运筹学第17讲最小费用最大流

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最小费用最大流问题ppt课件

v4 (5,3) vt
(3,0)
(2,1) v3
v1
Back 14
continued
(二)调整过程 (1)寻找以为终点的增广链----(反向追踪法)
若vt的第一个标号为v3 , 则弧(v3 , vt )是链上的弧。接下来检查 v3的第一个标号，为 v2，则找出(v3 , v2 )是链上的弧。同理， (v2 , v1 )和(vs , v1 )是链上的弧. 此时所求的增广链(vs , v1 , v2v3 , vt )。
(2)若在弧 (v j , vi )上 , fij 0, 则给 v j标号 (vi , l(v j )) 这里 l(v j ) min[ l(vi ), f ji ] .此时,点 v j成为标号而未检查的点.
于是 vi 成为标号且已检查过的点.重复上述步骤,一旦 v t
被标上号,表明得到一条从 vs 到 v t 的增广链 ,转入调整过程.
3 、检查 v1
在弧 (v1 , v3 ) 上 , f13 c13 2, 不满足标号条件;
在弧 (v2 , v1 ) 上 , f 21 0, 则 v2的标号为 (v1,l(v2 )). 其中, l(v2 ) min[ l(v1), f21] min[ 4,1] 1 4 、检查 v2
若所有标号都已经检查过,而标号过程进行不下去时,则算法结束,此时的可行流就是最大流.
10
2 、调整过程 (1)寻找以v t 为终点的增广链----(反向追踪法): 若vt的第一个标号为vk (或 vk ),则弧(vk , vt )(相应地(vt , vk ))是
链上的弧。接下来检查vk的第一个标号，若为vi (或 vi )，则找出(vi , vk )(相应地(vk , vi ))。再检查的第一个标号，依此下去，直到 vs为止(2。)调此整时量被找的l(v弧t ),就即构vt的成第了二增个广标链号。。

网络流：最小费用最大流(最简单的算法)

网络流：最小费用最大流（最简单的算法）最小费用流在OI 竞赛中应当算是比较偏门的内容，但是NOI2008 中employee 的突然出现确实让许多人包括zkw 自己措手不及。

可怜的zkw 当时想出了最小费用流模型，可是他从来没有实现过，所以不敢写，此题0 分。

zkw 现在对费用流的心得是：虽然理论上难，但是写一个能AC 题的费用流还算简单。

先贴一个我写的employee 程序：只有不到70 行，费用流比最大流还好写～程序代码:C++#include <cstdio>#include <cstring>using namespace std;const int maxint=~0U>>1;int n,m,pi[550]={0},cost=0;bool v[550]={0};struct etype{int t,c,u;etype *next,*pair;etype(){}etype(int t_,int c_,int u_,etype* next_):t(t_),c(c_),u(u_),next(next_){}void* operator new(unsigned,void* p){return p;}} *e[550],*eb[550];int aug(int no,int m){if(no==n)return cost+=pi[1]*m,m;v[no]=true;for(etype *&i=e[no];i;i=i->next)if(i->u && !v[i->t] && pi[i->t]+i->c==pi[no])if(int d=aug(i->t,m<i->u?m:i->u))return i->u-=d,i->pair->u+=d,d;return 0;}bool modlabel(){int d=maxint,c;for(int i=1;i<=n;++i)if(v[i])for(etype *j=eb[i];j;j=j->next)if(j->u && !v[j->t])if((c=j->c-pi[i]+pi[j->t])<d)d=c;if(d==maxint)return false;for(int i=1;i<=n;++i)if(v[i])pi[i]+=d,e[i]=eb[i];return true;}int main(){freopen("costflow.in","r",stdin);freopen("costflow.out","w",stdout);scanf("%d %d",&n,&m);etype *Pe=new etype[m+m];while(m--){int s,t,c,u;scanf("%d%d%d%d",&s,&t,&u,&c);e[s]=new(Pe++)etype(t, c,u,e[s]);e[t]=new(Pe++)etype(s,-c,0,e[t]);e[s]->pair=e[t];e[t]->pair=e[s];}memmove(eb,e,sizeof(e));do do memset(v,0,sizeof(v));while(aug(1,maxint));while(modlabel());printf("%d\n",cost);return 0;}程序代码:CB大牛翻译的PASCALvarn,m,i,l,s,t,c,cost,u:longint;v:array[0..600]of boolean;dis:array[0..600]of longint;e_n,e_t,e_c,e_u,e_p,e_x:array[0..250000]of longint;function min(a,b:longint):longint;beginif a>b then exit(b);exit(a);end;procedure addedge(s,t,c,u,k:longint);begininc(l);e_n[l]:=e_n[s];e_n[s]:=l;//下一条边e_t[l]:=t;//边的另一端e_c[l]:=c;//边的费用e_u[l]:=u;//边的容量e_p[l]:=l+k;//对应的边end;procedure build(s,t,c,u:longint);beginaddedge(s,t,c,u,1);addedge(t,s,-c,0,-1);end;function aug(no,m:longint):longint;vari,d:longint;beginif no=n then begininc(cost,m*dis[1]);exit(m);end;v[no]:=true;i:=e_x[no];while i<>0 do beginif (e_u[i]>0)and(not v[e_t[i]])and(dis[e_t[i]]+e_c[i]=dis[no]) then begind:=aug(e_t[i],min(m,e_u[i]));if d>0 then begindec(e_u[i],d);inc(e_u[e_p[i]],d);e_x[no]:=i;exit(d);end;end;i:=e_n[i];end;e_x[no]:=i;exit(0);end;function modlabel:boolean;vard,i,j:longint;begind:=maxlongint;for i:=1 to n do if v[i] then beginj:=e_n[i];while j<>0 do beginif (e_u[j]>0)and(not v[e_t[j]])and(e_c[j]-dis[i]+dis[e_t[j]]<d) then d:=e_c[j]-dis[i]+dis[e_t[j]];j:=e_n[j];end;end;if d=maxlongint then exit(true);for i:=1 to n do if v[i] then beginv[i]:=false;inc(dis[i],d);end;exit(false);end;beginassign(input,'coflow.in');reset(input);assign(output,'coflow.out');rewrite(output);readln(n,m);l:=n;for m:=m downto 1 do beginreadln(s,t,u,c);build(s,t,c,u);end;repeatfor i:=1 to n do e_x[i]:=e_n[i];while aug(1,maxlongint)>0 do fillchar(v,sizeof(v),0);until modlabel;writeln(cost);close(output);end.这里使用的是连续最短路算法。

最小费用最大流

0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 5.000000 3.000000 0.000000 0.000000
结果说明，最小费用为12，此时，流值为3。
例6.8.6 用MATLAB软件求解例6.5.1。解： MATLAB编程如下： f=zeros(7,1);f(1)=1;f(2)=1; g=-f; aeq=[1,0,-1,-1,0,0,0 0,1,0,1,-1,0,-1 0,0,1,0,1,-1,0]; beq=zeros(3,1);lb=zeros(7,1); ub=[2 1 6 3 2 4 3]';
( vi , v j )A

cij xij
（6.5.3）
n n X ij X ji 0 s.t. j 1 j 1 0 x w , (v , v ) A ij ij i j
§6.5.2 最小费用最大流问题的算法
寻求最大流的方法最小费用最小费用最大流
运行结果如下：
z= 2.0000 1.0000 0.0000 2.0000 0.0000 0.0000 3.0000 favl1 = 12.0000
结果说明最大流值为3，最小费用为12。可以看出，最小费用最大流问题其实就是在最大流问题基础上，再进行一次线性规划问题的计算得出。
例：求图中从vs vt的最小费用最大流。
解: 取 X (0) 0, 见图6.4.7（a），构造 D( X (0) ).
v2
(1, 2, 0)

(5,6,0)
v 4
(3, 4,0)
(2,3,0) (3,1, 0)
(1, 2, 0)
v1
v3 (1,3, 0)

最小费用最大流问题例题讲解

最小费用最大流问题例题讲解
最小费用最大流问题（Minimum Cost Maximum Flow Problem）是一种在特定的多媒体网络中传送给定体积的流量，使总花费最小化的一种算法。

它能满足一些实际生活中的求解，比如电力系统的供求、工厂的物料的分配和两地之间的物品的运输问题，以及更加复杂的产品开发和行业分工中的分布问题等等。

最小费用最大流问题的目标是在满足给定的最大流量要求的前提下，找出具有最小成本的流量方案。

这种问题的解决步骤如下：
1. 在图形中定义网络：用图形表示整个网络，每条边的容量是边上的流量上限。

2. 尝试找出最大流量：在不超过容量限制的前提下，找出输出流量最大的允许方案，也就是最小费用最大流量。

3. 计算最小成本：对所有边的成本进行总结，计算出最小成本。

下面以一个最小费用最大流问题的例题来说明：
假设有一个三角形的网络，它由一个源点S、一个汇点T、一个中间点O以及三条边组成，边的名字分别是SO、OT、OS，它们的容量分别是10、15和5，费用分别是5、3和2。

要求我们在此条件下求解最小费用最大流问题。

解：首先，我们可以求出最大流量：在边SO的容量为10时，我们可以将费用最小的边OT累加，得到最大流量值为10+3=13。

接下来，计算最小费用：根据上述算法，所有边的费用应该都大于等于0，才能累加而得到最大流量。

也就是说，最小费用为
5+3+2=10。

最后，最小费用最大流问题的解为：最大流量13，最小成本10。

最小费用最大流问题.

(
vs
(
5,2)
(
(
2,6)
8,1)
V2 10,3)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱV3
4,2)
第一轮：f 0为初始可行流，作相应的费用有向图网络L(f 0)，如图（a）。在L(f 0)上用DijksTra标号法求出由vs到vt的最短路（最小费用链） 0 m i n 8，5， 5 7 μ0=(vs,v2,v1, （ vt)v ，并对 μ 按进行流量的调整， 0 ， v ），（ v ， v ），（ v ， v ） s 2 0 2 1 0 1 t 0 由于， (1) (1) 所以有 fs2 f12 f1t(1) 5，其余不变，得新的可行流f1的流量有向图（b）。
vs
vt
2.下表给出某运输问题的产销平衡表与单位运价表。将此问题转化为最小费用最大流问题，画出网络图并求数值解。 2 3 产量 1 产地销地
A B 销量 20 30 4 24 22 5 5 20 6 8 7
最小总费用为240
(20,8) A (0,8) s (30,7) (0,7) (5,8) (24,8)
4
vt
vs
1
6
2
2
v1
(7,5)
（2，0）
（10，0）
vt
(4，0)
v2
V(f
1)
(a) = 5
3
v3 vs
(8，5)
w(f0)
（5，5）
v2
(10,0)
v3
(b) f 1
v1 vs
(8，5)
(7,5)
（2，0）
（10，0）
vt
(4，0) 4
v1
vs

最小费用最大流问题

近似算法和启发式算法
要点一
近似算法
近似算法是一种用于求解NP-hard问题的有效方法，它可以在多项式时间内找到一个近似最优解。最小费用最大流问题的近似算法包括Ford-Fulkerson算法、EdmondsKarp算法等。
要点二
启发式算法
启发式算法是一种基于经验或直观的算法，它可以在合理的时间内找到一个近似最优解。最小费用最大流问题的启发式算法包括基于增广路径的算法、基于贪婪的算法等。
研究如何将最小费用最大流问题应用于计算机科学领域，例如计算机网络、云计算等。
物理学
研究如何借鉴物理学中的理论和思想，解决最小费用最大流问题，例如利用流体动力学中的思想来研究网络中的流。
谢谢观看
Hale Waihona Puke 06未来研究方向和展望算法优化和改进
动态规划算法
研究如何优化动态规划算法，减少时间复杂度和空间复杂度，提高求解效率。
近似算法
研究近似算法，在保证求解质量的前提下，提高求解速度。
并行计算和分布式计算
研究如何利用并行计算和分布式计算技术，加速最小费用最大流问题的求解。
新的问题定义和模型
考虑更复杂的情况
和技术。
有界容量和无界容量
总结词
有界容量和无界容量是指在网络中节点之间的容量是否有限制。
详细描述
在最小费用最大流问题中，如果节点之间的容量有限制，即为有界容量问题；如果节点之间的容量没有限制，即为无界容量问题。有界容量问题可以通过增广路径算法、预流推进算法等求解，而无界容量问题则需要采
用其他算法和技术进行求解。
算法概述
最小费用最大流问题是一种网络流问题，旨在在给定有向图中寻找一条路径，使得从源节点到汇点之间的总流量最大，同时满足每个节点的流入量等于流出量，以及每条边的容量限制。

最小费用最大流

最小费用最大流1.最大流问题1.1案例假设现在因为种种原因，我们只能通过地面线路来运输口罩物资，并且每一条线路是有流量限制的。

假设不考虑运输速度，并且源点S （杭州）的口罩物资产量是足够多的，我们需要求解汇点T（武汉）在不计速度的情况下能收到多少物资？对于这个流网络，我们可以轻松的获得汇点T的最大流量。

因为在这个图中，只有两条路径，分别是S → A → B → T和S → C → D → T两条路径来输送流量，前者最大流量是12 ，后者是4，所以最大流量总和是16。

1.2建模图1是连接产品产地Vs和销售地Vt的交通网，每一条弧代表两点间的运输线，弧旁的数字表示这条运输线的最大通过能力。

现在要求制定一个运输方案，使得从Vs运输到Vt的产品数量最多。

图1模型():(,):(,)max .,,,,s ,0,s.t 0,,V V st f c Vf f t f Vμυμυμυυμυυυμμυλμυμυλμλμμμυ∈∈≤∀∈⎧=⎪-=-=⎨⎪≠⎩≥∀∈∑∑其中λ表示总共运输量f μυ表示弧(),μυ中的实际流量(),c μυ表示弧(),μυ中的容量限制S,t 表示物质运输的起点和终点最大流问题的推广现实问题中的网络，不但边有容量，而且点也有容量。

例如运输网络中表示中转站的点v, 点容量 c(v) 可表示该中转站能容纳的货物的数列。

对点有容量的网络 N ，流函数若满足对一点 v,流入v 的流量之和等于流出v 的流量之和，并且小于等于c(v),2.最小费用最大流问题上面我们介绍了一个网络上最短路以及最大流的算法，但是还没有考虑到网络上流的费用问题，在许多实际问题中，费用的因素很重要。

例如，在运输问题中，人们总是希望在完成运输任务的同时，寻求一个使总的运输费用最小的运输方案。

这就是下面要介绍的最小费用流问题。

在运输网络N = (s,t,V, A,U)中，设(),c μυ是定义在A上的非负函数，它表示通过弧(),μυ单位流的费用。

最小费用最大流问题

i):f(j,i))=0; ); @sum(edge(i,j)|i#eq#@index(s):f(i,j)) =vf; @sum(edge(j,i)|i#eq#@index(t):f(j,i)) =vf; @for(edge(i,j):@bnd(0,f(i,j),u(i,j))) ; end

min
( i , j )E

cij fij ;
s.t.
jV ( i , j )E

fij
jV ( j ,i )E

v f , i s , f ji v f , i t , 0, i s, t.
0 fij uij ,(i, j ) E.
LINGO 程序求解 model: sets: points/s,v1,v2,v3,v4,t/; edge(points,points) /s,v1 s,v2 v1,v2 v1,v3 v2,v4 v3,v2 v3,t v4,v3 v4,t/:c,u,f; endsets data: c=2 8 5 2 3 1 6 4 7; u=8 7 5 9 9 2 5 6 10; vf=14; enddata min=@sum(edge(i,j):c(i,j)*f(i,j)); @for(points(i)|i#ne#@index(s) #and# i#ne#@index(t): @sum(edge(i,j):f(i,j))-@sum(edge(j,
最小费用最大流问题
例本例是最大流问题的延伸，由于输油管道的长短不一，或地质等原因，使每条管道上运输费用也不相同，因此，除考虑输油管道的最大流外，还需要考虑输油管道输送最大流的最小费用，下图所示是带有运输费的网络，其中第 1 个数字是网络的容量，第 2 个数字是网络的单位运费.

最小费用最大流简介

6
最大流=f1+f2+f3=4+2+2=8
最小费用=48+26+30=104
算法设计：贪心策略
设p是图的一条增广路径，定义路径p的长度为：

w[i, j ]

w[i, j ]
i , j P
i ,。
如果p是一条最短（单位费用最小）的可增广路径，称p是一条最小费用可增广路。
(4,6)
实例：
（容量，单位费用）
(2,5)
2
(5,7)
3
(4,3)
1
(6,2)
6 5
(8,5)
4
(7,6)
①、最小费用可增广路（最短路径） 1436 长度（单位流量总费用） =2+7+3=12 f 1=4 cost1=4*12=48
(4,6) (2,5)
2
4
(5,7) 4
3
4
(4,3)
1
(6,2)
6 5
(8,5)
4
(7,6)
(4,6)
(2,5)
2
4 (5,7) 4
3
4
(4,3)
1
②、最小费用可增广路 1456 长度（单位流量总费用） =2+6+5=13 f2 =2 cost2=2*13=26
6 5
(8,5)
(6,2)
4
(7,6)
(4,6)
(2,5)
2
(5,7) 2 4 2 (7,6)
// short[i]:i到源点1的最短距离(最小费用);
b:array[1..maxn] of integer; // b[i]:最小费用可增广路径上结点i的前驱

最小费用最大流

vs
4
v2
4
vt
(10 )f ( 5)
v1 1
v3
4 －4
－1
3 2
2 －6
vs
－1
v2
6
vt
(11) L( f ( 5))
运筹学
的增广链u，以1调整f，得到新的可行流
f′时，b(f′)比b(f)增加多少？
b
u i j
显然有
b(f')﹣b(f)=[ b
b b (f′ij﹣fij )]u
ij
bu(_ f′i j ij﹣fij )﹣
b b
= [ ﹣ u i j
u_ i j
]
我们把[ u
﹣ i j
u_
ij
] 称为这条增广链u的
费用。
v2 (6 ,7)
vt vs
1
v2
6
vt
v1
3
v3 1=3
W(f(1))=3
(1) L(f (0))
v1 1
v3
0
3
－1
－2
3
0
4 －2
2 3
vs
3
v2
0
(2) f ( 1)
－1
vt
vs
1
v2
6
vt
(3) L(f (1))
v1 (1 ,6) v3
(4 ,8) (2 ,3)
(2 ,5) (3 ,2)
1
v3
v1
4
v3
4=3 W(f(4))=8
4
－1
－2 3
-2 －3
4 0
5 1
vs
－1
v2
6
(7) L(f (3))

最小费用最大流课程设计

最小费用最大流课程设计一、课程目标知识目标：1. 理解并掌握最小费用最大流的概念及在实际问题中的应用；2. 学会运用线性规划、图论等知识分析最小费用最大流问题；3. 掌握运用算法求解最小费用最大流问题的方法。

技能目标：1. 能够运用所学的理论知识解决实际生活中的最小费用最大流问题；2. 培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力，提高学生运用算法解决问题的技巧；3. 提高学生的团队协作能力和沟通能力，通过小组讨论、分享解题思路，互相学习。

情感态度价值观目标：1. 培养学生对数学学科的热爱，激发学习兴趣，增强自信心；2. 培养学生面对问题勇于挑战、积极求解的精神，形成良好的学习习惯；3. 增强学生对我国数学研究及应用的认同感，培养学生的家国情怀。

课程性质：本课程为数学学科选修课程，适用于高中年级学生。

课程结合图论、线性规划等知识，注重理论知识与实际应用的结合。

学生特点：高中年级学生具备一定的数学基础，逻辑思维能力较强，对算法有一定了解，但可能对最小费用最大流问题接触较少。

教学要求：教师应注重启发式教学，引导学生主动探究问题，通过实际案例讲解，让学生掌握最小费用最大流问题的解决方法。

同时，关注学生的个体差异，提供针对性的指导，提高学生的综合能力。

在教学过程中，关注学生的学习成果，及时进行评估和反馈，确保课程目标的实现。

二、教学内容1. 引入最小费用最大流的概念，讲解其基本原理和在实际问题中的应用场景。

- 教材章节：图论基础，线性规划简介- 内容：图的表示方法，网络流的概念，最小费用最大流的定义及其数学模型。

2. 讲解最小费用最大流的求解方法，包括贪心算法、增广路径算法和最小费用流算法等。

- 教材章节：网络流算法- 内容：贪心算法的思想及其在最小费用最大流问题中的应用，增广路径算法的步骤，最小费用流算法的原理及实现。

3. 分析实际案例，通过具体问题引导学生运用所学算法解决最小费用最大流问题。

- 教材章节：应用案例分析- 内容：选取具有代表性的最小费用最大流问题，如运输问题、分配问题等，指导学生运用所学算法进行求解。

最小费用最大流_实用运筹学：案例、方法及应用_[共3页]

为提高网络中的总流量，必须首先着力于改善最小截集中各弧的弧容量。
6.5 最小费用最大流
在上节最大流问题中，每一个可行流在现实生活中还对应着一定的费用，许多情况下优
化目标不但要求流量尽可能大，还要求费用尽可能小。在一个网络中每条弧在“容量”和
“费用”两个限制条件下，寻求 vs 到 vt 的最大流，使该最大流在所有最大流中费用达到最小。
减小费用。
当沿着可行流 f 的一条增广链 μ ，以θ 调整 f ，得到新的可行流 f ′ 时， b( f ′) 比 b( f ) 增加：
⎛
⎞
∑ ∑ ∑ ∑ b(
f
′)
,v j
>∈μ＋
bijθ
-
< vi
,vj
>∈μ —
bijθ＝⎜⎜⎝
< vi
,vj
>∈μ＋
bij
-
< vi
,v j
>∈μ —
若 f 是流值为 v( f ) 的所有可行流中费用最小者，而 μ 是关于 f 的费用最小的增广链，那
么沿 μ 去调整可行流 f ，得到可行流 f ′ ，新可行流就是流值为 v( f ) + θ 的所有可行流中费用
最小的可行流。
上述分析寻求到一种寻找最小费用最大流的方法，即确定一个最小费用可行流，然后找
中，不但通过增广链使流量逐步增加，还要考虑费用的约束，即每次可行流的调整都使费用
增加最小。
寻求最大流的方法是从一个可行流出发，找出增广链，通过增广链上弧的流量的调整，
使流值不断增加，如此循环进行，一直到找不出增广链，从而得到最大流。在最大流增加的
过程中，流的费用也会变化，前向弧上增加流量，从而增加费用；后向弧上减小流量，从而

最小费用最大流问题

v2
v3
即是f(1)的最小费用增广链。
第3次迭代
-4 4
v1
-2
-1
(10, 2)
v1
(7, 7) (2, 0)
vs
-1
1
6
2
vt
(8, 8)
vs
(5, 5)
vt
(4, 3)
v2
3
v3
①零流弧保持原边，非饱和非零流弧增添后向弧，饱和弧去掉原边增添后向弧
(10, 3) ①流量调整量ε3=min{85,10-0,4-0}=3，总流量v(f(3)) =原流量+新增流量=7+3=10； ②最小费用增广链的费用 ∑bij=1+3+2=6
链中费用最小的增广链，那么沿着
f μ去调整 f 得到的新的可行流
v (f ) 就是流量为
的最小费用流。
（2）实现思路
基于第一种求解途径，根据上述定理，从流量为v(f) 的最小费用流f 开始，只要找到其上的最小费用增广链，在该链上调整流
量，就得到增加流量后的最小费用流。循环
往复就可以求出最小费用最大流。实施中的关键——寻找最小费用增广链具体方法：构造增广费用网络图，借助最短路算法寻找最小费用增广链。
-4
v1
6 2 3 -3
-1
vs
-1
4 -2
vt v3
-2
v2
vs v1 v2 v3 vs 0 4
vt d(1) d(2) d(3) d(4) 0 0 0 0
v1
v2
-4
-1
0
2
-2
0
6
3
4
4
2
4

最小费用最大流问题

2 3 2 3
f (1) , v( f (1) )
W( f (1) )
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v1 (4,10 ,2) v5 (1 ,8,5) (2,5,5)
(1 ,7,7) vt (6,2,0) (2,4,0) v3
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2)若存在最短路,则在原网络D中得相应的增广链μ。在增广链μ上，对f (k-1)进行调整。调整量为:
θ = min[min(cij − f ij
µ+
( k −1)
), min f ij
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2、定义设网络D的一个可行流为f,构造其赋权有向图,记为W(f) ,如下： 1)W(f)的顶点集是D的顶点集; 2)把D中的每一条弧(vi,vj)变成两个相反方向的弧(vi,vj)和(vj,vi).定义W(f)中弧的权为:
(1 ,7,7) (6,2,0) vt (2,4,3) v5
v1 4 −4 −2 6 −3 3
−1
−2
vt
,3) v2 (3,10
v3
−1
2
v3
v2
f (3) , v( f (3) )
W( f (3) )
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bij , fij < cij wij = , + ∞, fij = cij
Hale Waihona Puke −bij , fij > 0 wji = f + ∞ , = 0 ij

最大流最小费用流

截集a: 截集c:
Ca=C01+C02+C0n Cc=C1n+C12+ C02+ C0n
截集b: Cb=C1n+C2n+C0n
截集d: Cd=C01+C21+ C2n+ C0n
S
v0
v1
v2
vn
c
S 在截集c中边v2v1是反向的，
其容量视为零。
d
v1
S
v0
v2
vn
S
在截集d中边v1v2是反向的，其容量视为零。
定义：若 (P)=0 称P为f 的饱和的；若 (P)>0 称P为f 的不饱和的。
定义：一条从发点到收点的 f不饱和通路u称为 f 的增长道路（增流路或增广路），即满足：
1.u+(与u方向相同的弧)上：0 fij<Cij 2.u-(与u方向相反的弧)上： fij>0
在一个网络中，f 的增长道路的存在表示 f 不是最大流。所以。沿着P增加一个值为 (P)的附加流，得到一个新流：
(0,10)
v0
(0,3)
(0,4)
(0,6) vn (0,10) v4 (0,5)
(0,5)
(0,3) v3
(0,5)
v1 (0,6) (0,3) (0,2) v5 (0,3) (0,4) v2
(0,10)
v0
(0,3)
(0,4)
(0,6) vn (0,10) v4 (0,5)
(0,5)
(0,3) v3
(7,10)
v0
(0,3)
(4,4)
(6,6) vn (7,10) v4 (3,5)
(5,5)