信号与系统第三章：傅里叶变换

bn
n1
sin(n1t)
其中
an
,
bn
称为傅里叶系数，
1
2
T
。
16
傅里叶系数如何求得
Ci
t2 t1
f
(t
)
i
(t
)dt
t2
t1
i
2
(
t
)dt
1 Ki
t2 t1
f
(t
)
i
(t
)dt
式中： Ki
t2
t1
i
2
(t
)dt
an
2 T
T
2 T
f (t) cos(n1t)dt
2
a0 2
,
1 T
0 T
2
(1)
cos(n1t
)dt
2 T
T
2 0
cos(n1t
)dt
23
0
T
1
n1
2 T
sin(n1t
)
T 2
2 T
1
n1
sin(n1t
)
2 0
1
2
T
an
0
n 0,1, 2,3,L
24
bn
2 T
T
2 T
f (t) sin(n1t)dt
2
2 T
0 T
2
(1)
sin(n1t
)dt
2 T
T
2 0
26
T
T
0
T/ 2
t
0
T/ 2
t
(a)基波
(b)基波+三次谐波
0
T/ 2
Tt
0
T/ 2
Tt
(c)基波+三次谐波+五次谐波 (c)基波+三次谐波+五次谐波+七次谐波
27
（1）所取项愈多，合成波形（除间断点外）愈接近于 原方波信号。
（2）所取项数愈多，在间断点附近，尖峰愈靠近间断 点。 （3）即使 n ，在间断点处尖峰仍不能与之吻合，
任意非周期信号可以表示为一系列不同频率的正弦 或虚指数函数积分。
由于这里用于系统分析的独立变量是频率，故称为频域分析。
6
3.1 信号分解为正交函数
信号分解为正交函数的原理与矢量分解为正交矢量的
概念相似。
y
A C1vx C2v y
C2v y
A
v x , v y 为各相应方向的正交单位矢量。 C1vx
sin(n1t
)dt
0
T
2 T
1
n1
cos(n1t)
T 2
2 T
1
n1
[ cos(n1t)]
2 0
1 [1 cos(n )] 1 [ cos(n )] 1
n
n
n
2
n
[1
cos(n
)]
0 4
n
, n 2, 4, 6,8,L , n 1,3,5, 7,L
25
an 0 n 0,1 , 2 , 3,.......
❖ 5、卷积和 卷积和的基本概念和意义；通过定义、性质以及图解法和不进位乘法熟练进行求解的 方法和步骤。
2
第三章主要内容
❖3.1 信号分解为正交函数 (一般了解） ❖3.2 傅里叶级数 ❖3.3 周期信号的频谱 ❖3.4 非周期信号的频谱（傅里叶变换） ❖3.5 傅里叶变换的性质 ❖3.6 卷积定理 ❖3.7 周期信号的傅里叶变换 ❖ 3.8.抽样信号的傅里叶变换与取样定理
Q e t1T
jn1t
t1
e jn1t
dt 0
e t1T
jn1t
t1
e jn1t
dt T
T 2 1
为指数函数的公共周期
mn
当n , e jn1t 为一完备的正交函数集
12
信号分解为正交函数
设有n个函数 1(t) ,2 (t) , .... ,n (t) 在区间 (t1 , t2 ) 构成
x
它们组成一个二维正交矢量集。
矢量正交分解的概念可以推广到信号空间，在信号空 间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使得信 号空间中的任意信号均可表示成它们的线性组合。
7
矢量正交集
❖ 矢量正交的定义
矢量 Vx (Vx1,Vx V 2, x3 ) 和 Vy (Vy1,Vy V 2, y3 )
内积为零，即
t2
t1
i
(t
)
j
(t
)dt
0, ki 0,
i j i j
k i 为常数，则称函数集 1(t)......... n(t) 为区间
[t1, t2 ]内的正交函数集。
9
完备正交函数集
如果在正交函数集 1(t)......... n (t) 之外不存在函数
(t) 满足等式
t2
t1
i
(
t
)
0 ,
bn
4
n
,
n 2 , 4 , 6 , 8 ,...... n 1 , 3 , 5 , 7 ,.....
f (t) 4
sin(1t
)
1 3
sin(31t
)
1 5
sin(51t
)
L
1 n
sin(n1t
)
L
n 1,3,5,L
它仅含有一、三、五、七.... 等奇次谐波分量。
如下页图所示，是用有限项傅里叶级数来逼近的情况：
t 1T
（3）在一周期内， f (t)dt t1
电子技术中的周期信号大都满足狄里赫利条件条件，当
f(t)满足狄里赫利条件时，an, bn, cn 才存在。
21
结论：周期信号可分解为各次谐波分量之和。
n 一般而言 An cos(n1t n ) 称为 次谐波 ，An
是 n 次谐波的振幅， n是其初相角。
an
An cos n
,
n 1 , 2 , ......
bn An sin n , n 1 , 2 , ......
n 可见，An 是 的偶函数，即有 n 19
可见，任何满足狄里赫利条件的周期信号均可分解为
直 流分量
A0 2
，一次谐波或基波
8
正交函数集
（1）正交函数 在 [t1, t2 ] 区间上定义的非零实函数
1(t)和 2 (t ) 若满足条件
t2
t1
1
(t
)
2
(t
)dt
0
则函数 1(t)与 2 (t )为在区间 [t1, t2 ] 的正交函数。
（2）正交函数集 在区间 [t1, t2 上] 的n个函数（非
零）1(t) …… n(t) ,其中任意两个均满足
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傅里叶变换
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1
上一章（线性时不变系统的时域分析）回顾
❖ 上一章其实质是在时域中进行系统分析的任务，也就是说解决在给定的时域输入信号 激励作用下，系统在时域中将产生什么样响应的问题。之所以称为时域分析，是由于 在系统分析的过程中，所涉及的函数变量均为时间t，故这一方法称之为“时域分析 法”。该方法比较直观，物理概念清楚，是学习各种变换域分析法的基础。主要内容， 可概括为如下几个方面：
A1 cos(1t 1)
(它
的角 频率与原周期信号相同)，二次谐波A2 cos(21t 2 )，
以此类推，三次，四次等谐波。
n 一般而言 An cos(n1t n ) 称为 次谐波 ，An
是 n 次谐波的振幅， n是其初相角。
20
狄里赫利条件
（1）在一周期内，间断点的数目有限； （2）在一周期内，极大、极小值的数目有限；
f
(t)
A0 2
A1 cos(1t
1)
A2
cos(21t
2) L
A0 2
n1
An cos(n1t n )
22
例3.2-1 将下图中的方波信号展开为傅里叶级数
解：
f
(t)
a0 2
an
n1
cos(n1t)
bn
n1
sin(n1t )
2
an T
T
2 T
f (t) cos(n1t)dt
2
2 T
一个正交函数空间。将任一函数 f (t)用这 n 个正交函数的
线性组合来近似，可表示为：
n
f (t ) C11(t ) C2 2 (t ) ...... Cn n (t ) C j j (t ) j1
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根据最小均方误差原则，可推出：
Ci
t2 t1
f
(t
)
i
(t
)dt
t2
t1
❖ 1、时域分析的基本概念 系统时域响应的概念和四种主要响应形式。
❖ 2、离散系统的时域分析 差分和差分方程的含义和建立；差分方程的经典解法，以及各种响应的具体求解。
❖ 3、单位冲击响应与单位样值响应 单位冲击响应和单位样值响应的概念和实质；通过微分方程或差分方程的求解方法。
❖ 4、卷积积分 卷积积分的基本概念和意义；采用定义法和图解法进行求解的方法和步骤；卷积积分 的重要性质。
4
变换域
❖ 变换域一般指：频域、S域和Z域；也就是通过各种数学变 换，将时域的信号与系统变换到频域、S域和Z域中进行分 析和观察，这样不仅能够简化信号与系统在时域分析中的 复杂计算，更主要的是：可以观察到信号与系统在时域分 析中所无法看到的一些奇妙的现象和特性，从而可以多角 度地对信号与系统有更深刻的认识和更全面的把握。
e jn1t （n 0, 1, 2L )
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