数学思想方法——等价转化

数学思想方法——等价转化

解决数学问题时，我们常会遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过对新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”.转化思想的实质是揭示联系，实现转化.除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的.从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程. 转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程.数学中的转化比比皆是，如函数与方程的转化，未知向已知转化，数与形的转化，空间向平面的转化，正面与反面的转化等，都是转化思想的体现.我就平时遇到的一些题目进行归类、剖析.

题型一函数与方程的转化

例1、已知函数

在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为_______.

解析：f(x)在定义域内为增函数即等价于

,对

恒成立.

解题回顾：

(1)f(x)在区间（a,b）上为增函数（减函数）常转化为

对

恒成立(注意验证

) .

(2)“恒成立”问题常可转化为最值问题，本题中采用分离参数法，问题就明朗化了.

解析：建立如图所示的平面直角坐标系

解题回顾：

（1）解决向量的问题我们有三种方法：一线性运算、二向量数量积的定义、

三向量的坐标运算.本题采用第三种方法将向量的问题转化为函数的最值问题.（2）本题也体现了数与形的转化.

例3、

中，角A的对边长等于2，向量

向量

（1）求

取得最大值时的角A的大小；

（2）在（1）的条件下求

面积的最大值.

解析：

故

取得最大值时的角

. .

（2）设角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，

由余弦定理，得

即

，当且仅当b＝c＝2时取等号,

又

，当且仅当a=b＝c＝2时，

的面积最大为

.

解题回顾：

(1)本题中求

的最大值转化为求关于

的二次函数的最大值.在解题时应注意

的取值范围即角A的范围.

(2)为了求bc的取值范围只要将由余弦定理得到的等式转化为不等式即可.即运用不等式

.

例4、若关于x的方程cos2x＋4asinx＋a－2=0在区间［0,π］上有两个不同的解，求实数a的取值范围.

可知：

解得：

解题回顾：本题涉及多种转化，

一是三角函数的异名化同名，三角函数转化为代数问题，

二是方程的问题转化为函数的问题.

题型二未知与已知的转化

例1、已知

则

解析：由已知可得

所以把

变形成

点评：在三角求值中，我们一定要注意已知角与未知角的关系，实现未知与已知的转化.当然本题中也涉及三角函数名的转化.

例2、在R上定义运算

：

若不等

对任意实数x都成立，则实数a的取值范围

解析：由定义可知

即

恒成立

点评：定义信息型创新题是近年高考出现频率较高的试题之一，对定义信息的提取和转化是求解的关键，也是一个难点.

例3、已知

是定义

在上的函数，且对任意实数

，恒有

且

的最大值为1，则满足

的解集为_______.

解析：解决本题的关键是对

的理解.

从代数的角度看：当

时，

，当

时，

所以此函数在定义域内为增函数，

从几何的角度看：此函数上任意两点连线的斜率均大于0，所以此函数为增函数.

解题回顾：未知与已知的转化，方法二也体现了数与形的转化.

例4、已知o为原点，向量

（2）求

的最大值及相应x的值.

（2），

所以

的最大值为相应的

解题回顾：本题涉及三角函数名的转化、未知角向已知角的转化、数与形的结合、利用不等式求函数的最值等问题.

题型三变量与常量的转化

例、若不等式

对一切

均成立，则实数x的取值范围____.

解析∵

∴

，

令g(p)=

，则要使它对0≤p≤4均有g(p)>0，

只要有

∴x>3或x<－1

点评：在有几个变量的问题中，常常有一个变元处于主要地位，我们称之为主元，由于思维定势的影响，在解决这类问题时，我们总是紧紧抓住主元不放，这在很多情况下是正确的.但在某些特定条件下，此路往往不通，这时若能变更主元，转移变元在问题中的地位，就能使问题迎刃而解.本题中，若视x为主元来处理，既繁且易出错，实行主元的转化，使问题变成关于p的一次不等式，使

问题实现了从高维向低维转化，解题简单易行.

题型四正面与反面的转化

例、已知命题：

使

为真命题，则a的取值范围是_____.

解析：原命题等价于

若从反面考虑：原命题的否定为

使

解题回顾：

正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可转化考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解.

题型五空间与平面的转化

例、如图所示，在单位正方体

的面对角线

上存在一点P使得

最短，则

的最小值_______.

解析：将面A1AB绕轴A1A旋转到与面A1BCD1共面，如右图所示，D1A 为所求最小值，最小值为.

解题回顾：立体图形中最短路径的问题常通过图形的翻折转化到平面来解决.

等价转化思想方法的特点具有灵活性和多样性，在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时，没有一个固定统一的模式去进行，它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；也可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译；也可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形。其中消去法、换元法、数形结合法、求值求范围等等，都体现了