第十章 静电场中的导体和电介质习题解答

10-1 如题图所示，一内半径为a 、外半径为b 的金属球壳，带有电荷Q ，在球壳空腔内距离球心r 处有一点电荷q ，设无限远处为电势零点。试求： (1) 球壳内外表面上的电荷；

(2) 球心O 点处，由球壳内表面上电荷产生的电势；

(3) 球心O 点处的总电势。

习题10-1图

解：(1) 由静电感应，金属球壳的内表面上有感生电荷-q ，外表面上带电荷q +Q 。 (2) 不论球壳内表面上的感生电荷是如何分布的，因为任一电荷元离O 点的 距离都是a ，所以由这些电荷在O 点产生的电势为

0d 4q q

U a

πε-=

⎰a

q

04επ-=

(3) 球心O 点处的总电势为分布在球壳内外表面上的电荷和点电荷q 在O 点产生的电势的代数和

q Q q q O U U U U +-++=

04q

r πε=

04q

a πε-

04Q q

b πε++

01114()q r a b

πε=-+04Q b

πε+ 10-2 有一"无限大"的接地导体板 ，在距离板面b 处有一电荷为q 的点电荷，如题图(a)所示。试求：

(1) 导体板面上各点的感生电荷面密度分布(参考题图(b))； (2) 面上感生电荷的总电荷(参考题图(c))。

习题10-2图

解：(1) 选点电荷所在点到平面的垂足O 为原点，取平面上任意点P ，P 点距离原点为r ，设P 点的感生电荷面密度为．

在P 点左边邻近处(导体内)场强为零，其法向分量也是零，按场强叠加原理，

()22

0cos 024P q E r b θσ

επε⊥=

+=+ ∴ ()

2

/32

22/b r qb +-=πσ (2) 以O 点为圆心，r 为半径，d r 为宽度取一小圆环面，其上电荷为 (

)

32

2

2d d d //Q S qbr r r b

σ==-+

q Q a b

O r

()

q b

r

r

r qb S Q S

-=+-==⎰

⎰∞

2

322

d d /σ

10-3 如题图所示，中性金属球A ，半径为R ，它离地球很远．在与球心O 相距分别为a 与b 的B 、C 两点，分别放上电荷为A q 和B q 的点电荷，达到静电平衡后，问： (1) 金属球A 内及其表面有电荷分布吗？

(2) 金属球A 中的P 点处电势为多大？(选无穷远处为电势零点)

B C R A

P O

q A q B

b

a

习题10-3图

解：(1) 静电平衡后，金属球A 内无电荷，其表面有正、负电荷分布，净电荷为零． (2) 金属球为等势体，设金属球表面电荷面密度为． ()()000d 4=4////A

P A B S U U S R q a q a σπεπε==

⋅+⎰⎰

∵

d 0A

S S σ⋅=⎰⎰

∴ ()()04///P A B U q a q a πε=+

10-4 三个电容器如题图联接，其中C 1 = 10×10-6 F ，C 2 = 5×10-6 F ，C 3 = 4×10-6 F ，当A 、B 间电压U =100 V 时，试求：

(1) A 、B 之间的电容；

(2) 当C 3被击穿时，在电容C 1上的电荷和电压各变为多少？

A

B

C 1

C 2 C 3

U

习题10-4图

解：(1) =+++=

3

213

21)(C C C C C C C 3.16×10-6 F

(2) C 1上电压升到U = 100 V ，电荷增加到==U C Q 111×10-3 C

10-5 一个可变电容器，由于某种原因所有动片相对定片都产生了一个相对位移，使得两个相邻的极板间隔之比为2:1，问电容器的电容与原来的电容相比改变了多少？

(a) (b)

习题10-5图

解：如图所示，设可变电容器的静片数为n ，定片数为1-n ，标准情况下，极板间的距离为d （图a ），极板相对面积为S 。则该电容器组为)1(2-n 个相同的平行板电容器并联（图a ）。 总电容为

d

S

n C 0

)1(2ε-=。 当动片由于某种原因发生相对位移而使相邻的极板间隔变为2:1:=b a 后，总电容为：

b

S

n a S n C 00

)1()1(εε-+-=' d

d d S n ab b a S

n 3432002)1()1(⋅-=+-=εε49

)1(0⋅-=d S n ε 所以电容增加了：

d

S

n C C C 0)1(41ε-=

-'=∆ 10-6 一平行板空气电容器充电后，极板上的自由电荷面密度0σ＝1.77×10-6 C/m 2．将极板与

电源断开，并平行于极板插入一块相对介电常量为8=r ε 的各向同性均匀电介质板。计算电介质中的电位移D 、场强E 和电极化强度P 的大小。(真空介电常量0ε＝8.85×10-12 C 2 / N·m 2)

解：由D

的高斯定理求得电位移的大小为

620 1.7710/D C m σ-==⨯

由E D r εε=0的关系式得到场强E 的大小为

r

D

E εε0=

＝2.5×104 V/m

介质中的电极化强度的大小为

620e 0= (1) 1.5510/r P E E C m εχεε-=-=⨯

10-7 如题图所示，一空气平行板电容器，极板面积为S ，两极板之间距离为d ，其中平行地放有一层厚度为t (()t d <、相对介电常量为r ε的各向同性均匀电介质．略去边缘效应，

试求其电容值。

习题10-7

解：

作法一：设极板上的自由电荷面密度为0σ，应用D 的高斯定理可得两极板之间的电位移大小为

D σ=

由E D r εε=0得：空气中的电场强度大小为000E σ=；电介质中的电场强度的大小为000()r E σεε=。

两极板之间的电势差为