运筹学第二章 线性规划
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第二章 线性规划
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节
线性规划问题 图解法 标准型和解 单纯形法 人工变量法和几种特殊情况 改进的单纯形法
第一节 线性规划问题
一、问题的提出 二、线性规划模型
一、问题的提出
例1 生产计划问题 某工厂利用甲、乙、丙、丁四种设备生产A、B、C三种 产品，具体数据如表2-1所示。A、B、C单位产品的利润分别是4.5百元、5百 元、7百元。问如何安排生产计划，才能使所获总利润最大? 例2 运输问题 设某种物资有m个产地A1，A2，…，Am，它们的产量分别为 a1，，有n个销地B1，B2，…，Bn需要这种物资，它们的销量分别为b1，b 2，…，bn。已知Ai到Bj的单位运价是cij(i=1，2，…，m；j=1，2，…，n)，表 2-2为单位运价表。设供、销满足平衡条件，即∑mi=1ai=∑nj=1bj。问怎样组 织运输，才能满足要求，且使总运费最少?
例4 求解线性规划
图 2-1
例4 求解线性规划
图 2-2
例5 用图解法求解下列线性规划
(1)极大化z=2x1+2x2 (2)极小化z=2x1+2x2
例5 用图解法求解下列线性规划
解 这两个问题的约束条件相同，其可行域如图2-3所示，这是个无界集。从 图2-3中目标函数的等值线看出，无论z有多么大，z=2x1+2x2总与D相交，这说 明目标函数值可无限增大；所以问题(1)无最优解，或者说问题(1)可行而无最 优解；但当z减小时，最后目标函数线L*与D唯一的交点x*(1，0)，即为问题(2) 的最优解。
例2 运输问题
表 2-2
例3 配料问题
表 2-3
二、线性规划模型
第二节 图 解 法
当线性规划的变量个数n=2时，能够在平面直角 坐标系中利用图解法直观地求解。虽然在应用中， 图解法没有实际意义，但通过图解法可以形象地 说明线性规划的许多特征。
例4 求解线性规划
极大化z=600x1+700x2 满足x1+2x2≤160 x1+x2≤120 3x1+x2≤300Leabharlann Baidux2≤60 x1， x2≥0
一、问题的提出
例3 配料问题 要配制一种面包，每只面包要求含甲、乙、丙3种营养成分 至少各为20单位、24单位、30单位。现有4种原料可供选用，表2-3给出了每1 0g原料所含各种营养成分的单位数和价格。试确定每种原料各取多少，才能 使面包的制作成本最低?
例1 生产计划问题
表 2-1单位：h/件
例5 用图解法求解下列线性规划
图 2-3
例6 求解线性规划
解 根据约束条件和变量的非负要求，画出各自满足的区域(图2-4)，看到该 线性规划的可行域是空集，因两个约束条件是相互矛盾的，所以，问题不存 在可行解，当然也无最优解。
例6 求解线性规划
图 2-4
例6 求解线性规划
图 2-5
第三节 标准型和解
二、化标准型
(3) 如果第k个约束条件为a k1x 1+a k2x 2+…+a k n x n ≤ b k 那么增加一个非负变量x n + k， 使上述约束成为 ak1x1+ak2x2+…+a k n x n + x n + k=b k X n + k称为松弛变量。 如果第s个约束为 as1x1+as2x2+…+a s n x n ≥ b s 那么引入一个非负变量x n + s，使该约束成为 as1x1+as2x2+…+a s n x n – x n + s = b s X n + s称为剩余变量。有时，松弛变量和剩余变量通称为松弛变量。
(2) 凸组合。设X(1)， X(2)， …， X (k)是 E (n)的k个点， 实数λ1， λ2， …， λ k满足λi≥0， i=1， 2， …， k
∑k i=1λi=1 则λ1X(1)+λ2X(2)+…+λ k X (k)称为X(1)， X(2)， …， X (k)的凸组 合； 如果X=λ1X(1)+λ2X(2)+…+λ k X (k)， 则称X是X(1)， X(2)， …， X (k)的凸组合。 (3) 极点。对于凸集S， X∈S， 如果不存在这样的两个点X(1)、 X(2)∈S(X(1)≠X(2)， X(1)≠X， X(2)≠X)使X可以表示成X(1)和X(2) 的凸组合， 即可表示为X=λX(1)+(1-λ)X(2)， 0＜λ＜1 则称X是S的一个极点。
2.基可行解
满足非负要求的基解， 即属于可行域中的基解， 称为线性规划的基可行解。
3.最优解
前面已经谈到，可行解中，使目标函数值z达到 极值的是最优解。
1.基本概念 2.基本定理
四、线性规划的基本定理
1.基本概念
(1) 凸集。设S是n维空间En中的一个集合， 如果对任意的X(1)、 X(2)∈S及任意的实数λ(0≤λ≤1)都有λX(1)+(1-λ)X(2)∈S， 那么S称为 凸集。
二、化标准型
下面讨论怎样将一个一般的线性规划模型化为标 准型。
(1)如果目标函数为“极小化z=CX”，因为min｛z｝=-max｛-z｝，所以可令 z′=-z=(-C)X， 目标函数变为“极大化z′=(-C)X”，z′值的相反数就是所求目标 函数值。 (2) 如果有bi＜0(1≤i≤m)， 那么将这个约束的两边同乘(-1)， 便得(-bi)＞0。
二、化标准型
(4)如果决策变量xj≤0，那么用xj′=-xj代入目标函数和约束条件中，这样就有 xj′≥0；如果决策变量xs无非负要求，那么用两个有非负要求的变量xs′和xs″的 差代替xs，即xs=xs′-xs″，代入线性规划模型中，使变量都有了非负要求。
三、线性规划解的基本概念
1.基解
线性规划模型表明， 求解线性规划， 实质上是 求解具有特殊要求(变量非负及目标函数值达到 极大)的线性方程组。
一、线性规划的标准型 二、化标准型 三、线性规划解的基本概念 四、线性规划的基本定理
一、线性规划的标准型
本书确定线性规划的标准型满足下列条件：
(1)极大化目标函数。 (2)约束条件的右端常数bi≥0，i=1，2，…，m。 (3)约束条件用等式表示。 (4)决策变量xj(j=1，2，…，n)有非负要求。
例4 求解线性规划
解 在以x1、x2为坐标轴的平面直角坐标系中，将线性规划的可行 域表示出来。先考虑约束条件x1+2x2≤160。在图2-1中，等式x1+2x2 =160表示直线L1；严格不等式x1+2x2＜160表示以L1为边界的左下半 平面(图2-1a中有阴影的部分)，于是，约束条件x1+2x2≤160表示以直 线L1为边界的、含边界在内的左下半平面。类似地，能够确定约束 条件x1+x2≤120、3x1+x2≤300、x2≤60所表示的区域。
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节
线性规划问题 图解法 标准型和解 单纯形法 人工变量法和几种特殊情况 改进的单纯形法
第一节 线性规划问题
一、问题的提出 二、线性规划模型
一、问题的提出
例1 生产计划问题 某工厂利用甲、乙、丙、丁四种设备生产A、B、C三种 产品，具体数据如表2-1所示。A、B、C单位产品的利润分别是4.5百元、5百 元、7百元。问如何安排生产计划，才能使所获总利润最大? 例2 运输问题 设某种物资有m个产地A1，A2，…，Am，它们的产量分别为 a1，，有n个销地B1，B2，…，Bn需要这种物资，它们的销量分别为b1，b 2，…，bn。已知Ai到Bj的单位运价是cij(i=1，2，…，m；j=1，2，…，n)，表 2-2为单位运价表。设供、销满足平衡条件，即∑mi=1ai=∑nj=1bj。问怎样组 织运输，才能满足要求，且使总运费最少?
例4 求解线性规划
图 2-1
例4 求解线性规划
图 2-2
例5 用图解法求解下列线性规划
(1)极大化z=2x1+2x2 (2)极小化z=2x1+2x2
例5 用图解法求解下列线性规划
解 这两个问题的约束条件相同，其可行域如图2-3所示，这是个无界集。从 图2-3中目标函数的等值线看出，无论z有多么大，z=2x1+2x2总与D相交，这说 明目标函数值可无限增大；所以问题(1)无最优解，或者说问题(1)可行而无最 优解；但当z减小时，最后目标函数线L*与D唯一的交点x*(1，0)，即为问题(2) 的最优解。
例2 运输问题
表 2-2
例3 配料问题
表 2-3
二、线性规划模型
第二节 图 解 法
当线性规划的变量个数n=2时，能够在平面直角 坐标系中利用图解法直观地求解。虽然在应用中， 图解法没有实际意义，但通过图解法可以形象地 说明线性规划的许多特征。
例4 求解线性规划
极大化z=600x1+700x2 满足x1+2x2≤160 x1+x2≤120 3x1+x2≤300Leabharlann Baidux2≤60 x1， x2≥0
一、问题的提出
例3 配料问题 要配制一种面包，每只面包要求含甲、乙、丙3种营养成分 至少各为20单位、24单位、30单位。现有4种原料可供选用，表2-3给出了每1 0g原料所含各种营养成分的单位数和价格。试确定每种原料各取多少，才能 使面包的制作成本最低?
例1 生产计划问题
表 2-1单位：h/件
例5 用图解法求解下列线性规划
图 2-3
例6 求解线性规划
解 根据约束条件和变量的非负要求，画出各自满足的区域(图2-4)，看到该 线性规划的可行域是空集，因两个约束条件是相互矛盾的，所以，问题不存 在可行解，当然也无最优解。
例6 求解线性规划
图 2-4
例6 求解线性规划
图 2-5
第三节 标准型和解
二、化标准型
(3) 如果第k个约束条件为a k1x 1+a k2x 2+…+a k n x n ≤ b k 那么增加一个非负变量x n + k， 使上述约束成为 ak1x1+ak2x2+…+a k n x n + x n + k=b k X n + k称为松弛变量。 如果第s个约束为 as1x1+as2x2+…+a s n x n ≥ b s 那么引入一个非负变量x n + s，使该约束成为 as1x1+as2x2+…+a s n x n – x n + s = b s X n + s称为剩余变量。有时，松弛变量和剩余变量通称为松弛变量。
(2) 凸组合。设X(1)， X(2)， …， X (k)是 E (n)的k个点， 实数λ1， λ2， …， λ k满足λi≥0， i=1， 2， …， k
∑k i=1λi=1 则λ1X(1)+λ2X(2)+…+λ k X (k)称为X(1)， X(2)， …， X (k)的凸组 合； 如果X=λ1X(1)+λ2X(2)+…+λ k X (k)， 则称X是X(1)， X(2)， …， X (k)的凸组合。 (3) 极点。对于凸集S， X∈S， 如果不存在这样的两个点X(1)、 X(2)∈S(X(1)≠X(2)， X(1)≠X， X(2)≠X)使X可以表示成X(1)和X(2) 的凸组合， 即可表示为X=λX(1)+(1-λ)X(2)， 0＜λ＜1 则称X是S的一个极点。
2.基可行解
满足非负要求的基解， 即属于可行域中的基解， 称为线性规划的基可行解。
3.最优解
前面已经谈到，可行解中，使目标函数值z达到 极值的是最优解。
1.基本概念 2.基本定理
四、线性规划的基本定理
1.基本概念
(1) 凸集。设S是n维空间En中的一个集合， 如果对任意的X(1)、 X(2)∈S及任意的实数λ(0≤λ≤1)都有λX(1)+(1-λ)X(2)∈S， 那么S称为 凸集。
二、化标准型
下面讨论怎样将一个一般的线性规划模型化为标 准型。
(1)如果目标函数为“极小化z=CX”，因为min｛z｝=-max｛-z｝，所以可令 z′=-z=(-C)X， 目标函数变为“极大化z′=(-C)X”，z′值的相反数就是所求目标 函数值。 (2) 如果有bi＜0(1≤i≤m)， 那么将这个约束的两边同乘(-1)， 便得(-bi)＞0。
二、化标准型
(4)如果决策变量xj≤0，那么用xj′=-xj代入目标函数和约束条件中，这样就有 xj′≥0；如果决策变量xs无非负要求，那么用两个有非负要求的变量xs′和xs″的 差代替xs，即xs=xs′-xs″，代入线性规划模型中，使变量都有了非负要求。
三、线性规划解的基本概念
1.基解
线性规划模型表明， 求解线性规划， 实质上是 求解具有特殊要求(变量非负及目标函数值达到 极大)的线性方程组。
一、线性规划的标准型 二、化标准型 三、线性规划解的基本概念 四、线性规划的基本定理
一、线性规划的标准型
本书确定线性规划的标准型满足下列条件：
(1)极大化目标函数。 (2)约束条件的右端常数bi≥0，i=1，2，…，m。 (3)约束条件用等式表示。 (4)决策变量xj(j=1，2，…，n)有非负要求。
例4 求解线性规划
解 在以x1、x2为坐标轴的平面直角坐标系中，将线性规划的可行 域表示出来。先考虑约束条件x1+2x2≤160。在图2-1中，等式x1+2x2 =160表示直线L1；严格不等式x1+2x2＜160表示以L1为边界的左下半 平面(图2-1a中有阴影的部分)，于是，约束条件x1+2x2≤160表示以直 线L1为边界的、含边界在内的左下半平面。类似地，能够确定约束 条件x1+x2≤120、3x1+x2≤300、x2≤60所表示的区域。