【好题】高二数学上期中试题含答案(1)
江苏2022学年高二数学上学期中测试卷(含答案解析)
江苏地区2021~2022学年高二上期中测试数学卷测试时间：120分钟满分：150分一、单选题1.设x∈R，则“ x2−5x<0”是“ |x−1|<1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】由|x−1|<1得，0<x<2由x2−5x<0得0<x<5由“小范围”推出“大范围”得出0<x<2可推出0<x<5故“ 0<x<5”是“ |x−1|<1”的必要而不充分条件.故答案为：B【分析】根据集合的包含关系以及充分必要条件的定义，再由“小范围”推出“大范围”判断即可.2.不等式2x+1<1的解集是（）．A．(−∞,−1)B．(1,+∞)C．(−∞,−1)∪(1,+∞)D．(−1,1)【答案】C【考点】其他不等式的解法【解析】由题意，不等式2x+1<1，可化为2x+1−1=1−xx+1<0，即x−1x+1>0，解得x<−1或x>1，即不等式2x+1<1的解集是(−∞,−1)∪(1,+∞).故答案为：C．【分析】化简不等式为x−1x+1>0，结合分式不等式的解法，即可求解.3.已知数列{a n}中，a1=2，a n=1−1a n−1(n≥2)，则a2021等于（）A． -1B．−12C．12D．2【答案】C【考点】数列递推式【解析】因为a1=2，所以a2=1−1a1=12,a3=1−1a2=−1,a4=1−1a3=2,......所以a n+3=1−1a n+2=1−11−1a n+1=1−11−11−1an=1−11−a na n−1=1−a n−1−1=a n，所以{a n}是周期为3的周期数列，所以a2021=a3×673+2=a2=12，故答案为：C．【分析】先计算出{a n}的前几项，然后分析{a n}的周期性，根据周期可将a2021=a3×673+2= a2，结合a1=2求解出结果.4.已知a>b>c，ac>0，则下列关系式一定成立的是（）A．c2>bc B．bc(a−c)>0C．a+b>c D．a2>b2【答案】B【考点】不等式的基本性质【解析】ac>0，∴a,c同号，又a>b>c，从而a,b,c同号，所以bc>0，而a−c> 0，所以bc(a−c)>0，B符合题意．c>0时，A不符合题意，a<0时，C,D都错．故答案为：B．【分析】根据不等式性质求解．5.我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤”，若该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重多少斤？A．6斤B．7斤C．9斤D．15斤【答案】D【考点】等差数列的前n项和【解析】因为每一尺的重量构成等差数列{a n}，a1=4，a5=2，∴a1+a5=6，数列的前5项和为S5=5×a1+a52=5×3=15．即金锤共重15斤，故答案为：D．【分析】直接利用等差数列的求和公式求解即可.6.已知各项均为正数的等比数列{a n}中，a2=2，a5=2a4+3a3，则a6=（）A．2B．54C．162D．243【答案】C【考点】等比数列的通项公式【解析】设等比数列{a n}的公比为q(q>0)，由题意可得{a1q=2a1q4=2a1q3+3a1q2，解得q=3，∴a6=a2q4=162.故答案为：C【分析】由题意可得{a1q=2a1q4=2a1q3+3a1q2，解可得q的值，结合等比数列的通项公式分析可得答案.7.已知等差数列{a n}的公差为d，关于x的不等式dx2+2a1x≥0的解集为[0,9]，则使数列{a n}的前n项和S n取得最大值的正整数n的值为（）A．4B．5C．6D．7【答案】B【考点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系【解析】∵关于x的不等式dx2+2a1x≥0的解集为[0,9]，∴0，9分别是一元二次方程dx2+2a1x=0的两个实数根，且d<0．∴−2a1d=9，可得：2a1+9d=0，∴a1=−9d2．∴a n=a1+(n−1)d=(n−11d2)，可得：a5=−d2>0，a6=d2<0．∴使数列{a n}的前n项和S n最大的正整数的值是5．故答案为：B．【分析】关于x的不等式dx2+2a1x≥0的解集为[0,9],可得:0，9分别是一元二次方程dx2+2a1x=0的两个实数根，且d<0，可得−2a1d =9，a1=−9d2，于是a n=a1+(n−1)d=(n−11d2)即可判断出结论.8.设S n是数列{a n}的前n项和，满足a n2+1=2a n S n，且a n>0，则S100=（）A．10B．3√11C．10−3√11D．11【答案】A【考点】数列递推式【解析】∵a n2+1=2a n S n∴a12+1=2a1S1∴a12=1∵a n>0∴a1=1∵a n2+1=2a n S n∴(S n−S n−1)2+1=2(S n−S n−1)S n,(n≥2)∴S n2−S n−12=1,(n≥2)因此数列{S n2}为等差数列，首项为1，公差为1，即S n2=1+(n−1)⋅1=n∵a n>0∴S n>0∴S n=√n∴S100=10故答案为：A【分析】首先求出数列的首项，进一步利用数列的递推关系式的应用整理出S n2−S n−12= 1,(n≥2)(常数),最后求出数列的通项公式，进一步确定结果.二、多选题9..关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为(−∞,−2)∪(3,+∞)，则下列正确的是（）A．a<0B．关于x的不等式bx+c>0的解集为(−∞,−6)C．a+b+c>0D ． 关于x 的不等式 cx 2−bx +a >0 的解集为 (−∞,−13)∪(12,+∞)【答案】 A,C,D【考点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系【解析】【解答】A ．由已知可得 a <0 且 −2,3 是方程 ax 2+bx +c =0 的两根，A 符合题意，B ．由根与系数的关系可得： {−2+3=−ba −2×3=c a，解得 b =−a,c =−6a ，则不等式 bx +c >0 可化为： −ax −6a >0 ，即 x +6>0 ，所以 x >−6 ，B 不符合题意，C ．因为 a +b +c =a −a −6a =−6a >0 ，C 符合题意，D ．不等式 cx 2−bx +a >0 可化为： −6ax 2+ax +a >0 ，即 6x 2−x −1>0 ，解得 x >12 或 x <−13 ，D 符合题意， 故答案为：ACD ．【分析】 先由已知可得a <0且b =−a,c =−6a ，然后代入各个选项验证是否正确即可得出答案.10.当 x ≥1 时，下列函数的最小值为4的有（ ） A ． y =4x +1x B ． y =4x 2−4x+52x−1C ． y =x 2+5√x 2+1D ． y =5x −1x【答案】 B,C,D 【考点】平均值不等式【解析】【解答】A ．根据对勾函数的单调性可知： y =4x +1x 在 [1,+∞) 上单调递增，所以函数最小值为： 4×1+11=5 ，故不符合；B ． y =4x 2−4x+52x−1=(2x−1)2+42x−1=(2x −1)+42x−1≥2√(2x −1)⋅42x−1=4 ，取等号时 {2x −1=42x−1x ≥1，即 x =32，所以函数的最小值为4，故符合； C ． y =2√x 2+1=2√x 2+1=√x 2+1+√x 2+1≥2√√x 2+1⋅√x 2+14 ，取等号时 {√x 2+1=√x 2+1x ≥1，即 x =√3 ，所以函数的最小值为4，故符合； D ． y =5x −1x 在 [1,+∞) 为单调递增函数，所以函数的最小值为 5×1−1×1=4 ，故符合；故答案为：BCD ．【分析】 直接利用不等式的性质和均值不等式的应用和函数的单调性判断A 、B 、C 、D 的结论.11.设首项为1的数列{a n}的前n项和为S n，已知S n+1=2S n+n−1，则下列结论正确的是（）A．数列{S n+n}为等比数列B．数列{a n}的通项公式为a n=2n−1−1 C．数列{a n+1}为等比数列D．数列{2S n}的前n项和为2n+2−n2−n−4【答案】A,D【考点】等比数列的通项公式，等比数列的前n项和，等比关系的确定【解析】因为S n+1=2S n+n−1，所以S n+1+n+1S n+n =2S n+2nS n+n=2．又S1+1=2，所以数列{S n+n}是首项为2，公比为2的等比数列，A符合题意；所以S n+n=2n，则S n=2n−n．当n≥2时，a n=S n−S n−1=2n−1−1，但a1≠21−1−1，B不符合题意；由a1=1,a2=1,a3=3可得a1+1=2,a2+1=2,a3+1=4，即a3+1a2+1≠a2+1a1+1，C不符合题意；因为2S n=2n+1−2n，所以2S1+2S2+...+2S n=22−2×1+23−2×2+...+2n+1−2n=22+23+...+2n+1−2(1+2+...+n)=4(1−2n)1−2−2[n+n(n−1)2]=2n+2−n2−n−4所以数列{2S n}的前n项和为2n+2−n2−n−4，D符合题意．故答案为：AD．【分析】首先由上来的递推公式代入数值即可得出数列数列{S n+n}是等比数列，结合等比数列的通项公式即可得出数列{a n}的前n项和公式，再由数列前n项和公式与项之间的关系即可得出数列{a n}的通项公式，由数列的通项公式即可得出该数列为等比数列，借助等比数列的前n项和公式整理即可得出数列{2S n}的前n项和公式；由此对选项逐一判断即可得出答案.12.已知{a n}为等比数列，下列结论正确的是（）A．若a3=−2，则a22+a42≥8B．a32+a52≥2a42C．若a3=a5，则a1=a2D．若a5>a3，则a7>a5【答案】A,B,D【考点】基本不等式，等比数列的性质【解析】【解答】A．因为a22+a42≥2a2a4=2a32=8，取等号时a2=a4=±2，故正确；B．因为a32+a52≥2a3a5=2a42，取等号时a3=a5，故正确；C．设等比数列的公比为q，因为a3=a5，所以q2=a5a3=1，所以q=±1，当q=−1时，a1=−a2，故错误；D．设等比数列的公比为q，因为a5>a3且q2>0，所以a5⋅q2>a3⋅q2，所以a7> a5，故正确；故答案为：ABD．【分析】对于A,利用基本不等式及等比数列的性质即可判断得解；对于B,利用基本不等式及等比数列的性质即可判断得解；对于C,由a3=a5，得q=±1，当q=−1时，a1=−a2可判断C；由a5>a3且q2>0，所以a5⋅q2>a3⋅q2，所以a7>a5，即可判断D.三、填空题13..命题“ ∃x>0，x3+x<0”的否定为1．【答案】∀x>0，x3+x≥0【考点】命题的否定【解析】【解答】解：命题“ ∃x>0，x3+x<0”的否定为“ ∀x>0，x3+x≥0” 故答案为：∀x>0，x3+x≥0．【分析】特称命题的否定是全称命题，直接写出结果即可.14..已知实数x，y满足y>32且6xy−9x+2y−4=0，则3x+y的最小值是1.【答案】2√2+12【考点】基本不等式【解析】由6xy−9x+2y−4=0，可得y=9x+46x+2，∵y>32，∴9x+46x+2>32，解不等式可得，x>−13，则3x+y=3x+9x+46x+2=3x+3(3x+1)+12(3x+1)=3x+12(3x+1)+32，=3x+1+12(3x+1)+12⩾2√12+12=√2+12，当且仅当3x+1=12(3x+1)即x=√2−26时上式取等号，∴3x+y的最小值是√2+12，故答案为√2+12．【分析】由6xy-9x+2y-4=0，化为y=9x+46x+2，根据y>32求出x的取值范围，把3x+y化为只含有x的式子，根据x的取值范围求出3x+y的最小值.15..数列 {a n } 满足 a 1+2a 2+22a 3+⋅⋅⋅+2n−1a n =12n 2−72n ，若对任意 λ>0 ，所有的正整数n 都有 λ2−kλ+2>a n 成立，则实数k 的取值范围是 1 ． 【答案】 (−∞,√312)【考点】基本不等式，数列的函数特性【解析】【解答】记 b n =2n−1a n ，设 S n =a 1+2a 2+222a 3+⋅⋅⋅+2n−1a n =12n 2−72n ， 当 n =1 时， b 1=12−72=−3 ；当 n ≥2 时， b n =S n −S n−1=12n 2−72n −[12(n −1)2−72(n −1)]=n −4 ． 当 n =1 时， b 1=−3 也满足上式，所以 b n =n −4(n ∈N *) ，即 a n =n−42n−1 ． 显然当 n ≤3 时， a n <0 ， a 4=0 ，当 n ≥5 时， a n >0 ，因此 a n 的最大值若存在，必为正值． 当 n ≥5 时，a n+1a n=n−32(n−4) ，因为a n+1a n−1=5−n 2(n−4)≤0 ，当且仅当 n =5 时取等号．所以 a n 的最大值为 116．故 λ2−kλ+2>(a n )max =116，变形得， k <λ+3116λ，而 λ+3116λ≥2√3116=√312，当且仅当 λ=√314时取等号，所以 k <√312．故答案为： (−∞,√312) ．【分析】 先由题设求得a n ,然后利用数列的单调性求得其最大值，把对任意λ> 0，所有的正整数n 都有λ2−kλ+2>a n 成立转化为k <λ+3116λ， 对任意λ> 0恒成立，再利用基本不等式求得λ+3116λ的最小值，即可得到答案.16.已知数列 {a n } 满足： a n ={12,(n =1)[1+2⋅(−1)λ]a n−1+2(n ≥2) ， {a n } 的前 n 项和为 S n ，则当 λ=1 时， S 11= ________；当 λ=2 时，数列 {a n } 的通项公式为 a n = ________. 【答案】212；a n =3n 2−1【考点】数列的函数特性，数列的求和【解析】【解答】当 λ=1 时， a n =−a n−1+2 ，即 a n +a n−1=2 ，所以 S 11=(a 11+a 10)+(a 9+a 8)+(a 7+a 6)+(a 5+a 4)+(a 3+a 2)+a 1=2×5+12=212，λ=2 时， a n =3a n−1+2 ， 所以有 a n +1=3(a n−1+1) ，所以{a n+1}是以a1+1=32为首项，以3为公比的等比数列，所以a n+1=32⋅3n−1，所以a n=3n2−1，故答案为：①212；②a n=3n2−1.【分析】根据题意分情况讨论；当λ=1时，由数列的通项公式整理即可得出a n+a n−1=2结合已知计算出结果即可；当λ=2时，整理数列的通项公式即可得出a n+1=3(a n−1+1)进而得出数列{a n+1}为等比数列，由等比数列的通项公式即可求出a n+1=32⋅3n−1整理即可得到a n=3n2−1，从而得出答案.四、解答题17.已知关于x的不等式ax2−2x+a<0的解集为空集，函数f(x)=x+22x+1+m在x∈(−12,+∞)上的值域为B．（1）.求实数a的取值集合A及函数f(x)的值域B；（2）.对（1）中的集合A，B，若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【答案】（1）1°若a=0，则−2x<0不符合；2°若a>0，则Δ=4−4a2≤0，则a≤−1或a≥1，∴a≥1；3°若a<0不成立；综上，a≥1，∴A=[1,+∞)．令t=2x+1∈(0,+∞)，则x=t−12．∴g(t)=t−12+2t+m=t2+2t+m−12≥2√t2⋅2t+m−12．当且仅当t2=4即t=2时等号成立，此时g(t)min=32+m．∴B=[32+m,+∞)．（2）∵x∈A是x∈B的必要不充分条件，∴B是A的真子集，则32+m>1，解得m>−12．【考点】集合关系中的参数取值问题，基本不等式【解析】【分析】(1)通过讨论a的范围,求出集合A,根据函数的单调性求出B即可;(2)求出B是A的真子集,得到关于m的不等式，求出m的范围即可.18.已知正项等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3=12，且2a1,a2,a3+1成等比数列.（1）.求{a n}的通项公式；（2）.设b n=a n3n，记数列{b n}的前n项和为T n，求T n【答案】（1）设公差为d，则∵S3=12，，即a1+a2+a3=12，∴3a2=12，∴a2=4，又∵2a 1 ， a 2 ， a 3+1成等比数列，∴a 22=2（a 2-d ）（a 2+d+1），解得d=3或d=-4（舍去）， ∴a n =a 2+（n -2）d=3n -2 （2）b n =a n 3n =3n−23n，∴ T n =1×13+4×132+7×133+⋯+(3n −2)×13n①①× 13得 13T n =1×132+4×133+7×134+⋯+(3n −5)×13n +(3n −2)×13n+1②①-②得 23T n =13+3×132+3×133+⋯+3×13n −(3n −2)×13n+1 =13+3×132×(1−13n−1)1−13−(3n −2)×13n+1=56−12×13n−1−(3n −2)×13n+1，∴ T n =54−14×13n−2−3n−22×13n =54−6n+54×13n ．【考点】数列的求和，等差数列的性质，等比数列的性质【解析】 (1)利用等差数列的性质以及S 3=12求出a 2=4，再由 2a 1,a 2,a 3+1 成等比数列求出公差即可求 {a n } 的通项公式； (2)把(1)的结论代入 b n =a n 3n,再利用错位相减法求T n .19..小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本3万元，每生产x 万件时，该产品需另投入流动成本 W(x) 万元．在年产量不足8万件时， W(x)=13x 2+x ，在年产量不小于8万件时， W(x)=6x +100x−38 ．每件产品的售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完，设年利润为 L(x) （单位：万元）．（1）.若年利润 L(x) （单位：万元）不小于6万元，求年产量x （单位：万件）的范围． （2）.年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】 （1）由题意得： L(x)=5x −W(x)−3当 x ∈(0,8) 时， L(x)=5x −(13x 2+x)−3=−13x 2+4x −3 ．∴ −13x 2+4x −3≥6 ，整理得： x 2−12x +27≤0 ，解得 3≤x ≤9 ．又∵ x ∈(0,8) ，∴ 3≤x <8 ． 当 x ∈[8,+∞) 时， L(x)=5x −(6x +100x−38)−3=35−(x +100x) ，∴ 35−(x +100x)≥6 ，整理得 x 2−29x +100≤0 ，解得 4≤x ≤25 ，又∵ x ∈[8,+∞) ，∴ 8≤x ≤25 ． 综上，x 的取值范围为 3≤x ≤25 ．（2）由（1）可知当 x ∈(0,8) 时， L(x)=−13x 2+4x −3=−13(x −6)2+9 ． ∴当 x =6 时， L(x)max =9 ． 当 x ∈[8,+∞) 时， L(x)=35−(x +100x)≤35−2√x ⋅100x=15 ．当且仅当 x =100x即 x =10 时， L(x)max =15 ．∵9<15，∴年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获得利润最大，且最大利润是15万元．【考点】二次函数的性质，根据实际问题选择函数类型，基本不等式【解析】(1)由题意可知L(x)=5x−W(x)−3，分段求出L(x)的解析式，令L(x)≥6,即可求出x的取值范围；(2)由(1)可知当x∈(0,8)时L(x)=5x−(13x2+x)−3=−13x2+4x−3，利用二次函数的性质求出L(x)的最大值，当x∈[8,+∞)时L(x)=5x−(6x+100x−38)−3=35−(x+ 100x)，利用基本不等式求出L(x)的最大值，再比较两者的大小，较大者即为L(x)的最大值.20.设函数f(x)=ax2−(3a+2)x+6．（1）.若f(x)>(a−2)x2−(a+1)x+1在x∈[−1,+∞)恒成立，求实数a的取值范围；（2）.解关于x的不等式ax2−(3a+2)x+6>0．【答案】（1）∵f(x)>(a−2)x2−(a+1)x+1，∴2x2−(2a+1)x+5>0在x∈[−1,+∞)恒成立．令g(x)=2x2−(2a+1)x+5，则g(x)的最小值大于0，1°当2a+14≤−1，则a≤−52，x=−1时，g(x)min=g(−1)=8+2a>0，则a>−4，∴−4<a≤−522°当2a+14>−1，则a>−52，x=2a+14时，g(x)min=g(2a+14)>0，即Δ=(2a+1)2−40<0，∴−2√10<2a+1<2√10，−2√10−12<a<2√10−12，∴−52<a<2√10−12．综上−4<a<2√10−12．（2）1°当a=0时，则−2x+6>0，∴x<32°当a>0时，Δ=(3a+2)2−24a=(3a−2)2≥0，所以(ax−2)(x−3)>0，方程根为x1=2a或x2=3，①2a <3，即a>23时，x<2a或x>3；②2a >3，即0<a<23时，x<3或x>2a；③2a =3，即a=23时，x≠3．3°当a<0时，则x1=2a ，x2=3，∴2a<x<3．综上， a <0 解集为 (2a ,3) ； a =0 解集为 (−∞,3) ； 0<a <23 解集为 (−∞,3)∪(2a ,+∞) ； a =23 解集为 {x ∣x ≠3} ； a >23 解集为 (−∞,2a )∪(3,+∞) ． 【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值【解析】【分析】 (1)将不等式化简归零,然后构造函数,研究函，数的单调性，令该函数的最小值大于零即可;(2)求出不等式对应方程的两个根，然后讨论两个根的大小结合函数的单调性求出不等式的解.21.设数列 {a n } 的前n 项和为 S n ，满足 S n +a n =An 2+Bn +1 ．且 a 1=1 ， a 2=32 ．（1）.求证：数列 {a n −n +1} 是等比数列并求数列 {a n } 的通项公式；（2）.令 b n =1a n −n+1 ，求数列 {b n(b n +1)(b n+1+1)} 的前n 项和 T n ，若对任意n 都有 T n >m ，求实数m 的取值范围．【答案】 （1）解：分别令 n =1、2 ，代入条件，得 {2a 1=A +B +12a 2+a 1=4A +2B +1又 a 1=1 ， a 2=32 ，解得 A =12 ， B =12 ． ∴ a n +S n =12n 2+12n +1 ，n ≥2 时， a n−1+S n−1=12(n −1)2+12(n −1)+1 ，∴ 2a n −a n−1=12(2n −1)+12=n ，∴ a n−1=2a n −n ，∵ a 1−1+1=1≠0 ，∴ a n −n+1a n−1−(n−1)+1=a n−n+12a n −2n+2=12 （常数）． ∴ {a n −n +1} 为等比数列且首项为1，公比为 12 ， ∴ a n −n +1=(12)n−1 ，∴ a n =n +(12)n−1−1 ． （2）b n =1an −n+1=2n−1 ∴ b n (b n +1)(b n+1+1)=2n−1(2n−1+1)(2n +1)=12n−1+1−12n +1 ∴ T n =(120+1−121+1)+(121+1−122+1)+(122+1−123+1)+⋅⋅⋅+(12n−1+1−12n +1)=12−12n +1又∵ T n 在 n ∈N ∗ 递增，∴ n =1 时， (T n )min =12−13=16 ．∴ m <16 ．【考点】数列的求和，数列递推式【解析】(1)根据数列的递推关系和等比数列的定义及通项公式可求出通项公式；(2)利用裂项相消法求出数列的和，进步利用恒成立问题的应用和函数单调性求出参数的范围.22.设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，已知数列{a n}满足na n+1−(n+ 1)a n=1(n∈N∗)，且a1=1．（1）.求数列{a n}的通项公式；（2）.求λ的值使数列{√4S n+4n+λ}为等差数列；（3）.数列{b n}满足b n=14S n−1，T n为数列{b n}的前n项和，是否存在正整数m，k(1< m<k)，使得T k=3T m2？若存在，求出m，k的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）na n+1−(n+1)a n=1，两边同时除以n(n+1)得：a n+1 n+1−a nn=1n−1n+1，从而有：a nn −a n−1n−1=1n−1−1n，……，a22−a11=1−12．叠加可得：a nn −a11=1−1n，a n=2n−1(n≥2)．又n=1满足等式，从而a n=2n−1．（2）因为a n+1−a n=2，所以{a n}是首项为1，公差为2为等差数列，所以S n=n+n(n−1)2×2=n2，假设√4S1+4+λ，√4S2+8+λ，√4S3+12+λ成等差数列，所以2√4S2+8+λ= √4S1+4+λ+√4S3+12+λ，解得λ=1．检验当λ=1时，√4S n+4n+λ=2n+1，√4S n+1+4(n+1)+λ=2n+3，√4S n+1+4(n+1)+λ−√4S n+4n+λ=2，∴当λ=1时，{√4S n+4n+λ}为等差数列．（3）∴b n=14n2−1=12(12n−1−12n+1)，∴T n=b1+b2+⋅⋅⋅+b n，=12[(1−13)+(13−15)+⋅⋅⋅+(12n−3−12n−1)+(12n−1−12n+1)]，=12(1−12n+1)=n2n+1，若T k=3T m2，则k2k+1=3m2(2m+1)2，整理得k=3m24m+1−2m2，又k>m>1，∴{3m24m+1−2m2>mm>1，整理得{2m2−m−14m+1−2m2>0m>1，解得1<m<1+√62又m∈N∗，∴m=2，∴k=12∴存在m=2，k=12满足题意【考点】数列的求和，等差数列的性质【解析】(1)直接利用关系式的变换的应用和叠加法的应用求出数列的通项公式；(2)利用关系式的变换和存在性问题的应用求出参数的值；(3)利用裂项相消法和存在性问题的应用求出结果.。
高二上学期期中考试数学试卷含答案
高二级上学期期中考试题数学本试卷共8页，22小题，满分150分，考试时间120分钟。
第一部分选择题（共60分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知直线l 1：2x ＋my ＝2，l 2：m 2x ＋2y ＝1，且l 1⊥l 2，则m 的值为( )A ．0B ．－1C ．0或1D ．0或－12．若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为( )A.2π B ．22π C ．2πD ．4π3．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°4．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A B C D 5．下列命题中，正确的是( )A ．任意三点确定一个平面B ．三条平行直线最多确定一个平面C ．不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行D ．一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行6．已知M (3，23)，N (－1，23)，F (1，0)，则点M 到直线NF 的距离为( )A. 5 B ．23 C ． 22D ．3 37．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A ．20πB ．16πC ．32πD ．24π8．直线:20l x y ++=分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上， 则ABP △面积的取值范围是（ ） A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.9．若220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，则实数a 的值可以是( ) A ．1B ．2C ．3D ．410．已知,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A ．若//m n m α⊥，，则n α⊥ B ．若//,m n ααβ⋂=，则//m n C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ D ．若,//,m m n n αβ⊥⊥，则//αβ 11．若直线过点(1,2)A ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程可能为( ) A ．10x y -+=B ．30x y +-=C ．20x y -=D ．10x y --=12．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，侧面PCD ⊥平面ABCD ，BC =CD PC PD ===.若点M 为PC 的中点，则下列说法正确的为（ ）A ．BM ⊥平面PCDB ．//PA 面MBDC ．四棱锥M ABCD -外接球的表面积为36π D ．四棱锥M ABCD -的体积为6第二部分非选择题（90分）三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.13．命题“20210x x x ∃<-->，”的否定是______________．14．已知直线l 1的方程为23y x =-+，l 2的方程为42y x =-，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，则直线l 的斜截式方程为________________．15．若直线:l y kx =与曲线:1M y =+有两个不同交点，则k 的取值范围是________________．16．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S -ABC 的体积为9，则球O 的体积为____________．四、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．(本小题满分10分)已知直线l 1的方程为x ＋2y －4＝0，若l 2在x 轴上的截距为32，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1与l 2的交点坐标；(2)已知直线l 3经过l 1与l 2的交点，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求l 3的方程．18．(本小题满分12分)四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝12CD ＝1，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD ＝ 3.(1)求证：PD ⊥AB ；(2)求四棱锥P-ABCD 的体积．19．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心坐标为(a ，0)，且圆C 与y 轴相切． (1)已知a ＝1，M (4，4)，点N 是圆C 上的任意一点，求|MN |的最小值；(2)已知a ＜0，直线l 的斜率为43，且与y 轴交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.若直线l 与圆C 相离，求a 的取值范围．20．(本小题满分12分)在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，点D 是线段AB 上的动点．(1)当点D 是AB 的中点时，求证：AC 1∥平面B 1CD ；(2)线段AB 上是否存在点D ，使得平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1？若存在，试求出AD 的长度；若不存在，请说明理由．21. (本小题满分12分) 如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，060ABC ∠=，FA ⊥平面ABCD ，//,2 2.FA ED AB FA ED ===求二面角F BC A --的大小的正切值；求点E 到平面AFC 的距离；求直线FC 与平面ABF 所成的角的正弦值.22. (本小题满分12分)已知圆22+=9：O x y ，过点()0,2P -任作圆O 的两条相互垂直的弦AB 、CD ，设M 、N 分别是AB 、CD 的中点，（1）直线MN 是否过定点? 若过，求出该定点坐标，若不过，请说明理由； （2）求四边形ACBD 面积的最大值，并求出对应直线AB 、CD 的方程.高二级上学期期中考试题 数学答案及说明一、选择题：1.D ，2.A ，3.C ，4.B ，5.C ，6.B ，7.D ，8.A ，9.BCD ，10.ACD ，11.ABC ，12.BC.二、填空题：13.0x ∀<，2210x x --≤；14.y ＝－2x －2；15.13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭；16.36π.题目及详细解答过程：一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1．已知直线l 1：2x ＋my ＝2，l 2：m 2x ＋2y ＝1，且l 1⊥l 2，则m 的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．0或1 D ．0或－1 解析：因为l 1⊥l 2，所以2m 2＋2m ＝0，解得m ＝0或m ＝－1. 答案：D2．若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为( ) A.2π B ．22π C ．2π D ．4π 解析：设底面圆的半径为r ，高为h ，母线长为l ，由题可知，r ＝h ＝22l ，则12(2r )2＝1，r ＝1，l ＝2.所以圆锥的侧面积为πrl ＝2π. 答案：A3．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析：当三棱锥D ABC 体积最大时，平面DAC ⊥平面ABC .取AC 的中点O ，则∠DBO 即为直线BD 和平面ABC 所成的角．易知△DOB 是等腰直角三角形，故∠DBO ＝45°.答案：C4．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A B C D 【答案】B【解析】由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不在第一象限， 则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为(),a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=.由题意可得()()22221a a a -+-=，可得2650a a -+=，解得1a =或5a =，所以圆心的坐标为()1,1或()5,5，圆心到直线的距离均为121132555d ⨯--==； 圆心到直线的距离均为22553255d ⨯--== 圆心到直线230x y --=的距离均为22555d -==； 所以，圆心到直线230x y --=25. 故选：B ．5．下列命题中，正确的是( ) A ．任意三点确定一个平面 B ．三条平行直线最多确定一个平面C ．不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行D ．一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行 解析：由线面垂直的性质，易知C 正确． 答案：C6．已知M (3，23)，N (－1，23)，F (1，0)，则点M 到直线NF 的距离为( ) A. 5 B ．23 C ． 22D ．3 3解析：易知NF 的斜率k ＝－3，故NF 的方程为y ＝－3(x －1)，即3x ＋y －3＝0. 所以M 到NF 的距离为|33＋23－3|（3）2＋12＝2 3. 答案：B7．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A ．20πB ．16πC ．32πD ．24π解析：由题意知正四棱柱的底面积为4，所以正四棱柱的底面边长为2，正四棱柱的底面对角线长为22，正四棱柱的对角线为2 6.而球的直径等于正四棱柱的对角线，即2R ＝2 6.所以R ＝ 6.所以S 球＝4πR 2＝24π. 答案：D8．直线:20l x y ++=分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是（ ） A ．[]26，B ．[]48，C ．232⎡⎤⎣⎦，D ．2232⎡⎤⎣⎦，【答案】A 【解析】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，()()2,0,0,2A B ∴--,则22AB =.点P 在圆22(2)2x y -+=上，∴圆心为（2，0），则圆心到直线的距离1202222d ++==.故点P 到直线20x y ++=的距离2d 的范围为2,32⎡⎤⎣⎦，则[]22122,62ABP S AB d d ==∈△.故答案为A.二、多选题(每题5分，共20分)9．若220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，则实数a 的值可以是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】BCD【解析】：由220x x --<，解得12x -<<．又220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，(1∴-，2)(2-，)a ，则2a ．∴实数a 的值可以是2，3，4．故选：BCD ．10．已知,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A ．若//m n m α⊥，，则n α⊥ B ．若//,m n ααβ⋂=，则//m n C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ D ．若,//,m m n n αβ⊥⊥，则//αβ 【答案】ACD 【解析】若m α⊥，则,a b α∃⊂且a b P =使得m a ⊥，m b ⊥，又//m n ，则n a ⊥，n b ⊥，由线面垂直的判定定理得n α⊥，故A 对； 若//m α，n αβ=，如图，设m AB =，平面1111D C B A 为平面α，//m α，设平面11ADD A 为平面β，11A D n αβ⋂==，则m n ⊥，故B 错；垂直于同一条直线的两个平面平行，故C 对；若,//m m n α⊥，则n α⊥，又n β⊥，则//αβ，故D 对； 故选：ACD ．11．若直线过点(1,2)A ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程可能为( ) A ．10x y -+= B ．30x y +-= C ．20x y -= D ．10x y --=【答案】ABC【解析】：当直线经过原点时，斜率为20210k -==-，所求的直线方程为2y x =，即20x y -=； 当直线不过原点时，设所求的直线方程为x y k ±=，把点(1,2)A 代入可得12k -=，或12k +=，求得1k =-，或3k =，故所求的直线方程为10x y -+=，或30x y +-=； 综上知，所求的直线方程为20x y -=、10x y -+=，或30x y +-=． 故选：ABC ．12．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，侧面PCD ⊥平面ABCD ，23BC =，26CD PC PD ===.若点M 为PC 的中点，则下列说法正确的为（ ）A ．BM ⊥平面PCDB ．//PA 面MBDC ．四棱锥M ABCD -外接球的表面积为36π D ．四棱锥M ABCD -的体积为6 【答案】BC【解析】作图在四棱锥P ABCD -中：为矩形，由题：侧面PCD ⊥平面ABCD ，交线为CD ，底面ABCDBC CD ⊥，则BC ⊥平面PCD ，过点B 只能作一条直线与已知平面垂直，所以选项A错误；连接AC 交BD 于O ，连接MO ，PAC ∆中，OM ∥PA ，MO ⊆面MBD ，PA ⊄面MBD ，所以//PA 面MBD ，所以选项B 正确；四棱锥M ABCD -的体积是四棱锥P ABCD -的体积的一半，取CD 中点N ，连接PN ，PN CD ⊥，则PN平面ABCD ，32PN =，四棱锥M ABCD -的体积112326321223M ABCD V -=⨯⨯⨯⨯=所以选项D 错误.矩形ABCD 中，易得6,3,3AC OC ON ===，PCD 中求得：16,2NM PC ==在Rt MNO 中223MO ON MN =+=即： OM OA OB OC OD ====，所以O 为四棱锥M ABCD -外接球的球心，半径为3， 所以其体积为36π，所以选项C 正确， 故选：BC三、填空题(每题5分，共20分)13．命题“20210x x x ∃<-->，”的否定是______． 【答案】0x ∀<，2210x x --≤【解析】因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题20210x x x ∃<-->，， 则该命题的否定是：0x ∀<，2210x x --≤ 故答案为：0x ∀<，2210x x --≤．14．已知直线l 1的方程为23y x =-+，l 2的方程为42y x =-，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，则直线l 的斜截式方程为________________．解析：由斜截式方程知直线l 1的斜率k 1＝－2，又l ∥l 1，所以l 的斜率k ＝k 1＝－2.由题意知l 2在y 轴上的截距为－2，所以l 在y 轴上的截距b ＝－2.由斜截式方程可得直线l 的方程为y ＝－2x －2.答案：y ＝－2x －215．若直线:l y kx =与曲线()2:113M y x =+--有两个不同交点，则k 的取值范围是________________．解析：曲线M ：y ＝1＋1－（x －3）2是以(3，1)为圆心，1为半径的，且在直线y ＝1上方的半圆．要使直线l 与曲线M 有两个不同交点，则直线l 在如图所示的两条直线之间转动，即当直线l 与曲线M 相切时，k 取得最大值34；当直线l 过点(2，1)时，k 取最小值12.故k 的取值范围是13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 答案：13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭16．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S -ABC 的体积为9，则球O 的体积为____________．解析：如图，连接OA ，OB .由SA ＝AC ，SB ＝BC ，SC 为球O 的直径，知OA ⊥SC ，OB ⊥SC .又由平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，知OA ⊥平面SCB . 设球O 的半径为r ，则OA ＝OB ＝r ，SC ＝2r ，所以三棱锥S ABC 的体积为311323r V SC OB OA ⎛⎫=⨯⋅⋅= ⎪⎝⎭，即r 33＝9.所以r ＝3.所以3344336.33=O V r πππ=⨯=球答案：36π四、解答题(每题5分，共70分)17．(本小题满分10分)已知直线l 1的方程为x ＋2y －4＝0，若l 2在x 轴上的截距为32，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1与l 2的交点坐标；(2)已知直线l 3经过l 1与l 2的交点，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求l 3的方程． 解：(1)设l 2的方程为2x －y ＋m ＝0，..........1分因为l 2在x 轴上的截距为32，所以3－0＋m ＝0，m ＝－3，即l 2：2x －y －3＝0.....3分联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，2x －y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.所以直线l 1与l 2的交点坐标为(2，1)．..........5分 (2)当l 3过原点时，l 3的方程为y ＝12x ..........6分当l 3不过原点时，设l 3的方程为12x y a a +=...........7分 又直线l 3经过l 1与l 2的交点，所以2112a a+=， 得52a =，l 3的方程为2x ＋y －5＝0...........8分 综上，l 3的方程为y ＝12x 或2x ＋y －5＝0...........10分18．(本小题满分12分)四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝12CD ＝1，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝ 3.(1)求证：PD ⊥AB ；(2)求四棱锥P-ABCD 的体积．18.解：(1)证明：因为PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，..........1分又因为AB ⊥AD ，AD ∩PA ＝A ，..........3分 所以AB ⊥平面PAD ，..........4分又PD ⊂平面PAD ，..........5分所以AB ⊥PD ...........6分 (2)解：S 梯形ABCD ＝12(AB ＋CD )·AD ＝332，.......8分又PA ⊥平面ABCD ，..........9分所以V 四棱锥P-ABCD ＝13×S 梯形ABCD ·PA ＝13×332×3＝32...........12分19．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心坐标为(a ，0)，且圆C 与y 轴相切． (1)已知a ＝1，M (4，4)，点N 是圆C 上的任意一点，求|MN |的最小值； (2)已知a ＜0，直线l 的斜率为43，且与y 轴交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.若直线l与圆C 相离，求a 的取值范围．19.解：(1)由题意可知，圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1...........2分又|MC |＝（4－1）2＋（4－0）2＝5，..........4分 所以|MN |的最小值为5－1＝4...........5分(2)因为直线l 的斜率为43，且与y 轴相交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以直线l 的方程为y ＝43x －23.即4x －3y －2＝0..........7分因为直线l 与圆C 相离，所以圆心C (a ，0)到直线l 的距离d ＞r . 则224243a a ->+.........9分又0a <，所以245a a ->-，解得2a >-..........11分 所以a 的取值范围是(－2，0)．.........12分20．(本小题满分12分)在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，点D 是线段AB 上的动点． (1)当点D 是AB 的中点时，求证：AC 1∥平面B 1CD ；(2)线段AB 上是否存在点D ，使得平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1？若存在，试求出AD 的长度；若不存在，请说明理由．20.解：(1)证明：如图，连接BC 1，交B 1C 于点E ，连接DE ，则点E 是BC 1的中点，又点D 是AB 的中点，由中位线定理得DE ∥AC 1，.........1分 因为DE ⊂平面B 1CD ，.........2分AC 1⊄平面B 1CD ，.........3分所以AC 1∥平面B 1CD ..........4分(2)解：当CD ⊥AB 时，平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1........5分 证明：因为AA 1⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ， 所以AA 1⊥CD ..........6分又CD ⊥AB ，AA 1∩AB ＝A ，.........7分所以CD ⊥平面ABB 1A 1，因为CD ⊂平面CDB 1，.........8分 所以平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1，.........9分故点D 满足CD ⊥AB 时，平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1......10分 因为AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，所以AC 2＋BC 2＝AB 2， 故△ABC 是以角C 为直角的三角形， 又CD ⊥AB ，所以AD ＝95..........12分22. (本小题满分12分) 如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，060ABC ∠=，FA ⊥平面ABCD ，//,2 2.FA ED AB FA ED ===求二面角F BC A --的大小的正切值；求点E 到平面AFC 的距离；求直线FC 与平面ABF 所成的角的正弦值.21.解： 作于点G ，连接FG ， 四边形ABCD 是菱形,,，为等边三角形,,-----1分平面ABCD ，平面ABCD ，，又，，平面AFG ，BC FG ∴⊥-----2分 G∴为二面角的平面角，------3分----------------------------4分连接AE ，设点E 到平面AFC 的距离为h ， 则， ----------------------5分即，也就是，--------------------6分解得：； ------------------------------------------------7分(3)作CH AB ⊥于点H ，连接FH ，ABC ∆为等边三角形，H ∴为AB 的中点，221,3,5,AH CH FH FA AH ===+= FA ⊥平面ABCD ，CH ⊂平面ABCD ，FA CH ∴⊥，----8分 又,CH AB AB AF A ⊥⋂=，CH ∴⊥平面ABF ，-----9分CFH ∴∠为直线FC 与平面ABF 所成的角，-------10分36sin 422CH CFH CF ∴∠===．-----------------12分 22.(本小题满分12分)已知圆22+=9：O x y ，过点()0,2P -任作圆O 的两条相互垂直的弦AB 、CD ，设M 、N 分别是AB 、CD 的中点，（1）直线MN 是否过定点?若过，求出该定点坐标，若不过，请说明理由； （2）求四边形ACBD 面积的最大值，并求出对应直线AB 、CD 的方程.22.解：（1）当直线AB CD 、的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为:()()()112220,,,,y kx k A x y B x y =-≠------------1分由2229+=y kx x y =-⎧⎨⎩得：()221450k x kx +--=--------------------2分 点()0,2P -在圆内,故0∆>. 又 1212222422,21211M M Mx x k k x x x y kx k k k +∴+=∴===-=-+++ 即 2222,11kM k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭--------------------3分AB CD ⊥以1k -代换k 得22222,11k k N k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭22222222111.22211MNk k k k k k k k k k -+-++∴==+++---------------4分∴直线MN 的方程为：222212121k k y x k k k -⎛⎫+=- ⎪++⎝⎭化简得2112k y x k-=-，故直线MN 恒过定点()01-，--------------------5分 当直线AB CD 、的斜率不存在或为0时，显然直线MN 恒过定点()01-， 综上，直线MN 恒过定点()01-，--------------------.6分 (2) 解法一:圆心O 到直线AB的距离1d =AB ==分 （或由第（1）问得：21AB x =-==以1k -代换k 得CD =）AB CD ⊥∴以1k -代换k 得:CD =分12ACBD S AB CD ∴=⋅==分14=≤= 当且仅当221,1k k k==±时,取等号,故四边形ACBD 面积的最大值为14，--------------------11分对应直线AB 、CD 分别为2,2y x y x =-=--或2,2y x y x =--=-----------12分 解法二：设圆心O 到直线AB 、CD 的距离分别为12,d d 、则22222211229,9AB r d d CD r d d =-=-=-=---------------------7分AB CD ⊥222124d d OP ∴+==--------------------8分()()()2222121221991821818414ACBD S AB CD d d d d OP ∴=⋅=≤-+-=-+=-=-=--------------------10分当且仅当12d d =，即1k =±时,取等号,故四边形ACBD 面积的最大值为14，--------------------11分对应直线AB 、CD 分别为2,2y x y x =-=--或2,2y x y x =--=---------12分。
2024-2025学年高二上学期期中模拟考试数学试题含解析
2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：沪教版2020必修第三册第十~十一章。
5．难度系数：0.72。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．不重合的两个平面最多有条公共直线【答案】1【解析】根据平面的位置关系可知，不重合两平面平行或相交，当相交时，有且只有一条公共直线.故答案为：12．已知球的表面积是16π，则该球的体积为.3．空间中一个角∠A的两边和另一个角∠B的两边分别平行，若∠A=，则∠B=;【答案】【解析】如图，若角∠A 的两边和角∠B 的两边分别平行，且方向相同，则∠A 与∠B 相等此时70B A ∠=∠=︒；②当角∠A 的两边和角∠B 的两边分别平行，且一边方向相同另一边方向相反，则∠A 与∠B 互补，此时180110B A ∠=︒-∠=︒.故答案为70︒或110︒.4．如图，正三棱柱的底面边长为2，高为1，则直线1B C 与底面ABC 所成的角的大小为（结果用反三角函数值表示）.5．在空间中，给出下面四个命题，其中真命题为．（填序号）①过平面α外的两点，有且只有一个平面与平面α垂直；②若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，则αβ∥；③若直线l 与平面α内的任意一条直线垂直，则l α⊥；④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线．【答案】③【解析】①过平面α外两点可确定一条直线，当这条直线垂直于平面α时，有无数个平面垂直于平面α，故①错误；②若三点在平面α同侧，则αβ∥；若三点在平面α两侧，则α与β相交，故②错误；③直线l 与平面α内的任意一条直线垂直，则l 垂直于平面α内两条相交直线，由线面垂直的判定定理可得l α⊥，故③正确；④两条异面直线在同一个平面内的射影有可能是两条相交直线，也可能是两条平行直线，还可能是一个点和一条直线，故④错误；故答案为：③6．正四棱锥P －ABCD 的所有棱长均相等，E 是PC 的中点，那么异面直线BE 与P A 所成角的余弦值为.连接AC 交BD 于O 点，连接OE ，则OE 因为⊥PO 面ABCD ，所以PO DB ⊥，又因为所以直在角三角形EOB 中，设PA a =，则故答案为：33.7．如图，有一圆锥形粮堆，其轴截面是边长为6m 的正ABC V ，粮堆母线AC 的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B 处，它要沿圆锥侧面到达P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是m .【答案】35【解析】解：由题意得：圆锥的底面周长是6π，则66180n ππ=，解得：180n ︒=可知圆锥侧面展开图的圆心角是180︒，如图所示：则圆锥的侧面展开图中：()3m AP =，6(m)AB =，90BAP ︒∠=所以在圆锥侧面展开图中：()223635m BP =+=故答案为：358．已知一球体刚好和圆台的上、下底面及侧面都相切，且圆台上底面的半径为2，下底面的半径为1，则该圆台的侧面积为．【答案】9π【解析】圆台的轴截面如下图示：截面中圆为内切球的最大圆，且2AF DF AG DH ====，1BE CE BG CH ====，所以3AB CD ==，而上下底面周长分别为4π、2π，故该圆台的侧面积为13(2π4π)9π2⨯⨯+=.故答案为：9π9．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的体积为3，P ，Q ，R 分别为侧棱1AA ，1BB ，1CC 上的点，且1AP CR AA +=，则Q ACRP V -=.则111332Q ACRP V d S d -=⋅⋅=⋅⋅⋅设三棱柱111ABC A B C -的体积故答案为：1.10．已知大小为π6的二面角的一个面内有一点，它到二面角的棱的距离为6，则这个点到另一个面的距离为．11．正方形ABCD 中，E ，F 分别为线段AB ，BC 的中点，连接DE ，DF ，EF ，将ADE V ，CDF V ，BEF △分别沿DE ，DF ，EF 折起，使A ，B ，C 三点重合，得到三棱锥O DEF -，则该三棱锥外接球半径R 与内切球半径r 的比值为．【答案】26【解析】在正方形ABCD 中，,AD AE CD ⊥12．空间给定不共面的A，B，C，D四个点，其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面α：A，B，C，D中有三个点到的距离相同，另一个点到α的距离是前三个点到α的距离的2倍，这样的平面α的个数是___________个【答案】32【解析】首先取3个点相等，不相等的那个点由4种取法；然后分3分个点到平面α的距离相等，有以下两种可能性：（1）全同侧，这样的平面有2个；（2）不同侧，必然2个点在一侧，另一个点在一侧，1个点的取法有3种，并且平面过三角形两个点边上的中位线，考虑不相等的点与单侧点是否同侧有两种可能，每种情况下都唯一确定一个平面，故共有6个，⨯=个，所有这两种情况共有8个，综上满足条件的这样的平面共有4832故答案为：32二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项)13．下列几何体中，多面体是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】A选项中的几何体是球，是旋转体；B选项中的几何体是三棱柱，是多面体；C 选项中的几何体是圆柱，旋转体；D 选项中的几何体是圆锥，是旋转体.故选B.14．已知两个平面α、β，在下列条件下，可以判定平面α与平面β平行的是（）．A ．α、β都垂直于一个平面γB ．平面α内有无数条直线与平面β平行C ．l 、m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥βD ．l 、m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β【答案】D【解析】对于A ，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B 都与平面ABCD 垂直，但这两个平面不平行，所以A 错误，对于B ，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B ，平面11AAC C 中所有平行于交线1AA 的直线都与平面11AA B B 平行，但这两个平面不平行，所以B 错误，对于C ，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B ，,M N 分别为11,A B AB 的中点，则1,MN BB 在平面11AA B B 内，且都与平面11AAC C 平行，但这两个平面不平行，所以C 错误.对于D ，因为l 、m 是两条异面直线，所以将这两条直线平移到共面α时，一定在α内形成两条相交直线，由面面平行的判定定理可知，该结论正确．故选：D15．将3个1212⨯的正方形沿邻边的中点剪开分成两部分（如图1）；将这6部分接于一个边长为六边形边上（如图2），若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，则该多面体的体积是（）A ．17282B ．864C ．576D ．2【答案】B【解析】折成的多面体如图①所示，将其补形为正方体，如图②，所求多面体体积为正方体的一半，又依题易求得正方体的边长为12，故3112864,2V =⨯=故选：B.16．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱BC 的中点，F 是侧面11BCC B 上的动点，且1A F ∥平面1AD E ．设1A F 与平面11BCC B 所成的角为1,A F α与1AD 所成的角为β，那么下列结论正确的是（）A ．α的最小值为arctan2,β的最小值为arctan3B ．α的最小值为arctan3,β的最大值为2πC ．α的最小值大于arctan2,β的最小值大于arctan3D ．α的最大值小于arctan3,β的最大值小于2π设正方体的棱长为2，因为MN GE ∥，且MN ⊄MN ∴∥平面1AEGD ；同理1A N ∥平面1AEGD ，且∴平面1A MN ∥平面AEGD ∵11A B ⊥面11BB C C ，所以又1AD MN ，所以1A F 与1AD 所成的角为111tan A B B Fα∴=；当F 为MN 中点时，此时当F 与M 或N 重合时，此时2tan 22α∴≤≤，arctan2对于β，当F 为MN 中点时，当F 与M 或N 重合时，β()221252A F ⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭tan 3β∴=，tan 3β∴≥，arctan 3β≤≤又arctan3 1.4≈，arctan2故选：A.三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)17．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，点P 为1DD 的中点.(1)求证：直线1BD //平面PAC ；(2)求异面直线1BD 与AP 所成角的大小.【解析】（1）设AC 和BD 交于点O ，则O 为BD 的中点，连接PO ，（1分)∵P 是1DD 的中点，∴1//PO BD ，(3分)又∵PO ⊂平面PAC ，1⊄BD 平面PAC ，∴直线1BD //平面PAC ；(6分)（2）由(1)知，1//PO BD ，∴APO ∠即为异面直线1BD 与AP 所成的角，(8分)∵PA PC =12AO AC ==且PO AO ⊥，∴1sin2AO APO AP ∠==．又(0,90]APO ∠∈︒︒，∴30APO ∠=︒故异面直线1BD 与AP 所成角的大小为30︒．(14分)18．如图，在圆柱中，底面直径AB 等于母线AD ，点E 在底面的圆周上，且AF D E ⊥，F 是垂足．(1)求证：AF DB ⊥；(2)若圆柱与三棱锥D ABE -的体积的比等于3π，求直线DE 与平面ABD 所成角的大小．【解析】（1）证明：根据圆柱性质，DA ⊥平面ABE ，因为EB ⊂平面ABE ，所以DA EB ⊥，又因为AB 是圆柱底面的直径，点E 在圆周上，所以AE EB ⊥，因为AE DA A ⋂=且,AE DA ⊂平面DAE ，所以EB ⊥平面DAE ，(2分)又因为AF ⊂平面DAE ，所以EB AF ⊥，因为AF D E ⊥，且EB DE E =I ，且,EB DE ⊂平面DEB ，所以AF ⊥平面DEB ，又因为DB ⊂平面DEB ，所以AF DB ⊥．(6分)（2）解：过点E 作EH AB ⊥，H 是垂足，连接DH ，根据圆柱性质，平面ABD ⊥平面ABE ，且平面ABD ⋂平面ABE AB =,且EH ⊂平面ABE ，所以EH ⊥平面ABD ，因为DH ⊂平面ABD ，所以DH 是ED 在平面ABD 上的射影，从而EDH ∠是DE 与平面ABD 所成的角，(8分)设圆柱的底面半径为R ，则2DA AB R ==，所以圆柱的体积为32πV R =，且21233D ABEABE R V AD S EH -=⋅=⋅ ，由:3πD ABE V V -=，可得EH R =，可知H 是圆柱底面的圆心，且AH R =，且DH =，在直角EDH 中，可得tan EH EDH DH ∠==EDH ∠=(14分)19．如图，将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折叠，使得平面ABD ⊥平面CBD ，AE ⊥平面ABD ，且2AE(1)求证：直线EC 与平面ABD 没有公共点；(2)求点C 到平面BED 的距离.【解析】（1）取BD 的中点F ，连接CF 、AF ，如图，依题意，在BCD △中，,BC CD BC CD =⊥，则CF BD ⊥，而平面ABD ⊥平面CBD ，平面ABD ⋂平面CBD BD =，CF ⊂平面CBD ，于是得CF ⊥平面ABD ，且2CF =因为AE ⊥平面ABD ，且2AE =//AE CF ，且AE CF =，从而得四边形AFCE 为平行四边形，//EC AF ，(4分)又AF ⊂平面ABD ，EC ⊂/平面ABD ，则//EC 平面ABD ，所以直线EC 与平面ABD 没有公共点；(6分)（2）因为CF ⊥平面ABD ，AF ⊂平面ABD ，所以CF AF ⊥，因为BD AF ⊥，BD CF F = ，,BD CF ⊂平面,CBD 所以AF ⊥平面,CBD 因为//,EC AF ，于是得EC ⊥平面CBD ，因为AE ⊥平面ABD ，,AB AD ⊂平面ABD ，所以,AE AB AE AD ⊥⊥，(8分)因为EC AF ==EB ED =，则等腰BED 底边BD 上的高2h ==，12BED S BD h =⋅= ，而2BCD S =，设点C 到平面BED 的距离为d ，由C BED E BCD V V --=得1133BED BCD S d S EC ⋅=⋅ ，即2=，解得1d =，所以点C 到平面BED 的距离为1(14分)20．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 是菱形，底面,AC BD O PAC = △是边长为2的等边三角形，PB =PD ，AP =4AF（1）求证：PO ⊥底面ABCD （2）求直线CP 与OF 所成角的大小.（3）在线段PB 上是否存在点M ，使得//CM 平面BDF ？如果存在，求BMBP的值；如果不存在，请说明理由.【解析】（1）因为底面ABCD 是菱形，且AC BD O = ，所以O 为AC ，BD 中点，在PBD △中，PB =PD ，可得PO ⊥BD ，因为在PAC 中，PA =PC ，O 为AC ，BD 中点，所以PO ⊥AC ，(3分)又因为AC ⋂BD =O ，所以PO ⊥底面ABCD .(4分)（2）连接OF ，取AP 中点为E ，连接OE ，因为底面ABCD 是菱形，AC ⋂BD =O ，由O 为AC 中点，且E 为AP 中点，AP =4AF ，所以F 为AE 中点，所以CP //OE .，故∠EOF 为直线CP 与OF 所成的角，(8分)又由PAC 为等边三角形，且E 为中点，所以∠EOF =30o .(10分)（3）存在，13BM BP =，连接CE ，ME ，因为AP =4AF ，E 为AP 中点，所以13EF FP =，又因为13BM BP =，所以在PFB △中，EF BMFP BP =，即EM //BF ，(12分)因为EM ⊄平面BDF ，BF ⊂平面BDF ，所以EM //平面BDF ，由（2）知EC //OF ，因为EC ⊄平面BDF ，OF ⊂平面BDF ，所以EC //平面BDF ，因为EC ⋂EM =E ，所以平面EMC //平面BDF ，因为CM ⊂平面EMC ，所以CM //平面BDF .(18分)21．在棱长均为2的正三棱柱111ABC A B C -中，E 为11B C 的中点．过AE 的截面与棱111,BB AC 分别交于点F ，G．(1)若F 为1BB 的中点，试确定点G 的位置，并说明理由；(2)在（1）的条件下，求截面AGEF 与底面ABC 所成锐二面角的正切值；(3)设截面AFEG 的面积为0S ，AEG △面积为1S ，AEF △面积为2S ，当点F 在棱1BB 上变动时，求2012S S S 的取值范围．【解析】（1）在平面11BCC B 内延长1CC ，FE 相交于点P ，则P ∈平面AGEF ，又1P CC ∈⊂平面11ACC A ，则有平面AGEF 平面11ACC A AG =，P AG ∈，即A ，G ，P 三点共线．(2分)因为E 为11B C 的中点，F 为1BB 的中点，所以11112PC B F CC ==，所以113PC PC =，又因为1//GC AC ，所以1113GC PC AC PC ==，所以111112333GC AC A C ===，即点G 为棱11AC 上靠近点1C 的三等分点．(4分)（2）在平面11BCC B 内延长CB ，EF 相交于点Q ，连接AQ ，则平面AGEF 平面ABC AQ =，在平面11ACC A 内作GM AC ⊥于点M ，则GM ⊥平面ABC ，又AQ ⊂平面ABC ，所以G M AQ ⊥，在平面ABC 内作MN AQ ⊥于点N ，连接GN ，又,GM MN ⊂平面GMN ，GM MN M ⋂=，所以AQ ⊥平面GMN ，GN ⊂平面GMN ，所以AQ GN ⊥，所以GNM ∠为截面AGEF 与底面ABC 所成锐二面角的平面角．(6分)在AQC 中，作CH AQ ⊥于点H ，11BQ C E ==，2AC =，3CQ =，60AC B ∠= ，12222ABC S =⨯⨯⨯=△AQC S =由余弦定理2222cos 4967AQ AC CQ AC CQ ACQ =+-⋅⋅∠=+-=，则AQ122AQC S AQ CH ==⋅ ，可得3217CH =，所以237MN CH ==，又22G M AA ==，所以21tan 3GM GNM MN ∠==，故截面AGEF 与底面ABC (10分)（3）设1GC m =，则[]0,1m ∈，2PG mGA m=-．设PGE 的面积为S ，所以12S m S m=-，又因为21S S S =+，所以1222S m S -=，且1221,122S m S -⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，故()22120121212212S S S S SS S S S S S +==++，令12S t S =，则1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，(11分)设()112,12g t t t t ⎛⎫⎡⎤=++∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，当12112t t ≤<≤时，()()()()121212121212111t t g t g t t t t t t t t t --=+--=-，120t t -<，120t t >，1210t t -<，则()()120g t g t ->，即()()12g t g t >，所以()12g t t t =++在1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()()min 14g t g ==，()max 1922g t g ⎛⎫== ⎪，所以()94,2g t ⎡⎤∈⎢⎥，。
人教版高二上学期期中考试数学试题与答案解析(共两套)
人教版高二上学期期中考试数学试题（一） （本卷满分150分，考试时间120分钟）测试范围：选择性必修第一册：第一章、第二章、第三章一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．已知两个非零向量)(111z y x a ，，=，)(222z y x b ，，=，则这两个向量在一条直线上的充要条件是( )。
A 、||||b b a a ：：= B 、212121z z y y x x == C 、0212121=++z z y y x x D 、存在非零实数k ，使b k a =2．已知焦点在x 轴上的双曲线的焦距为32，焦点到渐近线的距离为2，则双曲线的方程为( )。
A 、1222=-y xB 、1222=-y xC 、1222=-x y D 、1222=-x y3．若直线m my x +=+2与圆012222=+--+y x y x 相交，则实数m 的取值范围为( )。
A 、)(∞+-∞， B 、)0(，-∞ C 、)0(∞+， D 、)0()0(∞+-∞，， 4．点)24(-，P 与圆422=+y x 上任一点连线的中点的轨迹方程是( )。
A 、1)1()2(22=++-y x B 、4)1()2(22=++-y x C 、1)1()2(22=-++y x D 、4)2()4(22=-++y x5．若P 、Q 分别为直线01243=-+y x 与0586=++y x 上任意一点，则||PQ 的最小值为( )。
A 、59 B 、1029 C 、518 D 、5296．已知椭圆C ：12222=+b y a x (0>>b a )的左焦点1F ，过点1F 作倾斜角为 30的直线与圆222b y x =+相交的弦长为b 3，则椭圆的离心率为( )。
A 、21 B 、22 C 、43 D 、237．已知点1F 是抛物线C ：py x 22=的焦点，点2F 为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过2F 作抛物线C 的切线，切点为A ，若点A 恰好在以1F 、2F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( )。
安徽省池州市贵池区2024-2025学年高二上学期期中检测数学试题含答案
2024～2025学年第一学期高二期中检测数学（答案在最后）全卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．选择题用2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．5．本卷主要考查内容：选择性必修第一册第一章～第二章．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知向量()1,2,4a =，()1,0,2b =-r，则a b ⋅的值为（）A.()1,0,8- B.9C.－7D.7【答案】D 【解析】【分析】根据空间向量数量积坐标运算法则进行计算.【详解】()()1,1,2,00874,21a b ⋅⋅=-=-++=.故选：D2.直线+1=0x 的倾斜角为（）A.34π B.4π C.2π D.不存在【答案】C 【解析】【分析】根据倾斜角的定义可得结果【详解】因为直线+1=0x 即直线1x =-垂直于轴,根据倾斜角的定义可知该直线的倾斜角为2π，故选:C.3.与直线20x y +=垂直，且在x 轴上的截距为-2的直线方程为（）．A.220x y -+=B.220x y --= C.220x y -+= D.220x y --=【答案】A 【解析】【分析】先求出直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解.【详解】由题得所求直线的斜率为12，∴所求直线方程为10(2)2y x -=+，整理为220x y -+=．故选：A【点睛】方法点睛：求直线的方程，常用的方法：待定系数法，先定式（从直线的五种形式中选择一种作为直线的方程），后定量（求出直线方程中的待定系数）.4.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，点E 为上底面对角线11A C 的中点，若1BE AA x AB y AD =++，则（）A.11,22x y =-=B.11,22x y ==-C.11,22x y =-=-D.11,22x y ==【答案】A 【解析】【分析】根据空间向量的线性运算即可求解.【详解】根据题意，得；11()2BE BB BA BC =++11122AA BA BC=++111,22AA AB AD =-+ 1BE AA xAB y AD =++ 又11,,22x y =-=∴故选：A5.已知向量()0,0,2a = ，()1,1,1b =- ，向量a b + 在向量a上的投影向量为（）．A.()0,0,3 B.()0,0,6C.()3,3,9- D.()3,3,9--【答案】A 【解析】【分析】根据空间向量的坐标运算及投影向量的公式计算即可.【详解】由题意可知()1,13a b +=-，，()6,2a b a a +⋅== ，所以向量a b + 在向量a上的投影向量为()()()60,0,20,0,322a b a a a a +⋅⋅=⨯=⋅ .故选：A6.若圆()()2213425O x y -+-=:和圆()()()222228510O x y r r +++=<<:相切，则r 等于A.6B.7C.8D.9【答案】C 【解析】【分析】根据的圆标准方程求得两圆的圆心与半径，再根据两圆内切、外切的条件,分别求得r 的值并验证510r <<即可得结果.【详解】圆()()2213425O x y -+-=:的圆心()13,4O ，半径为5；圆()()2222:28O x y r +++=的圆心()22,8O --，半径为r.＝|r－5|，求得r＝18或－8，不满足5<r<10.＝|r＋5|，求得r＝8或－18(舍去)，故选C．【点睛】本题主要考查圆的方程以及圆与圆的位置关系，属于基础题.两圆半径为,R r ，两圆心间的距离为d ，比较d 与R r -及d 与R r +的大小，即可得到两圆的位置关系.7.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点()2,1,0D ，向量()4,1,2,m m =⊥平面DEF ，则点O 到平面DEF 的距离为（）A.21B.7C.21D.21【答案】B 【解析】【分析】根据空间向量的坐标运算直接计算点O 到平面DEF 的距离.【详解】因为()2,1,0D ，所以()2,1,0OD = ，又向量()4,1,2,m m =⊥平面DEF ，所以()4,1,2m =是平面DEF 的一个法向量所以点O 到平面DEF的距离为7OD m d m ⋅===.故答案为：7.8.已知直线l ：x －my ＋4m －3＝0（m ∈R ），点P 在圆221x y +=上，则点P 到直线l 的距离的最大值为（）A.3B.4C.5D.6【答案】D 【解析】【分析】先求得直线过的定点的坐标，再由圆心到定点的距离加半径求解.【详解】解：直线l ：x －my ＋4m －3＝0（m ∈R ）即为()()340x y m -+-=，所以直线过定点()3,4Q ，所以点P 到直线l的距离的最大值为16OQ r +=+=，故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知直线2y x =与0x y a ++=交于点()1,P b ，则（）A.3a =-B.2b =C.点P 到直线30ax by ++=的距离为13D.点P 到直线30ax by ++=的距离为13【答案】ABD 【解析】【分析】联立直线方程结合其交点坐标求参数a 、b ，进而应用点线距离公式求P 到直线30ax by ++=的距离即可.【详解】由题意，得：210b b a =⎧⎨++=⎩，解得3a =-，2b =，故A 、B 正确，∴()1,2到直线3230x y -++=的距离13d ==，故C 错误，D 正确.故选：ABD.10.已知空间向量()()3,1,2,3,3,1a b =--= ，则下列说法正确的是（）A.()32//a b a+B.()57a a b⊥+C.a =D.b =【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意，结合向量的坐标运算，以及向量的共线和垂直的坐标表示，准确计算，即可求解.【详解】因为向量()()3,1,2,3,3,1a b =--= ，可得214,10a a b =⋅=-，对于A 中，由()323,3,8a b +=-，设32a b a λ+= ，即()3,3,8(3,1,2)λ-=--，可得33382λλλ-=-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，此时方程组无解，所以32a b + 与a 不平行，所以A 错误；对于B 中，由()257575147(10)0a a b a a b ⋅+=+⋅=⨯+⨯-=，所以()57a a b ⊥+，所以B 正确；对于C中，由a ==，所以C 正确；对于D中，由b == D 正确.故选：BCD.11.直线2y x m =+与曲线y =恰有两个交点，则实数m 的值可能是（）A.4B.5C.3D.4110【答案】AD 【解析】【分析】做出函数图象，数形结合，求出m 的取值范围，再进行选择.【详解】做出函数2y x m =+与y =的草图.设2y x m =+与圆224x y +=2=⇒m =m =-（舍去）.因为函数2y x m =+与y =有两个交点，所以4m ≤<.故选：AD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知在空间直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(1,2,)3-，点B 的坐标为(0,1,4)--，点A 与点C 关于x 轴对称，则||BC =___________.【答案】【解析】【分析】首先根据对称求出点C 的坐标，然后根据两点间的距离公式求||BC 的值即可.【详解】因为点A 与点C 关于x 轴对称，所以点C 的坐标为()1,2,3-，又因为点B 的坐标为(0,1,4)--，所以BC ==．13.过点()2,4作圆224x y +=的切线，则切线方程为___________．【答案】2x =或34100x y -+=【解析】【分析】考虑直线斜率不存在和直线斜率存在两种情况，利用圆心到直线距离等于半径列出方程，求出切线方程.【详解】①直线的斜率不存在时2x =满足，②直线斜率存在时，设切线方程为()42y k x -=-，则324d k ==⇒=，所以切线方程为4y -=()324x -，即34100x y -+=．故答案为：2x =或34100x y -+=.14.在平面直角坐标系xOy 中，设直线y ＝－x ＋2与圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)交于A ，B 两点．若圆上存在一点C ，满足5344OC OA OB =+，则r 的值为________．【答案】【解析】【详解】22225325539OC OA OB OA 2OA OB OB44164416⎛⎫=+=+⋅⋅+ ⎪⎝⎭即222225159r r r cos AOB r 16816=+∠+，整理化简得cos∠AOB＝－35，过点O 作AB 的垂线交AB 于D，则cos∠AOB＝2cos 2∠AOD－1＝－35，得cos 2∠AOD＝15.又圆心到直线的距离为OD＝=，所以cos 2∠AOD＝15＝22OD r＝22r ，所以r 2.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.已知直线l 过点()2,1P -．（1）若直线l 与直线230x y ++=垂直，求直线l 的方程（2）若直线l 在两坐标轴的截距互为相反数，求直线l 的方程．【答案】（1）240x y --=；（2）20x y +=或30x y --=．【解析】【分析】（1）根据直线方程垂直设出方程求解未知数即可；（2）根据截距的概念分类讨论求方程即可.【小问1详解】因为直线l 与直线230x y ++=垂直，所以可设直线l 的方程为20x y m -+=，因为直线l 过点()2,1P -，所以()2210m -⨯-+=，解得4m =-，所以直线l 的方程为240x y --=【小问2详解】当直线l 过原点时，直线l 的方程是2xy =-，即20x y +=．当直线l 不过原点时，设直线l 的方程为x y a -=，把点()2,1P -代入方程得3a =，所以直线l 的方程是30x y --=．综上，所求直线l 的方程为20x y +=或30x y --=16.已知向量()()1,1,,2,,a t t t b t t =--=.（1）若a b ⊥ ，求t 的值；（2）求b a -的最小值.【答案】（1）2（2）5【解析】【分析】（1）由空间向量垂直得到方程，求出答案；（2）计算出()1,21,0b a t t -=+-，利用模长公式得到b a -= ，求出最小值.【小问1详解】因为a b ⊥ ，所以0a b ⋅=，即()()22110t t t t -+-+=，解得2t=；【小问2详解】()1,21,0 b a t t-=+-所以b a-=.所以当15t=时，b a-取得最小值为5.17.如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为直角梯形，//AD BC，AB BC⊥，AP⊥平面ABCD，Q为线段PD上的点，2DQ PQ=，1AB BC PA===，2AD=．（1）证明：//BP平面ACQ；（2）求直线PC与平面ACQ所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】【分析】（1）利用三角形相似得2MD MB=，结合2DQ PQ=，则有//MQ BP，利用线面平行的判定即可证明；（2）以A为坐标原点，建立合适的空间直角坐标系，求出平面ACQ的法向量，利用线面角的空间向量法即可得到答案.【小问1详解】如图，连接BD与AC相交于点M，连接MQ，∵//BC AD，2AD BC=，则AMD CMB，∴2MD ADMB CB==，2MD MB=，∵2DQ PQ=，∴//MQ BP，BP ⊄ 平面ACQ ，MQ Ì平面ACQ ，∴//BP 平面ACQ ；【小问2详解】AP ⊥ 平面ABCD ，,AB AD ⊂平面ABCD ,,AP AB AP AD ∴⊥⊥，因为底面AB BC ⊥,则AB ，AD ，AP 两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，各点坐标如下：()0,0,0A ，()1,1,0C ，()0,0,1P ，220,,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭．设平面ACQ 的法向量为(),,m x y z =，由()1,1,0AC = ，220,,33AQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，有02233AC m x y AQ m y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1x =，1y =-，1z =，可得()1,1,1m =- ，由()1,1,1CP =-- ，有1CP m ⋅=，CP m ==，则1cos ,3CP m == ．故直线PC 与平面ACQ 所成角的正弦值为13．18.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,F G 分别是棱1,CC AD 的中点，E 为棱AB 上一点，且异面直线1B E 与BG 所成角的余弦值为25.（1）证明：E 为AB 的中点；（2）求平面1B EF 与平面11ABC D 所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）4242【解析】【分析】（1）以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，不妨令正方体的棱长为2，设()2,,0E a ，利用111cos ,B E BG B E BG B E BG⋅= ，解得1a =，即可证得；（2）分别求得平面1B EF 与平面11ABC D 的法向量m n ，，利用cos ,m n m n m n⋅=⋅ 求解即可.【小问1详解】证明：以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -.不妨令正方体的棱长为2，则()0,0,0D ，()1,0,0G ，()2,2,0B ，()12,2,2B ，()0,2,1F ，设()2,,0E a ，则()10,2,2B E a =-- ，()1,2,0BG =-- ，所以()1121422cos ,5524B E BG a B E BG B E BG a ⋅-===-+ ，所以2430a a -+=，解得1a =（3a =舍去），即E 为AB 的中点.【小问2详解】由（1）可得()10,1,2B E =-- ，()2,1,1EF =- ，设(),,m x y z = 是平面1B EF 的法向量，则12020m B E y z m EF x y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ .令2z =，得()1,4,2m =-- .易得平面11ABC D 的一个法向量为()12,0,2n DA == ，所以cos ,42m n m n m n ⋅===⋅ .所以所求锐二面角的余弦值为42.19.已知圆C 过点(1,0)M -且与直线20x +-=相切于点1,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，直线:30l kx y k --+=与圆C 交于不同的两点A ，B ．（1）求圆C 的方程；（2）若圆C 与x 轴的正半轴交于点P ，直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k +是定值．【答案】（1）221x y +=（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）确定圆心和半径，可得圆C 的方程.（2）把直线方程与圆C 方程联立，得到12x x +，21x x ，再表示出12k k +，运算整理即可.【小问1详解】过点1,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭且与直线20x +-=垂直的直线为：1022x y ⎛⎫⎫---= ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭0y -=.又线段MN，其中1,22N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭的垂直平分线为：()222213122x y x y ⎛⎫⎛⎫++=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0y +=.由00y y -=+=，得圆心()0,0C ，又221r CM ==.故圆C 的方程为：221x y +=.【小问2详解】将()3y kx k =+-代入221x y +=得：()2231x kx k ⎡⎤++-=⎣⎦，整理得：()()()222123310k x k k x k ++-+--=.由0∆>⇒()()()22224341310k k k k ⎡⎤--+-->⎣⎦⇒43k >.设1,1，2,2，则()122231k k x x k -+=+，()2122311k x x k --=+.又()1,0P ，所以()111111133111k x y k k x x x -+===+---，同理：2231k k x =+-.所以121233211k k k x x +=++--()()()121236211x x k x x +-=+--()()1212123621x x k x x x x +-=+-++()()()22222336123123111k k k k k k k k k -⨯-+=+----+++()()()22222336123123111k k k k k k k k k -⨯-+=+----+++18629k k --=+23=-.所以1223k k +=-为定值.。
山东省济南市山东省实验中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题(含答案)
山东省实验中学2024～2025学年第一学期期中高二数学试题 2024.11（选择性必修—检测）说明：本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第3页至第4页.试题答案请用2B 铅笔或0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（共58分）一、单选题（本题包括8小题，每小题5分，共40分。
每小题只有一个选项符合题意）1.已知空间向量，，，若，，共面，则实数（ ）A.1B.2C.3D.42.“”是“直线与直线平行”的（ ）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.给出下列说法，其中不正确的是（）A.若，则，与空间中其它任何向量都不能构成空间的一个基底向量B.若，则点是线段的中点C.若，则，，，四点共面D.若平面，的法向量分别为，，且，则3.若三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值最多有（ ）A.2个B.3个C.4个D.5个4.实数，满足，则的最小值为（ ）A. B.7C. D.36.若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）A.()1,2,0a = ()0,1,1b =- ()2,3,c m = a b cm =1m =-()1:2310l mx m y +++=2:30l x my ++=a b ∥a b c2PM PA PB =+M AB 2OA OB OC OD =+-A B C D αβ()12,1,1n =- ()21,,1n t =-αβ⊥3t =1:43l x y +=2:0l x y +=3:2l x my -=m x y 2222x y x y +=-3x y -+3+:20l kx y --=:1C x =-k k >5k <≤k <<1k <≤7.在三棱锥中，为的重心，，，，，，若交平面于点，且，则的最小值为（ ）A.B.C.1D.8.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上且位于第一象限，圆与线段的延长线，线段以及轴均相切，的内切圆为圆.若圆与圆外切，且圆与圆的面积之比为4，则的离心率为（ ）A.C.二.多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.）9.下列说法正确的是（）A.若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大B.圆与直线必有两个交点C.在轴、轴上的截距分别为，的直线方程为D.设，，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是10.已知椭圆的离心率为，长轴长为6，，分别是椭圆的左、右焦点，是一个定点，是椭圆上的动点，则下列说法正确的是（ ）A.焦距为2B.椭圆的标准方程为P ABC -G ABC △PD PA λ= PE PB μ= 12PF PC =λ()0,1μ∈PG DEF M 12PM PG =λμ+122343()2222:10x y C a b a b+=>>1F 2F P C 1O 1F P 2PF x 12PF F △2O 1O 2O 1O 2O C 123522:4O x y +=10mx y m +--=x y a b 1x y a b+=()2,2A -()1,1B :10l ax y ++=AB a (]322⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭，，()2222:10x y E a b a b +=>>23F F '()1,1A P E E 22195x y +=C.D.的最大值为11.立体几何中有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数24，棱长为的半正多面体，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的，下列结论正确的有（）A.平面B.，，，四点共面C.点到平面的距离为D.若为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值范围为第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分.）12.已知直线的倾斜角，则直线的斜率的取值范围为______.13.如图，已知点，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是______.14.杭州第19届亚运会的主会场——杭州奥体中心体育场，又称“大莲花”（如图1所示）.会场造型取意于杭州丝绸纹理与纺织体系，建筑体态源于钱塘江水的动态，其简笔画如图2所示.一同学初学简笔画，先AF '=PA PF +6AG ⊥BCDG A F C D B ACD E BC DE AF 12⎡⎢⎣l 2,43ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭l ()8,0A ()0,4B -()3,0P AB OB OB P画了一个椭圆与圆弧的线稿，如图3所示.若椭圆的方程为，下顶点为，为坐标原点，为圆上任意一点，满足，则点的坐标为______；若为椭圆上一动点，当取最大值时，点恰好有两个，则的取值范围为______.图1 图2 图3四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（13分）已知两直线和的交点为.（1）直线过点且与直线平行，求直线的一般式方程；（2）圆过点且与相切于点，求圆的一般方程.16.（15分）已知椭圆，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）若斜率为的直线与椭圆交于，两点，且点在第一象限，点，分别为椭圆的右顶点和上顶点，求四边形面积的最大值.17.（15分）在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点（如图1）.将沿折起到位置，使得（如图2）.图1 图2（1）求证：平面平面；（2）线段上是否存在点，使得与平面的值；若不存在，请说明理由.E()222210x ya ba b+=>>10,2A⎛⎫-⎪⎝⎭O P C2PO PA=C Q QC Q a1:20l x y++=2:3210l x y-+=Pl P310x y++=lC()1,01l P C()2222:10x yC a ba b+=>>⎛⎝C12l C M N M A B CAMBN SABCD AB CD∥3BADπ∠=224AB AD CD===P AB AC DP O ACD△AC ACD'△D O OP'⊥D AC'⊥ABCPD'Q CQ BCD'PQPD'18.（17分）已知直线，半径为2的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右上方.（1）求圆的方程；（2）直线与圆交于不同的，两点，且，求直线的斜率；（3）过点的直线与圆交于，两点（在轴上方），问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由.19.（17分）已知点，是平面内不同的两点，若点满足（，且），则点的轨迹是以有序点对为“稳点”的-阿波罗尼斯圆.若点满足，则点的轨迹是以为“稳点”的-卡西尼卵形线.已知在平面直角坐标系中，，.（1）若以为“稳点”的-阿波罗尼斯圆的方程为，求，，的值；（2）在（1）的条件下，若点在以为“稳点”的5-卡西尼卵形线上，求（为原点）的取值范围；（3）卡西尼卵形线是中心对称图形，且只有1个对称中心，若，，求证：不存在实数，，使得以—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称.:40l x ++=C l C x l C 2y kx =-C M N 120MCN ︒∠=2y kx =-()0,1M C A B A x y N y ANB ∠N A B P PAPBλ=0λ>1λ≠P (),A B λQ ()0QA QB μμ⋅=>Q (),A B μ()2,0A -()(),2B a b a ≠-(),A B λ221240x y x +-+=a b λQ (),A B OQ O 0b =λ=a μ(),A B μ山东省实验中学2024～2025学年第一学期期中高二数学试题参考答案 2024.11选择题1234567891011ABCBDDCCBDBCDABD填空题12..13.，.解答题15.【答案】（1）（2）.【详解】（1）直线与直线平行，故设直线为，……1分联立方程组，解得.直线和的交点.……3分又直线过点，则，解得，即直线的方程为.……5分（2）设所求圆的标准方程为，的斜率为，故直线的斜率为1，由题意可得，……8分解得，……11分故所求圆的方程为.(()1,-∞-+∞ ,20,3⎛⎫-⎪⎝⎭a >340x y ++=221140333x y x y +++-=l 310x y ++=l 130x y C ++=203210x y x y ++=⎧⎨-+=⎩11x y =-⎧⎨=-⎩∴1:20l x y ++=2:3210l x y -+=()1,1P --l P 1130C --+=14C =l 340x y ++=()()222x a y b r -+-=1:20l x y ++=1-CP ()()()()2222221110111a b r a b r b a ⎧--+--=⎪⎪-+-=⎨⎪+⎪=+⎩216162518a b r ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩2211256618x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化为一般式：.……13分16.【答案】（1）（2）【详解】（1）由椭圆，解得，……2分由椭圆过点，得，联立解得，，……4分所以椭圆的方程为.……5分（2）由题意可设，点在第一象限，，……6分设，，点，到直线的距离分别为，，由，消可得，，，……8分10分，，直线的一般式方程：，，，，……12分14分当时，有最大值为……15分17.【答案】（1）证明见解析（2）存在，【详解】（1）证明：在梯形中，，22114333x y x y+++-=2214xy+=2222:1x yCa b+==2a b= C⎛⎝221314a b+=2a=1b=C2214xy+=1:2l y x m=+M11m∴-<<()11,M x y()22,N x y A B l1d2d221412xyy x m⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩y222220x mx m++-=122x x m∴+=-21222x x m=-MN∴===()2,0A()0,1B l220x y m-+=1d∴=2d=12d d∴+=()121122AMN BMNS S S MN d d∴=+=⋅+==△△m=S13ABCD AB CD∥，，为的中点，，，，……1分是正三角形，四边形为菱形，，，……3分，，又，，平面，平面，……5分平面，平面平面.……6分（2）存在，，理由如下：……8分平面，，，，两两互相垂直，如图，以点为坐标原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系.则，，，，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，，，……11分设，，，， (12)分设与平面所成角为，则，即，，解得，224AB AD CD ===3BAD π∠=P AB CD PB ∴∥CD PB =BC DP =ADP ∴△DPBC AC BC ∴⊥AC DP ⊥AC D O ⊥' D O OP '⊥AC OP O = AC OP ⊂ABC D O ∴'⊥ABC D O ⊂' D AC '∴D AC '⊥ABC 13PQ PD '=D O ⊥' BAC OP AC ⊥OA ∴OP OD 'O OA OP OD 'x y z ()C ()2,0B ()0,0,1D '()0,1,0P )2,1BD ∴'=- )CD '=CBD '(),,n x y z =00n BD n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩'' 200y z z -+=+=⎪⎩1x =0y =z =(1,0,n ∴=()01PQ PD λλ'=≤≤)CP =()0,1,1PD =-'),CQ CP PQ CP PD λλλ∴=+=+=- CQ BCD 'θsin cos ,CQ n CQ n CQ n θ⋅====23720λλ-+=01λ≤≤ 13λ=线段上存在点，且，使得与平面……15分18.【答案】（1）（2）（3）【详解】（1）设圆心，则，……2分解得或（舍），故圆的方程为.……4分（2）由题意可知圆心到直线的距离为，……6分，解得.……8分（3）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，，由得，……10分，……12分若轴平分，则，即，即，即，即，即，……14分当时，上式恒成立，即；……15分当直线的斜率不存在或斜率为0时，易知满足题意；综上，当点的坐标为时，轴平分.……17分19.【答案】（1），，（2）（3）证明见解析【详解】（1）因为以为“稳点”的—阿波罗尼斯圆的方程为，设是该圆上任意一点，则，……1分所以，……3分∴PD 'Q 13PQ PD '=CQ BCD '224x y +=k =()0,4N ()(),04C a a >-422a +=0a =8a =-C 224x y +=C 2y kx =-2sin 301︒=1=k =AB AB ()10y kx k =+≠()()0,0N t t >()11,A x y ()22,B x y 224,1x y y kx ⎧+=⎨=+⎩()221230k x kx ++-=12221k x x k -∴+=+12231x x k -=+y ANB ∠AN BN k k =-12120y t y t x x --+=1212110kx t kx tx x +-+-+=()()1212210kx x t x x +-+=()()22126011t k k k k -⨯--+=++40k kt -+=4t =()0,4N AB ()0,4N N ()0,4y ANB ∠2a =0b =λ=[]1,3(),A B λ221240x y x +-+=(),P x y 22124x y x +=-()()()()22222222222222244162212224PA x y x y x x x y ax by a b a x by a bx a y b PB+++++===+--++--+-+-+-因为为常数，所以，，且，……5分所以，，.……6分（2）解：由（1）知，，设，由，所以，……7分，整理得，即，所以，……9分，……10分由，得，即的取值范围是.……12分（3）证明：若，则以—阿波罗尼斯圆的方程为，整理得，该圆关于点对称.……15分由点，关于点对称及，可得—卡西尼卵形线关于点对称，令，解得，与矛盾，所以不存在实数，，使得以—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称……17分22PA PB2λ2240a b -+=0b =2a ≠-2a =0b =λ==()2,0A -()2,0B (),Q x y 5QA QB ⋅=5=()222242516x y x ++=+2240y x =--≥42890x x --≤()()22190x x +-≤209x ≤≤OQ ==209x ≤≤13OQ ≤≤OQ []1,30b =(),A B ()()222222x y x a y ⎡⎤++=-+⎣⎦()22244240x y a x a +-++-=()22,0a +()2,0A -(),0B a 2,02a -⎛⎫⎪⎝⎭QA QB μ⋅=μ2,02a -⎛⎫⎪⎝⎭2222a a -+=2a =-2a ≠=-a μ(),A B μ。
高二上学期数学期中试题(含答案)
高二（上）期中数学试卷第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（每小题4分，共12小题，共48分）1.已知数列{n a }的通项公式是n a ＝252+n n (n ∈*N )，则数列的第5项为( ） A.110 B.16 C.15 D.12 2.在△ABC 中，a b c 、、分别是三内角A B C 、、的对边, ︒=︒=45,75C A ,2b =,则此三角形的最小边长为（ ）A ．46B ．322C ．362D ． 42 3(理)．在等差数列{n a }中，已知,21=a ,1332=+a a 则654a a a ++等于（ ）A.40B.42C.43D.453（文）．已知等差数列a n 中，a 2+a 4=6，则a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=（ ） A ． 30 B ． 15 C ． D ．4. 下列说法中正确的是( )A ．若ac ＞bc ，则a ＞bB ．若a 2＞b 2，则a ＞bC ．若1a ＞1b ，则a ＜bD ．若a ＜b ，则a ＜b5. 在ABC ∆中，A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知bc c b a ++=222，则A 等于（ ）A. 120B. 60C. 45D. 306.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5418a a -=，则8S 等于（ ）A ．36B ．54C ．72D ．187（理）. 不等式0442>-+-x x 的解集是（ ）A.RB.ΦC.),0(+∞D.)0,(-∞7（文）.不等式x （2﹣x ）≤0的解集为（ ）A ． {x|0≤x≤2}B ． {x|x≤0，或x≥2}C ． {x|x≤2}D ．{x|x≥0} 8. 在等比数列{n a }中，若2101-=⋅a a ，则74a a ⋅的值为（ ）A.-4B.-2C.4D.29. 已知等比数列{a n }的公比为2，前4项的和是1，则前8项的和为（ ）A ．15B ．17C ．19D ．2110.在一座20m 高的观测台测得对面一水塔塔顶得仰角为 60，塔底的俯角为 45，那么这座水塔的高度是（ ）mA.)331(20+ B.)26(20+ C.)26(10+ D. )31(20+ 11（理）. 下列函数中最小值为4的是 （ ）A. x x y 4+= B.x x y sin 4sin += （0﹤x ﹤π） C. x x y -⋅+=343 D.10log 4lg x x y += 11（文）．设x ＞1，则x+的最小值是（ ） A ． 4 B ． 5 C ． 6 D ． 712．设x ，y ∈R 且，则z=x+2y 的最小值等于（ ）A ． 2B ． 3C ． 5D ．9第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（每小题4分，共4小题，共16分）13（理）.在等差数列{}n a 中，11=a ，2=d ，9=n S ，则项数n=13（文）．在等差数列{a n }中，a 3=7，a 5=a 2+6，则a 6=14．在等比数列{a n }中，若a 3=2，a 6=2，则公比q= ．15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B＋cos B ＝2，则角A 的大小为________16．若角α、β满足，则α﹣β的取值范围是三、解答题（共5小题，共56分）17. （理、10分）在ABC ∆中，A B 、为锐角，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，且21a b -=-,510sin ,sin 510A B == （1）求b a ,的值；（2）求角C 和边c 的值。
高二上学期期中考试数学试题(带答案)
高二上学期期中考试数学试题(带答案)高二上学期期中考试数学试题（带答案）注：题号后（A）表示1-7班必做，（B）表示8班必做。
）完卷时间：120分钟，总分：150分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.设$a,b,c\in R$，且$a>b$，则（）A．$ac>bc$B．$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$C．$a^2>b^2$D．$a^3>b^3$2.已知数列$\{a_n\}$是公差为2的等差数列，且$a_1,a_2,a_5$成等比数列，则$a_2=$（）A．$-2$B．$-3$C．$2$D．$3$3.已知集合$A=\{x\in R|x^2-4x-12<0\},B=\{x\in R|x<2\}$，则$A\cap B=$（）A．$\{x|x<6\}$B．$\{x|-2<x<2\}$C．$\{x|x>-2\}$D．$\{x|2\leq x<6\}$4.若变量$x,y$满足约束条件$\begin{cases}x+y\leq 4\\x\geq 1\end{cases}$，则$z=2x+y$的最大值和最小值分别为（）A．4和3B．4和2C．3和2D．2和55.已知等比数列$\{a_n\}$的前三项依次为$a-1,a+1,a+4$，则$a_n=$A．$4\cdot (\frac{3}{2})^{n-1}$B．$4\cdot (\frac{2}{3})^{n-1}$C．$4\cdot (\frac{3}{2})^{n-2}$D．$4\cdot (\frac{2}{3})^{n-2}$6.在$\triangle ABC$中，边$a,b,c$的对角分别为$A,B,C$，且$\sin^2 A+\sin^2 C-\sin A\sin C=\sin^2 B$。
高二期中考试(数学)试卷含答案解析
高二期中考试（数学）（考试总分：150 分）一、单选题（本题共计12小题，总分60分）1.（5分）1．2i12i-=+（）A．1 B．−1 C．i D．−i2.（5分）2．函数f（x）＝x4﹣2x3的图象在点（1，f（1））处的切线方程为（）A．y＝﹣2x﹣1B．y＝﹣2x+1C．y＝2x﹣3D．y＝2x+13.（5分）3．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）A．120种B．90种C．60种D．30种4.（5分）4．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A．62% B．56%C．46% D．42%5.（5分）5．设一组样本数据x1，x2，…，x n的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10x n的方差为（）A．0.01B．0.1C．1D．106.（5分）6．从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm），将所得数据分为9组：[)[)[)[]5.31,5.33,5.33,5.35,,5.45,5.47,5.47,5.49，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为（）A．10B．18C ．20D ．367.（5分）7．在5(2)x -的展开式中，2x 的系数为（ ）．A ．5-B ．5C ．10-D ．108.（5分）8．要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（ ） A ．2种B ．3种C ．6种D ．8种9.（5分）9．北京2022年冬奥会和冬残奥会色彩系统的主色包括霞光红､迎春黄､天霁蓝､长城灰､瑞雪白；间色包括天青､梅红､竹绿､冰蓝､吉柿；辅助色包括墨､金､银.若各赛事纪念品的色彩设计要求：主色至少一种､至多两种，间色两种､辅助色一种，则某个纪念品的色彩搭配中包含有瑞雪白､冰蓝､银色这三种颜色的概率为（ ） A ．8225B ．245C ．115D ．21510.（5分）10．如图，将钢琴上的12个键依次记为a 1，a 2，…，a 12.设1≤i <j <k ≤12．若k –j =3且j –i =4，则称a i ，a j ，a k 为原位大三和弦；若k –j =4且j –i =3，则称a i ，a j ，a k 为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（ ） A ．5B ．8C ．10D ．1511.（5分）11．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ） A ．10名B ．18名C ．24名D ．32名12.（5分）12．已知定义在（0，+∞）上的连续函数()y f x =满足：()()x xf x f x xe '-=且(1)3f =-，(2)0f =．则函数()y f x =（ ）A ．有极小值，无极大值B ．有极大值，无极小值C ．既有极小值又有极大值D ．既无极小值又无极大值二、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）13.（5分）13．设函数e ()xf x x a =+．若(1)4e f '=，则a =_________．14.（5分）14．262()x x+的展开式中常数项是__________（用数字作答）．15.（5分）15．设复数1z ，2z 满足12||=||=2z z ，12i z z +=，则12||z z -=__________.16.（5分）16．已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22x y +的最小值是_______．三、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）17.（10分）17．（10分）已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+.（1）当2a =时，求不等式()4f x 的解集； （2）若()4f x ，求a 的取值范围.18.（12分）18．（12分）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ，y i )(i =1，2，…，20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160i ix==∑，2011200i i y ==∑，2021)80i i x x =-=∑（，2021)9000i iy y =-=∑（，201))800i i i x y x y =--=∑（（.（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本(x i ，y i )(i =1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.附：相关系数r =12211))))ni iiiin ni i x y x x y y y x ===----∑∑∑（（（（，≈1.414.19.（12分）19．（12分）已知函数3()6ln f x x x =+，()'f x 为()f x 的导函数．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅰ）求函数9()()()g x f x f x x'=-+的单调区间和极值； 20.（12分）20．（12分）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n ，恰有2个黑球的概率为p n ，恰有1个黑球的概率为q n ． （1）求p 1、q 1和p 2、q 2；（2）求X 2的分布列和数学期望E (X 2) ．21.（12分）21．（12分）为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和2SO 浓度（单位：3μg/m ），得下表：（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150”的概率；（2）根据所给数据，完成下面的22⨯列联表：（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2SO 浓度有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，22.（12分）22．（12分）已知12a <≤，函数()e xf x x a =--，其中e =2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）证明：函数()y f x =在(0)+∞，上有唯一零点； （Ⅰ）记x 0为函数()y f x =在(0)+∞，上的零点，证明：（Ⅰ0x ≤≤； （Ⅰ）00(e )(e 1)(1)x x f a a ≥--．答案一、 单选题 （本题共计12小题，总分60分） 1.（5分）1D 2.（5分） 2B 3.（5分） 3 C 4.（5分） 4C 5.（5分） 5C 6.（5分）6B 7.（5分） 7C 8.（5分） 8 C 9.（5分） 9 B 10.（5分） 10C 11.（5分） 11 B 12.（5分） 12 A二、 填空题 （本题共计4小题，总分20分） 13.（5分）13．1 14.（5分） 14． 24015.（5分） 15． 16.（5分） 16．45三、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）17.（10分）17．（10分）【解】（1）当2a =时，()43f x x x =-+-.当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：32x ≤；当34x <<时，()4314f x x x =-+-=≥，无解；当4x ≥时，()43274f x x x x =-+-=-≥，解得：112x ≥； 综上所述：()4f x ≥的解集为32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭.……（5分）（2）()()()()22222121211f x x a x a x a x a aa a =-+-+≥---+=-+-=-（当且仅当221a x a -≤≤时取等号），()214a ∴-≥，解得：1a ≤-或3a ≥，a ∴的取值范围为(][),13,-∞-+∞.……（10分）18.（12分）18．（12分）【答案】（1）12000；（2）0.94；（3）详见解析【解】（1）样区野生动物平均数为201111200602020i i y ==⨯=∑， 地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为2006012000⨯=……（4分） （2）样本(,)i i x y (i =1，2，…，20)的相关系数为20()()0.943iix x y y r --===≈∑……（4分）（3）由（2）知各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积有很强的正相关性， 由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从俄各地块间这种野生动物的数量差异很大， 采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构得以执行，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计. ……（4分）19.（12分）19．（12分） 【答案】（Ⅰ）98y x =-；（Ⅰ）()g x 的极小值为(1)1g =，无极大值；【解】(Ⅰ) ∵()36ln f x x x =+，()26'3f x x x=+.可得()11f =，()'19f =， ∴曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()191y x -=-，即98y x =-.…4分 （Ⅰ） 依题意，()()32336ln ,0,g x x x x x x=-++∈+∞. 从而可得()2263'36g x x x x x =-+-，整理可得：323(1)(1)()x x g x x '-+=，令()'0g x =，解得1x =.当x 变化时，()()',g x g x 的变化情况如下表：，+∞)； g (x )的极小值为g (1)=1，无极大值. ……（12分）20.（12分）20．（12分）【答案】（1）112212716,,332727p q p q ====；；（2）；详见解析【解】（1）11131232,333333p q ⨯⨯====⨯⨯， 211131211227++3333333927p p q ⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯， 211231122222516+0+3333333927q p q ⨯⨯+⨯=⨯⨯+=⨯⨯=⨯⨯.……（8分） （2）227(2)27P X p ===；2216(1)27P X q ===；22124(0)33327P X ==⨯⨯=；∴2X 的分布列为故210()9E X =.；……（12分） 21.（12分）21．（12分）【答案】（1）0.64；（2）答案见解析；（3）有.【解】（1）由表格可知，该市100天中，空气中的 2.5PM 浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的天数有32618864+++=天，所以该市一天中，空气中的 2.5PM 浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的概率为640.64100=；……（4分） （2）由所给数据，可得22⨯列联表为：（3）根据22⨯列联表中的数据可得222()100(64101610)()()()()80207426n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==++++⨯⨯⨯36007.4844 6.635481=≈>，因为根据临界值表可知，有99%的把握认为该市一天空气中 2.5PM 浓度与2SO 浓度有关. ……（12分）22.（12分）22．（12分）【答案】（I ）证明见解析，（II ）（i ）证明见解析，（ii ）证明见解析. 【解】（I ）()1,0,1,()0,()x x f x e x e f x f x ''=->∴>∴>∴在(0,)+∞上单调递增，2212,(2)240,(0)10a f e a e f a <≤∴=--≥->=-<，所以由零点存在定理得()f x 在(0,)+∞上有唯一零点；……（4分） （II ）（i ）000()0,0xf x e x a =∴--=，002000012(1)xxx e x x e x ≤⇔--≤≤--，令22()1(02),()1(02),2xxx g x e x x x h x e x x =---<<=---<<一方面：1()1(),xh x e x h x '=--= 1()10x h x e '=->，()(0)0,()h x h h x ''∴>=∴在(0,2)单调递增，()(0)0h x h ∴>=，2210,2(1)2xx x e x e x x ∴--->-->，另一方面：1211a a <≤∴-≤，所以当01x ≥0x ≤成立，因此只需证明当01x <<时2()10x g x e x x =---≤，因为11()12()()20ln 2x x g x e x g x g x e x ''=--==-=⇒=， 当(0,ln 2)x ∈时，1()0g x '<，当(ln 2,1)x ∈时，1()0g x '>， 所以()max{(0),(1)},(0)0,(1)30,()0g x g g g g e g x ''''''<==-<∴<，()g x ∴在(0,1)单调递减，()(0)0g x g ∴<=，21x e x x ∴--<，综上，002000012(1),x xex x e x x ∴--≤≤--≤≤（8分）（ii ）0000000()()()[(1)(2)]xa a t x x f e x f x a x e x a e ==+=-+-，00()2(1)(2)0a a t x e x a e '=-+->0x ≤，0()(2)](1)(1)2)a a a a t x t e a e e a e ∴≥=--=--+-，因为12a <≤，所以,2(1)ae e a a >≥-，0()(1)(1)2(2)a t x e a a e ∴≥--+--，只需证明22(2)(1)(1)a a e e a --≥--， 即只需证明224(2)(1)(1)ae e a -≥--， 令22()4(2)(1)(1),(12)as a e e a a =----<≤， 则22()8(2)(1)8(2)(1)0aas a e e e e e e '=---≥--->，2()(1)4(2)0s a s e ∴>=->，即224(2)(1)(1)a e e a -≥--成立，因此()0x 0e (e 1)(1)x f a a≥--.……（12分）。
江苏省扬州市扬州中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题(含答案)
江苏省扬州中学2024-2025学年第一学期期中试卷高 二 数 学 2024.11一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．圆的圆心和半径分别是（ ）A ．，1B ．，3C ．，2D ．，22．经过两点，的直线的斜率为（ ）A ．B ．C ．D ．3．椭圆x 225+y 216=1的焦点为为椭圆上一点，若，则（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知双曲线的离心率大于实轴长，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D．5．两平行直线与之间的距离为（ ）ABCD6．已知圆关于直线对称，则实数（ ）A ．1或B ．1C ．3D ．或37．已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为，若抛物线上一点满足|MF |=2，∠OFM =60°，则（ ）A ．3B ．4C ．6D ．88．如图，双曲线的左右焦点分别为、，过的直线与该双曲线的两支分别交于、两点（在线段上），⊙与⊙分别为与的内切圆，其半径分别为、，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．(0，+∞)二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9．下列说法正确的是（ ）A ．若，且直线不经过第二象限，则，.()()22232x y +++=()2,3-()2,3-()2,3--()2.3-(2,7)A (4,6)B 12-2-12212,,F F P 13PF =2PF =435722:1y C x m -=m (3,)+∞)+∞(0,3)320mx y --=4670x y --=22:330C x y mx y +-++=:0l mx y m +-=m =3-1-F M p =2218y x -=1F 2F 1F l A B A 1F B 1O 2O 12AF F △2ABF △1r 2r 12r r 1132⎛⎫ ⎪⎝⎭，1233⎛⎫⎪⎝⎭，1223⎛⎫ ⎪⎝⎭，0abc ≠0ax by c ++=0ab >0bc <B ．方程（）表示的直线都经过点.C ．，直线不可能与轴垂直.D ．直线的横、纵截距相等.10．已知曲线．点，，则以下说法正确的是（ ）A ．曲线C 关于原点对称B ．曲线C 存在点P，使得C ．直线与曲线C 没有交点D ．点Q 是曲线C 上在第三象限内的一点，过点Q 向作垂线，垂足分别为A ，B ，则.11．已知集合.由集合中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”.给出下列结论，正确的有（ ）A ．白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为B ．在阴影部分任取一点，则到坐标轴的距离小于等于3.C ．阴影部分的面积为.D ．阴影部分的内外边界曲线长为.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12．若双曲线的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角的大小为 .13．已知椭圆的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点的直线交椭圆于A 、B 两点，若，则该椭圆的离心率为 .14．已知为曲线y =1+4―x 2上的动点，则的最大值为 .四、解答题:本题共5小题，共77分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知△ABC 的顶点坐标是为的中点.(1)求中线的方程；(2)求经过点且与直线平行的直线方程.16．已知双曲线C :x 2a2―y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为为双曲线的右焦点，且点到直线的()()21250x y λλ++--=R λ∈()2,1m ∈R 220m x y ++=y 3310x y +-=:44C x x y y =-1F 2(0,F 124PF PF -=2y x =2y x =±45QA QB ⋅=(){}22,(cos )(sin )4,0πP x y x y θθθ=-+-=≤≤∣P 1M M 8π8π()222210,0y x a b a b -=>>22221(0)x y a b a b+=>>2F 1AB F B ⊥，14sin 5F AB ∠=(),P a b 223a b a b --++()()()2,0,6,2,2,3,A B C M --AB CM B AC ()5,,03F c F 2a x c=距离为.(1)求双曲线的方程；(2)若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值.17．已知，是抛物线：上的两点．(1)求抛物线的方程；(2)若斜率为的直线经过的焦点，且与交于，两点，求的最小值．18．椭圆与椭圆：有相同的焦点，且经过点.(1)求椭圆的方程；(2)椭圆的右焦点为，设动直线与坐标轴不垂直，与椭圆交于不同的，两点，且直线和的斜率互为相反数.①证明：动直线恒过轴上的某个定点，并求出该定点的坐标.②求△OMN 面积的最大值.19．定义：M 是圆C 上一动点，N 是圆C 外一点，记的最大值为m ，的最小值为n ，若，则称N 为圆C 的“黄金点”；若G 同时是圆E 和圆F 的“黄金点”，则称G 为圆“”的“钻石点”.已知圆165C ()12,0A P C PA PF +()6,2A m +()24,8B m +C ()221y px p =>C ()0k k ≠l C C P Q 2PQ k +C 1C 2212x y +=31,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭C C B l l C M N BM BN l x MN MN 2m n =E F -A ：，P 为圆A 的“黄金点”(1)求点P 所在曲线的方程.(2)已知圆B ：，P ，Q 均为圆“”的“钻石点”.①求直线的方程.②若圆H 是以线段为直径的圆，直线l ：与圆H 交于I ，J 两点，对于任意的实数k ，在y 轴上是否存在一点W ，使得y 轴平分？若存在，求出点W 的坐标；若不存在，请说明理由.()()221113x y +++=()()22221x y -+-=A B -PQ PQ 13y kx =+IWJ ∠江苏省扬州中学2024-2025学年第一学期期中试卷高二数学（参考答案）2024.11参考答案：题号12345678910答案C A D A C C A C BD CD 题号11 答案ABD8．【详解】设，∴S △AF 1F 2=12r 1(8+2m )=(4+m )r 1，S △ABF 2=12r 2(2m +2p )=(m +p )r 2，.在△与△中：，即，，当双曲线的斜率为正的渐近线时，取最大，此时，，当与轴重合时，取最小，此时，经上述分析得：，.故选：C.10．【详解】当时，曲线，即；当时，曲线，即；不存在；时，曲线，即；时，曲线，即；画出图形如右：对于A ，由图可得A 错误，故A 错误；对于B ，方程是以为上下焦点的双曲线，当时，曲线C 存在点P ，使得，故B 错误；对于C ，一三象限曲线的渐近线方程为，所以直线与曲线C 没有交点，故C 正确；对于D ，设，设点在直线上，点在直线，11222,,6,2,2AF m BA p F F AF m BF m p ====+=+-()()11224m r S m S p m p r +∴==+12AF F 2AF B 122cos cos F AF F AB ∠=-∠()()()()()2222222262222224m m m p m p m p m m m pm++-++-+-=-⇒=⋅⋅+⋅+⋅-32212324444444m m r m mp m m m r p mp m m m++-∴===+++--//l m p →+∞404m m ∴-=⇒=l x m 2m =()2,4m ∈1212,23r r ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭0,0x y ≥>22:44C x y =-2214y x -=0,0x y ≥<22:44C x y =--2214y x +=-0,0x y ≤≥22:44C x y -=-2214y x +=0,0x y <≤22:44C x y -=--2214y x -=2214y x -=12,F F 0,0x y ≥>214PF PF -=2y x =2y x =()00,Q x y A 2y x =B 2y x =-又点Q 是曲线C 上在第三象限内的一点，代入曲线方程可得，故D 正确；故选：CD.11．【详解】对于A ，由于，令时，整理得，解得，“水滴”图形与轴相交，最高点记为A ，则点A 的坐标为，点，白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为，故A 正确；对于B ，由于，整理得：，所以，所以到坐标轴的距离为或，因为，所以，，所以到坐标轴的距离小于等于3，故B正确；对于C ，由于，令时，整理得，解得，因为表示以为圆心，半径为的圆，则，且，则在x 轴上以及x 轴上方，故白色“水滴”的下半部分的边界为以为圆心，半径为1的半圆，阴影的上半部分的外边界是以为圆心，半径为3的半圆，根据对称可知：白色“水滴”在第一象限的边界是以以为圆心，半径为2的圆弧，设，则，即AN 所对的圆心角为，同理AM 所在圆的半径为2，所对的圆心角为，阴影部分在第四象限的外边界为以为圆心，半径为2的圆弧，设，可得，DG 所对的圆心角为，同理DH 所在圆的半径为2，所对的圆心角为，故白色“水滴”图形由一个等腰三角形，两个全等的弓形，和一个半圆组成，22004455x y QA QB -⋅==22(cos )(sin )4x y θθ-+-=0x =[]32sin 0,2y yθ=-∈[1]y ∈- y (0,1)B -||1AB =22(cos )(sin )4x y θθ-+-=2cos cos 2sin sin x y αθαθ=+⎧⎨=+⎩2cos cos ,2sin sin )(M αθαθ++M ||2cos cos αθ+|2sin sin |αθ+cos [1,1],sin [0,1]θθ∈-∈2cos cos ||2cos ||cos |213|αθαθ+≤+≤+=|2sin sin ||2sin ||sin |213αθαθ+≤+≤+=M 22(cos )(sin )4x y θθ-+-=0y =[]32cos 2,2y yθ=-∈-[3,1][1,3]x ∈-- 22(cos )(sin )4x y -+-=θθ()cos ,sin Q θθ2r =13r OQ OP OQ r =-≤≤+=0πθ≤≤()cos ,sin Q θθO O ()1,0M -()1,0N 2AN AM MN ===π3π3()1,0N ()()3,0,3,0G H -π1,3ON OD OND ==∠=2π32π3所以它的面积是.轴上方的半圆（包含阴影和水滴的上半部分）的面积为，第四象限的阴影和水滴部分面积可以看作是一个直角三角形和一个扇形的面积的和，且等于所以阴影部分的面积为C 错误；对于D ，轴上方的阴影部分的内外边界曲线长为，轴下方的阴影部分的内外边界曲线长为，所以阴影部分的内外边界曲线长为，故D 正确.故选：ABD.12．13【详解】如图，设，因为，所以．由椭圆定义可知，，由，可得，所以．在Rt △F 1BF 2中，由，可得，即得，故得14．【详解】曲线，由于在曲线上，令，则，（其中），，又，，当时取得最大值15．【详解】（1）因为，所以，212π111π2π1222326S S S S ⎛=++=⨯⨯+⨯+⨯=⎝V 弓形半圆x 219π3π22⨯=2114π21π323⨯⨯+=941116π2(πππ2363++-=+x 1π4132π3223πππ2333⨯⨯+⨯⨯=+=x 111112π1(2π2π2)2π2233⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=13π11π8π33+=π314BF t =1AB F B ⊥，14sin 5F AB ∠=15,3AF t AB t ==21212=25,224AF a AF a t BF a BF a t =--=-=-22493AB AF BF a t t =+=-=13t a =1242,33BF a BF a ==2221212||||||F F BF BF =+222424(()33a a c =+2295c a =c e a ==9+1y =()()22141x y y +-=≥(),P a b ()2cos ,0π12sin a b θθθ=⎧≤≤⎨=+⎩()()222232cos 12sin 32cos 12sin a b a b θθθθ--++=---+++2cos 2sin 454sin 42sin 2cos 54sin θθθθθθ=--++=+-++()96sin 2cos 9θθθϕ=+-=+-sin ϕ=cos ϕ=π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭[][]0,π,πθθϕϕϕ∈∴-∈-- π,02ϕ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭ππ,π2ϕ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭∴π2θϕ-=223a b a b --++9+()()2,0,6,2A B -()4,1M -故的方程是，即；（2）因为直线的斜率，所以经过点且与直线平行的直线方程为，即.16．【详解】（1）由题意知，解得，则，所以双曲线的方程为.（2）记双曲线的左焦点为，则，可得，当三点共线时，最小，且最小值为.故的最小值为.17．【详解】（1）∵，是抛物线C ：上的两点，∴，则，整理得，解得， 当时，，解得，不合题意；当时，，解得．故抛物线C 方程为y 2=6x ．（2）由（1）知C 的焦点为，故直线l 的方程为，联立，得，必有，设，，则，∴， ∴，即所以的最小值为18．【详解】（1）椭圆：的焦点坐标为，所以椭圆的焦点坐标也为，即得焦距为，∵椭圆过点，∴，CM 143124y x +-=+--2350x y +-=AC 303224ACk -==---B AC ()3264y x +=--34100x y +-=253165c a a c c ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩35a c =⎧⎨=⎩4b ==C 221916x y -=C 0F ()05,0F -0026PA PF PA PF a PA PF +=++=++0,,P F A 0PA PF +017AF =PA PF +17623+=()6,2A m +()24,8B m +()221y px p =>()()22212,848m p m p⎧+=⎪⎨+=⎪⎩()()22842m m +=+216m =4m =±4m =-()21224p m =+=113p =<4m =()212236p m =+=31p =>3,02⎛⎫⎪⎝⎭32y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2632y xy k x ⎧=⎪⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩()222293604k x k x k -++=0∆>()11,P x y ()22,Q x y 212236k x x k ++=2122236636k PQ x x p k k+=++=+=+222666PQ k k k +=++≥+226k k=2k =2PQ k +6+1C 2212x y +=()1,0±C ()1,0±22c =C 31,2Q ⎛⎫⎪⎝⎭24a +=∴，，∴椭圆的标准方程为.（2）①设直线：（），由，得，设M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，所以，，所以，因为直线和的斜率互为相反数，所以，所以，所以，所以.即，所以，因为，所以，所以动直线恒过轴上的定点②由①知，，且，即，又S △OMN =12⋅|OT |⋅|y 1―y 2|=12⋅4⋅(y 1+y 2)2―4y1y 2令，则，∴S △OMN=24⋅n (3n +16)2≤24⋅n (2⋅3n⋅16)2=24⋅n 4⋅3n ⋅16=3（当且仅当时取“＝”）∴(S △OMN )max =3.19．【详解】（1）因为点P 为圆A 的“黄金点”，即，所以点P的轨迹是以AP 所在曲线的方程为（2）①因为P 为圆B 的“黄金点”，则所以，即点P 在圆上，则P 是圆和的交点.因为P ，Q 均为圆“”的“钻石点”，所以直线即为圆和的公共弦所在直线，2a =b =22143x y +=l x my t =+0m ≠223412x my t x y =+⎧⎨+=⎩()2223463120m y mty t +++-=122634mt y y m +=-+212231234t y y m -=+()()()()1221121212111111MF NF y x y x y yk k x x x x -+-+=+=----()()()()1221121111y my t y my t x x +-++-=--BM BN 0MB NB k k =+()()()()12211211011y my t y my t x x +-++-=--()()1221110y my t y my t +-++-=()()1212210my y t y y +-+=()22231262103434t mtm t m m --⨯+-⨯=++()640m t -=0m ≠4t =l x ()4,0T 1222434m y y m +=-+1223634y y m =+()()22Δ24434360m m =-+⋅>24m >224==240n m =->24m n =+316n ==PA =()()2211 3.x y +++=()121PB PB +=-||3PB =()()22229x y -+-=()()22113x y +++=()()22229x y -+-=A B -PQ ()()22113x y +++=()()22229x y -+-=两圆方程相减可得，故直线的方程为.②设的圆心为的圆心为，半径为.直线的方程为，得的中点坐标为，点S 到直线，则，所以圆H 的方程为.假设轴上存在点满足题意，设，.若轴平分，则，即，整理得又，所以代入上式可得，整理得①，由可得，所以x 1+x 2=―23k k 2+1,x 1x 2=―89k 2+1，代入①并整理得，此式对任意的都成立，所以.故轴上存在点，使得轴平分.0x y +=PQ 0x y +=22(1)(1)3x y +++=(11),S --()()22229x y -+-=(2,2)T 3ST y x =PQ (0,0)0x y +==12PQ ==221x y +=y (0),W t ()()1122,,,I x y J x y 120x x ≠y IWJ ∠0IM JW k k +=12120y t y tx x --+=()()21120.x y t x y t -+-=11223,113y kx y kx =+=+211211)33(()0x kx t x kx t +-++-=()12121203kx x t x x ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭22131y kx x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩()22281039k x kx ++-=2203k kt -+=k 3t =y ()0,3W y IWJ ∠。
北京市昌平区第一中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题含答案解析
北京市昌平区第一中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题一、单选题(共18 分)1直线√3x−y+2=0的倾斜角为（）A30°B60°C120°D150°【答案】B【分析】先由直线方程求出斜率再由斜率求出直线的倾斜角【详解】解：设直线的倾斜角为α由直线√3x−y+2=0可知其斜率为√3所以tanα=√3因为α∈[0°,180°)所以α=60°故选：B【点睛】此题考查由直线方程求直线的倾斜角属于基础题2圆C1:x2+y2−6x=0与圆C2:x2+(y+4)2=16的位置关系是（）A相交B内切C外切D相离【答案】A【分析】根据给定条件求出两圆圆心、半径及圆心距再判断两圆位置即可【详解】圆C1:(x−3)2+y2=9的圆心C1(3,0)半径r1=3圆C2:x2+(y+4)2=16的圆心C2(0,−4)半径r2=4显然|C1C2|=√32+42=5∈(r2−r1,r2+r1)所以圆C 1与圆C 2相交故选：A3如图所示空间四边形OABC 中OA ⃑⃑⃑⃑⃑ =a,OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =b,OC ⃑⃑⃑⃑⃑ =c 点M 在OA 上且OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =2MA⃑⃑⃑⃑⃑⃑ N 为BC 中点则MN⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 等于A 12a −23b +12cB −23a +12b +12cC 12a +12b −23cD 23a +23b −12c【答案】B【详解】 MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ＝ON ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ －OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ＝12 (OB ⃑⃑⃑⃑⃑ ＋OC ⃑⃑⃑⃑⃑ )－23 OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ＝12 (b ＋c)－23a ＝－23a ＋12b ＋12c 4若直线x −y +m =0与圆 x²+y²=1相切则实数m 的值为（ ）A ±√22B ±1C ±√2D ±√3【答案】C【分析】直线与圆相切则有圆心到直线距离等于半径列方程求实数m 的值【详解】圆 x²+y²=1圆心坐标为(0,0)半径为1直线x −y +m =0与圆 x²+y²=1相切则有圆心到直线距离等于半径即d =√12+(−1)2=1解得m =±√2故选：C5已知平面α⊥平面βα∩β=l ．下列结论中正确的是（ ）A 若直线m ⊥平面α则m // βB 若平面γ⊥平面α则γ // βC 若直线m ⊥直线l 则m ⊥βD 若平面γ⊥直线l 则γ⊥ β【答案】D【分析】A利用线面平行的判定定理；B面面垂直没有传递性；C利用面面垂直的性质定理；D利用面面垂直的判定定理；【详解】A若m⊥αα⊥β则m//β或m⊂β故A错误；B若γ⊥αα⊥β则γ//β或γ与β相交故B错误；C若m⊥lα⊥βα∩β=l必须m⊂α利用面面垂直的性质定理可知m⊥β故C错误；D若l⊥γα∩β=l即l⊂β利用面面垂直的判定定理知γ⊥ β故D正确；故选：D【点睛】关键点点睛：本题主要考查空间直线平面直线的位置关系的判断熟练掌握平行和垂直位置关系的判定和性质是解题的关键属于基础题6“m=2”是“直线2x+(m+1)y+4=0与直线mx+3y−2=0平行”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据两者之间的推出关系可得正确的选项【详解】当m=−1时两直线不平行；当m≠−1时由两直线平行可得−2m+1=−m3且−4m+1≠23解得m=2或m=−3∴“m=2”是“直线2x+(m+1)y+4=0与直线mx+3y−2=0平行”的充分不必要条件故选：A二、多选题(共3 分)7已知直线l:2x−my+m−4=0则下述论断正确的是（）A直线l不可能经过坐标原点B直线l的斜率可能为0C直线l的倾斜角不可能是π2D直线l恒过定点(2,1)【答案】AD 【分析】当m=4时l:y=12x经过坐标原点；若m≠0由斜率k=2m判断B；当m=0斜率不存在从而判断C；将点(2,1)代入直线方程判断D【详解】当m=4时l:y=12x经过坐标原点故A正确；若m≠0直线l的斜率存在且斜率k=2m不可能为0故B错误；若m=0则直线l:x=2的斜率不存在此时直线l的倾斜角是π2故C错误；将点(2,1)代入直线方程得：l:4−m+m−4=0即直线l恒过定点(2,1)故D正确；故选：AD三、单选题(共9 分)8在正三棱锥P−ABC中AB=3PA=2则直线PA与平面ABC所成角的大小为（）A30∘B45∘C60∘D75∘【答案】A【分析】根据正三棱锥的特点可知点P在底面的投影为底面的中心O所以PA与AO的夹角即为PA与平面ABC的夹角然后通过题目所给的棱长解三角形求解即可【详解】如图过点P作PO⊥平面ABC则点O为正三角形ABC的中心连接AO并延长交BC于点D则点D为BC的中点根据直线与平面夹角的概念可知PA与平面ABC的夹角的平面角为∠PAO因为AB=3则AD=√32AB=3√32所以AO=23AD=√3又因为PA=2所以cos∠PAO=AOAP =√32故角∠PAO=30∘故选：A【点睛】利用定义法求解直线与平面间的夹角问题时要注意找到斜线在面内的投影斜线与斜线在平面内投影的夹角即为线面夹角9若圆O:x 2+y 2=2上存在点P 直线l:y =k (x +2)上存在点Q 使得 OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =QO⃑⃑⃑⃑⃑⃑ , 则实数k 的取值范围为（ ）A [−2,2]B [−√3,√3]C [−1,1]D [−√33,√33] 【答案】C【分析】由OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =QO⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 判断出直线和圆有公共点利用圆心到直线的距离小于或等于半径列不等式解不等式求得k 的取值范围【详解】由于OP⃑⃑⃑⃑⃑ =QO ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 即PQ 是圆O 的直径因此直线l 和圆O 有公共点 于是圆心O (0,0)到直线kx −y +2k =0的距离√1+k 2≤√2解得−1≤k ≤1所以实数k 的取值范围为[−1,1]故选：C10棱长为1的正方体ABCD−A₁B₁C₁D₁中若点P为线段A₁B上的动点(不含端点)则下列结论错误的是（）A平面A₁D₁P⊥平面AA₁P B四面体D₁−B₁CP的体积是定值C△APD1可能是钝角三角形D直线D₁P与AB所成的角可能为π6【答案】D【分析】通过线面垂直证明面面垂直判断选项A；利用等体积法由底面积和高都为定值得四面体体积为定值判断选项B；利用余弦定理得到∠D1PA可能为钝角判断选项C；利用线线角的范围判断选项D 【详解】在正方体ABCD−A1B1C1D1中P为线段A1B上的动点（不含端点）D1A1⊥A1B1D1A1⊥A1AA1B1∩A1A=A1A1B1A1A⊂平面AA1P∴D1A1⊥平面AA1P∵D1A1⊂平面A1D1P∴平面A1D1P⊥平面AA1P故A正确；连接CD1,B1D1,B1P,B1C,PC因为BP//CD1BP⊂平面B1D1CCD1⊂平面B1D1C所以BP//平面B1D1C因此四面体P−B1D1C的底面是确定的高也是定值其体积为定值所以四面体D₁−B₁CP的体积是定值故B正确；因为正方体的棱长为1所以AD1=A1B=√2若P 是A 1B 上靠近A 1的一个四等分点则A 1P =14A 1B =√24 所以D 1P 2=A 1D 12+A 1P 2=1+(√24)2=98 此时AP 2=AA 12+A 1P 2−2AA 1⋅A 1P ×cos45°=12+(√24)2−2×1×√24×√22=58 因为D 1P 2+AP 2<AD 12此时∠D 1PA 为钝角△APD 1是钝角三角形故C 正确；过P 点作PQ//AB 交A 1A 于Q正方体中AB ⊥平面ADD 1A 1则PQ ⊥平面ADD 1A 1D 1Q ⊂平面ADD 1A 1PQ ⊥D 1Q 直线D₁P 与AB 所成的角为∠D 1PQ设PQ =x 则0<x <1有A 1Q =xD 1Q =√x 2+1Rt △D 1PQ 中tan∠D 1PQ =D 1Q PQ =√x 2+1x =√1+1x 2>√2 而tan π6=√33<√2故D 错误故选：D四、填空题(共 18 分)11设平面α，β的法向量分别为 m ⃑⃑ =(1,−2,3),n ⃑ =(−3,y,z ).若 α∥β,则 y +z =________【答案】−3【分析】由面面平行得到法向量共线再利用向量的共线定理即可解决【详解】因为α∥β,所以m ⃑⃑ //n ⃑ 可得m ⃑⃑ =λn ⃑又m ⃑⃑ =(1,−2,3),n ⃑ =(−3,y,z ).{1=−3λ−2=λy 3=λz 可得{λ=−13y =6z =−9则y +z =−3故答案为：−312在空间直角坐标系Oxyz 中已知点A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,2),D(0,0,1)则直线AD 与BC 所成角的大小是___．【答案】60°【分析】利用空间向量求夹角公式直接求解【详解】∵A(1,0,0), B(0,2,0), C(0,0,2), D(0,0,1)∴ BC⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,−2,2), AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =(−1,0,1) ∴cos⟨AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ,BC ⃑⃑⃑⃑⃑ ⟩=AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |AD ⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |=2√02+(−2)2+22⋅√02+(−1)2+12=22√2⋅√2=12 又空间中两直线夹角范围为(0∘,90∘]故⟨AD⃑⃑⃑⃑⃑ ,BC ⃑⃑⃑⃑⃑ ⟩=60∘ 所以直线AD 与BC 所成角的大小是60°故答案为：60°13设直线l 过点(−4,0)其倾斜角的余弦值为45则直线l 的方程为________________【答案】3x −4y +12=0【分析】根据三角函数同角的三角函数关系求得直线的斜率根据直线过的点可得直线点斜式方程化为一般式即得答案【详解】设直线l 的倾斜角为θ,θ∈[0,π)则cosθ=45,∴sinθ=35,tanθ=34即直线的斜率为34由直线l 过点(−4,0)得直线方程为y −0=34(x +4)即3x −4y +12=0故答案为：3x −4y +12=014在空间直角坐标系Oxyz 中若点A (−1,3,1),B (−1,3,4),D (1,1,1)且AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =2PB ⃑⃑⃑⃑⃑ 则|PD ⃑⃑⃑⃑⃑ |的值为__________【答案】2√3【分析】先利用空间向量的线性运算求出点P 的坐标然后利用向量模的计算公式即可求出结果【详解】设点P (x,y,z )因为AP⃑⃑⃑⃑⃑ =2PB ⃑⃑⃑⃑⃑ A (−1,3,1),B (−1,3,4) 所以(x +1,y −3,z −1)=2(−1−x,3−y,4−z )则{x +1=2(−1−x )y −3=2(3−y )z −1=2(4−z )解得{x =−1y =3z =3 即P (−1,3,3)又D (1,1,1)所以PD ⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,−2,−2)所以|PD⃑⃑⃑⃑⃑ |=2√3 故答案为：2√315在平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中所有棱长均为1且∠BAA 1=∠DAA 1=60°, AB ⊥AD 则线段 AC 1的长度为____________【答案】√5【分析】利用AC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 然后平方转化为向量的数量积计算；【详解】AC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 2=(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )2=AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 2+AD ⃑⃑⃑⃑⃑ 2+AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 2+2AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +2AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +2AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=1+1+1+0+2×1×1×12+2×1×1×12=5 ∴AC 1=|AC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=√5故答案为：√516数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线曲线G ：(|x |−1)2+(|y |−1)2=2就是其中之一．给出下列四个结论：①曲线G 有且仅有四条对称轴；②曲线G 上任意两点之间的距离的最大值为6；③曲线G 恰好经过9个整点(即横坐标、纵坐标均为整数的点)；④曲线G 所围成的区域的面积为8+4π．其中所有正确结论的序号是_____________．【答案】∴∴∴【分析】先根据题意画出曲线G根据圆的性质可得曲线G有且仅有x轴y轴直线y=x直线y=−x四条对称轴进而即可判断∴；由图象可知当曲线G上的两点在直线y=x直线y=−x上时其之间的距离的最大值进而即可可判断∴；分别令x=0x=±1x=±2可得到9个整点的坐标再进而说明当|x|≥3时不存在这样的点即可判断∴；根据图象可得曲线G由四个半径为√2的半圆所围成的区域再根据S=S正方形+4×S半圆即可判断∴正确．【详解】由(|x|−1)2+(|y|−1)2=2当x≥0y≥0时(x−1)2+(y−1)2=2则其图象为以(1,1)为圆心√2为半径在第一象限的半圆弧及点(0,0)(0,2)(2,0)；当x<0y≥0时(x+1)2+(y−1)2=2则其图象为以(−1,1)为圆心√2为半径在第二象限的半圆弧及点(−2,0)；当x<0y<0时(x+1)2+(y+1)2=2则其图象为以(−1,−1)为圆心√2为半径在第三象限的半圆弧；当x≥0y<0时(x−1)2+(y+1)2=2则其图象为以(1,−1)为圆心√2为半径在第四象限的半圆弧及点(0,−2)；则曲线G如下图对于∴根据圆的性质可得曲线G有且仅有x轴y轴直线y=x直线y=−x四条对称轴故∴正确；对于∴由图象可知当曲线G上的两点在直线y=x直线y=−x上时其之间的距离的最大值且最大值为2d=4√2故∴错误；对于∴令x=0则(|y|−1)2=1解得y=0或y=±2可得点(0,0)(0,−2)(0,2)；令x=±1则(|y|−1)2=2显然y无整数解；令x=±2则(|y|−1)2=1解得y=0或y=±2可得点(−2,0)(2,0)(−2,−2)(−2,2)(2,−2)(2,2)；令|x|≥3(|x|−1)2+(|y|−1)2≥4>2显然不成立所以曲线G恰好经过9个整点故∴正确；对于∴根据图象可得曲线G由四个半径为√2的半圆所围成的区域所以其面积为S=S正方形+4×S半圆=(2√2)2+π×(√2)2÷2×4=8+4π故∴正确．故答案为：∴∴∴．【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是将曲线G：(|x|−1)2+(|y|−1)2=2分四种情况：∴x≥0y≥0；∴x<0y≥0；∴x<0y<0；∴x≥0y<0再画出图象即可求解．五、解答题(共6 分)已知△ABC的三个顶点分别是A(1,3),B(3,1),C(−1,0)17 求边AB所在直线的方程以及这条边上的高所在直线的方程；18 求△ABC的面积【答案】17 x+y−4=0x−y+1=0；18 5【分析】（1）求出直线AB的斜率然后利用点斜式方程可得出直线AB及边AB上的高所在直线的方程（2）求出|AB|并利用点到直线的距离公式求出点C到直线AB的距离然后利用三角形的面积公式可求出△ABC的面积【17题详解】依题意直线AB的斜率为k AB=3−11−3=−1所以边AB所在直线的方程为y−3=−(x−1)即x+y−4=0边AB上的高CD所在直线的斜率为1方程为y−0=x+1即x−y+1=0【18题详解】由两点间的距离公式得|AB|=√(1−3)2+(3−1)2=2√2点C到直线AB的距离|CD|=√12+12=5√22所以△ABC的面积为S△ABC=12|AB|⋅|CD|=12×2√2×5√22=5六、其它(共3 分)19如图在三棱柱ABC−A1B1C1中四边形AA1C1C是边长为4的正方形AB=3再从条件∴､条件②､条件∴中选择两个能解决下面问题的条件作为已知并作答（1）求证：AB⊥平面AA1C1C；（2）求直线BC与平面A1BC1所成角的正弦值条件∴：BC=5；条件∴：AB⊥AA1；条件∴：平面ABC⊥平面AA1C1C【答案】条件选择见解析；（1）证明见解析；（2）1225【分析】选择∴∴：（1）根据勾股定理可得AB⊥AC再由AB⊥AA1利用线面垂直的判定定理可得AB⊥平面AA1C1C；选择∴∴：（1）根据勾股定理可得AB⊥AC再由面面垂直的性质定理可得AB⊥平面AA 1C 1C（2）以A 为原点建立空间直角坐标系A −xyz 求出平面A 1BC 1的一个法向量根据sinθ=|cos <BC ⃑⃑⃑⃑⃑ ,n ⃑ >| 【详解】 解：选择∴∴：（1）因为AC =4AB =3BC =5 所以AB ⊥AC又因为AB ⊥AA 1AC ∩AA 1=A 所以AB ⊥平面AA 1C 1C选择∴∴：（1）因为AC =4AB =3BC =5 所以AB ⊥AC又因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C 平面ABC ∩平面AA 1C 1C =AC 所以AB ⊥平面AA 1C 1C（2）由（1）知AB ⊥ACAB ⊥AA 1 因为四边形AA 1C 1C 是正方形所以AC ⊥AA 1 如图以A 为原点建立空间直角坐标系A −xyz 则A(0,0,0)B(3,0,0)C(0,0,4)A 1(0,4,0)C 1(0,4,4)A 1B ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(3,−4,0)A 1C 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,0,4)BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(−3,0,4)设平面A 1BC 1的一个法向量为n ⃑ =(x,y,z) 则{n ⃑ ⋅A 1B ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0,n ⃑ ⋅A 1C 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0, 即{3x −4y =0,4z =0.令y =3则x =4z =0所以n ⃑ =(4,3,0) 设直线BC 与平面A 1BC 1所成角为θ则sinθ=|cos <BC ⃑⃑⃑⃑⃑ ,n ⃑ >|=|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⋅n ⃑ ||BC ⃑⃑⃑⃑⃑ ||n ⃑ |=1225所以直线BC 与平面A 1BC 1所成角的正弦值为1225 【点睛】 思路点睛：解决二面角相关问题通常用向量法具体步骤为：（1）建坐标系建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内； （2）根据题意写出点的坐标以及向量的坐标注意坐标不能出错 （3）利用数量积验证垂直或求平面的法向量 （4）利用法向量求距离、线面角或二面角 七、解答题(共 27 分)已知圆 C:(x −1)2+y 2=9内有一点P (2,2)过点P 作直线l 交圆C 于A,B 两点 20 当直线l 经过圆心时求直线l 的方程； 21 当点P 平分弦AB 时求直线l 的方程； 22 当弦长|AB |=4√2时求直线l 的方程 【答案】20 2x −y −2=0 21 x +2y −6=0 22 x −2=0或3x −4y +2=0 【分析】（1）求出圆的圆心代入直线方程求出直线的斜率即可求直线l 的方程； （2）当弦AB 被点P 平分时求出直线的斜率即可写出直线l 的方程；（3）根据题意先利用弦长和半径求出圆心到直线的距离再对斜率进行分类假设直线方程求圆心到直线的距离从而得直线方程 【20题详解】圆心C(1,0)则直线l 的斜率为2−02−1=2所以直线l 的方程为y −0=2(x −1)即2x −y −2=0 【21题详解】当弦AB 被点P 平分时l ⊥PC 则直线l 的斜率为−12所以直线l的方程为y−2=−12(x−2)即x+2y−6=0．【22题详解】圆C的半径r=3设圆心到l的距离d则弦长|AB|=2√r2−d2=4√2解得d=√r2−8=1当直线l斜率不存在时则直线l的方程为x−2=0d=1满足条件当直线l斜率存在时设斜率为k则直线l的方程为y−2=k(x−2)整理得kx−y−2k+2=0d=√k2+1=√k2+1=1整理得k2+1=(−k+2)2解得k=34故直线l的方程为y−2=34(x−2)即3x−4y+2=0综上所述直线l的方程为x−2=0或3x−4y+2=0如图AE⊥平面ABCD,AE//CF,AD//BC,AD⊥AB,AB=AD=1AE=BC=223求证:BF//平面ADE;24求二面角E−BD−C的余弦值;25若点E到平面BDF的距离为3√22,求三棱锥C−BDF的体积【答案】23 详见解析；24 −13 25 16 【分析】（1）利用线面平行的判定定理得到BC//平面ADE CF//平面ADE 再利用面面平行的判定定理和性质定理证明；（2）建立空间直角坐标系求得平面BDE 的一个法向量为m ⃑⃑ =(x 1,y 1,z 1)易知平面BDC 的一个法向量为n ⃑ =(0,0,1)由cos ⟨m ⃑⃑ ,n ⃑ ⟩=m⃑⃑⃑ ⋅n ⃑ |m ⃑⃑⃑ |⋅|n ⃑ |求解； （3）设F (1,2,ℎ)求得平面BDF 的一个法向量为t=(x 2,y 2,z 2)由点E 平面BDF 的距离为d =|m ⃑⃑⃑ ⋅n ⃑ ||t|=3√22求得h 再由等体积法求解【23题详解】证明：因为AD//BC,BC ⊄平面ADE AD ⊂平面ADE 所以BC//平面ADE 同理可证CF//平面ADE又BC ∩CF =C 所以平面BCF//平面ADE 又BF ⊂平面BCF 所以BF//平面ADE ； 【24题详解】建立如图所示空间直角坐标系：则B (1,0,0),D (0,1,0),E (0,0,2)所以BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−1,1,0),BE ⃑⃑⃑⃑⃑ =(−1,0,2)设平面BDE 的一个法向量为m ⃑⃑ =(x 1,y 1,z 1)则{m ⃑⃑ ⋅BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0m ⃑⃑ ⋅BE ⃑⃑⃑⃑⃑ =0 即{−x 1+y 1=0−x 1+2z 1=0令x 1=1则y 1=1,z 1=12所以m ⃑⃑ =(1,1,12)易知平面BDC 的一个法向量为n ⃑ =(0,0,1) 则cos ⟨m ⃑⃑ ,n ⃑ ⟩=m⃑⃑⃑ ⋅n ⃑ |m ⃑⃑⃑ |⋅|n ⃑ |=12√1+1+(12)2=13易知二面角E −BD −C 的平面角为钝角所以二面角E −BD −C 的余弦值为−13 【25题详解】设F (1,2,ℎ)则BF ⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,2,ℎ)设平面BDF 的一个法向量为t =(x 2,y 2,z 2) 则{t ⋅BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0t ⋅BF ⃑⃑⃑⃑⃑ =0 即{−x 2+y 2=02y 2+ℎz 2=0 令x 2=1则y 2=1,z 2=−2ℎ所以t=(1,1,−2ℎ) 则点E 到平面BDF 的距离为d =|BE⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅t ||t|=|−1−4ℎ|√1+1+(−2ℎ)2=3√22即 4ℎ2−4ℎ+1=0解得 ℎ=12所以V C−BDF =V F−BDC =13×12×BC ×AB ×CF =13×12×2×1×12=16在平面直角坐标系xOy 中定义A (x 1,y 1)B (x 2,y 2)两点间的“直角距离”为 ρ(A,B )=|x 1−x 2|+|y 1−y 2|26 填空：(直接写出结论)①若A (1,−1),B (2,3) 则 ρ(A,B )= ；②到坐标原点的“直角距离”等于1的动点的轨迹方程是 ；③记到M (-10)N (10)两点的“直角距离”之和为4的动点的轨迹为曲线G 则曲线G 所围成的封闭图形的面积的值为 ；27 设点A (10) 点B 是直线 l:x −√2y +2=0上的动点求ρ(AB )的最小值及取得最小值时点B 的坐标；28 对平面上给定的两个不同的点A (x 1,y 1)B (x 2,y 2)是否存在点C (xy ) 同时满足下列两个条件： ①ρ(A,C )+ρ(C,B )=ρ(A,B )； ②ρ(A,C )=ρ(C,B ).若存在求出所有符合条件的点的集合；若不存在请说明理由 【答案】26 5；|x |+|y |=1；6 27 最小值为3√22点B 的坐标为(1,3√22) 28 {(x,y )|x +y =12(x 1+x 2+y 1+y 2),x 1≤x ≤x 2,y 1≤y ≤y 2}∪ {(x,y )|x −y =12(x 1+x 2−y 1−y 2),x 1≤x ≤x 2,y 1≤y ≤y 2}∪ {(x 1,y 1+y 22),(x 1+x 22,y 1)}【分析】（1）①代入定义即可得出答案；②设P (x,y )是轨迹上任意一点根据定义列出式子化简即可得出答案；③根据定义化简得出|x +1|+|x −1|+2|y |=4分情况去绝对值作出函数的图象进而得出答案；（2）设B(x0,y0)则x0−√2y0+2=0得出ρ(A,B)=|√2y0−3|+|y0|然后分情况讨论去掉绝对值得出表达式进而逐段求解即可得出最小值；（3）分当x1=x2y1≠y2时当x1≠x2y1=y2时当x1≠x2y1=y2时等情况分别讨论得出满足条件的点C即可得出答案【26题详解】①根据定义可得ρ(A,B)=|1−2|+|−1−3|=5；②设P(x,y)是轨迹上任意一点由已知可得ρ(P,O)=1根据定义可得|x|+|y|=1所以到坐标原点的“直角距离”等于1的动点的轨迹方程是|x|+|y|=1；③设Q(x,y)曲线G上任意一点由已知可得ρ(Q,M)+ρ(Q,N)=4所以有|x+1|+|y−0|+|x−1|+|y−0|=4整理可得|x+1|+|x−1|+2|y|=4（∴）当x<−1时该式可化为−(x+1)+−(x−1)+2|y|=4即x−|y|+2=0当x<−1且y<0时为x+y+2=0；当x<−1且y≥0时为x−y+2=0；（∴）当−1≤x≤1时该式可化为x+1−(x−1)+2|y|=4整理可得|y|=1即y=±1；（∴）当x>1时该式可化为x+1+x−1+2|y|=4整理可得x+|y|−2=0当x>1且y<0时为x−y−2=0；当x>1且y≥0时为x+y−2=0；作出曲线G满足的图象所以曲线G 所围成的封闭图形的面积的值为12×2×1+2×2+12×2×1=6 故答案为：5；|x |+|y |=1；6 【27题详解】设B (x 0,y 0)则x 0−√2y 0+2=0所以x 0=√2y 0−2 所以ρ(A,B )=|x 0−1|+|y 0−0|=|√2y 0−3|+|y 0| 当y 0<0时有ρ(A,B )=3−√2y 0−y 0>3； 当0≤y 0<3√22时有ρ(A,B )=3−√2y 0+y 0=3−(√2−1)y 0 >3−(√2−1)×3√22=3√22； 当y 0≥3√22时有ρ(A,B )=√2y 0+y 0−3≥(√2+1)×3√22−3=3√22综上所述当y 0=3√22时ρ(A,B )有最小值3√22此时x 0=√2×3√22−2=1所以ρ(A,B )的最小值为3√22取得最小值时点B 的坐标为(1,3√22) 【28题详解】（∴）当x 1=x 2y 1≠y 2时由条件②可得|x −x 1|+|y −y 1|=|x 2−x |+|y 2−y | 即有|y −y 1|=|y 2−y | 因为y 1≠y 2所以y =y 1+y 22由条件①可得|x −x 1|+|y −y 1|+|x 2−x |+|y 2−y |=|x 1−x 2|+|y 1−y 2| 所以有2|x −x 1|+2|y −y 1|=|y 1−y 2| 又|y −y 1|=|y 1−y 22|所以有|x −x 1|=0所以x =x 1 因此所求的点C 为(x 1,y 1+y 22)；（ⅱ）当x1≠x2y1=y2时由（∴）同理可得所求的点C为(x1+x22,y1)；（∴）当x1≠x2y1=y2时不妨设x1<x2①若y1<y2ρ(A,C)=|x−x1|+|y−y1|ρ(A,B)=|x2−x1|+|y2−y1|ρ(C,B)=|x2−x|+|y2−y|所以ρ(A,C)+ρ(C,B)=|x−x1|+|y−y1|+|x2−x|+|y2−y|=(|x−x1|+|x2−x|)+ (|y−y1|+|y2−y|)≥|(x−x1)+(x2−x)|+|(y−y1)+(y2−y)|=|x2−x1|+|y2−y1|=ρ(A,B)当且仅当(x−x1)⋅(x2−x)≥0与(y−y1)⋅(y2−y)≥0同时成立所以有x1≤x≤x2且y1≤y≤y2从而由条件②可得x+y=12(x1+x2+y1+y2)此时所求的点C的全体为{(x,y)|x+y=12(x1+x2+y1+y2),x1≤x≤x2,y1≤y≤y2}；②若y1>y2由条件①可得x1≤x≤x2且y1≤y≤y2从而由条件②可得x−y=12(x1+x2−y1−y2)此时所求的点C的全体为{(x,y)|x−y=12(x1+x2−y1−y2),x1≤x≤x2,y1≤y≤y2}综上所述所有符合条件的点的集合为{(x,y)|x+y=12(x1+x2+y1+y2),x1≤x≤x2,y1≤y≤y2}∪{(x,y)|x−y=12(x1+x2−y1−y2),x1≤x≤x2,y1≤y≤y2}∪{(x1,y1+y22),(x1+x22,y1)}【点睛】关键点点睛：根据定义得出关系式后根据未知量的范围分类讨论去掉绝对值化简求解。
南京师范大学附属中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题(解析)
（i）该直播平台“优秀商家”个数约为 （家）；
（ii）由已知得：抽取的“优秀商家”中来自300-350元平均日利润组的有4家，
来白350-400元平均日利润组的有2家．
设邀请到的商家来自不同平均日利润组别的事件为 ，则 ．
19.已知椭圆 ： 的离心率为 ，点 ， 分别为其下顶点和右焦点，坐标原点为 ，且 的面积为 ．
所以双曲线渐近线为 .
故选：B
2.若将直线 沿 轴正方向平移3个单位，再沿 轴负方向平移2个单位，又回到了原来的位置，则 的斜率是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别写出平移前后 直线的方程，结合题意运算求解.
【详解】由题意可知：直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，则平移后直线的方程为 ，
所以 方程为： ，即 ；
当 在 两侧，则 中点 在 上，
所以 ，即 ；
综上所述，直线 的方程为 或 .
18.近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种主流经济形式．某直播平台对平台内800个直播商家进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、果蔬、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图．
对于 ，由频率分布直方图得： 的频率为 的频率为 ，所以成绩的中位数位于区间 内，故 错误；
对于D，估计成绩的平均数为： ，所以成绩的平均数落在区间 内，故D正确.
故选：ABD.
11.在矩形 中， ， ，动点 在以点 为圆心且与 相切的圆上．若 ，则 的可能取值有（）
A. B. C.3D.4
【答案】AC
A.4B.6C.8D.10
【答案】A
【解析】
【分析】利用椭圆方程得到 ， ，再利用正弦定理即可求解
高二上册数学期中试卷及答案精选
高二上册数学期中试卷及答案精选学生的时代只有课本、作业、同学和试卷，单纯却美好。
下面小编整理了高二上册数学期中试卷及答案精选，欢迎阅读参考。
高二上册数学期中试卷及答案精选(一)一、单项选择(注释)1、在△ABC中，已知60°，如果△ABC 两组解，则x的取值范围是 ( )A.(1，2)B. (3，+∞)C.( 2，+∞)D.( 1，+∞)2、已知函数，若则实数的取值范围是 ( )A.(1，+∞)B. (1，-∞)C. (+∞，2)D.(-∞，2)3、设函数则不等式的解集是( )A.(1，2) (3，+∞)B.(1，2) (2，+∞)C. (1，2) (3，-∞)D.(1，2) (2，-∞)4、已知正数满足 , ,则的取值范围是______ .5、已知实数满足则的最大值是( )A.4B.5C. 7D.46、设f(x)= 则不等式f(x)>2的解集为( )A.(1，2) (3，+∞)B.( ，+∞)C.(1，2) ( ，+∞)D.(1，2)7、下列不等式(1)m-3>m-5;(2)5-m>3-m;(3)5m>3m ;(4)5+m>5-m其中正确的有( )(A)1个 (B)2个(C)3个 (D)4个8、已知等差数列的前项和为，，，取得最小值时的值为( )A. B. C. D.9、设等差数列的前项和为 ,若 ,则等于( )A.18B.36C.45D.6010、S={1,2,…,2003}，A是S的三元子集，满足：A中的所有元素可以组成等差数列.那么，这样的三元子集A的个数是( )A. B.C. D.11、设等差数列满足： ,则 ( )A.14B.21C.28D.3512、在中，，，分别是，，的对边，已知，，成等比数列，且，则的值为( )A. 4B.2C. 1D.5评卷人得分二、填空题(注释)13、已知 ,若恒成立,则实数的取值范围_________14、已知不等式(x+y) 对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为__________15、在△ 中，若，则△ 的形状是16、在△ABC中，已知(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC=________.评卷人得分三、解答题(注释)17、设数列满足下列关系：为常数)， ;数列满足关系： .(1)求证：(2)证明数列是等差数列.18、已知集合A={x|x2<4}，B={x|1< }.(1)求集合A∩B;(2)若不等式2x2+ax+b<0的解集为B，求a、b的值.19、已知数列的各项均为正整数,且 ,设集合 .性质1 若对于 ,存在唯一一组 ( )使成立,则称数列为完备数列,当k取最大值时称数列为k阶完备数列.性质2 若记 ,且对于任意 , ,都有成立,则称数列为完整数列,当k取最大值时称数列为k阶完整数列.性质3 若数列同时具有性质1及性质2,则称此数列为完美数列,当取最大值时称为阶完美数列;(Ⅰ)若数列的通项公式为 ,求集合 ,并指出分别为几阶完备数列,几阶完整数列,几阶完美数列;(Ⅱ)若数列的通项公式为 ,求证:数列为阶完备数列,并求出集合中所有元素的和 .(Ⅲ)若数列为阶完美数列,试写出集合 ,并求数列通项公式.20、已知数列为等差数列,公差 ,其中恰为等比数列,若 , , ,⑴求等比数列的公比⑵试求数列的前n项和21、已知是各项均为正数的等比数列,且 ,;(1)求的通项公式;(2)设 ,求数列的前项和 .22、在数列中, .(1)证明数列是等比数列;(2)设是数列的前项和,求使的最小值.参考答案一、单项选择1、【答案】C2、【答案】C【解析】由题知在上是增函数，由题得，解得，故选择C。
福建省高二上学期期中考试数学试题(解析版)
一、单选题1．数列2，－4，6，－8，…的通项公式可能是（ ） A ．B ．C ．D ．)(12nn a n =-)(112n n a n +=-)(12nn n a =-)(112n n n a +=-【答案】B【分析】根据题意，分析数列各项变化的规律，即可得答案． 【详解】根据题意，数列2，，6，，，4-8-⋯其中，，，， 11212a =⨯⨯=2(1)224a =-⨯⨯=-31236a =⨯⨯=2(1)248a =-⨯⨯=-其通项公式可以为， 1(1)2n n a n +=-⨯故选：．B 2．在等比数列中，，则 {}n a 24681,4a a a a +=+=2a =A ．2 B ．4C ．D ．1213【答案】D【分析】设等比数列{an }的公比为q ，由条件得q 4=4，解得q 2．进而得出结果．【详解】因为，解得. ()42468241,4a a a a a a q +=+=+=22q =因为，所以.选D. ()224211a a a q +=+=213a =【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．若直线经过，两点，则该直线的倾斜角为（ ） ()1,0A (4,B -A ． B ．C ．D ．30︒60︒120︒150︒【答案】C【分析】由斜率公式与斜率的定义求解即可【详解】因为直线经过，两点，()1,0A (4,B -所以直线的斜率为 AB k ==设直线的倾斜角为，则 AB θtan θ=又， 0180θ︒≤<︒所以，120θ=°所以直线的倾斜角为． AB 120︒故选：C4．已知圆的一条直径的端点分别是，，则该圆的方程为（ ） ()1,0A -()3,4B -A ． B ． ()()22128x y ++-=()()22128x y -++=C ． D ．()()221232x y ++-=()()221232x y -++=【答案】B【分析】利用中点坐标公式求出圆心，由两点间距离公式求出半径，即可得到圆的方程． 【详解】解：由题意可知，，的中点为， ()1,0A -()3,4B -()1,2-又圆的半径为12r AB ===故圆的方程为． ()()22128x y -++=故选：B ．5．某直线l 过点，且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的2倍，则该直线的斜率是（ ） (3,4)B -A ．B ．C ．或D ．或43-12-4312-43-12-【答案】D【分析】讨论在x 轴和y 轴上的截距均为0或均不为0，设直线方程并由点在直线上求参数，即可得直线方程，进而写出其斜率.【详解】当直线在x 轴和y 轴上的截距均为0时，设直线的方程为，代入点，则，解得，y kx =(3,4)B -43k =-43k =-当直线在x 轴和y 轴上的截距均不为0时， 设直线的方程为，代入点，则，解得，12x y m m +=(3,4)B -3412m m-+=52m =所以所求直线的方程为，即，1552x y+=250x y +-=综上，该直线的斜率是或．43-12-故选：D6．直线的一个方向向量为（ ） 230x y +-=A ． B ．C ．D ．()2,1()1,2()2,1-()1,2-【答案】D【分析】先求出直线的一个法向量，再求出它的一个方向向量. 【详解】直线的一个法向量为，230x y +-=()2,1设直线一个方向向量为，则有， (),a b 20a b +=故只有D 满足条件. 故选：D.7．对于任意的实数，直线恒过定点，则点的坐标为（ ） k 1y kx k =-+P P A ． B ．C ．D ．()1,1--()1,1-()1,1-()1,1【答案】D【分析】令参数的系数等于，即可得的值，即为定点的坐标. k 0,x y P 【详解】由可得， 1y kx k =-+()11y k x -=-令可得，此时， 10x -=1x =1y =所以直线恒过定点， 1y kx k =-+()1,1P 故选：D.8．点为圆上一动点，点到直线的最短距离为（ ） P 22(1)2x y -+=P 3y x =+A B ．1C D ．【答案】C【分析】首先判断直线与圆相离，则点到直线的最短距离为圆心到直线的距离再减去半P 3y x =+径，然后求出最短距离即可．【详解】解：圆的圆心为，半径到直线的距离22(1)2x y -+=(1,0)r =(2,0)30x y -+=为到直线的最短距离为圆心到直线d P 3y x =+的距离再减去半径．所以点到直线的最短距离为． P 20l x y -+=:=故选：C ．二、多选题9．下列方程表示的直线中，与直线垂直的是（ ） 210x y +-=A ． B ． 210x y -+=210x y -+=C ． D ．2410x y -+=4210x y -+=【答案】BC【分析】根据斜率确定正确选项. 【详解】直线的斜率为，210x y +-=2-直线、直线的斜率为，不符合题意. 210x y -+=4210x y -+=2直线、直线的斜率为，符合题意. 210x y -+=2410x y -+=12故选：BC10．下列说法正确的是（ ）A ．直线必过定点 ()2R y ax a a =-∈()2,0B ．直线在轴上的截距为1 13y x +=yC ．直线的倾斜角为10x +=120 D ．过点且垂直于直线的直线方程为 ()2,3-230x y -+=210x y ++=【答案】AD【分析】A 将方程化为点斜式即可知所过定点；B 令求截距；C 由方程确定斜率，根据斜率与0x =倾斜角的关系即可知倾斜角的大小；D 计算两直线斜率的乘积，并将点代入方程验证即可判断正误.【详解】A ：由直线方程有，故必过，正确； ()2y a x =-()2,0B ：令得，故在轴上的截距为－1，错误；0x =1y =-yC ：由直线方程知：斜率为，错误； 150︒D ：由，的斜率分别为，则有故相互垂直，将代入210x y ++=230x y -+=12,2-1212-⨯=-()2,3-方程，故正确. 2(2)310⨯-++=故选：AD11．(多选)若直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则直线l 的斜率为（ ） A ．1 B ．－1 C ．－2 D ．2【答案】BD【分析】对进行分类讨论，结合截距相等求得，进而求得直线的斜率. a a l 【详解】时，，不符合题意. 0a =:2l y =时，直线过， 0a ≠l ()20,2,,0a a a +⎛⎫+ ⎪⎝⎭依题意，22aa a++=解得或.2a =-1a =当时，，直线的斜率为. 2a =-:2l y x =2当时，，直线的斜率为.1a =:3l y x =-+1-故选：BD12．设等差数列的前项和是，已知，，正确的选项有（ ） {}n a n n S 120S >130S <A ．， B ．与均为的最大值 C ． D ．10a >0d <5S 6S n S 670a a +>70a <【答案】ACD【解析】利用等差数列的性质，，可得 ，()()11267121212=22++=a a a a S 670a a +>可得 ，，再根据等差数列的单调性判断。
高二数学上学期期中试题(含答案)
高二数学上学期期中试题（考试时间：120分钟，满分：150分）第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一个项是符合题目要求的。
1．若a b c R ∈,,，且0b a <<，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．b a <B ．2ab a <C ．33b a <D ．22b a <2．等差数列{}n a 中，1510a a +=，47a =，则数列{}n a 的公差为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．在ABC ∆中，若BC =sin 2sin C A =，则AB ＝（ ） A．．．．4. 已知0x >，函数x xy +=4的最小值是（ ） A.8 B.6 C.5 D.45．正项等比数列{}n a 中，26a a ,是方程234640x x -+=的两根，则4a 等于（ ） A ．7 B ．8 C ．9D ．以上都不对6．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，且222a b c =-，则角B 的大小是（ ） A ．45° B ．60°C ．90°D ．135°7．若变量,x y 满足约束条件1020y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最小值为( )A ．3B ．1C ．1-D ．3-8．已知数列121,,9a a ,是等差数列，数列1231,,16b b b ,,是等比数列，则212b a a +等于（ ） A ．710 B ．12 C ．310 D ．259. 在ABC △中，,,a b c 分别为,,A B C 的对边，如果,,a b c 成等差数列，60B =， 6ac =，那么b =（ ） Ａ．2Ｃ．3Ｄ．10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-，则2018a 等于( )A.20212B. 20202C. 20192D. 2018211. 在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，2a =，45B =，4ABC S ∆=，则ABC △的外接圆直径为( )A.B.D.12. 数列{}n a 的首项为2，{}n b 为等差数列且1(*)n n n b a a n N +=-∈,若32b =-，1012b =，则8a =（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1第II 卷（非选择题 共90分）注意事项：用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。
上海市高二数学上学期期中试题(含解析)
的最大值为 。
（2）由向量的夹角公式，
可得 ，
令 ，则 ，且 ，
可得 在 上单调递增，
所以 ，即 。
取值范围为
【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的坐标运算，以及平面向量的夹角公式的应用，同时结合函数的单调性是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题。
19.在平面上，给定非零向量 ，对任意向量 ，定义 .
【详解】由题意，直线 恒经过定点 ，
由直线的斜率公式，可得 ，
要使直线 与线段 有公共点，
则满足 或 ，
又由 ，且 ，所以 。
故答案为：
【点睛】本题主要考查了直线的斜率公式，以及直线的倾斜角与斜率的关系的应用，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于基础题。
， ．若在 轴上存在一点 ，使 最小，则点 的坐标为________．
将方程中的 分别换为 ，以及将 换成 ，比较所得方程与原方程，看相同与否，再将方程中的 换为 ，比较所得方程与原方程是否相同，最后得到结果.
【详解】将方程中的 换为 ，方程变为 ，与原方程相同，故最新 轴对称；
将方程中的 换为 ，方程变为 ，与原方程相同，故最新 轴对称；
将方程中的 换为 ，方程变为 ，与原方程不同，故不最新直线 对称；
由 ，所以是正确的。
故选：C。
【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算公式及其运算律的应用，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式和运算律是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。
所表示的曲线的对称性是（）
A.最新 轴对称B.最新 轴对称
C.最新 轴对称D.最新原点对称
【答案】D
【解析】
【分析】
高二上学期期中考试数学试卷含答案(共5套)
高二上学期期中考试数学试题本卷分Ⅰ（选择题）、Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中Ⅰ卷1至2页，第二卷2至4页，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题：本题共12个小题，每小题5分1．“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．有下列四个命题：（1）“若，则，互为倒数”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若，则有实数解”的逆否命题；（4）“若，则”的逆否命题.其中真命题为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（4）D．（1）（2）（3）3．若则为（）A．等边三角形 B．等腰直角三角形C．有一个内角为30°的直角三角形 D．有一个内角为30°的等腰三角形4．已知.若“”是真命题，则实数a的取值范围是A．(1，+∞)B．(－∞，3)C．(1，3)D．5．的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为A．B．C．D．6．已知中，，则等于（）A．B．或C．D．或7．等差数列的前项和为，若，则等于（）A．58B．54C．56D．528．已知等比数列中，，，则（）A．2B．C．D．49．已知，则z=22x+y的最小值是A．1 B．16 C．8 D．410．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（）A．B．C．D．11．当ａ＞０，关于代数式，下列说法正确的是（）A．有最小值无最大值B．有最大值无最小值C．有最小值也有最大值D．无最小值也无最大值12．在△ABC中，AB＝2，C＝，则AC＋BC的最大值为A．B．3C．4D．2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：共4个小题，每小题5分，共20分13．命题的否定是______________．14．已知的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长为________.15．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，当n≥2时，a n＋2S n－1＝n，则S2 017的值____ ___ 16．已知变量满足约束条件若目标函数的最小值为2，则的最小值为__________．三、解答题：共6题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
北京市2024-2025学年高二上学期11月期中练习数学试题含答案
2024—2025学年度第一学期高二年级数学期中练习（答案在最后）一、选择题，共10小题，每小题4分，共40分.1.直线:30l y --=的倾斜角为（）A.30︒B.60︒C.120︒D.90︒【答案】B 【解析】【分析】先由直线的一般式得到其斜率，再利用直线斜率与倾斜角的关系即可得解.【详解】因为直线30l y --=可化为3y -，,0180θθ︒≤<︒，则tan θ=，所以60θ=︒.故选：B.2.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则棱1BB 到面11AA C C 的距离为（）A.33a B.a C.2a D.【答案】C 【解析】【分析】连接1111,A C B D ，它们交于点O ，证明11B D ⊥平面11AA C C ，得1B O 的长即为棱1BB 到面11AA C C 的距离，【详解】如图，连接1111,A C B D ，它们交于点O ，正方形中1111AC B D ⊥，又1AA ⊥平面1111D C B A ，11B D ⊂平面1111D C B A ，所以111AA B D ⊥，1111111,,AA A C A AA A C ⋂=⊂平面11AA C C ，所以11B D ⊥平面11AA C C ，所以1B O 的长即为棱1BB 到面11AA C C 的距离，而122B O a =，所以所求距离为2a ．故选：C ．3.如图所示，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，1111AA D C BB +-=（）A.1AB B.DC C.AD D.BA【答案】B 【解析】【分析】通过所给平行六面体1111ABCD A B C D -，并结合相等向量、向量的加减运算，即可求解.【详解】由题中所给平行六面体1111ABCD A B C D -可知，11AA BB →→=，11D C DC →→=，故111111AA D C BB D C DC →→→→→+-==．故选：B4.已知直线()12:20,:2120l ax y l x a y +-=+++=，若1l ∥2l ，则a =（）A.1-或2 B.1C.1或2- D.2-【答案】B 【解析】【分析】由条件结合直线平行结论列方程求a ，并对所得结果进行检验.【详解】因为1l ∥2l ，()12:20,:2120l ax y l x a y +-=+++=，所以()112a a +=⨯，所以220a a +-=，解得2a =-或1a =，当2a =-时，1:220l x y -+=，2:220l x y -+=，直线12,l l 重合，不满足要求，当1a =时，1:20+-=l x y ，2:10l x y ++=，直线12,l l 平行，满足要求，故选：B.5.已知l m ，为两条不同的直线，αβ，为两个不同的平面，则下列结论正确的是()A.若l m αβαβ⊂⊂∥，，，则lmB.若l m l m αβ⊂⊂，，∥，则αβ∥C.若l m m l αββ⋂=⊂⊥，，，则αβ⊥D.若n l l n αβαβα⊥⋂=⊂⊥，，，，则l β⊥【答案】D 【解析】【分析】根据空间里面直线与平面、平面与平面位置关系的相关定理逐项判断即可.【详解】A ，若l m αβαβ⊂⊂∥，，，则lm 或异面，故该选项错误；B ，若l m l m αβ⊂⊂，，∥，则αβ∥或相交，故该选项错误；C ，若l m m l αββ⋂=⊂⊥，，，则α，β不一定垂直，故该选项错误；D ，若n l l n αβαβα⊥⋂=⊂⊥，，，，则利用面面垂直的性质可得l β⊥，故该选项正确.故选：D.6.如图，将半径为1的球与棱长为1的正方体组合在一起，使正方体的一个顶点正好是球的球心，则这个组合体的体积为（）A.716π+ B.7566π+ C.718π+ D.1π+【答案】A 【解析】【分析】该组合体可视作一个正方体和78个球体的组合体，进而求出体积.【详解】由题意，该组合体是一个正方体和78个球体的组合体，其体积为33747111836ππ+⨯⨯=+.故选：A.7.已知直线:l y kx b =+，22:1O x y +=e ，则“||1b <”是“直线l 与O 相交”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据点到直线的距离公式，结合直线与圆的位置关系分别验证充分性，必要性即可得到结果.【详解】由题意可得直线:l y kx b =+与22:1O x y +=e 相交，2211b k <⇒<+当||1b <时，满足221b k <+，即“||1b <”是“直线l 与O 相交”的充分条件；当直线:l y kx b =+与22:1O x y +=e 相交时，不一定有||1b <，比如2,3b k ==也满足，所以“||1b <”是“直线l 与O 相交”的充分不必要条件.故选:A.8.已知直线l ：20ax y --=和点(2,1)P ，(3,2)Q -，若l 与线段PQ 相交，则实数a 的取值范围是（）A.3243a -≤≤ B.34a ≤-或23a ≥ C.4332a -≤≤ D.43a ≤-或32a ≥【答案】D 【解析】【分析】结合已知条件作图并求出直线l 的定点A ，然后分别求出直线AP 和直线AQ 的斜率，结合图像求解即可.【详解】由直线l ：20ax y --=可知直线l 必过定点A (0,2)-，且直线l 的斜率为a ，如下图所示：由斜率公式可知，直线AP 的斜率为213022AP k --==-，直线AQ 的斜率为2240(3)3AQ k --==---，若l 与线段PQ 相交，只需要32AP a k ≥=或43AQ a k ≤=-，故实数a 的取值范围是43a ≤-或32a ≥.故选：D.9.当曲线214y x =-与直线330kx y k --+=有两个相异的交点时，实数k 的取值范围是A.120,5⎛⎫⎪⎝⎭B.2,25⎛⎤⎥⎝⎦C.20,5⎛⎤ ⎥⎝⎦D.122,5⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】根据图像计算直线过()2,1时和相切时的斜率，计算得到答案.【详解】如图所示：∵曲线214y x =--，直线330kx y k --+=，∴()2214x y +-=，1y ≤，()33y k x =-+，圆心()0,1O ，直线过定点()3,3，直线过()2,1时，有两个交点，此时13k =-+，2k =，22221k k -=+，125k =，∴1225k ≤<.故答案选D．【点睛】本题考查了直线的半圆的交点问题，忽略掉y 的取值范围是容易犯的错误.10.人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设()11,A x y ，()22,B x y ，则欧几里得距离()()()221212,D A B x x y y =-+-曼哈顿距离()1212,d A B x x y y =-+-，余弦距离()(),1cos ,e A B A B =-，其中()cos ,cos ,A B OA OB =（O 为坐标原点）．若点()2,1M ，(),1d M N =，则(),e M N 的最大值为（）A.310110-B.72110-C.2515-D.515-【答案】C 【解析】【分析】根据题意分析可得N 在正方形ABCD 的边上运动，结合图象分析,OM ON的最大值，即可得结果.【详解】设(),N x y ，则(),211d M N x y =-+-=，即211x y -+-=，可知211x y -+-=表示正方形ABCD ，其中()()()()2,0,3,1,2,2,1,1A B C D ，即点N 在正方形ABCD 的边上运动，因为()()2,1,,OM ON x y ==，由图可知：当()cos ,cos ,M N OM ON = 取到最小值，即,OM ON最大，点N 有如下两种可能：①点N 为点A ，则()2,0ON = ，可得()25cos ,cos ,5M N OM ON ==；②点N 在线段CD 上运动时，此时ON 与DC同向，不妨取()1,1ON = ，则()310cos ,cos ,10M N OM ON ==；因为31025105>，所以(),e M N 的最大值为2515-.故选：C.二、填空题，共5小题，每小题4分，共20分.11.两平行直线1l ：3420x y +-=与2l ：3450x y +-=之间的距离是_____．【答案】35##0.6【解析】【分析】借助两平行线间距离公式计算即可得.【详解】35d ==.故答案为：35.12.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为DB ，11A C的中点，则直线1A M 和BN 的夹角的余弦值为______【答案】23【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，求出各点坐标，利用异面直线空间向量夹角公式进行求解.【详解】以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则()()()()12,0,2,1,1,0,2,2,0,1,1,2A M B N ，故1A M 和BN 的夹角的余弦值为114263A M BN A M BN⋅===⋅.故答案为：2313.已知圆22:(1)4C x y +-=，过点P 作圆的切线，则切线方程为________.【答案】5y =+【解析】【分析】先判断点P 在圆上，再由垂直关系得出切线方程.【详解】因为22(21)4+-=，所以点P 在圆上，设切线的斜率为k ，则1CP k k ⋅=-，3,3PC k k==∴=.则切线方程为25y x =+=+.故答案为：5y =+14.已知直线l 过点()4,1P 且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当三角形OAB 面积取最小值时直线l 的斜率为_____．【答案】14-##0.25-【解析】【分析】设出直线的截距式方程，由基本不等式得到三角形OAB 面积取最小值时的直线方程，从而得到直线的斜率.【详解】设 ，()0,B b ，其中,0a b >，设直线l 的方程为1x ya b+=，因为直线l 过点()4,1P ，所以411a b+=，由基本不等式可得411a b =+≥=，4≥，16ab ≥，当且仅当41a b=，即8a =，2b =时取等号，所以ab 的最小值为16，此时OAB △的面积取最小值8，直线l 的斜率为201084-=--.故答案为：14-.15.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为1AC 的中点，1AQ t AB =，[]0,1t ∈，则下列说法正确的________（请把正确的序号写在横线上）①1PQ A B ⊥②当12t =时，//PQ 平面11BCC B③当13t =时，PQ 与CD 所成角的余弦值为11④当14t =时，1A Q ⊥平面1PAB 【答案】①②③【解析】【分析】建立空间直角坐标系，对A ，验证两向量的数量积是否为0；对B ，证明QP 与BC平行即可得；对C ，借助向量求出夹角的余弦值即可得；对D ，证明1A Q 与1AB不垂直即可得.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则(),0,Q t t ，所以111,,222QP t t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，()11,0,1A B =-，所以10QP A B ⋅=，所以1PQ A B ⊥，①正确；当12t =时，110,,022QP BC ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，所以//PQ BC，又⊂BC 平面11BCC B ，PQ ⊄平面11BCC B ，从而//PQ 平面11BCC B ，②正确；当13t =时，111,,626QP ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ᦙ，所以PQ 与CD 所成角的余弦值为1116cos ,11116DC QP DC QP DC QP⋅== ，③正确；当14t =时，113,0,44A Q ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，()11,0,1AB = ，111310442A Q AB ⋅=-=-≠ ，所以1AQ 不垂直于1AB ，所以1AQ 不垂直于平面1PAB ，④错误．故答案为：①②③.三、解答题，共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知ABC V 的顶点(1,5)A -，(2,1)B --，(4,7)C .（1）求边BC 上的高AD 所在直线的方程；（2）求边BC 上的中线AD 所在直线的方程；（3）求ABC V 的面积.【答案】（1）34170x y +-=（2）40x y +-=（3）14【解析】【分析】（1）利用直线垂直的性质求得高AD 的斜率，再利用直线的点斜式即可得解；（2）利用中位坐标公式求得点M 的坐标，再利用直线的两点式即可得解；（3）利用直线的两点式求得直线BC 的方程，再利用点线距离公式与两点距离公式即可得解.【小问1详解】因为(1,5)A -，(2,1)B --，(4,7)C ，所以7(1)44(2)3BC k --==--，所以34AD k =-，则边BC 上的高AD 所在直线的方程为()3514y x -=-+，即34170x y +-=；【小问2详解】由题意可知M 是BC 的中点，所以()1,3M ，从而边BC 上的中线AM 所在直线的方程为315311y x --=---，即40x y +-=；【小问3详解】由题意知，边BC 所在直线的方程为()()()()127142y x ----=----，即4350x y -+=，所以点A 到直线BC 的距离145h ==，又10BC ==，所以ABC V 的面积为11141014225BC h ⋅=⨯⨯=.17.已知四边形ABCD 为正方形，O 为AC ，BD 的交点，现将三角形BCD 沿BD 折起到PBD 位置，使得PA AB =，得到三棱锥P ABD -.（1）求证：平面PBD ⊥平面ABD ；（2）棱PB 上是否存在点G ，使平面ADG 与平面ABD 夹角的余弦值为31111？若存在，求PG PB；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，12PG PB =【解析】【分析】（1）根据折叠前后的几何性质可得OP OB ⊥，结合线线垂直可得OP OA ⊥，根据面面垂直判定定理即可证得结论；（2）以O 为原点，以OA 为x 轴，以OB 为y 轴，以OP 为z 轴建立空间直角坐标系，根据空间向量的坐标运算，设()()0,,01PG PB λλλλ==-≤≤，分别求平面ADG 与平面ABD 的法向量，根据面面夹角余弦值公式列方程求解λ即可得结论.【小问1详解】因为四边形ABCD 为正方形，所以OA OB OC OD ===，,OC OB OA OB ⊥⊥，所以折起后，OA OB OP OD ===，OP OB ⊥，由于折起前有222OA OB AB +=，且折起后PA AB =，所以折起后有222OA OP PA +=，即OP OA ⊥，又OP OB ⊥，OA OB O = ，,OA OB ⊂平面ABD ，所以OP ⊥平面ABD ，又OP ⊂平面PBD ，所以平面PBD ⊥平面ABD .【小问2详解】存在，理由如下：由（1）知OP OB ⊥，OP OA ⊥，OA OB ⊥，所以以O 为原点，以OA 为x 轴，以OB 为y 轴，以OP 为z 轴建立空间直角坐标系，设1OA =，则()1,0,0A ，()0,1,0B ，()0,1,0D -，()0,0,1P ，则()1,1,0AD =--，()0,1,1PB =- ，()1,0,1AP =- ，假设存在满足题意的点G ，设()()0,,01PG PB λλλλ==-≤≤，则()1,,1AG AP PG λλ=+=--，设平面ADG 的法向量为(),,n x y z =，则·0·0AD n AG n ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，即()010x y x y z λλ--=⎧⎨-++-=⎩，令1x =，得1y =-，11z λλ+=-，即11,1,1n λλ+⎛⎫=- ⎪-⎝⎭ ，易知平面ABD 的一个法向量为()0,0,1m =，因为平面ADG 与平面ABD 夹角的余弦值为31111，所以21·3111cos ,11121n m n m n mλλλλ+-〈〉==+⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，整理得22520λλ-+=解得12λ=或2λ=（舍），所以在棱PB 上存在点G ，使平面ADG 与平面ABD 311，且12PG PB =.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，Q 为棱PD 的中点．（1）求证：PB ∥平面ACQ ；（2）若BA PD ⊥，再从条件①､条件②､条件③中选择若干个作为已知，使四棱锥P ABCD -唯一确定，并求：（i ）直线PC 与平面ACQ 所成角的正弦值；（ii ）点P 到平面ACQ 的距离．条件①：二面角P CD A --的大小为45 ；条件②：2PD =条件③：AQ PC ⊥．【答案】（1）证明见解析（2）（i ）13；（ii ）33【解析】【分析】（1）连接BD ，交AC 于O ，连接OQ ，由OQ ∥PB 证明PB ∥平面ACQ ；（2）选择①②或①③或②③或①②③都能得到BA ⊥平面PAD ，建立空间直角坐标系，求出法向量，求解PC 与平面ACQ 所成角的正弦值，计算点P 到平面ACQ 的距离．【小问1详解】（1）连接BD ，交AC 于O ，连接OQ ，底面ABCD 是正方形，故O 是BD 的中点，又因为Q 为棱PD 的中点，所以，在PBD △中OQ ∥PB ，而OQ ⊂平面,ACQ PB ⊄平面ACQ ，所以PB ∥平面ACQ ．【小问2详解】选①②：因为四边形ABCD 是正方形，所以,,BA AD AD CD BA ⊥⊥∥CD ，又因为BA PD ⊥，所以CD PD ⊥，因为二面角P CD A --的大小为45 ，平面PAD ⋂平面,,ABCD CD AD CD PD CD =⊥⊥，所以45ADP ∠= ，在PAD △中，2222cos 1PA AD PD AD PD ADP ∠=+-⋅⋅=，所以222PA AD PD +=，故PA AD ⊥，又因为,,,BA AD BA PD AD PD D AD PD ⊥⊥⋂=⊂､平面PAD ，所以BA ⊥平面PAD ，选①③：因为四边形ABCD 是正方形，所以,,BA AD AD CD BA ⊥⊥∥CD ，又因为BA PD ⊥，所以CD PD ⊥，因为二面角P CD A --的大小为45 ，平面PAD ⋂平面,,ABCD CD AD CD PD CD =⊥⊥，所以45ADP ∠= ，因为,,,CD PD CD AD AD PD D AD PD ⊥⊥⋂=⊂､平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD ，又因为AQ ⊂平面PAD ，所以CD AQ ⊥，又因为,,AQ PC PC CD C PC CD ⊥⋂=⊂､平面PCD ，所以AQ ⊥平面PCD ，因为PD ⊂平面PCD ，所以AQ PD ⊥，又因为Q 为PD 中点，所以PA AD =，所以45APD ADP ∠∠== ，所以90PAD ∠= ，即PA AD ⊥，因为BA ∥,CD CD ⊥平面PAD ，所以BA ⊥平面PAD ，选②③：因为四边形ABCD 是正方形，所以,AD CD BA ⊥∥CD ，因为,,,CD PD CD AD AD PD D AD PD ⊥⊥⋂=⊂､平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD ，又因为AQ ⊂平面PAD ，所以CD AQ ⊥，又因为,,AQ PC PC CD C PC CD ⊥⋂=⊂､平面PCD ，所以AQ ⊥平面PCD ，因为PD ⊂平面PCD ，所以AQ PD ⊥，又因为Q 为PD 中点，所以1PA AD ==，在PAD △中，222PA AD PD +=，故PA AD ⊥，因为BA ∥,CD CD ⊥平面PAD ，所以BA ⊥平面PAD ，选①②③同上．以A 为原点，,,AB AD AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()()()()110,0,0,1,1,0,0,1,0,0,,,0,0,122A C D Q P ⎛⎫⎪⎝⎭，故()()110,,,1,1,0,1,1,122AQ AC PC ⎛⎫===- ⎪⎝⎭，令(),,m x y z = 为面ACQ 的一个法向量，则110,220.m AQ y z m AC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩令1x =，则()1,1,1m =-，（i）因为1cos ,3m PC m PC m PC⋅===，所以直线PC 与平面ACQ 所成角的正弦值为13，（ii ）由（i ）知点P 到平面ACQ的距离133PC =．19.设二次函数23y x =-的图象与两坐标轴的交点分别记为M ，N ，G ，曲线C 是经过这三点的圆．（1）求圆C 的方程；（2）过(1,0)P -作直线l 与圆C 相交于A ，B 两点．（i ）||||PA PB ⋅是否是定值？如果是，请求出这个定值；（ii ）设(0,2)Q -，求22||||QA QB +的最大值．【答案】（1）()2214x y ++=（2）（i ）||||PA PB ⋅是定值，定值为2；（ii）12+【解析】【分析】（1）分别求出M ，N ，G 的坐标，假设圆的一般方程，代入求解即可；（2）（i ）当直线的斜率不存在时，求出A B 、的坐标，进而可求||||PA PB 、的值，当直线斜率存在时，假设直线方程，与圆联立得到韦达定理，运用两点间的距离公式分别求出||||PA PB 、并化简，然后计算||||PA PB ⋅即可；（ii ）同（i ）分直线斜率存在和直线斜率不存在两种情况讨论，当直线斜率存在时，易求得2210QA QB +=，当直线斜率不存在时，运用两点间距离公式及韦达定理求出22QA QB +关于k 的表达式，结合函数性质即可求最大值.【小问1详解】设二次函数23y x =-与x 轴分别交于,M N ，与y 轴交于点G ，令0y =，则x =，即)(),MN ，令0x =，则=3y -，则()0.3G -，设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，将点M 、N 、G的坐标代入可得3030930F F E F ⎧-+=⎪⎪++=⎨⎪-+=⎪⎩，解得023D E F =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，则22230x y y ++-=，化为标准式为()2214x y ++=.【小问2详解】||||PA PB ⋅是定值.（i ）当直线l 的斜率不存在时，则l 方程为1x =-，联立()22141x y x ⎧++=⎪⎨=-⎪⎩，可得11x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩或11x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，即()()1,1,1A B --，则1PA =，1PB =，则2PA PB ⋅=；当直线l 的斜率存在时，设l 方程为()1y k x =+，设 ，联立直线与圆的方程()()22114y k x x y ⎧=+⎪⎨++=⎪⎩，消去y 可得()()()222212230k x k k x k k +++++-=，由韦达定理可得()22121222223,11k k k k x x x xk k -++-+==++，且PA ==，PB ==，则()()()212111PA PB k x x⋅==+++()()()()222221212222311111k k k k k k x x x x k k -+++-++=++++=++()222121k k-=+⨯=+；综上所述，2PA PB ⋅=是定值.（ii ）由（i ）可知，当直线l的斜率不存在时，()()1,1,1A B --，且()0,2Q -，则())222115QA =-+=+()()222115QB =-+=-，则2210QA QB +=；当直线l 的斜率存在时，设l 方程为()1y k x =+，则()()222222112222QA QB x kx k x kx k +=+++++++()()()()222221212124288k xx k kx x kk =++++++++()()()()()2222222222242*********111k k k k k k kk k kk k k k ⎡⎤⎡⎤+-++-⎢⎥⎢⎥=+-⨯++⨯+++⎢⎥++⎢⎥+⎣⎦⎣⎦()()2222222244(2)2(23)28811k k k k k kk k kk kk+-++=-+-+++++()22414141k k k k-+=+++()241141k k k -=++224(1)44141k k k-+++=++24(1)101k k +=++令1t k =+，则1k t =-222224(1)4410101011(1)22k t tQA QB k t t t ++=+=+=+++--+令24()1022tf t t t =+-+当0t =，即1k =-时，(0)10f =；当0t ≠，即1k ≠-时，244()10102222t f t t t t t=+=+-++-；2+(,)t t ∈-∞-⋃+∞当2+t t=，即t =，11k t =-=-时，()f t取最大值12+所以()22max12QA QB+=+。
福建省厦门双十中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题(含简单答案)
厦门双十中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题注意事项：1．答题前，考生务必用0.5mm 黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号，在规定的位置贴好条形码.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.，化简的结果是（ ）A.B. C. D. 2. 若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（ ）A B. 1 C. 0 D. 3. 如图，在平行六面体中，为的交点.若，则向量（ ）A. B. C. D. .10=2212516x y +=2212521x y +=221254x y +=2212521y x +={}123,,e e e {}122313,,a e e b e e c e te =+=+=+t =1-2-111ABCD AB C D -M 1111,A C B D 1,,AB a AD b AA c ===BM =1122--+ a b c1122++a b c 1122a b c-++1122-+a b c4. 若，则方程表示圆的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 45. 已知两点，，过点的直线与线段（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（ ）A. B. C. D.6. 已知抛物线的焦点为，点，若点为抛物线上任意一点，当取最小值时，点的坐标为（ ）A. B. C. D. 7. 若圆与圆关于直线对称，过点的圆与轴相切，则圆心的轨迹方程为（ ）A. B. C D. 8. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点．设椭圆的左、右焦点分别为，，若从椭圆右焦点发出的光线经过椭圆上的点A 和点B 反射后，满足，且，则该椭圆的离心率为（ ）．A.B.C.D.二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目的.32,1,0,,14a ⎧⎫∈--⎨⎬⎩⎭2222210x y ax ay a a +++++-=()3,2A -()2,1B ()0,1P -l AB l (](),11,-∞-⋃+∞[1,1]-[)1,1,5⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦24x y =F ()1,3B A AB AF +A (1,4)(4,1)1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭11,4⎛⎫ ⎪⎝⎭22210x y ax y +-++=221x y +=1y x =-(,)C a a -P y P 24480x x y +-+=22220y x y --+=2210y x y ---=24480y x y +-+=()222210x y a b a b+=>>1F 2F 2F AB AD ⊥3cos 5ABC ∠=12要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知椭圆：的左､右焦点分别为，，点在上，若是直角三角形，则的面积可能为（ ）A. 5B. 4C.D.10. 已知抛物线的焦点为F ，O 为坐标原点，点在抛物线上，若，则（ ）A. 的坐标为B. C. D. 11. 已知正三棱柱的所有棱长均相等，，分别是的中点，点满足，下列选项中一定能得到的是（ ）A. B. C. D. 12. 已知点在上，点，，则（ ）A. 点到直线的距离最大值是B. 满足的点有2个C. 过直线上任意一点作的两条切线，切点分别为，则直线过定点D. 的最小值为三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知向量，若，则___________.14. 已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的取值范围是________.15. 已知直线与交于，两点，写出满足“的的一个值________.16. 已知为双曲线的左右焦点，过点作一条渐近线的垂线交双曲线右支E 22194x y +=1F 2F P E 12F PF △12F PF △2:4C x y =()00,M x y C ||5MF =F (1,0)04x =±03y =||OM =11ABC AB C -D E 11,BC B C P 1(1)AP xAB y AC x y AB =++--⊥AP BC 0y =12y =12x y ==1PD PA PEλμ=+ P 22:4O x y +=e ()3,0A ()0,4B P AB 125AP BP ⊥P AB O e ,M N MN 4,13⎛⎫ ⎪⎝⎭2PA PB +()()2,1,3,,2,1a b m =-=()a b a +⊥r r r m =12,F F 22:143x y C +=P C 2212PF PF +10x my -+=22:(1)4C x y -+=e A B ABC V m 12,F F 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>1F于点P ，直线与y 轴交于点Q （P ，Q 在x 轴同侧），连接，如图，若内切圆圆心恰好落在以为直径的圆上，则________；双曲线的离心率________．四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知圆C 经过､两点，且圆心在直线上.（1）求圆C 的标准方程；（2）过点的直线l 与圆C 相交于P ､Q 两点，且，求直线l 的方程.18. 记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知．（1）求A ；（2）若，，的角平分线交BC 于点D ，求的长．19. 已知的一条内角平分线的方程为，一个顶点为，边上的中线所在直线的方程为．（1）求顶点的坐标；（2）求的面积．20. 如图，在三棱柱中，侧面底面，底面为等腰直角三角形，为中点.2PF 1QF 1PQF △12F F 12F PF ∠=e =()2,0A()0,4B230x y --=()1,0T -5CP CQ ⋅=-ABC V π2sin 6b c a C ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭a =32BA CA ⋅= BAC ∠AD ABC V CD 0x y +=()2,1A AC BE 52100x y -+=C ABC V 11ABC AB C -11AA C C ⊥ABC ABC V 1AB BC AA D ===AC（1）求证:；（2）再从以下条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角的余弦值.条件①:；条件②:.21. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心为动圆过点，且在轴上截得的弦长为4，记的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）已知及曲线上的两点和，直线BD 经过定点，直线AB 、AD 的斜率分别为，判断是否为定值，说明理由.22. 已知动圆经过定点，且与圆：内切.（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）设轨迹与轴从左到右交点为，，点为轨迹上异于，的动点，设交直线于点，连接交轨迹于点，直线，的斜率分别为，.①求证：为定值；②证明：直线经过轴上的定点，并求出该定点的坐标.的的1BD AA ⊥1A CC B --111A C B C ⊥11AA B C =C (2,0)y C E E (1,2)A E B D (3,2)-12k k 、12k k +M ()1F 2F (2216x y -+=M C C x A B P C A B PB 4x =T AT C Q AP AQ AP k AQ k ·AP AQ k k PQ x厦门双十中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题简要答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】B【5题答案】【答案】A【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】D二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】BC【10题答案】【答案】BD【11题答案】【答案】BCD【12题答案】【答案】BCD三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】【15题答案】中任意一个皆可以，答案不唯一）【16题答案】【答案】①.②.四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.【17题答案】【答案】（1）（2）或【18题答案】【答案】（1）（2【19题答案】【答案】（1）（2）【20题答案】【答案】（1）证明略（2）【21题答案】【答案】（1）；（2）是，.152-[]8,102π()()223310x y-+-=1133y x=+131399y x=+π3(4,4)-92324y x=121k k+=【22题答案】【答案】（1）（2）①证明略；②证明略；2214x y +=()1,0。
广东省东莞市2024-2025学年高二上学期10月期中考试数学试题[含答案]
![广东省东莞市2024-2025学年高二上学期10月期中考试数学试题[含答案]](https://img.taocdn.com/s3/m/0a1812b077eeaeaad1f34693daef5ef7bb0d1218.png)
C. 1 或 2
）
D. 2
【解析】
【分析】由条件结合直线平行结论列方程求 a ，并对所得结果进行检验.
l l : ax y 2 0, l2 : 2 x a 1 y 2 0 ，
l
【详解】因为 1 ∥ 2 ， 1
所以
a a 1 1 2
当 a 2 时，
故选：B.
4. 直线 l : x 2 y 4 0 被圆
C : x 3 y 1 9
2
B. 2 3
A. 2
2
截得的弦长为（
）
D. 2 5
C. 4
【答案】C
【解析】
【分析】先求出弦心距，然后根据圆的弦长公式直接求解即可.
C : x 3 y 1 9
1
3
1
x
2 x
6
1
2
y
3
3 9
y 2
所以
，则
．
故选：C.
3. 已知直线
A. 1 或 2
【答案】B
l1 : ax y 2 0, l2 : 2 x a 1 y 2 0
B. 1
l
l
，若 1 ∥ 2 ，则 a （
当 a 1 时，
，所以 a a 2 0 ，解得 a 2 或 a 1 ，
2
l1 : 2 x y 2 0 ， l2 : 2 x y 2 0 ，直线 l1 , l2 重合，不满足要求，
l1 : x y 2 0 ， l2 : x y 1 0 ，直线 l1 , l2 平行，满足要求，
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【好题】高二数学上期中试题含答案(1)一、选择题1．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为 A ．k ＞4? B ．k ＞5? C ．k ＞6?D ．k ＞7?2．用电脑每次可以从区间()0,1内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的，若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都大于13的概率为（ ） A ．127B ．23C ．827D ．493．一组数据的平均数为m ，方差为n ，将这组数据的每个数都乘以()0a a >得到一组新数据，则下列说法正确的是（ ） A ．这组新数据的平均数为m B ．这组新数据的平均数为a m + C ．这组新数据的方差为an D ．这组新数据的标准差为a n4．在区间上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≥”的概率，2p 为事件“12x y -≤”的概率，3p 为事件“12xy ≤”的概率，则 （ ） A ．123p p p << B ．231p p p << C ．312p p p <<D ．321p p p <<5．若干个人站成一排，其中为互斥事件的是( )A ．“甲站排头”与“乙站排头”B ．“甲站排头”与“乙不站排尾”C ．“甲站排头”与“乙站排尾”D ．“甲不站排头”与“乙不站排尾”6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）A ．100，20B ．200，20C ．100，10D ．200，107．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A ．5B ．7C ．9D ．118．若框图所给的程序运行结果为，那么判断框中应填入的关于k 的条件是A ．？B ．？C ．？D ．？9．6件产品中有4件合格品，2件次品.为找出2件次品，每次任取一个检验，检验后不放回，则恰好在第四次检验后找出所有次品的概率为（ ） A ．35B ．13C ．415D ．1510．已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球()3,3m n ≥≥，从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中. （a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为()1,2ii ξ=；（b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为()1,2i p i =. 则A ．()()1212,p p E E ξξ><B ．()()1212,p p E E ξξC ．()()1212,p p E E ξξ>>D ．()()1212,p pE E ξξ<<11．抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A 或事件B 至少有一个发生的概率为（ ） A ．23B ．13C ．1 2D ．5612．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表： 广告费用（万元）4235销售额（万元）49263954根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元二、填空题13．在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数表示）. 14．执行如图所示的程序框图,如果输入3n =，则输出的S 为 ________．15．在可行域103x yx yx--≤⎧⎪+≤⎨⎪>⎩，内任取一点(),M x y，则满足20x y->的概率是______．16．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为98、63，则输出的a=_______．17．甲乙两人一起去游“西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是________.18．如左下图是一次数学考试成绩的样本频率分布直方图（样本容量n=200），若成绩不低于60分为及格，则样本中的及格人数是_________。
19．执行如图所示的程序框图，如果输出1320s=，则正整数M为__________．20．甲、乙、丙三人进行传球练习，共传球三次，球首先从甲手中传出，则第3次球恰好传回给甲的概率是________．三、解答题21．某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关，随机抽取了选修课程的60名学生，得到数据如下表：喜欢统计课程 不喜欢统计课程 合计 男生 20 10 30 女生 10 20 30 合计303060（1）判断是否有99.5％的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关？（2）用分层抽样的方法从喜欢统计课程的学生中抽取6名学生作进一步调查，将这6名学生作为一个样本，从中任选3人，求恰有2个男生和1个女生的概率． 下面的临界值表供参考：0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 3.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）22．从2013年开始，国家教育部要求高中阶段每学年都要组织学生进行学生体质健康测试，方案要求以学校为单位组织实施，某校对高一(1)班学生根据《国家学生体质健康标准》的测试项目按百分制进行了预备测试，并对50分以上的成绩进行统计，其频率分布直方图如图.所示，已知[90，100]分数段的人数为2. (1)求[70，80)分数段的人数；(2)现根据预备测试成绩从成绩在80分以上(含80分)的学生中任意选出2人代表班级参加学校举行的一项体育比赛，求这2人的成绩一个在[80，90)分数段、一个在[90，100]分数段的概率．23．已知关于x 的一元二次函数2()4 1.f x ax bx =-+（1）若,a b 分别表示将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次时第一次、第二次正面朝上出现的点数，求满足函数()y f x =在区间[1,)+∞上是增函数的概率；（2）设点(,)a b 是区域28000x y x y +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩内的随机点，求函数()y f x =在区间[1,)+∞上是增函数的概率.24．甲与乙午觉醒来后，发现自己的手表因故停止转动，于是他们想借助收音机，利用电台整点报时确认时间．(1)求甲等待的时间不多于10分钟的概率； (2)求甲比乙多等待10分钟以上的概率．25．某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“书法”、“诗词”、“理学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立．2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为m 、13、n ，己知三个社团他都能进入的概率为124，至少进入一个社团的概率为34，且m n >.（1）求m 与n 的值；（2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“书法”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“诗词”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“理学”社的同学增加校本选修学分3分．求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于4分的概率． 26．地球海洋面积远远大于陆地面积，随着社会的发展，科技的进步，人类发现海洋不仅拥有巨大的经济利益，还拥有着深远的政治利益.联合国于第63届联合国大会上将每年的6月8日确定为“世界海洋日”.2019年6月8日，某大学的行政主管部门从该大学随机抽取100名大学生进行一次海洋知识测试，并按测试成绩（单位：分）分组如下：第一组[65，70），第二组[70，75），第二组[75，80），第四组[80，85），第五组[85，90]，得到频率分布直方图如下图：（1）求实数a 的值；（2）若从第四组、第五组的学生中按组用分层抽样的方法抽取6名学生组成中国海洋实地考察小队，出发前，用简单随机抽样方法从6人中抽取2人作为正、副队长，列举出所有的基本事件并求“抽取的2人为不同组”的概率.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】试题分析：由程序框图知第一次运行112,224k S =+==+=，第二次运行213,8311k S =+==+=，第三次运行314,22426k S =+==+=，第四次运行4154,52557k S =+=>=+=，输出57S =，所以判断框内为4?k >，故选C.考点：程序框图.2．C解析：C 【解析】 由题意可得： 每个实数都大于13的概率为12133p =-=， 则3个实数都大于13的概率为328327⎛⎫= ⎪⎝⎭. 本题选择C 选项.3．D解析：D 【解析】 【分析】计算得到新数据的平均数为am ，方差为2a n ，标准差为a n ，结合选项得到答案. 【详解】根据题意知：这组新数据的平均数为am ，方差为2a n ，标准差为a n . 故选：D 【点睛】本题考查了数据的平均值，方差，标准差，掌握数据变化前后的关系是解题的关键.4．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】因为,[0,1]x y ∈，对事件“12x y +≥”，如图（1）阴影部分，对事件“12x y -≤”，如图（2）阴影部分，对为事件“12xy ≤”，如图（3）阴影部分，由图知，阴影部分的面积从下到大依次是，正方形的面积为，根据几何概型公式可得231p p p <<．（1） （2） （3） 考点：几何概型．5．A解析：A 【解析】 【分析】根据不能同时发生的两个事件，叫互斥事件，依次判断． 【详解】根据互斥事件不能同时发生，判断A 是互斥事件；B 、C 、D 中两事件能同时发生，故不是互斥事件； 故选A ． 【点睛】本题考查了互斥事件的定义．是基础题．6．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由题意知，样本容量为()3500450020002%200++⨯=，其中高中生人数为20002%40⨯=，高中生的近视人数为4050%20⨯=，故选B. 【考点定位】本题考查分层抽样与统计图，属于中等题.7．C解析：C 【解析】循环依次为123,123;S K =+==+=369,325;S K =+==+=91019,527;S K =+==+=191433,729;S K =+==+=结束循环,输出9;K =选C.8．A解析：A 【解析】 【分析】根据所给的程序运行结果为，执行循环语句，当计算结果S 为20时，不满足判断框的条件，退出循环，从而到结论．【详解】由题意可知输出结果为， 第1次循环，，， 第2次循环，，，此时S 满足输出结果，退出循环，所以判断框中的条件为．故选：A ． 【点睛】本题主要考查了循环结构，是当型循环，当满足条件，执行循环，同时考查了推理能力，属于基础题．9．C解析：C 【解析】 【分析】题目包含两种情况：第一种是前面三次找出一件次品，第四次找出次品，第二种情况是前面四次都是正品，则剩余的两件是次品，计算概率得到答案. 【详解】题目包含两种情况：第一种是前面三次找出一件次品，第四次找出次品，2314615C p C ==；第二种情况是前面四次都是正品，则剩余的两件是次品，44246115C p C ==；故12415p p p =+=. 故选：C . 【点睛】本题考查了概率的计算，忽略掉前面四次都是正品的情况是容易发生的错误.10．A解析：A 【解析】()11222m n m np m n m n m n +=+⨯=+++， ()()()()()()()()2112111313m m n n mn p m n m n m n m n m n m n --=+⨯+⨯++-++-++-()()2233231m m mn n n m n m n -++-=++-，()()()()()()()()2222123212332233223161m n m n m m mn n nm n m m mn n n p p m n m n m n m n m n ++---++-+-++--=-=+++-++-()()()51061mn n n m n m n +-=>++-，故12p p >，()()()112201222nm n m n E m n m n m n ξ++⎛⎫=⨯⨯+⨯= ⎪+++⎝⎭，()()()()()()()()22212133201131331n n mn m m mn n n E m n m n m n m n m n m n ξ⎛⎫⎛⎫--++-=⨯⨯+⨯+⨯ ⎪⎪ ⎪ ⎪++-++-++-⎝⎭⎝⎭()()2233231m m mn n n m n m n -++-=++-，由上面比较可知()()12E E ξξ>，故选A考点：独立事件的概率,数学期望.11．A解析：A 【解析】 【分析】由古典概型概率公式分别计算出事件A 和事件B 发生的概率，又通过列举可得事件A 和事件B 为互斥事件，进而得出事件A 或事件B 至少有一个发生的概率即为事件A 和事件B 的概率之和． 【详解】事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“不小于5的点数出现”， ∴P (A )2163==，P (B )2163==， 又小于5的偶数点有2和4，不小于5的点数有5和6， 所以事件A 和事件B 为互斥事件，则一次试验中，事件A 或事件B 至少有一个发生的概率为 P （A ∪B ）＝P (A )+P (B )112333=+=，故选：A ． 【点睛】本题主要考查古典概型计算公式，以及互斥事件概率加法公式的应用，属于中档题．12．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：4235492639543.5,4244x y ++++++====Q ， ∵数据的样本中心点在线性回归直线上，回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4， ∴42=9．4×3．5+a ， ∴ˆa=9．1， ∴线性回归方程是y=9．4x+9．1，∴广告费用为6万元时销售额为9．4×6+9．1=65．5 考点：线性回归方程二、填空题13．【解析】【分析】【详解】已知六个点任取三个不同取法总数为：；可构成三角形的个数为：所以所求概率为：解析：34【解析】 【分析】 【详解】已知A C E F B C D 、、、共线；、、共线；六个点任取三个不同取法总数为：36C ；可构成三角形的个数为：33364315C C C --=，所以所求概率为：3336433634C C C C --=. 14．【解析】【分析】根据框图可知该程序实现了对数列求和的功能输入时求【详解】根据框图可知执行该程序实现了对数列求和当时故填【点睛】本题主要考查了程序框图裂项相消法求和属于中档题解析：37【解析】 【分析】根据框图可知，该程序实现了对数列1(21)(21)n a n n =-+ 求和的功能，输入3n =时，求3S .【详解】根据框图可知，执行该程序，实现了对数列1(21)(21)n a n n =-+ 求和，当3n =时，3111111111=++=1)133557233557S -+-+-⨯⨯⨯（ 1131)277-=（， 故填37. 【点睛】本题主要考查了程序框图，裂项相消法求和，属于中档题.15．【解析】【分析】画出可行域求出面积满足的区域为图形中的红色直线的下方的四边形其面积为由几何概型的公式可得的概率为：；【详解】约束条件的可行域如图：由解得可行域d 面积为由解得满足的区域为图形中的红色直解析：58【解析】 【分析】画出可行域，求出面积，满足20x y ->的区域为图形中的红色直线的下方的四边形，其面积为1541322-⨯⨯=，由几何概型的公式可得20x y ->的概率为：55248=；【详解】约束条件1030x y x y x --≤⎧⎪+≤⎨⎪>⎩的可行域如图：由103x y x y --=⎧+=⎨⎩解得()2,1A ， 可行域d 面积为12442⨯⨯=， 由32x y y x +=⎧=⎨⎩，解得()1.2B ． 满足20x y ->的区域为图形中的红色直线的下方的四边形，其面积为1541322-⨯⨯=， 由几何概型的公式可得20x y ->的概率为：55248=；故答案为58．【点睛】本题考查了可行域的画法以及几何概型的概率公式的运用.考查数形结合以及计算能力．在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的．16．7【解析】【分析】模拟执行程序框图只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算直到达到输出条件即可得到输出的值【详解】由程序框图可知：则因此输出的为故答案为7【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图属解析： 7 【解析】 【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出a 的值. 【详解】由程序框图可知：9863a b =>=，359863,286335a b ∴←=-←=-，73528,21287a b ∴←=-←=-，14217,72114a b ←=-←=-，7147a ←=-，则7a b ==，因此输出的a 为7，故答案为7. 【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.17．【解析】【分析】所有的游览情况共有种则最后一小时他们同在一个景点的游览方法共有种由此求得最后一小时他们同在一个景点的概率【详解】所有的游览情况共有 种则最后一小时他们同在一个景点的游览方法共有 种解析：16 【解析】 【分析】所有的游览情况共有4466A A ⋅ 种，则最后一小时他们同在一个景点的游览方法共有 33556A A ⋅⋅ 种，由此求得最后一小时他们同在一个景点的概率．【详解】所有的游览情况共有4466A A ⋅ 种，则最后一小时他们同在一个景点的游览方法共有 33556A A ⋅⋅ 种，故则最后一小时他们同在一个景点的概率为 33554466616A A A A ⋅⋅=⋅， 故答案为 16． 【点睛】本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题．18．120【解析】由频率分布直方图可得低于分的频率为而不低于分的频率为故不低于分的频数为故答案为解析：120 【解析】由频率分布直方图可得，低于60分的频率为()0.0050.0100.015200.6++⨯=，而不低于60分的频率为10.60.4-=，故不低于60分的频数为0.4300120⨯=，故答案为120.19．13【解析】循环依次为结束循环所以即正整数为13解析：13【解析】循环依次为10,11;110,12;1320,13;s i s i s i ====== 结束循环，所以1312M ≥> ，即正整数M 为1320．【解析】用甲→乙→丙→甲表示一种传球方法所有传球方法共有：甲→乙→甲→乙；甲→乙→甲→丙；甲→乙→丙→甲；甲→乙→丙→乙；甲→丙→甲→乙；甲→丙→甲→丙；甲→丙→乙→甲；甲→丙→乙→丙；则共有8种传 解析：14【解析】用甲→乙→丙→甲表示一种传球方法 所有传球方法共有：甲→乙→甲→乙；甲→乙→甲→丙；甲→乙→丙→甲；甲→乙→丙→乙； 甲→丙→甲→乙；甲→丙→甲→丙；甲→丙→乙→甲；甲→丙→乙→丙； 则共有8种传球方法．记求第3次球恰好传回给甲的事件为A ，可知共有两种情况，，而总的事件数是8， ∴P (A )=28=14. 故答案为14点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.三、解答题21．(1)见解析;(2)35. 【解析】分析：（1）计算K 2的值，与临界值比较，即可得到结论；（2）确定样本中有4个男生，2个女生，利用列举法确定基本事件，即可求得结论． 详解：（1）由公式，所以没有99.5%的把握认为喜欢统计专业与性别有关． （2）设所抽样本中有m 个男生，则643020mm ，得==人， 所以样本中有4个男生，2个女生， 从中选出3人的基本事件数有20种恰有两名男生一名女生的事件数有12种 所以.点睛：(1)古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，他们是否是等可能的．(2)用列举法求古典概型，是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏．(3)注意一次性抽取与逐次抽取的区别：一次性抽取是无顺序的问题，逐次抽取是有顺序的问题. 22．（1）18；（2）37【解析】 【分析】⑴由频率分布直方图可知，各个分数段的频率，求出50分以上的总人数，[)7080，分数段的频率，即可求出人数⑵求得[)8090，分数段的人数，列举出所有可能性情况，然后计算结果 【详解】(1)由频率分布直方图可知，[90，100]分数段的频率为0.005×10＝0.05， [70，80)分数段的频率为1－(0.010＋0.025＋0.015＋0.005)×10＝0.45， 因为[90，100]分数段的人数为2，所以50分以上的总人数为＝40，所以[70，80)分数段的人数为40×0.45＝18.(2)由(1)可求得[80，90)分数段的人数为40×0.15＝6，设[80，90)分数段的6名学生分别为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，[90，100]分数段的2名学生分别为B 1，B 2，则从中选出2人的选法有(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 1，A 5)，(A 1，A 6)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 2，A 5)，(A 2，A 6)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，A 4)，(A 3，A 5)，(A 3，A 6)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，A 5)，(A 4，A 6)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(A 5，A 6)，(A 5，B 1)，(A 5，B 2)，(A 6，B 1)，(A 6，B 2)，(B 1，B 2)，共28种.其中这2人的成绩一个在[80，90)分数段、一个在[90，100]分数段的情况有(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(A 5，B 1)，(A 5，B 2)，(A 6，B 1)，(A 6，B 2)，共12种， 则所求概率P ＝＝. 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图和概率公式，读懂频率分布直方图，运用计算方法求出结果，在计算概率时采用了列举法，将所有情况列举出来，然后再求概率．23．(1)14;(2) 15【解析】 【分析】（1）由题意函数()y f x =在区间[1,)+∞上是增函数，可得0a ＞，2b a ≤，可得可得先后抛掷两次骰子的基本事件数为36个，求出所求事件包含基本事件，可得其概率； （2）由（1）可得0a ＞，2b a ≤，可得实验的全部结果所构成的区域与所求事件所构成的区域，由几何概型可得答案. 【详解】解：可得函数2()41f x ax bx =-+的对称轴为：2b x a=， 要使函数()y f x =在区间[1,)+∞上是增函数，当且仅当0a ＞，21ba≤，2b a ≤， 由题意可得先后抛掷两次骰子的基本事件数为36个，所求事件包含基本事件：(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4,2),(5,2),(6,2),(6,3)， 所求事件包含的事件为为9个，可得所求事件的概率为：91364=； （2）由（1）得，要使函数()y f x =在区间[1,)+∞上是增函数，当且仅当0a ＞，21ba≤，2b a ≤， 由题意可得实验的全部结果所构成的区域是：280(,)00a b a b a b ⎧⎫+-≤⎧⎪⎪⎪>⎨⎨⎬⎪⎪⎪>⎩⎩⎭，构成所求事件的区域为三角形部分，由2802a b ab +-≤⎧⎪⎨=⎪⎩得交点坐标168(,)55P ，可得所求事件概率为：18412515482p ⨯⨯==⨯⨯ 【点睛】本题主要考查不等式，线性规划问题及几何概率求解，属于中档题，注意运算准确. 24．(1)16(2)2572P =【解析】【分析】（1）直接由几何概型中的长度型概率计算公式求解．（2）设甲需要等待的时间为x，乙需要等待的时间为y，由已知列不等式组，利用几何概型中的面积型概率计算公式求解．【详解】解：（1）因为电台每隔1小时报时一次，甲在[)0,60之间任何一个时刻打开收音机是等可能的，所以他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关，符合几何概型的条件.设事件A为“甲等待的时间不多于10分钟”，则事件A恰好是打开收音机的时刻位于[)50,60时间段内，因此由几何概型的概率公式得()60501 606P A-==，所以“甲等待的时间不多于10分钟“的概率为16.（2）因为甲、乙两人起床的时间是任意的，所以所求事件是一个与两个变量相关的几何概型，且为面积型.设甲需要等待的时间为x，乙需要等待的时间为y（10分钟为一个长度单位）.则由已知可得，对应的基本事件空间为()06,06xx yy⎧⎫≤<⎧⎪⎪Ω=⎨⎨⎬≤<⎩⎪⎪⎩⎭.甲比乙多等待10分钟以上对应的事件为()06,061xM x y yx y⎧⎫≤<⎧⎪⎪⎪=≤<⎨⎨⎬⎪⎪⎪->⎩⎩⎭.在平面直角坐标系中作出两个不等式组所表示的平面区域，如图所示.显然Ω表示一个边长为6的正方形OQRS的内部及线段OQ，OS，其面积21636S==.M表示的是腰长为5的等腰直角三角形QDE的内部及线段DQ，其面积22125522S =⨯=，故所求事件的概率为252523672P ==. 【点睛】本题主要考查了几何概型概率计算，考查转化能力，属于中档题． 25．（1）11,24m n == ； （2）16.【解析】 【分析】（1）根据题意，假设该同学通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为m 、13、n ，已知三个社团都能进入的概率为124，至少进入一个社团的概率为34，且m n >，利用相关公式建立方程组，即可求得m 与n 的值； （2）根据题意，可知不低于4分包括了得分为4分、5分、6分三种情况，之后应用乘法和加法公式求得结果. 【详解】（1）依题()()1132413111134mn m n m n⎧=⎪⎪⎪⎛⎫----=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎪⎩，解得1214m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（2）由题令该新同学在社团方面获得本选修课学分的分数为i X ， 获得本选修课学分分数不低于4分为事件A ， 则()4121123412P X =⨯⨯=；()5111123424P X =⨯⨯=；()6111123424P X =⨯⨯=. 故()11111224246P A =++=. 【点睛】该题考查的是有关概率的问题，涉及到的知识点有相互独立事件同时发生的概率，互斥事件有一个发生的概率，注意对公式的正确应用是解题的关键. 26．（1）0.04a =（2）基本事件见解析, 所求的概率为815【解析】 【分析】（1）由所有小矩形面积和为1计算出a ；（2）先计算出第4、5两组人数，再按比例计算出抽取的人数，然后把第四组的4人表示为a ，b ，c ，d ，第五组的2人表示为A ，B ，用列举法写出所有基本事件，并计数求出概率。