圆的相关概念及垂径定理

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九年级圆垂径定理知识点

九年级圆垂径定理知识点圆垂径定理是数学中的一个重要定理，它是研究圆的性质和应用的基础。

本文将详细介绍九年级圆垂径定理的相关知识点，帮助你更好地理解和应用这一定理。

一、圆垂径定理的概述圆垂径定理是指：在一个圆中，如果一条直径垂直于另一条弦，那么它一定是这条弦的垂直平分线。

二、圆垂径定理的证明为了证明圆垂径定理，我们可以采用几何证明和代数证明两种方法。

1. 几何证明假设圆的中心为O，半径为r，直径AB垂直于弦CD。

我们需要证明AO = BO。

首先，连接AC和BC，并设AC = x，BC = y。

根据圆的性质，我们知道AO = r，BO = r，AC = BC = r。

又因为AO垂直于CD，所以∠ACO = ∠BCO = 90°。

由三角形的性质可知，AO² = AC² - CO²，BO² = BC² - CO²。

代入已知条件，我们可以得到r² = x² - CO²，r² = y² - CO²。

通过这两个等式，我们可以得到x² - CO² = y² - CO²，即x² = y²。

进而，我们可以得知x = y，即AC = BC。

所以，根据直角三角形的特性，AO = BO，也就是说AO = BO = r。

因此，根据圆的定义，我们可以得出圆垂径定理的结论。

2. 代数证明我们也可以采用代数方法证明圆垂径定理。

设圆的方程为x² + y² = r²（其中，O为坐标原点）。

直径AB垂直于弦CD，且AB的斜率k存在。

根据直线的斜率公式，可以得到直线AB的方程为y = kx。

将直线AB的方程代入圆的方程中，我们可以得到x² + (kx)² =r²。

简化这个方程，可以得到x² + k²x² = r²。

与圆有关的定理

与圆有关的定理
圆的定理：1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。

2、垂径定理：垂直弦的直径平分该弦，并且平分这条弦所对的两条弧。

3、切线定理：垂直
于过切点的半径；经过半径的外端点，并且垂直于这条半径的直线，是这个圆的切线。

1、公切线长定理：如果两圆有两条外公切线或两条内公切线，那么这两条外公切线
长相等，两条内公切线长也相等。

如果他们相交，那么交点一定在两圆的连心线上。

2、切线短定理：从铅直一点至圆的两条切线的长成正比，那点与圆心的连线平分切
线的夹角。

4、割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积
相等。

5、垂径定理：旋转轴弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。

6、弦切角定理：弦切角等于对应的圆周角。

(弦切角就是切线与弦所夹的角）。

7、圆心角定理：在同圆或等圆中，成正比的圆心角所对弧成正比，面元的弦成正比，面元的弦的弦心距成正比。

8、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

9、平行弦定理：圆内两条弦平行，被交点分为的两条线段长的乘积成正比。

10、定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。

11、定理：任何正多边形都存有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆就是同心圆。

12、定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。

13、定理：把圆分为n(n≥3)：。

圆的基本概念和垂径定理

【练】某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为 7.2 米，拱顶高出水面 2.4 米。现有一艘宽 3 米、船舱顶部为方形并高出水面 2 米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？ M C N
A
3
E
D
B F
【作业】 1、一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径 OB=10，截面圆圆心 O 到水面的距离 OC 是 6，则水面宽 AB 是（） A、16 B、10 C、8 D、6 2、如图，⊙O 的弦 AB 垂直平分半径 OC，若 AB= 6，则⊙O 的半径为（ A、 2 的弦，半径 OC、OD 分别交 AB 于点 E、F，且 AE=BF，请你找出线段 OE 与 OF 的数量关系，并给予证明．
【练】如图，已知 AB 是⊙O 的弦，半径 OA=20cm，∠AOB=120° ，求△AOB 的面积．
【例 4】如图所示，⊙O 表示一个圆形工件，图中标注了有关尺寸，并且 MB:MA＝1:4，求工件的半径的长。
A
中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在⊙ O 中，∵ AB ∥ CD ∴弧 AC 弧 BD
C O A B
C B
D
O E D
【例题解析】【例 1】如图所示， P 为弦 AB 上一点， CP⊥OP 交⊙O 于点 C， AB＝8， AP:PB＝1:3，求 PC 的长。 P O B
4
10、如图， ⊙O 的直径 AB 与弦 CD 交于点 E， AE=5， BE=1， CD=4 2，则∠AED=
_________ ．
11、如图，已知 AB 是⊙O 的弦，半径 OA=6cm，∠AOB=120° ，则 AB= _________ cm．

数学-初三-圆的相关概念与垂径定理

精锐教育1对1辅导讲义学员：学科教师：年级：辅导科目：主题：圆基本概念与垂径定理授课时间：学习目标1、掌握圆的相关基本概念2、运用垂径定理解决问题教学容1、圆是如何确定的？大小怎么判定？2、圆中有哪些概念？3、垂径定理如何应用？【知识梳理1】圆的确定定理同圆或等圆中半径相等1.点与圆的位置关系圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合。

圆的部是到圆心的距离小于半径的点的集合。

圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合。

点P 与圆心的距离为d ，则点P 在直线外⇔r d >；点P 在直线上⇔r d =；点P 在直线⇔r d <。

【例题精讲】例1.如图，圆O 的半径为15，O 到直线l 的距离OH =9，P 、Q 、R 为l 上的三点.PH =9，QH =12，RH =15，请分别说明点P 、Q 、R 与圆O 的位置关系.【试一试】1.矩形ABCD 中，AB ＝8，35BC =，点P 在边AB 上，且BP ＝3AP ，如果圆P 是以点P 为圆心，PD 为半径的圆，那么下列判断正确的是（）．(A) 点B 、C 均在圆P 外； (B) 点B 在圆P 外、点C 在圆P ； (C) 点B 在圆P 、点C 在圆P 外； (D) 点B 、C 均在圆P ．2.如图所示，已知ABC ∆，90ACB ∠=o，12AC =，13AB =，CD AB ⊥于点D ，以C 为圆心，5为半径作圆C （）A .点D 在圆，B A 、在圆外 B .点D 在圆，点B 在圆上，点A 在圆外C .点B 、D 在圆，A 在圆外 D .点D 、B A 、都在圆外2. 过三点的圆1.不在同一直线上的三点确定一个圆。

2.经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的接三角形。

例2.如图，作出»AB所在圆的圆心，并补全整个圆.【试一试】1.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商定去的一块玻璃片应该是（）A.第①快B.第②快C.第③快D.第④快2.三角形的外心一定在该三角形上的三角形是（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形【知识梳理2】圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系1.圆心角：顶点在圆心的角。

初中数学常见的命题和定理垂径定理

初中数学中，垂径定理是一个常见且重要的命题和定理，它在解决相关几何问题中起到了关键的作用。

下文将从垂径定理的概念入手，深入解析其原理和应用，并列举一些相关的例题，以便读者更加深入地理解和掌握这一重要定理。

一、垂径定理的概念垂径定理是指：如果在一个圆上，直径的两端连接圆上任意一点，那么这两条线段所夹的角都是直角。

简而言之，垂径定理可以理解为描述直径和圆上一点所构成的角是直角的规律。

二、垂径定理的证明1. 引理：直径是任意一点的最短距离。

这是基本的几何定理，无需证明。

2. 证明：设在圆上有直径AB，圆上的一点C。

连接AC和BC两条线段。

假设∠ACB不是直角，而是锐角或钝角。

那么，以AC为直径作圆，由于ACB不是直角，必定有另一个点D在圆上，使得∠ADB是锐角或钝角。

根据引理，AD+DB要小于或等于AE+EB，而AE+EB等于AB，所以AD+DB小于或等于AB，这与AD+DB等于AB矛盾。

由此可知，∠ACB必须是直角。

三、垂径定理的应用垂径定理在实际问题中有着广泛的应用。

通过运用垂径定理，我们可以解决许多与圆相关的问题，如圆的切线问题、直线与圆的位置关系问题等。

1. 圆的切线问题由垂径定理可知，连接圆上点和圆心构成的线段为直径，因此连接切点和圆心的线段垂直于切线。

这一性质是圆的切线问题得以解决的基础。

2. 直线与圆的位置关系问题利用垂径定理，可以判断直线与圆的位置关系。

当直线与圆相切时，由于切点和圆心连线垂直于切线，可根据垂径定理得出直线与圆相切的结论。

四、垂径定理的例题1. 已知AB是⊙O的直径，C,D是圆周上的两点，AC与BD相交于E，割⊙O的弦AE与BE的关系为（）A. AE=BEB. AE>BEC. AE<BED. 无法确定解析：根据垂径定理可知，连接圆上点和圆心构成的线段为直径，因此以AE为直径的⊙O必定经过B点，以BE为直径的⊙O必定经过A 点，所以EA=EB。

2. 如图，在直径AB上取一点C，过点C作弦CD，与⊙O交于点E，连接AE、EB，若CD与AB垂直，求证：AC=CB。

第三章对圆的进一步认识【知识梳理】

第三章《对圆的进一步认识》（知识梳理）【思维导图】⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩圆的有关概念轴对称性，垂径定理圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系有关概念及性质圆的有关性质圆心角定理旋转不变性圆周角定理圆内接四边形点和圆的位置关系点和圆的位置关系过不在同直线上的三点作圆三角形的外接圆相离\相交切线的性质直线和圆的位置关系切线的判定相切切线长及切线长定理三角形的内切圆圆正多边正多边形和圆2222ππ11802ππ360ππR n C R n l R S lR R n S R n S R S rl S S S r ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎫⎫︒⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎪⎩=⎬︒⎧⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩⎭=⎫⎪=+⎬=⎪⎭扇形扇形侧全侧底底形的定义正多边形和圆正多边形的判定及性质正多边形的有关计算正多边形及有关计算半径为的圆中，的圆心角圆的周长所对的弧长为=半径为的圆中，圆心角为圆中的有关计算圆的面积的扇形面积为圆锥的侧面积圆锥的全面积圆锥的底面积S ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎩⎩实际应用【知识清单】知识点一:圆的定义（一）描述性定义：在平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫作圆。

固定的端点O 叫作圆心，线段OA 叫作半径。

以点O 为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．A（二）集合性定义：圆是到定点的距离等于定长的点的集合，圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的点的集合。

圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合。

（三）圆的特征1.圆上各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）；2.到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。

点拨（1）圆指的是“圆周”，即一条封闭的曲残，而不是“圆面”。

(一) 圆的相关概念及垂径定理

AODBCAO（一）圆的相关概念及垂径定理一、知识梳理（一）圆的有关概念1.圆的基本概念：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆。

固定点O 叫做圆心；线段OA 叫做半径；圆上各点到定点（圆心O ）的距离都等于定长(半径r)；反之，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上（另一定义）；以O 为圆心的圆，记作“⊙O ”，读作“圆O ”2.圆的对称性及特性：(1)圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴; (2)圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心.(3)一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合.这是圆特有的一个性质:圆的旋转不变性 3.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。

4．弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距． 5.直径：经过圆心的弦叫直径。

注：圆中有无数条直径6.圆弧：(1)圆上任意两点间的部分，也可简称为“弧”以A,B 两点为端点的弧.记作AB ⋂,读作“弧AB”. (2)圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，其中每一条弧都叫半圆。

如弧AD. (3)小于半圆的弧叫做劣弧,如记作AB ⋂(用两个字母). 7．圆心角：顶点在圆心，两边和圆相交的角叫做圆心角。

说明：（1）直径是弦，但弦不一定是直径，直径是圆中最长的弦。

（2）半圆是弧，但弧不一定是半圆。

（3）等弧只能是同圆或等圆中的弧，离开“同圆或等圆”这一条件不存在等弧。

（4）等弧的长度必定相等，但长度相等的弧未必是等弧。

（二）弦、弧、弦心距、圆心角的关系定理：在同圆或等圆中，弦、弧、弦心距、圆心角四组量中只要有一组量相等，则其余三组量也相等。

（三）和圆有关的角：1、圆周角：顶点在圆上，它的两边和圆还有另一个交点的角叫做圆周角。

2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

新人教版初中数学一元二次方程圆全章复习知识点及讲义

新人教版初中数学圆全章复习知识点及讲义圆内容简介：1、圆的相关概念；2、垂径定理；3、圆心角、圆周角定理；4、与圆有关的位置关系；5、切线及切线长定理；6、弧长及扇形面积。

【知识要点1】圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

【知识要点2】点与圆的位置关系1、点在圆内⇒d r<⇒点C在圆内；2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上；3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；【知识要点3】直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；第 1 页共8 页第 2 页共 8 页【知识要点4】圆与圆的位置关系外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+；外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+；相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+；内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-；内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；图1【知识要点5】垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。

初三数学圆——圆的认识及垂径定理(教案)

圆的认识及垂径定理【知识导图】知识梳理知识点一圆的认识（弦，弧）1、什么叫弦？直径与弦的关系？弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，直径是过圆心的弦，但弦不一定是直径.2、什么叫弧？什么叫优弧？什么叫劣弧？什么是等弧？弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，大于半圆的叫优弧，小于半圆的叫劣弧，能够完全重合的两条弧叫等弧.3、圆的对称性质？作为轴对称图形，其对称轴是？圆即是轴对称图形也是中心对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.知识点二垂径定理1、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．已知：直径CD 、弦AB 且CD ⊥AB 垂足为M求证：，⌒AC =⌒BC ，⌒AD =⌒BD.分析：要证，只要证AM 、BM 构成的两个三角形全等．因此，只要连结OA、BM AM=BM AM =OB 或AC 、BC 即可．证明：如图，连结OA 、OB ，则OA=OB在和中∴∴∴点A 和点B 关于CD 对称∵⊙O 关于直径CD 对称∴当圆沿着直线CD 对折时，点A 与点B 重合，⌒AC 与⌒BC 重合，⌒AD 与⌒BD 重合．∴⌒AC =⌒BC ，⌒AD =⌒BD进一步，我们还可以得到结论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理推论：1、推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论扩展推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

2、垂径定理及其推论可概括为OAM Rt ∆OBM Rt ∆⎩⎨⎧==OM OM OB OA OBM Rt OAM Rt ∆≅∆BM AM=考点解析类型一圆的认识（弦、弧）【例题1】下列五个命题：（1）平分弦的直径必垂直于弦（2）圆是轴对称图形，对称轴是直径（3）圆中两点之间的部分叫做弧（4）长度相等的两条弧叫等弧（5）直径是过圆心的弦，但弦不一定是直径其中真命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】（1）平分弦（不是直径）的直径必垂直于弦，故原命题是假命题，（2）圆的对称轴是直径所在的直线，故原命题是假命题，（3）圆上两点之间的部分叫做弧，故原命题是假命题，（4）能够完全重合的两条弧叫等弧，故原命题是假命题，（5）直径是过圆心的弦，但弦不一定是直径，原命题是真命题，其中真命题有1个．故选；A．【总结与反思】本题考查圆的相关概念及垂径定理，理解概念及定理即可解决，要求学生掌握圆的相关概念及垂径定理内容。

圆(-)园的定义、垂径定理、圆心角定理

第一节：圆的有关性质一、两个定义二、两个元素三、三个区域；四、四个概念：五；两种圆：六、两条性质：辅助线的作法：作出半径，作出直径练习： .求证：直径是圆中的最大的弦。

已知：AB 是圆O 的直径，CD 是弦，CD 不经过点O 。

求证：AB >CD发生性定义：一条线段绕着它的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形，就叫做圆同圆或等圆中的半径或直径相等描述性定义：到定点的距离等于定长的所有点所组成的图形叫做圆圆心---- 决定位置半径---- 决定大小圆的内部 d< r圆上 d=r圆的外部 d>r 弦----直径弧----半圆---优弧-----劣弧弦心距弓形-----弓高同心圆：:圆心相同，半径不等的两个的圆等圆：圆心不同，半径不等的两个圆 .同圆或等圆中，直径是半径的2倍。

·ADC B第二节：垂径定理一．圆的轴对称性：二．如图所示，根据圆的轴对称性体会，当直径AB 垂直CD 时，找出图中相等的线段，相等的弧，是不是轴对称呢？三．垂径定理：几何推理语言：垂径定理的推论：几何推理语言：三．垂径定理的应用：1.定理的基本图形是：2.常见的辅助线的作法：（思路）（1）作弦心距 ―― 过点O 作OD ⊥AB 于D ―― 使用垂径定理。

（2）连出半径 ―― 构成直角三角形 ―― 使用勾股定理。

3．习题类型：A.证明题B.计算题C.作图题。

4.练习题：1．在⊙O 中，AB 、AC 是互相垂直的两条弦， AB ＝8cm ，AC ＝6cm 求⊙O 的半径OA 的长？ABAB DODA B·OABDCA P ODC E O AD B 2. 已知：AB 交圆O 于C 、D ，且AC ＝BD.你认为OA ＝OB 吗？为什么？3. 如图所示，是一个直径为650mm 的圆柱形输油管的横截面，若油面宽AB=600mm ，求油面的最大深度。

4.如图所示，OA 是圆O 的半径，弦CD ⊥OA 于点P ，已知OC=5，OP=3，求弦CD 的长。

第13讲圆的概念与垂径定理(点题名师班讲义)

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2018 年暑期九年级数学点题名师讲堂
传授秘笈，助你扬帆！
【例 7】等腰△ABC 内接于半径为 5 的⊙O，点 O 到底边 BC 的距离为 3，则 AB 的长为
．
【变 1】如图扇形 AOB 的圆心角∠AOB＝90°，半径为 5，正方形 CDEF 内接于该扇形，则正方形 CDEF
的边长为
.
【变 2】如图，正方形 ABCD 的顶点 A，D 和正方形 JKLM 的顶点 K，L 在一个以 5 为半径的⊙O 上，点 J， M 在线段 BC 上．若正方形 ABCD 的边长为 6，求正方形 JKLM 的边长．
点 B 不重合），且 CE⊥CD 交 AB 于 E，DF⊥CD 交 AB 于 F．（1）求证：AE＝BF；（2）在动弦 CD 滑动过程中，四边形 CDFE 的面积是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请
予以证明并求出这个定值．
FB
E
A
O
C
D
【例 5】如图，已知 AB，CD 是⊙O 内两条相互垂直的弦，垂足为 K，⊙O 的半径为 5，且 AB＝CD＝8，求 OK，KD 的长度．
（2）圆的旋转对称性圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系．
2. 轴对称性
（1）圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线是它的对称轴．（2）圆的轴对称性垂径定理．
三、圆的性质定理
1. 垂径定理
（1）定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）推论 1： ①平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． ③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
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圆的相关概念及垂径定理

学习目标：通过研究圆的基本性质，重点掌握垂径定理及其推论，圆心角与弧、弦的关系的定理及其推论.学法建议：圆是平面几何知识中接触到的唯一的曲线形，因此它在研究问题的方法上与直线形有很大的不同，所以在学习这部分知识时要注意这个问题.另外，这一章的概念和定理较多，学习时要注意阶段性的小结，巩固每一阶段的知识.由于本章要经常用到前面学过的许多知识，综合性较强，所以要不怕困难，才能学好本章.学习内容精析：一、圆的定义在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆．固定的端点O叫圆心，线段OA叫半径．以O为圆心的圆记作：⊙O，读作：圆O．圆心为O，半径为r的圆，可以看作是所有到定点O距离等于定长r的点组成的图形．要确定一个圆，需要定圆心、定半径．圆心相同的圆叫同心圆．半径相等的几个圆叫等圆．问题：为什么车轮做成圆形?把车轮做成圆形，车轮上各点到圆心的距离都等于圆的半径，当车轮在地面上滚动的时候，车轮中心与平面的距离保持不变，因此，当车在平坦的路上行驶时，坐车的人会感到非常平稳．二、圆的有关概念连接圆上任意两点的线段叫做弦．过圆心的弦叫做直径，直径是半径的两倍，直径是圆中最长的弦．圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作，读作弧AB．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆，任意一条非直径的弦的两个端点把圆分成两条弧，大于半圆的叫做优弧，小于半圆的叫做劣弧．为了区分，一般优弧用三个大写字母表示，记作.一条弦对两条弧．能够完全重合的两条弧叫做等弧．等弧包含着两层意思，既要弧度等，又要长度等，所以等弧只在同圆或等圆中出现．例1：如图，A、B、C为⊙O上的三点，AB为直径，OD⊥BC于D，OD=3，求弦AC的长度.分析：图中有什么基本图形?有什么基本图形中的元素?猜想已知线段与所求线段有什么关系?需要什么?解：连接OC∵OC=OB，OD⊥BC于D∴BD=DC∵BO=OA∴AC=2OD=6小结：1．同圆或等圆的半径相等，是圆中一个隐藏的数量关系，在同圆中，见到两条半径就要想到等腰三角形．2．圆中计算和证明的难点，在于直线形中的定理和圆中的定理的综合运用，见到一条线段或一个角要分析是圆中的什么元素，是直线形中的什么元素，并在两种基本图形之间进行转化．圆中的特殊的数量关系提供条件，在直线形中进行计算，是这一章计算问题的常规思路．三、圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴．我们在一个圆中任画一条直径并沿之折叠，直径左右两个半圆能够完全重合．如图，CD是⊙O的直径，点C、D的对称点是它本身，一个半圆上任取一点A，另一个半圆上一定有一个点B与之对称．四、垂径定理：观察图形：AB是⊙O的一条弦，作直径CD⊥AB于E，这个图形是轴对称图形吗?对称轴是谁?图中有哪些相等的线段和弧?你能证明你的结论吗?已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB于E．求证：AE=EB，，．证明：连结OA、OB，则OA=OB∵CD⊥AB∴直线CD是等腰△OAB的对称轴，又是⊙O的对称轴∴沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合，、分别和、重合∴AE=BE，，．从而得到圆的一条重要性质：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．几何符号语言表述：⊙O中，∵CD是直径，AB是弦，CD⊥AB于E∴AE=EB，，．分析定理：这个定理的条件、结论分别是什么?为了便于理解可以叙述为：如果一条直线满足过圆心、垂直弦，一定可以平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧．主语是一条直线，两个条件推三个结论．可以利用垂径定理来证明线段等和弧等．垂径定理的推论：如果把定理的条件和结论换一换：如果一条直线过圆心、平分弦(不是直径)，会得到什么结论?平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．几何符号语言表述：⊙O中，∵CD是直径，AB是非直径的弦，AE=EB∴CD⊥AB于E，，．为了便于理解可以叙述为：如果一条直线满足过圆心、平分弦(非直径)，一定可以垂直弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧．需要特别注意：“平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”这句话对吗?为什么?垂径定理及推论是圆的轴对称性的具体体现，用来证明线段等、弧等、垂直关系．例2：(1)如何把一条弧二等分?分析：利用圆的轴对称性，点A、点B为对称点，对称轴是对应点连线的垂直平分线，所以作弦AB的垂直平分线就可以把弧二等分．思考：如何把一条弧四等分?(2)利用上面的结论，如何确定一条弧的圆心?分析：圆的对称轴即直径所在直线，两条直径的交点即圆心．例3：解决赵州桥的半径问题.分析：首先，把实际问题转化为数学问题桥拱是圆弧形，以O为圆心，R为半径画出一段圆弧表示桥拱，弦AB表示桥的跨度，即AB=37.4米，的中点C到线段AB的距离为7.2米．如何确定点C呢?对于，如果经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，并延长交于点C，那么根据垂径定理可知，OD平分弦AB，0C平分，即C点为的中点，CD就是拱高，这样做出的图形符合题意．解：如图，用表示主拱桥，设AB所在圆的圆心为O，半径为R过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足．OC与相交于点C，则D是AB的中点，C是的中点，CD就是拱高．AB=37.4，CD=7.2AD=AB=18.7OD=OC-CD=R-7.2在Rt△OAD中，即解得R≈27.9(m)因此，赵州桥主拱半径约为27.9米．小结：1．此题的解题思路是，经过圆心作弦的垂线，说明它平分弦且平分弦所对的弧．这是圆中解决弦的有关计算问题的常用辅助线——垂直于弦的直径(半径)．2．解决这类问题时，只要抓住弦长、圆心到弦的距离(弦心距)、弓形高及半径之间的关系，已知其中的两个量，可以求出其它两个未知量．四条线段的长：弦长、圆半径、弦心距d、弓形高h关系：；思路：辅助线构造垂径定理的基本图形，垂径定理和勾股定理相结合．五、圆的旋转不变性：一个圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合．六、圆心角的概念：顶点在圆心的角叫做圆心角．是∠AOB所对的弧，连结AB，弦AB既是圆心角∠AOB也是所对的弦．注意：一个圆心角对一条弧、一条弦．一条弧对一个圆周角、一条弦．但是一条弦对两条弧，两个圆周角．七、研究圆心角以及它们所对的弧、弦之间的关系在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫等弧．下面我们就来尝试利用旋转变换的思想证明．把∠AOB绕O旋转，使与重合，因为，所以射线与射线重合．因为，，所以点A与点重合，点B与点重合．因为圆具有旋转不变性，所以与重合于是有结论：，．这就是圆心角以及它们所对的弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．几何符号语言：⊙O中，∵∴，或∵⊙与⊙是等圆，∴，同样的，在同圆或等圆中，如果两条弧等，还能知道什么相等?在同圆或等圆中，如果两条弦等，还能知道什么相等? ’(弦所对的优弧相等、劣弧相等，优弧所对的弦心角相等、劣弧所对的弦心角相等) 把这三个真命题概括起来，得到定理的推论．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．分析定理：同圆或等圆中圆心角等、弧等、弦等，知一推二．用来找角、线段、弧的相等关系．1．判断题，下列说法正确吗?为什么?(1)因为，所以．错，反例如图．没有同圆或等圆的前提．(2)在⊙和⊙中，如果弦，那么．错一在于没有同圆或等圆中，不能用定理．错二在于同圆或等圆中，也有优弧、劣弧之分．(3)如图，∠1=∠2，则AD=BC错，BC不是弦．2．如图，在⊙O中，，∠1=45°，求∠2的度数．解：∵⊙O中，∴即∴∠2=∠1=45°3．如图，在⊙O中，，∠ACB=60°求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC．证明：∵⊙O中，∴AB=AC∵∠ACB=60°∴△ABC是等边三角形，AB=BC=CA∴∠AOB=∠BOC=∠AOC小结：1．在同圆或等圆中，圆心角、圆心角所对的弧、所对的弦之间的关系定理及推论，这些内容是我们今后证明弧相等、弦相等、角相等的重要依据．2．在运用定理及推论解题时，必须注意要有“在同圆或等圆”这一前提条件．。

九年级圆的垂径定理知识点

九年级圆的垂径定理知识点在九年级的数学学习中，圆的垂径定理是一个非常重要的概念，也是学习圆形的几何性质的关键之一。

在这篇文章中，我们将深入探讨圆的垂径定理的知识点，了解其背后的原理和应用。

一、圆的定义和性质首先，我们需要回顾一下圆的定义和基本性质。

在数学中，圆是由平面上所有到一个固定点的距离相等的点的集合组成。

而这个固定点被称为圆心，半径则是圆心到圆上任意一点的距离。

圆具有很多重要性质，例如任意两点到圆心的距离相等，直径是圆的特殊弦，且它的长度是半径的两倍，而弧则是圆上的一段曲线，它与圆心对应的角叫做圆心角。

二、垂径定理的表述圆的垂径定理是指，如果一个直径和一个弦垂直相交，那么它就是弦的垂径，且它把弦分为两个相等的部分。

或者反过来说，如果一个弦被圆心角所分为两个相等的部分，那么它就与直径垂直相交。

这个定理的表述可能有点晦涩难懂，但是我们可以通过几何图形来直观地理解。

三、垂径定理的证明圆的垂径定理是可以通过简单的几何推导证明的。

假设有一个圆，圆心为O，直径为AB，弦为CD垂直于直径AB于点E。

我们需要证明CE = DE。

首先，连接AC和BD，并假设它们交于点F。

由于CD垂直于AB，所以CDE是一个直角三角形。

而由于圆心角的性质，角COD的度数是弦CD对应的角，即∠COE。

由于COE和COD是同位角，所以它们的度数相等，即∠COE = ∠COD。

而∠COD是一个直角，所以∠COE也是一个直角。

因此，我们可以得出结论，CE与DE相等，即CE = DE，证明了定理。

四、垂径定理的应用垂径定理在实际学习和应用中非常有用。

例如，在解决证明问题时，我们可以利用垂径定理来简化问题和推导证明过程。

此外，垂径定理还与圆的切线有着密切的关系。

当一个直径与一个切线相交时，由于切线与半径垂直，我们可以通过垂径定理得出切线与直径相交的两点的性质。

最后，垂径定理也与三角形的性质相关。

当我们在一个三角形内有一个圆时，利用垂径定理可以推导得出一些重要的三角形性质，如内切圆和外接圆的性质等。

圆的有关概念及性质

圆的有关概念及性质【2 】【基本常识回想】一、圆的界说及性质：1、圆的界说：⑴形成性界说：在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O扭转一周,另一个端点A随之扭转形成的图形叫做圆,固定的端点叫线段OA叫做⑵描写性界说：圆是到定点的距离等于的点的聚集2.弦与弧：弦：衔接圆上随意率性两点的叫做弦弧：圆上随意率性两点间的叫做弧,弧可分为..三类3.圆的对称性：⑴轴对称性：圆是轴对称图形,有条对称轴,的直线都是它的对称轴⑵中间对称性：圆是中间对称图形,对称中间是【提示：1.在一个圆中,圆心决议圆的半径决议圆的2.直径是圆中的弦,弦不必定是直径;3.圆不仅是中间对称图形,并且具有扭转性,即绕圆心扭转随意率性角度都被与本来的图形重合】二、垂径定理及推论：1.垂径定理：垂直于弦的直径,并且等分弦所对的.2.推论：等分弦（）的直径,并且等分弦所对的.【提示：1.垂径定理及其推论本质是指一条直线知足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶等分弦⑷等分弦所对的优弧⑸等分弦所对的劣弧五个前提中的两个,那么可推出其余三个,留意解题进程中的灵巧应用2.圆中常作的帮助线是过圆心作弦的线（即弦心距）.3.垂径定理常用作盘算,在半径r.弦a.弦心d和弓高h中已知个中两个量可求别的两个量.】三.圆心角.弧.弦之间的关系：1.圆心角界说：极点在的角叫做圆心角2.定理：在中,两个圆心角.两条弧.两条弦中有一组量它们所对应的其余各组量也分离【提示：留意：该定理的前提前提是“在同圆或等圆中”】四、圆周角定理及其推论：1.圆周角界说：极点在并且双方都和圆的角叫圆周角2.圆周角定理：在同圆或等圆中,圆弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的推论1.在同圆或等圆中,假如两个圆周角那么它们所对的弧推论2.半圆（或直弦）所对的圆周角是,900的圆周角所对的弦是【提示：1.在圆中,一条弦所对的圆心角只有一个,而它所对的圆周角有个,是类,它们的关系是,2.作直径所对的圆周角是圆中常作的帮助线】五、圆内接四边形：界说：假如一个多边形的所有极点都在圆上,这个多边形叫做,这个圆叫做.性质：圆内接四边形的对角.【重点考点例析】考点一：垂径定理例1（2015•舟山）如图,⊙O的半径OD⊥弦AB于点C,贯穿连接AO并延伸交⊙O于点E,贯穿连接EC．若AB=8,CD=2,则EC的长为（）A．215B．8 C．210D．213对应练习1．（2015•南宁）如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点E,且AE=CD=8,∠BAC=12∠BOD,则⊙O的半径为（）A．42B．5 C．4 D．3考点二：圆周角定理例2 （2015•自贡）如图,在平面直角坐标系中,⊙A经由原点O,并且分离与x轴.y轴交于B.C 两点,已知B（8,0）,C（0,6）,则⊙A的半径为（）A．3 B．4 C．5 D．8对应练习2．（2015•珠海）如图,▱ABCD的极点A.B.D在⊙O上,极点C在⊙O的直径BE上,∠ADC=54°,衔接AE,则∠AEB的度数为（）A．36°B．46°C．27°D．63°7．（2015•威海）如图,CD为⊙O的直径,CD⊥AB,垂足为点F,AO⊥BC,垂足为点E,AO=1．（1）求∠C的大小;（2）求暗影部分的面积．演习：1．（2015•张家界）如图,⊙O的直径AB与弦CD垂直,且∠BAC=40°,则∠BOD=80°．2．（2015•盐城）如图,将⊙O沿弦AB折叠,使AB经由圆心O,则∠OAB= 30°．3．（2015•绥化）如图,在⊙O中,弦AB垂直等分半径OC,垂足为D,若⊙O的半径为2,则弦AB的长为．4．（2015•株洲）如图AB 是⊙O 的直径,∠BAC=42°,点D 是弦AC 的中点,则∠DOC 的度数是48度．5．（2015•广州）如图,在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,点P 在第一象限,⊙P 与x 轴交于O,A 两点,点A 的坐标为（6,0）,⊙P 的半径为13,则点P 的坐标为（3,2）．三.解答题1（2016·山东潍坊）正方形ABCD 内接于⊙O,如图所示,在劣弧上取一点E,衔接DE.BE,过点D 作DF ∥BE 交⊙O 于点F,衔接BF.AF,且AF 与DE 订交于点G,求证：（1）四边形EBFD 是矩形; （2）DG=BE ．2.（2015•浙江省台州市,第22题）如图,四边形ABCD 内接于⊙O,点E 在对角线AC 上,EC=BC=DC（1）若∠CBD=39°,求∠BAD 的度数（2）求证：∠1=∠23.AB 是⊙O 的一条弦,OD AB ⊥,垂足为C ,交⊙O 于点D ,点E 在⊙O 上．（1）若52AOD ∠=,求DEB ∠的度数; （2）若3OC =,5OA =,求AB 的长．4．（2015•贵阳）已知：如图,AB 是⊙O 的弦,⊙O 的半径为10,OE.OF 分离交AB 于点E.F,OF EO的延伸线交⊙O 于点D,且AE=BF,∠EOF=60°．（1）求证：△OEF 是等边三角形;（2）当AE=OE 时,求暗影部分的面积．（成果保留根号和π）22．（2015•黔西南州）如图,AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB 与点E,点P 在⊙O上,∠1=∠C,（1）求证：CB ∥PD;（2）若BC=3,sin ∠P=35,求⊙O 的直径．常识点2：点和圆的地位关系如设⊙O 的半径为r,点P 到圆的距离为d,则有：点P 在圆外⇔d ___ r 点P 在圆上⇔d ___ r 点P 在圆内⇔d ___ r①经由一点P 可以作_______个圆;经由两点P.Q 可以作________•个圆,圆心在_________上;经由不在统一向线上的三个点可以作________个圆,圆心是________的交点． ②直角三角形的外心是________的中点,锐角三角形外心在三角形的 ____________,钝角三角形外心在三角的___________．③经由三角形的三个极点可以做一个圆,这个圆叫做三角形的______圆．外接圆的圆心是三角形三条边________________线的交点,这个点叫做这个三角形的___________．1.例1 （1）已知⊙O 的直径为10cm,有一点P 到圆心O 的距离为3cm,求点P 与圆有何地位关系？（2）如有一点M 到某圆的最大距离为8cm,最小距离为2cm,求这个圆的半径． 3.不在统一条直线上的三个点肯定一个圆经由三角形三个极点可以画个圆,并且只能画个．叫做三角形的外接圆．叫做这个三角形的外心,这个三角形叫做这个圆的．三角形的外心就是r dd CBAO的交点,它到的距离相等4.例2．某地出土一明代完整圆形瓷盘,如图所示．为复制该瓷盘要肯定其圆心和半径,请在图顶用直尺和圆规画出瓷盘的圆心．作法提示：可联想垂径定理的逆定理：弦的垂直等分线必经由____________,并等分弦所对的两条_____________．5.例3.已知Rt△ABC中,∠C＝90°,AC＝5cm,BC＝12cm,求△ABC的外接圆半径．6.例4.如图,等腰△ABC中,AB=AC=13cm,BC＝10cm,求△ABC外接圆的半径．例2。

圆知识点汇总

圆知识点汇总（一）一、圆、垂径定理1、圆的定义及表示法（1）圆的定义1：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点A随之旋转所成的图形叫做圆。

固定的端点O叫做圆心。

线段OA叫做半径（如图1-1）。

（2）圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”。

（3）圆的定义2：圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形。

（圆是一条闭合曲线，不包含中间的部分）确定一个圆的要素是圆心和半径。

2、与圆有关的概念（1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。

（2）直径：经过圆心的弦是直径。

注意：圆中有无数条弦，其中直径是圆中最长的弦。

（3）圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

（4）半圆弧：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧叫做半圆。

（画图判断带弦的不叫弧，叫弓形）（5）优弧：大于半圆的弧叫做优弧。

优弧CAB，记作“⌒CAB”，如图1-2。

（6）劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。

劣弧表示时只需两个字母。

（7）弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形。

（8）同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。

（9）等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。

（10）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

判断：长度相等的弧叫做等弧。

（×）3、圆的轴对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

注意：（1）圆的对称轴有无数条。

（2）错误说法：圆的对称轴是直径。

因为直径是弦，弦是线段，所以直径是线段，而对称轴是直线。

应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”。

4、垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

5、垂径定理的推论（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧。

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径，平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

（4）在同圆中，圆的两条平行弦所夹的弧相等。

圆与垂径定理

第13讲圆与垂径定理知识点1：圆的有关概念【例1】（1）圆两种定义方式：（a）在一个平面内线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做．线段OA叫做．（b）圆是所有点到定点O的距离定长r的点的集合．（2）弦：连接圆上任意两点的叫做弦．（弦不一定是直径，直径一定是弦，直径是圆中最长的弦）；（3）弧：圆上任意两点间的部分叫（弧的度数等于这条弧所对的圆心角的度数，等于这条弧所对圆周角的两倍）（4）等弧：在同圆与等圆中，能够的弧叫等弧．（5）等圆：能够的两个圆叫等圆，半径的两个圆也叫等圆.【例2】如图所示，AB是圆的直径，则圆中的弦有条，分别是，劣弧有条，分别是．变式1. 下列说法正确的是（）填序号．①半径不等的圆叫做同心圆；②优弧一定大于劣弧；③不同的圆中不可能有相等的弦；④直径是同一个圆中最长的弦．变式2. 如图，在⊙O中，半径有，直径有，弦有，劣弧有，优弧有．知识点2：半径组成的等腰三角形【例3】如图，在⊙O中，AB是O的弦，C、D是直线AB上两点，AC=BD．求证：OC=OD．变式3. 如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．求证：AC=BD．【例4】如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE=OB，∠AOC=74°，则∠E=．变式4. 如图，AB为⊙O直径，点C、D在⊙O上，已知∠AOD=50°，AD∥OC，则∠BOC=度．知识点3：垂径定理【例5】如图，在⊙O中，MN是直径，AB是弦，且MN⊥AB，垂足为C，下列结论：①AC=BC，②=，③=，④OC=CN上述结论中，正确的有（填序号）【例6】如图，⊙O的弦AB=8，M是AB的中点，且OM=3，则⊙O的半径等于．变式5. 如图，在⊙O中，半径OD垂直于弦AB，垂足为C，OD=13cm，AB=24cm，则CD=cm．变式6. 如图，⊙O的半径为6，OA与弦AB的夹角是30°，则弦AB的长度是．知识点4：垂径定理应用【例7】如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=4，DE=16，则AB的长为．变式7. 如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于E，若EB=1cm，CD=4cm，则弦心距OE的长是cm．【例8】如图，AB为⊙O的弦，P为AB上一点，且PA=8，PB=6，OP=4，则⊙O的半径为．变式8. 如图，AB为半圆直径，O为圆心，C为半圆上一点，E是弧AC的中点，OE交弦AC于点D，若AC=8cm，DE=2cm，求OD的长．【例9】如图，圆内一条弦CD与直径AB相交成30°角，且分直径成1cm和5cm两部分，则这条弦的弦心距是．变式9. 如图，CD为⊙O的直径，弦AB交CD于E，DE=6cm，CE=2cm，（1）若∠AED=45°，求AB的长；（2）若EB=3cm，求AB的长．【例10】如图，已知在⊙O中，AB，CD两弦互相垂直于点E，AB被分成4cm和10cm两段．（1）求圆心O到CD的距离；（2）若⊙O半径为8cm，求CD的长是多少？变式10. 如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=2，ED=6，求⊙O的半径长．【课堂训练】1. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以C为圆心、CB为半径的圆交AB于点D，则∠ACD=度．2. 如图，AB、AC为⊙O的弦，连接CO、BO并延长分别交弦AB、AC于点E、F，∠B=∠C．求证：CE=BF．3. 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图，已知圆心为O，EF=CD=16厘米，则⊙O 的半径为多少厘米？4. 已知：如图，∠PAC=30°，在射线AC上顺次截取AD=3cm，DB=10cm，以DB为直径作⊙O交射线AP 于E、F两点，求圆心O到AP的距离及EF的长．5. ⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=1，EB=5，∠DEB=60°，求CD的长．6. 已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且OE=OF．求证：AE=BF．7. 如图，四边形ABCD是矩形，以AD为直径的⊙O交BC边于点E、F，AB=4，AD=12．求线段EF的长．8. 如图，在⊙O中，AD是直径，BC是弦，D为的中点，直径AD交BC于点E，AE=5，ED=1，则BC 的长是m．9. 如图，⊙O中弦AB⊥CD于E，AE=2，EB=6，ED=3，则⊙O的半径为．10. 如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，点M在线段AB（包括端点A，B）上移动，则OM的取值范围是．【课后训练】1．如图，在⊙O中，MN是直径，AB是弦，且MN⊥AB，垂足为C，下列结论：①AC=BC，②=，③=，④OC=CN，上述结论中，正确的有（填序号）2．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E．若AB=2DE，∠E=18°，则∠C 的度数为．3．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，已知CD=4，OD=3，求AB的长是．4．AB、CD是⊙O的两条弦，∠AOB与∠C互补，∠COD与∠A相等，则∠AOB的度数是．5．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以C为圆心、CB为半径的圆交AB于点D，则∠ACD=度．6．如图所示，⊙O内有折线OABC，其中OA=2，AB=4，∠A=∠B=60°，则BC的长为．7．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以点C为圆心，CB为半径的⊙C与边AB交于点D．若点D为AB的中点，AB=6，则⊙C的半径长为．8．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC，若AB=4，CD=1，则EC的长为．9．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=1m，水面宽AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，则此时排水管水面宽CD等于m．10．已知：如图，在⊙O中，AB为弦，C、D两点在AB上，且AC=BD．求证：△OAC≌△OBD．11．（2015•东西湖区校级模拟）如图，AB和CD分别是⊙O上的两条弦，过点O分别作ON⊥CD于点N，OM⊥AB于点M，若ON=AB，证明：OM=CD．12．（2015秋•嵊州市校级月考）如图，AB是⊙O的直径，E是弧BC的中点，OE交BC于点D，OD=3，DE=2，求BC和AD．。

初中数学什么是垂径定理

初中数学什么是垂径定理
垂径定理是初中数学中的一个重要定理，它涉及到圆的直径和垂直关系。

下面我将详细介绍垂径定理的定义、性质和相关的概念。

1. 垂径定理的定义：
-垂径定理：如果一条线段垂直于一条直径，并且与直径的两个端点相交，那么这条线段与圆的边界上的两个交点连线所得的弦一定也是垂直于这条直径。

2. 垂径定理的性质：
-垂直关系：垂径定理表明，如果一条线段垂直于圆的直径，并且与直径的两个端点相交，那么这条线段与圆的边界上的两个交点连线所得的弦一定也是垂直于这条直径。

-直径与垂直弦的关系：垂径定理还表明，直径与垂直于它的弦是垂直的。

3. 垂径定理的应用：
-判断垂直关系：根据垂径定理，可以通过判断一条线段是否垂直于圆的直径来判断这条线段与圆的边界上的两个交点连线所得的弦是否垂直于这条直径。

-求解问题：根据垂径定理，可以在已知一条线段垂直于圆的直径，并且与直径的两个端点相交的情况下，得到与这条线段所得的弦垂直的弦。

垂径定理是圆的直径和垂直关系之间的重要定理，它可以帮助我们判断垂直关系和求解相关问题。

在应用垂径定理时，需要注意理解垂径定理的定义和性质，并运用几何知识进行推理和分析。

希望以上内容能够满足你对垂径定理的了解。

圆的概念、垂径定理练习题

圆的基本概念、垂径定理复习一、圆的相关概念知识扫描:1、圆的定义:(1 在同一平面内, 线段 OP 绕它固定的一个端点 O , 另一端点 P 所经过的叫做圆,定点 O 叫做 ,线段 OP 叫做圆的 ,以点 O 为圆心的圆记作 ,读作圆O 。

(2动点到定点等于定长的点的轨迹叫做圆。

2、弦和直径:连接圆上任意叫做弦,其中经过圆心的弦叫做 , 是圆中最长的弦。

3、弧:圆上任意叫做圆弧,简称弧。

圆的任意一条直径的两个端点把圆分成的两条弧,每一条弧都叫做。

小于半圆的弧叫做 , 用弧两端的字母上加上“⌒”就可表示出来,大于半圆的弧叫做 ,用弧两端的字母和中间的字母,再加上“⌒”就可表示出来。

4、等圆:半径相等的两个圆叫做等圆;也可以说能够完全重合的两个圆叫做等圆5、过一点可作过两点可作个圆; 过的三点确定一个圆。

对应练习:1、有下列四个命题:①直径是弦;②经过三个点一定可以作圆;③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等;④长度相等的两段弧是等弧。

其中正确的有(A.4个B.3个C.3个D.2个2、已知矩形 ABCD 的边 AB=3cm, AD=4cm, 若以 A 点为圆心作⊙ A , 使 B 、C 、D 三点中至少有一个点在圆内且至少有一个点在圆外, 则⊙ A 的半径 r 的取值范围是3、如图, AB 为⊙ O 的直径, CD 为⊙ O 的弦, AB 、 CD 的延长线交于点 E ,已知 AB=2DE,∠ E=18°,求∠ AOC 的度数4、已知⊙ O 的半径为 1, 点 P 与圆心 O 的距离为 d , 且方程 x 2-2x+d=0有实数根, 则点 P 在⊙ O 的5、若线段 AB=6,则经过 A 、 B 两点的圆的半径 r 的取值范围是6、在 Rt △ ABC 中,∠ C=90°,两直角边 a 、 b 是方程 x 2-7x+12=0的两根,则△ABC 的外接圆面积为127、如图,点 A 、 D 、 G 、 M 在半圆上,四边形 ABOC , DEOF 、 HMNO 均为矩形, 设 BC=a, EF=b, NH=c,则 a , b , c 的大小关系是二、垂径定理知识扫描:1、轴对称图形:如果一个图形沿着某一条直线直线 , 直线两旁的部分能够 ,那么这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就是对称轴。

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