数学思想方法——等价转化
数学思想之一转化与化归思想(概述)
数学思想之一：转化与化归思想（概述）
1、转化与化归的思想方法转化与化归的思想方法是数学中最基本的思想方法，数学中一切问题的解决（当然包括解题）都离不开转化与化数形结合思想体现了数与形的相互转化；函数与方归，
程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化；分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化，以上三种思想方法都是转化与化归思想的具体体现。
各种变换方法、分析法、反证法、待定系数法、构造法等都是转化
的手段。
所以说，转化与化归是数学思想方法的灵魂。
2、转化包括等价转化和非等价转化等价转化要求在转化过程中的前因后果既是充分的又是必要的，这样的转化能保证转化的结果仍为原问题所需要的结果，不等价转化其过程则是充分的或必要的，这样的转化能给人带来思维的启迪，找到解决问题的突破口，不等价变形要对所得结论进行必要的修改。
3、转化与化归的原则将不熟悉和难解的问题转化为熟知的易解的或已经解决的问题，将抽象的问题转化为具体的直观的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将一般性的问题转化为直观的特殊的问题；将实际问题转化为数学问题，使问题便与解决。
4、转化与化归的基本类型
（1）正与反、一般与特殊的转化；
（2）常量与变量的转化；
（3）数与形的转化；
（4）数学各分支之间的转化；
（5）相等与不相等之间的转化；
（6）实际问题与数学模型的转化。
中考数学第二轮复习《等价转化思想》学案
数学二轮复习—数学思想方法选讲4.等价转化思想班级 姓名 学号 学习目标：体会什么是等价转化思想，会利用等价转化的思想解决常见问题。
学习重点、难点： 运用等价转化思想。
教学过程：一、典型例题分析： 例1、阅读材料：如图1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 21=∆，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 解答下列问题：如图2，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x 轴于点A(3,0)，交y 轴于点B.（1）求抛物线和直线AB 的解析式；（2）点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连结P A ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S ∆；（3）是否存在一点P ，使S △P AB=89S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.〖点评〗（1）是大家熟悉的待定系数法求解析式问题；（2）转化为阅读材料提供的方法来解图2xC Oy ABD1 1BC铅垂高水平宽 ha 图1决；（3）将面积的等量关系转化为方程。
（本题的面积也可用割补法求）熟悉化原则：把生疏的转化为熟悉的，把未知的转化为已知的，把非典型的转化为典型的以充分利用已知的知识及解题经验。
例2、如图，抛物线与x轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若没有，请说明理由.〖点评〗（1）是大家熟悉的待定系数法求解析式问题；（2）转化为在对称轴上求点Q使QC+QA的值最小；（3）将面积转化为二次函数，利用二次函数的定点确定最大值。
数学思想之转化与化归总结
数学思想之转化与化归总结在数学中，转化与化归是一种常用的思想方法。
通过转化问题的表达形式或者化简问题的复杂度，我们可以更容易地理解和解决数学问题。
转化与化归涉及到问题的等价转化、代数化简、几何转化、枚举化归等多个方面。
下面将从这几个方面对转化与化归进行总结。
首先，等价转化是一种常见的数学思想之一。
它意味着将一个问题转化为与之等价的另一个问题，以求得更容易解决的问题。
等价转化包括将问题的形式转化为更简单或者更具有可操作性的形式，或者将问题与已知的问题进行对应。
一个经典的例子是将一个复杂的代数方程转化为一个简单的一次方程或者二次方程，从而解决原方程。
在某些情况下，等价转化也可以是不可逆的，这意味着我们只能从简单的问题得到复杂的问题，但是这种转化仍然能够帮助我们更好地理解问题的本质和特点。
其次，代数化简是转化与化归的另一个重要方面。
代数化简是指通过运用代数运算的性质和规则，将一个复杂的代数表达式或者方程化简为更简单的形式。
代数化简的方法包括合并同类项、因式分解、配方法、三角函数的恒等变换等。
代数化简不仅可以减少问题的复杂度，还可以揭示问题的规律和特点，从而更好地解决数学问题。
几何转化是将几何问题转化为代数问题或者相反，通过几何图形的变换和变形，我们可以使得问题的解决更加直观和简单。
几何转化常常涉及到使用待定系数法、相似三角形的性质、勾股定理等几何知识，从而求得问题的解。
几何转化不仅能够帮助我们更好地理解和解决几何问题，还能够提高我们的思维能力和几何直观。
最后，枚举化归是一种将一个复杂的问题化归为若干个简单的情况，通过对每个简单情况的分析和解决，来解决原问题的方法。
枚举化归可以通过列举具体的例子，或者考虑特殊情况来进行。
枚举化归的优点是能够将一个复杂的问题简化为多个简单的情况，从而更好地理解和解决问题。
然而，枚举化归的缺点是可能需要计算大量的情况，耗费时间和精力。
综上所述，转化与化归是数学中一种重要的思想方法。
高中数学_必须掌握的六种常用的数学思想方法
高中数学_必须掌握的六种常用的数学思想方法数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。
数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。
而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。
常用数学思想方法有：1、数形结合的思想方法2、分类讨论的思想方法3、函数与方程的思想方法4、转化（化归）的思想方法5、分类讨论的思想方法6、整体的思想方法。
更多数学思维方法，请参阅《高中数学_快速解题的六种数学思维方法》。
一、数形结合的数学思想方法数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。
如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。
1、导读：2、相关内容：3、再现性题组：1.如果θ是第二象限的角，且满足cos θ2－sinθ2＝1-sinθ,那么θ2是_____。
A.第一象限角B.第三象限角C.可能第一象限角，也可能第三象限角D.第二象限角2.如果实数x、y满足等式(x－2)2＋y2＝3，那么yx的最大值是_____。
A. 12B.33C.32D. 34、巩固性题组：1.已知5x＋12y＝60，则x y22+的最小值是_____。
A. 6013 B. 135C. 1312D. 12.方程2x＝x2＋2x＋1的实数解的个数是_____。
A. 1B. 2C. 3D.以上都不对3.方程x＝10sinx的实根的个数是_______。
二、分类讨论的数学思想方法①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。
如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。
这种分类讨论题型可以称为概念型。
②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。
解决问题的策略思想等价与非等价转化
解决问题的策略思想——等价与非等价转化是目前在解决实际问题中被广泛应用的一种思维策略，它是将解决问题中的现有条件或者程序，转化成另外一种可以帮助解决问题的条件或程序，从而达到解决问题的目的。
等价转化是指在解决复杂问题时，将当前的问题转化成与原问题具有同一解的另一种形式，以便更容易的解决。
通过等价转化，可以将复杂的问题转化成更简单的形式，使其更容易理解和解决。
例如，当在求解方程时，如果原方程中存在复杂的符号，则可以将其进行等价转化，使其变得简单易懂，从而使解决方程变得简单，可以在较短时间内得到解决。
非等价转化是指在解决复杂问题时，将当前的问题转化成与原问题不具有同一解的另一种形式，以便更容易的解决。
这种转化的方式比等价转化更加的复杂，但是它可以帮助我们更好的理解问题，从而更容易的解决问题。
例如，当求解一个复杂的方程时，如果原方程中存在复杂的符号，可以通过对方程进行非等价转化，将其转化为两个或多个更加简单的方程，从而使解决方程变得更加容易，从而达到解决问题的目的。
总之，等价与非等价转化都是解决复杂问题的有效策略，它们可以有效的将复杂的问题，转化成更简单的形式，使其更容易理解，从而达到解决问题的目的。
因此，在解决实际问题时，应该灵活的利用等价与非等价转化的思想，从而更有效的解决问题。
等价转化的数学思想在恒成立问题中的应用
三、 数形结合 ， 直 观 转 化
对于含参数的不等式问题 ，当不等式两边 的函 数图像形状明显 ， 我们可 以作 出它们 的图像 ， 以达到 解 决 问 题 的 目的 。
ｉ ￣ １ ］ ３ 设 ∈［ 一 ４ ， ０ ］ ， 若 不等式 、 ／ 二
１ 一 叵成立 ， 求ｎ 的取值 范围。
（ ２ ） 当０ ＜ ２ ａ ２ — １ ＜ １ 时， 由题设知 ÷
即 一，
２Ⅱ 一ｌ
恒成立 ，
（ １ ） 当 ＝ ０ 时， 不 等式 一 １ ≤ａ ｘ ０ ≤１ 显 然 成立 ，
ａ∈ Ｒ
２ ， ） ＇ ・ ・ ・ １ ） ｔ Ｊ （
２ ２
（ ２ ） 当０ ＜ ｘ ≤１ 时， 由一 １ ￣ ＜ａ ｘ ２ ≤１
一
Ｘ
４ ２
，
三） ｕ（ １＋ 。 。 ） 。
，
２
４
又’ ． ・一 １
１
＝ 一
（ ÷ ＋ ） ２ ＋ ｛ 斗 ≤ 一 ２ ， （ 一 １ 一 具体解题 中可能要用到两种 或两种 以上的方法 ， 应
灵活处理。 总之 ， 在解决含参数不等式的恒成立 的数 学问题 中重视 并应用等价转 化的数学 思想 ， 往往 是 解决这类问题的捷径 。
解： ’ ． ’
ｌ 叫
当不等式中左 、右两边 的函数具有某些不确定 因素时 ， 应用分类讨论 的方法来处理 ， 分类讨论可使 原问题中的不确定因素变成确定 因素 ，为问题 的解 决提供新的条件。 ｑ ＇ １ ４ 当 ∈［ ２ ， ８ ］ 时， 不等式ｌ ｏ ｇ ． ＞ 一 １ 恒成立 ，
解 得。 （ 一３
，一
， ） 。
４
(完整版)集合中的数学思想方法例析
集合中的数学思想方法例析河北 赵春祥数学思想和数学方法是数学的灵魂，是知识转化为能力的桥梁，信息社会越来越多的要求人们自觉地运用数学思想提出问题和用数学方法解决问题．近几年的高考数学试题，越来越注重对数学思想和数学方法的考查，这已成为高考热点问题．为帮助同学们更好地理解和掌握最常用的基本数学思想和数学方法，特结合同学们已经学过的集合中有关的数学思想方法要点归纳如下，以扩大读者的视野．一、等价转化思想在解集合问题时，当一种集合的表达式不好入手时，可将其先转化为另一种形式．比如：将A B I = B 或将A B U = A 转化为B A ⊆，将()()U U A B U uu 痧转化为()U A B I u ð，将()()U U A B I u u 痧转化为()U A B U uð等． 例1 已知M ={(x ，y)| y = x ＋a}，N ={(x ，y)| x 2＋y 2= 2}，求使得M N I =φ成立的实数a 的取值范围。
解：M N I =φ等价于方程组22,2.y x a x y =+⎧⎨+=⎩无解。
把y = x ＋a 代入方程x 2＋y 2= 2中，消去y ，得关于x 的一元二次方程2x 2＋2ax ＋a 2－2= 0。
①问题又转化为一元二次方程①无实根，即△= (2a)2－4×2×(a 2－2)＜0，由此解得a ＞2或a ＜－2。
故所求实数a 的取值范围是{a | a ＞2或a ＜－2}。
评析：在理解集合符号的基础上，准确地将集合语言转化为初中已学过的数学问题，然后用所学的知识和方法把问题解决．这种转化可以把抽象知识用简洁、准确的数学语言表达出来，提高解题效率．二、分类讨论思想解答集合问题时常常遇到这样的情况：解题过程中，解到某一步时，不能再以统一的方法、统一的形式继续进行，因为这时被研究的数学对象已包含了多种可能的情形，必须选定一个标准，根据这个标准划分成几个能用不同形式去解决的小问题，将这些小问题一一加以解决，从而使问题得到解决，这就是分类讨论的思想方法．例2 设集合A = {x | x 2＋4x = 0，x ∈R}，B = {x | x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1= 0，a ∈R ，x ∈R }，若A B ⊆，求实数a 的取值范围。
等价转化思想方法
化归转化思想1、专题概述著名的数学家C.A.雅洁卡娅曾发表《什么叫解题》的演讲时提出：“解题就是把要解题转化为已经解过的题〞。
数学解题的过程，就是一个连续不断的转化过程，即将一个或复杂、或陌生、或不规X 的问题，化归为一个〔或假设干个〕简单的、熟悉的、规X 的问题，把未知解的问题转化到在已有知识X 围内可解的问题，这就是“化归转化思想〞，它要求解题中要善于换一个角度观察，换一种方式思考，换一种语言表达，将会对问题的本质有着更明确、清晰的理解，达到解决或易于解决的目的。
化归转化思想包含了数形结合、函数方程、分类讨论等数学思想，它们都是化归转化思想的具体反映；各种变换方法、分析法、反证法、待定系数法、构造法都是转化的手段。
所以说，化归转化思想是数学思想的灵魂。
化归转化有“等价转化〞与“非等价转化〞两种情况。
等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，这样才保证转化后的结果仍为原问题的结果。
非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正，但它能给人带来解决问题的突破口。
我们在应用时一定要注意转化的等价性与非等价性的不同要求，实施等价转化时确保其等价性，保证逻辑上的正确。
化归转化思想方法具有灵活性和多样性，它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；它可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译，文字语言、符号语言、图形语言的互译；它可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形。
消去法、换元法、数形结合法、等，都表达了等价转化思想，我们更是经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化。
可以说，化归转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不变。
尽管化归转化有许多形式、方法、技巧，但在什么情况下应该转化，采用怎样的形式与方法，却有一定的原那么，具体表现为：熟悉化原那么，即把陌生的问题转化为比较熟悉的问题来处理；简单化原那么，即将较为繁琐、复杂的问题转化为简单的问题；直观化原那么，即将抽象的问题转化为具体的直观的问题；标准化原那么，即将从非标准型向标准型进行转化；和谐、规那么化原那么，即将不和谐化为和谐、不规那么化为规那么；逆向思维原那么〔正难那么反〕，即遇到问题正面复杂时，而其反面情况简单，可从反面入手解决；特殊化原那么，将一般性的问题转化为直观的特殊问题；将实际问题转化为数学问题，使问题得以解决。
高中数学等价思想总结归纳
高中数学等价思想总结归纳高中数学等价思想主要包括等价变形、等价代换、等价关系和等价性质四个方面。
这些等价思想在数学的各个分支领域中普遍存在，并具有重要的理论和应用价值。
下面将对这四个方面进行归纳总结。
等价变形是数学中常用的一种推理方法。
它通过对数学表达式、方程式或不等式进行一系列的代数运算，使其形式上发生变化，而保证其数学意义不变。
等价变形的核心思想是利用数学运算的性质来调整表达式的形式，以达到简化、解决问题的目的。
常见的等价变形方法有因式分解、通分、配方法、换元等。
例如，对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，可以通过配方法将其变形为(a'x+p)^2+q=0的形式，从而更便于解方程。
等价变形在解决各种类型的数学问题中起到了重要的作用，使复杂的问题变得简单。
等价代换是利用代数等式的等价性质进行推理的方法。
它将一个数学表达式或方程中的某个量用其它的等价形式进行替代，以便于化简或求解问题。
等价代换一般包括两个步骤：找到等价量并进行替代。
等价量指的是在数学运算过程中，可以与原有量进行等价替换的数学表达式或方程。
常见的等价代换方法有因式分解、代入法、递推法等。
例如，求解二次函数f(x)=ax^2+bx+c的最值问题，可以利用等价代换将其转换为求解一元二次方程的问题，进而应用二次函数的性质完成最值问题的求解。
等价关系是指在数学领域中具有某种关联的两个数学事物之间存在着一种特定的关系。
等价关系由三个性质构成：自反性、对称性和传递性。
自反性指的是任何元素与自身之间满足这种关系；对称性指的是如果x与y之间存在这种关系，那么y与x之间也存在这种关系；传递性指的是如果x与y之间存在这种关系，y与z之间也存在这种关系，那么x与z之间也存在这种关系。
等价关系在数学中具有广泛的应用，例如，等价关系可以用于划分集合，进行分类和归纳，也可以用于构建等价类以进行证明和推理。
等价性质是在数学中常用的一种判断两个事物是否具有相同性质或结构的方法。
常见的数学思想方法
常见的数学思想方法
1. 归纳法：通过已知结论推导出未知结论的方法。
2. 反证法：通过假设逆命题的真假，来证明所需要的命题的真假。
3. 递推法：通过已知项和递推关系式，推导出未知项。
4. 分析法：通过分析问题的特点和条件，将其转化成易于解决的数学模型。
5. 近似法：通过简化问题，使用近似的方法求解。
6. 对称法：通过利用问题的对称性质，简化问题的求解过程。
7. 反思法：通过回顾和反思已有的知识和结果，寻找新的问题解决思路。
8. 等价转化法：通过将问题转化为等价或相似的问题，来求解原问题。
9. 极限思想：通过分析问题的极限情况，来得到问题的解或性质。
10. 约束条件法：通过分析问题的约束条件，确定问题的可行解范围。
11. 逆向思维：通过倒推或逆向思考，找到问题的解决方法。
12. 概率思想：通过概率与统计的方法，分析问题的可能性和影响因素。
数学思想方法——等价转化
数学思想方法——等价转化解决数学问题时，我们常会遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过对新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”.转化思想的实质是揭示联系，实现转化.除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的.从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程. 转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程.数学中的转化比比皆是，如函数与方程的转化，未知向已知转化，数与形的转化，空间向平面的转化，正面与反面的转化等，都是转化思想的体现.我就平时遇到的一些题目进行归类、剖析.题型一函数与方程的转化例1、已知函数在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为_______.解析：f(x)在定义域内为增函数即等价于,对恒成立.解题回顾：(1)f(x)在区间（a,b）上为增函数（减函数）常转化为对恒成立(注意验证) .(2)“恒成立”问题常可转化为最值问题，本题中采用分离参数法，问题就明朗化了.解析：建立如图所示的平面直角坐标系解题回顾：（1）解决向量的问题我们有三种方法：一线性运算、二向量数量积的定义、三向量的坐标运算.本题采用第三种方法将向量的问题转化为函数的最值问题.（2）本题也体现了数与形的转化.例3、中，角A的对边长等于2，向量向量（1）求取得最大值时的角A的大小；（2）在（1）的条件下求面积的最大值.解析：故取得最大值时的角. .（2）设角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，由余弦定理，得即，当且仅当b＝c＝2时取等号,又，当且仅当a=b＝c＝2时，的面积最大为.解题回顾：(1)本题中求的最大值转化为求关于的二次函数的最大值.在解题时应注意的取值范围即角A的范围.(2)为了求bc的取值范围只要将由余弦定理得到的等式转化为不等式即可.即运用不等式.例4、若关于x的方程cos2x＋4asinx＋a－2=0在区间［0,π］上有两个不同的解，求实数a的取值范围.可知：解得：解题回顾：本题涉及多种转化，一是三角函数的异名化同名，三角函数转化为代数问题，二是方程的问题转化为函数的问题.题型二未知与已知的转化例1、已知则解析：由已知可得所以把变形成点评：在三角求值中，我们一定要注意已知角与未知角的关系，实现未知与已知的转化.当然本题中也涉及三角函数名的转化.例2、在R上定义运算：若不等对任意实数x都成立，则实数a的取值范围解析：由定义可知即恒成立点评：定义信息型创新题是近年高考出现频率较高的试题之一，对定义信息的提取和转化是求解的关键，也是一个难点.例3、已知是定义在上的函数，且对任意实数，恒有且的最大值为1，则满足的解集为_______.解析：解决本题的关键是对的理解.从代数的角度看：当时，，当时，所以此函数在定义域内为增函数，从几何的角度看：此函数上任意两点连线的斜率均大于0，所以此函数为增函数.解题回顾：未知与已知的转化，方法二也体现了数与形的转化.例4、已知o为原点，向量（2）求的最大值及相应x的值.（2），所以的最大值为相应的解题回顾：本题涉及三角函数名的转化、未知角向已知角的转化、数与形的结合、利用不等式求函数的最值等问题.题型三变量与常量的转化例、若不等式对一切均成立，则实数x的取值范围____.解析∵∴，令g(p)=，则要使它对0≤p≤4均有g(p)>0，只要有∴x>3或x<－1点评：在有几个变量的问题中，常常有一个变元处于主要地位，我们称之为主元，由于思维定势的影响，在解决这类问题时，我们总是紧紧抓住主元不放，这在很多情况下是正确的.但在某些特定条件下，此路往往不通，这时若能变更主元，转移变元在问题中的地位，就能使问题迎刃而解.本题中，若视x为主元来处理，既繁且易出错，实行主元的转化，使问题变成关于p的一次不等式，使问题实现了从高维向低维转化，解题简单易行.题型四正面与反面的转化例、已知命题：使为真命题，则a的取值范围是_____.解析：原命题等价于若从反面考虑：原命题的否定为使解题回顾：正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可转化考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解.题型五空间与平面的转化例、如图所示，在单位正方体的面对角线上存在一点P使得最短，则的最小值_______.解析：将面A1AB绕轴A1A旋转到与面A1BCD1共面，如右图所示，D1A 为所求最小值，最小值为.解题回顾：立体图形中最短路径的问题常通过图形的翻折转化到平面来解决.等价转化思想方法的特点具有灵活性和多样性，在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时，没有一个固定统一的模式去进行，它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；也可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译；也可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形。
高中数学解题基本方法--等价转化思想方法.doc
高中数学解题基本方法--等价转化思想方法等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。
通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。
历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧。
转化有等价转化与非等价转化。
等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。
非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。
我们在应用时一定要注意转化的等价性与非等价性的不同要求，实施等价转化时确保其等价性，保证逻辑上的正确。
著名的数学家，莫斯科大学教授C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时提出：“解题就是把要解题转化为已经解过的题”。
数学的解题过程，就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。
等价转化思想方法的特点是具有灵活性和多样性。
在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时，没有一个统一的模式去进行。
它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；它可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译；它可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形。
消去法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等，都体现了等价转化思想，我们更是经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化。
可以说，等价转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不变。
由于其多样性和灵活性，我们要合理地设计好转化的途径和方法，避免死搬硬套题型。
在数学操作中实施等价转化时，我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则，即把我们遇到的问题，通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理；或者将较为繁琐、复杂的问题，变成比较简单的问题，比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分式到整式…等；或者比较难以解决、比较抽象的问题，转化为比较直观的问题，以便准确把握问题的求解过程，比如数形结合法；或者从非标准型向标准型进行转化。
例析几种等价转换方法
例析几种等价转换方法在数学中，等价转换是指通过一系列变换将一个数学问题转化成另一个等价的问题。
等价转换的方法主要有以下几种：代数等价转换、几何等价转换、逻辑等价转换和数论等价转换。
1.代数等价转换是通过代数运算和恒等式的变化来实现的。
常见的代数等价转换方法有：a.同类项合并：将多个具有相同变量的项进行合并，如2x+3x=5x。
b.提公因式：将一个多项式中的公因式提取出来，如2x+4y=2(x+2y)。
c.分配律的运用：将一个因式与一个和或差相乘，如2(x+y)=2x+2y。
d.等式两边同时乘以一个非零数：等式两边同时乘以一个非零数，等式仍然成立，如3x=2，等式两边同时乘以2/3得到x=2/32.几何等价转换是通过几何运算和几何定理的变化来实现的。
常见的几何等价转换方法有：a.平移：将一个图形沿指定的方向和距离移动一段距离，保持图形的形状和大小不变。
b.旋转：将一个图形绕着一个点旋转一定角度，保持图形的形状和大小不变。
c.缩放：将一个图形按照比例因子进行放大或缩小。
d.相似变换：通过平移、旋转和缩放将一个图形变形到与另一个图形相似。
3.逻辑等价转换是通过逻辑运算和逻辑规则的变化来实现的。
常见的逻辑等价转换方法有：a.否定的否定律：对于任意命题p，p与非非p等价，即p≡¬(¬p)。
b.同一律：对于任意命题p，p与p∨真等价，即p≡p∨真。
c.恒等律：对于任意命题p，p与p∧真等价，即p≡p∧真。
d.排中律：对于任意命题p，p∨¬p为真，即p∨¬p≡真。
4.数论等价转换是通过数论运算和数论定理的变化来实现的。
常见的数论等价转换方法有：a. 同余：对于整数a、b和正整数m，如果(m，(a - b))，即a ≡ b (mod m)，则称a与b模m同余。
b. 同余的性质：如果a ≡ b (mod m)，c ≡ d (mod m)，则有a +c ≡ b +d (mod m)和ac ≡ bd (mod m)。
等价转化的妙用
等价转化的妙用等价转化即两个关系，形式不同而实质相同。
等价转化思想是一种数学思想，在教学中遇到不好理解，不易解释的现象和问题，我们可以运用“相当于”将它进行等价转化，将其转化为熟悉的便于理解的现象，无需过多解释学生就能掌握，化学的习题教学也是如此。
一、极限转化解等效平衡一定条件下的可逆反应，不论是由反应物开始还是由生成物开始，只要通过极限转化法，转化到方程式的同一边后。
同温同体积下，只需相应物质的物质的量与原平衡开始时的物质的量相等，则两个平衡即等效；如果条件变为同温同压，则变为相应物质的物质的量比例相同，即两平衡等效。
借助等价转化思想可以简化过程的分析。
例：一定温度下，在某恒容密闭容器中按不同的配比开始发生反应co2（g））+h2（g）==co（g）+h2o（g），达平衡时，在平衡体系中co的浓度大小顺序是co2（g） +h2（g）=co（g）+h2o（g）甲 a a 0 0乙 0 0 a a丙 2a a 0 0丁 a a a a解析：由题意：体积一定时要比较浓度只需比较物质的量的大小即可。
而此方程式是反应前后气体体积相等的反应，改变压强对化学平衡不影响。
实施等价转化后，只要起始时相应物质的物质的量的比例相同即两平衡等效，可以得出甲、乙、丁达到的平衡等效；丙相当于甲、乙增加co2（g），平衡右移，co增加，故丙大于甲、乙；丙相当于丁减少h2（g），平衡左移，co减少，故丙小于丁。
由此可以得出：丁﹥丙﹥甲=乙。
二、“相当于”解离子共存在离子反应中，有些离子可以大量共存，但如果有几种同时出现就不能大量共存。
如fe2+ 、no3-、h+ 三种离子，其中任意两种均可以大量共存，但三种则不能大量共存，在理解时，若有h+和no3-出现，相当于有hno3存在，具有强氧化性。
可将cu和稀hno3反应的化学方程式改为离子方程式，3cu+8h++2no3-=3cu2++2no+4h2o，即可看出no3-在酸性环境中具有强氧化性。
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数学思想方法——等价转化
解决数学问题时，我们常会遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过对新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”.转化思想的实质是揭示联系，实现转化.除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的.从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程. 转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程.数学中的转化比比皆是，如函数与方程的转化，未知向已知转化，数与形的转化，空间向平面的转化，正面与反面的转化等，都是转化思想的体现.我就平时遇到的一些题目进行归类、剖析.
题型一函数与方程的转化
例1、已知函数
在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为_______.
解析：f(x)在定义域内为增函数即等价于
,对
恒成立.
解题回顾：
(1)f(x)在区间（a,b）上为增函数（减函数）常转化为
对
恒成立(注意验证
) .
(2)“恒成立”问题常可转化为最值问题，本题中采用分离参数法，问题就明朗化了.
解析：建立如图所示的平面直角坐标系
解题回顾：
（1）解决向量的问题我们有三种方法：一线性运算、二向量数量积的定义、
三向量的坐标运算.本题采用第三种方法将向量的问题转化为函数的最值问题.（2）本题也体现了数与形的转化.
例3、
中，角A的对边长等于2，向量
向量
（1）求
取得最大值时的角A的大小；
（2）在（1）的条件下求
面积的最大值.
解析：
故
取得最大值时的角
. .
（2）设角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，
由余弦定理，得
即
，当且仅当b＝c＝2时取等号,
又
，当且仅当a=b＝c＝2时，
的面积最大为
.
解题回顾：
(1)本题中求
的最大值转化为求关于
的二次函数的最大值.在解题时应注意
的取值范围即角A的范围.
(2)为了求bc的取值范围只要将由余弦定理得到的等式转化为不等式即可.即运用不等式
.
例4、若关于x的方程cos2x＋4asinx＋a－2=0在区间［0,π］上有两个不同的解，求实数a的取值范围.
可知：
解得：
解题回顾：本题涉及多种转化，
一是三角函数的异名化同名，三角函数转化为代数问题，
二是方程的问题转化为函数的问题.
题型二未知与已知的转化
例1、已知
则
解析：由已知可得
所以把
变形成
点评：在三角求值中，我们一定要注意已知角与未知角的关系，实现未知与已知的转化.当然本题中也涉及三角函数名的转化.
例2、在R上定义运算
：
若不等
对任意实数x都成立，则实数a的取值范围
解析：由定义可知
即
恒成立
点评：定义信息型创新题是近年高考出现频率较高的试题之一，对定义信息的提取和转化是求解的关键，也是一个难点.
例3、已知
是定义
在上的函数，且对任意实数
，恒有
且
的最大值为1，则满足
的解集为_______.
解析：解决本题的关键是对
的理解.
从代数的角度看：当
时，
，当
时，
所以此函数在定义域内为增函数，
从几何的角度看：此函数上任意两点连线的斜率均大于0，所以此函数为增函数.
解题回顾：未知与已知的转化，方法二也体现了数与形的转化.
例4、已知o为原点，向量
（2）求
的最大值及相应x的值.
（2），
所以
的最大值为相应的
解题回顾：本题涉及三角函数名的转化、未知角向已知角的转化、数与形的结合、利用不等式求函数的最值等问题.
题型三变量与常量的转化
例、若不等式
对一切
均成立，则实数x的取值范围____.
解析∵
∴
，
令g(p)=
，则要使它对0≤p≤4均有g(p)>0，
只要有
∴x>3或x<－1
点评：在有几个变量的问题中，常常有一个变元处于主要地位，我们称之为主元，由于思维定势的影响，在解决这类问题时，我们总是紧紧抓住主元不放，这在很多情况下是正确的.但在某些特定条件下，此路往往不通，这时若能变更主元，转移变元在问题中的地位，就能使问题迎刃而解.本题中，若视x为主元来处理，既繁且易出错，实行主元的转化，使问题变成关于p的一次不等式，使
问题实现了从高维向低维转化，解题简单易行.
题型四正面与反面的转化
例、已知命题：
使
为真命题，则a的取值范围是_____.
解析：原命题等价于
若从反面考虑：原命题的否定为
使
解题回顾：
正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可转化考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解.
题型五空间与平面的转化
例、如图所示，在单位正方体
的面对角线
上存在一点P使得
最短，则
的最小值_______.
解析：将面A1AB绕轴A1A旋转到与面A1BCD1共面，如右图所示，D1A 为所求最小值，最小值为.
解题回顾：立体图形中最短路径的问题常通过图形的翻折转化到平面来解决.
等价转化思想方法的特点具有灵活性和多样性，在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时，没有一个固定统一的模式去进行，它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；也可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译；也可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形。
其中消去法、换元法、数形结合法、求值求范围等等，都体现了
等价转化思想，我们更是经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化。
由于其多样性和灵活性，就需要我们合理地设计好转化的途径和方法，避免死搬硬套题型。
我有如下几点想法：1.逐步树立转化意识，遇到难题试着转换.
2.转化应遵循五条原则：
(1)熟悉化原则：将陌生的问题化为熟悉的问题来解决；
(2)简单化原则：将复杂问题化为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的；
(3)和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形更符合数与形的内部所表示的和谐统一的形式，或者转化命题，使其推理有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律；
(4)直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决；
(5)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解.
3.化归的基本方法与途径：
(1)等价转化——将原题转化为与之等价的命题；
(2)数形结合——将问题中的数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系互相转化，获得化归途径；
(3)构造法——“构造”一个合适的数学模型，使问题易于解决.。