浙江省《高中数学必修5 第二章数列基础》

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高中数学必修5课件：第2章2-1-2数列的性质和递推关系

n 3n＋1
为递
增数列．
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第二章数列
方法二：∵n∈N*，∴an>0，
n＋1
∵
an＋1 an
＝
3n＋4 n
＝
n＋13n＋1 3n＋4n
＝
3n2＋4n＋1 3n2＋4n
＝1＋
1 3n2＋4n
3n＋1
>1，∴an＋1>an，∴数列3nn＋1为递增数列．
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第二章数列
方法三：令f(x)＝3x＋x 1(x≥1)，则 f(x)＝133x3＋x＋1－1 1＝131－3x＋1 1， ∴函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数， ∴数列3nn＋1是递增数列．
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第二章数列
(2)∵bn＝aan＋n 1，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8， ∴b1＝aa12＝12，b2＝aa23＝23，b3＝aa34＝35，b4＝aa45＝58. 故b1＝12，b2＝23，b3＝35，b4＝58.
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第二章数列
数列的单调性问题
已知数列{an}的通项公式为an＝
(1)写出此数列的前5项；
(2)通过公式bn＝
an an＋1
构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}
的前4项．
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第二章数列
解析： (1)∵an＝an－1＋an－2(n≥3)，且a1＝1，a2＝2， ∴a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5， a5＝a4＋a3＝5＋3＝8. 故数列{an}的前5项依次为 a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8.
4分 6分 8分
10分
12分
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第二章数列

高中数学人教A版浙江专版必修5课件：第二章 2.1 第二课时数列的通项公式与递推公式

解答。听课时关键应该弄清楚老师讲解问题的思路。
三、听问题。
对于自己预习中不懂的内容，上课时要重点把握。在听讲中要特别注意老师和课本中是怎么解释的。如果老师在讲课中一带而过，并没有详细解答，大家要及时地把它们记下来，下课再向老师请教。
四、听方法。

在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字，一般都是遵循着“形”、“音”、“义”
[活学活用]
已知数列{an}满足 an＋1＝22aann，－01≤ ，a12n≤<12a，n<1，
若 a1＝67，则 a2 017＝
________.
解析：计算得 a2＝2a1－1＝57，a3＝2a2－1＝37，a4＝2a3＝67.故数列{an} 是以 3 为周期的周期数列，又因为 2 017＝672×3＋1，所以 a2 017 ＝a1＝67. 答案：67
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)根据通项公式可以求出数列的任意一项
()
(2)有些数列可能不存在最大项
()
(3)递推公式是表示数列的一种方法
()
(4)所有的数列都有递推公式
()
解析：(1)正确．只需将项数 n 代入即可求得任意项． (2)正确．对于无穷递增数列，是不存在最大项的． (3)正确．递推公式也是给出数列的一种重要方法． (4) 错误．不是所有的数列都有递推公式．例如 2 精确到 1,0.1,0.01,0.001，…的近似值排列成一列数：1,1.4，1.41，1.414，… 就没有递推公式．答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×

高中数学必修5 第二章数列知识整理

第二章数列2.1 数列1.数列（1）数列的概念按照一定次序排列的一列数称为数列。

数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…，所以，数列的一般形式可以写成：123,,,,,n a a a a ……，简记为{}n a 。

其中数列{}n a 的第n 项n a 也叫做数列的通项。

注意：①数列中每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项，…，排在第n 位的数称为这个数列的第n 项。

所以，数列的一般形式可以写成123,,,,n a a a a …，简记为{}n a 。

如：数列1，2，3，4，…，可以简记为{n}。

②数列中的数是按一定次序排列的。

因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就不是相同的数列。

如：数列1，2，3，4，5与5，4，3，2，1是不同的数列。

③数列的定义中，并没有规定数列中的数必须不同。

因此，同一个数在数列中可以重复出现。

如：1,1,1,1,1,1,---…；2,2,2,2,2,…等。

④{}n a 与n a 是不同的概念。

{}n a 表示数列123,,,,,n a a a a ……，而n a 仅表示数列{}n a的第n 项。

⑤从映射函数的观点看，数列可以看做是一个定义域为正整数N +（或它的有限子集{1,2,3,,}n …）的数与自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，这里的函数是一种特殊函数：它的自变量只能取正整数，由于数列的值是函数值，序号是自变量，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。

可以将序号为横坐标，相应的像为纵坐标，通过描点画图来表示一个数列，从数列的图像表示可以直观的看出数列的变化情况。

（2）数列的分类①按照数列的项数的多少可分为：有穷数列与无穷数列。

项数有限的数列叫有穷数列，项数无限的数列叫无穷数列。

②按照数列的每一项随序号变化的情况可分为：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列。

高中数学必修5课件：第2章2-5-1等比数列的前n项和

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第二章数列
4．在等比数列{an}中，a3－a1＝8，a6－a4＝216，Sn＝40. 求公比q，a1及n.
解析：显然公比q≠1，由已知可得：
a1q2－a1＝8， aa11q115－－－qaq1nq＝3＝4201，6，
a1＝1，解得q＝3，
n＝4.
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等比数列前n项和的基本运算
第二章数列
新课引入
一个穷人到富人那里去借钱，原以为富人会不愿意，哪知富人一口应承了下来，但提出了如下条件：在 30 天中，每天借给穷人 10 万元．借钱第一天，穷人还 1 分钱，第二天，还 2 分钱，以后每天所还的钱数都是前一天的 2 倍，30 天后，互不相欠．穷人听后觉得很划算，本想一口气定下来，但又想到富人平时是吝啬出了名的，怕上当受骗，所以很为难．本节课我们来想个办法帮助这个穷人.
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第二章数列
(2)由题意知：SS奇奇＋－SS偶偶＝＝－ 802，40， ∴SS奇偶＝＝－－8106， 0. ∴公比q＝SS偶奇＝－－18600＝2.
答案： (1)28
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用错位相减法求数列的和
求和Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn.
[思路点拨]
[规范解答] (1)当x＝0时，Sn＝0.
∴aa111111－－－－qqqq36＝＝7262， 3.
① ②
②÷①得1＋q3＝9，∴q＝2.
将q＝2代入①中得a1＝12， ∴an＝a1qn－1＝12·2n－1＝2n－2，即an＝2n－2.
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(3)由Sn＝
a11－qn 1－q

高二数学必修5第二章数列2-5课件(共21张PPT)

乘公比
错位相减
q≠1,q=1
等比数列源于生活
数学用于生活
或
知三求二
方程思
想
分组求和
转
化思
想
第十九页，编辑于星期一：一点二十三分。
课后练习课后习题
第二十页，编辑于星期一：一点二十三分。
第二十一页，编辑于星期一：一点二十三分。
第八页，编辑于星期一：一点二十三分。
变式2. 根据下列条件，求相应的等比数列 an 的 Sn
第九页，编辑于星期一：一点二十三分。
等比数列前n项和公式与函数的关系
第十页，编辑于星期一：一点二十三分。
D
第十一页，编辑于星期一：一点二十三分。
第十二页，编辑于星期一：一点二十三分。
例3：某商场第1年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年增加10%，那么从第1年起，约几年内可使总销售量达到30000台（保留到个位）？
第三页，编辑于星期一：一点二十三分。
等比数列的前n项和
设等比数列 a1, a2 , a3,, an ,
它的前n项和是 Sn a1 a2 a3 an
即 Sn a1 a1q a1q2 a1qn2 a1qn1. ⑴
⑴×q, 得
qSn
a1q a1q2 a1qn2 a1qn1 a1qn. ⑵
⑴－⑵，得 1 q Sn a1 a1qn ,
说明：这种求和方法称为错位相减法
第四页，编辑于星期一：一点二十三分。
当q≠1时，当q=1时，
Sn
a1
1 qn 1 q
Sn na1
于是
Sn
naa1(11, (qqn 1 q
1), ) ,(q

高中数学必修5课件：第2章2-2-2等差数列的性质

(4)形如a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9，…的抽取，实际上是 3a2,3a5,3a8… 当然成等差数列．对于每 2 项， 4 项， 5 项…抽取，道理是相同的．
(5)a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…
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第二章数列
1．已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于( )
A．4
B．5
C．6
D．7
解析： a2＋a8＝2a5＝12，∴a5＝6. 答案： C
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2．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5
＋a6等于( )
A．40
B．42
C．43
D．45
解析： ∵a2＋a3＝2a1＋3d，∴d＝3，∴a4＋a5＋a6＝a1 ＋a2＋a3＋3×3d＝42.
答案： B
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3 ．已知 {an} 为等差数列， a3＋ a8＝22 ，a6＝ 7，则a5＝ ________.
解析： ∵a3＋a8＝a5＋a6＝22，∴a5＝22－a6＝22－7＝ 15.
答案： 15
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第二章数列
4．在等差数列{an}中， (1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13； (2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d. 解析：方法一：(1)直接化成a1和d的方程如下：(a1＋d) ＋(a1＋2d)＋(a1＋22d)＋(a1＋23d)＝48，即4(a1＋12d)＝48， ∴4a13＝48，∴a13＝12.
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第二章数列
利用等差数列的定义巧设未知量，可以简化计算．一般地有如下规律：当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：…a－2d，a －d，a，a＋d，a＋2d，…；当项数为偶数项时，可设中间两项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…a－3d，a －d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量．

高中数学必修5__第二章《数列》复习知识点总结与练习(一)

高中数学必修5__第二章《数列》复习知识点总结及练习（一）一．数列的概念及简单表示法知识能否忆起1．数列的定义、分类及通项公式(1)数列的定义：①数列：按照一定顺序排列的一列数．②数列的项：数列中的每一个数．(2)数列的分类：(3)数列的通项公式：如果数列{a n}的第n项及序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．2．数列的递推公式如果已知数列{a n}的首项(或前几项)，且任一项a n及它的前一项a n－1(n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式．1.对数列概念的理解(1)数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅及构成它的“数”有关，而且还及这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列．(2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列及数集的区别．2．数列的函数特征数列是一个定义域为正整数集N *(或它的有限子集{1,2,3，…，n })的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即f (n )＝a n (n ∈N *)．3.考点（一）由数列的前几项求数列的通项公式[例1] (2012·天津南开中学月考)下列公式可作为数列{a n }：1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是( )A ．a n ＝1B ．a n ＝－1n＋12C ．a n ＝2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin n π2 D ．a n ＝－1n －1＋32[自主解答] 由a n ＝2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin n π2可得a 1＝1，a 2＝2，a 3＝1，a 4＝2，….[答案] C 由题悟法1．根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项及n 之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n ＋1来调整．2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想以题试法写出下面数列的一个通项公式． (1)3,5,7,9，…；(2)12，34，78，1516，3132，…；(3)3,33,333,3 333，…；(4)－1，32，－13，34，－15，36，….解：(1)各项减去1后为正偶数，所以a n ＝2n ＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以a n ＝2n－12n .(3)将数列各项改写为93，993，9993，99993，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，….所以a n ＝13(10n－1)．(4)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式的符号为(－1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以a n ＝(－1)n·2＋－1nn，也可写为a n＝⎩⎪⎨⎪⎧－1n ，n 为正奇数，3n ，n 为正偶数.（二）由a n 及S n 的关系求通项a n已知数列{a n }的前n 项和S n ，求数列的通项公式，其求解过程分为三步：(1)先利用a 1＝S 1求出a 1；(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；(3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1及n ≥2两段来写．[例2] 已知数列{a n }的前n 项和S n ，根据下列条件分别求它们的通项a n .(1)S n ＝2n 2＋3n ；(2)S n ＝3n＋1.[自主解答] (1)由题可知，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×12＋3×1＝5，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋3n )－[2(n －1)2＋3(n －1)]＝4n ＋1.当n ＝1时，4×1＋1＝5＝a 1，故a n ＝4n ＋1.(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋1＝4，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋1)－(3n －1＋1)＝2×3n －1.当n ＝1时，2×31－1＝2≠a 1，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4， n ＝1，2×3n －1， n ≥2.以题试法(2012·聊城模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝nn ＋1，则1a 5＝( )A.56B.65 C.130D ．30 解析：选D 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝nn ＋1－n －1n ＝1n n ＋1，则a 5＝15×6＝130.（三）数列的性质[例3] 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－21n ＋20. (1)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值； (2)n 为何值时，该数列的前n 项和最小？ [自主解答] (1)因为a n ＝n2－21n ＋20＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫n －2122－3614，可知对称轴方程为n ＝212＝10.5.又因n ∈N *，故n ＝10或n ＝11时，a n 有最小值，其最小值为112－21×11＋20＝－90.(2)设数列的前n 项和最小，则有a n ≤0，由n 2－21n ＋20≤0，解得1≤n ≤20，故数列{a n }从第21项开始为正数，所以该数列的前19或20项和最小．由题悟法1．数列中项的最值的求法根据数列及函数之间的对应关系，构造相应的函数a n ＝f (n )，利用求解函数最值的方法求解，但要注意自变量的取值．2．前n 项和最值的求法(1)先求出数列的前n 项和S n ，根据S n 的表达式求解最值； (2)根据数列的通项公式，若a m ≥0，且a m ＋1<0，则S m 最大；若a m ≤0，且a m ＋1>0，则S m 最小，这样便可直接利用各项的符号确定最值. 以题试法3．(2012·江西七校联考)数列{a n }的通项a n ＝nn 2＋90，则数列{a n }中的最大值是( )A ．310B ．19 C.119 D.1060解析：选C a n ＝1n ＋90n ，由基本不等式得，1n ＋90n≤1290，由于n ∈N *，易知当n ＝9或10时，a n ＝119最大．二．等差数列及其前n 项和知识能否忆起一、等差数列的有关概念1．定义：如果一个数列从第2项起，每一项及它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．2．等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．二、等差数列的有关公式1．通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . 2．前n 项和公式：S n ＝na 1＋n n －12d ＝a 1＋a n n2.三、等差数列的性质1．若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，{a n }为等差数列，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .2．在等差数列{a n }中，a k ，a 2k ，a 3k ，a 4k ，…仍为等差数列，公差为kd .3．若{a n }为等差数列，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍为等差数列，公差为n 2d .4．等差数列的增减性：d >0时为递增数列，且当a 1<0时前n 项和S n 有最小值．d <0时为递减数列，且当a 1>0时前n 项和S n 有最大值．5．等差数列{a n }的首项是a 1，公差为d .若其前n 项之和可以写成S n ＝An 2＋Bn ，则A ＝d 2，B ＝a 1－d2，当d ≠0时它表示二次函数，数列{a n }的前n 项和S n ＝An 2＋Bn 是{a n }成等差数列的充要条件．1.及前n 项和有关的三类问题(1)知三求二：已知a 1、d 、n 、a n 、S n 中的任意三个，即可求得其余两个，这体现了方程思想．(2)S n ＝d2n2＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫a 1－d 2n ＝An 2＋Bn ⇒d ＝2A . (3)利用二次函数的图象确定S n 的最值时，最高点的纵坐标不一定是最大值，最低点的纵坐标不一定是最小值．2．设元及解题的技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元，若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，…；若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．考点等差数列的判断及证明[例1] 在数列{a n }中，a 1＝－3，a n ＝2a n －1＋2n＋3(n ≥2，且n ∈N *)．(1)求a 2，a 3的值；(2)设b n ＝a n ＋32n(n ∈N *)，证明：{b n }是等差数列．[自主解答] (1)∵a 1＝－3，a n ＝2a n －1＋2n＋3(n ≥2，且n ∈N *)，∴a 2＝2a 1＋22＋3＝1，a 3＝2a 2＋23＋3＝13.(2)证明：对于任意n ∈N *， ∵b n ＋1－b n ＝a n ＋1＋32n ＋1－a n ＋32n＝12n ＋1[(a n ＋1－2a n )－3]＝12n ＋1[(2n ＋1＋3)－3]＝1，∴数列{b n }是首项为a 1＋32＝－3＋32＝0，公差为1的等差数列．由题悟法1．证明{a n }为等差数列的方法：(1)用定义证明：a n －a n －1＝d (d 为常数，n ≥2)⇔{a n }为等差数列；(2)用等差中项证明：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2⇔{a n }为等差数列； (3)通项法：a n 为n 的一次函数⇔{a n }为等差数列； (4)前n 项和法：S n ＝An 2＋Bn 或S n ＝n a 1＋a n2.2．用定义证明等差数列时，常采用的两个式子a n ＋1－a n ＝d 和a n －a n －1＝d ，但它们的意义不同，后者必须加上“n ≥2”，否则n ＝1时，a 0无定义．以题试法1．已知数列{a n }的前n 项和S n 是n 的二次函数，且a 1＝－2，a 2＝2，S 3＝6.(1)求S n ；(2)证明：数列{a n }是等差数列．解：(1)设S n ＝An 2＋Bn ＋C (A ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＝A ＋B ＋C ，0＝4A ＋2B ＋C ，6＝9A ＋3B ＋C ，解得A ＝2，B ＝－4，C ＝0.故S n ＝2n 2－4n . (2)证明：∵当n ＝1时，a 1＝S 1＝－2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－4n －[2(n －1)2－4(n －1)]＝4n －6.∴a n ＝4n －6(n ∈N *)．a n ＋1－a n ＝4， ∴数列{a n }是等差数列. 等差数列的基本运算典题导入[例2] (2012·重庆高考)已知{a n }为等差数列，且a 1＋a 3＝8，a 2＋a 4＝12.(1)求{a n }的通项公式；(2)记{a n }的前n 项和为S n ，若a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，求正整数k 的值．[自主解答] (1)设数列{a n }的公差为d ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋2d ＝8，2a 1＋4d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋2(n －1)＝2n .(2)由(1)可得S n ＝n a 1＋a n2＝n 2＋2n2＝n (n ＋1)．因为a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，所以a 2k ＝a 1S k ＋2.从而(2k )2＝2(k ＋2)(k ＋3)，即k 2－5k －6＝0，解得k ＝6或k ＝－1(舍去)，因此k ＝6.由题悟法1．等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 及前n 项和公式S n ＝n a 1＋a n2＝na 1＋n n －12d ，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想．2．数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．以题试法2．(1)在等差数列中，已知a 6＝10，S 5＝5，则S 8＝________.(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 412－S 39＝1，则公差为________．解析：(1)∵a 6＝10，S 5＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋5d ＝10，5a 1＋10d ＝5.解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－5，d ＝3.则S 8＝8a 1＋28d ＝8×(－5)＋28×3＝44.(2)依题意得S 4＝4a 1＋4×32d ＝4a 1＋6d ，S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ，于是有4a 1＋6d 12－3a 1＋3d 9＝1，由此解得d ＝6，即公差为6.答案：(1)44 (2)6等差数列的性质典题导入[例3] (1)等差数列{a n }中，若a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则前9项和S 9等于( )A ．66B ．99C ．144D ．297(2)(2012·天津模拟)设等差数列{a n }的前n 项和S n ，若S 4＝8，S 8＝20，则a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝( )A ．18B ．17C ．16D ．15[自主解答] (1)由等差数列的性质及a 1＋a 4＋a 7＝39，可得3a 4＝39，所以a 4＝13.同理，由a 3＋a 6＋a 9＝27，可得a 6＝9.所以S 9＝9a 1＋a 92＝9a 4＋a 62＝99.(2)设{a n }的公差为d ，则a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝S 8－S 4＝12，(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)－S 4＝16d ，解得d ＝14，a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝S 4＋40d ＝18.[答案] (1)B (2)A由题悟法1．等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n 项和公式等基础知识的推广及变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题．2．应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号之间的关系．以题试法3．(1)(2012·江西高考)设数列{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 1＝7，a 3＋b 3＝21，则a 5＋b 5＝________.(2)(2012·海淀期末)若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：(1)设两等差数列组成的和数列为{c n }，由题意知新数列仍为等差数列且c 1＝7，c 3＝21，则c 5＝2c 3－c 1＝2×21－7＝35.(2)∵a n ＋1－a n ＝－3，∴数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列，∴a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n .设前k 项和最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a k ≥0，a k ＋1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 22－3k ≥0，22－3k ＋1≤0，解得193≤k ≤223.∵k ∈N *，∴k ＝7.故满足条件的n 的值为7. 答案：(1)35 (2)B三．等比数列及其前n 项和 [知识能否忆起]1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项及它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q (n ∈N *，q 为非零常数)．(2)等比中项：如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 及b 的等比中项．即：G 是a 及b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .2．等比数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ na 1，q ＝1，a 11－q n 1－q＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.3．等比数列{a n }的常用性质(1)在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ＝2r (m ，n ，p ，q ，r ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2r .特别地，a 1a n ＝a 2a n －1＝a 3a n －2＝….(2)在公比为q 的等比数列{a n }中，数列a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等比数列，公比为q k ；数列S m，S2m－S m，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时q≠－1)；a n＝a m q n－m.1.等比数列的特征(1)从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．(2)由a n＋1＝qa n，q≠0并不能立即断言{a n}为等比数列，还要验证a1≠0.2．等比数列的前n项和S n(1)等比数列的前n项和S n是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运用．(2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1及q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形导致解题失误考点等比数列的判定及证明典题导入[例1] 已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n＋S n＝n.(1)设c n＝a n－1，求证：{c n}是等比数列；(2)求数列{a n}的通项公式．[自主解答] (1)证明：∵a n＋S n＝n，①∴a n＋1＋S n＋1＝n＋1.②②－①得a n＋1－a n＋a n＋1＝1，∴2a n＋1＝a n＋1，∴2(a n＋1－1)＝a n－1，∴a n ＋1－1a n －1＝12. ∵首项c 1＝a 1－1，又a 1＋a 1＝1，∴a 1＝12，c 1＝－12. 又c n ＝a n －1，故{c n }是以－12为首项，12为公比的等比数列． (2)由(1)可知c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n ， ∴a n ＝c n ＋1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n .在本例条件下，若数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，证明{b n }是等比数列．证明：∵由(2)知a n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n ， ∴当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n . 又b 1＝a 1＝12也符合上式，∴b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n . ∵b n ＋1b n ＝12，∴数列{b n }是等比数列．由题悟法等比数列的判定方法(1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a n a n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(2)等比中项法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n(c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．以题试法1． (2012·沈阳模拟)已知函数f (x )＝log a x ，且所有项为正数的无穷数列{a n }满足log a a n ＋1－log a a n ＝2，则数列{a n }( )A ．一定是等比数列B ．一定是等差数列C ．既是等差数列又是等比数列D ．既不是等差数列又不是等比数列解析：选A 由log a a n ＋1－log a a n ＝2，得log a a n ＋1a n＝2＝log a a 2，故a n ＋1a n＝a 2.又a >0且a ≠1，所以数列{a n }为等比数列．等比数列的基本运算典题导入[例2] {a n }为等比数列，求下列各值：(1)a 6－a 4＝24，a 3a 5＝64，求a n ；(2)已知a 2·a 8＝36，a 3＋a 7＝15，求公比q.解：(1)设数列{a n }的公比为q ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 6－a 4＝a 1q 3q 2－1＝24， ①a 3a 5＝a 1q 32＝64. ②由②得a 1q 3＝±8，将a 1q 3＝－8代入①中，得q 2＝－2(舍去)．将a 1q 3＝8代入①中，得q 2＝4，q ＝±2.当q ＝2时，a 1＝1，∴a n ＝a 1q n －1＝2n －1.当q ＝－2时，a 1＝－1，∴a n ＝a 1qn －1＝－(－2)n －1. ∴a n ＝2n －1或a n ＝－(－2)n －1. (2)∵a 2·a 8＝36＝a 3·a 7，而a 3＋a 7＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝3，a 7＝12或⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝12，a 7＝3. ∴q 4＝a 7a 3＝4或14. ∴q ＝±2或q ＝±22.由题悟法1．等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．2．在使用等比数列的前n 项和公式时，应根据公比q 的情况进行分类讨论，切不可忽视q 的取值而盲目用求和公式．以题试法2．(2012·山西适应性训练)已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝2，且a 2，a 4，a 8成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{3a n }的前n 项和．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)．因为a 2，a 4，a 8成等比数列，所以(2＋3d )2＝(2＋d )·(2＋7d )，解得d ＝2.所以a n ＝2n (n ∈N *)．(2)由(1)知3a n ＝32n ，设数列{3a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝32＋34＋…＋32n ＝91－9n 1－9＝98(9n －1)．等比数列的性质典题导入[例3] (1)(2012·威海模拟)在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 3a 4a 5＝3π，则sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)的值为( )A.12 B .32C ．1D ．－32(2)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6∶S 3＝1∶2，则S 9∶S 3等于( )A ．1∶2B ．2∶3C ．3∶4D ．1∶3[自主解答] (1)因为a 3a 4a 5＝3π＝a 34，所以a 4＝3π3. log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7＝log 3(a 1a 2…a 7)＝log 3a 74＝7log 33π3＝7π3，故sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)＝32. (2)由等比数列的性质：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，于是(S 6－S 3)2＝S 3·(S 9－S 6)，将S 6＝12S 3代入得S 9S 3＝34. [答案] (1)B (2)C由题悟法等比数列及等差数列在定义上只有“一字之差”，它们的通项公式和性质有许多相似之处，其中等差数列中的“和”“倍数”可以及等比数列中的“积”“幂”相类比．关注它们之间的异同有助于我们从整体上把握，同时也有利于类比思想的推广．对于等差数列项的和或等比数列项的积的运算，若能关注通项公式a n ＝f (n )的下标n 的大小关系，可简化题目的运算．以题试法3．(1)(2012·新课标全国卷)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( )A ．7B ．5C ．－5D ．－7(2)(2012·成都模拟)已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝( )A ．16(1－4－n) B ．16(1－2－n) C.323(1－4－n ) D.323(1－2－n )解析：(1)选D 法一：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝a 1q 3＋a 1q 6＝2，a 5a 6＝a 1q 4×a 1q 5＝a 21q 9＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12，a 1＝－8，故a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7. 法二：由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝a 4a 7＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2.则⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12，a 1＝－8，故a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7.(2)选C ∵a 2＝2，a 5＝14，∴a 1＝4，q ＝12，a n a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122n －5.故a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝8⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－14n 1－14＝323(1－4－n)．练习题1．(教材习题改编)数列1，23，35，47，59…的一个通项公式是( )A ．a n ＝n 2n ＋1B ．a n ＝n2n －1C ．a n ＝n2n －3 D ．a n ＝n2n ＋3 答案：B2．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( ) A ．15 B ．16 C ．49 D ．64 解析：选A a 8＝S 8－S 7＝64－49＝15. 3．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝nn ＋1，则这个数列是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列解析：选A a n ＋1－a n ＝n ＋1n ＋2－n n ＋1＝n ＋12－n n ＋2n ＋1n ＋2＝1n ＋1n ＋2>0.4．(教材习题改编)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2·3n －1n 为偶数，2n －5n 为奇数，则a 4·a 3＝________.解析：a 4·a 3＝2×33·(2×3－5)＝54. 答案：545．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝pn ＋q n ，且a 2＝32，a 4＝32，则a 8＝________.解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2p ＋q 2＝32，4p ＋q 4＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝14，q ＝2.则a n ＝14n ＋2n ，故a 8＝94.答案：941．(2012·福建高考)等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选 B 法一：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋4d ＝10，a 1＋3d ＝7.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.故d ＝2.法二：∵在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝2a 3＝10，∴a 3＝5. 又a 4＝7，∴公差d ＝7－5＝2.2．(教材习题改编)在等差数列{a n }中，a 2＋a 6＝3π2，则sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2a 4－π3＝( )A.32B.12C ．－32D ．－12解析：选D ∵a 2＋a 6＝3π2，∴2a 4＝3π2.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2a 4－π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫3π2－π3＝－cos π3＝－12. 3．(2012·辽宁高考)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝( )A ．58B ．88C ．143D ．176 解析：选B S 11＝11a 1＋a 112＝11a 4＋a 82＝88.4．在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2(n ≥1)，则该数列的通项a n ＝________.解析：由a n ＋1＝a n ＋2知{a n }为等差数列其公差为2. 故a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. 答案：2n －15．(2012·北京高考)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若a 1＝12，S 2＝a 3，则a 2＝________，S n ＝________.解析：设{a n }的公差为d ，由S 2＝a 3知，a 1＋a 2＝a 3，即2a 1＋d ＝a 1＋2d ，又a 1＝12，所以d ＝12，故a 2＝a 1＋d ＝1，S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝12n ＋12(n 2－n )×12＝14n 2＋14n . 答案：1 14n 2＋14n1．(2011·江西高考){a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和．若S 10＝S 11，则a 1＝( )A ．18B ．20C ．22D ．24解析：选B 由S 10＝S 11，得a 11＝S 11－S 10＝0，a 1＝a 11＋(1－11)d ＝0＋(－10)×(－2)＝20.2．(2012·广州调研)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＝8，S 3＝6，则S 10－S 7的值是( )A ．24B ．48C ．60D ．72解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 5＝a 1＋4d ＝8，S 3＝3a 1＋3d ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝0，d ＝2，则S 10－S 7＝a 8＋a 9＋a 10＝3a 1＋24d ＝48.3．(2013·东北三校联考)等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝( )A ．10B ．20C ．40D ．2＋log 25解析：选B 依题意得，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝10a 1＋a 102＝5(a 5＋a 6)＝20，因此有log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝20.4．(2012·海淀期末)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n >0，a 2n ＋1－a 2n ＝1(n ∈N *)，那么使a n <5成立的n 的最大值为( )A ．4B ．5C ．24D ．25解析：选C ∵a 2n ＋1－a 2n ＝1，∴数列{a 2n }是以a 21＝1为首项，1为公差的等差数列．∴a 2n ＝1＋(n －1)＝n .又a n >0，∴a n ＝n .∵a n <5，∴n <5.即n <25.故n 的最大值为24.5．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，并且S 10>0，S 11<0，若S n ≤S k 对n ∈N *恒成立，则正整数k 的值为( )A ．5B ．6C ．4D ．7解析：选A 由S 10>0，S 11<0知a 1>0，d <0，并且a 1＋a 11<0，即a 6<0，又a 5＋a 6>0，所以a 5>0，即数列的前5项都为正数，第5项之后的都为负数，所以S 5最大，则k ＝5.6．数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝( )A ．0B ．3C ．8D ．11解析：选B 因为{b n }是等差数列，且b 3＝－2，b 10＝12，故公差d ＝12－－210－3＝2.于是b 1＝－6，且b n ＝2n －8(n ∈N *)，即a n ＋1－a n ＝2n －8.所以a 8＝a 7＋6＝a 6＋4＋6＝a 5＋2＋4＋6＝…＝a 1＋(－6)＋(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝3.7．(2012·广东高考)已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝a 22－4，则a n ＝________.解析：设等差数列公差为d ，∵由a 3＝a 22－4，得1＋2d ＝(1＋d )2－4，解得d 2＝4，即d ＝±2.由于该数列为递增数列，故d ＝2.∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. 答案：2n －18．已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，a 7－a 5＝4，a 11＝21，S k ＝9，则k ＝________.解析：a 7－a 5＝2d ＝4，则d ＝2.a 1＝a 11－10d ＝21－20＝1，S k ＝k ＋k k －12×2＝k 2＝9.又k ∈N *，故k ＝3.答案：39．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________．解析：∵{a n }，{b n }为等差数列，∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6. ∵S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941，∴a 6b 6＝1941. 答案：194110．(2011·福建高考)已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d . 由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2. 从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n . (2)由(1)可知a n ＝3－2n ，所以S n ＝n [1＋3－2n ]2＝2n －n 2.由S k ＝－35，可得2k －k 2＝－35，即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5. 又k ∈N *，故k ＝7.11．设数列{a n }的前n 项积为T n ，T n ＝1－a n ，(1)证明⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1T n 是等差数列；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n T n 的前n 项和S n .解：(1)证明：由T n ＝1－a n 得，当n ≥2时，T n ＝1－T nT n －1，两边同除以T n 得1T n －1T n －1＝1.∵T 1＝1－a 1＝a 1，故a 1＝12，1T 1＝1a 1＝2.∴⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1T n 是首项为2，公差为1的等差数列．(2)由(1)知1T n ＝n ＋1，则T n ＝1n ＋1，从而a n ＝1－T n ＝nn ＋1.故a nT n＝n .∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n T n 是首项为1，公差为1的等差数列．∴S n ＝n n ＋12.12．已知在等差数列{a n }中，a 1＝31，S n 是它的前n 项和，S 10＝S 22.(1)求S n ；(2)这个数列的前多少项的和最大，并求出这个最大值．解：(1)∵S 10＝a 1＋a 2＋…＋a 10，S 22＝a 1＋a 2＋…＋a 22，又S 10＝S 22，∴a 11＋a 12＋…＋a 22＝0，即12a 11＋a 222＝0，故a 11＋a 22＝2a 1＋31d ＝0.又∵a 1＝31，∴d ＝－2，∴S n ＝na 1＋n n －12d ＝31n －n (n －1)＝32n －n 2.(2)法一：由(1)知S n ＝32n －n 2，故当n ＝16时，S n 有最大值，S n 的最大值是256. 法二：由S n ＝32n －n 2＝n (32－n )，欲使S n 有最大值，应有1<n <32，从而S n ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫n ＋32－n 22＝256，当且仅当n ＝32－n ，即n ＝16时，S n 有最大值256.1．(教材习题改编)等比数列{a n }中，a 4＝4，则a 2·a 6等于( )A ．4B ．8C ．16D ．32 解析：选C a 2·a 6＝a 24＝16.2．已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝( )A ．4·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32nB ．4·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23nC ．4·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32n －1D ．4·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23n －1解析：选C (a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)⇒a ＝5，a 1＝4，q ＝32，故a n ＝4·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32n －1. 3．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7＝( ) A ．64 B ．81 C ．128 D ．243解析：选A q ＝a 2＋a 3a 1＋a 2＝2，故a 1＋a 1q ＝3⇒a 1＝1，a 7＝1×27－1＝64.4．(2011·北京高考)在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝4，则公比q ＝________；a 1＋a 2＋…＋a n ＝________.解析：a 4＝a 1q 3，得4＝12q 3，解得q ＝2，a 1＋a 2＋…＋a n ＝121－2n1－2＝2n －1－12. 答案：2 2n －1－125．(2012·新课标全国卷)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋3S 2＝0，则公比q ＝________.解析：∵S 3＋3S 2＝0，∴a 1＋a 2＋a 3＋3(a 1＋a 2)＝0， ∴a 1(4＋4q ＋q 2)＝0. ∵a 1≠0，∴q ＝－2. 答案：－21．设数列{a n }是等比数列，前n 项和为S n ，若S 3＝3a 3，则公比q 为( )A ．－12 B ．1C ．－12或1 D.14解析：选C 当q ＝1时，满足S 3＝3a 1＝3a 3.当q ≠1时，S 3＝a 11－q 31－q＝a 1(1＋q ＋q 2)＝3a 1q 2，解得q ＝－12，综上q ＝－12或q ＝1.2．(2012·东城模拟)设数列{a n }满足：2a n ＝a n ＋1(a n ≠0)(n ∈N *)，且前n 项和为S n ，则S 4a 2的值为( )A.152B.154C ．4D ．2解析：选A 由题意知，数列{a n }是以2为公比的等比数列，故S 4a 2＝a 11－241－2a 1×2＝152.3．(2012·安徽高考)公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则log 2a 10＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选B ∵a 3·a 11＝16，∴a 27＝16. 又∵等比数列{a n }的各项都是正数，∴a 7＝4. 又∵a 10＝a 7q 3＝4×23＝25，∴log 2a 10＝5.4．已知数列{a n }，则“a n ，a n ＋1，a n ＋2(n ∈N *)成等比数列”是“a 2n ＋1＝a n a n ＋2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 显然，n ∈N *，a n ，a n ＋1，a n ＋2成等比数列，则a 2n ＋1＝a n a n ＋2，反之，则不一定成立，举反例，如数列为1,0,0,0，…5．(2013·太原模拟)各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n 等于( )A ．80B ．30C ．26D ．16解析：选B 设S 2n ＝a ，S 4n ＝b ，由等比数列的性质知： 2(14－a )＝(a －2)2，解得a ＝6或a ＝－4(舍去)，同理(6－2)(b －14)＝(14－6)2，所以b ＝S 4n ＝30.6．已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根组成以12为首项的等比数列，则mn＝( )A.32B.32或23C.23D ．以上都不对解析：选B 设a ，b ，c ，d 是方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根，不妨设a <c <d <b ，则a ·b ＝c ·d ＝2，a ＝12，故b＝4，根据等比数列的性质，得到c ＝1，d ＝2，则m ＝a ＋b ＝92，n ＝c ＋d ＝3，或m ＝c ＋d ＝3，n ＝a ＋b ＝92，则m n ＝32或m n ＝23.7．已知各项不为0的等差数列{a n }，满足2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝________.解析：由题意可知，b 6b 8＝b 27＝a 27＝2(a 3＋a 11)＝4a 7，∵a 7≠0，∴a 7＝4，∴b 6b 8＝16. 答案：168．(2012·江西高考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1.若a 1＝1，则对任意的n ∈N *，都有a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，则S 5＝________.解析：由题意知a 3＋a 2－2a 1＝0，设公比为q ，则a 1(q 2＋q －2)＝0.由q 2＋q －2＝0解得q ＝－2或q ＝1(舍去)，则S 5＝a 11－q 51－q ＝1－－253＝11.答案：119．(2012·西城期末)已知{a n }是公比为2的等比数列，若a 3－a 1＝6，则a 1＝________；1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n＝________.解析：∵{a n }是公比为2的等比数列，且a 3－a 1＝6，∴4a 1－a 1＝6，即a 1＝2，故a n ＝a 12n －1＝2n，∴1a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n ，1a 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14n，即数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a 2n 是首项为14，公比为14的等比数列，∴1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－14n1－14＝13⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－14n . 答案：2 13⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－14n10．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1.解：(1)∵S 1＝a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列，∴S n ＝2n －1，又当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －2(2－1)＝2n －2.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －2，n ≥2.(2)a 3，a 5，…，a 2n ＋1是以2为首项，以4为公比的等比数列， ∴a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1＝21－4n1－4＝24n－13.∴a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝1＋24n－13＝22n ＋1＋13.11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，其中a n ≠0，a 1为常数，且－a 1，S n ，a n ＋1成等差数列．(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1－S n ，问：是否存在a 1，使数列{b n }为等比数列？若存在，求出a 1的值；若不存在，请说明理由．解：(1)依题意，得2S n ＝a n ＋1－a 1. 当n ≥2时，有⎩⎪⎨⎪⎧2S n ＝a n ＋1－a 1，2S n －1＝a n －a 1.两式相减，得a n ＋1＝3a n (n ≥2)．又因为a 2＝2S 1＋a 1＝3a 1，a n ≠0，所以数列{a n }是首项为a 1，公比为3的等比数列．因此，a n ＝a 1·3n －1(n ∈N *)．(2)因为S n ＝a 11－3n1－3＝12a 1·3n－12a 1，b n ＝1－S n ＝1＋12a 1－12a 1·3n .要使{b n }为等比数列，当且仅当1＋12a 1＝0，即a 1＝－2.所以存在a 1＝－2，使数列{b n }为等比数列．12． (2012·山东高考)已知等差数列{a n }的前5项和为105，且a 10＝2a 5.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)对任意m ∈N *，将数列{a n }中不大于72m的项的个数记为b m .求数列{b m }的前m 项和S m .解：(1)设数列{a n }的公差为d ，前n 项和为T n ，由T 5＝105，a 10＝2a 5，得⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋5×5－12d ＝105，a 1＋9d ＝2a 1＋4d ，解得a 1＝7，d ＝7.因此a n ＝a 1＋(n －1)d ＝7＋7(n －1)＝7n (n ∈N *)． (2)对m ∈N *，若a n ＝7n ≤72m，则n ≤72m －1.因此b m ＝72m －1.所以数列{b m }是首项为7，公比为49的等比数列，故S m ＝b 11－q m 1－q＝7×1－49m1－49＝7×72m－148＝72m＋1－7.48。

必修五数学第二章知识点

必修五数学第二章知识点必修五数学第二章知识点11、数列概念①数列是一种特殊的函数。

其特殊性主要表现在其定义域和值域上。

数列可以看作一个定义域为正整数集Nx或其有限子集{1，2，3，…，n}的函数，其中的{1，2，3，…，n}不能省略。

②用函数的观点认识数列是重要的思想方法，一般情况下函数有三种表示方法，数列也不例外，通常也有三种表示方法：a、列表法；b、图像法；c、解析法。

其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。

③函数不一定有解析式，同样数列也并非都有通项公式。

等差数列1、等差数列通项公式an=a1+（n—1）dn=1时a1=S1n≥2时an=Sn—Sn—1an=kn+b（k，b为常数）推导过程：an=dn+a1—d令d=k，a1—d=b 则得到an=kn+b2、等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以堪称最简单的等差数列。

这时，A叫做a与b的等差中项（arithmeticmean）。

有关系：A=（a+b）÷23、前n项和倒序相加法推导前n项和公式：Sn=a1+a2+a3+·····+an=a1+（a1+d）+（a1+2d）+······+[a1+（n—1）d]①Sn=an+an—1+an—2+······+a1=an+（an—d）+（an—2d）+······+[an—（n—1）d]②由①+②得2Sn=（a1+an）+（a1+an）+······+（a1+an）（n 个）=n（a1+an）∴Sn=n（a1+an）÷2等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半：Sn=n（a1+an）÷2=na1+n（n—1）d÷2Sn=dn2÷2+n（a1—d÷2）亦可得a1=2sn÷n—an=[sn—n（n—1）d÷2]÷nan=2sn÷n—a1有趣的是S2n—1=（2n—1）an，S2n+1=（2n+1）an+14、等差数列性质一、任意两项am，an的关系为：an=am+（n—m）d它可以看作等差数列广义的通项公式。

高中数学人教A版浙江专版必修5讲义第二章2.2等差数列含答案

等差数列第一课时等差数列的概念及通项公式[新知初探]1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示．[点睛] (1)“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合．(2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻．(3)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列．2．等差中项如果三个数a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．这三个数满足的关系式是A ＝a ＋b2. 3．等差数列的通项公式已知等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .[点睛] 由等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可得a n ＝dn ＋(a 1－d )，如果设p ＝d ，q ＝a 1－d ，那么a n ＝pn ＋q ，其中p ，q 是常数．当p ≠0时，a n 是关于n 的一次函数；当p ＝0时，a n ＝q ，等差数列为常数列．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列( )(2)等差数列{a n }的单调性与公差d 有关( )(3)根据等差数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项( ) (4)若三个数a ，b ，c 满足2b ＝a ＋c ，则a ，b ，c 一定是等差数列( )解析：(1)错误．若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列．(2)正确．当d >0时为递增数列；d ＝0时为常数列；d <0时为递减数列． (3)正确．只需将项数n 代入即可求出数列中的任意一项．(4)正确．若a ，b ，c 满足2b ＝a ＋c ，即b －a ＝c －b ，故a ，b ，c 为等差数列．答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√2．等差数列{a n }中，a 1＝1，d ＝3，a n ＝298，则n 的值等于( ) A ．98 B ．100 C ．99D ．101解析：选B a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3n －2，令a n ＝298，即3n －2＝298⇒n ＝100. 3．在等差数列{a n }中，若a 1·a 3＝8，a 2＝3，则公差d ＝( ) A ．1 B ．－1 C ．±1D ．±2解析：选C 由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1(a 1＋2d )＝8，a 1＋d ＝3，解得d ＝±1.4．若log 32，log 3(2x －1)，log 3(2x ＋11)成等差数列．则x 的值为________．解析：由log 3(2x ＋11)－log 3(2x －1)＝log 3(2x －1)－log 32，得：(2x )2－4·2x －21＝0，∴2x＝7，∴x ＝log 27.答案：log 27[典例] n(1)已知a 5＝－1，a 8＝2，求a 1与d ； (2)已知a 1＋a 6＝12，a 4＝7，求a 9. [解] (1)∵a 5＝－1，a 8＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝－1，a 1＋7d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，d ＝1.(2)设数列{a n }的公差为d .由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 1＋5d ＝12，a 1＋3d ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1， ∴a 9＝2×9－1＝17.[活学活用]1．2 016是等差数列4,6,8，…的( ) A ．第1 006项 B ．第1 007项 C ．第1 008项D ．第1 009项解析：选B ∵此等差数列的公差d ＝2，∴a n ＝4＋(n －1)×2，a n ＝2n ＋2，即2 016＝2n ＋2，∴n ＝1 007.2．已知等差数列{a n }中，a 15＝33，a 61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？解：设首项为a 1，公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ，由已知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(15－1)d ＝33，a 1＋(61－1)d ＝217，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－23，d ＝4.所以a n ＝－23＋(n －1)×4＝4n －27，令a n ＝153，即4n －27＝153，解得n ＝45∈N *，所以153是所给数列的第45项.[典例] 已知等差数列{a n }，满足a 2＋a 3＋a 4＝18，a 2a 3a 4＝66.求数列{a n }的通项公式．[解] 在等差数列{a n }中，∵ a 2＋a 3＋a 4＝18，∴3a 3＝18，a 3＝6.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋a 4＝12，a 2·a 4＝11，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝11，a 4＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，a 4＝11. 当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝11，a 4＝1时，a 1＝16，d ＝－5. a n ＝a 1＋(n －1)d ＝16＋(n －1)·(－5)＝－5n ＋21.当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，a 4＝11时，a 1＝－4，d ＝5. a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－4＋(n －1)·5＝5n －9.三数a ，b ，[活学活用]1．已知数列8，a,2，b ，c 是等差数列，则a ，b ，c 的值分别为________，________，________.解析：因为8，a,2，b ，c 是等差数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧8＋2＝2a ，a ＋b ＝2×2，2＋c ＝2b .解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－1，c ＝－4.答案：5 －1 －42．已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1为等差数列，则a 5＝________.解析：由数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1为等差数列，则有1a 3＋1＋1a 7＋1＝2a 5＋1，可解得a 5＝75.答案：75[典例] 已知数列{a n }满足a 1＝4，a n ＝4－4a n －1(n >1)，记b n ＝1a n －2.求证：数列{b n }是等差数列．证明：[法一定义法]∵b n ＋1＝1a n ＋1－2＝1⎝⎛⎭⎫4－4a n －2＝a n 2(a n －2)，∴b n ＋1－b n ＝a n 2(a n －2)－1a n －2＝a n －22(a n －2)＝12，为常数(n ∈N *)．又b 1＝1a 1－2＝12， ∴数列{b n }是首项为12，公差为12的等差数列．[法二等差中项法] ∵b n ＝1a n －2， ∴b n ＋1＝1a n ＋1－2＝1⎝⎛⎭⎫4－4a n －2＝a n 2(a n －2).∴b n ＋2＝a n ＋12(a n ＋1－2)＝4－4a n 2⎝⎛⎭⎫4－4a n －2＝a n －1a n －2.∴b n ＋b n ＋2－2b n ＋1＝1a n －2＋a n －1a n －2－2×a n 2(a n －2)＝0. ∴b n ＋b n ＋2＝2b n ＋1(n ∈N *)， ∴数列{b n }是等差数列．[活学活用]已知1a ，1b ，1c 成等差数列，并且a ＋c ，a －c ，a ＋c －2b 均为正数，求证：lg(a ＋c )，lg(a －c )，lg(a ＋c －2b )也成等差数列．解：∵1a ，1b ，1c 成等差数列，∴2b ＝1a ＋1c ， ∴2b ＝a ＋cac ，即2ac ＝b (a ＋c )．(a ＋c )(a ＋c －2b )＝(a ＋c )2－2b (a ＋c )＝(a ＋c )2－2×2ac ＝a 2＋c 2＋2ac －4ac ＝(a －c )2. ∵a ＋c ，a ＋c －2b ，a －c 均为正数，上式左右两边同时取对数得，lg[(a ＋c )(a ＋c －2b )]＝lg(a －c )2，即lg(a ＋c )＋lg(a ＋c －2b )＝2lg(a －c )，∴lg(a ＋c )，lg(a －c )，lg(a ＋c －2b )成等差数列．层级一学业水平达标1．已知等差数列{a n }的通项公式为a n ＝3－2n ，则它的公差为( ) A ．2 B ．3 C ．－2D ．－3解析：选C ∵a n ＝3－2n ＝1＋(n －1)×(－2)，∴d ＝－2，故选C. 2．若等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝35，则n ＝( )A ．50B ．51C ．52D ．53解析：选D 依题意，a 2＋a 5＝a 1＋d ＋a 1＋4d ＝4，代入a 1＝13，得d ＝23.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝13＋(n －1)×23＝23n －13，令a n ＝35，解得n ＝53.3．设x 是a 与b 的等差中项，x 2是a 2与－b 2的等差中项，则a ，b 的关系是( ) A ．a ＝－b B ．a ＝3b C ．a ＝－b 或a ＝3bD ．a ＝b ＝0 解析：选C 由等差中项的定义知：x ＝a ＋b2， x 2＝a 2－b 22，∴a 2－b 22＝⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，即a 2－2ab －3b 2＝0.故a ＝－b 或a ＝3b .4．数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1＝2a n ＋1，则a 2 015的值是( ) A ．1 006 B ．1 007 C ．1 008D ．1 009解析：选D 由2a n ＋1＝2a n ＋1，得a n ＋1－a n ＝12，所以{a n }是等差数列，首项a 1＝2，公差d ＝12，所以a n ＝2＋12(n －1)＝n ＋32，所以a 2 015＝2 015＋32＝1 009.5．等差数列{a n }的首项为70，公差为－9，则这个数列中绝对值最小的一项为( )A ．a 8B ．a 9C ．a 10D ．a 11解析：选B |a n |＝|70＋(n －1)×(－9)|＝|79－9n |＝9⎪⎪⎪⎪879－n ，∴n ＝9时，|a n |最小． 6．在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5＝a 2＋6，则a 6＝________. 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7，a 1＋4d ＝a 1＋d ＋6.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3＋(n －1)×2＝2n ＋1. ∴a 6＝2×6＋1＝13. 答案：137．已知{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d ＝________. 解析：根据题意得：a 7－2a 4＝a 1＋6d －2(a 1＋3d )＝－a 1＝－1， ∴a 1＝1.又a 3＝a 1＋2d ＝1＋2d ＝0， ∴d ＝－12.答案：－128．已知数列{a n }满足：a 2n ＋1＝a 2n ＋4，且a 1＝1，a n >0，则a n ＝________. 解析：根据已知条件a 2n ＋1＝a 2n ＋4，即a 2n ＋1－a 2n ＝4.∴数列{a 2n }是公差为4的等差数列，则a 2n ＝a 21＋(n －1)×4＝4n －3.∵a n >0，∴a n ＝4n －3. 答案：4n －39．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是否为等差数列？说明理由．解：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，理由如下：因为a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2，所以1a n ＋1＝a n ＋22a n ＝12＋1a n，所以1a n ＋1－1a n ＝12(常数)．所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝12为首项，公差为12的等差数列．10．若1b ＋c ，1a ＋c ，1a ＋b是等差数列，求证：a 2，b 2，c 2成等差数列．证明：由已知得1b ＋c ＋1a ＋b ＝2a ＋c ，通分有2b ＋a ＋c (b ＋c )(a ＋b )＝2a ＋c. 进一步变形有2(b ＋c )(a ＋b )＝(2b ＋a ＋c )(a ＋c )，整理，得a 2＋c 2＝2b 2，所以a 2，b 2，c 2成等差数列．层级二应试能力达标1．若数列{a n }为等差数列，a p ＝q ，a q ＝p (p ≠q )，则a p ＋q 为( ) A ．p ＋q B ．0 C ．－(p ＋q )D.p ＋q2解析：选B ∵a p ＝a 1＋(p －1)d ，a q ＝a 1＋(q －1)d ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(p －1)d ＝q ， ①a 1＋(q －1)d ＝p . ②①－②，得(p －q )d ＝q －p . ∵p ≠q ，∴d ＝－1.代入①，有a 1＋(p －1)×(－1)＝q ，∴a 1＝p ＋q －1. ∴a p ＋q ＝a 1＋(p ＋q －1)d ＝p ＋q －1＋(p ＋q －1)×(－1)＝0.2．已知x ≠y ，且两个数列x ，a 1，a 2，…，a m ，y 与x ，b 1，b 2，…，b n ，y 各自都成等差数列，则a 2－a 1b 2－b 1等于( )A.m nB.m ＋1n ＋1C.n mD.n ＋1m ＋1解析：选D 设这两个等差数列公差分别是d 1，d 2，则a 2－a 1＝d 1，b 2－b 1＝d 2.第一个数列共(m ＋2)项，∴d 1＝y －x m ＋1；第二个数列共(n ＋2)项，∴d 2＝y －x n ＋1.这样可求出a 2－a 1b 2－b 1＝d 1d 2＝n ＋1m ＋1. 3．已知数列{a n }，对任意的n ∈N *，点P n (n ，a n )都在直线y ＝2x ＋1上，则{a n }为( ) A ．公差为2的等差数列 B ．公差为1的等差数列 C ．公差为－2的等差数列D ．非等差数列解析：选A 由题意知a n ＝2n ＋1，∴a n ＋1－a n ＝2，应选A.4．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，且公差d ≠0，则( ) A ．a 3a 6>a 4a 5 B ．a 3a 6<a 4a 5 C ．a 3＋a 6>a 4＋a 5D ．a 3a 6＝a 4a 5解析：选B 由通项公式，得a 3＝a 1＋2d ，a 6＝a 1＋5d ，那么a 3＋a 6＝2a 1＋7d ，a 3a 6＝(a 1＋2d )(a 1＋5d )＝a 21＋7a 1d ＋10d 2，同理a 4＋a 5＝2a 1＋7d ，a 4a 5＝a 21＋7a 1d ＋12d 2，显然a 3a 6－a 4a 5＝－2d 2<0，故选B.5．数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，数列{b n }是首项为－2，公差为4的等差数列．若a n ＝b n ，则n 的值为________．解析：a n ＝2＋(n －1)×3＝3n －1， b n ＝－2＋(n －1)×4＝4n －6，令a n ＝b n ，得3n －1＝4n －6，∴n ＝5. 答案：56．在数列{a n }中，a 1＝3，且对于任意大于1的正整数n ，点(a n ， a n －1)都在直线x－y －3＝0上，则a n ＝________.解析：由题意得a n －a n －1＝3，所以数列{a n }是首项为3，公差为3的等差数列，所以a n ＝3n ，a n ＝3n 2.答案：3n 27．已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝2a n －1＋2n (n ≥2，且∈N *)． (1)求a 2，a 3；(2)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是等差数列；(3)求数列{a n }的通项公式a n .解：(1)a 2＝2a 1＋22＝6，a 3＝2a 2＋23＝20. (2)证明：∵a n ＝2a n －1＋2n (n ≥2，且n ∈N *)， ∴a n 2n ＝a n －12n －1＋1(n ≥2，且n ∈N *)，即a n 2n －a n －12n －1＝1(n ≥2，且n ∈N *)， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为a 121＝12，公差d ＝1的等差数列．(3)由(2)，得a n 2n ＝12＋(n －1)×1＝n －12，∴a n ＝⎝⎛⎭⎫n －12·2n.8．数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝(λ－3)a n ＋2n (n ∈N *)． (1)当a 2＝－1时，求λ及a 3的值；(2)是否存在λ的值，使数列{a n }为等差数列？若存在求其通项公式；若不存在说明理由．解：(1)∵a 1＝2，a 2＝－1，a 2＝(λ－3)a 1＋2，∴λ＝32.∴a 3＝－32a 2＋22，∴a 3＝112.(2)∵a 1＝2，a n ＋1＝(λ－3)a n ＋2n ， ∴a 2＝(λ－3)a 1＋2＝2λ－4. a 3＝(λ－3)a 2＋4＝2λ2－10λ＋16. 若数列{a n }为等差数列，则a 1＋a 3＝2a 2. 即λ2－7λ＋13＝0.∵Δ＝49－4×13<0，∴方程无实数解．∴λ值不存在．∴不存在λ的值使{a n }成等差数列．第二课时等差数列的性质[新知初探]1．等差数列通项公式的推广2.若{a n }是公差为d 的等差数列，正整数m ，n ，p ，q 满足m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p＋a q .(1)特别地，当m ＋n ＝2k (m ，n ，k ∈N *)时，a m ＋a n ＝2a k .(2)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a 1＋a n＝a2＋a n－1＝…＝a k＋a n－k＋1＝….(3)若{a n}是公差为d的等差数列，则①{c＋a n}(c为任一常数)是公差为d的等差数列；②{ca n}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；③{a n＋a n＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为2d的等差数列．(4)若{a n}，{b n}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pa n＋qb n}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若{a n}是等差数列，则{|a n|}也是等差数列()(2)若{|a n|}是等差数列，则{a n}也是等差数列()(3)若{a n}是等差数列，则对任意n∈N*都有2a n＋1＝a n＋a n＋2()(4)数列{a n}的通项公式为a n＝3n＋5，则数列{a n}的公差与函数y＝3x＋5的图象的斜率相等()解析：(1)错误．如－2，－1,0,1,2是等差数列，但其绝对值就不是等差数列．(2)错误．如数列－1,2，－3,4，－5其绝对值为等差数列，但其本身不是等差数列．(3)正确．根据等差数列的通项可判定对任意n∈N*，都有2a n＋1＝a n＋a n＋2成立．(4)正确．因为a n＝3n＋5的公差d＝3，而直线y＝3x＋5的斜率也是3.答案：(1)×(2)×(3)√(4)√2．在等差数列{a n}中，若a5＝6，a8＝15，则a14等于()A．32B．33C．－33 D．29解析：选B∵数列{a n}是等差数列，∴a5，a8，a11，a14也成等差数列且公差为9，∴a14＝6＋9×3＝33.3．在等差数列{a n}中，已知a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝()A．90 B．270C．180 D．360解析：选C因为a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，所以a5＝90，所以a2＋a8＝2a5＝2×90＝180.4．在等差数列{a n}中，已知a2＋2a8＋a14＝120，则2a9－a10的值为________．解析：∵a2＋a14＝2a8，∴a2＋2a8＋a14＝4a8＝120，∴a8＝30.∴2a9－a10＝(a8＋a10)－a10＝a8＝30.答案：30[典例] (1)已知等差数列{a n }中，a 2＋a 4＝6，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝( ) A ．30 B ．15 C ．5 6D ．10 6(2)设{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37＝( ) A ．0 B ．37 C ．100D ．－37[解析] (1)∵数列{a n }为等差数列，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝(a 1＋a 5)＋(a 2＋a 4)＋a 3＝52(a 2＋a 4)＝52×6＝15.(2)设c n ＝a n ＋b n ，由于{a n }，{b n }都是等差数列，则{c n }也是等差数列，且c 1＝a 1＋b 1＝25＋75＝100， c 2＝a 2＋b 2＝100， ∴{c n }的公差d ＝c 2－c 1＝0. ∴c 37＝100，即a 37＋b 37＝100. [答案] (1)B (2)C[活学活用]1．已知{a n }为等差数列，若a 1＋a 5＋a 9＝π，则cos(a 2＋a 8)的值为( ) A ．－12B ．－32C.12D.32解析：选A a 1＋a 5＋a 9＝3a 5＝π，所以a 5＝π3，而a 2＋a 8＝2a 5＝2π3，所以cos(a 2＋a 8)＝cos2π3＝－12，故选A. 2．在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝( ) A ．10 B ．18 C ．20D ．28解析：选C 由等差数列的性质得：3a 5＋a 7＝2a 5＋(a 5＋a 7)＝2a 5＋(2a 6)＝2(a 5＋a 6)＝2(a 3＋a 8)＝20，故选C.[典例] (1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数． (2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数． [解] (1)设这三个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，则⎩⎪⎨⎪⎧(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝9，(a －d )a ＝6(a ＋d )，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，d ＝－1.∴这三个数为4,3,2.(2)法一：设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d (公差为2d )，依题意，2a ＝2，且(a －3d )(a ＋3d )＝－8，即a ＝1，a 2－9d 2＝－8， ∴d 2＝1，∴d ＝1或d ＝－1.又四个数成递增等差数列，所以d ＞0， ∴d ＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.法二：若设这四个数为a ，a ＋d ，a ＋2d ，a ＋3d (公差为d )，依题意，2a ＋3d ＝2，且a (a ＋3d )＝－8，把a ＝1－32d 代入a (a ＋3d )＝－8，得⎝⎛⎭⎫1－32d ⎝⎛⎭⎫1＋32d ＝－8，即1－94d 2＝－8，化简得d 2＝4，所以d ＝2或－2.又四个数成递增等差数列，所以d ＞0，所以d ＝2， a ＝－2.故所求的四个数为－2,0,2,4.[活学活用]已知成等差数列的四个数，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这个等差数列．解：设这四个数依次为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d (公差为2d )．由题设知⎩⎪⎨⎪⎧(a －3d )＋(a －d )＋(a ＋d )＋(a ＋3d )＝26，(a －d )(a ＋d )＝40，解得⎩⎨⎧a ＝132，d ＝32或⎩⎨⎧a ＝132，d ＝－32.∴这个数列为2,5,8,11或11,8,5,2.[典例] 某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元，从第二年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？[解] 设从第一年起，第n 年的利润为a n 万元，则a 1＝200，a n ＋1－a n ＝－20(n ∈N *)， ∴每年的利润构成一个等差数列{a n }，从而a n ＝a 1＋(n －1)d ＝200＋(n －1)×(－20)＝220－20n . 若a n <0，则该公司经销这一产品将亏损． ∴由a n ＝220－20n <0，得n >11，即从第12年起，该公司经销此产品将亏损．[活学活用]某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费________元．解析：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元．所以可以建立一个等差数列{a n}来计算车费．令a1＝11.2，表示4 km处的车费，公差d＝1.2，那么当出租车行至14 km处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．答案：23.2层级一学业水平达标1．在等差数列{a n}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a10＝()A．12B．16C．20 D．24解析：选B因为数列{a n}是等差数列，所以a2＋a10＝a4＋a8＝16.2．在等差数列{a n}中，a1＋a9＝10，则a5的值为()A．5 B．6C．8 D．10解析：选A由等差数列的性质，得a1＋a9＝2a5，又∵a1＋a9＝10，即2a5＝10，∴a5＝5.3．下列说法中正确的是()A．若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列B．若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列C．若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列D．若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c成等差数列解析：选C因为a，b，c成等差数列，则2b＝a＋c，所以2b＋4＝a＋c＋4，即2(b＋2)＝(a＋2)＋(c＋2)，所以a ＋2，b ＋2，c ＋2成等差数列．4．在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋a 5＝10，则a 7＝( ) A ．5 B ．8 C ．10D ．14解析：选B 由等差数列的性质可得a 1＋a 7＝a 3＋a 5＝10，又a 1＝2，所以a 7＝8. 5．等差数列{a n }中， a 2＋a 5＋a 8＝9，那么方程x 2＋(a 4＋a 6)x ＋10＝0的根的情况( ) A ．没有实根 B ．两个相等实根 C ．两个不等实根D ．无法判断解析：选A 由a 2＋a 5＋a 8＝9得a 5＝3，∴a 4＋a 6＝6，方程转化为x 2＋6x ＋10＝0.因为Δ<0，所以方程没有实根．6．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________．解析：设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋a ＋d ＝9，(a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2＝59. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，d ＝－4.∴这三个数为－1,3,7或7,3，－1.∴它们的积为－21. 答案：－217．若a ，b ，c 成等差数列，则二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点的个数为________．解析：∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ， ∴Δ＝4b 2－4ac ＝(a ＋c )2－4ac ＝(a －c )2≥0.∴二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点个数为1或2. 答案：1或28．已知等差数列{a n }满足a m －1＋a m ＋1－a 2m －1＝0，且m >1，则a 1＋a 2m －1＝________. 解析：因为数列{a n }为等差数列，则 a m －1＋a m ＋1＝2a m ，则a m －1＋a m ＋1－a 2m －1＝0可化为2a m －a 2m －1＝0，解得a m ＝1，所以a 1＋a 2m －1＝2a m ＝2.答案：29．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＋…＋a 5＝30，a 6＋a 7＋…＋a 10＝80，求a 11＋a 12＋…＋a 15.解：法一：由等差数列的性质得a 1＋a 11＝2a 6，a 2＋a 12＝2a 7，…，a 5＋a 15＝2a 10.∴(a 1＋a 2＋…＋a 5)＋(a 11＋a 12＋…＋a 15)＝2(a 6＋a 7＋…＋a 10)．∴a 11＋a 12＋…＋a 15＝2(a 6＋a 7＋…＋a 10)－(a 1＋a 2＋…＋a 5)＝2×80－30＝130.法二：∵数列{a n}是等差数列，∴a1＋a2＋…＋a5，a6＋a7＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a15也成等差数列，即30,80，a11＋a12＋…＋a15成等差数列．∴30＋(a11＋a12＋…＋a15)＝2×80，∴a11＋a12＋…＋a15＝130.10．有一批影碟机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售．甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台单价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但每台最低价不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售．某单位购买一批此类影碟机，问去哪家商场买花费较少．解：设单位需购买影碟机n台，在甲商场购买每台售价不低于440元，售价依台数n 成等差数列．设该数列为{a n}．a n＝780＋(n－1)(－20)＝800－20n，解不等式a n≥440，即800－20n≥440，得n≤18.当购买台数小于等于18台时，每台售价为(800－20n)元，当台数大于18台时，每台售价为440元．到乙商场购买，每台售价为800×75%＝600元．作差：(800－20n)n－600n＝20n(10－n)，当n<10时，600n<(800－20n)n，当n＝10时，600n＝(800－20n)n，当10<n≤18时，(800－20n)n<600n，当n>18时，440n<600n.即当购买少于10台时到乙商场花费较少，当购买10台时到两商场购买花费相同，当购买多于10台时到甲商场购买花费较少．层级二应试能力达标1．已知等差数列{a n}：1,0，－1，－2，…；等差数列{b n}：0,20,40,60，…，则数列{a n ＋b n}是()A．公差为－1的等差数列B．公差为20的等差数列C．公差为－20的等差数列D．公差为19的等差数列解析：选D(a2＋b2)－(a1＋b1)＝(a2－a1)＋(b2－b1)＝－1＋20＝19.2．已知数列{a n}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为()A. 3 B．±3C．－33D．－ 3解析：选D由等差数列的性质得a1＋a7＋a13＝3a7＝4π，∴a7＝4π3.∴tan(a2＋a12)＝tan(2a7)＝tan 8π3＝tan2π3＝－ 3.3．若方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m －n |＝( )A ．1 B.34 C.12D.38解析：选C 设方程的四个根a 1，a 2，a 3，a 4依次成等差数列，则a 1＋a 4＝a 2＋a 3＝2，再设此等差数列的公差为d ，则2a 1＋3d ＝2， ∵a 1＝14，∴d ＝12，∴a 2＝14＋12＝34，a 3＝14＋1＝54，a 4＝14＋32＝74，∴|m －n |＝|a 1a 4－a 2a 3| ＝⎪⎪⎪⎪14×74－34×54＝12.4．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( )A ．1升 B.6766升 C.4744升 D.3733升解析：选B 设所构成的等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4.解得⎩⎨⎧a 1＝1322，d ＝766，则a 5＝a 1＋4d ＝6766，故第5节的容积为6766升．5．已知{a n }为等差数列，且a 6＝4，则a 4a 7的最大值为________．解析：设等差数列的公差为d ，则a 4a 7＝(a 6－2d )(a 6＋d )＝(4－2d )(4＋d )＝－2(d ＋1)2＋18，即a 4a 7的最大值为18.答案：186．已知数列{a n }满足a 1＝1，若点⎝ ⎛⎭⎪⎫a n n ，a n ＋1n ＋1在直线x －y ＋1＝0上，则a n＝________.解析：由题设可得a n n －a n ＋1n ＋1＋1＝0，即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以1为公差的等差数列，且首项为1，故通项公式a nn ＝n ，所以a n ＝n 2.答案：n 27．数列{a n }为等差数列，b n ＝⎝⎛⎭⎫12a n ，又已知b 1＋b 2＋b 3＝218，b 1b 2b 3＝18，求数列{a n }的通项公式．解：∵b 1＋b 2＋b 3＝⎝⎛⎭⎫12a 1＋⎝⎛⎭⎫12a 2＋⎝⎛⎭⎫12a 3＝218，b 1b 2b 3＝⎝⎛⎭⎫12a 1＋a 2＋a 3＝18，∴a 1＋a 2＋a 3＝3.∵a 1，a 2，a 3成等差数列，∴a 2＝1，故可设a 1＝1－d ，a 3＝1＋d ，由⎝⎛⎭⎫121－d ＋12＋⎝⎛⎭⎫121＋d ＝218，得2d ＋2－d ＝174，解得d ＝2或d ＝－2.当d ＝2时，a 1＝1－d ＝－1，a n ＝－1＋2(n －1)＝2n －3；当d ＝－2时，a 1＝1－d ＝3，a n ＝3－2(n －1)＝－2n ＋5.8．下表是一个“等差数阵”：ij (1)写出a 45的值；(2)写出a ij 的计算公式，以及2 017这个数在“等差数阵”中所在的一个位置．解：通过每行、每列都是等差数列求解． (1)a 45表示数阵中第4行第5列的数．先看第1行，由题意4,7，…，a 15，…成等差数列，公差d ＝7－4＝3，则a 15＝4＋(5－1)×3＝16. 再看第2行，同理可得a 25＝27.最后看第5列，由题意a 15，a 25，…，a 45成等差数列，所以a 45＝a 15＋3d ＝16＋3×(27－16)＝49.(2)该“等差数阵“的第1行是首项为4，公差为3的等差数列a 1j ＝4＋3(j －1)；第2行是首项为7，公差为5的等差数列a 2j ＝7＋5(j －1)； …第i 行是首项为4＋3(i －1)，公差为2i ＋1的等差数列， ∴a ij ＝4＋3(i －1)＋(2i ＋1)(j －1) ＝2ij ＋i ＋j ＝i (2j ＋1)＋j .要求2 017在该“等差数阵”中的位置，也就是要找正整数i ，j ，使得i (2j ＋1)＋j ＝2 017， ∴j ＝2 017－i 2i ＋1.又∵j ∈N *，∴当i ＝1时，得j ＝672.∴2 017在“等差数阵”中的一个位置是第1行第672列．。

高中数学必修5_第二章：数列基础过关题

2014-2015学年高中数学必修5 第二章：数列一、选择题1．{a n }是首项a 1＝1，公差为d ＝3的等差数列，如果a n ＝2 005，则序号n 等于( )．A ．667B ．668C ．669D ．6702．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( )．A ．33B ．72C ．84D ．1893．等差数列9}{,27,39,}{963741前则数列中n n a a a a a a a a =++=++项的和9S 等于（）A ．66B ．99C ．144D ．2974．12+与12-，两数的等比中项是（）A ．1B ．1-C ．1±D ．21 5．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为 ( ).A ．81B ．120C ．168D ．1926．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列, 则a 2＝ ( )．A ．－4B ．－6C ．－8D ．－107．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若35a a ＝95，则59S S ＝ ( )． A ．1 B ．－1 C ．2 D ．21 8．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则212b a a -的值是 ( )．A ．21B ．－21C ．－21或21D ．41 二、填空题1．等差数列{}n a 中, ,33,952==a a 则{}n a 的公差为______________。

2．数列{n a }是等差数列，47a =，则7s =_________3．在等比数列{}n a 中, 若101,a a 是方程06232=--x x 的两根，则47a a ⋅=___________. 4．数列{}n a 的通项公式11++=n n a n ，则该数列的前99项之和等于___________.三、解答题1. 已知数列{}n a 的前n 项和n n S 23+=，求n a2．求和：12...321-++++n nxx x3．已知数列{}n a 的通项公式112+-=n a n ，如果)(N n a b n n ∈=，求数列{}n b 的前n 项和。

高中数学必修5课件：第2章2-3-2等差数列前n项和习题课

第二章数列
温故知新
等差数列{an}的前 n 项和 Sn＝na1＋nn－2 1d＝d2n2＋(a1－d2)n，令d2＝A，a1－d2＝B，则得 Sn＝________.[答案] An2＋Bn数 Nhomakorabea 必修5
第二章数列
新课引入
用分期付款的方式购买家用电器需 11 500 元，购买当天先付 1 500 元，以后每月交付 500 元，并加付利息，月利率为 0.5%，若从交付 1 500 元后的第 1 个月开始算分期付款的第 1 个月，问：
所以S3m＝3ma1＋3m3m2 －1d＝210.
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第二章数列
方法二：利用公式 Sn＝na1＋2 an，以及等差数列的性质 p
＋q＝m＋n⇒ap＋aq＝am＋an.
ma1＋am＝60，
①
由已知有m3ma1a＋1＋a2am3m＝＝1020S，3m，
② ③
2a2m＝am＋a3m，
④
由①②③④可得 S3m＝210.
【错解】 an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n－1)－[(n－1)2＋(n－1)－ 1]＝2n，又an－an－1＝2n－2(n－1)＝2，即数列每一项与前一项的差是同一个常数，
∴{an}是等差数列．【错因】已知数列的前n项和Sn，求数列的通项an时，需分类讨论，即分n≥2与n＝1两种情况．
数学必修5
解得a＝m202， b＝1m0.
所以 S3m＝9am2＋3bm＝210.
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第二章数列
等差数列前n项和的性质应用
一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，求该数列的公差d.
[思路点拨] 可以利用列方程组方法求解，也可以利用等差数列前n项和的性质求解．

高中数学必修五第二章数列

设等差数列
的前n项和为sn,已知a3=12,s12>0,s13<0,
（1）求公差d的取值范围
（2）指出s1,s2,s3……,s12中哪一个的值最大，并说明理由
2.4等比数列
定义：一般的，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同意常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。
Sn=an+(an-d)+(an-2d)+……+【an-(n-1)d】两式相加得 2sn=n(a1+an) 由此可得 sn=n(a1+an)/2 带入通项公式得 sn=na1+n(n-1)d/2
例题一
2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》。
某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年时间在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元。那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？
（1）求AB，BC，CD的长
（2）已AB，BC，CD的长为等差数列的前三项，以第十项为边长的正方形面积为多少？
AB C
D
2.3等差数列的前n项和
定义：一般的，我们称a1+a2+a3+……+an 为数列表示，即sn=a1+a2+……+an
的前n项和，用Sn
推理过程：因为 Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+……+【a1+(n-1)d】

(推荐)人教版高一数学必修5-第二章数列总结

人教版高一数学必修5第二章数列总结1、数列的基本概念(1)定义：按照一定的次序排列的一列数叫做数列．(2)通项公式：如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个公式表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式．(3)递推公式：如果已知数列{a n }的第一项(或前几项)，且任何一项a n 与它前一项a n －1(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．通项公式与递推公式，是给出一个数列的两种主要方法．2、主要公式(1)通项公式a n 与前n 项和公式S n 间的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 n ＝1S n －S n －1 n ≥2. (2)等差数列 a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d . S n ＝12n (a 1＋a n )，S n ＝na 1＋12n (n －1)d .A ＝a ＋b 2(等差中项)．（3）等比数列a n ＝a 1q n －1，a n ＝a m ·q n －m . S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ na 1 q ＝1a 1－a n q 1－q＝a 11－q n 1－q q ≠1.G ＝±ab (等比中项)．3．主要性质(1)若m ＋n ＝p ＋q (m 、n 、p 、q ∈N *)，在等差数列{a n }中有：a m ＋a n ＝a p ＋a q ；在等比数列{a n }中有：a m ·a n ＝a p ·a q .(2)等差(比)数列依次k 项之和仍然成等差(比)．专题一数列的通项公式的求法1．观察法根据下面数列的前几项，写出数列的一个通项公式．(1)1,1，57，715，931，…； 2．定义法等差数列{a n }是递增数列，前n 项和为S n ，且 a 1，a 3，a 9成等比数列，S 5＝a 25.求数列{a n }的通项公式．3．前n 项和法(1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋3n ＋1，求通项 a n ；(2)已知数列{a n}的前n项和S n＝2n＋2，求通项a n. 4．累加法已知{a n}中，a1＝1，且a n＋1－a n＝3n(n∈N*)，求通项a n. 5．累乘法已知数列{a n }，a 1＝13，前n 项和S n 与a n 的关系是S n ＝n (2n －1)a n ，求通项a n . 6．辅助数列法已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)．求数列{a n }的通项公式．7．倒数法已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n a n ＋1(n ∈N *)．求通项a n . 专题二数列的前n 项和的求法1．分组转化求和法如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合而成，并且各独立项也可组成等差或等比数列，则该数列的前n 项和可考虑拆项后利用公式求解．求和：S n ＝112＋214＋318＋…＋(n ＋12n )． 2．裂项求和法对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，在求和时常用“裂项法”，分式的求和多利用此法．可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项，常见的拆项公式有：(1)1n n ＋k ＝1k ·(1n －1n ＋k)； (2)若{a n }为等差数列，公差为d ，则1a n ·a n ＋1＝1d (1a n －1a n ＋1)； (3)1n ＋1＋n ＝n ＋1－n 等．3．错位相减法若数列{a n }为等差数列，数列{b n }是等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{a n b n }，当求该数列的前n 项的和时，常常采用将{a n b n }的各项乘以等比数列{b n }的公比q ，然后错位一项与{a n b n }的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，所以这种数列求和的方法称为错位相减法．已知数列{a n }中，a 1＝3，点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝x ＋2上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n ·3n ，求数列{b n }的前n 项和T n .4．分段求和法如果一个数列是由各自具有不同特点的两段构成，则可考虑利用分段求和．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋S n ＝1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝3＋log 4a n ，设T n ＝|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |，求T n .附注：常用结论1）1+2+3+...+n =2） 1+3+5+...+(2n-1) =3）三、等差、等比数列的对比（1）判断数列的常用方法看数列是不是等差数列有以下三种方法：①②2()③(为常数).看数列是不是等比数列有以下四种方法：①②(，)③(为非零常数).④正数列{}成等比的充要条件是数列{}（）成等比数列.（2）等差数列与等比数列对比小结：等差数列等比数列定义公式1．2．1．2．性质1．，称为与的等差中项2．若（、、、1．，称为与的等比中项2．若（、、、），则），则3．，，成等差数列4. 3．，，成等比数列4. ，（3）在等差数列｛｝中,有关Sn 的最值问题：1），时，有最大值；，时，有最小值；2）最值的求法：①若已知，可用二次函数最值的求法（）；②若已知，则最值时的值（）可如下确定或。

浙江省杭州市高中数学第二章数列 2.2 等差数列教案

其本质是：等差数列的递推公式
5.提问：等差数列的单调性与公差的关系是什么？（2分钟）
第2段落
13分钟。
其中缄默
情境下学
生自主学
习活动的
时间6
分钟。
1.学生通过讨论等形式，了解等差数列公式的推导方法，体悟其中蕴含的数学思想。
2.学生继续培养观察，分析，归纳，推理的数学能力。
2、等差数列的通项公式
1.提问：如果等差数列的首项和公差，那么如何表示呢？
等差数列
时间段落
教学目标
内容模块
教学过程与方法
第1段落
10分钟。
其中缄默
情境下学
生自主学
习活动的
时间5
分钟。
1.通过具体实例的研究，学生能理究数学问题的过程。
3.知道等差数列的分类。
一、等差数列的定义
1.文字语言表示
2.等差数列定义的符号语言表示
（）
其中缄默
情境下学
生自主学
习活动的
时间1
分钟。
关注学生的自主体验，总结反思本节课在知识、方法上的体验、收获。
4、小结
一个定义：三种表示方法
两个公式:通项公式，性质公式
三种思想：方程思想，函数思想，
递推思想
三种方法：
五、课后作业
1.小结所学，形成体系。
2.作业布置
必做题：A作业本P28-29 B补充题：在等差数列中，已知是第一个大于1的数，求公差的取值范围。
选做题：在等差数列中，已知 =16，求
课后反思
时间段落
教学目标
内容模块
教学过程与方法
第3段落
20分钟。
其中缄默
情境下学

高中课程标准实验教科书必修5第二章数列PPT优秀课件 (数列的概念与简单的表示方法等17个) 14

求证：（1）这个数列成等比数列
1
（2）这个数列中的任一项是它后面第五项的 10
（3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。
n1
证：（1） an an1

10 5
n2
10 5
1
10（5 常数）
∴该数列成GP。
n1
（2） an an5
105 n4
105
101 110即： an
――[阿萨·赫尔帕斯爵士] 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。――[威廉·海兹利特]
116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。――[凯·里昂] 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。――[B·C·福比斯] 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。――[迈可·汉默] 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。――[奥古斯汀] 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。――[史迈尔斯] 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。――[C·H·K·寇蒂斯] 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。――[乔治桑] 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。――[约翰·夏尔] 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。――[道格拉斯·米尔多] 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度――。[老子]