(微积分基本定理) 牛顿—莱布尼茨公式
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2018/10/16 15
2
练习：
(5) ( x - 2 x)dx = ______
3 0
2
(6) ( x cos x)dx = ______
0
(7) cos 2 xdx = ______
0
(8) sin xdx = ______
2 0 2
2018/10/16 16
练习：
(1)
2
1
1 dx x
(2) 2 cos xdx
0
2018/10/16
12
例2:计算下列定积分
(3) sin xdx
0
(4)
2
1
1 dx x
2018/10/16
13
例 3：（1 ）计算 y2 = x 与 y = x2 所围成图形的面积； （2 ）计算曲线 y = 1 ，直线 y = x, x = 2, y = 0 所围
(分割---以直代曲----求和------逼近)
1 由定积分的定义可以计算 0 x dx = 3
1 2
, 但
2018/10/16
6
对于一般函数 f ( x) ，设 F ( x) = f ( x) 是否也有
b
a
f ( x)dx =
b
a
F ( x)dx = F (b) - F (a).
若上式成立， 我们就找到了用 （即满足 F ( x) =
Sn = f (x1 )Dx f(x 2 )Dx f(x n )Dx
如果 Dx 无限趋近于0时,Sn无限趋近于常数S,那 么称常数S为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记 作: S =
2018/10/16
b
a
f(x)dx .
5
问题情景
比较麻烦(四步曲),有没有更加简便有效的 方法求定积分呢?
(1) cos xdx;
0 2 3 0
(2) 2 sin xdx;
0 4 0
(3) ( x - 2 x)dx; (4) 1 (5) ( x )dx; 1 x
3
求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法
n个小区间: a, x1 , x1, x2 , 每个小区间宽度⊿x =
b-a n
(1)分割:在区间[a,b]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成
xi-1, xi , , xn-1, b,
(2)以直代曲:任取xi[xi-1, xi]，第i个小曲边梯形的面积用高 为f(xi), 宽为Dx的小矩形面积f(xi)Dx近似地去代替. y (3) 作和:取n个小矩形面积的和作 为曲边梯形面积S的近似值：
x
f ( x) =
'
(a 0, a 1) (a 0, a 1)
11
6.若f ( x) = e x 8.2018/10/16 若f ( x) = ln x
f ' ( x) =
'
7.若f ( x) = log a x f ( x) = f ( x) =
'
例2:计算下列定积分
x
成图形的面积.
2018/10/16
14
练习：
(1) (-3t 2)dt = ______
2 0
1
1 2 (2) ( x ) dx = ______ 1 x
2
Biblioteka Baidu
(3) (3 x 2 x -1)dx = ______
2 -1
2
(4) (e 1)dx = ______
x 1
f ( x) 的原函数
f ( x) ）的数值差 F (b) - F (a)
来计算 f ( x) 在[ a, b]上的定积分的方法。
2018/10/16 7
牛顿—莱布尼茨公式
定理 （微积分基本定理）
如果 f (x) 是在区间[a , b]上的连续函数,并且
F(x) = f (x), ，则
a f ( x )dx = F (b) - F (a ).
微积分基本定理
2018/10/16
1
知识回顾： 微积分在几何上有两个基本问题
1.如何确定曲线上一点处切线的斜率； 2.如何求曲线下方“曲线梯形”的面积。
y y
y
0
x
0
x
o
x
直线
几条线段连成的折线
曲线？
2
2018/10/16
用 “以直代曲”解决问题的思想和具体操作过程：
分割
以直代曲
作和
逼近
2018/10/16
y= f ( x)
S f (xi )Dx
(4)逼近:所求曲边梯形的面积 S为
i =1
n
Dx 0, ( n )
f (x )Dx S
i =1 i
n
2018/10/16
O
a
xi-1 xi xi
Dx
b
4
x
定积分的定义:
一般地,设函数f(x)在区间[a,b]上有定义,将区间 [a,b]等分成n个小区间,每个小区的长度 为 Dx(Dx = b - a ),在每个小区间上取一点,依次为 n x1,x2,…….xi,….xn,作和
b a
b
记: F(b) - F(a) = F(x) |b a
则:
2018/10/16
b
a
f ( x)dx == F ( x) | = F (b) - F (a)
8
f(x)是F(x)的导函数 F(x) 是f(x)的原函数
例1:计算下列定积分
(1) 3x dx
2 1
5
3
(2) (2 x - 4)dx
0
3 ' 2
5
解:(1)取 F ( x) = x , F ( x) = 3x
2
找出 f(x)的 原函数 是关健
3x2 dx = F (5) - F (2) = 117
解:(2)取 F ( x) = x2 - 4x, F ' ( x) = 2x - 4
(2 x - 4)dx = F (5) - F (0) = 5
0
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5
b
a
f ( x)dx = F ( x) | = F (b) - F (a)
b a
9
1 (3) (3 x - 2 ) dx 1 x
3 2
解:(3)∵ ( x ) = 3 x ,
3 2
1 1 2 ( x ) = 3 x - 2 , x x
3
1 1 ( ) = - 2 x x
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3
1
1 1 1 76 3 3 (3x - 2 )dx = (3 ) - (1 ) = x 3 1 3
2
10
基本初等函数的导数公式 ' 1.若f ( x) = c f ( x) =
2.若f ( x) = x
n
f ( x) =
' ' '
(n R)
3.若f ( x) = sin x f ( x) = 4.若f ( x) = cos x f ( x) = 5.若f ( x) = a
2
练习：
(5) ( x - 2 x)dx = ______
3 0
2
(6) ( x cos x)dx = ______
0
(7) cos 2 xdx = ______
0
(8) sin xdx = ______
2 0 2
2018/10/16 16
练习：
(1)
2
1
1 dx x
(2) 2 cos xdx
0
2018/10/16
12
例2:计算下列定积分
(3) sin xdx
0
(4)
2
1
1 dx x
2018/10/16
13
例 3：（1 ）计算 y2 = x 与 y = x2 所围成图形的面积； （2 ）计算曲线 y = 1 ，直线 y = x, x = 2, y = 0 所围
(分割---以直代曲----求和------逼近)
1 由定积分的定义可以计算 0 x dx = 3
1 2
, 但
2018/10/16
6
对于一般函数 f ( x) ，设 F ( x) = f ( x) 是否也有
b
a
f ( x)dx =
b
a
F ( x)dx = F (b) - F (a).
若上式成立， 我们就找到了用 （即满足 F ( x) =
Sn = f (x1 )Dx f(x 2 )Dx f(x n )Dx
如果 Dx 无限趋近于0时,Sn无限趋近于常数S,那 么称常数S为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记 作: S =
2018/10/16
b
a
f(x)dx .
5
问题情景
比较麻烦(四步曲),有没有更加简便有效的 方法求定积分呢?
(1) cos xdx;
0 2 3 0
(2) 2 sin xdx;
0 4 0
(3) ( x - 2 x)dx; (4) 1 (5) ( x )dx; 1 x
3
求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法
n个小区间: a, x1 , x1, x2 , 每个小区间宽度⊿x =
b-a n
(1)分割:在区间[a,b]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成
xi-1, xi , , xn-1, b,
(2)以直代曲:任取xi[xi-1, xi]，第i个小曲边梯形的面积用高 为f(xi), 宽为Dx的小矩形面积f(xi)Dx近似地去代替. y (3) 作和:取n个小矩形面积的和作 为曲边梯形面积S的近似值：
x
f ( x) =
'
(a 0, a 1) (a 0, a 1)
11
6.若f ( x) = e x 8.2018/10/16 若f ( x) = ln x
f ' ( x) =
'
7.若f ( x) = log a x f ( x) = f ( x) =
'
例2:计算下列定积分
x
成图形的面积.
2018/10/16
14
练习：
(1) (-3t 2)dt = ______
2 0
1
1 2 (2) ( x ) dx = ______ 1 x
2
Biblioteka Baidu
(3) (3 x 2 x -1)dx = ______
2 -1
2
(4) (e 1)dx = ______
x 1
f ( x) 的原函数
f ( x) ）的数值差 F (b) - F (a)
来计算 f ( x) 在[ a, b]上的定积分的方法。
2018/10/16 7
牛顿—莱布尼茨公式
定理 （微积分基本定理）
如果 f (x) 是在区间[a , b]上的连续函数,并且
F(x) = f (x), ，则
a f ( x )dx = F (b) - F (a ).
微积分基本定理
2018/10/16
1
知识回顾： 微积分在几何上有两个基本问题
1.如何确定曲线上一点处切线的斜率； 2.如何求曲线下方“曲线梯形”的面积。
y y
y
0
x
0
x
o
x
直线
几条线段连成的折线
曲线？
2
2018/10/16
用 “以直代曲”解决问题的思想和具体操作过程：
分割
以直代曲
作和
逼近
2018/10/16
y= f ( x)
S f (xi )Dx
(4)逼近:所求曲边梯形的面积 S为
i =1
n
Dx 0, ( n )
f (x )Dx S
i =1 i
n
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O
a
xi-1 xi xi
Dx
b
4
x
定积分的定义:
一般地,设函数f(x)在区间[a,b]上有定义,将区间 [a,b]等分成n个小区间,每个小区的长度 为 Dx(Dx = b - a ),在每个小区间上取一点,依次为 n x1,x2,…….xi,….xn,作和
b a
b
记: F(b) - F(a) = F(x) |b a
则:
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b
a
f ( x)dx == F ( x) | = F (b) - F (a)
8
f(x)是F(x)的导函数 F(x) 是f(x)的原函数
例1:计算下列定积分
(1) 3x dx
2 1
5
3
(2) (2 x - 4)dx
0
3 ' 2
5
解:(1)取 F ( x) = x , F ( x) = 3x
2
找出 f(x)的 原函数 是关健
3x2 dx = F (5) - F (2) = 117
解:(2)取 F ( x) = x2 - 4x, F ' ( x) = 2x - 4
(2 x - 4)dx = F (5) - F (0) = 5
0
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5
b
a
f ( x)dx = F ( x) | = F (b) - F (a)
b a
9
1 (3) (3 x - 2 ) dx 1 x
3 2
解:(3)∵ ( x ) = 3 x ,
3 2
1 1 2 ( x ) = 3 x - 2 , x x
3
1 1 ( ) = - 2 x x
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3
1
1 1 1 76 3 3 (3x - 2 )dx = (3 ) - (1 ) = x 3 1 3
2
10
基本初等函数的导数公式 ' 1.若f ( x) = c f ( x) =
2.若f ( x) = x
n
f ( x) =
' ' '
(n R)
3.若f ( x) = sin x f ( x) = 4.若f ( x) = cos x f ( x) = 5.若f ( x) = a