2008年高考湖北卷(文科数学)

2008年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学（湖北卷）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设(1,2)a =-，(3,4)b =-)，(3,2)c =，则(2)a b c +⋅=
A ．(15,12)-
B ．0
C ．3-
D ．11-
2.321
(2)2x x
-
的展开式中常数项是 A ．210 B ．1052 C ．1
4
D ．105-
3.若集合{1,2,3,4}P =，{05,}Q x x x R =<<∈，则 A.“x R ∈”是“x Q ∈”的充分条件但不是必要条件 B.“x R ∈”是“x Q ∈”的必要条件但不是充分条件 C.“x R ∈”是“x Q ∈”的充要条件
D.“x R ∈”既不是“x Q ∈”的充分条件也不是“x Q ∈”的必要条件 4.用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的休积为 A ．
38π
B ．328π
C ．π28
D ．3
32π
5.在平面直角坐标系xoy 中，满足不等式组1
x y
x ⎧≤⎪⎨<⎪⎩的点(,)x y 的集合用阴影表示
为下列图中的
6.已知()f x 在R 上是奇函数，且(4)()f x f x +=，当(0,2)x ∈时，2()2f x x =，则
(7)f =
A ．2-
B ．2
C ．98-
D ．98
7.将函数sin()y x θ=-的图象F 向右平移3π
个单位长度，得到图象F '，若F '的
一条对称轴是直线4
x π
=，则θ的一个可能取值是
A ．
π125 B ．π125- C ．π12
11
D ．1112π-
8.
函数1
()f x x
=的定义域为
A ．(,4][2,)-∞-+∞
B ．(4,0)(0,1)-
C ．[4,0)(0,1]-
D ．[4,0)(0,1)-
9.从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为
A ．100
B ．110
C ．120
D ．180 10.如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行，
之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+；②1122a c a c -=-；③1212c a a c >；④12
12
c c a a <. 其中正确式子的序号是
A ．①③
B ．②③
C ．①④
D ．②④
P F Ⅰ Ⅱ
Ⅲ
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11.一个公司共有1000名员工，下设一些部门，要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为50的样本，已知某部门有200名员工，那么从该部门抽取的工人数是 .
12.在ABC ∆中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，
c ，已知a =3b =，30C =，则A = .
13.方程223x x -+=的实数解的个数为 .
14.明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一准时响的概率是 .
15.圆C ：34cos 24sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数）的圆心坐标为 ，和圆C 关于直
线0x y -=对称的圆C '的普通方程是 .
三、解答题：本大题共6分小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16.（本小题满12分）
已知函数2()sin cos cos 2222
x x x
f x =+-.
（Ⅰ）将函数()f x 化简成sin()A x B ωϕ++（0A >，0ϕ>，[0,2)ϕπ∈）的形式，并指出()f x 的周期； （Ⅱ）求函数()f x 在17[,
]12
π
π上的最大值和最小值. 17.（本小题满分12分）
已知函数322()1f x x mx m x =+-+（m 为常数，且0m >）有极大值9. （Ⅰ）求m 的值；
（Ⅱ）若斜率为5-的直线是曲线()y f x =的切线，求此直线方程. 18.（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，平面1A BC ⊥侧面11.A ABB （Ⅰ）求证：AB BC ⊥；
（Ⅱ）若1AA AC a ==，直线AC 与平面1A BC 所成的角为θ，二面角1A BC A --
的大小为ϕ，求证：2
π
θϕ+=.
19.（本不题满分12分）
如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为180002cm ，四周空白的宽度为10cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm ，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm ），能使矩形广告面积最小？
20（本小题满分13分）
双曲线C ：22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的两焦点为1(2,0)F -，2(2,0)F ，
点(
3,P 在曲线C 上.
（Ⅰ）求双曲线C 的方程；
（Ⅱ）记O 为坐标原点，过点(0,2)Q 的直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、
F ，若OEF ∆
的面积为l 的方程 21.（本小题满分14分）
已知数列{}n a 和{}n b 满足：1a λ=,12
43
n n a a n +=+-，(1)(321)n n n b a n =--+，其
中λ为实数，n 为正整数.
（Ⅰ）当18λ≠-时，数列{}n a 是等比数列；
A B
C
A 1
B 1
C 1
（Ⅱ）设n S 为数列{}n b 的前n 项和，是否存在实数λ，使得对任意正整数n ，都有12n S >-？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由.
2008年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）
数学（文史类）试题参考答案
一、选择题：本题考查基础知识和基本运算.第小题5分，满分50分. 1.C
2.B
3.A
4.D
5.C
6.A
7.A
8.D
9.B
10.B
二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，第小题5分，满分25分.
11.10 12.30°（或6π
） 13.2 14.0.98
15.（3，－2），（x ＋2）2＋（y －3）2＝16（或x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0） 三、解答题：本题共6小题，共75分.
16.本小题主要考查三角函数的恒等变换、周期性、单调性和最值等基本知识和运算能力. （满分12分） 解：(Ⅰ)f(x)=
2
1
sinx+
23)4sin(2223)cos (sin 2122cos 1-+=-+=-+πx x x x . 故f(x)的周期为2k π｛k ∈Z 且k ≠0｝.
(Ⅱ)由π≤x ≤12
17
π，得πππ35445≤+≤x .因为f(x)＝23)4sin(22-+πx 在[45,
ππ]上是减函数，在[12
17,45π
π]上是增函数. 故当x=45π时，f(x)有最小值－223+；而f(π)=－2，f(12
17
π)＝－
466+＜－2，
所以当x=π时，f(x)有最大值－2.
17.本小题主要考查应用导数研究函数性质的方法和基本运算能力.（满分12分）
解：(Ⅰ) f ’(x)＝3x 2+2mx －m 2=(x+m)(3x －m)=0,则x=－m 或x=31
m,
从而可知，当x=－m 时，函数f(x)取得极大值9， 即f(－m)＝－m 3+m 3+m 3+1=9,∴m ＝2.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)=x 3+2x 2－4x+1,
依题意知f ’(x)＝3x 2＋4x －4＝－5，∴x ＝－1或x ＝－3
1
.
又f(－1)＝6，f(－31)＝2768
，
所以切线方程为y －6＝－5(x ＋1),或y －2768＝－5(x ＋3
1
)， 即5x ＋y －1＝0，或135x ＋27y －23＝0.
18.本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角、二面角等有关知识，考查空间想象能力和推理论证能力.（满分12分）
(Ⅰ)证明：如右图，过点A 在平面A 1ABB 1内作AD ⊥A 1B 于D ，则
由平面A 1BC ⊥侧面A 1ABB 1,且平面A 1BC ∩侧面A 1ABB 1＝A 1B ， 得AD ⊥平面 A 1BC.又BC 平面A 1BC 所以AD ⊥BC.
因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱, 则AA 1⊥底面ABC,所以AA 1⊥BC. 又AA 1∩AD=A,从而BC ⊥侧面A 1ABB 1, 又AB 侧面A 1ABB 1， 故AB ⊥BC.
(Ⅱ)证法1：连接CD,则由(Ⅰ)知∠ACD 就是直线AC 与平面A 1BC 所成的角，∠ABA 1就是二面角A 1－BC －A 的颊角，即∠ACD ＝θ，∠ABA 1
于是在Rt ΔADC 中，sin θ=a
AD
AC AD =
,在Rt ΔADA 1中，sin ∠AA 1D ＝a
AD
AA AD 1,
∴sin θ=sin ∠AA 1D,由于θ与∠AA 1D 都是锐角，所以θ＝∠AA 1D.
又由Rt ΔA 1AB 知，∠AA 1D ＋＝∠AA 1B ＋＝2π，故θ＋＝2π
.
证法2：由(Ⅰ)知，以点B 为坐标原点，以BC 、BA 、BB 1所在的直线分别
为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设AB=c （c ＜a ＝，则B(0,0,0)，A(0,c,0)，C(0,0,22c a -),
A 1(0,c,a)，于是)0,0,(22c a BC -=，1BA ＝（0，c,a ）,
)
0,,(22c c a AC --=1
AA c,a
设平面A 1BC 的一个法向量为n=(x,y,z),
则由⎪
⎩⎪⎨⎧=-=+⎪⎩⎪⎨⎧==∙∙.0,
0,0,02
21x c a az cy BC n BA n 得 可取n ＝（0，－a ，c ），于是 n ·AC =ac ＞0，AC 与n 的夹角为锐角,则
与
互为余角
sin
=cos
=
2
2
2
222222)()
0,,(),,0(||||c
a c c
c a c a c c a c a AC n AC n +=+-+---=∙∙∙∙,
cos =
,)
,0,0(),,0(|
|||2
2
2
2
11c a c a
c
a a c a BA BA BA BA +=
+-=
∙∙∙∙
所以sin =cos
=sin(
ϕπ
-2
),又0＜
，
＜
2π，所以+=2
π
. 19.本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、不等式等知识解决实际问题的能力.（满分12分）
解法1：设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ，则ab=9000.
①
广告的高为a+20，宽为2b+25，其中a ＞0，b ＞0. 广告的面积S ＝(a+20)(2b+25)
＝2ab+40b+25a+500＝18500+25a+40b
≥18500+2b a 4025∙=18500+.245001000=ab
当且仅当25a ＝40b 时等号成立，此时b=a 8
5
,代入①式得a=120，从而
b=75.
即当a=120，b=75时,S 取得最小值24500.
故广告的高为140 cm,宽为175 cm 时，可使广告的面积最小.
解法2：设广告的高为宽分别为x cm ，y cm ，则每栏的高和宽分别为x －20，,
2
25
-y 其中x ＞20，y ＞25
两栏面积之和为2(x －20)
18000225=-y ,由此得y=,2520
18000
+-x 广告的面积S=xy=x(252018000+-x )＝2520
18000
+-x x,
整理得S=.18500)20(2520
360000
+-+-x x
因为x －20＞0，所以S ≥2.2450018500)20(2520
360000
=+-⨯-x x 当且仅当
)20(2520
360000
-=-x x 时等号成立，
此时有(x －20)2
＝14400(x ＞20)，解得x=140，代入y=20
18000
-x +25,得y ＝175，
即当x=140，y ＝175时，S 取得最小值24500，
故当广告的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使广告的面积最小. 20.本小题主要考查双曲线的定义、标准方程、直线和双曲线位置关系等平面解析几何的基础知识，考查待写系数法、不等式的解法以及综合运用数学知识进行推理运算的能力. （满分13分）
(Ⅰ)解法1：依题意，由a 2
+b 2
=4，得双曲线方程为142
222=--a y a x （0＜a
2
＜4＝，
将点（3，7）代入上式，得
14792
2=--a
a .解得a 2=18（舍去）或a 2
＝2， 故所求双曲线方程为.12
22
2=-y x 解法2：依题意得，双曲线的半焦距c=2.
2a=|PF 1|－|PF 2|=,22)7()23()7()23(2222=+--++ ∴a 2=2，b 2=c 2－a 2=2.
∴双曲线C 的方程为.12
22
2=-y x (Ⅱ)解法1：依题意，可设直线l 的方程为y=kx+2，代入双曲线C 的方程并整理，
得(1－k 2)x 2－4kx －6=0.
∵直线I 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F,
∴⎩⎨⎧-±≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧-⨯+-=∆≠-,
33,10)1(64)4(,
012
22
＜＜，＞k k k k k ∴k ∈(－1,3-)∪(1,3).
设E(x 1,y 1),F(x 2,y 2)，则由①式得x 1+x 2=
,16
,142
2
12k x x k k -=-于是 |EF|=2212221221))(1()()(x x k y y x x -+=-+-
=|
1|32214)(12
2
2
212
212
k k k x x x x k
--+=-++∙∙
而原点O 到直线l 的距离d ＝
2
12k
+,
∴S ΔOEF =.|
1|322|1|322112
21||212
2
222
2
k k k k k k EF d --=--++=∙∙
∙
∙ 若S ΔOEF ＝22，即,0222|1|322242
2
=--⇔=--k k k k 解得k=±2, 满足②.故满足条件的直线l 有两条，其方程分别为y=22+x 和
.22+-=x y
解法2：依题意，可设直线l 的方程为y=kx+2,代入双曲线C 的方程并整理，
得(1－k 2)x 2－4kx －6＝0.
①
∵直线l 与比曲线C 相交于不同的两点E 、F ，
∴⎩⎨⎧-±≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧-⨯+-=∆≠-.
33,10)1(64)4(,
012
22
＜＜，＞k k k k k ∴k ∈(－1,3-)∪(1,3). ②
设E(x 1,y 1),F(x 2,y 2)，则由①式得
|x 1－x 2|＝|
1|322|1|4)(2
2
221221k k k x x x x --=-∆
=-+. ③
当E 、F 在同一支上时（如图1所示），
S ΔOEF ＝|S ΔOQF －S ΔOQE |=||||21
||||||||212121x x OQ x x OQ -=-∙∙；
当E 、F 在不同支上时（如图2所示）， S ΔOEF ＝S ΔOQF ＋S ΔOQE ＝.||||2
1
|)||(|||212121x x OQ x x OQ -=+∙∙
综上得S ΔOEF ＝||||2
121x x OQ -∙，于是 由|OQ|＝2及③式，得S ΔOEF ＝|
1|32222k k --. 若S ΔOEF ＝22，即0222|
1|3222422=--⇔=--k k k k ,解得k=±2,满足②.
故满足条件的直线l 有两条，基方程分别为y=22+x 和y=.22+-
21.本小题主要考查等比数列的定义、数列示和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力.（满分14分）
(Ⅰ)证明：假设存在一个实数
，使｛a n ｝是等比数列，则有2122
a a a =,即 （233λ-）2=44499λλλ⎛⎫-⇔ ⎪⎝⎭22449490,9λλλ-+=-⇔=矛盾. 所以｛a n ｝不是等比数列. （Ⅱ）证明：∵11112(1)[3{1}21](1)(214)3
n n n a n b a n a n ++++=--++=--+ 22(1),(321).33n n a n b =---+=-
又118,(18)0.b λλ≠-∴=-+≠由上式知120,(),3
n n n n b b n N b +≠∴=-∈ 故当18,λ≠-时，数列｛b n ｝是以λ-（+18）为首项，23
-为公比的等比数列.
（Ⅲ）当18λ≠-时，由（Ⅱ）得12(18)(),3
n n b λ-=-+-于是 32(18)[1()],53n n S λ=-+-- 当18λ=-时，0n b =，从而0.n S =上式仍成立.
要使对任意正整数n , 都有12.n S >-
即3220(18)[1()]1218.2531()3
n n
λλ-+-->⇔---
令2()1(),3
n f n =--则 当n 为正奇数时，51():3f n <≤当n 为正偶数时，5()1,9
f n ≤< 5()(1).3
f n f ∴=的最大值为 于是可得32018 6.5
λ<⨯-=- 综上所述，存在实数λ，使得对任意正整数n ，都有12;n S >- λ的取值范围为(,6).-∞-。