是所有粒子轨道磁矩和自旋磁矩的矢量和.磁场读者知道，电荷之间的相互作用，通过电荷的电场传递.电流之间的相互作用，则是通过电流的磁场传递的.如果我们在一块水平放置的平板上，放上一块条形磁铁，再在其周围撒上小铁粉，我们将会看到，小铁粉会呈现很有规律性的排列，如图2-1.这是由于：磁铁内分子电流（磁矩）的有规排列所形成的宏观“磁化”电流产生了宏观磁场，在这磁场作用下，小铁粉（小磁矩）发生了朝着“磁力线”方向的偏转而呈现有规律的排列.同样的，两条电流线之所以存在互作用力，是一条电流线产生的磁场，作用于另一条电流线的结果.2.安培定律（Amperes’ Law）（教材P337）现在，让我们写出安培作用定律真空中，两个稳恒的电流回路L1和L2，电流元I1dl1对I2dl2的作用力为(2.2-1)其中，I1和I2 是两个回路的电流强度，r12是从I1dl1到I2dl2的距离，是这方向上的单位矢量.在MKSA单位制中，比例常数（2.2-2）其中，m0称为真空磁导率，它与真空介电常数ε0（真空电容率）共同构成作为基本物理常数的真空中光速C：（2.2-3）读者将会看到，电流强度I 的单位——“安培”，是由(2.2-1）来定义的.由于力的单位为牛顿，距离的单位为米，故从定义“安培”这一需要出发，真空磁导率取值为（2.2-4）这也是真空介电常数ε0为什么由下式表示（2.2-5）的原因.由于回路L1的每个电流元对另一回路L2每个电流元都将产生作用力，因此，回路L1对回路L2的合力应当是一个二重积分：（2.2-6)回路L2对回路L1的作用力则是（2.2-7)其中，r21 = r12,是电流元I2dl2到I1dl1的方向上的单位矢量.可以证明，两个稳恒电流回路之间的作用力与反作用力，大小相等方向相反：F21 = -F12（2.2-8)但是，对于两个“孤立的稳恒电流元”，一般地 dF21≠ - dF12这是因为：稳恒电流必定构成闭合回路，既孤立又“稳恒”的电流元实际上并不存在.3.磁感应强度 (magnetic induction) （P346）前面我们已指出，电流之间的相互作用是通过磁场来传递的.因此，安培定律（2.2-6)中，电流回路L2受到的合力，实质上是电流回路L1产生的磁场对它施加的总作用力，因此，安培定律实质上是：（2.2-9)B 是电流回路L1在L2各点上产生的磁感应强度（注：这一称胃是历史上形成的，现在，有些国外的教科书已把B 称为磁场强度——magnetic field strength）.对于任何一个稳恒的电流回路L ，其中一个电流元Idl 在任意点P产生的元磁感应强度为（2.2-10)其中，x是场点的位置矢量，r是电流元到场点的距离，是这方向的单位矢量.——图中，P点的dB 沿什么方向？类似于电场叠加原理 , 回路L的全部电流元在P点产生的总磁感应强度,也是一个矢量积分：（2.2-11)这称为毕奥—萨伐尔定律.应当注意，B是一个与场点P的坐标有关的矢量函数 .如果导线截面上的电流密度函数为J (x ’)，则一个电流元是J (x ’)dV ’(小电流管中很小一段)，（2.2-11)将写成（2.2-12)此处，r 是电流分布点到场点P的距离，是这方向的单位矢量.磁感应强度的物理意义(1) 像点电荷产生的电场强度与距离的平方成反比一样，电流元产生的磁感应强度，也与距离的平方成反比；(2）积分式（2.2-11)和（2.2-12)表示电流的磁场也遵从叠加原理(3) 电流的磁场分布于其周围空间.根据安培定律，一个电流元I dl 在磁场中受到的作用力为dF = I dl ×B (2.2-13)B是电流元所在点的磁感应强度.我们设想，在磁场中某一点有一个电流元，由上式，它受力的大小为dF =I dl B sinθ (2.2-14)θ是矢量B与电流元的夹角，显然，仅当θ =π/2，即电流元的方向与此处B 的方向垂直时，它受到的力才有最大值（dF ）max = I dl B ，我们就以比值(2.2-15)来定义该点的磁感应强度，表示单位电流元在磁场某点受到的最大作用力.（请将这个定义与由库仑定律定义的电场强度比较一下）于是B 的单位是：牛顿/安培·米（N/Am），通常把它称为特斯拉（tesla），即 1 特斯拉（T）=1牛顿/安培·米（N/Am）你们以后将看到，B2/2 μ0表示磁场能量密度(电场能量密度为ε0E2/2). 在有些文献中，仍然用“高斯”作为磁感应强度的单位，它与特斯拉的换算关系是 1高斯（gauss）= 10-4特斯拉习题P351：3题[例2-3] 直线电流的磁场(Magnetic Field of a Rectilinear Current)（P352）[解] 我们考虑某个稳恒电流回路的一段，电流是沿着直线流动的，电流强度为I ,设其流向沿坐标系的z轴正向，场点P到电流线的垂直距离为r0 , 我们就以o为坐标原点，如下图.任意一个电流元到原点o的距离为z ,到场点P的距离为r, 从毕奥—萨伐尔定律可知，电流元在场点P产生的元磁感应强度的方向，必定垂直于电流线和P点构成的平面，亦即图中的方向，这正是以r0为半径的圆周的切线方向. 因此我们有其中θ 是电流元与方向的夹角，从图中我们看到对上式两边取微分，便可实现积分变量从z 到θ的变换：于是我们有设这段直线电流的两个端点为a 和 b ,则θ将从θ1变到θ2，对上式积分，便得到这段直线电流在P点产生的磁感应强度(2.2-16)当直线电流的长度为“无限长”，即θ1→0，θ2→π时, （2.2-16）将给出离开电流线为r0的任一点处，磁感应强度为(2.2-17)这表明，“无限长”直线电流在其周围产生的磁感应强度，与距离的一次方成反比，它的场线——即B线按右手规则，相对于电流的流向形成一族与电流线为中心的同心圆.在实际问题中，只要电流线足够长，在它中部附近r0远小于电流线长度的范围内，就有近似于(2.2-17)的结果.请大家考虑下面两个问题：（1）对于通以稳恒电流的金属导线，通常我们只观测到它在外部产生的磁场，而没有观测到它在外部产生的电场.这是为什么？（2）但是对于离子束（无论是正离子束还是负离子束），我们会同时观测到它在外部的磁场和电场，这又是为什么？练习题：假定离子束沿着直线运动并且是稳定的，电流强度为I ，试找出离开离子束中心为 r 处的磁感应强度B和电场强度E .例2-4]平行电流线之间的互作用力.电流强度的单位“安培”的定义. （教材P344，及P387）[解] 我们在第一章的开头就指出，在MKSA单位制中，除了长度（单位：米）、质量（单位：千克）和时间（单位：秒）之外，电流强度（单位：安培）是第四个基本物理量.而电流强度的单位“安培”，正是以安培定律为依据来定义的.设两条很长且平行的线电流之间，相距为r0 ,电流强度分别为I1和I2 ,并且流向相同，如图. 由(2.2-17)，强度为I1的电流在另一电流线上产生的磁感应强度为于是据安培定律，电流I2中的一个电流元受到的作用力为：(2.2-18)负号表示此力是一个吸引力.显然，若两个电流的流向相反，则d F12将是排斥力.两电流线单位长度相互作用力的大小是(2.2-19)我们以前指出，m0的数值取为 4 ×10-7,现在令I1 = I2 =I , 上式便给出(2.2-20)于是，当 r0 = 1米，并且测得f = 2×10-7牛顿/米时，两导线中的电流强度I 就定义为“1安培”.下图就是用来测量平行电流线相互作用力的天平——“安培秤”.[例2-5]圆电流圈的磁场（Magnetic Field of a Circular Current）（P355）[解] 设电流圈的半径为a ，电流强度为I .我们以其中心O为坐标原点，对称轴为z轴，任一电流元到轴上P点的距离为r ,是这方向上的单位矢量.显然，由于，故∣Idl×∣= Id l,因此，一个电流元在轴上P点产生的磁感应强度dB 垂直于与构成的平面，其值则为由于电流分布存在着z轴对称性，我们注意到，与Idl 对称的另一个电流元 Idl ’在P点产生的dB’，与dB 叠加后，与z 轴垂直方向的分量为零，因而只剩下z方向的分量. 因此，仅需对dB 的z分量积分.记场点P到原点O的距离为z = R ，则于是，轴上P点的磁感应强度之值为(2.2-21)显然，在电流圈的中心O，即R = 0 处，有(2.2-22)但在远处，即R>>a 时，(2.2-23)上面我们只求出电流圈对称轴上的场强，但大家应当注意到，这圆形电流圈的电流分布，是存在着z轴对称性的，因此它的磁场必定也存在着同样的对称性.电流圈的磁偶极矩（magnetic dipole moment of a current loop）（P390）和它的磁场设小电流圈的电流强度为I，面积为S，我们定义这电流圈的磁偶极矩矢量为(2.2-24)IS是磁偶极矩的值.按规定，矢量m 的方向，亦即的方向，与电流的流向遵从右手螺旋规则，如图.对于上例的圆形电流圈，其磁偶极矩矢量为于是，据（2.2-23）这磁矩在其轴上而且很远的P点处，产生的磁感应强度就是(2.2-25)现在，让我们回过头去看看，一个位于坐标原点的电偶极矩在远处产生的电场强度为（2.2-26）它存在着z 轴的对称性. 在轴线上即 = 0的点，记r =R，我们看到，这电偶极子的电场强度同样只有z 分量：（2.2-27）它与上述磁偶极矩m在对称轴上的磁感应强度(2.2-25)十分相似——只需将p/ε0?与μ0m 代换，便可实现同一点上E与B的代换！事实上，由于这圆形电流圈的电流分布是存在着z 轴对称性的，因此它的磁场必定也存在着同样的对称性.更详细的理论计算表明：一个位于坐标原点、磁矩矢量为的磁偶极子，在远处，即当r>>a （磁矩的线度）时，它所产生的磁场为(2.2-28)这告诉我们，磁偶极子m 的磁场，与电偶极子p的电场存在着对称性.磁偶极子和它的磁场对于一般的闭合电流圈，其磁偶极矩由下式计算（2.2-29）其中，I d l 是电流圈中的电流元，x ’是电流元的位置矢量，积分遍及整个电流圈.在电流分布于一定体积V 的情形，电流密度为J，电流元I d l 是JdV ’,于是（2.2-30）积分遍及全部电流分布的区域.以后大家将会看到，带电粒子都有一定的自旋磁矩和轨道磁矩。
磁场强度毕奥萨伐尔定律及运动电荷产生的磁场大学物理电子教案
磁场强度毕奥萨伐尔定律及运动电荷产生的磁场一、教学目标1. 理解磁场强度的概念，掌握毕奥萨伐尔定律及其应用。
2. 了解运动电荷产生磁场的原理，能运用相关知识分析实际问题。
3. 培养学生的实验操作能力，提高其科学思维和问题解决能力。
二、教学内容1. 磁场强度的定义及其表示方法。
2. 毕奥萨伐尔定律的表述及其数学形式。
3. 毕奥萨伐尔定律在直导线、圆形电流和均匀电流环中的应用。
4. 运动电荷产生磁场的原理。
5. 运动电荷产生的磁场与电流磁场的区别与联系。
三、教学方法1. 采用讲授法，讲解磁场强度、毕奥萨伐尔定律及运动电荷产生磁场的相关概念和理论。
2. 利用示例和图示，直观展示毕奥萨伐尔定律的应用。
3. 开展讨论法，引导学生分析运动电荷产生磁场的原理及其在实际应用中的重要性。
4. 布置实验，让学生动手操作，验证毕奥萨伐尔定律及运动电荷产生磁场的理论。
四、教学准备1. 教案、教材、课件等教学资源。
2. 实验室设备：电流表、电压表、导线、磁针等。
3. 投影仪、计算机等多媒体设备。
五、教学过程1. 引入：通过简单的磁现象，引导学生思考磁场强度的概念。
2. 讲解：讲解磁场强度的定义及其表示方法，阐述毕奥萨伐尔定律的表述和数学形式。
3. 示例：分析毕奥萨伐尔定律在直导线、圆形电流和均匀电流环中的应用，演示相关计算过程。
4. 讨论：引导学生分析运动电荷产生磁场的原理，与电流磁场的区别和联系。
5. 实验：安排学生进行实验操作，验证毕奥萨伐尔定律及运动电荷产生磁场的理论。
6. 总结：对本节课的主要内容进行归纳总结，强调重点和难点。
7. 作业：布置相关练习题，巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对磁场强度、毕奥萨伐尔定律及运动电荷产生磁场的理解和掌握情况。
2. 实验报告：评估学生在实验过程中的操作技能、数据处理和分析问题的能力。
3. 作业完成情况：检查学生对课堂所学知识的巩固程度。
七、教学拓展1. 介绍其他磁场强度计算方法，如安培环路定律。
高中物理磁场中的毕奥-萨伐尔定律
高中物理磁场中的毕奥-萨伐尔定律高中物理磁场中的毕奥萨伐尔定律在高中物理的学习中，磁场是一个十分重要的概念，而毕奥萨伐尔定律则是描述磁场产生的基本规律之一。
理解并掌握毕奥萨伐尔定律，对于我们深入认识磁场的本质和特性具有至关重要的意义。
那么，什么是毕奥萨伐尔定律呢？简单来说，毕奥萨伐尔定律是用来计算电流元在空间中产生的磁场的大小和方向的。
我们先来看一下这个定律的数学表达式。
毕奥萨伐尔定律表述为：电流元 Idl 在空间某点 P 处产生的磁感应强度 dB 的大小与电流元的大小 Idl、电流元到 P 点的距离 r 的平方成反比，与电流元 Idl 和矢径 r 之间的夹角的正弦成正比，其方向垂直于 Idl 和 r 所组成的平面，并且遵循右手螺旋定则。
为了更直观地理解这个定律，我们来举一个简单的例子。
假设有一根直导线，通有电流 I。
我们想要知道这根导线在周围空间某一点产生的磁场强度。
我们可以把这根导线分割成无数个小段，每一小段都可以看作是一个电流元。
对于每一个电流元，我们都可以根据毕奥萨伐尔定律计算出它在该点产生的磁场强度。
然后，把所有电流元在该点产生的磁场强度进行矢量叠加，就可以得到这根导线在该点产生的总的磁场强度。
在实际计算中，我们常常会用到一些常见的几何关系和三角函数来简化计算。
比如说，如果电流元与矢径的夹角为 90 度，那么sinθ ＝ 1，计算就会相对简单一些。
毕奥萨伐尔定律的应用非常广泛。
比如说，在计算环形电流在中心轴线上产生的磁场时，我们就可以利用这个定律。
对于一个环形电流，我们同样可以把它分成无数个小段电流元。
通过毕奥萨伐尔定律计算每个电流元在中心轴线上一点产生的磁场强度，然后进行矢量叠加，就可以得到环形电流在中心轴线上产生的磁场强度的表达式。
再比如，在分析螺线管内部的磁场时，也离不开毕奥萨伐尔定律。
螺线管是由很多圈环形电流组成的。
通过对每一圈环形电流应用毕奥萨伐尔定律，并考虑它们的叠加效果，我们可以得出螺线管内部磁场的分布规律。
大学物理CH10-1
1820年 ： 奥斯特实验：电 — 磁 1821 — 1831年：法拉第实验：磁 — 电
对称性
内容：闭合回路中感应电动势的大小与通过回路的 磁通量的变化率成正比：
N dm d(Nm ) d m
dt
dt
dt
N dm d(Nm ) d m
dt
dt
dt
m Nm : 通过线圈的磁通链数（全磁通）
dx x
m
xb
dm
x
0Ia dx 2 x
0Ia ln x b
2
x
0a 2
I0
cost ln
x
b x
Ib
m
0a 2
I0
cost
ln
x
b x
a o
dS v
x
dm
dt
0I0a [ sint ln x b cost b dx ]
2
x
(x b)x dt
0I0a [ sint ln x b bv cost]
讨论：
(1) m : B 通量还是 H 通量？还是二者皆可？
(2) 式中负号含义, 楞次定律的本质是什么？
(3) 引起 m 变化的原因有哪些？与参考系选择有关吗？
(1) m : B 通量还是 H 通量？还是二者皆可？
中学： 原副线圈实验
H nI
B 0rnI
铁 棒
K
付线圈
G
原线圈
引起闭合回路中产生感应电动 势的是通过回路 的 B 通量的变化，而不是 H 通量的变化
同学们好！
第十章 变化中的磁场和电场
结构框图
法拉第电磁感 应定律
感应电动势 的计算
磁场 能量
麦克斯韦的 两条假设
电磁学2毕奥-萨伐尔定律
β lr
β dB
a
P
§4-3 毕奥
萨伐尔定律的应用
1. 载流直导线的磁场
dB 的方向： I dl × r 的方向
dB
的大小：
dB
=
μo
4π
I
dl sina
r2
几何关系：
I dl
sin a =sin ( 900 +β ) dl a
= cosβ l = a tgβ
β lr
dl = a sec 2β dβ r = a secβ
I dl
r
IR
θ x
y dB θ P x
By= Bz=0
Idl r z
dB
B = dB x = dB
sinθ
=
μ
4π
o
I r
2
sinθ
dl
=
μo
4π
I r
2
sinθ
dl
sinθ
=
R r
I dl
r
r = (x 2 +R2 )1 2 I R
θ x
y dB θ x
z
B=
μo
4π
I r
2
sinθ
dl
=
×(
r r
)
B
=
μ
4π
o
I dl × r3
r
用矢量形式表示的毕奥 萨伐尔定律
dB =
μ o I dl × r
4π r 3
=
μo
4π
I dl r2
×(
r r
)
B
=
μ
4π
o
I dl × r3
毕奥—萨伐尔定律及其应用
0 I
4a
sin d
0 I
4a
(cos1
cos2 )
上式中，1 和2 分别是直导线两端的电流元与它们到 P 点的矢径之间的夹角。
毕奥—萨伐尔定律及其应用
， ，
，
，
例题讲解 1
设长为 L 的直导线通有电流 I，求距离导线为 a 处一点 P 的磁感应强度。
若导线长度远大于点 P 到直导线的垂直距离（ L a ），则导线可视为无限长。
dB，Idl，r 这 3 个矢量的方向符合右手螺旋法则。
因此，矢量形式
dB
0 4
Idl r2
er
er ——由电流元指向点 P 的单位矢量。
整个载流导线在空间某点 P 的磁感应强度 B，等于导线上所有电流元在该点所产生的磁感应强度
dB
的矢量和，即
B
L
dB
L
0 4
Idl r2
er
积分是对整个载流导线进行矢量积分。
r2
式中，0 称为真空磁导率，其值为 0 4π 10–7 N A2 。磁感应强度 dB 的方向垂直于 Idl 和 r 所组
成的平面，并沿 Idl r 的方向，即当右手弯曲，四指从 Idl 方向沿小于 π 的角转向 r 时，伸直的大拇指所
指的方向为 dB 的方向。
毕奥—萨伐尔定律及其应用
1.1 毕奥—萨伐尔定律
大学物理
毕奥—萨伐尔定律及其应用
1.1 毕奥—萨伐尔定律
毕奥—萨伐尔定律指出：电流元 Idl 在真空中某点 P 所产生的磁感应强度 dB 的大小，与电流元的
大小 Idl 成正比，与电流元和从电流元到 P 点的矢径 r 之间夹角的正弦成正比，与电流元到点 P 的距离 r
02毕奥萨伐尔定律及运动电荷产生的磁场
I
dI dx
o
x
b a
x
∫
b
µ 0 Idx µ0 I a + b = ln 2πa b 2πax
14
R=1cm的 无限长”半圆柱形金属片中， 例9：在半径R=1cm的“无限长”半圆柱形金属片中， ：在半径R=1cm 有电流I=5A从下而上地通过，如图， I=5A从下而上地通过 有电流I=5A从下而上地通过，如图，试求圆柱轴线上 一点P的磁感强度。 一点P的磁感强度。 将金属片分划成许多细长条， 解： 将金属片分划成许多细长条，
r Idl
R
r r
dB⊥
o
r Idl ′
θ
x
θ
2 2 ∴B = Bx + B⊥ 由对称性可知，B⊥ = 0, 由对称性可知，
µ 0 Idl dB = , 2 4πr
P dB⊥ '
r dB dBx dB ' x x r dB '
= Bx
µ0 IR2
B = ∫ dBx = ∫ dBsinθ
B = ∫ dBsinθ =
体
10
r r r µ 0 I dl × r r 电流元产生的磁场： 电流元产生的磁场： B = d Id l 3 4π r 电流元内电荷的数目为： 电流元内电荷的数目为： dN
θ
S
r ⊗ r r dB
P
dN = ndV = nSdl
r r r r r r dB µ 0 I dl × r µ 0 vSnq dl × r = B= 3 = 3 dN 4π nS dl r 4π dN r r r r r µ 0 dlq v × r = µ 0 q v × r = 3 4π r3 4π dl r r r r µ0 q v × r B= 运动电荷的磁场公式： 运动电荷的磁场公式： 4π r3
磁感应强度 毕奥-萨伐尔定律
µ0
r
2
B=
µ0 I
4 π r0
∫θ
θ2
1
sin θ d θ
v B 的方向沿 x 轴的负方向. 轴的负方向
无限长载流长直导线的磁场 无限长载流长直导线的磁场. 载流长直导线的磁场
z
D
θ2
v B
B=
（cosθ1 − cosθ 2） 4π r0
B=
µ0 I
I
o
x
C
θ1 → 0 θ2 →π
µ0I
2 π r0
r µ0 B= 4π
∫
L1
r ˆ ( I 1 d l1 × r12 )
2 r12
r r r dF2 = I 2 dl 2 × B
——磁感应强度矢量
讨论： 讨论：
r r r 为矢量式， （1） dF2 = I 2 dl2 × B 为矢量式，其标量式为 ）
dF2 = I 2 dl2 B sin θ
θ
u r u r 是 I 2 dl2与 B 的夹角
d N = nS d l v v v v d B µ0 qv × r B= = d N 4π r 3
−q
v r
θ
v v
v B
例4 半径 为 R 的带电薄圆盘的电荷面密度 为 σ , 并以角速度 ω 绕通过盘心垂直于盘面的轴转 圆盘中心的磁感强度. 中心的磁感强度 动 ，求圆盘中心的磁感强度
σ R o
B
1 µ 0 nI 2
O
四 运动电荷的磁场
v v v µ0 Idl × r 毕— 萨定律 dB = 3 4π r v
v j
S
v v Id l = j S d l = nS d lq v v v v µ 0 nSdlqv × r dB = 3 4π r
第八讲 磁感应强度 毕奥萨伐尔定律
r
a
I
建立坐标系
θ
Idl
z
分析对称性、写出分量式 由对称性： B y Bz 0
19
B0
B dBx dB cos
21
国防科大
B dBx dB cos
0 I cosdl 4 r 2 I a I 0 2 cos dl 0 2 2a 4r r 4 r
0 Idl ( I ' dl 'r ) dF 4 r3 r x x ' , 4 10 N A I ' dl '( Idl r ') dF ' 0 4 r '3 r ' r
7 0
提出寻找电流、电流之间的相互作用的定量规律问题。
dB p
I ' dl 'r B dB 4 r
0 3
r
Biot-savert定律
dl '
I ' dl '
r
实验表明磁场满足叠加原理：
dl '
I'
dB p
点电荷的场强+场强叠加原理
1 dq E dE r 4 r
cos
a r
r ( x 2 a 2 )1 2
dB
例3. 在Bohr氢原子模型中，电子在圆轨道上绕核转动，试 证明电子的轨道磁矩 与轨道角动量 L 之间有关系：
x P
x
θ
dB
e L 2m
L
e为电子电荷，m为电子质量。 解：
Ia 2 0 Ia 2 0 3 2( x 2 a 2 )3 2 2r
毕奥萨伐尔定律及运动电荷产生的磁场
一个运动电荷产生的磁场为：
B
dB
dN
0 4
I dl r dN r3
0 4
vSnq
dl
r
nS dl r3
0 4
dlq v r dl r3
0 4
q v r r3
运动电荷的磁场公式： B
0 4
q v r r3
S P
r
dB
11
例6：氢原子中的电子，以速率v在半径为r的圆周轨道
上作匀速率运动。求电子在轨道中心产生的磁感应强
r
P
•大小o ：od1cB2 4401Id0l7rs(2iNn
/ A2
)
真空中的磁导率
为Idl 与 r 之间的夹角。
2
dB
0
4
Idl
r
r3
0 4
Idl er
r2
dB
Idl
•方向：
Idl
r的方向。
一段载流导线产生的磁场：B
dB
r
o
Idl
er
应用毕萨定律解题的方法
L
L 4r 2
计算一段载流导体的磁场
1.建立坐标系;
4.求 B 的分量 Bx 、By 、Bz ;
2.分割电流元;
5.由 B Bx2 By2 Bz2 求总场。
3.
确定电流元的磁场 dB
0 4
Id
l
r
r3
3
例1:一段有限长载流直导线,通有电流为 I ,求距 a 处
的 P 点磁感应强度。 解: 分割电流元
4
cos
3
4
2
20 I b
2
B
I 1 o
7.1 磁感应强度 毕奥-萨伐尔定律
7.1 磁感应强度、毕奥-萨伐尔定律
一、基本磁现象和本质
1、地球磁场
磁极
磁极
中性区2、磁铁
1820年丹麦奥斯特（1）电流对磁针有作用力
I
（2）磁铁对电流有作用力
（3）电流与电流之间也有相互作用
3、电流的磁效应
总结：磁铁和电流在本质上是否一致？
运动电荷产生磁场
二、毕奥－萨伐尔定律
电流产生磁场，而人体能承受的磁场是有限制的，现实生活中的一些电流产生的磁场：
1.高压线
2.家里的电暖
毕奥－萨定律
三、毕奥－萨伐尔定律的运用
B
d r θ P a y 2
θ1
θo l 例 求直线电流外一点的磁场 02d d 4r I l e B r
μπ⨯=取电流元 磁感强度
θπμsin d 4d 20r l I B =大小 方向 ⎰=B B d ⎰=θπμsin d 420r
l I 同向叠加 d I l
θ
sin a r =θactg l -=θ
θ2sin d d a l =⎰=214d sin 0θθπθθμa I B ()210cos cos 4θθπμ-=a I B d r θ P a l I d y 2θ1
θo l ⎰=θπμsin d 4B 20r
l I
()210cos cos 4θθπμ-=a
I B 讨论：1）无限长直电流 a << L 2）半无限长直电流 01=θa
I B πμ20=π
θ=221πθ=π
θ=2a I B πμ40= 3) 延长线上一点 I
P 0ˆd =⨯r l I 0=B r θ P a l I d y 2
θ1θo B
毕奥－萨伐尔定律求解电流磁场的解题思路。
我的电磁学讲义10：磁感应强度毕奥-萨伐尔定律
我的电磁学讲义10：磁感应强度毕奥-萨伐尔定律磁感应强度为了描述电场的分布，我们引⼊电场强度⽮量\vec{E}，同样，为了描述磁场的分布，我们也需要引⼊⼀个新的⽮量，这个⽮量就是磁感应强度\vec{B}。
两个电流元的磁相互作⽤⼒满⾜安培定律\begin{equation*} \mathrm d\vec{F}_{12}=k\frac{I_2\mathrm d\vec{l}_2\times (I_1\mathrm d\vec{l}_1\times \hat{r_{12}})}{r_{12}^2}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I_2\mathrm d\vec{l}_2\times (I_1\mathrm d\vec{l}_1\times \hat{r_{12}})}{r_{12}^2} \end{equation*}在国际单位制中，\frac{\mu_0}{4\pi}=10^{-7}\mathrm {N/A^2}。
元电流之间的安培⼒的表达式分成两项：\begin{equation*} \mathrm d\vec{F}_{12}=I_2\mathrm d\vec{l}_2\times \mathrm d\vec{B} \end{equation*}\begin{equation*} \mathrm d\vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I_1\mathrm d\vec{l}_1\times \hat{r_{12}}}{r_{12}^2} \end{equation*}把电流元I_2 \mathrm d\vec{l} \_2看做试探电流元，则\mathrm d \vec{B}则为电流元I_1\mathrm d\vec{l} \_1的磁场在电流元I_2\mathrmd\vec{l} \_2所在位置处的磁感应强度。
整个回路1对电流元I_2\mathrm d\vec{l}_2的作⽤⼒为\begin{equation*} \begin{split} \mathrm d\vec{F}_{2}=&\frac{\mu_0}{4\pi}\oint_{L_1}\frac{I_2\mathrm d\vec{l}_2\times (I_1\mathrmd\vec{l}_1\times \hat{r_{12}})}{r_{12}^2}=\frac{\mu_0}{4\pi}I_2d\vec{l}_2\times\mathrm \oint_{L_1}\frac{ I_1\mathrm d\vec{l}_1\times\hat{r_{12}}}{r_{12}^2} \\ =&I_2d\vec{l}_2\times \vec{B} \end{split} \end{equation*}上式中\begin{equation*} \vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\oint_{L_1}\frac{I_1\mathrm d\vec{l}_1\times \hat{r_{12}}}{r_{12}^2} \end{equation*}即为闭合回路L_1的磁场在电流元I_2\mathrm d\vec{l}_2所在位置处的磁感应强度。
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结构框图
磁感应 毕-萨 磁场的高斯定理 磁场的
运
动 电 荷
磁 场
强度
定律
安培环路定理
洛仑兹力
带电粒子在磁场中的运动
基本性质
霍耳效应
间
的稳 相恒
安培定律
磁力和磁力矩
互磁
作 场 顺磁质、抗磁质和
磁场
磁力的功 介质中的安
用
铁磁质的磁化
强度
培环路定理
学时：10
1/20
重点
dB的 大 小 ， 方 向 ？
y
La q
dq
a v
x
o
15/20
y
La q
dq
a v
o
各 dq在 点o 处
dq以 沿v 运 x动
dB0
0dqvsin900 4y 2
x
d同B向：
0qvdy 4Ly2
方向
B
dB
La a
0qvdy 4Ly2
0qv 4L
1 ( a
a
1
) L
5 10-6(T)
F qE qv B
检验电荷相对于观察者的速度
场源电荷相对于观察者的速度
磁感应强度：
B
u c2
E
磁场力：Fm
qv B
与场源电荷、检验电荷相对于 观察者的速度均有关。
电场力：Fe qE
与场源电荷相对于观察者的速度有关；
与检验电荷相对于观察者的速度无关。
9/20
所以，磁场是电场的相对论效应。 磁场力只是运动电荷相互作用力的一部分
14/20
2. 磁场叠加原理
如果空间不止一个运动电荷，则空间某点总磁感应
强的度矢等量于和：各场源电B荷 单独在B该i 点激发的磁感应强度
练习： P 309 10-5
已知： L 0.1 m , q 1010 C , v 1 m s-1 , a 0.1 m
求： B0 ?
解：
在 L上取
dq q dy L
10/20
静止电荷 — 激发静电场 E
场源
运动电荷 （相对于观察者 u）
激发电场
E
E E
E // E//
激发磁场
B
u c2
E
静止 —— 只受电场力 F qE
检验
电荷运动 （相来自观察者 v）电场力 磁场力
F1 qE
F2 qv B
11/20
注意：在电磁学中，无论速度多么小（v<<c）， 伽利略变换都不适用，电磁场的变换必须应用相 对论变换。
每个载流子在场点 P处磁场
B1
0qu r 4r 3
电流元在场点 P处磁场
dB
NB1
0nSqdlu r 4r 3
19/20
d.B I
P
r Idl
dB
NB1
0nSqdlu r 4r 3
5/20
[例一] 在S系中以 沿x轴u匀速运动点电荷q的电场.
y （u电t场对r0x轴E旋P 转对称分E布式，中可4：只qrr讨0r论至3 x(场y1平q点面位1内2矢的si情n22况。)3）2
r
o
q
u
x
与
r夹角.
u
u1
讨论
与 S系' 中（静电场）比较
c
E'
qr'
4 0r'3
6/20
比较：
S系
S‘系：只有电场,无磁场。
u
F'
v
x'
求S系 F = ? x
4/20
得在 S系中看来，以 u运动的场源电荷和以 运v动的
检验电荷间相互作用：
u F qE qv ( c2 E ) 只与场源电荷有关
（教材 ）
令
u
B c2 E
为磁感应强度
得： F qE qv B
电场力 磁场力
在 S系' 中（静电场， E球' 对称分布）
E'
qr '
4 0 r' 3
q
在 S系中（运动电荷的电场， E无球对称性）
qr
1 2
E
4 0r3
(1
2
sin2
)3 2
对 u方向旋转对称分布
q u
7/20
y
x z
运动电荷的电场
y x
z
运动电荷的磁场
静止电荷的电场
8/20
运动电荷间的相互作用：
要求：
• 对磁场的来源，电磁场的统一性，在不同条件
下的表现形式形成清晰的物理图象；
电现象 磁现象
电流的磁效应 电磁感应
麦克斯韦 方程
磁场是电场的 相对论效应
12/20
§ 10.2 磁感应强度 毕奥—萨伐尔定律及其应用
一. 磁感应强度
1. 定义：
1 B c2 u E
磁场是电场的相对论效应
[例] 相对于观察者以 u匀速直线运动的点电荷的磁场.
(是其中与检验电荷相对于观察者速度相关的那一部分)，
不是空间又出现了一个新的场， 而是为了处理问题方 便，人为地定义了一个新的场 ——磁场.
我曾确信，在磁场中作用在一个运动物体上的电 动力不过是一种电场力罢了，正是这种确信或多 或少地促使我去研究狭义相对论。
——爱因斯坦
电磁场是统一的整体，在不同条件下表现形式不同， 其物理图象是：
方向垂直于纸面向里.
16/20
二 .毕奥—萨伐尔定律 1820 年4月: 丹麦物理学家奥斯特（1777～1851） 发现电流的磁效应。
“猛然打开了科学中一个黑暗领域的大门。” ——法拉第 17/20
毕－ 萨定律：电流元产生磁场的规律
d. B I
P
r Idl
dB
0 Idl r 4r 3
与点电荷电场公式作用地位等价
q
P
r
u
解：
将
qr
1 2
E
4 0r3
(1
2sin2
)3 2
代入
B
1 c2
u
E
13/20
定义真空磁导率：
0
1
c2 0
4 9 109
(3108 )2
4
10 7
Ns 2C-2
在 u c 条件下
u0
c
得：
B
0qu r 4r 3
B rP
q
u
大小：
B
0qus in 4r 2
方向：右 手螺旋法则，垂直于 u、r 决定的平面
求解电流磁场分布基本思路：
将电流视为 电流元的集合
电流元磁场公式 磁场叠加原理
电流磁场分布
18/20
推证： 出发点
d.B I
运动点电荷磁场 磁场叠加原理
B
0qu r 4 r 3
B Bi
设：电流元 Idl, 截面积 S
P
r Idl
载流子电量 q，密度 n，漂移速度 u
则：电流元中载流子数 N nSdl
上一章讨论的电相互作用：
场源电荷相对于观察者静止（静电场）
求解 E分布
场中检验电荷受力
无论检验电荷相对于观察者（场源电荷）运动或静止 F qE
本节讨论的“运动”电荷相互作用
不是指场源电荷与检验电荷间相对运动. 而是指对观察者而言，场源电荷、检验电荷是运动的.
3/20
磁场是从哪里来的？？？
z z'
基本概念：磁感应强度，电流磁矩，磁通量， 基本规律：磁场叠加原理，
毕－萨定律及其应用， 稳恒磁场高斯定理和环路定理，
磁场的基本性质（无源场、涡旋场） 基本计算：稳恒磁场 B分布，
洛仑兹力，安培力，磁力矩，
难点
运动电荷之间的相互作用，磁场是电场的相对论效应， 磁介质
2/20
？ § 10.1 运动电荷间相互作用