ch3 区间估计-final

主要内容
3.1 置信区间 3.2 正态总体参数的置信区间 3.3 大样本置信区间 3.4 贝叶斯区间估计
3.1 置信区间
3.1.1
置信区间概念
3.1.1
置信区间概念
注1:一个参数的区间估计可以给出多种,但要给出一个好的区 间估计需要有丰富的统计思想和熟练的统计技巧。 注2:当置信度所示概率与参数θ无关时,置信度就是置信系数, 以后我们将努力寻求置信度与θ无关的区间估计。 注3:上述定义中区间估计用闭区间给出,也可用开区间或半开 区间给出,由实际需要而定。
例3.2.7 从自动车床加工的一批零件中随机抽取10只,测得其直径 (单位:厘米)为: 15.2 15.1 14.8 15.3 15.2 15.4 14.8 15.5 15.3 15.4 若零件直径测量值服从正态分布N(μ,σ2),试求(μ,σ2)的 0.90置信域。
3.2.5 两正态均值差的置信区间
3.2.2 样本量的确定(一)
3.2.2 样本量的确定(一)
例3.2.3 设一个物体的重量μ未知,为估计其重量,可以用天平去称, 现在假定称重服从正态分布。如果已知称量的误差的标 准差为0.1克(这是根据天平的精度给出的),为使μ的95% 的置信区间的长度不超过0.2,那么至少应该称多少次?
3.2.2 样本量的确定(一)
3.2.5 两正态均值差的置信区间
3.2.5 两正态均值差的置信区间
例3.2.9 为考察两实验室在测水中含氯量上的差异,特在该厂废水 中每天取样,共取11个样品,每个样品均分两份,分别送至 两实验室测定其中氯的含量,具体数据列于表3.2.1上。若 假设各实验室测定水中含氯量都服从正态分布,要求其均 值差的0.95置信区间。
3.4.2

最大后验密度(HPD)可信区间
3.4.2
最大后验密度(HPD)可信区间
例3.4.3 在例3.4.2中已确定彩电平均寿命θ的后验分布为倒伽玛 分布IGa(1.956,42868),现求θ的可信水平为0.90的最大后 验密度(HPD)可信区间。
3.2.2 样本量的确定(一)
例3.2.5 有一大批部件,希望确定某特性的均值,若允许此均值的 估计值的误差不超过4个单位(即d=4),问在α=0.05下需要 多少样本量? 。
3.2.3 正态方差σ2的置信区间
3.2.3 正态方差σ2的置信区间
例3.2.6 某种导线的电阻值服从正态分布N(μ,σ2)。现从中随机抽 取9根导线,由测得的9个电阻值算得样本的标准差 s=0.0066(单位:欧姆),试求该导线电阻值的0.95单侧置信 上限。
3.1.2 枢轴量法
3.2 正态总体参数 的置信区间
3.2.1 正态均值μ的置信区间
3.2.1 正态均值μ的置信区间
例3.2.1 某公司生产的滚珠的直径X服从正态分布N(μ,σ2),其中 σ2=0.04。某天从生产线上随机抽取6个滚珠,测得其直径 (单位:毫米)如下: 14.93 15.10 14.98 14.85 15.15 15.01 若取α=0.05,寻求滚珠平均直径μ的置信区间。
3.1.1
置信区间概念
3.1.1
置信区间概念
3.1.1
置信区间概念
妥协方案:在保证置信系数达到指定要求的前 提下,尽可能提高精确度。这一建议被广大实 际工作者和统计学家接受,这就引出置信区间 的概念。
3.1.1 置信区间
3.1.1 同等置信区间
3.1.1 置信限
3.1.1 置信域
定义3.1.5 设x=(x1,x2,…,xn)是来自某总体分布Fθ(x)的一 个样本,其中θ=(θ1,θ2,…,θk)是k维参数,其参数空间为 Θ⊂Rk。假如对Θ的一个子集R(x)有 (1)R(x)仅是样本x的函数; (2)对给定的α(0<α<1),有概率不等式 Pθ(θ∈R(x))≥1-α, ∀θ∈Θ(3.1.6) 则称R(x)是θ的置信水平为1-α的置信域(或置信集)。而 概率Pθ(θ∈R(x))在参数空间Θ上的下确界称为该置信域 的置信系数,假如式(3.1.6)成立,且不依赖于θ,则称R(x)为1α同等置信域。
在统计问题中,样本量越大,一般都可使未知参数的 估计的精度越高。但大样本的实现所需经费高、实施时 间长、投入人力多,致使统计学的应用在某些场合受到限 制。所以实际中人们关心的是:在一定要求下,至少需要 多少样本量就够了。这就是样本量的确定问题。 样本量的确定有多种方法,不同场合使用不同方法。 这里将在区间估计场合,限制置信区间长度不超过2d的需 求下来确定样本量n,其中d是事先给定的置信区间半径。 下面介绍三种方法。
.2.1 正态均值μ的置信区间
3.2.1 正态均值μ的置信区间
例3.2.2 用仪器间接测量炉子的温度,其测量值X服从正态分布 N(μ,σ2),现重复测量5次,结果(单位:℃)为: 1250 1265 1245 1260 1275 若取α=0.05,寻求炉子平均温度μ的置信区间。
3.2.2 样本量的确定(一)
3.1.2 枢轴量法
3.1.2 枢轴量法
例3.1.2 设x1,x2,…,xn是来自均匀分布U(0,θ)的一个样本,对给定的 α(0<α<1)寻求θ的1-α置信区间。
3.1.2 枢轴量法
例3.1.3 设x1,x2,…,xn是从指数分布exp(1/θ)中抽取的一个样本。其 密度函数为: pθ(x)= e-x/θ, x≥0 其中θ>0为总体均值,即E(x)=θ,现要求θ的1-α置信区间 (0<α<1)。 。
3.3.4 样本量的确定(二)
例3.3.6 某电视台委托某调查公司对其某综艺节目收视率作 抽样调查,要求绝对误差不超过0.03的保证概率为 0.95,但已知该节目收视率不会超过0.2。
3.4 贝叶斯区间估计
3.4.1

可信区间
3.4.1

可信区间
3.4.1
可信区间
例3.4.2 经过早期筛选后的彩色电视接收机(简称彩电)的寿命服 从指数分布,它的密度函数为: p(t|θ)=θ-1e-t/θ, t>0 其中θ>0是彩电的平均寿命。在例2.5.9中曾选用θ的共轭 先验分布——倒伽玛分布IGa(α,λ),并利用先验信息确定 其中两个参数:α=1.956,λ=2868。后又利用样本信息(100 台彩电进行400小时试验,无一台失效,即S=40000,r=0)。 最后得到后验分布IGa(α+r,λ+S),在那里还获得平均寿命θ 的贝叶斯估计44841(小时)，求可信区间。
3.3.1精确置信区间与近似置信区间

3.3.1精确置信区间与近似置信区间

3.3.2基于MLE的近似置信区间

3.3.2基于MLE的近似置信区间

3.3.3基于中心极限定理的近似置信区间

3.3.3基于中心极限定理的近似置信区间
例3.3.4 设x1,x2,…,xn是来自二点分布b(1,p)的一个样本,其总体 均值与方差分别为: E(x)=p, Var(x)=p(1-p) 求基于中心极限定理的近似置信区间
3.2.2 样本量的确定(一)
例3.2.4 为了对垫圈总体的平均厚度做出估计,我们所取的风险是 允许在100次估计中有5次误差超过0.02cm,近期从另一批 产品中抽得一个容量为10的样本,得到标准差的估计为 s0=0.0359,问现在应该取多少样品为宜?
3.2.2 样本量的确定(一)
3.2.2 样本量的确定(一)
3.3.4 样本量的确定(二)
这里将讨论在大样本场合,为使比率p的估计达到给 定精度至少需要多少样本量的问题。
3.3.4 样本量的确定(二)
例3.3.5 为估计某城市成年男子中吸烟率p,某调查公司接受 了此项任务。首先遇到的问题是在该城市要对多少 成年男子作调查才能有99%的保证概率使吸烟频率 与真实吸烟率的差异不大于0.005?
3.3 大样本置信区间
3.3.1精确置信区间与近似置信区间
前面叙述的枢轴量法和单调函数法都是构造精确置 信区间的方法,其特点是:对给定的置信水平1-α,按这 些方法一般可获得置信系数恰好为1-α的置信区间。 这类方法常在小样本场合使用,当然也可用于大样本 场合。还有一类构造置信区间的方法,它们仅能在大 样本场合使用,所得的置信区间的置信系数不能精准 地达到预先设定的置信水平1-α,只能近似于给定的置 信水平1-α,这一类方法常称为大样本方法,所得置信 区间称为近似置信区间,或称大样本置信区间。