一元二次方程根与系数之间的关系
一元二次方程——根与系数的关系
一元二次方程——根与系数的关系：1.根与系数的关系：已知ax 2+bx+c=0(a≠0)的解为x 1，x 2，则x 1+x 2=b a —，x 1·x 2=c a1.用适当的方法解下列方程。
（x+1）2=（2x —1）2 （x —1）2—（x —1）—6=0 21x+=22（3）x 2+2x —1=0 4x 2=9 x 2—6x —16=02.关于x 的一元二次方程x 2—6x+2k=0，有两个不相等的实数根，则k 的取值范围3.若关于想的一元二次方程nx 2-2x-1=0无实数根，则一次函数y=（n+1）x —n 不经过第 象限。
4.方程x 2—9x+18=0的两个根是等腰三角形的底边长和一腰长，则这个三角形的周长是（ ）。
A.12B. 12或15C. 15D. 无法确定5.三角形两边长是3和4，第三边的长是x 2—12x+35=0的解，则这个三角形的周长为6.关于x 的一元二次方程2x 2—3x —a 2+1=0的一个根是2，则a 的值是7.一元二次方程21x x+=04—的解是 。
8.将代数式x 2+4x —1转化成（x+p ）2+q 的形式是9、一元二次方程a 2—3a —7=0的解是10.若x2—4x+y2+6y+z —3+13=0，则（xy ）z = 11.已知16（x —y ）2—40（x —y ）+25=0求x 与y 之间的关系。
12.已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+1=0，（a ≠0）有两个相等的实数根，求222ab a +b （—2）—4的值。
13..若m ，n 满足m 2+5n 2+4mn —6n+9=0，试求方程mx 2—nx+3=0的解。
14.用配方法证明—2x 2+4x —10恒小于0，并且求出它的最大值，以及此时x 的值。
15.若⊿ABC 的三边a ，b ，c 满足a2+b+|c —1—2|=10a+2b —2—22，是判断⊿ABC 的形状。
根与系数的关系：1，已知关于x 的方程（k —1）x2+（2k —3）x+k+1=0有两个不相等的实数根，（1）求k 的取值范围（2）是否存在k ，使方程两根互为相反数。
一元二次方程根与系数的关系
1、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。
解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1 ∵ (x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2
k 1 由根与系数的关系得x1+x2= 2
∴(
解得k1=9,k2= -3
k 1 2 k 3 ) 4 1 2 2
一元二次方程根与系数的关系
阜宁丰唐实验学校
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式：
2 4ac b b 2a
X=
(b2-4ac≥ 0)
一元二次方程的根与系数的关系： （韦达定理） 如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是X1 , X2 , 那么X1+x2=
-
b a
●
m 3
,
∴ m= 3x1 = 16 x1+x2= - 2 , x1 · 2= 3 x
2 5 2 2
2、设x1,x2是方程2x2＋4x－3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值。
由根与系数的关系，得 解：
∴ (x1+1)(x2+1) = x1 x2 + (x1+x2)+1 =-2+( 3 )+1=
2 3
, x1 · 2=-3 x
2 3 3
=
x1 x 2 x x2 1
=
=
2 9
(2)∵ (x1＋x2)2＝ x12+x22 ＋2x1x2 ∴x12+x22
＝(x1＋x2 -2x x )2
4 2 2 1 2 ＝(- 3 ) -2×(-3)＝6 9
一元二次方程组根与系数的关系
一元二次方程组根与系数的关系稿子一嗨，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊一元二次方程组根与系数的关系，这可有意思啦！你知道吗，一元二次方程就像一个神秘的小盒子，而根与系数的关系就是打开这个小盒子的钥匙。
比如说，对于方程ax² + bx + c = 0 （a≠0），如果它有两个根 x₁和 x₂，那它们之间的关系可神奇了。
两根之和 x₁ + x₂就等于 b/a 。
你想想，这是不是很奇妙？就好像是在方程的背后隐藏着一个小秘密，被我们发现啦！还有两根之积 x₁x₂等于 c/a 。
这两个关系在解题的时候可好用了呢。
比如说，给你一个方程，告诉你其中一个根，让你求另一个根，这时候根与系数的关系就能派上大用场。
有时候做题做到头疼，突然想到这个关系，一下子就找到了解题的突破口，那种感觉简直太棒啦！而且哦，掌握了这个关系，还能让我们对一元二次方程有更深入的理解，是不是很有趣呀？所以呀，小伙伴们，一定要好好记住这个神奇的关系，它会在数学的世界里给我们带来很多惊喜的！稿子二嘿，朋友们！今天咱们来唠唠一元二次方程组根与系数的关系。
这玩意儿听起来好像有点复杂，其实呀，可简单有趣啦！先来说说啥是一元二次方程，就是那种长得像ax² + bx + c = 0 （a≠0）的式子。
然后呢，它要是有两个根，咱们就能发现一些好玩的规律。
比如说，两根之和等于 b/a 。
哎呀，别被这式子吓到，其实就是个小规律。
你就想象成是方程在跟咱们悄悄说它的秘密。
还有两根之积等于 c/a 。
这就像是方程给咱们的小礼物，只要咱们找到了，解题就能变得轻松不少。
我跟你讲哦，有一次我做数学题，怎么都解不出来，急得我抓耳挠腮。
突然想到了根与系数的关系，一下子就豁然开朗了。
这感觉就像是在黑暗中找到了明灯，别提多爽啦！而且呀，这不仅能帮我们解题，还能让我们觉得数学其实没那么枯燥，充满了小惊喜。
所以呀，朋友们，别害怕这个根与系数的关系，多琢磨琢磨，你会发现数学的乐趣无处不在！。
一元二次方程根与系数的关系
第一讲 一元二次方程根与系数的关系一、一元二次方程的根的判别式一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为： 2224()24b b ac x a a-+= (1) 当240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根：x =(2) 当240b ac -=时，方程有两个相等的实数根：1,22b x a=-； (3) 当240b ac -<时，方程没有实数根．由于可以用24b ac -的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把24b ac -叫做一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式：∆=24b ac -.二、一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为：1222b b x x a a-+--==所以：12b x x a+=+=-，221222()422(2)4b b b ac cx x a a a a a-+----⋅=⋅===定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么： 12x x +=______________, 12x x =______________.说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为韦达定理．上述定理成立的前提是0∆≥．例1：已知实数x 、y 满足22210x y xy x y +-+-+=，试求x 、y 的值．例2：若12,x x 是方程2220090x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +； (2)1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --；(4) 12||x x -．说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式． 例3：已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根． (1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由． (2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．练习：1.已知一元二次方程2(1)210k x x ---=有两个不等的实数根，求k 的取值范围.2.若方程22(1)30x k x k -+++=的两根之差为1，求k 的值．3.已知关于x 的一元二次方程2(41)210x m x m +++-=． (1) 求证：不论m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2) 若方程的两根为12,x x ，且满足121112x x +=-，求m 的值．图（12） 第二讲 一次函数、反比例函数、二次函数1.当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为 ，对称轴为直线 ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而 ；当x ＞2ba-时，y 随着x 的增大而 ；当x ＝2ba-时，函数取最小值y ＝ ．2.当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下；顶点坐标为 ，对称轴为直线 ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而 ；当x ＞2ba-时，y 随着x 的增大而 ；当x ＝2ba-时，函数取最大值y ＝ ．3.二次函数的三种表示方式：一般式 顶点式 交点式 注：确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可设如下三种形式：①给出三点坐标可利用一般式来求；②给出两点，且其中一点为顶点时可利用顶点式来求．③给出三点，其中两点为与x 轴的两个交点)0,(1x .)0,(2x 时可利用交点式来求．例1：如图，反比例函数ky x=的图象与一次函数y mx b =+的图象交于A (1)B n -，两点．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）根据图象回答：当x 取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．例2：求二次函数y ＝－3x 2－6x ＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x 取何值时，y 随x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．例3：根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．（1）某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y ＝x ＋1上，并且图象经过点（3，－1）； （2）已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x 轴的距离等于2； （3）已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)．巩固练习1.若函数12-+=a ax y 在11≤≤-x 上的值有正也有负，则a 的取值范围是_________2.若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，则实数a 的取值范围是_____________．3.二次函数y ＝－x 2+23x ＋1的函数图象与x 轴两交点之间的距离为 ．4.把函数y ＝－(x －1)2＋4的图象向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得图象对应的解析式为________________.第三讲 解不等式一、一元一次不等式（组）及其解法 :例1：（1）解关于x 的不等式组0,231x a x -<⎧⎨-+<⎩二、一元二次不等式及其解法形如20(0) (0)ax bx c a ++><≠或其中的不等式称为关于x 的一元二次不等式例2：解下列不等式：(1) 260x x +->； (2)(2)(3)6x x +-< (3) (1)(2)(2)(21)x x x x -+≥-+例:3：已知关于x 的不等式22(1)30kx k x -+-<的解为13x -<<，求k 的值．二、简单分式不等式的解法例4：解下列不等式： (1) 2301x x -<+； (2)2301x x x +≥-+.例5：解不等式132x ≤+.三、含绝对值不等式的解法 例6：解不等式：(1) 13x ->； (2) 327x x ++-< ；练习：1、二次函数2365y x x =--+的图像的顶点坐标是________.2、如果22()530x a b x b x x ++⋅+=--，则b =___________.3、若2是关于x 的一元二次方程23100x mx +-=的一个根，则m =________.4、若一次函数(12)y k x k =--的图像不经过第二象限，则k 的取值范围是________.5、若函数2y x b =--与24y x =+的图像交于x 轴上一点A ，且与y 轴分别交于B ，C 两点，则ABC ∆的面积为________.6、已知一个直角三角形的两个直角边的长恰是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长为____________.7、当22x -≤≤时，函数223y x x =--的最大值为______.8、不等式260x x -+<的解为_______.9、已知关于x 的方程22310x x m -++-=的两个实根同号，则实数m 的取值范围为____.10、函数231y ax x =-+的最小值大于0，则实数a 的取值范围为_________.11、两个数的和为60，它们的积的最大值为___________.12、如果不等式210ax ax ++<无解，则a 的取值范围是_________.13、已知(3,2),(1,1)M N -，点P 在y 轴上，且PM PN +最短，则点P 的坐标为_______.14、解下列不等式：(1) 23180x x --≤ ； (2)31221x x +<-； (3)116x x -++>． 15、已知关于x 的不等式20mx x m -+<的解是一切实数，求m 的取值范围．16、解关于x 的不等式(2)1m x m ->-．17、已知关于x 的方程2(1)(23)10k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根12,x x . （1）求实数k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由.18、已知二次函数212y x bx c =-++的图像经过(2,0),(0,6)A B -两点. (1) 求这个二次函数的解析式；(2) 设该二次函数图像的对称轴与x 轴交于点C ，连接,BA BC ，求ABC ∆的面积.19、已知关于x 的函数222y x ax =++在55x -≤≤上. (1) 当1a =-时，求函数的最大值和最小值； (2) 当a 为实数时，求函数的最大值.。
一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系若关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两根分别为1x ，2x ，那么=+21x x ，=⋅21x x .易错知识辨析：（1）在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为零这个限制条件.（2）应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：① 根的判别式042≥-ac b ；② 二次项系数0a ≠，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系.例1 当k 为何值时，方程2610x x k -+-=，（1）两根相等；（2）有一根为0；（3）两根为倒数.例2：已知关于x 的方程01)12(22=+-+x k x k 有两个不相等的实数根1x 、2x ，问是否存在实数k 使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由。
练习1．设x 1，x 2是方程2x 2＋4x －3＝0的两个根，则(x 1＋1)(x 2＋1)= __________，x 12＋x 22＝_________， 1211x x +＝__________，(x 1－x 2)2＝_______. 2．当c =__________时，关于x 的方程2280x x c ++=有实数根．（填一个符合要求的数即可）3. 已知a b ，是关于x 的方程2(21)(1)0x k x k k -+++=的两个实数根，则22a b +的最小值是 ．4．已知α，β是关于x 的一元二次方程22(23)0x m x m +++=的两个不相等的实数根，且满足111αβ+=-，则m 的值是（ ）Ａ．3或1-Ｂ．3 Ｃ．1 Ｄ．3-或1 5．一元二次方程2310x x -+=的两个根分别是12x x ，，则221212x x x x +的值是（ ）Ａ．3 Ｂ．3- Ｃ．13 Ｄ．13- 6．设关于x 的方程kx 2－(2k ＋1)x ＋k ＝0的两实数根为x 1、x 2，，若,4171221=+x x x x 求k 的值.7．已知关于x 的一元二次方程()2120x m x m --++=． （1）若方程有两个相等的实数根，求m 的值；（2）若方程的两实数根之积等于292m m -+。
一元二次方程根与系数的关系的关系(含答案)
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系A基础知识详解——————————————☆知识点一元二次方程根与系数的关系B重难点解读—————————☆重难点根据方程中两根的关系确定方程中字母的值○随堂例题例1 已知关于x的方程x2+（2k-1）x+k2-1=0有两个实数根x1、x2．（1）求实数k的取值范围；（2）若x1、x2满足x12+x22=16+x1•x2，求实数k的值．（2）∵关于x 的方程x +（2k-1）x+k -1=0有两个实数根x 1，x 2，∴x 1+x 2=1-2k ，x 1•x 2=k 2-1．∵x 12+x 22=（x 1+x 2）2-2x 1•x 2=16+x 1•x 2，∴（1-2k ）2-2×（k 2-1）=16+（k 2-1），即k 2-4k-12=0， 解得k=-2或k=6（不符合题意，舍去）． ∴实数k 的值为-2．【一中名师点拨】题目中提到两个实数根，即隐含着根的判别式大于等于0；当根据方程中两根的关系确定方程中字母的值，关键是把这种关系式转化为含x 1+x 2及x 1x 2的形式. ○随堂训练1.（2017烟台）若x 1，x 2是方程x 2-2mx+m 2-m-1=0的两个根，且x 1+x 2=1-x 1x 2，则m 的值为（ D ）A ．-1或2B ．1或-2C ．-2D ．12.已知关于x 的一元二次方程x 2+（m+2）x+m=0， （1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）若x 1，x 2是原方程的两根，且2111x x +=-2，求m 的值.解：（1）△=（m+2）2-4m=m 2+4＞0，∴无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）∵x 1，x 2是原方程的两根， ∴x 1+x 2=-（m+2），x 1x 2=m ． ∵2111x x +=2121x x x x +=-mm 2+=-2，解得m=2，经检验，m=2是分式方程的解，且符合题意，∴m 的值为2．课后达标基础训练1.（2017呼和浩特）关于x 的一元二次方程x 2+（a 2-2a ）x+a-1=0的两个实数根互为相反数，则a 的值为（ B ） A ．2 B ．0 C ．1 D ．2或02.（2017新疆）已知关于x 的方程x 2+x-a=0的一个根为2，则另一个根是（ A ） A ．-3 B ．-2 C ．3 D ．63.已知m ，n 是一元二次方程x 2-4x-3=0的两个实数根，则代数式（m+1）（n+1）的值为（ D ） A ．-6 B ．-2 C ．0 D ．24.已知实数x 1，x 2满足x 1+x 2=11，x 1x 2=30，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是（ A ）A ．x 2-11x+30=0B ．x 2+11x+30=0C ．x 2+11x-30=0D ．x 2-11x-30=05.已知x 1、x 2是方程2x 2+3x-4=0的两根，那么x 1+ x 2= 23- ；x 1·x 2= 2 ；11x +21x = 43- ；x 12+ x 22=47-；21x x -= 423-. 6.已知关于x 的方程x 2+ax+b+1=0的解为x 1=x 2=2，则a+b 的值为 -1 .7.以3+2和3-28.已知方程5x 2+mx-10=0的一根是-5，求方程的另一根及m 的值. 解：设方程的另一个根为k ， 则-5k=-2，解得52k =，又k-5=5m -，得m=23.9.已知关于x 的一元二次方程kx 2+x-2=0有两个不相等的实数根． （1）求实数k 的取值范围；（2）设方程两个实数根分别为x 1，x 2，且满足x 12+x 22+3x 1•x 2=3，求k 的值．12（1）求实数m 的取值范围；（2）若x 1+x 2=6-x 1x 2，求（x 1-x 2）2+3x 1x 2-5的值． 解：（1）△=（2m-3）2-4m 2=4m 2-12m+9-4m 2=-12m+9，∵△≥0，∴-12m+9≥0，∴m ≤43； （2）由题意可得x 1+x 2=-（2m-3）=3-2m ，x 1x 2=m 2，又∵x 1+x 2=6-x 1x 2，∴3-2m=6-m 2，∴m 2-2m-3=0，∴m 1=3，m 2=-1，又∵m ≤43，∴m=-1，∴x 1+x 2=5，x 1x 2=1，∴（x 1-x 2）2+3x 1x 2-5=（x 1+x 2）2-4x 1x 2+3x 1x 2-5=（x 1+x 2）2-x 1x 2-5=52-1-5=19．能力提升11.（2017仙桃）若α、β为方程2x 2-5x-1=0的两个实数根，则2α2+3αβ+5β的值为（ B ） A ．-13 B ．12 C ．14 D ．1512.若非零实数a ，b （a ≠0）满足a 2-a-2018=0,b 2-b-2018=0，则ba 11+= 20181-. 13.已知关于x 的方程x 2-（k+1）x+41k 2+1=0的两根是一个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为5，求k= 2 .14.已知关于x 的一元二次方程x 2+(2k+1)x+k 2-2=0的两根为x 1和x 2，且(x 1-2)(x 1-x 2)=0，则k 的值是 -2或-4.15.（2017黄石）已知关于x 的一元二次方程x 2-4x-m 2=0. （1）求证：该方程有两个不等的实根；（2）若该方程的两实根x 1、x 2满足x 1+2x 2=9，求m 的值．。
方程的根与系数之间的关系
方程的根与系数之间的关系1. 引言方程的根与系数之间存在着一定的关系，通过研究这种关系，可以帮助我们更好地理解和解决各类方程。
在本文中，我们将深入探讨方程的根与系数之间的关系，并通过具体的例子和推导，解释其中的数学原理。
2. 一元二次方程的根与系数之间的关系一元二次方程是形如ax2+bx+c=0的方程，其中a、b和c是方程的系数，x是方程的未知数。
我们来讨论一元二次方程的根与系数之间的关系。
2.1 根的判别式一元二次方程ax2+bx+c=0的根可以通过判别式D=b2−4ac来确定。
根据判别式的值，我们可以得到以下结论： - 当D>0时，方程有两个不相等的实根； - 当D=0时，方程有两个相等的实根； - 当D<0时，方程没有实根，但有两个共轭复根。
2.2 根与系数之间的关系一元二次方程的根与系数之间存在着以下关系： 1. 根与系数之间的和：设方程的。
2. 根与系数之间的乘积：设方程的两个根分别为x1和x2，则x1+x2=−ba。
两个根分别为x1和x2，则x1⋅x2=ca由以上关系可以看出，当我们知道方程的系数时，就可以通过这些关系推导出方程的根的和与积，从而进一步研究方程的性质和解法。
3. 三元一次方程的根与系数之间的关系三元一次方程是形如ax+by+cz=d的方程，其中a、b、c和d是方程的系数，x、y和z是方程的未知数。
接下来，我们探讨三元一次方程的根与系数之间的关系。
3.1 方程的解三元一次方程的解是以有序数组的形式表示的，例如(x0,y0,z0)。
解的存在唯一性要求方程的系数满足一定的条件，即系数的行列式不为零。
具体而言，当abc−ac2−b2d=0时，方程无解；当abc−ac2−b2d≠0时，方程有唯一解。
3.2 根与系数之间的关系三元一次方程的根与系数之间的关系可以通过高斯-若尔当消元法进行求解。
解方程组的过程中，我们可以得到以下结论： 1. 根与系数之间的关系是复杂的，且很难直接表达； 2. 方程的解与系数的变化密切相关，系数的微小变化可能导致解的大幅度变化； 3. 方程的解可以通过变量的代换和消元的方法求得，求解过程中可以使用线性代数的相关理论和方法。
一元二次方程根与系数的关系
（2）解：当a=5为底边长时，b=c 当a=5为腰长时，不妨设a=b=5， 由根与系数的关系：5+c=2k-3 2 ∴Δ = （2K-5） =0，k=2.5， 5c=2k-4 2 原方程为：x -2x+1=0 解得：c=1，k=4.5 ∴b=c=1 ∵b+c<a ∴此三角形的周长为a+b+c=11 ∴此时不构成三角形，舍去。
_年 _月 _日
星期_______
天气_____ 自我评价:___________ 悄悄话:老师我想对你说______ _______________________ _______________________ ________________________
学习课题:_____________ 知识归纳与整理:________ _____________________ 有那些数学思想方法_____ 我的收获与困惑_________
分析解答
2、已知关于的方程。x2－(2k－3)x +2k－4=0 （1）求证：无论取什么实数值，方程总有实数根。 （2）若等腰三角形的一边长a=5，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根， 求这个三角形的周长？
（1）证明： ∵Δ =[-（2k-3）]2-4（2k-4） =（2K-5）2 ∴不论k取何值，（2K-5）2 ≥0， 即Δ ≥0，原方程总有实数根。
2、方程2x2-3x+1=0的两根记作x1,x2， 不解方程，求：
（1） x1 x2 x2 x1 ;
分析解答
由根与系数的关系得：x1+x2=3/2 x1x2=1/2
x x ( x1 x2 ) 2 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x2 x1
一元二次方程根与系数的关系
个
性
化
教 案
授课时间：
备课时间： 年级： 课时： 课题：一元二次方程根与系数的关系 学员姓名：
授课老师：
教学目标
教学 难点
教学 内容
一元二次方程根与系数的关系：
如果一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根为x 1、x 2，猜测x 1.x 2与系数a ，b ，c 的关系；
经过多次组数据发现存在关系：
，；
证明：对于任意一元二次方程ax 2
+bx +c =0（a ≠0），由求根公式x =
−b±√b 2−4ac
2a
得
，；
总上所述，得一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：
，
例 已知方程 2x 2+kx -4=0的一个根是-4，求它的另一个根及k 的值。
解:设方程的另一根为了x 2 ,则
，得，答：方程的另一个根是
，k 的值是7。
x 1=
-b+b 2-4ac
2a x 2=-b-b 2-4ac 2a。
一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)
第二讲 元二次方程根与系数的关系（韦达定理）一、韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ， 那么1212,b c x x x x a a+=-= 说明：（1）定理成立的条件0∆≥ （2）注意公式重12b x x a +=-的负号与b 的符号的区别 思考：你能利用一元二次方程的求根公式推出韦达定理吗？二、韦达定理的应用：1.已知方程的一个根，求另一个根和未知系数如：已知2是关于x 的一元二次方程042=-+p x x 的一个根，求该方程的另一个根2.求与已知方程的两个根有关的代数式的值如：若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +； (2) 1211x x +3.已知方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值如：若方程22(1)30x k x k -+++=的两根之差为1，求k 的值4.已知两数的和与积，求这两个数5.已知方程的两根x 1，x 2 ，求作一个新的一元二次方程x 2 –(x 1+x 2) x+ x 1x 2 =06.利用求根公式在实数范围内分解因式ax 2+bx+c= a(x- x 1)(x- x 2)巩固练习一、填空题1.如果x 1、x 2是一元二次方程02x 6x 2=--的两个实数根，则x 1+x 2=_________.2.一元二次方程03x x 2=--两根的倒数和等于__________.3.关于x 的方程0q px x 2=++的根为21x ,21x 21-=+=，则p=______，q=____.4.若x 1、x 2是方程07x 5x 2=--的两根，那么_______________x x 2221=+， .________)x (x 221=-5.已知方程0k x x 2=+-的两根之比为2，则k 的值为_______.6.关于x 的方程01x 2ax 2=++的两个实数根同号，则a 的取值范围是__________.二、选择题7.以3和—2为根的一元二次方程是（ ）A.06x x 2=-+B.06x x 2=++C.06x x 2=--D.06x x 2=+-8.设方程0m x 5x 32=+-的两根分别为21x ,x ，且0x x 621=+，那么m 的值等于（ ）A.32- B .—2 C.92 D.—92 9.已知0)2m 2()x 1(m x 2=----两根之和等于两根之积，则m 的值为（ ）A.1 B .—1 C.2 D .—210.设α、β是方程02012x x 2=-+的两个实数根，则βαα++22的值为（ ） A ．2009 B.2010 C.2011 D.2012三、解答题已知关于x 的一元二次方程01422=-++m x x 有两个非零实数根。
一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程根与系数的关系一、韦达定理（根与系数关系）一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个实数根21,x x ，则=+21x x ，=21x x 。
二、应用1、求待定系数值；2、求关于根的代数式值；3、结合△，讨论根的符号特征；4、构造一元二次方程辅助解题。
三、以两个数21,x x 为根，构造一元二次方程（二次项系数为1）是：0)(21212=++-x x x x x x 。
四、方程根的符号特征)0(02≠=++a c bx ax 有两根21,x x ：①若0021=⇔=+b x x ，21,x x 互为相反数； ②若c a x x =⇔=121，21,x x 互为倒数；⇔⎪⎩⎪⎨⎧>>+≥∆0002121x x x x ③方程两根同为正数； ⇔⎪⎩⎪⎨⎧><+≥∆0002121x x x x ④方程两根同为负数； ⇔⎩⎨⎧<>∆0021x x ⑤方程两根异号；⇔⎪⎩⎪⎨⎧<>+>∆0002121x x x x ⑥方程两根异号且正根绝对值大； ⇔⎪⎩⎪⎨⎧<<+>∆0002121x x x x ⑦方程两根异号且负根绝对值大。
五、典例讲解例1、（1）以3、2为根作一元二次方程是 。
（2）以313-，212为根作一元二次方程式 。
（3）解方程组⎩⎨⎧=+-=67y x xy（4）求作一元二次方程使它的根是方程0132=++x x 的各根的平方。
（5）不解方程0262=+-x x ，求作一元二次方程是它的一根为原方程两根和的倒数，另一根是原方程两根差的平方。
④两根立方和。
练习2、设方程03742=--x x 两根是21,x x ，求：①)3)(3(21--x x ；②；③21x x -；2112x x x x +④；⑤||21x x -；⑥3231x x +；⑦222111x x -；⑧2112x x x x -+-例3、（1）关于x 的方程2)12(22=+++k x k x 两根的平方和为11，求k 的值。
一元二次方程的跟与系数的关系
1、已知两数求作新方程。
2、由已知两根和与积的值或式子，求字母的值。
第三课时
方程判别式、根与系数的关系的综合应用。
第一课时 一元二次方程根与系数的关系（1）
一、教学目标
1、理解掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根x1，x2与系数a、b、c之间的关系。
2、能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下，求出方程的另一根，以及方程中的未知数。
（二）学法指导
1、引导学生实践、观察、发现问题、猜想并推理。
2、指导学生掌握思考问题的方法及解决问题的途径。
3、指导学生熟练掌握根与系数的关系，并将应用问题和规律归类。
四、课时划分及教学过程
（一）课时划分
共分3课时
第一课时
1、根与系数的关系。
2、根与系数的关系的应用。
（1）求已知方程的两根的平方和、倒数和、两根差。
根与系数的关系也称为韦达定理（韦达是法国数学家）。韦达定理是初中代数中的一个重要定理。这是因为通过韦达定理的学习，把一元二次方程的研究推向了高级阶段，运用韦达定理可以进一步研究数学中的许多问题，如二次三项式的因式分解，解二元二次方程组；韦达定理对后面函数的学习研究也是作用非凡。
通过近些年的中考数学试卷的分析可以得出：韦达定理及其应用是各地市中考数学命题的热点之一。出现的题型有选择题、填空题和解答题，有的将其与三角函数、几何、二次函数等内容综合起来，形成难度系数较大的压轴题。
一元二次方程的根与系数的关系（一）
一元二次方程根与系数的关系的知识内容主要是以前一单元中的求根公式为基础的。教材通过一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根 公式得出一元二次方程根与系数的关系，以及以数x1、x2为根的一元二次方程的求方程模型。然后是通过4个例题介绍了利用根与系数的关系简化一些计算的知识。例如，求方程中的特定系数，求含有方程根的一些代数式的值等问题，由方程的根确定方程的系数的方法等等。
一元二次方程根与系数的关系
●
b b 2 4ac 2a
=
(b) 2 ( b 2 4ac) 2 4a 2
=
4ac 4a 2
c = a
若已知ax2+bx+c=0 (a≠o)的两个根x1,x2,
ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
说出下列各方程的两根之和与两根之积：
(1) x2 - 2x - 1=0 (2) 2x2 3x +
1 2
x1+x2=2
3 x1+x2= 2
x1x2=-1
1 x1x2= 4
=0
(3) 2x2 - 6x =0
(4) 3x2 =4
x1+x2=3
x1+x2=0
x1x2=0
4 x1x2= 3
例2、方程2x2-3x+1=0的两根记作x1,x2，
不解方程，求：
（ 1） x 2 x 2 1 2
;
1 1 （2) ; x1 x2
2
1、已知方程3x2－19x+m=0的一个根是1， 求它的另一个根及m的值。 解：设方程的另一个根为x2, 19 16 则x2+1= 3 , ∴ x2= 3 , 又x2 1=
●
m , 3
∴ m= 3x2 = 16
2、设x1,x2是方程2x2＋4x－3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1) 的值. 3 x2= 解：由根与系数的关系,得 x1+x2= - 2 , x1 · 2
x px q 0
2
x x p
1 2
x x q
1 2
例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。
一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程根与系数的关系一、知识要点对于一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)总有x1+x2=-，x1·x2=，其中x1x2是方程的两根它的逆定理也是成立的，即如果两个数x1和x2，满足x1+x2=-，x1·x2=，那么x1, x2是方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的两个根.这是根与系数的关系定理，又称韦达定理.二、例题分析1、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值例1、已知方程x2-6x+m2-2m+5=0一个根为2，求另一个根及m的值分析：本题通常有两种做法，一是根据方程根的定义，把x=2代入原方程，先求出m的值，再通过解方程求另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及m的值.解法一：把x=2代入原方程，得22-6×2+m2-2m+5=0即m2-2m-3=0解得m1=3m2=-1当m1=3m2=-1时，原方程都化为x2-6x+8=0∴x1=2x2=4∴方程的另一个根为4，m的值为3或-1.解法二：设方程的另一个根为x.则∴或2、判别一元二次方程两根的符号.例1．不解方程，判别2x2+3x-7=0两根的符号分析：因为二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可求根的判别式△，但△只能用于判定根存在与否，若判定根的正负，则需要考察x1·x2或x1+ x2的正负情况.解：∵△=32-4×2×(-7)=65>0∴方程有两个不相等的实数根设方程的两个根为x1, x2，∵x1·x2==-<0∴原方程有两个异号的实数根。
说明：判别根的符号，需要“根的判别式”，“根与系数的关系”结合起来进行确定.另外本题中x1·x2﹤0，可判定根为一正一负，若x1·x2>0，仍需考虑x1+ x2的正负，从而判别是两个正根还是两个负根.例2．当m为什么实数时，关于x的二次方程mx2-2(m+1)x+m-1=0的两个根都是正数。
1元二次方程根与系数的关系公式
1元二次方程根与系数的关系公式一元二次方程啊，这可是中学数学里的一个重要知识点。
咱先来说说一元二次方程一般式：$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），如果这个方程有两个根$x_1$和$x_2$，那么就有一个神奇的关系，叫根与系数的关系公式，也叫韦达定理。
韦达定理说的是，$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1 \times x_2 =\frac{c}{a}$。
可别小看这两个公式，用处大着呢！我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个学生一脸懵地问我：“老师，这公式到底有啥用啊？感觉好复杂。
”我笑了笑，给他举了个例子。
假设我们有个一元二次方程$x^2 - 5x + 6 = 0$，那我们先通过因式分解，得到$(x - 2)(x - 3) = 0$，所以方程的两个根就是$x_1 = 2$，$x_2 = 3$。
那按照韦达定理，$x_1 + x_2 = 2 + 3 = 5$，而$-\frac{b}{a} = -\frac{-5}{1} = 5$，是不是对上啦？再看$x_1 \times x_2 = 2×3 = 6$，$\frac{c}{a} = \frac{6}{1} = 6$，也没错吧！这个学生眼睛一下子亮了，说：“老师，我好像有点明白了！”韦达定理在解决很多数学问题时都能派上用场。
比如说，已知方程的一个根，求另一个根；或者根据两根的关系，确定方程中的系数等等。
再比如，如果告诉你一个一元二次方程的两根之和是 8，两根之积是 15，那我们就能很快写出这个方程$x^2 - 8x + 15 = 0$。
而且啊，韦达定理还能和函数图像结合起来。
一元二次函数$y = ax^2 + bx + c$的图像与$x$轴的交点，对应的就是方程$ax^2 + bx + c = 0$的根。
通过韦达定理，我们能知道两根的和与积，进而对函数的性质有更深入的理解。
在做题的时候，要是能熟练运用韦达定理，那解题速度就能大大提高。
一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程的根与系数的关系解一元二次方程的根可以通过求根公式得到，即 x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。
根据这个公式，我们可以看到根与系数之间有以下几个关系。
1.一元二次方程的根与a的关系：系数a出现在求根公式的分母位置，因此当a为0时，求根公式中将出现分母为零的情况，方程则不再是二次方程。
而当a不为0时，方程为一元二次方程，并且a的绝对值越大，求根公式的分母则越大，从而根的倒数也越大，因此a的变化会影响根的大小。
2.一元二次方程的根与b的关系：系数b出现在求根公式的分子位置，因此b的变化将直接影响根的值。
当b为正数时，根的值有两种可能：一种是两个实数根都为正数，另一种是两个实数根中一个为正数，另一个为负数。
当b为负数时，根的值也有两种可能：一种是两个实数根都为负数，另一种是两个实数根中一个为负数，另一个为正数。
3.一元二次方程的根与c的关系：系数 c 出现在求根公式中的平方根部分，从而 c 的变化对根的值起到重要的影响。
当 c 为正数时，根的值可能为两个实数，也可能为两个虚数。
当 c 为负数时，根的值为两个虚数。
而当 c 为零时，即方程为ax^2 + bx = 0，其中 a 和 b 不同时为零，方程则简化为 bx = 0，解为x = 0。
根据以上的分析，我们可以得出一些结论：-当a和b的值都相同时，方程的根的形态也相同。
例如，方程x^2+x+1=0和2x^2+2x+2=0都是只有虚根的方程。
-当a的绝对值很小时，方程的根的绝对值也较小；当a的绝对值很大时，方程的根的绝对值也较大。
-当b的绝对值很小时，方程的根的绝对值也较小；当b的绝对值很大时，方程的根的绝对值也较大。
-当c的绝对值很小时，方程的根的绝对值也较小；当c的绝对值很大时，方程的根的绝对值也较大。
综上所述，一元二次方程的根与系数之间存在着一定的关系，系数的变化会对根的大小、正负以及虚实等性质产生影响。
一元二次方程的根与系数的关系
韦达是法国十六世纪最有影响的数学 家之一。第一个引进系统的代数符号， 家之一。第一个引进系统的代数符号， 并对方程论做了改进。 并对方程论做了改进。 他生于法国的普瓦图。 他生于法国的普瓦图。年青时学习 法律当过律师，后从事政治活动， 法律当过律师，后从事政治活动，当过 议会的议员， 议会的议员，在对西班牙的战争中曾为 政府破译敌军的密码。 政府破译敌军的密码。韦达还致力于数 学研究， 学研究，第一个有意识地和系统地使用 字母来表示已知数、未知数及其乘幂， 字母来表示已知数、未知数及其乘幂， 带来了代数学理论研究的重大进步。 带来了代数学理论研究的重大进步。韦 达讨论了方程根的各种有理变换， 达讨论了方程根的各种有理变换，发现 了方程根与系数之间的关系（ 了方程根与系数之间的关系（所以人们 把叙述一元二次方程根与系数关系的结 韦达（ 韦达（1540－1603） － ） 论称为“韦达定理” 论称为“韦达定理”）。 韦达在欧洲被尊称为“ 韦达在欧洲被尊称为“代数学之 父”。
根据一元二次方程的根与系数的关系， 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列 方程两根x 的和与积。 方程两根 1，x2的和与积。
2-6x-15=0 （1）x
(2) 2 ( 3 ) 5x-1=4x
2+7x-9=0 3x
根与系数关系小结
对于一元二次方程 x + px + q = 0
2
x 的两根1、x
思
考
从因式分解法可知，方程 － 从因式分解法可知，方程(x1－x2)(x1－x2)＝0的两根为 ＝ 的两根为 － x1和x2，将方程化为 2+pX+q=0的形式，你能看出 1, 将方程化为x 的形式， 的形式 你能看出x x2与p,q之间的关系吗？ 之间的关系吗？ 之间的关系吗
一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程
1. 一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的情况是由2
4b ac -决定的，我们把24b ac -叫做一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，通常用“∆”表示。
（1） 若方程有两个不等的实数根；则240;b ac ∆=->
（2） 若方程有两个相等的实数根；则240;b ac ∆=-=
（3） 若方程没有实数根，则240.b ac ∆=-<
2. 若一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,.x x
则12x x += 。
12x x ⋅= 。
注意：只有一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系，即①240;b ac ∆=-≥ ②二次项系数0.a ≠
已知m,n 是方程22630x x -+=的两根，则m+n= ,m ⋅n= ,
11m n
+= .
已知一元二次方程220x x m -+=，
（1） 若方程有两实根，求m 的取值范围，
（2） 若方程的实根为12,.x x 且1233x x +=，求m.
已知方程2
351x x -=的两根为12,x x 求： 2212(1)x x + （2）
2112
x x x x +。
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中考数学辅导之—一元二次方程根与系数之间的
关系
我们系统的学习了一元二次方程的解法及一元二次根的判别式和一元,从暑假开始我们将学习几何,二次方程根与系数之间的关系.本次,我们全面复习前面所学内容,下次. 中的第六章解直角三角形一、基本内容的整式方程叫一元且未知数的次数最高是1.一元二次方程含义:含有一个未知数,2.
二次方程20) +bx+c=0(a一般形式:ax≠2.:
3.解法22如=b(b≥0)0)和(x+a)的形式可直接开平方:①直接开平方法形如
x.=b(b≥2:
两边开平方得(3x-1)=551?51??,?x?x5?x53?13x?1??21332 :②
配方法:例03x??2x?11222解:1?2x3x??xx?3311212?xx??? 939321412??x?(x)??3393121?,xx????x?121333因
为很多公式的推导用这种方,.但要掌握此类解法在解一元二次方程时,一般不用.
法?b??2)??0(?0axbx??c?0(a?)的求根公式是x:③公式法a2将一元二次方程转,:方程右边为零.左边分解成(ax+b)(cx+d)的形式④因式分解法.
变成两个一元一次方程来解化成ax+b=0,cx+d=0的形式,2-4ac
=b根的判别式:△4.2. 方程有两个不相等实根b-4ac>0
2-4ac=0 方程有两个相等实根. b2-4ac<0 方程无实根. b2-4ac≥0 b方程有实根.
有三种应用:
①不解方程确定方程的根的情况.
②利用方程的根的条件(如有两个不相等实根,无实根,有实根等)
利用Δ建立不等式求m或k的取值范围.
③证明Δ必小于零,或Δ必大于零来证明方程无实根或一定有实根,将Δ化成完
全平.
来证<0Δ或>0Δ一定有,无论取何值k)或m(叙述不论,方式
cb2.
+bx+c=0(a≠0)的根,则5.根与系数间的关系,某x,x是ax?x,x?x?x??212121aa: 应用. 求方程中m或k的值或另一根①不解方程,.
求某些代数式的值②不解方程,. 的取值范围m或k③利用两根的关系,求方程中. 使它与原方程有某些关系④建立一个方程,. ⑤一些杂题
: 二、本次练习:
填空题(一)22mx??x3mx?2x?m m=____.
1.关于x是一元二次方程的方程,则2常数化成一元二次方程的形式是____.其一次项系数是
2.将方程4x____,-kx+k=2x-1____.
项是222x=____.
则代数式(x+2)+(x-2)的值相等的值与8(x,-2)3.522 +( )=(x- )4.x?x
22k=____.
则的一个根是5.方程2x2,+(k-1)x-6=0xx22212?x?x=____; 6.-2x-1=0的两根是x,x,则已知方程3x=____;2121xx211133?|x|x?xx?=____. =____;=____;
2121xx212m=____.
2x则-(2m+1)x+m+1=0的两根之比是2:3,7.已知2____.
8.以3和为根的方程是?35?35?3,为根的方程是____. 以9.
222-3x-1=0的两根平方和及倒数和为根的方程是____.
2x10.以2-5x+1=0的两根平方根的方程是____.
11.以2x2-2x-4=0的两根大3以比3x的数为根的方程是____. 12.2-3x-1=0的两根的相反数为根的方程是____.
13.以2x2-(m-1)x+m-7=0的两根异号,且正根的绝对值大,则已知8xm的取值范围是____.若 14.它的两根互为相反数,则m=____.若m互为倒数,则m=____.
2+2x+m=0的两根差的平方是16,则关于x的一元二次方程xm=____.
15.22=1有两个不相等实根,则k的取值范围是已知关于 16.x的方程2x____. -(4k+1)x+2k2-(2k-1)x+k=0有两个不相等实根,则kx 17.关于的方程(k-2)x的取值范围是____.
22-x+3有两个不相等实根,则-2kx+k=xk的取值范围是已知方程 18.kx____.
2+6=0无实根,则2x(kx-4)-x关于x的方程k的最小整数值是____.
19.132+(2m+1)x-m=0的两根平方和是,2x 20.已知则m=____.
4．
222.+4k+3=0的两实根.y,y是关于y的方程-k的根yy+p=0,x 21.设x是关于x
的方程x2112k=____,p=____.
则若x-y=2,x-y=221122____. 2x的值是+2x+c=0的根是x,x,则,那么c 22.已知关于x的方程3?|x?x|2121
解下列方程(二)20302x??2x? 1.2 2.0?3x?x5?2 3.)?2(5)5?x(3x?12
4.8)?(2x?122)7x?2?0(用配方法2x?
5.2
6.04?xx??320ab?xb)?x4?2(a?
7.20?43x1?8x? 8.2 9.)?1?2(x23x2220b?)xabxab?(a?? 10.220?)?nx??m(3x?2mn
11.
三、本期答案 (一)填空题5253m? 5.0 1. 2.-(k+2),k+1 3. 4.,2x??
41611102642102-7x-6=0 8.3x 6. 7.?,?2,,?或2,?,
122739932222025x1?2x??-20y+9=0
-x-39=0 11.4y 9.-21y+1=0 12.3y 10.4x1922?k??且kk?? 17.
13.2x+3x-1=0 14.1<m<7 15.-3 16.48111?且k?k1 21.k=-2,p=-9 22.-1
19.2 20.-3或 18.12二)解答题(3?2951353x?x?5,x?2x?,,3?2x?? 2.
3. 1.
4.221122252．
5?37?337?33?xx,?x? =-2a,x=2b 8.无解 6. 7.x 5.21
214446?2ab 10. 9. 11.2m+n,m-n ?,2ab。