关系与映射学习指导重点

关系与映射学习指导

学习目标

理解笛卡尔积、二元关系、运算关系等概念，理解映射、满射、单射、双射等概念，理解有关定理，掌握有关定理的证明方法和有关的例题的处理方法。

内容提要

(一)

笛卡尔积： A ×B ={(a ,b )｜a ∈A , b ∈B }，注意(a ,b )为有次序的元素偶.

从集合A 到B 中的关系： A ×B 中的每一子集R 称为从A 到B 中的关系. 若(a ,b )∈R ，则称a 与b 是R -相关的，记作aRb .

关系R 的定义域： Dom (R )={a ｜存在b ∈B ，使aRb }(⊂A ). 关系R 的值域： Ran (R )={ b ｜存在a ∈A ，使aRb }(⊂B ).

关系R 的象集： R (A ~)={b ｜存在a ∈A ~，使得aRb }(⊂B ). 其中集合A ~

⊂A .

关系R 的逆： 设R ⊂A ×B ，则B ×A 的子集1

-R ={(b ,a )｜aRb }称为R 的逆.

关系的复合: S R ={(a ,c )｜存在b ∈B ，使得aRb ，bSc }，其中R ⊂A ×B ，S ⊂B ×C . 设A ，B ，C ，D 为集合；R ⊂A ×B ，S ⊂B ×C ，T ⊂C ×D ，则有关系的逆与复合运算满足：

(1) 1

1)(--R =R ；

(2) 1

)(-R S =1

-R 1

-S ； (3) T (S R )=(T S ) R .

(二)

映射： F ∶X →Y ，即∀x ∈X ，有唯一y ∈Y ，使得xFy .

映射F 的象： y =F (x )，即对于每一x ∈X ，使得xFy 成立的y .

映射F 的原象： )(1

y F -，即对于y ∈Y ，使得xFy 成立的x (x ∈X ). 映射的复合： (G F )(x )=G (F (x ))，其中F ∶X →Y ，G ∶Y →Z . 满射： 若f (X )=Y ，则称f 为从X 到Y 上的满射.

单射： 若∀1x ,2x ∈X , 1x ≠2x ，有f (1x )≠f (2x )，则称f 为从X 到Y 上的单射. 双射： 若f 即是单射又是满射的. 逆映射： 由y =f (x )确定的从Y 到X 的映射1

-f ：Y →X ，其中f ∶X →Y 是双射.

1： 设f ∶X →Y ，A ，B ⊂Y ，则逆映射1

-f 满足

(1)1-f (A ∪B )=1-f (A )∪1-f (B )； (2)1-f

(A ∩B )=1

-f

(A )∩1

-f

(B )；

(3)1

-f (A -B )=1

-f (A )-1

-f (B ).

结论2： 设f ∶X →Y

(1) 若f 是单射，则对于X 的任意子集A ，有1

-f

(f (A ))=A .

(2) 若f 是满射，则对于Y 的任意子集B ，有f (1

-f (B ))=B .

(三) 运算

运算： 映射f : A ×B →C 是一个从A ×B 到C 中的运算.特别的，映射f : A ×A →A 是A 上的一个运算，并且称运算f 在A 上封闭.

若f (a ,b )=f (b ,a ), 则称运算f 满足交换律；若f (f (a ,b ),c )=f (a ,f (b ,c )), 则称运算f 满足结合律.

f 的右零元e ： ∀a ∈A , 使f (a ,e )= a ； f 的左零元e ： ∀a ∈A , 使f (e ,a )= a ；

f 的零元e ： 既是f 的左零元，又是f 的右零元.

a 的右逆元a '： 对于a ∈A ，若∃a '∈A ，使f (a , a ')= e ； a 的左逆元a '： 对于a ∈A ，若∃a '∈A ，使f (a '，a )= e ；

a 的逆元a '： 既是a 的左逆元，又是a 的右逆元.

重难点解析

(二) 关于关系与映射

世界上存在各种各样的事物，这些事物之间的相互联系，我们称之为“关系”. 本节用统一的数学语言来描述这些表面看起来似乎无关的，但本质上却有其共性的“关系”. 本节介绍的二元关系、运算和映射等概念也是本课程的基础，它们在后续各章节中都有应用. 因此，我们在学习本节内容时应该理解笛卡尔积、二元关系、运算关系等概念，理解映射、满射、单射、双射等概念，掌握有关定理的证明方法和有关的例题的处理方法。

1．笛卡尔积是一种集合的二元运算，是本节最基本的概念之一. 集合A 与B 的笛卡尔积A ⨯B = {(a , b )│a ∈A , b ∈B }是一个集合，这个集合的元素都是一些有序对，这些有序对中的第一个成员都是取自集合A ，第二个成员都是取自集合B ，不能随意取出写之.

集合A ，B 的笛卡尔积与这两个集合的次序有关. 一般地，若A 与B 非空，只要A ≠B ，则有A ×B ≠B ×A . 也就是说交换律不成立. 例如，集合A ={a , b , c }，B ={1, 2}，则

A ⨯

B = {a , b , c }⨯{1, 2} = {(a , 1)，(a , 2)，(b , 1)，(b , 2)，(c , 1)，(c , 2)} A ⨯B = {1, 2}⨯{a , b , c } = {(1 , a )，(1 , b )，(1 , c )，(2 , a )，(2 , b )，(2 , c )} 所以A ×B ≠B ×A .

2. 二元关系R 是一个有序对组成的集合. 因此，一个二元关系是一个集合，可以用集合形式表示. 但是任意一个集合就不一定是一个二元关系了，只有当这个集合是由有序对组成的，才能称为二元关系.

例如，1R ={(a , 1)，(b , 2)}，2R ={a ，(b , 2)}，那么1R 是二元关系，而2R 不是二元关系，仅仅是一个集合

二元关系R 也可以用关系图表示. 设集合A ={a 1 , a 2 , … , a m }，B ={b 1 , b 2 , … , b n }，若R 是从A 到B 的一个关系，则用m 空心点表示a 1 , a 2 , … , a m ，用n 空心点表示b 1 , b 2 , … , b n ，这些空心点统称为结点. 如果a i Rb j ，那么由结点a i 到结点b j 作一条有向弧，箭头指向b j ；如果(a i , b j )∈R ，那么结点a i 与b j 之间没有

弧连结，这样的图形称为R 的关系图.

若R 是A 上一个关系，如果a i Ra j (i ≠j )，有向弧的画 法与上面相同；如果a i Ra i ，则画一条从结点a i 到结点a i 的带箭头的封闭弧，称为自回路

例如，集合A ={1，2，3，4}上的关系 R ={(1 , 1)，(1 ,

2)，(2 , 3)，(2 , 4)，(3 , 3)，(4 , 2)}，则R 的关系图如图1-6 所示.

3．关系R 的定义域是指R 中有序对的第一元素所允许选取对象的集合，关系R 的值域是指R 中有序对的第二元素所允许选取对象的集合.

例如，集合A ={a , b , c }，B ={1, 2, 3}，从A 到B 的关系 R = { (a , 2)，(b , 1)，(b , 3)} 那么，Dom(R ) = {a , b }，Ran(R ) = {1, 2, 3}.

4．在映射的定义(定义2.5)中，条件“如果∀x ∈X ，有唯一y ∈Y ，使得xFy ，”表示映射是单值的，也就是说，定义域中的任意一个x 与值域中唯一的y 有关系，所以用y =F (x )表示. 另外，该条件还指出，集合X 就是映射F 的定义域，即Dom(F ) =X .

因此，从集合X 到Y 的映射F 是一个二元关系，但是从X 到Y 的二元关系R 不一定是一个映射. 例如，实数集R 上的二元关系f ={(a , b )|a =2

b }不是映射，因为(4, -2)∈f ，(4, 2)∈f ，不满足映射的单值性.

由此可知，若映射F 是双射，则存在逆映射1

-F ；若映射F 不是双射，则不存在逆映射1

-F

，

或者说1

-F

不是映射.

图1 –6