循环过程、卡诺循环、热机效率、致冷系数

1. 摩尔理想气体在400K 与300K 之间完成一个卡诺循环，在400K 的等温线上，起始体积为0.0010m 3，最后体积为0.0050m 3，试计算气体在此循环中所作的功，以及从高温热源吸收的热量和传给低温热源的热量。

解答卡诺循环的效率 %254003001112=-=-=T T η （2分） 从高温热源吸收的热量 2110.005ln 8.31400ln 53500.001V Q RT V ==⨯⨯=（J ） （3分） 循环中所作的功 10.2553501338A Q η==⨯=（J ） （2分）传给低温热源的热量 21(1)(10.25)53504013Q Q η=-=-⨯=（J ） （3分）2． 一热机在1000K 和300K 的两热源之间工作。

如果⑴高温热源提高到1100K ，⑵低温热源降到200K ，求理论上的热机效率各增加多少？为了提高热机效率哪一种方案更好？解答：（1）效率 %7010003001112=-=-=T T η 2分 效率 %7.7211003001112=-=-='T T η 2分 效率增加 %7.2%70%7.72=-=-'='∆ηηη 2分（2）效率 %8010002001112=-=-=''T T η 2分 效率增加 %10%70%80=-=-''=''∆ηηη 2分提高高温热源交果好3．以理想气体为工作热质的热机循环，如图所示。

试证明其效率为1112121-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=P P V V γη解答： )(22211V p V p RC T C M M Q V V mol -=∆= 3分 )(22122V p V p RC T C M M Q p P mol -=∆= 3分 )1()1(1)()(1121212221221212---=---=-=p p V V V p V p C V p V p C Q Q V p γη 4. 如图所示，AB 、DC 是绝热过程，CEA 是等温过程，BED 是任意过程，组成一个循环。

若图中EDCE 所包围的面积为70 J ，EABE 所包围的面积为30 J ，过程中系统放热100 J ，求BED 过程中系统吸热为多少？解：正循环EDCE 包围的面积为70 J ，表示系统对外作正功70 J ；EABE 的面积为30 J ，因图中表示为逆循环，故系统对外作负功，所以整个循环过程系统对外作功为： W =70+(－30)=40 J 3分设CEA 过程中吸热Q 1，BED 过程中吸热Q 2 ，由热一律，W =Q 1+ Q 2 =40 J 3分Q 2 = W －Q 1 =40－(－100)=140 J2V 1V p pBED 过程中系统从外界吸收140焦耳热.4分5. 1 mol 单原子分子的理想气体，经历如图所示的可逆循环，联结ac 两点的曲线Ⅲ的方程为2020/V V p p =, a 点的温度为T 0 (1) 试以T 0 , 普适气体常量R 表示Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ过程中气体吸收的热量。

(2) 求此循环的效率。

(提示：循环效率的定义式η=1- Q 2 /Q 1， Q 1为循环中气体吸收的热量，Q 2为循环中气体放出的热量。

)解：设a 状态的状态参量为p 0, V 0, T 0，则p b =9p 0, V b =V 0, T b =(p b /p a )T a =9T 01分∵ 2020V V p p c c = ∴ 0003V V p p V c == 1分 ∵ p c V c =RT c ∴ T c = 27T 0 1分 (1) 过程Ⅰ )9(23)(00T T R T T C Q a b V V -=-=012RT = 1分 过程Ⅱ Q p = C p (T c －T b ) = 45 RT 0 1分 过程Ⅲ ⎰+-=acV V c a V V V V p T T C Q 2020/d )()( )(3)27(23332000c a V V V p T T R -+-= 0203030007.473)27(39RT V V V p RT -=-+-= 3分(2) %3.1645127.471||1000=+-=+-=RT RT RT Q Q Q p V η 2分 6. 1 mol 理想气体在T 1 = 400 K 的高温热源与T 2 = 300 K 的低温热源间作卡诺循环（可逆的），在400 K 的等温线上起始体积为V 1 = 0.001 m 3，终止体积为V 2 = 0.005 m 3，试求此气体在每一循环中(1) 从高温热源吸收的热量Q 1p9p 0(2) 气体所作的净功W(3) 气体传给低温热源的热量Q 2解：(1) 312111035.5)/ln(⨯==V V RT Q J 3分(2) 25.0112=-=T T η. 311034.1⨯==Q W η J 4分(3) 3121001.4⨯=-=W Q Q J 3分7. 一定量的某种理想气体进行如图所示的循环过程．已知气体在状态A 的温度为T A ＝300 K ，求 (1) 气体在状态B 、C 的温度； (2) 各过程中气体对外所作的功； (3) 经过整个循环过程，气体从外界吸收的总热量(各过程吸热的代数和)．解：由图，p A =300 Pa ，p B = p C =100 Pa ；V A =V C =1 m 3，V B =3 m 3．(1) C →A 为等体过程，据方程p A /T A = p C /T C 得T C = T A p C / p A =100 K ． 2分B →C 为等压过程，据方程V B /T B =V C /T C 得T B =T C V B /V C =300 K ． 2分(2) 各过程中气体所作的功分别为A →B ： ))((211C B B A V V p p W -+==400 J ． B →C ： W 2 = p B (V C －V B ) =200 J ． C →A ： W 3 =0 3分(3) 整个循环过程中气体所作总功为W = W 1 +W 2 +W 3 =200 J ．因为循环过程气体能增量为ΔE =0，因此该循环中气体总吸热Q =W +ΔE =200 J ． 3分AB C p (Pa) O V (m 3) 200 3008. 如图所示，abcda 为1 mol 单原子分子理想气体的循环过程，求：(1) 气体循环一次，在吸热过程中从外界共吸收的热量； (2) 气体循环一次对外做的净功；(3) 证明 在abcd 四态, 气体的温度有T a T c =T b T d ．解：(1) 过程ab 与bc 为吸热过程，吸热总和为 Q 1=C V (T b －T a )+C p (T c －T b ))(25)(23b b c c a a b b V p V p V p V p -+-= =800 J 4分(2) 循环过程对外所作总功为图中矩形面积W = p b (V c －V b )－p d (V d －V a ) =100 J 2分(3) T a =p a V a /R ，T c = p c V c /R ， T b = p b V b /R ，T d = p d V d /R ，T a T c = (p a V a p c V c )/R 2=(12×104)/R 2T b T d = (p b V b p d V d )/R 2=(12×104)/R 2∴ T a T c =T b T d 4分9. 1 mol 氦气作如图所示的可逆循环过程，其中ab 和cd 是绝热过程， bc 和da 为等体过程，已知 V 1 = 16.4 L ，V 2 = 32.8 L ，p a = 1atm ，p b = 3.18 atm ，p c = 4 atm ，p d = 1.26atm ，试求：(1)在各态氦气的温度．(2)在态氦气的能．(3)在一循环过程中氦气所作的净功． (1 atm = 1.013×105 Pa)p (×105 Pa)10-3 m 3)p p p p V (L)12(普适气体常量R = 8.31 J · mol1· K 1)解：(1) T a = p a V 2/R ＝400 KT b = p b V 1/R ＝636 KT c = p c V 1/R ＝800 KT d = p d V 2/R ＝504 K 4分(2) E c =(i /2)RT c ＝9.97×103 J 2分(3) b －c 等体吸热Q 1=C V (T cT b )＝2.044×103 J 1分 d －a 等体放热 Q 2=C V (T dT a )＝1.296×103 J 1分 W =Q 1Q 2＝0.748×103 J 2分10. 一定量的理想气体经历如图所示的循环过程，A →B 和C →D 是等压过程，B →C和D →A 是绝热过程．已知：T C ＝ 300 K ，T B ＝ 400K ． 试求：此循环的效率．(提示：循环效率的定义式=1－Q 2 /Q 1，Q 1为循环中气体吸收的热量，Q 2为循环中气体放出的热量）解： 121Q Q -=η Q 1 = C p (T B －T A ) , Q 2 =C p (T C －TD ) )/1()/1(12B A B C D C A B D C T T T T T T T T T T Q Q --=--= 4分 根据绝热过程方程得到： γγγγ----=D D AA T p T p 11， γγγγ----=C CB BT p T p 11 ∵ p A = p B , p C = p D,∴ T A / T B = T D / T C 4分 故%251112=-=-=BC T T Q Q η 2分 11. 比热容比＝1.40的理想气体进行如图所示的循环．已知状态A 的温度为300K ．求：(1) 状态B 、C 的温度；(2) 每一过程中气体所吸收的净热量．(普适气体常量R ＝8.31 11K mol J --⋅⋅) 解：由图得 p A ＝400 Pa ， p B ＝p C ＝100 Pa ，V A ＝V B ＝2 m 3，V C ＝6 m 3．(1) C →A 为等体过程，据方程p A /T A = p C /T C 得T C = T A p C / p A =75 K 1分B →C 为等压过程，据方程 V B /T B =V C T C 得T B = T C V B / V C =225 K 1分 (2) 根据理想气体状态方程求出气体的物质的量(即摩尔数)为p A V A RT Amol 由＝1.4知该气体为双原子分子气体，R C V 25=，R C P 27= B →C 等压过程吸热 1400)(272-=-=B C T T R Q ν J ． 2分C →A 等体过程吸热 1500)(253=-=C A T T R Q ν J ． 2分 循环过程ΔE =0，整个循环过程净吸热600))((21=--==C B C A V V p p W Q J ． ∴ A →B 过程净吸热： Q 1=Q －Q 2－Q 3=500 J4分12. 一卡诺热机(可逆的)，当高温热源的温度为 127℃、低温热源温度为27℃时，其每次循环对外作净功8000 J ．今维持低温热源的温度不变，提高高温热源温度，使其每次循环对外作净功 10000 J ．若两个卡诺循环都工作在相同的两条绝热线之间，试求：(1) 第二个循环的热机效率；(2) 第二个循环的高温热源的温度．解：(1) 1211211T T T Q Q Q Q W -=-==η 2111T T T W Q -= 且 1212T T Q Q =∴ Q 2 = T 2 Q 1 /T 1即 212122112T T T W T T T T T Q -=⋅-=＝24000 J 4分 由于第二循环吸热 221Q W Q W Q +'='+'=' ( ∵ 22Q Q =') 3分 =''='1/Q W η29.4％ 1分 (2) ='-='η121T T 425 K 2分13. 1 mol 双原子分子理想气体作如图的可逆循环过程，其中1－2为直线，2－3为绝热线，3－1为等温线．已知T 2 =2T 1，V 3=8V 1 试求：(1) 各过程的功，能增量和传递的热量；(用T 1和已知常量表示)(2) 此循环的效率． (注：循环效率η=W /Q 1，W 为整个循环过程中气体对外所作净功，Q 1为循环过程中气体吸收的热量)解：(1)1－2 任意过程11112125)2()(RT T T C T T C E V V =-=-=∆ 11211221212121)(21RT RT RT V p V p W =-=-= 11111132125RT RT RT W E Q =+=+=∆ 2分 2－3 绝热膨胀过程12123225)()(RT T T C T T C E V V -=-=-=∆ 12225RT E W =-=∆Q 2 = 0 3分 3－1 等温压缩过程 ΔE 3= 0W 3 =－RT 1ln(V 3/V 1)=－RT 1ln(8V 1/V 1)=－2.08 RT 1 3分 Q 3 =W 3 =－2.08RT 1(2) η=1－|Q 3 |/ Q 1 =1－2.08RT 1/(3RT 1)=30.7% 2分 p 2 1 OV 1 V 2 V 3 12314. 气缸贮有36 g 水蒸汽(视为刚性分子理想气体)，经abcda 循环过程如图所示．其中a －b 、c－d 为等体过程，b －c 为等温过程，d －a 为等压过程．试求： (1) d －a 过程中水蒸气作的功W da(2) a －b 过程中水蒸气能的增量ab (3) 循环过程水蒸汽作的净功W(4) 循环效率 (注：循环效率＝W /Q 1，W 为循环过程水蒸汽对外作的净功，Q 1为循环过程水蒸汽吸收的热量，1 atm= 1.013×105 Pa)解：水蒸汽的质量M ＝36×10-3 kg水蒸汽的摩尔质量M mol ＝18×10-3 kg ，i = 6(1) W da = p a (V a －V d )=－5.065×103 J 2分(2) ΔE ab =(M /M mol )(i /2)R (T b －T a )=(i /2)V a (p b － p a )=3.039×104 J 2分(3) 914)/(==RM M V p T mol a b b K W bc = (M /M mol )RT b ln(V c /V b ) =1.05×104 J净功 W =W bc +W da =5.47×103 J 3分(4) Q 1=Q ab +Q bc =ΔE ab +W bc =4.09×104 Jη=W / Q 1=13％ 3分15. 1 mol 单原子分子理想气体的循环过程如T －V 图所示，其中c 点的温度为T c =600 K ．试求： V (10-3m 3)abc p (atm )V (L)O a bc d2550 2 6(1) ab 、bc 、c a 各个过程系统吸收的热量；(2) 经一循环系统所作的净功；(3) 循环的效率．(注：循环效率η=W /Q 1，W 为循环过程系统对外作的净功，Q 1为循环过程系统从外界吸收的热量ln2=0.693)解：单原子分子的自由度i =3．从图可知，ab 是等压过程，V a /T a = V b /T b ，T a =T c =600 KT b = (V b /V a )T a =300 K 2分(1) )()12()(c b c b p ab T T R i T T C Q -+=-= =－6.23×103 J (放热) )(2)(b c b c V bc T T R i T T C Q -=-= =3.74×103 J (吸热) Q ca =RT c ln(V a /V c ) =3.46×103 J (吸热) 4分(2) W =( Q bc +Q ca )－|Q ab |=0.97×103 J 2分(3) Q 1=Q bc +Q ca ， η=W / Q 1=13.4% 2分16. 设以氮气(视为刚性分子理想气体)为工作物质进行卡诺循环，在绝热膨胀过程中气体的体积增大到原来的两倍，求循环的效率．解：据绝热过程方程：T V 1-γ=恒量，依题意得211111)2(T V T V --=γγ 解得 γ-=1122/T T循环效率 γη--=-=112211T T 3分 氮气： 22+=i γ，5=i ，4.1=γ ∴ η=24% 2分题号：20643017分值：10分难度系数等级：317． 两部可逆机串联起来，如图所示。