江苏省无锡市第一女子中学2015届九年级上期中考试数学试题及答案

无锡市****中学2014-2015学年第一学期期中考试试卷初三数学（测试时间：120分钟 满分：130分 ）一、选择题（每题3分，共30分）1．下列方程是一元二次方程的是…………………………………………………………（ ）A ．3x 2－6x +2B ．x 2-y+1=0C ．x 2=0D ．1x2+ x =22．方程3x 2＋4x －2=0的根的情况是………………………………………………………（ ） A ．两个不相等的实数根 B ．两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．无法确定3．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若 AD AB = 13，DE ＝4，则BC 的值为………………………（ ）A ．9B ．10C ． 11D ．12 4．如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法．．判定△ABC ∽△ADE 的是（ ） A ．AB AD = AC AE B ．AB AD = BC DE C ．∠B =∠D D ．∠C =∠AED5．如图，在长为100 m ，宽为80 m 的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644m 2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x m ，则可列方程为 ……………………………………………………………………………( ) A ．100×80－100x －80x =7644 B ．(100－x )(80－x )＋x 2=7644 C ．(100－x )(80－x )=7644 D ．100x ＋80x －x 2=76446．已知实数a 、b 满足(a 2＋b 2)2－2(a 2＋b 2)＝8，则a 2＋b 2的值为…………………………（ ）A ．－2B ．4C ．4或－2D ．－4或27．如图，⊙O 的半径OA =10cm ，弦AB =16cm ，P 为AB 上一动点，则点P 到圆心O 的最短距离为……………………………………………………………………………………（ ） A ．4cm B ．5cm C ．6cm D ．7cm8．下列说法中，不正确的是………………………………………………………………（ ） A ．过圆心的弦是圆的直径 B ．等弧的长度一定相等C ．周长相等的两个圆是等圆D ．同一条弦所对的两条弧一定是等弧9．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E 是AB 上的一点，将△BCE 沿CE 折叠至△FCE ，若CF ，CE 恰好与以正方形ABCD 的中心为圆心的⊙O 相切，则折痕CE 的长为…（ ）A ．43B ．833 C ．5 D ．2510．如图，已知在Rt △ABC 中，AB =AC =2，在△ABC 内作第一个内接正方形DEFG ；然后取第3题图CBD AE 第4题图A D BEC2 1 第7题图BAP O 第5题图班级 姓名 考试号GF 的中点P ，连接PD 、PE ，在△PDE 内作第二个内接正方形HIKJ ；再取线段KJ 的中点Q ，在△QHI 内作第三个内接正方形……依次进行下去，则第n 个内接正方形的边长为( )A ．23·(12)nB ．232·(12)nC ．23·(12)n －1D ． 232·(12)n －1二、填空题（每空2分，共16分）11．已知x =－1是方程2x 2＋x ＋m =0错误！未找到引用源。

的一个根，则m = ． 12．已知x =1是一元二次方程x 2＋kx －2=0的一根，则方程的另一个根为_ __．13．若3x =2y ，则 2x －yx ＋3y= ___________．14．如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，过点D 作DC 切⊙O 于点C ，若∠A =35°，则∠D =____ ____°．15．如图，△ABC 外接圆的圆心坐标是 ．16．如图，在矩形ABCD 中，AD =4，DC =3，将△ADC 绕点A 按逆时针方向旋转到△AEF （点A 、B 、E 同一直线上），则AC 所扫过的面积为 ．17．如图，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ⊥BC ，AB =2cm ，CD =4cm ，以BC 上一点为圆心的圆经过A 、D 两点，且∠AOD =90 ，则圆心O 到弦AD 的距离是__________． 18．如图，⊙O 的半径为2，AB 、CD 是互相垂直的两条直径，点P 是⊙O 上任意一点，过 点P 作PM ⊥AB 于M ，PN ⊥CD 于N ，点Q 是MN 的中点，当点P 沿着圆周从点D 逆时针方向运动到点C 的过程中，当∠QCN 度数取最大值时，线段CQ 的长为 ．三、解答题（本大题共10小题，共84分）19．解方程（本题共4小题，每小题4分，共16分）（1）x 2－2x －99=0 （2）3x 2－6x ＋1=0（3）x (x ＋2)=5x ＋10 （4）(x －2)2=(2x ＋3)2第14题图 AO B D C 第17题图 第9题图 A B ED CF · O ABCDE F 第16题图 A BPMN O CDQ 第18题图 AB CO y x1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 第15题图 第10题图AB C G P J Q K D H I E F20．（本题满分6分）如图，在方格纸上，△ABC 与△A 1B 1C 1是关于点O 为位似中心的位似图形，它们的顶点都在格点上． （1）画出位似中心O ；（2）求出△ABC 与△A 1B 1C 1的位似比； （3）以O 点为位似中心，再画一个△A 2B 2C 2使它与△ABC 的位似比等于3． 21．（本题满分6分）如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，连接DE ，F 为线段DE上一点，且∠AFE=∠B （1）求证：△ADF ∽△DEC ；（2）若AB =8，AD =63，AF =43，求AE 的长．22．（本题满分8分）已知：如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 为圆上两点，且CB ︵=CD ︵，CF ⊥AB 于点F ，CE ⊥AD的延长线于点E ．（1）试说明：DE ＝BF ； （2）若∠DAB ＝60°，AB ＝8，求△ACD 的面积．A BECFDABFDE CO·23.（本题满分8分）定义：如图1，点C 在线段AB 上，若满足AC 2=BC •AB ，则称点C 为线段AB 的 黄金分割点．如图2，△ABC 中，AB =AC =1，∠A =36°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ． （1）求证：点D 是线段AC 的黄金分割点； （2）求出线段AD 的长． 24．（本题满分8分）在下图中，每个正方形由边长为1 的小正方形组成：（1）观察图形，请填写下列表格：（2）在边长为n (n ≥1)的正方形中，设黑色小正方形的个数为P 1，白色小正方形的个数 为P 2，问是否存在偶数n ，使P 2=5 P 1?若存在，请求出n 的值；若不存在，请说明理由．正方形边长 1 2 3 4 5 6 7 8 … 黑色小正方形个数1458…25．（本题满分9分）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元，销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元．（1）第二周单价降低x元后，这周销售的销量为（用x的关系式表示）．（2）求这批旅游纪念品第二周的销售价格．26．（本题满分11分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（8，0），B（0，6），⊙M经过原点O及点A、B．（1）求⊙M的半径及圆心M的坐标；（2）过点B作⊙M的切线l，求直线l的解析式；（3）∠BOA的平分线交AB于点N，交⊙M于点E，求点N的坐标和线段OE的长．备用图27．（本题满分12分）如图，在矩形ABCD 中，AB =3，BC =4．动点P 从点A 出发沿AC 向终点C 运动，同时动点Q 从点B 出发沿BA 向点A 运动，到达A 点后立刻以原来的速度沿AB 返回．点P ，Q 运动速度均为每秒1个单位长度，当点P 到达点C 时停止运动，点Q 也同时停止．连结PQ ，设运动时间为t （t >0）秒．（1）当点Q 从B 点向A 点运动时（未到达A 点），若△APQ ∽△ABC ，求t 的值； （2）伴随着P ，Q 两点的运动，线段PQ 的垂直平分线为直线l ． ①当直线l 经过点A 时，射线QP 交AD 边于点E ，求AE 的长；②是否存在t 的值，使得直线l 经过点B ？若存在，请求出所有t 的值；若不存在，请说明理由．DCB A备用图2DCBA备用图1AB DC P Q ··2014－2015第一学期九年级期中数学试卷参考答案及评分标准一、选择题（每题3分，共30分）1．C ． 2．A ． 3．D ． 4．B ． 5．C ． 6．B ． 7．C ． 8．D ． 9．A ． 10．D ． 二、填空题（每空2分，共16分） 11．―1． 12．-2． 13．111． 14．20º． 15．(5，2)． 16．6.25π 17．10． 18． 3 ．三、解答题（本大题共10小题，共84分） 19．（本题满分16分，每小题4分） （1）x 1=11，x 2=-9 4分 （2）x 1=363+，x 2=363- 4分 （3）x 1=-2，x 2=5 4分 (4) x 1=31-，x 2=-5 4分 20．（本题满分6分）(1)．（2分） (2)1:2 （2分） (3) （2分）21．（本题满分6分） 解： （1）证明：∵平行四边形ABCD ，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC ．（1分） ∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B ， ∴∠AFD=∠C ． （2分） 在△ADF 与△DEC 中，∴△ADF ∽△DEC ．（3分）（2）解：∵平行四边形ABCD ，∴CD=AB=8． 由（1）知△ADF ∽△DEC ， ∴，∴DE===12．（5分）在Rt △ADE 中，由勾股定理得：AE===6．（6分）22．（本题满分8分）证明：（1）∵弧CB=弧CD ∴CB=CD ，∠CAE=∠CAB 又∵CF ⊥AB ，CE ⊥AD ∴CE=CF （2分） ∴Rt△C ED ≌Rt △CFB ∴DE=BF ；（4分）（2）∵CE=CF ，∠CAE=∠CAB ∴△CAE ≌△CAF ∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠ACB=90°∵∠DAB=60° ∴∠CAB=30°，AB=8 ∴BC=4（6分） ∵CF ⊥AB 于点F ∴∠FCB=30° ∴CF=32，BF=2∴S △ACD =S △ACE -S △CDE =S △ACF -S △CFB=34（8分）23.（本题满分8分） 解：(1) ∵AB=AC, ∠A=36°∴∠ABC=∠C=72° ∵BD 平分∠ABC ∴∠DBC=∠ABD=36° ∴△ABC ∽△BDC(3分)∴AC BC =BC DC∴BC 2=AC •DC 又∵BC=BD=AD∴AC 2=AC •DC∴点D 是线段AC 的黄金分割点（5分） (2)设AD=x∵AC 2=AC •DC ∴x 2=x(1-x) 又∵x>0∴AD=x= 5-12(8分)24．(本题满分8分) （1）( 每空1分） ……………… ……………… ………………（4分） (2)存在 ……………… ……………… ………………（5分） 据题意得：n 2-2n=5×2n ……………… ……………… ………………（7分） 解得：n 1=12 n 2=0(舍去) ……………… ……………… ………………（8分） 25．（本题满分9分） 解：（1）200＋50x （2分） (2)由题意得出：200×（10－6）＋（10－x －6）（200＋50x ）＋[（4－6）（600－200－（200＋50x ）]＝1250，（5分） 即800＋（4－x ）（200＋50x ）－2（200－50x ）＝1250， 整理得：x 2－2x ＋1＝0，（7分）正方形边长 1 2 3 4 5 6 7 8 …黑色小正方形个数 1 4 5 8 9 12 13 16 …解得：x1＝x2＝1，（8分），第二周销售的价格为9元．（9分）26.（本题满分11分）解：（1）∵∠AOB=90°，∴AB为⊙M的直径，∵A（8，0），B（0，6），∴OA=8，OB=6，∴AB==10，（1分）∴⊙M的半径为5；圆心M的坐标为（（4，3）；（3分）（2）点B作⊙M的切线l交x轴于C，如图，∵BC与⊙M相切，AB为直径，∴AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠CBO+∠ABO=90°，而∠BAO=∠ABO=90°，∴∠BAO=∠CBO，∴Rt△ABO∽Rt△BCO，∴=，即=，解得OC=，∴C点坐标为（﹣，0），设直线BC的解析式为y=kx+b，把B（0，6）、C点（﹣，0）分别代入，解得，∴直线l的解析式为y=x+6；（6分）（3）作ND⊥x轴，连结AE，如图，∵∠BOA的平分线交AB于点N，∴△NOD为等腰直角三角形，∴ND=OD，∴ND∥OB，∴△ADN∽△AOB，∴ND：OB=AD：AO，∴ND：6=（8﹣ND）：8，解得ND=，∴OD=，ON=ND=，∴N点坐标为（，）；（8分）∵△ADN∽△AOB，∴ND：OB=AN：AB，即：6=AN：10，解得AN=，∴BN=10﹣=，∵∠OBA=OEA，∠BOE=∠BAE，∴△BON∽△EAN，∴BN：NE=ON：AN，即：NE=：，解得NE=，∴OE=ON+NE=+=7．（11分）27.（本题满分12分）解：（1）∵△APQ∽△ABC ∴AP AQAB AC=，即335t t-=解得98t=3分（2）①如图①，线段PQ的垂直平分线为l经过点A，则AP=AQ，即3－t=t ，∴t=1.5，∴AP=AQ=1.5，过点Q 作QO ∥AD 交AC 于点O ， 则,BCQO AB AQ AC AO ==∴52AQ AO AC AB =⋅=， 2=⋅=BC AB AQ OQ ，∴PO=AO －AP=1． 由△AP E ∽△OPQ ，得3,=⋅=∴=OQ OPAP AE OP AP OQ AE ． 6分 ②（ⅰ）如图②，当点Q 从B 向A 运动时l 经过点B ， BQ ＝BP ＝AP ＝t ，∠QBP ＝∠QAP∵∠QBP ＋∠PBC ＝90°，∠QAP ＋∠PCB ＝90°∴∠PBC ＝∠PCB CP ＝BP ＝AP ＝t∴CP ＝AP ＝21AC ＝21×5＝2.5∴t ＝2.5 9分 （ⅱ）如图③，当点Q 从A 向B 运动时l 经过点B ，BP ＝BQ ＝3－（t －3）＝6－t ，AP ＝t ，PC ＝5－t ，过点P 作PG ⊥CB 于点G ，由△PGC ∽△ABC ， 得()t AB AC PC PG BC GC AB PG AC PC -=⋅=∴==553, ()t BC AC PC CG -=⋅=554，B G ＝4－()t -554=t 54 由勾股定理得222PG BG BP +=，即 ()222553)54()6(⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-t t t ，解得4514t =． 12分 QP O E D C B A Q P D C BA G Q P DC B A （图①） （图②） （图③）。