让数学课堂多一些“等待”
浅谈数学教学中的等待艺术
浅谈数学教学中的等待艺术
在数学教学中，等待艺术是非常重要的一项技能。
等待艺术指
的是在教学过程中，合理安排学生的等待时间，使得学生能够更好
地吸收知识，提高学习效果。
首先，等待艺术需要掌握好时间。
在数学教学中，老师需要把
控好每个环节的时间，避免给学生感觉“长时间无所作为”。
在讲
解一些难懂的概念或者证明过程时，老师可以用比较容易理解、有
趣的例子或者故事来打破学生的等待时间，让学生在等待中也能理解、学习到更多的内容。
其次，等待艺术需要合理引导学生。
教师可以通过提出问题、
推导式子等方式引导学生得到新的思考，这样不仅能让学生的时间
更加充实，还能提高他们的学习热情。
最后，等待艺术需要多角度考虑问题。
在等待时间中，学生可
能会产生一些疑问，这时候老师应该根据学生提出的问题、反馈等，及时调整教学内容、方法，让学生在等待中得到更多的收获。
总之，等待艺术在数学教学中非常重要，通过合理引导学生，
让学生在等待中也能吸收更多的知识，有助于提高学习效果。
让数学课堂因等待而更精彩
让数学课堂因等待而更精彩作者：秦绪花来源：《小学科学·教师版》2011年第11期《数学课程标准》除了强调对学生的实践能力和创新意识的培养以外，更多地是强调了让学生的学习变成一个亲身经历、动手实践、主动探究的过程。
所以，在课堂教学中先让学生自觉地进行知识构建，给学生充分展示自我的机会，让学生自己去发现、感悟，教师再作适时恰当的控制，这样学生对知识就有了内化的过程，事半功倍。
一、等待可以让学生在课堂上自主发现并学会知识在教用工具测量物体长度时，学生明确了“要有统一标准来测量物体长度”的需要后，又介绍了常用的三角尺、直尺，让大家认识了厘米，并让学生能在直尺上找出1厘米、2厘米等等，发现学生基本会用后我开始让学生自己测量物体长度，等待他们自己的灵感。
师：你们能用手中的直尺，量出数学书长有几厘米吗?师：自己想办法量一量书长长几厘米?学生积极动脑、认真操作；我开始保持沉默，等待着指导他们的时机。
生1：我量的是8厘米。
(老师先让生1展示自己的量法，我发现他原来是从直尺的顶端开始量的，但我没说，又继续等待着。
)生2：直尺上的1厘米是紧靠在一起的两个长刻度线间的距离，最前面的刻度线是从直尺顶端后面的一点开始的，空白的地方不在两个刻度线中间，不能从最前面开始量起。
生1：我明白了，原来只要把书的一端对准直尺上的一个刻度，再看另一端对着哪个刻度，然后数中间有几大格，就知道是几厘米了。
我是从最前面开始量起的，因此结果应该大于8厘米。
师：还有没有同学要说的?其他小朋友是怎么量的?生3：我用直尺刻度1对准书的一端，书的另一端对着刻度10，中间有9个大格，所以约是9厘米的。
师：我们在测量物体长度的时候，不能从直尺的最前面开始量起。
所以啊，生一量法是不对的，自然就错啦。
当然，也有不少同学量对了。
学生的自主发现是非常难能可贵的，当然，教师也要创设一定的情境，并提供比较充足的时间，让他们进行主动探究和发现，及时点拨，让他们最终发现问题的关键所在。
数学课堂教学要学会等待
课堂新探口金爱春课堂教学过程应该是学生经历一番发现、创新的过程，既能圆满地解决问题，又能在解决问题中培养创造性思维。
教学成功的关键在于要充分发挥“主导”和“主体”的作用。
教师的主导突出一个“引”字，学生的主体强调一个“放”宇，即引得得当，放得彻底。
“引得得当”体现教师在教学的关键处提出具有思考价值的问题，设置有利于学生探究、既能促进联想又能引起争辩的疑问，并留有余地地启发学生进行探讨，从而开阔学生的思路。
“放得彻底”体现在学生在学习过程中敢于大胆发言，说出自己的见解，反驳别人的意见，敢于互相争论，在交流中表现自我，交换思考所得，品尝独立思考的乐趣。
要体现“引得得当”和“放得彻面筹器群等晶底”，教师必须学会等待，并且要把握等待的时机，这样才能成就精彩有效的课堂。
一、“等”在碰撞时学习数学是一个不断纠正错误的过程。
当错误与正确发生碰撞时，往往就是思维得到提升之时，这时候更需要教师宽容且理性的等待，使学生在碰撞中调整思考的方向和策略，从而认识知识发生的本来面目。
如吴正宪老师在教学<分数的初步认识>时，为强调概念中的“平均分”，设计了一个判断题：把一个圆分成两份，其中一份占÷。
面对这个问二题，学生中出现了两种不同的答案，双方各执一词，谁也说服不了谁。
吴老师没有简单地揭示答案，而是组织两个辩论队进行辩论，学生在辩论(举反例)中逐渐融合，达成一致意见，从而对“分数”这一概念的理解达到较高的程度。
实际上，学生在听到一种与自己相反(或者不完全相同)的结论时，他们的思维就受到碰撞，如果教师此时不加以等待，就会缩短学生思考判断的过程，达不到通过学生自主思考获得明晰概念的目的。
二、“等”在疑惑处每一个新的知识点，对学生来说都是一块未开垦的处女地。
教师在教会学生应该怎么做的同时，却往往无暇顾及学生“为什么不能那样做”的疑惑。
斯苗儿老师曾提醒大家：只有把学生的不明白处弄明白，才算是真正的理解。
所以当学生困惑时，教师应提供给他们时间以及一定的素材，再加上一些必要的提示，等待着学生恍然大悟，从而收获精彩。
例谈数学教学要学会等待出效果
例谈数学教学要学会等待出效果教学等待是一种教学现象。
在课堂教学中不急于求成，留给学生足够的时间和空间，让学生进一步理解、反思、回味和消化，最终达到提高课堂教学效果的目的。
教学等待还是一种教学艺术，是教师教学理念的外显，也是教师从容心态的表现。
适时、适当、合理地运用和驾驭教学等待，会是教师的教学锦上添花，从而达到“教是为了不教”的最高境界。
以下是自己的一些探索体会，提供给数学教学同仁参考。
一、等，在感知概念时在学校教学研修月活动中，发现一些课堂上，老师是充满激情的，学生是活泼的，可以说这样的课是思维活跃、积极的校内研修课。
一个概念的出现，一个问题的提出，不到一秒钟，就看到一双双小手高高举起，老师也亟不可待地找这个回答，找那个回答，课堂学习气氛非常热烈。
由此我不禁想到了一个问题：老师，你等待了吗？或者这样说，孩子真的想好了吗？特别是那些学困生想好了吗？数学课堂中有一些概念是比较抽象的，需要进行一定的辨析。
教师在教学中要有意放慢脚步，留给学生思考的空间，学会等待。
让学生理解、感知的过程做足，并结合具体事物，在实践中加以灵活应用，帮助学生建立更准确、更清晰的认识。
如：教学“面积单位”后的一道练习题：请判断短文中的单位是否合适：“……小明坐在2400平方厘米的书桌旁开始了晨读……”课堂上，多数学生认为“平方厘米”这个单位使用不恰当，老师并没有急于下结论，而设计了多个教学环节促进学生对概念的感知。
⑴回顾1平方厘米有多大。
学生反馈与大拇指的指甲盖大小，或文稿纸的一小方格大小差不多……那2400平方厘米有多大呢？⑵把2400平方厘米转换成24平方分米或0.24平方米，与教室地面的地砖（80c m€?0cm）面积进行比较，部分学生改变了看法。
⑶师问：还有更容易的判断方法吗？思考良久，一位学生站起来回答：我们的课桌是长方形的，如果2400平方厘米是合理的话，就可以假设课桌面的长是60厘米，宽是40厘米，刚才我测量了一下，还是很接近的，所以我认为平方厘米这个单位是合适的。
“等待”在小学数学课堂中的运用-精选文档
“等待”在小学数学课堂中的运用教育是慢的艺术。
意思是说，教师在教育教学中要学会等待。
因为教学内容有难易、学生思维水平有差异，因此课堂教学需要适时的等待。
何时等待，等待多久，都是教师需要思考的问题。
一般在学生需要思考、需要交流、需要操作、需要内化时，教师应该耐心等待，有时哪怕是十几秒钟的时间，学生都有可能创造出意想不到的精彩。
一、等一等，让学生先思考苏霍姆林斯基说：“教师总想让孩子快些回答问题，他不管孩子怎么思考，还要不要思考，要的是立即说出答案并给他评价了事！” 这句话显然从另一个角度说明了给学生思考的时间，关注学生思考过程的重要性。
当教师抛出一个问题后，要有一个等待的时间，不能马上重复问题或指定学生回答。
哪怕少数学生已经想出答案，也要给其他学生思考的时间。
当数学问题有多种解法需要择优时，当学生理解某个问题有偏差需要纠正时，教师都应该等待，让学生有充分的时间思考。
凡是儿童自己能够想的，就应该让他自己想。
【案例 1】新版教材把三年级上册的《有余数的除法》调整到了二年级下册，且新增了一道例 6。
例 6：按照下面的规律摆小旗。
这样摆下去，第 16 面小旗应该是什么颜色？教师在抛出这一问题后，学生先分析“知道了什么” ，此时已经有少部分学生想到了结果，但多数学生还在酝酿中。
师：请小朋友们静静地思考，并写下自己的解答方法。
教师在巡视过程中发现学生主要用到画图、文字表示与列式解答这三种方法解决问题，其中列除法算式解答的人最多，约占半数，用文字表示的人较少。
因此教师在反馈时着重分析画图法与列除法算式这两种，而且除法算式各部分含义又可与图对应。
通过展示部分学生的解答方法，共同分析，学生都能认识到用画图、文字表示的方法很形象，容易理解，但是如果小旗数量多就不适用了。
从比较中不难看出列除法算式最简洁，而解决这类问题的关键是看余数。
本课是《有余数的除法》单元的最后一节新课，问题的难度不大，如果先给学生独立思考的时间，多数学生都能正确解答，差别只是方法的不同与做题速度的快慢。
等待让数学课堂更精彩
等待让数学课堂更精彩《数学课程标准》指出：“数学学习要从学生的已有生活经验出发，让学生亲自经历将实际问题抽象成数学模型，并实行解释和应用的过程”。
这个新课程理念除了强调对学生的创新意识和实践水平的培养以外，更多地是强调了学生学习数学的过程是一个亲自经历、动手实践、主动探究的过程。
所以，在课堂教学中，提供给学生探究的时间和空间就显得十分重要。
这就要求我们教师学会耐心等待，给学生自由的空间，给学生展示自我的机会，让学生自觉地实行知识建构，教师再作适时恰当的调控，这样学生对知识就有了内化的过程。
一、等待——让学生激情勃发数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动和共同发展的过程。
数学教学要紧密联系学生的生活实际，从学生已有的知识和生活经验出发，创设生动有趣的情境，为学生提供从事数学活动的机会，激发对数学学习的兴趣，以及学好数学的愿望。
正如著名教育家苏霍姆林斯基所说的：“假如老师不想方设法使学生进入情绪高昂和智力振奋的内心状态，就%识，那么这种知识只能使人产生冷漠的态度，而不动感情的脑力劳动就会带来疲倦。
”所以，现在的很多数学教师在设计教案时，把需要学习的数学内容以问题的形式巧妙地寓于各种各样生动具体的情境之中，以有效地激发学生主动学习的良好机会，引发学生在数学学习中的认知冲突，从而产生学习的求知欲和好奇心，积极主动的投入学习当中。
例如：教学《圆的周长》，先让学生理解圆的周长的概念以后，再让学生想办法测量事先准备好的圆形纸片的周长。
经过学生的讨论、交流与动手操作，得出了以下三种测量方法：①滚动法；②化曲为直法；③把纸片对折、对折再对折，再测量圆弧的长，乘以8。
这时，教师在肯定了学生的方法后，然后拿出一根绳子，上面系着一个小石子，甩动绳子，形成了一个圆，然后提问：“这个圆的周长你有办法测量吗？”面对这个问题，学生一时之间陷入了迷茫，从而产生了认知的冲突，学习的激情空前高涨，这时，让全班同学去研究圆的周长应该如何去计算，学生便会积极主动地投入学习当中。
数学课堂的生成需要“等待”
活泼 而富有个性 的过程 。学生 所处 的文 化背景 、 家庭背景和思维 方式 的不 同 ， 会
生 １ ： 将 圆对折 ２ 次， 分成 ４等份 ， 两 条折痕的交点就是圆心 。
生２ ： 圆 有无 数个 直角 。 教 师 的 预 设 是 引 出 圆有 无 数 条 直 径 ，
全预设的。教学 时 ， 教师应直面真实的教 学， 坚持 “ 以学定 教” 。 随机应变 。 根据教学
些特征 ：圆内有无数条 直径 和无 数条半 径； 在同一个 圆里 ， 所有 的直径 、 半 径都相 等， 直径 是半径 的 ２ 倍 。但是多 了“ 折 一
急 于安 排其他人 发言 ，因为 每个学生 都
有可能创新 。 案例 中， 教师似乎是没有听清学生 的 发言 ， 或以为 自己听错 ， 让 学生重复 。 其 实 是教师没有认真 了解学情 ， 也没有认 真倾
过 程 中 出现 的 情 况 。及 时 调 整 课 前 的 预
导致他们在探究 过程 中发 现问题和解决 问题的方法也 不一样 。教学时 ， 我们要尽
可 能 留 给 学 生 足 够 的 时 间 和 空 间 ，让 学 生 自主 探 究 ， 等待学生的发现。
设， 鼓励 生成 ： 如果学生说对了 ， 教师可 以 鼓励 或者表扬 ； 假如说 错 了 ， 教 师可 以问 问其他同学的意见 ， “ 辩则 明思则进 ” 。通 过辩论 ，让 学生 自己发现错误 并改 正错 误； 当学生暂时 无法 回答 ， 允 许学生沉 淀
己预设还不充分 ， 就要 考虑该如何 处理 。 抓 住 契机 ， 生 成 别样 的精 彩 。 三、 适 当“ 等待” 教 学 对 策
美。 面对生成 ， 我们要多一些宽容 ， 多一些 机智 ， 多一些等待 ， 学 生就多一 些 自主探 索 的经 历和体会 ，多一些对 问题 的深思
锤炼等待艺术,打造小学数学高效课堂
教育是慢的艺术，需要教师放慢教学脚步，学会耐心等待，给学生预留足够的独立思考和自主探究的时间和空间，点燃学生思维与智慧的火花，推动学生对知识的自主建构和能力的全面提升。
一、于探究时等待，让学生自主探学、延伸思维在小学数学课堂教学中，教师要注意在探究时学会等待，给学生足够的思考探究、交流讨论的时间和空间，引领学生积极思索、主动探究、实践体验，充分发挥学生的主体作用，提高学生自主探究学习的能力。
比如，学习“长方体侧面积”时，笔者出示了这样一个实际应用问题：已知楼房外壁用于流水的铁皮水管是长方体。
如果每节长15分米，横截面是一个长方形，长1分米，宽0.6分米。
现要做这样一节水管，需要用到铁皮多少平方分米？经过一番思考探究，有学生说：“可以直接求长方体的四个面，即（1×15+0.6×15）×2=48（平方分米）。
”在该生说完他的解题思路后，笔者并没有急于做出评价，而是继续追问学生：“大家还有其他解法吗？”引领学生去延伸思维、深入分析、交流讨论。
有学生说：“还可以用长方体的六个面减去它的两个面求解出来，即（1×15+1×0.6+0.6×15）×2-1×0.6×2=48（平方分米）。
”还有学生说：“还可以用它的底面周长去乘以高进行计算，即（长+宽)×2×高=（1+ 0.6）×2×15=48（平方分米）。
因为我发现将长方体剪开后，它的底面就变成了一个长方形，这里长方形的长实际上就是原来的周长，宽就是它的高，这样就可以得出长方体的侧面积=底面周长×高。
”可见，在探究时学会等待，能够使学生的思路更清晰，知识理解更深化，思维得以拓展，探究能力得以提升。
二、于出错时等待，使学生自主反思、完善提升在数学学习中，尤其是数学解题中，学生常常会出现各种各样的错误。
面对学生的错误，教师不应以自己的标准答案作为评价标准，也不能直接指着错误批评学生，而应学会等待，给学生充足的时间，让学生主动去反思、发现和剖析错误，明确错因，寻找正确的解题方法，不断地开阔思路、完善知识结构、优化思维过程、提升学习能力。
试论“课堂等待”在数学复习课教学中的应用
试论“课堂等待”在数学复习课教学中的应用著名教育学家郭元祥曾指出；“作为一种慢性艺术，教育需要留予充裕的等待时间和空间。
”当小学生需要反应、需要消化、需要交流、需要思考的空间和时间时，教师应该创设“课堂等待”环节，打开学生数学思考的大门，给学生充分的勇气和自信，同时也给学生进行数学学习自我挑战的机会，引导学生创造数学学习的精彩。
［1］一、等一等，让学生思考众所周知，人们进行问题思考是需要一定时间和空间的。
在实际的小学数学复习课堂中，教师应该为学生设计两个最为关键的课堂等待环节，第一个课堂等待是教师为学生提出数学问题之后，要留予学生足够的问题思考时间，不能立刻指定学生回答或进行问题重复；第二个课堂等待是指学生进行数学问题解答之后，教师也需要空出足够的时间，对学生的解答进行客观评价，有助于学生彻底消化问题。
例如，在复习三年级数学上册第六单元《平移、旋转和轴对称》部分内容时，教师可以为学生提出如下问题：围绕着C 顶点，将三角形ABC 实现顺时针转动，记旋转后所得的三角形为DEC。
这两个三角形中有哪些角相等？如何用数学语言进行表达？从三角形旋转中能够发现什么？教师可以要求学生先独立进行问题思考和图形操作，组织学生在数学学习小组中交流和讨论。
通过设置第一个课程等待环节，学生基本可以得出如下结论：1.三角形旋转之后，C 点的对应点是C 点本身，B 点的对应点变成E 点，D 点的对应点则变成A 点；2.三角形经过旋转之后其图形大小和形状不会发生改变；3.旋转图形与原图形对应角和对应边相等。
随后，教师可以为学生提出更深层次的数学问题：如果将三角形ABC 围绕图形外的一个点O 进行旋转，记旋转图形为三角形A’B’C’，可以从三角形旋转过程中得到怎样的结论。
这时，教师就可以创设第二个课程等待环节，引导学生通过自主绘图以及长度和角度测量，得出如下结论：（1）三角形中的每一个顶点都绕着O 点旋转了一样的角度；（2）旋转图形和原图形对应点到旋转中心的距离相同。
等待，让数学思维绽放
等待，让数学思维绽放发布时间：2022-07-30T09:06:38.796Z 来源：《教育学文摘》2022年3月6期作者：郭凯[导读] 等待,留给了学生思维的空间,使学生有了创造的潜力和动力。
郭凯山东省滨州市沾化区下洼镇第二实验学校 256800等待,留给了学生思维的空间,使学生有了创造的潜力和动力。
等待,是屏息凝神,是为思维岩浆的喷发预备空间,诱导了学生发散思维,上下求索。
等待,是尊重,是信任,是对学生的一种人文关怀。
等待,是数学课堂教学中的隐形翅膀,可以让学生飞得更高更远。
一、在动手操作中等待《数学课程标准》指出：动手实践、自主探索、合作交流是学生学习数学的重要方式。
组织学生在实践操作中探究发现规律，可以充分调动学生的各种感官，从感性到理性，从实践到认识。
数学的学习方式不再是单一枯燥的，以被动听讲和练习为主的方式，而应是一个充满生命力、富有个性的过程。
苏霍姆林斯基曾说过：儿童的智慧在他的手指尖上。
数学是做出来的，学生只有亲历知识的发现过程，才能真正理解和掌握。
纵观现在的数学教学，学生的动手实践操作越来越受到老师们的重视，组织学生动手实践操作也是教师们越来越认同的达到良好教学效果的必要手段。
这一可喜的转变使学生真正成为了学习的主人，主体地位更加明显。
例如在“等腰三角形”这部分内容中，重点是探索等腰三角形的性质，让学生亲自动手，通过剪纸、折叠等方式去探索，这样既增加了学生的学习兴趣，又有利于学生对所学内容的理解。
在这样的课堂上，如果老师给予学生充分动手的时间，那么在这种等待中，学生就会进行多种方法的尝试，进而得出自己最正确的理解。
二、在回答错误时等待每个学生都有自己独特的生活背景，对事物有着各自不同的理解方式，而且不同的人对同一事物思考的角度也不尽相同。
更何况，学生在课堂上的学习过程本身就是一个探索的过程，有探索，难免就会有出错。
在实际的教学过程中，要时刻关注每一位学生的情感态度和价值观，捕捉学生自己在学习过程中“创造”出来的宝贵教学资源，特别是要等待学生的错误资源，充分发挥学生之间的互补功能，提供他们自主探索的空间，让他们合作交流，各抒己见，主动寻求解决问题的方法。
等待,让数学课堂更精彩
等待让数学课堂更精彩课堂，是进行教学活动的场所。
数学课堂是学生在教师的有效指导下学习数学的乐园，是学生动手实践、自主探索、合作交流的活动基地。
课堂上，教师就应该为学生提供充分从事数学活动的机会。
这就要求教师学会耐心等待。
一、等待，给学生一点思考的时间学生解答习题时，首先面对的是一个完整、具体的问题，总是先要读懂题意，将实际问题转化为数学问题，提取已有的知识和技能，通过分析、思考，形成解决问题的不同策略。
需要一个对问题全方位思考的过程。
而不是教师嚼碎后一口一口喂给学生。
这就要求在课堂上，教师向学生呈现问题时，不要急于分析、支解。
等待，给学生一个思考、分析的过程。
二、等待，给学生一个交流的机会一个学生的想法符合教师所需要的想法，教师马上“鸣罗收兵”。
这样也是不对的。
同一问题，学生出现了两种不同的答案，教师也不能急着去判断，告诉学生正确结果，还是等一等，给学生提供一个交流各自想法的机会。
班上总有一些思维敏捷反应灵活的学生，这些学生不能代替全班学生的思维。
等待，给学生一个思考、交流的机会，学生就会去研究、去探索，这样以后再遇到同类问题就有能力去解决。
在同学的学习、探究知识的过程中，会出现各种差异，这种差异是客观存在的。
教学是我们必须关注学生的差异，允许学生暂时保留这种差异，给他们交流的机会。
在交流的过程中，思维不断地被唤醒，在不断地冲突、碰撞中，自然会消除困惑，豁然开朗。
三、等待，给学生一个反思的过程课堂上，当学生出现差错时，教师不要急于修改、更正他们的错误，急着把正确的答案告诉学生，把完整的结论灌输给学生。
学生在没有经历亲手实践体验的无意识状态下，所得的知识模糊不清，是容易淡忘的，应该给学生一个思考、分析的过程。
等待是一种期望，是一种鼓励，课堂上，需要我们多一些等待。
多一些等待，学生就多一些自主探索的经历和体会；多一些对问题的深思和熟虑；对一些知识的理解和提升。
学会等待应该成为我们教育工作者的一种意识、一种职业操守，学会等待，你的课堂就会充满活力。
数学课堂因等待而精彩
502017.09课程与教学Kechengyujiaoxue[摘 要]在课堂教学中，适时合理地等待是一种教育智慧，它彰显了教师在课堂上的驾驭能力，体现了教师的一种教育境界，影射了教师的那份淡定。
它是还时间于学生，还课堂于学生的重要举措，因此在课堂教学中教师要审时度势，精心设计“等待”环节，耐心等待、细心启发学生参与学习活动过程，这样我们的课堂就会多一份精彩，多一份灵气。
[关键词]课堂教学 等待时机 精彩如果留意当下的数学课堂，就会发现一些如“课堂冷场”“教师急于启发引导”“赶教学进度”等常见性的问题，出现这些问题的根本原因是教师按部就班急于完成教学任务，学生独立思考的时间少，课堂预设多于生成。
鉴于此，我认为数学课堂需要等待，等待是为了留给学生更多的自主时间，开启智慧的大门，有助于课堂动态生成，只有灵动的课堂才会更精彩。
当然课堂中的等待并非随心所欲，要发挥它积极的作用，因此必须把握好等待的时机。
一、在小组合作交流时等待小组合作交流是当下数学课堂常用的学习方式，在合作交流中小组成员可以充分展示自己的想法，组员之间能获取更多信息，在生生智慧的碰撞中不断完善充实自我认识。
在进行这种学习方式的时候，要给学生充分交流的时间，让每个学生在小组中都有机会表述自己的想法，这样才能充分展示学生的思维。
例如在教学《小数乘法》中，关于积的小数位数的确定我安排了小组合作学习，学生通过仔细观察认真思考，又给了充分的小组交流时间，学生自主领悟出了积不变的规律，得出了积的小数位数就是两个因数中一共的小数位数，这样充分的小组合作交流，使数学课堂更具魅力，更有深度，教师教得轻松，学生学得快乐。
二、在动手操作时等待数学课堂许多知识需要动手操作才能更深入地理解掌握。
比如一些平面图形面积公式的获取，教师不能牵着学生一步一步引导得出结论，更不能把结论直接告诉学生，而应该让学生自己去思考探索，在动手操作中转化为已经学过的图形，从而推导出新的图形面积计算方法。
数学课上应多一些等待
教学随笔数学课上应多一些等待木智杰摘要：当前数学课堂上出现老师因过分追求教学的“完美”、“圆满”，担心时间被耽搁而完不成教学任务，总把学生的提问、思考、解答，当作“例行公事”，置学生于课堂以外，教学就成了演绎、完成教案的过程。
笔者就此现象提出思考，提出数学课上应多一些等待，给学生交流的时空、给学生思考的时间，给学生展示的机会，给学生反思的过程，培养学生的问题意识。
关键词：数学教学；等待《数学课程标准》指出：要为学生留有足够的探索和交流的空间，以利于改变学生的学习方式，可以通过看一看、做一做、想一想、议一议等栏目，引导学生进行探索与交流。
在新课程理念下我们的老师也都非常重视学生的主体地位，引导学生在自主探索、交流合作中学习数学。
可在不少数学课堂上，由于老师过分追求教学的“完美”、“圆满”，担心时间被耽搁而完不成教学任务，总把学生的提问、思考、解答，当作“例行公事”置学生于课堂以外，教学就成了演绎、完成教案的过程。
数学课堂是学生在教师的有效指导下，学习数学的乐园，是学生动手实践、自主探索、合作交流的活动基地。
课堂上，教师应该为学生提供充分从事数学活动的机会，这就要求教师学会耐心的等待。
一、等待，给学生一些思考、探究的时间著名数学家波利亚认为“学习任何知识的最佳途径都是由自己去发现，因为这种发现理解最深刻，也最容易掌握其中的内在规律、性质和联系”。
教学的艺术不仅要激发学生探究学习的热情与需要，更要有效地引导学生在学习过程中学会探究，体验探究的过程，享受参与探究的快乐。
但在实际工作中，很多教师在提问后马上叫学生回答，不给学生时间去思考、探究。
如学生回答不出问题，不是请优等生包办代替，就过早地把现成的答案和盘托出，尽可能地扫清路障，确保学生解决问题的畅通无阻。
如《直角的初步认识》一课，用三角板验证一个角是不是直角是教学的一个难点，学生往往把握不住该用哪个角去验证，怎样验证。
于是教师先在黑板上演示了验证的方法，再让学生跟着操作，就这样，学习难题轻松地突破了。
小学数学课堂中巧用教学“等待”捕捉生成性资源的探究
小学数学课堂中巧用教学“等待”捕捉生成性资源的探究【摘要】教师在小学数学课堂中巧用教学“等待”是一种有效的教学策略。
通过引导学生思考和探索，教师可以激发学生的学习兴趣和潜能。
本文首先概念解析教学“等待”的含义，然后介绍小学数学课堂中可以采用的“等待”策略，包括提出问题后等待学生思考和鼓励学生在解题过程中等待。
通过教学案例分析和学生表现与反馈，我们可以看到教学“等待”策略的有效性。
结论部分讨论了教学“等待”策略的有效性，以及对教师角色和技巧的启示与展望。
教师在课堂教学中善于运用“等待”策略，可以更好地激发学生的学习热情和培养他们的创造力与思维能力。
【关键词】小学数学课堂、教学“等待”、生成性资源、教学案例、学生表现、教师技巧、教学策略、教学效果、启示与展望1. 引言1.1 背景介绍随着教育教学理念的不断发展，教师们越来越重视学生的主动性和创造性。
在小学数学教学中，教师如何引导学生主动思考和探究是关键问题之一。
而教学中的“等待”策略，即在学生回答问题之后，教师暂停一段时间才给予反馈，正逐渐引起人们的关注。
这种策略不仅可以帮助学生思考问题，培养他们的自主学习能力，还能激发他们的生成性资源，提升学习效果。
目前对于小学数学课堂中巧用教学“等待”捕捉生成性资源的研究还比较有限。
深入探究教学中的“等待”策略在小学数学教学中的实际应用和效果，对于提升学生学习效果具有积极的意义。
本研究旨在通过分析教学案例和学生表现，探讨教学“等待”策略的有效性，同时探讨教师在实践中的角色和技巧，为小学数学教学提供新的思路和方法。
1.2 研究意义小学数学课堂中巧用教学“等待”捕捉生成性资源，对于教育教学有着极为重要的意义。
在传统的数学教学模式中，教师往往扮演着知识传授者的角色，学生则是被动接受知识。
而通过巧用教学“等待”的策略，可以激发学生的思维潜力，引导学生主动探索和发现数学规律，提高他们的自主学习能力和创造力。
教学“等待”不仅可以促进学生的思维发展，还可以培养学生的问题解决能力和合作意识，提高他们的沟通能力和表达能力。
“等待”在数学课堂教学中的运用
“等待”在数学课堂教学中的运用作者：肖春燕来源：《教师博览·科研版》2012年第04期[摘要]数学是思维的体操，思维是需要过程的。
在小学数学课堂教学中，教师要善于改变“一问一答”式的教学方式，而应该留给学生更多的思考时间，因此，课堂等待很重要。
数学课堂上，要等在提问后，预留思考时间；要等在互动时，提供交流机会；要等在出错时，创设反思空间。
[关键词]等待；思考；交流；反思实施新课程以来，小学数学课堂教学显得十分热闹，情境创设、合作交流、自主探究给数学课堂带来了巨大的变革。
随着新课程改革的不断推进，高效课堂又成了旋律。
于是，一些教师为了追求课堂教学的快节奏，一提出问题，就让学生回答，学生基本上没有思考的余地，如果我们的课堂教学中能恰当地等待，为学生提供一个“消化”、“理解”的时空，一个静心回味的余地，让学生能将知识进行梳理、加深理解并能融会贯通，从而达到“学”“思”结合。
一、等在提问后——预留思考时间苏霍姆林斯基说过：“有经验的教师在讲课的时候，好像只是微微打开一个通往一望无际的科学世界的窗口，而把某些东西有意地留下不讲。
这样学生就会迫不及待地到广阔的知识海洋中去寻找。
”因此，教师在教学提出的问题后，要求学生联系自己的生活经验、心里体验、感受想法静静地思考，生成更多的“原始资源”。
例如，在教学“确定位置”一课时，笔者给学生创设了这样一个情境：让学生用第几组第几个说位置，然后我进行记录，在记录时候我写的速度跟不上学生说的速度。
这时提出一个数学问题：你们能帮老师想一个更简单的方法，使老师能写得更快些吗？出现问题情境后，我并没有让学生马上举手回答，而是留下一段时间，让学生静静地思考，然后把答案写在作业纸的反面，于是出现了五花八门的答案，5组3、53、5——35（3）…学生在这段时间里，认真地思考，唤起学生探索的欲望，促进学生积极思维，开发了学生的“原始资源”，更是对这一问题有了内化过程，使学生更容易接受用数对的方法来确定位置。
数学课堂应多一些“等待”
2012-11教学实践数学课堂应多一些“等待”文/刘红星摘要：新课改倡导“以生为本”的精神，提出了过程性目标，这就要求教师为学生创设自主活动的时空，并耐心地等待学习过程的完成。
为了使学生的主体活动富有实效，数学课堂应多一些“等待”。
关键词：课堂教学；新课程；耐心；等待课堂教学是对学生进行数学教育的一条重要渠道。
课堂教学要体现课程改革的基本理念，在教学设计中充分考虑数学的学科特点，高中学生的心理特点，不同水平、不同兴趣学生的学习需要，运用多种教学方法和手段，引导学生积极主动地学习，参与到知识的形成和发展中来。
但在数学课堂上往往会看到这样的现象：有些教师为了尽快完成教案中设计的任务，不顾及大多数学生的学习情况就急着进入下一个教学环节，甚至在学生没有回答出问题的时候，就干脆自己把标准答案和盘托出。
久而久之，学生的数学水平和能力就会显著下降。
数学的教是为了学生更好地学，我们的数学课堂应多一些等待。
所谓等待，是指根据教学流程和教学内容的特点，在恰当的地方给学生创设合适的活动时空，耐心地等待大多数学生完成任务，充分地凸显学生的主体地位。
下面就3.2.2对数函数的图象及性质（1）这节新授课，从以下几个方面谈谈数学课堂上的“等待”时机与点拨策略。
一、在“了解起点”时等待———先听后教，先试后导为了提高教学的针对性，真正体现“以生为本”的思想，教师在课前或上课伊始，要对学生的学习基础基本了解，弄清学生对所学新知知道的程度以及可能会遇到的障碍。
现代教学论提出了“找准起点并顺着学生的思路来组织教学”的理念。
为了找到学生真实的起点，教师要安排一定的时间，让学生先对要学习的“课题”说说自己已经知道了什么，或者让学生对例题尝试着做一做，教师则耐心地“等待”，在学生充分暴露头脑中的“原始资料”后，根据大多数学生的实际情况拉开新知教学的帷幕。
案例1：“对数函数”的引入（片段）（一）问题情境：某细胞分裂过程中，一个细胞分裂成两个，两个分裂成四个，四个分裂成八个，……，则细胞的个数y与分裂次数x的函数关系为反之，给定细胞个数y，如何求分裂的次数x呢？即如何用y 表示x呢x是y的函数吗？为什么？（二）意义建构你能从以上两个解析式中抽象出一个更具有一般性的函数模型吗？（三）数学理论对数函数的定义：一般的，叫做对数函数。
适时等待，将课堂还给学生
教学篇•教学反思在日常的小学数学课堂上，常常会发生这样的情况：教师刚刚提出一个难度适中的问题，一两位成绩优异的学生马上举手，而教师立马欣喜地叫起他们，这些学生当然能够准确地说出近乎标准的答案，教师马上就抛出下一个问题。
此时，如果我们能纵观全场，会发现就那么几位学生会心一笑，绝大多数学生还在皱眉思考。
而当教师抛出第二个问题时，真正跟上节奏的，就那么几位学生，更有甚者，当大多数学生舒展眉头开始关注下一个问题时，教师因为在几名优秀学生中已经得到了答案，进入了下一个环节。
久而久之，大部分学生就失去了上课的兴趣，在课堂上不思考，没想法，即使对教师的提问想到了解答方法，也不愿举手回答。
在教师看来，总觉得学生们的注意力不在课堂上，上课不够专注，连简单的问题都不会回答。
其实，很多在数学课堂上碰到这样的情况，只要简单的一个等待，就可以迎刃而解。
例如，笔者在教学“混合运算”时，有一个练习题：“奶奶买来3把水壶和4只水杯，一把水壶25元，一只水杯12元，奶奶一共要付多少钱？这是一个比较贴近学生现实生活的购物情境，学生们经过思考，很快就想出方法，并列出了预想的算式：25×3+12×4，全班学生都能很好地理解了题意，解决了问题。
很多教师到这后，很快就会进入下一个环节。
笔者因为习惯，在这之后，又很自然地问了一句：“还有与他不同的解题方法吗？”这时，一位学生站起来，“老师，还可以用25+12。
”“错了，错了！”其他学生立刻起哄起来，笔者也皱了皱眉头。
转而为了帮助这位学生纠正错误，问道：“你能把自己的想法和大家说一说吗？”笔者没有直接评判对错，而是选择相信学生，等待学生将他的理由补充完整。
“先用25+12算出买一把水壶和一个水杯共需要付多少元，接着假设买了3把水壶和3只水杯，那就需要付（25+12）×3=111元，再加上剩下的一只水杯12元，这样一共就要付111+12=123元。
”这个学生口齿清楚地说道。
小学数学课堂“等待行为”的教学价值与处理
教育实践与研究Educational Practice and Research 2015年第32期/A （11）>>>学科教学探索在课堂教学中，等待行为是有目的性的，是为了期待预设的教学情境、教学效果的出现；是让教师更理性掌控课堂教学节奏，对学生学习状态进行及时评价，从而调整教学行为，有效发挥学生学习潜能的教学行为。
一、数学课堂“等待行为”的价值课堂教学中，不少教师为了完成教学进度，会根据当堂课教学内容的容量，来确定每个教学节点的教学时间，这往往就忽视了学生的学习需求，忽视学生对新知的自我感知、理解、构建和熟练掌握所必需的等待时间。
当学生对新知理解不透彻，对问题不能及时做出回应时，教师或是让其他学生回答，或是自行出示结果，剥夺了学生思考的时间，课堂中师生交流的质量明显降低。
究其原因是教师忽视了学生在课堂教学中的主体作用，数学学习是学生在教师指导下对数学知识的自我构建，要实现对数学知识的理解，必须给予学生一定的自我思考时间。
实践证明，课堂教学的等待行为具有以下优点：①促使更多的学生投入对问题的思考；②学生对问题的思考时间更充分，思考深度更深刻；③能够促进学生之间的相互交流，激发学生更积极地投入学习；④教师起到指导者的作用，而不是对课堂教学行为的一味包办代替；⑤课堂等待行为使师生能够更温和地投入学习，教师训斥学生的现象变少，教学氛围更融洽。
因此，课堂教学的等待行为对师生的课堂教学具有积极的促进作用，学生思考问题时间延长、回答问题时间延长，学生学习主动性和成就感提高，学生不能回答问题的现象减少，学生课堂学习参与率大幅增加，课堂有效性得到全面提升。
二、数学课堂“等待行为”的处理策略教师的提问与学生的应答之间存在一定的关系，提问之后都应给予学生相应的等待时间。
数学课堂等待行为是学生对问题进行思考，自我构建新知所需的必要过程，同时也是对教师教学提问的必要补充。
教学中对于一些简单的、难度系数较低的问题，没有必要为学生留出应小学数学课堂“等待行为”的教学价值与处理常迎宝（连云港市幸福路小学，江苏连云港222004）摘要：数学课堂应力求高效地利用教学时间，最大限度地提高课堂教学的有效性。
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让数学课堂多一些“等待”数学课堂中的‚等待‛就像国画上的‚留白‛、音乐中的‚停顿‛。
在教学中，给学生一份‚等待‛，就是抛却包办代替，避免填鸭传授和远离简单粗暴，就是给学生留下独立思考、有效探索的时间和空间。
在教师的‚等待‛中学习，学生会有深刻的印象和感悟，在获得成功后会产生更加强烈的情感体验，从而进一步激发学习的自信心。
可以这样说，‚等待‛孕育着生成。
一、等一等，给学生一点深入思考的时间笔者近期在一次课堂教学观摩活动中，发现这样一个相对普遍的现象：当教师提出一个问题后，还没等全体学生有充足的思考时间，一旦发现有个别学生举手，就立即停止全班学生的思考，指名回答。
学生回答错了，教师用带着鼓励的语气说：‚请坐下，再好好想一想。
‛如果学生回答对了，这个问题就此打住，教师便继续展开下面的教学环节。
这使我想起北师大肖川博士曾经说过的话：如今的课堂‚想一想‛多了，而真正独立、深刻、富有创造性的‚思考‛正一步步离我们远去。
事实上，任何学习个体，要想对面临的问题有自己的独立思考与深刻见解，一定长度的思考时间是必不可少的。
教师在创设问题情境后，要耐得住等待的‚寂寞‛，给足学生深入思考的时间。
让学生在富有张力的静态中，对所面临的问题作多角度思考、多层面推断、多策略探究。
如此，学生不仅能体验到数学智力的挑战，更能在经历曲折探索过程之后获得真正成功的乐趣，体验到数学思考的魅力。
例如，教学‚加法交换律‛（苏教版课标教材小学《数学》四年级上册）一课时，我先由‚用两种算式28＋17和17＋28求跳绳的人数‛这一话题引入，师：这两道算式都是求什么的人数？结果都是多少？再观察这两道算式有什么相同点？不同在哪里？（引导学生发现这两道算式的得数相同，都是求跳绳的总人数，可以写成28＋17=17＋28）师：你能照样子说出一个这样的等式吗？（指名学生回答，教师把学生说的等式有序地板书在黑板上）师：同学们都能脱口而出说这么多等式，看来这些等式中都藏着一种规律，你发现了吗？（生思考后回答）师：这样的等式还有吗？说得完吗？你们能不能想个办法，用一个等式来概括所有这样的等式？先想一想，想好以后在练习纸上写一写。
（学生独立、安静地思考着写着，几分钟后，全班开始了交流。
）生1：一个加数＋另一个加数=另一个加数＋一个加数。
生2：Δ+○=○＋Δ。
师：你能解释一下你这儿的‚Δ‛和‚○‛分别代表什么吗？Δ+○=○＋Δ又表示什么？（生答）生3：我用‚左‛表示一个加数，‚右‛表示另一个加数，写成‚左＋右=右＋左‛。
师：这儿的‚左‛和‚右‛可以表示哪些数？（生答）生4：我用x表示一个加数，y表示另一个加数，写成x＋y=y＋x。
……师：这些表示方式和刚才大家用数表示你感觉怎样？（生各抒己见，师简要概括后自然引出加法交换律）案例中,学生的发言无疑是精彩的，然而，这一切的精彩何尝又不是源于那段深入的思维空间，正是那‚静静的几分钟‛给了学生细细品味，独立思考的空间，学生的智慧才能淋漓尽致地发挥，学生的个性才能充分地展现。
也惟有如此，数学教学才会真正提升学生的数学思维能力。
二、等一等，给学生一个充分交流的空间有效的课堂交流，应该是学生在独立思考的前提下，与他人交换意见，感受同伴解决问题的思路和方法，并在此基础上对自己已有的学习结果进行自我调整和修正，生成新的体验。
从这个意义上说，交流的过程应该是学生相互补充、相互接纳的过程，是对学习内容进行深加工和重组知识的过程，是学生的认知不断走向深入，思维水平不断提升的过程。
不同的学生在学习、探索知识的过程中，会出现各种差异。
这时教师应该耐心地等一等，给他们充分交流的空间。
在交流的过程中，学生的思维不断地被激活，经验不断地被唤醒，思路就会从模糊走向明朗。
如教学‚循环小数‛一课时，在通过计算揭示‚循环小数‛的概念后，出示了以下几个小数让学生判断哪些是循环小数：①3.05656……②5.242424 ③0.518518……④3.1415926……⑤67676767.67⑥0.314413……⑦20.77……为了让学生的交流更深入、更有效，我引领学生进入了这样一段交流的过程：（1）师：请每一位同学都独立思考，把你认为是循环小数的数写在作业本上。
（2）学生静静地思考、写数。
（3）写好后，师：在这些数中，你认为哪些数容易出错，你想提醒大家注意什么？请每一个同学整理自己的思路，准备小组交流、汇报。
准备时，想一想，用哪几句话既能表达清楚自己的观点，又能让别人听明白；在判断过程中自己有什么困惑，怎样请教组内同学。
（4）学生自主准备。
（5）师：下面我们先在小组里交流，交流时老师也有一个要求：小组内的同学一个一个轮流说，听不懂要问，前面同学已经说过的内容，后面的同学就尽可能不要重复说。
（6）现在以四人为一个小组进行交流。
（7）小组交流几分钟后，师：请同学们暂停一下，通过刚才的交流，你们认为判断一个小数是不是循环小数的依据是什么？在循环小数的概念中你们认为哪些词比较重要？在小组里整理成果，准备向全班同学汇报。
要求：确定一个同学记录小组的成果，要记录：①你们小组的观点；②你们组准备向全班同学报告哪些成果，说哪几句话。
同时确定一个同学代表你们组向全班汇报。
（8）学生继续小组交流。
（9）师：现在进行全班交流。
在全班交流过程中，每个小组要记录你们组没有想到的内容。
……全班交流时学生思维的碰撞、观点的交锋、灵感的迸发已无需赘述，但这一切又何尝不是在进一步说明交流前应留有充足的时间与空间，让学生独立思考。
只有建立在独立思考的基础上，学生对所交流的问题有较深层次的认识，才能不断地将自己的思维与同伴进行充分交流，并在交流中进行比较、辨别、扬弃。
三、等一等，给学生一个有效操作的过程在数学课堂上，我们经常可以看到学生通过动手操作来学习新知。
然而遗憾的是，目前课堂上很多的操作活动仅仅停留在实际操作的层面，没有能够使学生通过活动实现‚内化‛，也就没有能真正促进学生的数学思维。
在操作中，应处理好‚动‛与‚思‛的关系：‚思‛是‚动‛的基础和指向，‚动‛是‚思‛的表达和深化。
‚动‛前有‚思‛，学生才能对即将开展的活动进行有意识的观察、实验、猜想、推理，并主动探索问题的答案。
而‚动‛后有‚思‛，则能及时地总结提炼活动中的数学思考过程和规律，促使学生对数学知识有深刻的感悟，建构起相应的数学知识及认知结构。
因此，在数学课堂中让我们等一等，给学生一个静心思考、独立操作的过程，实现‚动而有效‛的理想境界。
如苏教版课程标准数学实验教材一年级（下册）‚退位减‛的教学。
教师出示主题图，学生解读图意，列出算式60－34后，让学生取出学具进行操作得出60－34的计算方法。
学生在思考后动手，出现了两种不同的做法：（1）在十位拨6颗算珠，表示60。
然后拨去3颗，再拨去1颗算珠换成个位上的10颗算珠，最后在个位上拨去4颗算珠。
结果是26。
（2）先摆6捆小棒（1捆10根），然后拿掉3捆，又把1捆小棒换成10根，从10根里面拿掉4根，最后就剩26根小棒。
当学生出现用两种不同的学具操作后，师：两个同学用的学具不一样，但是他们在操作时有一步却是相同的，你发现了吗？（学生应该不难发现两次操作都有一个‚换‛的动作：其中一个是将十位上的1颗算珠换作个位上的10颗算珠，另一个是将1捆小棒换成10根小棒。
）师追问：为什么都要换？以此促使学生对‚退1‛的原因进行理性思考。
而后，让学生将60 - 34写成竖式，引导观察并提问：‚你认为在笔算60 - 34的时候，需要像我们在操作时那样‘换’吗？怎样‘换’？‛让学生把操作中积累的经验迁移到笔算中，促使他们把直观的操作活动向内在的思维活动转化，真正理解‚退1作10‛。
这一案例中，以操作为载体，以促进学生的数学思考为目的。
整个过程中，既有‚看得见、摸得着‛的学生行为活动的生动，更有经过静静思考后学生头脑中‚看不见、摸不着‛的思维活动的深刻，较好地实现了外显活动与内隐活动、操作活动与思维活动的和谐统一。
四、等一等，给学生一个扎实训练的机会练习是小学数学教学的重要组成部分，是学生学习过程中不可缺少的重要环节，是学生掌握知识、形成技能、发展智力的主要手段，是提高学生运用知识解决简单实际问题能力的有效方法，是教师了解学生知识掌握情况的主要途径，高质量的课堂教学必须有较高的练习质量作基础。
但在目前的实际教学中，很多教师对学生独立练习功能认识不到位或重视不够，特别是在众多的教学观摩课中，很难看到会有老师能安排几分钟让学生有机会静静地做几道题。
《数学课程标准》虽然提出了采用多样的练习形式，呈现生动有趣的素材，以满足多样化的学习需求，练习设计应努力做到内容和呈现形式的丰富多彩等要求，但这并不表示让学生在课堂上静静地做几道题其价值和作用的消失，相反，不管时下的课堂练习承载多少新的理念、附加多少新的功能，让学生静静地做几道题——当堂动笔进行扎实的训练其作用和地位永远都是不可替代、无可动摇的。
因为学生学习知识过程中问题的发现、学生训练参与度的保证、信息的真实、反馈的及时、高效等无不以此为最为有效的方式。
那种只求形式的花样翻新，练习如蜻蜓点水、走马观花式的所谓训练，只会走向小学数学教育目标的反面。
因此，在数学课堂中，让我们给学生一个独立练习的机会，完善学生的认知，构建完整的知识体系。
所谓，等待是一种期望、是一种鼓励。
课堂上，需要我们多一些等待。
多一些等待，学生就多一些自主探索的经历和体会，多一些对问题的思考；多一些等待，学生就多一些与他人交流合作的机会，多一些知识的理解和感悟……学会等待应该成为我们教育工作者的一种意识、一种追求、一种职业自觉；学会等待，你的心中就装下了每一位学生；学会等待，你的课堂就会充满灵气和活力。
主要参考文献：[1] 王文英“把学生的思维引向深入”，《小学数学教学网》2007年3月。
[2] 杨晓荣“让数学课堂静一静”。
[3] 朱德江“拓展练习功能提高练习实效”，《小学数学教育》2003年第9期。
[4]张明“老师，让我们多想一想”，《小学数学教学网》2007年6月。